2.4.2平面向量数量积的坐标表示,模,夹角.ppt
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT
（4）(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
（5（）a
b)
(a
b)
2
a
2
b
：
注意个运算律的逆用。如导学案上149页12题
课堂引入：
平面向量的表示方法有几何法和坐标 法，向量的表示形式不同，对其运算的表 示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我 们解决有关向量的加、减、数乘向量带来 了极大的方便.上一节，我们学习了平面向 量的数量积，那么向量的坐标表示，对平 面向量的数量积的表示方式又会带来哪些 变化呢？
.
即:两个向量的数量积等于它们对 应坐标的乘积的和
重要性质：
(1).设a x, y,则 a x2 y2 用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1, x2, y2 , 那么 a x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
a a( a a可简写成a2 )
(4) cos a b , (5) | a b || a || b | .
| a || b |
11:14
4
4、平面向量的数量积的运算律：
(1)a b b a
(2)(a) b (a b ) a (b )
(3)(a b ) c a c b c
高二数学平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
a
=(x1,y1), b=(x2,y2),则
a x1 i y1 j
2
b x2 i y2 j ,
2
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
2 2 2 2
a b 13 20 7
练习：课本P1191、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
C(-2,5) 证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3 ), b (1,1), 求a b， a b， a与b的夹角 .
a b 1 3， a b
a b 2 4 2 3 2(1 3)，
1 cos , 0 180 , 60 . ab 2
(2)已知a (2,3), b (2,4), 则（a b） （ a b） .
法一： a b (0,7), a b (4,1) （a b） （ a b） 0 4 7 (1) 7. 法二：（a b） （ a b） a b
一、复习引入
(1) a b a b cos ( 2) a a a 或 a
2
a a； a b a b .
a b a b 0; cos
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示 a b呢？
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
2.4.2向量数量级的坐标表示
C(-2,5)
y
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
B(2,3)
A(1,2) 0
x
AB AC
三角形 ABC是直角三角形 .
故两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。即 y A(x ,y ) 1 1
a b x1x2 y1 y2
B(x2,y2)
b
j
a
i
o 根据平面向量数量积的
x
坐标表示，向量的数量积的运算可 转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 a b a b 0
向量数量积是否为零，是判断相应两条线段或直线的重 要方法之一
练习2：以原点和A（5，2） 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，B=90，求点B的坐标. 3 7 y 答案：B的坐标为（ ， ） B 2 2 7 3 或（ ， ） 2 2
O
A x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a ＝（4，3），向量 b是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
例4:已知 a =(1, 3),b =( 3+1, 则a与b的夹角是多少?
解：由a =(1, 3),b =( 3+1, 3 1), 有 a b 1 ( 3 1) 3 ( 3 1) 4, a 2, b 2 2，
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件 (共17张PPT)
cos
ab ab
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y 2
2
2
例1 已知 a 3,2 ，b 1, 1 ，求向量 a 与 b 的夹 角的余弦值.
解：设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
容易推得
2.向量的长度（模）
a a x1 y1
2 2 2 2
或a
x 1 y1
2
2
若表示向量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 终的 坐 标 分 别 为 （x1，y1 ），（ x 2，y 2 ），那么
问题探究：
a b
的坐标公式的推导.
已知两非零向量 a （x1，y1 ）， b （x2，y2 ） 设i， j分 别 为 与 x轴 和y轴 方 向 相 同 的 单 位 向 ， 量则 有
a x1 i y1 j
2
b x2 i y2 j
B(x2,y2)
2
A(x1,y1)
a b （x1 i y1 j ） （ x 2 i y2 j ）
2 2
2 3 2 1 1 7 4 所以 45，即直线l1和l2的夹角为45.
2 , 2
1.已知A(1，2),B(4,0),C(8，6),D(5，8)，则四边 形ABCD的形状是 矩形 .
2.(2013·湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),
是直角三角形，求k的值.
例3：已知向量 a＝(λ ，－2)，b＝(－3，5)，若向
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时， 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为 ，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT文档37页
高中数学必修四《平面 向量数量积的坐标表示、
模、夹角》
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
Thank you