已知函数
高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
初二关于函数的10题典型例题
初二关于函数的10题典型例题初二数学中关于函数的典型例题有很多，下面列举了其中的10题，并进行了解答。
1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。
解答：将 x 替换为 3，计算得 f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
2. 已知函数 g(x) = x^2 + 3x，求 g(-2) 的值。
解答：将 x 替换为 -2，计算得 g(-2) = (-2)^2 + 3 * (-2) = 4 - 6 = -2。
3. 已知函数 h(x) = 4x^3 + 2x^2 + x，求 h(0) 的值。
解答：将 x 替换为 0，计算得 h(0) = 4 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 = 0。
4. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(1/2) 的值。
解答：将 x 替换为 1/2，计算得 f(1/2) = 3 * (1/2) - 2 = 1/2 - 2 = -3/2。
5. 已知函数 g(x) = 2x + 3，求使得 g(x) = 7 的 x 的值。
解答：将 g(x) = 7，解方程得 2x + 3 = 7，即 2x = 4，x = 2。
6. 已知函数 h(x) = 5x^2 + 4x + 1，求使得 h(x) = 0 的 x 的值。
解答：将 h(x) = 0，解方程得 5x^2 + 4x + 1 = 0，该方程可以因式分解为 (5x + 1)(x + 1) = 0，得到 x = -1 或 x = -1/5。
7. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 5x + 3，求 f(-1) 的值。
解答：将 x 替换为 -1，计算得 f(-1) = 2 * (-1)^2 + 5 * (-1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。
8. 已知函数 g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求 g(2) 的值。
解答：将 x 替换为 2，计算得 g(2) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。
已知函数的值域(或最值)求参数的取值范围
已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围顺德容山中学 马崇元已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围，是高考的一个亮点，在近年的高考和各地的高三模拟试题中经常出现，下面谈谈此类问题的解法．一． 利用函数的单调性如果题中所给函数的单调性易判断出来，我们可利用单调性建立方程组或不等式，从而加以求解．例1．（2008年天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}解：由log log 3a a x y +=可得xa y 3=，利用其在[,2]x a a ∈上是单调减函数可得23max 23min ,22a aa y a a a y ====，则由题目条件可得2max min ,a y a y ≤≥解得选B ． 例2．（2008年深圳模拟试题）已知函数f(x)＝x 11-． (1)是否存在实数a 、b(a ＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a 、b]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b ()a b <，使得函数f(x)的定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，求实数m 的取值范围．解：(1)不存在实数a 、b ()a b < 满足条件．事实上，若存在实数a 、b ()a b < 满足条件，则有x ≥a ＞0．故f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-10,111,11x xx x (i)当a 、b ∈(0，1)时，f(x)＝11-x 在(0，，1)上为减函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a bb a由此推得a ＝b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件． (ii)当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，+∞)上为增函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(b b f a a f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a 于是a 、b 为方程x 2－x ＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件(iii)当a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，显然1∈[a ，b]，而f(1)＝0，所以0∈[a ，b]，矛盾．综上可知，不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件．(2)若存在实数a 、b(a ＜b)满足f(x)定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，易得m ＞0，a ＞0．仿(1)知，当a 、b ∈(0，1)或a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a 、b 不存在．只有当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，＋∞)上为增函数，有⎩⎨⎧==,)(,)(mb b f ma a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11mb bma a 于是a 、b 为方程mx 2－x ＋1＝0的两个大于1的实根． ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-±=>-=∆,12411,041m m x m 只须⎪⎩⎪⎨⎧>-->->,2411,041,0m m m m 解得0＜m ＜41，所以m 的取值范围为0＜m ＜41．例3．（广东省2008届第一次六校（广州深圳中山珠海惠州）联考）设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
已知函数f(x)
函 数1．已知函数f (x ) = lg(ax 2 + 2x + 1)的定义域是R ，实数a 的取值范围 ．已知函数f (x ) = lg(ax 2 + 2x + 1)的值域是R ，实数a 的取值范围 ．2．已知函数奇函数f (x )的定义域为x ∈R ，当x ＜0时，f (x )＝2x 2－x +1，则f (x )的解析式 为 ．3．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ．4．设2≥x ，则函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值是 ． 5．(1)已知函数f (x )是偶函数，则函数f (x －1) 的图象的对称轴是_____．(2)已知函数f (x +3)是偶函数，则函数f (x ) 的图象的对称轴是_______．(3)判断函数y ＝|x －4|－4 9－x 2的奇偶性____. 6．设f (x )是R 上的奇函数，f (x +2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于_____． 函数f (x )对于任意的x 满足f (x +2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝ ． f (x )是偶函数, f (x +2)是偶函数,则函数f (x )的周期是 ．7． 若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是直线x ＝2，非零实数a 的值为 ．8．定义在R 上的函数)(x f ，给出下列四个命题, 其中正确命题的序号为 ．（1）若)(x f 是偶函数，则)3(+x f 的图象关于直线3-=x 对称，（2）若),3()3(x f x f --=+则)(x f 的图象关于点)0,3(对称，（3）若)3(+x f =)3(x f -，且)4()4(x f x f -=+，则)(x f 的一个周期为2，（4）)3(+=x f y 与)3(x f y -=的图象关于直线3=x 对称．9．已知f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，g (x )图象过点(－1,1)，且g (x )= f (x －1)，则f (7)＋ f (8)＝ ．10．已知f (x )是R 上的函数(1) f (x －１) 与f (１－x )的图象关于直线 对称；(2) f (１－x ) 与f (１+x )的图象关于直线 对称；(3)若f (x －１) =f (１－x ) ，则f (x ) 的图象关于直线 对称；(4) 若f (1+x ) =f (１－x ) ，则f (x ) 的图象关于直线 对． 11．(1)函数21x x y +=的单调递增区间是 ，递减区间是 ； (2) 函数xx y 1+=的单调递增区间是 ，递减区间是 ； (3) 函数x x y 1-=的单调递增区间是 ，递减区间是 ； (4) 函数x x y sin -=的单调递增区间是 ，递减区间是 ；(5) 函数x e y x-=的单调递增区间是 ，递减区间是 ； (6) 函数x x y ln -=的单调递增区间是 ，递减区间是 ；(7) 函数x ex y =的单调递增区间是 ，递减区间是 ； (8) 函数x x y ln =的单调递增区间是 ，递减区间是 ．（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）。
函数极限计算练习题
函数极限计算练习题一、确定下列函数的极限：1. 当x趋近于0时，求函数f(x)=3x的极限；解：我们知道，在函数f(x)=3x中，当x趋近于0时，f(x)也应该趋近于0。
即可得出结论，f(x)的极限为0。
2. 当x趋近于正无穷时，求函数g(x)=2x+1的极限；解：根据函数g(x)=2x+1的表达式，我们可以发现随着x的增大，2x+1也会变得越来越大。
因此，当x趋近于正无穷时，g(x)也会趋近于正无穷。
综上，g(x)的极限为正无穷。
3. 当x趋近于负无穷时，求函数h(x)=x^2的极限；解：函数h(x)=x^2是一个二次函数，当x趋近于负无穷时，x^2也会趋近于正无穷。
因此，h(x)的极限为正无穷。
4. 当x趋近于1时，求函数k(x)=(x-1)/(x^2-1)的极限；解：我们可以先化简一下函数k(x)=(x-1)/(x^2-1)，得到k(x)=1/(x+1)。
当x趋近于1时，x+1也会趋近于2，因此k(x)的极限为1/2。
5. 当x趋近于π/4时，求函数m(x)=tanx的极限；解：函数m(x)=tanx是一个三角函数，当x趋近于π/4时，tanx会趋近于1。
所以m(x)的极限为1。
二、利用极限的性质求下列函数的极限：1. 已知函数p(x)=(2x+3)/(x-1)，求lim(x→1) p(x)的值；解：在计算这个极限的时候，我们可以直接将x的值代入函数p(x)中，得到p(1)=(2×1+3)/(1-1)=5/0。
由于分母为0，导致值无穷大，所以lim(x→1) p(x)不存在。
2. 已知函数q(x)=sinx/x，求lim(x→0) q(x)的值；解：函数q(x)=sinx/x是一个特殊的函数，在x趋近于0的时候，sinx/x也会趋近于1。
因此，lim(x→0) q(x)的值为1。
3. 已知函数r(x)=x^2，求lim(x→3) r(x)的值；解：函数r(x)=x^2是一个二次函数，当x趋近于3时，r(x)也会趋近于9。
高考数学试卷选择题
甲醇现货采购合同书范本甲方（买方）：名称：_____________________地址：_____________________联系人：___________________电话：_____________________### 乙方（卖方）：名称：_____________________地址：_____________________联系人：___________________电话：_____________________### 鉴于：甲乙双方本着平等自愿、诚实信用的原则，经协商一致，就甲方购买乙方甲醇现货事宜达成如下合同：## 第一条产品描述1. 产品名称：甲醇2. 规格型号：________________3. 质量标准：符合国家标准GB/T338-20114. 包装方式：散装/桶装## 第二条采购数量及价格1. 采购数量：________________吨2. 单价：________________元/吨3. 总金额：________________元## 第三条交货时间及地点1. 交货时间：________________年____月____日前2. 交货地点：________________## 第四条运输方式及费用承担1. 运输方式：________________（如：公路、铁路、水运等）2. 费用承担：由乙方负责运输至甲方指定地点，运输费用由乙方承担。
## 第五条质量验收1. 甲方在收到货物后____天内进行质量验收。
2. 如发现货物质量不符合合同约定，甲方有权要求乙方更换或退货。
## 第六条付款方式及期限1. 付款方式：银行转账/电汇/承兑汇票等。
2. 付款期限：甲方在验收合格后____天内支付全部货款。
## 第七条违约责任1. 如乙方未能按时交货，每逾期一天，应向甲方支付未交货部分货款____%的违约金。
2. 如甲方未能按时付款，每逾期一天，应向乙方支付未付款部分货款____%的滞纳金。
已知需求函数求反需求函数
已知需求函数求反需求函数一、需求函数和反需求函数的概念需求函数是描述市场上消费者对某个商品或服务需求量的函数关系式。
它将商品的价格、消费者收入、其他相关因素等作为自变量，而商品的需求量作为因变量。
需求函数往往符合价格下降时需求量上升的规律，并且对其他因素的变化也具有相应的反应。
需求函数的形式可以根据实际情况来确定，比较常用的有线性需求函数、常弹性需求函数等。
反需求函数则是需求函数的逆向表达方式，它将商品的需求量作为自变量，而价格、消费者收入、其他相关因素等作为因变量。
通过求解反需求函数，可以推导出当需求量发生变化时，价格、消费者收入等变量的关系。
二、已知需求函数的求反需求函数方法求解需求函数的反函数可以通过数学方法进行，一般常用的方法有以下几种：1.利用代数变换求解对于某个已知的需求函数，例如线性需求函数 Qd = a - bP，其中 Qd 表示需求量，P 表示价格。
要求解其反函数，即 P = f(Qd)。
首先将需求函数转化为价格对需求量的函数关系式，再通过代数变换将关系式中的价格和需求量互换位置，即可求出反需求函数。
2.利用微积分方法求解如果需求函数是连续可微的，可以通过微积分方法求解其反函数。
首先将需求函数表示为以价格为自变量的函数形式，求出需求函数的导函数，然后通过反函数求导的方法，即可得到反需求函数。
三、通过实例求解需求函数的反函数我们以线性需求函数 Qd = 100 - 2P 为例，来演示如何求解其反函数。
1.将需求函数转化为价格对需求量的函数关系式：P = 50 - 0.5Qd2.通过代数变换将关系式中的价格和需求量互换位置：Qd = 50 - 2P这样我们就求得了需求函数的反函数。
四、通过微积分方法求解需求函数的反函数如果需求函数是连续可微的，我们可以通过微积分的方法来求解其反函数。
以线性需求函数 Qd = a - bP 为例，其中 a 和 b 都是常数。
1.将需求函数表示为以价格为自变量的函数形式：P = (a - Qd) / b2.对 P 求导，得到 P 关于 Qd 的导数：dP / dQd = -1 / b3.通过反函数求导的方法，得到反需求函数：dQd / dP = - b这样我们就求得了需求函数的反函数。
函数解析式求解常用的方法
函数解析式求解常用的方法1. 根据已知点的坐标求解：这是最常见的方法之一，假设已知函数通过点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)等，可以根据这些点的坐标关系列出方程组，然后通过求解方程组的方法得到函数解析式。
例如，已知函数通过点(1, 3)和(2, 5)，可以列出方程y=mx+b，然后代入已知点的坐标求解出m和b的值，从而得到函数的解析式。
2. 根据已知函数特点求解：有些函数具有特定的性质和规律，可以通过观察和推导来求解函数解析式。
例如，对于线性函数y=kx+b，可以通过观察斜率k和截距b的特点来确定函数的解析式。
类似地，对于二次函数、指数函数、对数函数等，也可以通过观察其特点来求解函数解析式。
3. 根据函数的定义域和值域求解：定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是指函数的因变量的取值范围。
通过分析函数的定义域和值域的特点，可以得到函数解析式的一些限制条件。
例如，对于反三角函数y=sin^(-1)x，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2,π/2]，因此函数的解析式必须满足这些条件。
4.根据已知函数的导数求解：导数是函数在其中一点的变化率，通过求解函数的导数可以得到函数的变化趋势和特点。
对于已知函数的导数，可以通过积分的方法求解出函数的解析式。
例如，对于导数为f'(x)的函数f(x)，可以通过积分来求解出函数f(x)的解析式。
这是一种比较常用的方法，尤其对于复杂的函数，通过求导和求积分可以得到函数的解析式。
总之，求解函数解析式的方法有很多种，根据不同的函数特点和已知条件选择合适的方法可以更快地得到函数的解析式。
在实际应用中，还可以结合数值计算和图形分析等方法来求解函数解析式，以便更加全面地了解函数的性质和特点。
高考数学函数专项训练
高考数学函数专项训练1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的定义域。
答案：全体实数2. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的图像是怎样的？答案：开口向上的抛物线3. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(2, -1)4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0，若f(x)的图像是开口向上的抛物线，求b的取值范围。
答案：b<05. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0，若f(x)的图像是开口向下的抛物线，求a的取值范围。
答案：a<06. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的导数。
答案：f'(x) = 2x - 27. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 38. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的导数，并判断其单调性。
答案：f'(x) = 2x - 4，单调递增区间为(2, +∞)9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0，求f(x)的导数，并判断其单调性。
答案：f'(x) = 2ax + b，单调递增区间为a>0时，x>-b/2a；单调递减区间为a<0时，x>-b/2a10. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的反函数。
答案：f^(-1)(x) = x + 2 或 x = 2 - x11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的反函数。
答案：f^(-1)(x) = (x - 1)/3 或 x = 3(x - 1) + 112. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的反函数。
(六)抽象函数的周期性
周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。
常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。
一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。
例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。
2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。
3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。
二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。
2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。
3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。
例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。
三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。
2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。
3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。
已知函数图象求函数值练习题
已知函数图象求函数值练习题1. 解析几何题已知函数f(x)的图像经过点A(2,4)，B(4,2)，求f(3)的值。
解析：由题意可知，f(x)的图像经过点A(2,4)，B(4,2)，即f(2)=4，f(4)=2。
根据描点法，可绘制出两个已知点A(2,4)和B(4,2)之间的线段，然后在该线段上找到x=3对应的点P，该点纵坐标对应的即为f(3)的值。
如下图所示：---------------| || A || \|P B|---------------根据图中的线段可知，点P的纵坐标为3.5，因此f(3)的值为3.5。
2. 利用函数公式求函数值已知函数 g(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 g(4) 的值。
解析：根据函数公式 g(x) = 2x^2 - 3x + 1，可以直接将x的值代入函数公式中计算。
将x=4代入函数g(x)中，得到：g(4) = 2(4)^2 - 3(4) + 1= 2(16) - 12 + 1= 32 - 12 + 1= 21因此，g(4)的值为21。
3. 利用函数表格求函数值已知函数 h(x) 的函数表如下：---------------------------------x | -2 | 0 | 3 |---------------------------------h(x)| 5 | -1 | -3 |---------------------------------求 h(-2)、h(0)、h(3) 的值。
解析：根据函数表格可以直接找到对应的函数值。
根据表中的数据，可知：h(-2) 的值为 5h(0) 的值为 -1h(3) 的值为 -34. 根据函数图像求函数值已知函数 j(x) 的图像如下所示：---------------| || || .| |---------------求 j(2) 的值。
解析：根据函数图像可知，函数j(x)的图像经过点(2,1)。
因此，j(2) 的值为 1。
函数的性质练习题
22、.已知函数 的值域为 ，则实数 的取值集合为．
23．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有 ＜0，给出下列四个命题：
25．给定函数f(x)和g(x)，若存在实常数k，b，使得函数f(x)和g(x)对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f(x)和g(x)的.“隔离直线”．给出下列四组函数：
① ；② ；
③ ；④
其中函数f(x)和g(x)存在“隔离直线”的序号是___________．
A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）
C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）
12、定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ，则关于x的方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有根之和为（ ）
A．3﹣a﹣1B．1﹣3﹣aC．3a﹣1D．1﹣3a
A.1 B.0 C.-1 D.-
3、已知 若方程 有三个不的实根，则 的取值范围是
A、 B、 C、 D、
4、. 定义在R上的奇函数 满足 ，且在 .则 （ ）
A. B. C. D.
5、.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，则 的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
6、.已知条件 关于的不等式 有解；条件 为减函数，则 成立是 成立的（）
13、已知R上的奇函数 满足 ，则不等式 的解集是
已知生产函数求成本函数
已知生产函数求成本函数已知生产函数求成本函数一、引言在现代经济学中，生产函数是研究商品生产过程的重要工具。
在生产过程中，我们需要考虑投入和产出之间的关系，那么如何确定成本函数呢？本文将带大家了解已知生产函数求成本函数的方法。
二、生产函数概述生产函数是由经济学家使用的一个重要的工具，在宏观经济中具有广泛的应用。
在生产过程中，生产函数描述了使用特定技术和生产资源进行生产所能生产的最大产量。
生产函数通常表示为：Y = f(K,L)其中，Y代表产量，K代表资本，L代表劳动力。
生产函数也可以写成： Y = A × f(K,L)其中，A代表技术进步或者生产效率等外在因素。
三、成本函数的概述为了生产商品，企业需要消耗各种生产要素，如资本和劳动力。
这些生产要素的成本会影响商品的生产成本。
成本函数是指一定产出水平下，生产所需要的最小成本。
成本函数通常表示为：C = wL + rK其中，w代表单位劳动力的成本，r代表资本的机会成本。
L和K分别代表使用的劳动力和资本的数量。
四、已知生产函数求成本函数的方法已知生产函数，我们可以通过下面的步骤来求解成本函数：1. 对生产函数进行对数化转换，得到：ln Y = ln A + α ln K + (1-α) ln L其中，α代表产出弹性。
我们假设生产函数来自某家企业，且该企业所有的输入要素的成本是已知的，即wL + rK = C2. 对式子进行求导：d(ln Y)/d(ln K) = αd(ln Y)/d(ln L) = 1-α3. 代入成本函数，得到：ln Y = ln A + d(ln Y)/d(ln K) ln K + d(ln Y)/d(ln L) ln Lln Y - ln A = α ln K + (1-α) Lln(Y/A) = α ln K + (1-α) ln Lln(Y/A)-ln L^(1-α) = α ln K4. 求解K：K = (Y/A)/(L^(1-α) × exp(α ln K))5. 将K代入成本函数中，得到：C = wL + r(Y/A)/(L^(1-α) × exp(α ln K))至此，我们就求得了成本函数的表达式。
2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题1. 已知函数的一条对称轴方程为，则函数的单调递增区间为（ ）A．，B ．，C．，D ．，2. 名男生和名女生站一排照相，则名女生互不相邻且都不站两端的站法有（ ）A．种B．种C．种D．种3. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知函数图象的一条对称轴为，若，则的最小值为（ ）A．B ．C．D．5. 图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）A．B．C．D．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．7.记为等差数列的前项和，若，则（ ）A ．144B ．120C ．100D ．808. 已知集合,,若，则的取值是A．B．C．D．9.已知集合，，则的子集个数为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．210. “（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题11. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．12. 已知复数z满足，则（ ）A ．2B．C ．3D ．513. 已知函数令，则下列说法正确的是（ ）A．B ．方程有3个根C．方程的所有根之和为－1D ．当时，14.已知函数（）的初相为，且函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C ．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D ．若函数在区间上的值域为，则15. 已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C ．在上单调递增D ．区间上有且只有一个极值点16. 设函数，则（ ）A．是偶函数B ．在上单调递增C．的最小值为D ．在上有个零点17. 已知向量，，且与共线，则______.18. 若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．19.若等比数列的前项和为，且，，则_____．20. 函数f （x ）=x 2+acosx+bx ，非空数集A={x|f （x ）=0}，B={x|f （f （x ））=0}，已知A=B ，则参数a 的所有取值构成的集合为_____；参数b 的所有取值构成的集合为_____．21.已知函数，则的最小值是________，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为________.22. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）六、解答题七、解答题八、解答题(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.23.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．24. 已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：游客数量（百人）拥挤等级优良拥挤严重拥挤该景区对月份的游客量作出如图的统计数据：(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求，的值；游客数量（百人）天数1041频率(2)估计该景区月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：(3)某人选择在月日至月日这天中任选天到该景区游玩，求他这天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.25.已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．26.如图，多面体中，为正三角形，，平面平面平面．(1)求证：；(2)求该多面体的表面积．九、解答题27. A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A 队、B 队最后所得总分．求：(1)，的分布列；(2)，．28. 向量，如图所示，求：(1)；(2)．。
链式法则 例题
链式法则例题1.已知函数$f(x)=sqrt{2x+1}$，求 $f'(x)$。
解析：首先，我们需要使用链式法则来求 $f'(x)$。
链式法则的公式为：若 $y=f(u)$，其中 $u=g(x)$，则有 $y'=f'(u)g'(x)$。
将 $f(x)=sqrt{2x+1}$ 写成 $y=f(u)$ 的形式，其中 $u=2x+1$，则 $f(u)=sqrt{u}$。
因此，根据链式法则，有：$$f'(x)=f'(u)cdot g'(x)=frac{1}{2sqrt{2x+1}}cdot2=frac{1}{sqrt{2x+1}}$$2. 已知函数 $f(x)=sin(3x^2+2x)$，求 $f'(x)$。
解析：同样地，我们使用链式法则来求 $f'(x)$。
将$f(x)=sin(3x^2+2x)$ 写成 $y=f(u)$ 的形式，其中 $u=3x^2+2x$，则 $f(u)=sin(u)$。
因此，根据链式法则，有：$$f'(x)=f'(u)cdot g'(x)=cos(3x^2+2x)cdot (6x+2)$$3. 已知函数 $f(x)=e^{2cos(x)}$，求 $f'(x)$。
解析：同样地，我们使用链式法则来求 $f'(x)$。
将$f(x)=e^{2cos(x)}$ 写成 $y=f(u)$ 的形式，其中 $u=2cos(x)$，则 $f(u)=e^u$。
因此，根据链式法则，有：$$f'(x)=f'(u)cdot g'(x)=e^{2cos(x)}cdot (-2sin(x))$$4. 已知函数 $f(x)=ln(2x^2+3x+1)$，求 $f'(x)$。
解析：同样地，我们使用链式法则来求 $f'(x)$。
将$f(x)=ln(2x^2+3x+1)$ 写成 $y=f(u)$ 的形式，其中$u=2x^2+3x+1$，则 $f(u)=ln(u)$。
专题09 函数的最值(原卷版)
专题09 函数的最值考点一 求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；(3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________．(2)函数f (x )＝12x 2＋x －2ln x 的最小值为 ． (3)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为 ．(4)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．(5)设正实数x ，则f (x )＝ln 2 x xln x 的值域为________． (6)已知函数f (x )＝eln x 和g (x )＝x ＋1的图象与直线y ＝m 的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1－x 2的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ (7)已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．(8)(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e|x |，则下列选项正确的是( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e＋1 [例2] 已知函数f (x )＝e x cos x －x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．[例3] (2017·浙江)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝⎛⎭⎫x ≥12．(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围．[例4] (2021·北京)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a ．(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值．[例5] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【对点训练】1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．1e B ．2e 2 C ．0 D ．12e2．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是()A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对4．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的值域为( )A ．⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3B ．⎣⎡⎦⎤0，4π3－3C ．⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0，2π] 5．设0<x <π，则函数y ＝2－cos x sin x的最小值是________． 6．若曲线y ＝x e x ＋m x ＋1(x <－1)存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为________． 7．已知实数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则2x ＋1＋3y ＋1的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝ln x －ax ，其中x ∈[)1，＋∞，若不等式f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[)1，＋∞B ．⎝⎛－∞， ⎦⎤1－1e C ．⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ D ．[)0，＋∞ 9．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．010．(多选)已知函数f (x )＝ln x x，g (x )＝x e －x ，若存在x 1∈(0，＋∞)，x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)成立， 则下列结论正确的是( )A ．ln x 1＝x 2B ．ln(－x 2)＝－x 1C ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12·e k 的最大值为4e 2D ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12·e k 的最大值为1e 211．设函数f (x )＝x 2＋1－ln x ．(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．13．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．考点二 已知函数的最值求参数的值(范围)【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．(2)若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．233D ．0 (3)函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是________．(4)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在最大值0，则a ＝________．(5)(多选)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a ＜0)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，则a 的取值可能为( ) A ．－6 B ．－5 C ．－4 D ．－3(6)设函数f (x )＝e x －cos x －2a ，g (x )＝x ，若存在x 1，x 2∈[0，π]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则x 2－x 1的最小值为1时，实数a ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1 【对点训练】1．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2，2]上有最小值－37，则a 的值为____________， f (x )在[－2，2]上的最大值为________．2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．522．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]3．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，0) B ．(－5，0) C ．[－3，0) D ．(－3，0)4．已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________． 5．已知函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( ) A ．3－1 B ．34 C ．43D ．3＋1。
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二次函数1.(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)(文20)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故(Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解当1x <时，2210x x +-≤，解得1x -≤≤因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅲ）(文20)()()()21211h x x x λλ=-++-+ ①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=-②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为ⅰ）111, 1.1λλλλ-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ）111,10.1λλλλ->-≥--<≤+当时,解得0.λ≤综上，2、 已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=2122log 2222m m mx x x f 的定义域为实数集。
（1）求实数m的所有允许值组成的集合M ；（2）求证：对所有m M ∈，恒有 ()2≥x f 。
证明（1）∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=2122log2222m m mx x x f 的定义域为实数集(){}Rm m m m M mm mm m m mmmx x∈>-<=<-+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=∆>-++-，或∴∴∴恒成立∴22021202124202122224222222（2）令()()212122222222-++-=-++-=mmm x mm mx xx u()()24loglog422221221222222min =≥=+≥+-+-=-+=x u mmmm x u ∴∴3.设)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，)(x g 的图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当[]3,2∈x 时，cx xx g ++-=4)(2（c 为常数）。
（1）求)(x f 的表达式；（2）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：12122)()(x x x f x f -<-； （3）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：≤-)()(12x f x f 1. 解：（1）设g (x )上点),(00y x Q 与f (x )上点P （x ，y ）对应， ∴x x y y -==2,00 ；∵),(00y x 在g （x ）图象上∴c x c x x x c x x y ++=+-+-+-=+-+--=44844)2(4)2(222∵g (x )定义域为x ∈[2,3]，而f （x ）的图象与g （x ）的图象关于直线x =1对称， 所以，上述解析式是f (x )在[–1，0]上的解析式 ∵f (x )是定义在[–1,1]上的奇函数，∴f (0)=0，∴c =–4 所以，当x ∈[0，1]时，–x ∈[–1，0]，f (x )=–f (–x )=–2x所以⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈-=]1,0(,4]0,1[,)(22x x x x x f（2）当x ∈[0，1]时，|))((||||)()(|1212212212x x x x x x x f x f +-=-=-∵2121],1,0[,x x x x ≠∈，∴2021<+<x x ，所以||2|)()(|1212x x x f x f -<-（3）∵]1,0[,21∈x x ，∴10,102122≤≤≤≤x x∴112122≤-≤-x x ，∴1||2122≤-x x 即1|)()(|12≤-x f x f4..对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）.（1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.解：（1）当a =1，b =－2时，f （x ）=x 2－x －3=x ⇔x 2－2x －3=0⇔（x －3）（x +1）=0⇔x =3或x =－1，∴f （x ）的不动点为x =3或x =－1.（2）对任意实数b ，f （x ）恒有两个相异不动点⇔对任意实数b ，ax 2+（b +1）x +b －1=x 恒有两个不等实根⇔对任意实数b ，Δ=（b +1）2－4a （b －1）＞0恒成立⇔对任意实数b ，b 2+2（1－4a ）b +1+4a ＞0恒成立⇔Δ′=4（1－4a ）2－4（1+4a ）＜0⇔（1－4a ）2－（1+4a ）＜0⇔4a 2－3a ＜0⇔a （4a －3）＜0⇔0＜a ＜43.5．若y=log a (2-ax)在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[2，+∞)分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log a (2-ax)有意义，即a ＞0且a ≠1，2-ax ＞0．②使log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u ，u=2-ax ，其中u=2-ax 在a ＞0时为减函数，所以必须a ＞1；③[0，1]必须是y=log a (2-ax)定义域的子集．解法一：因为f(x)在［0，1］上是x 的减函数，所以f(0)＞f(1)， 即log a 2＞log a (2-a)．解法二：由对数概念显然有a ＞0且a ≠1，因此u=2-ax 在［0，1］上是减函数，y= log a u 应为增函数，得a ＞1，排除A ，C ，再令故排除D ，选B ．6．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调．（Ⅰ）求字母,,a b c 应满足的条件；（Ⅱ）设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．6．解：（1）(0)00f c =⇒= ；()()00f x f x a +-=⇒=．2'()3f x x b =- ，若()f x [1,)x ∈+∞上是增函数，则'()0f x ≥恒成立，即2min (3)3b x ≤= 若()f x [1,)x ∈+∞上是减函数，则'()0f x ≤恒成立，这样的b 不存在． 综上可得：0,3a c b ==≤．（2）（证法一）设0()f x m =，由00[()]f f x x =得0()f m x =，于是有30030 (1)(2)x bx m m bm x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，（1）－（2）得：33000()()x m b x m m x ---=-，化简可得22000()(1)0x m x mx m b -+++-=，001,()1x f x m ≥=≥ ，22001410x mx m b b ∴+++-≥-≥>，故00x m -=，即有00()f x x =．（证法二）假设00()f x x ≠，不妨设00()1f x a x =>≥，由（1）可知()f x 在[1,)+∞上单调递增，故000[()]()()f f x f a f x x =>>，这与已知00[()]f f x x =矛盾，故原假设不成立，即有00()f x x =．结合图象可以得到一系列与二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结：（1）方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）＜0.（2）二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.0)(,2,042r f a r a bac b Δ （3）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=⇔.0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b Δ （4）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.（5）方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩⎨⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：（1）二次不等式f （x ）=ax 2+bx +c ≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞）⇔a ＜0且f （α）=f （β）=0.（2）当a ＞0时，f （α）＜f （β）⇔|α+ab 2|＜|β+ab 2|；当a ＜0时，f （α）＜f （β）⇔|α+ab 2|＞|β+ab 2|.（3）当a ＞0时，二次不等式f （x ）＞0在［p ，q ］上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧><-0)(,2p f p a b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤0)2(,2a b f q ab p 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-.0)(,2q f q a b（4）f （x ）＞0恒成立⇔⎩⎨⎧<>0,0Δa 或⎩⎨⎧>==;0,0c b af （x ）＜0恒成立⇔⎩⎨⎧<<0,0Δa 或⎩⎨⎧<==.0,0c b a7、已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f （x ）≤212+x对一切实数x 都成立？解：∵f （x ）的图象过点（－1，0）， ∴a －b +c =0①∵x ≤f （x ）≤212+x对一切x ∈R 均成立，∴当x =1时也成立，即1≤a +b +c ≤1. 故有a ＋b ＋c ＝1.②由①②得b =21，c =21－a . ∴f （x ）＝ax 2＋21x ＋21－a .故x ≤ax 2＋21x ＋21－a ≤212+x对一切x ∈R 成立，也即⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥-+-02)21(,0212122a x x a a x ax 恒成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->≤--≤--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≤≤⇔.021,0,0)21(81,0)21(44102100021a a a a a a a a ΔΔ 解得a =41.∴c =21－a =41.∴存在一组常数a =41，b =21，c =41，使不等式x ≤f （x ）≤212+x对一切实数x 均成立.评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法.9．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．20、（本题共12分）已知函数2()lg(1)f x x tx =++（1）当52t =-，求函数()f x 的定义域；（2）当[0,2]x ∈，求()f x 的最小值（用t 表示）；（3）是否存在不同的实数,a b ，使得()lg ,()lg f a a f b b ==，并且,(0,2)a b ∈，若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由。