4.3关系的性质(现在)

证明：a,b∈A,如a≠b,且<a,b>∈R∩S, 则<a,b>∈R且<a,b>∈S,因R,S是反对称关系, ∴<b,a>R且<b,a>S， ∴〈 b,a 〉R∩S,所以R∩S也是反对称关系。 注意: <1>R,S均是反对称关系,未必能得出RS 是反对称关系。 <2>存在关系,它既不是对称的,也不是反对称的；但是也存在关系, 它既是对称的,也是反对称的， 如； <3>空关系,恒等关系即是对称,也是反对称,
例:实数集上的≤关系具有传递性
因若x≤y,y≤z必有x≤z。
其它如全域关系EA,空关系,恒关系A均具有传递性。
传递关系的关系图的特点
如R是传递关系,如果边e1(<x,y>)和e2 (<y,z>)是首尾相连，则必须有有向弧从e1 的起始点到e2的终点(<x,z>),否则R就不是 传递的。
R={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<a,c>}
反对称举例2：整除
R是N上的整除关系,即 R＝{<x,y>|x,y∈N,y/x∈N}, 显然,如果x能整除y,且x≠y, 则y不能整除x。所以R是反对称的。
注意:存在两数a、b∈N, a不能整除b,b也不能整
除a, 即<a,b>R,<b,a>R。
反对称举例3：包含
A是某集合,R是P(A)上的包含关系。 因u、v∈P(A),如u≠v,且uv,则必有v u, 所以,包含关系R是反对称关系。
<y,x>∈R
R1＝{<1,1>,<2，3>,<3,2>},R1是对称的， R2＝{<1,1>,<3,3>},R2是对称的， R3＝{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,1>}, R3不是对称的,因<3,1>∈R,而<1,3>R。
说明:
<1>由定义得如R是对称关系,则如 <a,b>R， 则必有〈b，a〉R。
R是反对称关系,则其关系矩阵如果在非对 角元上rij＝1,则在其对称位置上,rji＝0,即rij 和rji(i≠j)这两个数至多一个是1,但允许两个 均为0。
其关系图的特点是:任何两个不同的结点之
间,至多有一条弧,但允许是没有弧。
结论
R是A上反对称关系的充要条件是RR－
1 A。
设R和S是A上的反对称关系, 则R－1,RS,也是A的反对称关系。
全关系EA不是反对称的。
五、传递性
设R是A上的关系, a,b,c∈A,如果<a,b>∈R,<b,c>∈R, 则必有<a,c>∈R,则称R为A上的传递关系, 或称R具有传递性。
传递性举例1
R1＝{<x,y>,<z,x>,<z,y>}, 是传递关系。 R2＝{<a,b>,<c,d>} 也是传递关系,它并没有违背定义的要求。 R3＝{<a,b>,<b,a>},R3不是传递关系， 因<a,b>∈R,<b,a>∈R,但<a,a>,<b,b>
3)、复数C集合上，(a+bi)R(c+di)当且仅当ad=bc。
虚数
1、自反性；
3 2
2、对称性；
3、传递性；任取：
1 2 3
实数
1
-2
-1
-1 -2
(a+bi)R(c+di) ∈R ad=bc
(c+di) R (e+fi) ∈R cf=de 从而，adcf=bcde
A上关系R的性质
R是自反的IA R R是反自反的R∩IA= R是对称的R-1 R R是反对称的R-1 ∩R= R是传递的R2 R
对称关系的关系矩阵和关系图
对称关系的关系矩阵是对称矩阵,即rij＝rji， 因rij=1 <ai,aj>∈R < aj,ai >∈Rrij=1
∴一切i,j,rij＝rji
对称矩阵的关系图的特点是任何两个不同的结 点之间，或者是一来一回两条弧，或者是没有 弧。是否有自回路，对对称性没有影响。
自反关系的关系图的每个结点均没有自回路。
R是A上的关系，则：
（1）R是自反关系的充要条件是IA R
（2）R是反自反关系的充要条件是R∩IA=Ф。 定理：设R，S是A上的自反关系，则R-1，R∪S， R∩S，也是A上的自反关系。 证明： a∈A,因R,S是自反关系,
∴<a,a>∈R，<a,a>∈S，
均不属于R,所以R不是传递的。
传递性举例2
例：整除关系DN是N上的传递关系
证明: x,y,z∈N,如<x,y>∈DN,<y,z>∈DN,
即x能整除y,且y能整除z,则必有x能整除z,即<x,z>∈DN。所以整 除关系具有传递性。
பைடு நூலகம்
例:P(A)上的包含关系,具有传递性
因若uv,vw,则必有uw。
例如：
设R和S是集合A上的二元关系。S={<a,c>| b∈A(<a,b>
∈R∧<b,c> ∈R)}， 证明：如果R是自反、对称、传递的，那么S也是自反、对称、 传递的。
显然，S=R2。
证明：1）R是自反的， IA R ， IA R，∴ IA2 R2，即IA S， S是自反的； 2）R是对称的 R-1 R ， R-1 R ，∴ R-2 R2 S-1 S S是 对称的
3）R是传递的R2 R ，R2 R ∴ R4 R2 S2 S S是传递
的
a b c d
结论
R是传递关系的充要条件是Rο RR
设R,S是A上的传递关系,
则R-1, RS也是A上的传递关系
R1是Z上的模5同余关系；R2、R3如下图。
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R1 R2
√ √
√ √
√
R3
IA EA < |（整除）
×
×
√
×
√ √ √
×
√ √
×
√ √ √
R为A上的反对称关系 <x,y>∈R,都有<y,x>R
<x,y>∈R, 如果<y,x> ∈R ，则有
x=y
反对称举例1
设A＝{a,b,c},A的关系R,S,T为 R＝{<a,a>,<b,b>}, S＝{<a,b>,<a,c>}, T＝{<a,b>,<b,a>,<a,c>} R, S是反对称的。而T不是反对称的, 因<a,b>∈R,且<b,a>∈R。
<2>诸如<a,a>,<b,b>这种有序对是否属于
R,对R的对称性，没有影响。
对称性举例1
R是Z上的模5同余关系,则R是对称关系， 证明:(略) 其余，人与人的同学关系，同姓关系，同 年龄关系也是对称关系。
对称性举例2
1 0 A( R1 ) 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 A( R2 ) 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
A上的全域关系EA,空关系,恒等关系A, 均是对称关系。
结论:
R是A上对称关系的充要条件是R－1＝R。
四、反对称关系
如果R是A上的关系,
a,b∈R如果<a,b>∈R且<b,a>∈R，
则必有a＝b,称R是A上的反对称关系, 该定义的等价说法： a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R, 则必有<b,a>R。即 两个不同点结点间不允许有两条弧。
<y,x>R
反对称矩 阵
<x,z> ∈R
关系 矩阵
对称矩阵
关系
图 充要 条件
结点都有
环
结点都没
有环
边是成对出现
的
<x,y>,<y,z>的
边是单边
首尾相接的，
必有<x,z>
IA R
IA ∩R=
R－1=R
R－1∩R=
R2 R
例题：下列关系有什么性质？
1)、整数集合上，iRj当且仅当|i-j|≤10； 2)、实数集合上，xRy当且仅当x ≤|y| 3)、复数集合上，(a+bi)R(c+di)当且仅当 ad=bc。
1)、整数集合上，iRj当且仅当|i-j|≤10；
1、自反性； 2、对称性；
3、没有传递性；例如：<2,10>∈R，
<10,15>∈R，但是<2,15> R
2)、实数集合上，xRy当且仅当x ≤|y|
1、自反性； 2、没有对称性；例如： 5 ≤|7| ，<5,7> ∈R，但是 <7, 5> R 。 3、没有反对称性；例如： <-5,1> ∈R， <1, - 5> ∈R 。 4、没有传递性 7≤|-8| ， -8≤|1| ，但是，7 ≤|1| 不成立。
反对称举例4：≤
R是实数集合上≤的关系 因x,y∈实数集,如x≠y,且x≤y, 则y≤x不成立,则≤关系是反对称关系。 按定义12,如x≤y,且y≤x,则必有x＝y, 所以≤是一个反对称关系。 其它例如≥,<,>关系,人与人的父子关系, 领导与被领导关系均是反对对称关系。