2019版高考数学二轮复习 专题一 常考小题点 2.1.4 数学文化背景题专项练课件 文
2019年高考数学(文科)二轮专题辅导教师用书：第一部分 第三层级 难点、自选板块
难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，x ≤a ，h x ，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2.法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x4＝－x 2－x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a －x 消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a－x 消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5. 设h (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5， 则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点． 于是，结合图形知，当0<a <1或a >9时， 直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )均有4个交点． 所以a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) [技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf ′(x )－f (x )<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F (x )＝f xx.因为f (x )是奇函数，故F (x )是偶函数，F ′(x )＝xfx －f xx 2，易知当x >0时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (－1)＝0，则f (1)＝0，于是F (－1)＝F (1)＝0，f (x )＝xF (x )，解不等式f (x )>0，即找到x 与F (x )的符号相同的区间，易知当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f (x )是多项式函数，因为f (x )是奇函数，所以它只含x 的奇次项．又f (1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )能被x 2－1整除．因此可取f (x )＝x －x 3，检验知f (x )满足题设条件．解不等式f (x )>0，得x ∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx .2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (2)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(3)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx (x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx n(x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e xf (x )； (7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xex.[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞解析：选B 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋ 2 019e x<0⇔f xex<－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x<0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋k π＋π4ω＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1，可知ω为正奇数(ω>0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π36－π18得⎩⎪⎨⎪⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12.又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6， 即2πω≥π6⇒0<ω≤12.① 又由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z)，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z)．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12. (1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9， 此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，符合题意；当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③ 由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调，舍去；当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k ∈Z)；③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2.法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －a 42＋a 28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，知t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]． 答案：(－∞，2][例2] 已知2，且(2＋b )(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4，所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合 由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝asin A·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ， 令g (B )＝sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋14.由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号， 所以△ABC 的面积的最大值为 3. [答案]3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin B cos B， 由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19λAB ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sinπ3＝32，故选A. 法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A. 法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝ABsin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2562＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π.答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P BCD ＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF .DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P BCD ＝16DC ·ADBD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得ADDB＝2sin(150°－α)，DC ＝α－sin α，则V P BCD ＝23×－αα－sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P BCD ≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12.法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝32，所以四面体P BCD 的体积V P BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈(－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD 的距离AF ＝3＋t 1＋t2，又DC ＝3－t ，于是V P BCD ＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t 21＋t 2＝1641＋t2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P BCD ≤f (0)＝12，此时D 在原点．[答案]12[系统归纳] 空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选 A.法三：利用直角三角形的三角函数 设点M (－c ，y 0)，则－c2a 2－y 20b2＝1，由此解得y 2＝|MF 1|2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－a 2a 2＝c 2－a 22a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24， 从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c2c 2－a 22a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－5⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2＝0， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2＝0， ∵c a>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，324C ．(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫324，＋∞解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b am ，则有AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b 2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：3＋m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy. 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －xy 1－a 2－x 2y＝2ay x 2＋y 2－a 2y 2＝2ay x 2＋y 2－a 2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a2＝2ab 2－c 2y . 又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1.同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a2a 2－x 2x 2－a 2＝－b 2a2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3.根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33m－3t ＋m3＝0的两个根，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22， 即12＝1－m31＋m 29＋k 21＋k 22.由k 1·k 2＝－m3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ，所以1－m31＋m 29＋k 21＋k 22≤1－m31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝ ⎛⎭⎪⎫m3＋12，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m<0.同理，12＝1－3m1＋9m2＋k 21＋k 22≤1－3m1＋9m 2＋6m，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263 C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k ，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k ，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253， 即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0，∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k2t ＋2k2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt＋2k2. ∵点P 在椭圆上，∴k 22t 2＋2k22＋2×－4k2t 2＋2k22＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12 |OA ―→|·|OB ―→|2－|OA ―→|·|OB ―→|cos θ2＝12 |OA ―→|·|OB ―→|2－OA ―→·OB―→2＝12 x 21＋y 21x 22＋y 22－x 1x 2＋y 1y 22＝12x 1y 2－x 2y 12＝12|x 1y 2－x 2y 1|. 法二：双根法 设直线AB的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x 得y2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. [答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.①所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n 4＋m 2.由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m2，－mn 4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝＋m 2216＋m2.② 设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝＋m 2m 2＋2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)， 则S 2＝48×tt 2＋24t ＋144＝48t ＋144t＋24≤482t ·144t＋24＝1，当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，等号成立，此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55。
2019年高考文科数学二轮复习分专题解答题训练共八套 Word版附答案及解析
2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。
2019高考数学二轮(文科)小题专项练习(四) 解析版
又＝＝＝，
∴a＝5，b＝5，
∴a＋b＝5＋5，故选A.
11．A∵absinC＝20sinB，
∴abc＝20b，
即ac＝20，
∴b2＝a2＋c2－2accosB＝41－40×＝36，
∴b＝6，故选A.
12．D由题可知∵AC＝2，
sinA＝sin＝cosα＝，
sinB＝sin＝cos2α＝2cos2α－1＝，
在△ABC中，sinB≠0，sinA≠0，∴2cosA＋＝0，
∴cosA＝－，
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝3c2＋c2＋2c2·＝7c2，
∴＝，故选D.
10．A∵tan＝，∴tanA＝，∴sinA＝，cosA＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
∵S△ABC＝25，∴S△ABC＝absinC＝ab＝25，
7．B由＝sin2θ，
得＝2sinθcosθ，
即2(cosθ＋sinθ)＝2sinθcosθ，
∴1＋2sinθcosθ＝3sin2θcos2θ，
∴sinθcosθ＝－，或sinθcosθ＝1(舍)，
∴sin2θ＝－，故选B.
8．D由sinα－cosα＝，
得sin2α－2sinαcosα＋2cos2α＝3sin2α＋3cos2α，
小题专项练习(四)三角恒等变换
与正余弦定理os2＝＝＝，故选C.
2．B∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝＝，
∴tanα＝，
∴tan＝＝－，故选B.
3．D由正弦定理得＝，
∴sinB＝，
又>2，B∈(0，π)，∴B＝或B＝，
∴cosB＝或cosB＝－，故选D.
4．B∵α∈，
2019版高中数学二轮复习高考小题专练8套
＝1，当点 A 从( 3， 0)移动到 ( 2，0)时， x 从 23变到 22，∴圆心角变化 π4－π6＝
1π2，∴ D 经过的路程为 1π2×1＝1π2，故选 D．
10．设集合 A＝{( x，y)||x|＋|y|≤1} ，B＝{( x，y)|(y－x)(y＋x)≤0} ，M ＝A∩B， 若动点 P(x，y)∈M，则 x2＋(y－1)2 的取值范围是 ( )
现要在曲线 PQ 上任一处 M 建一座码头， 向 B，C 两地转运货物． 经测算， 从 M 到 B 和 M 到 C 修建公路的费用均为 a 万元 /km，那么修建这两条公路的总费用 最低是 ________万元．
Hale Waihona Puke 解析： 以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标
系，则 A(－2,0)，B(2,0)，C(3， 3)，由 |MA|－|MB|＝2 知点 M 的轨迹，
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 选 C 由|a||b||cos 〈 a，b〉|＝|a||b|，得 cos 〈a，b〉＝ ±1，即〈 a，
b〉＝0 或 π，∴a∥b, 由 a∥b，得向量 a 与 b 同向或反向，∴〈 a，b〉＝0 或 π，
∴|a·b|＝|a||b|，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件，故选 C．
k＝
1－ 0 －2－1＝－
13，设直线
y＝a(x
－1)与 y＝ ex 相切于 (x0，ex0)，则切点处的导数值为 ex0，则过切点的直线方程为
y－ ex0＝ ex0(x－ x0)，又切线过 (1,0)，则－ ex0＝ex0(1－ x0)，∴ x0ex0＝ 2ex0，得 x0 ＝2，此时切线的斜率为 e2，由图可知，要使函数 g(x)＝f(x)－ ax＋ a 存在零点，
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
2019届高考数学二轮复习特色专项训练及解析
2019届高考数学二轮复习特色专项训练小题强化练(一) 综合提能练(1)1．设集合P ＝{x ||x －1|<1}，Q ＝{x |－1<x <2}，则P ∩Q ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，12 B ．(－1，2) C ．(1，2)D ．(0，2)2．若复数z 满足(1＋i)z ＝1－2i 3，则|z |＝( ) A.102 B ．32C ．22D ．123．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(k ，2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．－1D ．64．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，a 5＝10，则a 16＝( ) A ．－32 B ．12 C ．16D ．325．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ⊂α，则m ⊥βB ．若m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC ．若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αD ．若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，现将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4C ．g (x )＝2cos 2xD ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 7．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该“阳马”的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A.863πB ．86πC ．6πD ．24π8．已知函数f (x ＋2)(x ∈R )为奇函数，且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x2 018，则f (2 018)＝( )A ．2 018B ．12 018C ．11 009D ．09．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是( )A ．n ≤7?B ．n >7?C ．n ≤6?D ．n >6?10．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1>AB ＝AD ，设直线A 1B 与直线AD 1，B 1D 1所成的角分别为α，β，则( )A ．60°<α<90°，60°<β<90°B ．60°<α<90°，0°<β<60°C ．0°<α<60°，60°<β<90°D ．0°<α<60°，0°<β<60°11．如图，等腰梯形ABCD 的高为1，DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为两腰上的点，且AF →·BE →＝－8，则CE →·DF →的值为( )A ．－10B ．－8C ．－6D ．－412．已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为( )A.329 B ．169C ．89D ．4913．已知a ＝213，b ＝⎝⎛⎭⎫1223，则log 2(ab )＝________．14．如图是调查某学校高三年级男、女学生是否喜欢篮球运动得到的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生、女生各500名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢篮球运动的学生中按分层抽样的方法抽取32人，则抽取的男生人数为________．15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为________．16．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．参考答案与解析小题强化练小题强化练(一) 综合提能练(1)1．解析：选D.由题意知P ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，Q ＝{x |－1<x <2}，所以P ∩Q ＝{x |0<x <2}．故选D.2．解析：选A.z ＝1－2i 31＋i ＝1＋2i 1＋i ＝（1＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i 2，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝94＋14＝102.故选A. 3．解析：选B.由题可知3a －b ＝(6，3)－(3，4)＝(3，－1)，c ＝(k ，2)，因为(3a －b )∥c ，所以－k ＝2×3，k ＝－6.故选B.4．解析：选D.设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4a 1＋4×32d ＝20，得2a 1＋3d ＝10 ①，由a 5＝10，得a 1＋4d ＝10 ②，根据①②可得a 1＝d ＝2，所以a 16＝a 1＋15d ＝32.故选D.5．解析：选C.对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误．6．解析：选D.根据函数f (x )的图象可知A ＝2，T 4＝5π8－3π8＝π4，得T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5π8，－2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π8＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝－1，5π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－7π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 7．解析：选C.由题可知，该“阳马”为四棱锥，记为P ABCD ，将其放入长方体中如图所示，则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线，易知AD ＝AP ＝1，AB ＝2，所以PC ＝12＋12＋22＝6，所以外接球的半径为PC 2＝62，故该球的体积为4πR 33＝4π3×64×62＝6π.故选C.8．解析：选D.由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，所以f (x )＝－f (－x ＋4)，又f (x )＝f (－x ＋2)，所以－f (－x ＋4)＝f (－x ＋2)，所以－f (－x ＋2)＝f (－x )，所以f (－x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的周期为4，故f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.9．解析：选D.执行程序框图，s ＝0，a ＝2，n ＝1， s ＝s ＋a ＝2，a ＝a ＋2＝4，n ＝n ＋1＝2； s ＝s ＋a ＝6，a ＝a ＋2＝6，n ＝n ＋1＝3； s ＝s ＋a ＝12，a ＝a ＋2＝8，n ＝n ＋1＝4； s ＝s ＋a ＝20，a ＝a ＋2＝10，n ＝n ＋1＝5； s ＝s ＋a ＝30，a ＝a ＋2＝12，n ＝n ＋1＝6； s ＝s ＋a ＝42，a ＝a ＋2＝14，n ＝n ＋1＝7；s ＝s ＋a ＝56，a ＝a ＋2＝16，此时符合判断框中的条件，退出循环． 所以判断框中的条件可以为“n >6？”．10．解析：选C.根据题意不妨取AA 1＝2，AB ＝AD ＝1，连接BD ，BC 1，A 1C 1，A 1D ，则AD 1∥BC 1，B 1D 1∥BD ，则直线A 1B 与直线AD 1所成的角即∠A 1BC 1，直线A 1B 与直线B 1D 1所成的角即∠A 1BD .易知A 1B ＝BC 1＝A 1D ＝5，A 1C 1＝BD ＝ 2.易知α＝∠A 1BC 1，β＝∠A 1BD ，在△A 1BD 中，易求得tan β＝3，在△A 1BC 1中，易求得tan α＝34，易知0°<α<90°，0°<β<90°，故0°<α<60°，60°<β<90°.11．解析：选D.设AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋xBC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋yAD →，则AF →·BE →＝－AB→2＋yAB →·AD →＋xBC →·BA →＋xyBC →·AD →＝－16＋4(x ＋y )，由AF →·BE →＝－8，得x ＋y ＝2，而CE →＝CD →＋DE →＝CD →＋(1－y )DA →，DF →＝DC →＋CF →＝DC →＋(1－x )CB →，于是CE →·DF →＝－CD →2＋(1－y )DA →·DC →＋(1－x )CB →·CD →＋(1－x )(1－y )CB →·DA →＝－4－2[(1－y )＋(1－x )]＝－4.故选D.12．解析：选A.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以⎝⎛⎭⎫23x 1＋13x 22a2－⎝⎛⎭⎫23y 1＋13y 22b2＝1.易知点A 在直线y ＝b a x 上，点B 在直线y ＝－bax 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－bax 2，所以⎝⎛⎭⎫23x 1＋13x 22a 2－⎝⎛⎭⎫2b 3ax 1－b 3a x 22b 2＝1，即⎝⎛⎭⎫23x 1＋13x 22b 2－⎝⎛⎭⎫2b 3a x 1－b 3a x 22a 2＝a 2b 2，化简可得a 2＝89x 1x 2. 由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx ＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b a⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝2ab b 2＋a2，所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21×x 22＋y 22×sin ∠AOB ＝12x 21＋⎝⎛⎭⎫b a x 12×x 22＋⎝⎛⎭⎫－b a x 22×2ab b 2＋a 2＝x 1x 21＋⎝⎛⎭⎫b a 2×1＋⎝⎛⎭⎫b a 2×ab b 2＋a 2＝98a 2×ab b 2＋a 2×⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝98a 2×ab b 2＋a2×b 2＋a 2a 2＝98ab ＝2b ，得a ＝169，所以双曲线C 的实轴长为329.故选A.13．解析：a ＝213，则log 2a ＝13，b ＝⎝⎛⎭⎫1223＝2－23，则log 2b ＝－23，所以log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ＝13－23＝－13.答案：－1314．解析：根据等高条形图可知，喜欢篮球运动的女生人数为500×0.2＝100，男生人数为500×0.6＝300，所以喜欢篮球运动的学生总人数为400，分层抽取32人，抽取的男生人数为300400×32＝24.答案：2415．解析：由题可知，△APF 为直角三角形，设直线AP 与以AF 为直径的圆的另一个交点为B ，则BF ⊥AB ，因为AF ＝PF ＝p ，所以BF ＝p 2－4，易知AF 2＝AB ×AP ，所以AP ＝p 22，又12AP ×BF ＝12AF ×PF ，即p 22×p 2－4＝p 2，解得p ＝2 2. 答案：2 216．解析：f ′n (x )＝x 2－2a n x ＋a 2n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]．令f ′n (x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f ′8(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8.当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1，5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1，2个为1.所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 28＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 28＝1 176.答案：1 176。
2019年高考数学(文科)二轮专题辅导教师用书：第一部分 第三层级 难点、自选板块
难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a . 当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5.设h (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点． 于是，结合图形知，当0<a <1或a >9时， 直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )均有4个交点． 所以a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) [技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf ′(x )－f (x )<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F (x )＝f (x )x .因为f (x )是奇函数，故F (x )是偶函数，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，易知当x >0时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (－1)＝0，则f (1)＝0，于是F (－1)＝F (1)＝0，f (x )＝xF (x )，解不等式f (x )>0，即找到x 与F (x )的符号相同的区间，易知当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f (x )是多项式函数，因为f (x )是奇函数，所以它只含x 的奇次项．又f (1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )能被x 2－1整除．因此可取f (x )＝x －x 3，检验知f (x )满足题设条件．解不等式f (x )>0，得x ∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . 2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (2)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)； (3)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )；(7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x .[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选B 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋2 019e x <0⇔f (x )e x <－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π4ω ＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1， 可知ω为正奇数(ω>0)．由⎩⎨⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝⎛⎭⎫5π36－π18得⎩⎨⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12.又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝⎛⎭⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝⎛⎭⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6，即2πω≥π6⇒0<ω≤12.①又由题意可得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z )，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z )．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12.(1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去； 当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)； ③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2. 法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －a 42＋a28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，知t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]．答案：(－∞，2][例2] 已知a a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.[答案] 3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin B cos B ，由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝⎛⎭⎫1－19λAB ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝⎛⎭⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32. 因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32， AE ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→ 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sin π3＝32，故选A.法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA ＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝AB sin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝⎛⎭⎫AD 22＝⎝⎛⎭⎫2562＋⎝⎛⎭⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π. 答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P -BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P -BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P -BCD ＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF . DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P -BCD ＝16DC ·AD BD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得ADDB ＝2sin(150°－α)，DC ＝2sin (α－30°)sin α，则V P -BCD ＝23×sin (150°－α)sin (α－30°)sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝⎛⎭⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P -BCD≤23⎝⎛⎭⎫1－14＝12. 法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝⎛⎭⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝⎛⎭⎫2322＝32，所以四面体P -BCD 的体积V P -BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈ (－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD 的距离AF ＝3＋t 1＋t2，又DC ＝3－t ，于是V P -BCD＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t 21＋t 2＝1641＋t 2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P -BCD ≤f (0)＝12，此时D 在原点． [答案]12[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P -BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S -ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法三：利用直角三角形的三角函数设点M (－c ，y 0)，则(－c )2a 2－y 20b 2＝1，由此解得y 20＝|MF 1|2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－a 2a 2＝(c 2－a 2)2a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24，从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c 2(c 2－a 2)2a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝⎛⎭⎫c a 4－5⎝⎛⎭⎫c a 2＋2＝0，即⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫c a 2－1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a 2－2＝0， ∵ca >1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，324 C ．(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫324，＋∞ 解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P ⎝⎛⎭⎫m ，b a m ，则有AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b 2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：x 3＋y m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy . 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －xy1－a 2－x 2y 2＝2a yx 2＋y 2－a 2y 2＝2ay x 2＋y 2－a 2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a 2＝2ab 2－c 2y .又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1. 同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a 2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a 2(a 2－x 2)x 2－a2＝－b 2a 2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3. 根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝⎛⎭⎫1－m3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝⎛⎭⎫33m －3t ＋m 3＝0的两个根，则Δ＝⎝⎛⎭⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22，即12＝1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22).由k 1·k 2＝－m 3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ， 所以1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22)≤1－m 31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝⎛⎭⎫m 3＋12，所以12⎝⎛⎭⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m <0. 同理，12＝1－3m1＋9m2＋(k 21＋k 22)≤1－3m1＋9m 2＋6m ， 即12⎝⎛⎭⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9. 综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253， 即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2×(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋ 12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(|OA ―→|·|OB ―→|cos θ)2 ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(OA ―→·OB ―→)2＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12(x 1y 2－x 2y 1)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|.法二：双根法设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x得y 2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号， 因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. [答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.①所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n4＋m 2. 由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝(4＋m 2)216＋m 2.②设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝48(4＋m 2)(m 2＋16)2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)，则S 2＝48×t t 2＋24t ＋144＝48t ＋144t ＋24≤482t ·144t ＋24＝1，当且仅当t ＝144t ，即t ＝12时，等号成立， 此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15 B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2 α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23， 即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.。
2019届高考数学二轮复习练习：小题专练专题能力提升练一2.1.1Word版含答案
专题能力提升练一集合、复数与平面向量(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若集合A={-1,2},B={0,1},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}的子集共有( )A.2个B.4个C.8个D.16个【解析】选D.当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=1时,z=0;当x=2,y=0时,z=2;当x=2,y=1时,z=3.故z的值为-1,0,2,3,即求集合{-1,0,2,3}的子集个数,根据规律得子集共有24=16个.2.已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(1,-1),(3,1),则等于 ( )A.1-2iB.1+2iC.-iD.-i【解析】选B.因为z1=1-i,z2=3+i,所以==1+2i.3.已知复数z为纯虚数,且=1,则z= ()A.±2iB.±iC.iD.i【解析】选 B.因为z是纯虚数,所以可设z=ai(a∈R),===1,可得=2,a=±,所以z=±i.4.已知集合A={x∈Z|log2k<x<2},若集合A中至少有3个元素,则实数k的取值范围为( )A.(1,2)B.(0,1)C. D.【解析】选C.因为由题意可知log2k<-1,所以解得0<k<.5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD为( )A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选B.因为=即一组对边平行且相等,·=0即对角线互相垂直;所以该四边形ABCD为菱形.6.(2018·菏泽一模)已知集合A={x|x2-4x+3≥0},B={x∈N|-1≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3,4,5} B.{0,1,4,5}C.{0,1,3,4,5}D.{3,4,5}【解析】选C.因为集合A={x|x2-4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3},B={x∈N|-1≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},所以A∩B={0,1,3,4,5}.7.已知R为实数集,A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则R(A∪B)=( )A.{x|x>-3}B.{x|x<-3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x≤-3}【解析】选D.因为R为实数集,A={x|y=lg(x+3)}={x|x>-3},B={x|x≥2}, 所以A∪B={x|x>-3},所以R(A∪B)={x|x≤-3}.8.图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z所表示的复数z 满足(z1-i)·z=1,则复数z1= ( )A.-+iB.+iC.-iD.--i【解析】选B.由图得z=2+i,则(z1-i)(2+i)=1,所以z1=i+=+i.9.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.10.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=( )A.⌀B.{-1,-4}C.{0}D.{1,4}【解析】选 A.因为M={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},所以M∩N=⌀.11.已知复数z= -2i (其中i为虚数单位),则|z|=)A.3B.3C.2D.2【解析】选 B.z=-2i=-2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3.12.(2018·天津高考)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为( )A. B. C. D.3【解析】选 A.由已知DB=且△BCD为等边三角形,因为=++,所以·=(++)·=,设=λ(0≤λ≤1),则·=·(-)=(-)·(--)=(-)2-(-)·=3λ2-λ+.所以,当λ=时,·有最小值.二、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC中,==,则sin A∶sin B∶sin C=________.。
2019年高考数学(文)二轮复习课件：专题一 常考小题点 1.4 .pdf
∴������������ ·������������=3(������������ − ������������)·������������=3(������������ ·������������-|������������|2)
=3 2 × 1 ×
-
1 2
-1 =-6.
-12-
11.已知 a,b 是单位向量,且 a·b=-12,若平面向量 p 满足 p·a=p·b=12,则
2.(2018全国Ⅱ,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
(B) A.4 B.3 C.2 D.0 解析 a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
-5-
3.在△ABC 上,点 D 满足������������=2������������ − ������������,则( D ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上 解析 ������������=2������������ − ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������.如图,
-16-
15.(2018江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一
象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.
则|������������|= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
5.利用数量积求夹角
若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ=
2019版高考数学二轮复习专题一常考小题点专题突破练2函数与方程思想、数形结合思想文.docx
◎ 匸川
A= COSt>2 Ji, \2 丿如日，故选 g.
42
5.B 解析 ral-8aM-0,
24
di +
a2n + - a2 an=8^(n-])=8n.
2 24
d 2\ an+ 九何 - 8 刀何 .
?: 禺几龙 J2n + 1,
2 . ----------------
B|Jan-2V2n + “电2
参考答案 专题突破练 2 函数与方程思想、
数形结合思想
a3
a3
[1 2 2
—
—e
1.B 解析依题意得尸兀，当［日 , 2 动时， y 二 X
ri
丄2 2
rti 题意可知 1/
［曰冷］ ,
即有又小 1,所以 於 2. 故选 B. 解析如图，令 lF 、P0\, 岸已二皿 2.C ' 厂 1 + 厂 2 = 2a = 则￡ r2 ? ri = ( 2c)2 = 12,
则 m的取值范围是 ［1, 2),故选 C. 4. B 解析 作出直线 y=2x-Ti 与 f(x) 的图象显然直线 y=2x~^为 f(x) 的图象在尸方处的切
(3 兀
—^兀
线，且 f e I 2
/(t) - 0
兀
t-~ 丿，由切线斜率 k=f" (t) =
Acost
兀
t -— 2 龙，得 -/Jsin t= 2 立所以
域内满足 fix} 二 fix' 二 2 的任意 X1, 疋 W R, 禺 H壮，当 /& - 应/ 取最小值时 , f （x\-x ）的值为 （）
艮羽+A + Q
2019年高考数学(理科)二轮试题(江苏)第一篇第4练数学文化Word版含解析
第4练数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为________.答案16 29解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.答案 2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为________.答案 5或32解析 当n ＝5时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5，n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5，n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝________.答案 4解析 当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件， 当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4. 5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 答案 6解析 由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18， 所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎡⎦⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6.6.(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________， y ＝________.答案 8 11 解析 方法一 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)，81÷3＝27(元)，100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元).因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二 三角函数与几何中的数学文化 方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步.答案 6解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)， 解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.答案 34解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α，∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34. 9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的。