高考数学复习第八章平面解析几何抛物线课时作业理
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.8抛物线课时提升作业理
抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为( )A.3B.4C.5D.6【解题提示】由题意可得点P的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=-1的距离,由此求得结果.【解析】选C.由于抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,故点P的纵坐标为4.再由抛物线y=x2的准线为y=-1,结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,故点P到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5.2.(2016·邢台模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=r2与抛物线D:y2=16x的准线交于A,B两点,且=8,则圆C的面积为( )A.5πB.9πC.16πD.25π【解析】选D.设抛物线的准线交x轴于点E,则CE=3,所以r2=32+42=25,所以圆C的面积为25π.【加固训练】设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于( )A.9B.6C.4D.3【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0).由++=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+p=6.3.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2B.2C.2D.4【解析】选C.抛物线C的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,得焦点F(,0).设P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即m+=4,解得m=3.因为点P在抛物线C上,得n2=4×3=24,所以n=±=±2,因为|OF|=,所以△POF的面积S=|OF|×|n|=××2=2.4.已知抛物线y2=4x的焦点F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为( )A.2B.4C.6D.10【解题提示】可将|AB|与|AF|,|BF|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选C.因为抛物线y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(4-x1)2+=(4-x2)2+,又=4x1,=4x2,代入并展开得:16-8x1++4x1=-8x2+16+4x2,即-=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以线段AB中点的横坐标为(x1+x2)=2,所以AB≤AF+BF=+=4+2=6(当A,B,F三点共线时取等号),即|AB|的最大值为6.5.(2016·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=2C.x=-1D.x=-2【解析】选C.由题意可设直线方程为y=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程整理得y2+2py-p2=0,所以y1+y2=-2p.因为线段AB的中点的纵坐标为-2,所以=-2.所以p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点M(-2,-4)的抛物线方程是.【解析】满足题意的抛物线应有两条,设为y2=ax或x2=by,将点M(-2,-4)的坐标代入求得y2=-8x或x2=-y. 答案:y2=-8x或x2=-y7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .【解析】如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,所以B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:6【加固训练】已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.【解析】因为x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,所以可画图观察.如图,连接PF,过F作FQ⊥l1于点Q,d2=PF,所以d1+d2=d1+PF≥FQ===3.答案:38.已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是. 【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,代入y2=4x,得交点为(4,4),(4,-4),所以+=16+16=32;当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-4),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-16k=0,由题意,知k≠0,则y1+y2=,y1y2=-16.所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32.综上知,(+)min=32.答案:32【误区警示】本题易出现最小值不存在的错误结论.其原因是忽略直线的斜率不存在的情况,从而得出错误的结论.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F(0,c)(c>0)到直线y=2x的距离是.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线y=kx+1(k≠0)与抛物线C交于A,B两点,设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0,b),求实数b的取值范围.【解析】(1)由题意,=,故c=.所以抛物线C的方程为x2=2y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由得x2-2kx-2=0.所以Δ=4k2+8>0.所以x1+x2=2k,所以线段AB的中点坐标为(k,k2+1).线段AB的中垂线方程为y=-(x-k)+k2+1,即y=-x+k2+2.令x=0,得b=k2+2.所以b∈(2,+∞).10.(2014·陕西高考)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1,C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*)设点P的坐标为(x P,y P),因为直线l过点B,所以x=1是方程(*)的一个根,由求根公式,得x P=,从而y P=,所以点P的坐标为.同理,由得Q点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以=(k,-4),=-k(1,k+2).因为AP⊥AQ,所以·=0,即[k-4(k+2)]=0,因为k≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).(20分钟40分)1.(5分)(2016·忻州模拟)若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3,则此抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=(-4)xC.y2=2x或y2=18xD.y2=3x或y2=(-4)x【解析】选C.因为抛物线y2=2px(p>0)上一点到x轴的距离为3,所以设该点为P,则点P的坐标为(x0,±3),因为点P到抛物线的焦点F的距离为5,所以由抛物线的定义,得x0+=5 (1)因为点P是抛物线上的点,所以2px0=9 (2)由(1)(2)联立,解得p=1,x0=或p=9,x0=,则抛物线方程为y2=2x或y2=18x.2.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k= ( )A. B. C. D.【解析】选D.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0).如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,所以点B为AP的中点,连接OB,又因为点O是PF的中点,则|OB|=|AF|,所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,故点B的坐标为,所以k==.3.(5分)(2016·廊坊模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为直线l,过抛物线上一点P作PE⊥l于点E,若直线EF的倾斜角为150°,则|PF|= .【解析】由抛物线方程y2=4x,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x=-1.因为直线EF的倾斜角为150°,所以k1=tan150°=-.所以直线EF的方程为:y=-(x-1),联立解得y=.所以E.因为PE⊥l于点E,所以y P=,代入抛物线的方程可得=4x P,解得x P=.所以|PF|=|PE|=x P+1=.答案:4.(12分)(2016·安阳模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)上点(2,a)到焦点F的距离为3,直线l:my=x+t(t ≠0)交抛物线C于A,B两点,且满足OA⊥OB.圆E是以(-p,p)为圆心,p为直径的圆.(1)求抛物线C和圆E的方程.(2)设点M为圆E上的任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程.【解析】(1)由题意得2+=3,得p=2,所以抛物线C和圆E的方程分别为y2=4x;(x+2)2+(y-2)2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程整理得y2-4my+4t=0,由根与系数的关系得①则x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2,由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0,将①代入上式整理得t2+4t=0,由t≠0得t=-4.故直线AB过定点N(4,0).所以当MN⊥l,动点M经过圆心E(-2,2)时到直线l的距离d取得最大值.由k MN==-,得k l=3.此时的直线方程为l:y=3(x-4),即3x-y-12=0.5.(13分)(2015·福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程.(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,且∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第7节抛物线课时作业含解析新人教版
第八章 平面解析几何授课提示：对应学生用书第327页〖A 组 基础保分练〗1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线3x －4y ＋4＝0的距离等于p2，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2〖答 案〗D2．(2021·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝－1 C ．x ＝－2 D ．y ＝－2 〖答 案〗A3．(2021·滨州模拟)若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x 〖答 案〗C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6 〖解 析〗易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.〖答 案〗B5．(2021·合肥检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( ) A ．1 B ． 2C ．2 2D ．4〖解 析〗双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. 〖答 案〗B6．(2021·广东六校联考)抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为( ) A.118 B ．54C.32D ．1〖解 析〗设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b .因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故(1＋4y 0－4b )(y 0＋b )＝9，即(1＋4y 0－4b )(4y 0＋4b )＝36.由基本不等式得，(1＋4y 0－4b )＋(4y 0＋4b )≥2(1＋4y 0－4b )(4y 0＋4b )＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118.〖答 案〗A7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________． 〖答 案〗x 2＝－8y8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1|AF |＋1|BF |＝________. 〖解 析〗由p2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1.〖答 案〗2 19．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．〖解 析〗(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45. 10．(2021·襄阳联考)动点P 到定点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－2的距离小1.设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M . (1)求曲线C 的方程； (2)求证：AB →·MF →＝0.〖解 析〗(1)由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F (0,1)的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A ·(x －x A )，① 直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B (x －x B )．② ①－②，得14(x 2B －x 2A )＝12(x A －x B )·x ＋12(x 2B －x 2A )， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k .将x ＝x A ＋x B 2代入①，得y －14x 2A＝12x A x B －x A 2＝14x A x B －14x 2A ， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M (2k ，－1)．∵MF →＝(－2k,2)，AB →＝(x B －x A ，k (x B －x A ))， ∴AB →·MF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.〖B 组 能力提升练〗1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 是坐标原点，F 是抛物线的焦点，P 是抛物线上一点，则使△POF 是直角三角形的点P 共有( ) A ．0个 B ．2个 C ．4个D ．6个〖解 析〗如图所示，过焦点F 作PF ⊥x 轴，交抛物线于点P ，P ′，连接OP ，OP ′，则△OFP ，△OFP ′都是直角三角形．显然∠POF 不可能为直角．若∠OPF ＝90°，易知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，y ≠0，可得OP →＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，FP →＝y 22p －p 2，y ，∴OP →·FP →＝y 22p ⎝⎛⎭⎫y 22p －p 2＋y 2＝y 44p 2＋3y 24.∵y 44p 2＞0，3y 24＞0，∴OP →·FP →＞0，与OP →·FP →＝0矛盾， ∴∠OPF 不可能为直角．综上，使△POF 是直角三角形的点P 有且仅有2个．〖答 案〗B2．(2021·贵州省适应性考试)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，该抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF |＝4，则△MAB 的面积为( ) A.833B ．433C.233D ．2 3〖解 析〗设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±23，不妨令A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率为23－03－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，可得B ⎝⎛⎭⎫13，－233，所以|AB |＝163.又点M (－1，0)到直线y ＝3(x －1)的距离d ＝23(3)2＋(－1)2＝3，所以△MAB 的面积S＝12×163×3＝833. 〖答 案〗A3．(多选题)(2021·海南嘉积中学模考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．C 的准线方程为y ＝－1B ．线段PQ 的长度最小为4C ．M 的坐标可能为(3,2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立〖解 析〗由焦点F 到准线的距离为2，得抛物线C 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，A 项错误．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去y 可得x 2－(4m 2＋2)x ＋1＝0，消去x 可得y 2－4my －4＝0，所以x 1＋x 2＝4m 2＋2，y 1＋y 2＝4m .|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4m 2＋4≥4，故B 项正确．当m ＝1时，可得M (3,2)，所以C 项正确．又x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，所以D 项正确． 〖答 案〗BCD4．(2021·成都摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为________．〖解 析〗如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p .由抛物线的定义知|BE |＝|BF |.设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pmp －m.由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .〖答 案〗y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．〖解 析〗(1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12b16k 2＋16b ＝b2＋2b ＝2b 3＋b 2(0＜b ≤1)．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2.6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．〖解 析〗设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②.(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p(x －x 1)，y －y 2＝x2p(x －x 2)，结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .〖C 组 创新应用练〗1．(2021·兰州模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝( )A.34 B ．45C.56D ．25〖解 析〗由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N .设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－(8k 2＋8)x ＋16k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝16.由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10.因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25.〖答 案〗D2．(多选题)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论中正确的是( ) A ．k 的取值范围是(－1,1) B ．y 1y 2＝8x 1x 2C ．存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD ．若△ABF 的面积为162，则直线AB 的倾斜角为π6或5π6〖解 析〗依题意得，F (2,0)，M (－2,0)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，因为直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1且k ≠0，故A 选项错误；因为x 1x 2＝4k 2k2＝4，所以y 21y 22＝8x 1·8x 2＝64×4＝256，易知y 1，y 2同号，所以y 1y 2＝16，于是y 1y 2＝4x 1x 2，故B 选项错误；由于F A →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)，所以F A →·FB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝4－2·8－4k 2k 2＋4＋16＝32－16k 2，显然当k 2＝12时，F A →·FB →＝0，此时∠AFB 为直角，即以AB 为直径的圆经过点F ，故C 选项正确；△AFB 的面积S ＝|S △MF A －S △MFB |＝12·|MF |·|y 1－y 2|＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，而y 1＋y 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)＝k (x 1＋x 2＋4)＝8k，y 1y 2＝16，所以S ＝2⎝⎛⎭⎫8k 2－4×16＝16 1k 2－1，令S ＝162，得k ＝±33，所以直线AB 的倾斜角为π6或5π6，故选项D 正确． 〖答 案〗CD。
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第七节 抛物线
A. B. C. D.
D
[解析] 抛物线 上一点 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ，解得 ，∴抛物线的标准方程为 .故选D.
（3） 抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为________.
5. （2021东北四市高三模拟）若点 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，则 的最小值为_ _.
[解析] 由题意知 ，则 ，设 ，则 ，所以当 时， .
迁移应用
3. （2021山东淄博二模）如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点 ， ， ，若 ，且 ，则抛物线的方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 如图，分别过点 , 作准线的垂线，交准线于点 , ，
设 ，则 ，由抛物线的定义得 ，故 ，∴在 中， ， , ， ，解得 ， ， ， ，因此抛物线的方程为 ，故选D.
变式1 若将本例（2）中的“ ”改为“ ”，求 的最小值.
[解析] 由题意可知点 在抛物线的外部， 的最小值即为 , 两点之间的距离, ，即 的最小值为 .
变式2 在本例（2）的条件下，求点 到 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值.
[解析] 如图，易知抛物线的焦点为 ，准线是直线 ,
C
[解析] 设焦点为 ，点 的坐标为 ，由抛物线定义得 ,∵点 到 轴的距离为9， ， , .故选C.
（2） 设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，若 ，则 的最小值为___.
[解析] 如图，过点 作 垂直于准线，交准线于点 ,交抛物线于点 ,连接 ，则 .又 ,则有 ,即 的最小值为4.
近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线课后作业理(2021年整理)
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8.7 抛物线[重点保分两级优选练］A级一、选择题1．（2017·皖北协作区联考）已知抛物线C：x2＝2py(p〉0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4错误!，则抛物线C的方程为( ）A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y答案C解析由错误!得错误!或错误!即两交点坐标为(0，0)和(4p,8p），则错误!＝4错误!，得p＝1(舍去负值），故抛物线C的方程为x2＝2y。
故选C。
2．（2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则｜AB｜＝（）A。
错误!B．6C．12 D．7错误!答案C解析抛物线C：y2＝3x的焦点为F错误!，所以AB所在的直线方程为y ＝错误!错误!,将y＝错误!错误!代入y2＝3x，消去y整理得x2－错误!x＋错误!＝0。
设A（x1,y1),B（x2,y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝错误!，由抛物线的定义可得｜AB|＝x1＋x2＋p＝错误!＋错误!＝12.故选C.3．（2018·广东广州模拟)如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1,x2,…,x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10,则|P1F｜＋|P2F|＋…＋|P n F|＝（）A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20答案A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0）,准线为x＝－1,由抛物线的定义可知｜P1F|＝x1＋1，｜P2F|＝x2＋1,…，|P n F|＝x n＋1，所以｜P1F|＋｜P2F｜＋…＋|P n F｜＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n）＋n＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模）抛物线C：y2＝2px(p〉0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案B解析不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意可知错误!即错误!∴A错误!，又∵点A的抛物线y2＝2px上，∴错误!＝2p×错误!，即p4＝16,又∵p〉0，∴p＝2，故选B.5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，交抛物线的准线于点C，若｜AF｜＝6,错误!＝λ错误!（λ〉0)，则λ的值为（) A。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-6抛物线学案理含解析北师大版
第六节抛物线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第181页知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．•温馨提醒•抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．4个〖解析〗设P（x1，y1），则|PF|＝x1＋2＝5，y21＝8x1，所以x1＝3，y1＝±26．故满足条件的点P有两个．〖答案〗C2．（易错题）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_________．〖解析〗抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6．〖答案〗6知识点二 抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px（p >0）y 2＝－2px （p >0）x 2＝2py （p >0）x 2＝－2py （p >0）p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O （0，0）对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1续表准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右 向左 向上 向下 焦半径（其中P （x 0，y 0）） |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p 2• 温馨提醒 •抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的弦， 若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则： （1）x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2．（2）弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α（α为弦AB 的倾斜角）．（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切．（4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ．1．（易错题）抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为（ ）A ．14B ．－14C ．4D ．－4〖解 析〗由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14．〖答 案〗B2．过点P （－2，3）的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y〖解 析〗设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ．〖答 案〗A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝_________．〖解 析〗抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8． 〖答 案〗8授课提示：对应学生用书第182页题型一 抛物线的标准方程及几何性质1．（2021·宜春联考）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，圆M 与y 轴相切，且被直线x ＝p 2截得的弦长为2p ，若|MF |＝52，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2xC ．y 2＝8xD ．y 2＝x〖解 析〗设圆M 与y 轴相切于点N ，直线x ＝p2与圆M 交于A ，B 两点，如图所示，设M （x 0，y 0），则|MN |＝|MA |＝|MB |＝x 0，|AB |＝2p ，所以⎝⎛⎭⎫22p 2＋⎝⎛⎭⎫x 0－p 22＝x 20，解得x 0＝34p ，由抛物线的定义知，|MF |＝x 0＋p 2，因为|MF |＝52，所以52＝34p ＋12p ，即p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ．〖答 案〗A2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．52C ．3D ．2〖解 析〗因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34．如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34．所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3．〖答 案〗C3．（2021·辽宁五校联考）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为（ ） A ．22B ． 2C ．322D ．3 2〖解 析〗如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F （1，0），因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝⎛⎭⎫12，2，所以N （－1，2），M （0，22），所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322．〖答 案〗C4．（2020·高考全国卷Ⅲ）设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．（1，0）D ．（2，0）〖解 析〗法一：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为（2，2p ），（2，－2p ）．不妨设D （2，2p ），E （2，－2p ），则OD →＝（2，2p ），OE →＝（2，－2p ）．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0．法二：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D （2，2），将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0． 〖答 案〗B1．求抛物线方程的三个注意点（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． （2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． （3）要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．运用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．题型二 抛物线的定义及应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：（1）焦点与定点距离之和最小问题；（2）点与准线的距离之和最小问题；（3）焦点弦中距离之和最小问题．〖例1〗 （2021·赣州模拟）若点A 的坐标为（3，2），F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．（0，0） B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．（1，2）D ．（2，2）〖解析〗 过M 点作准线的垂线，垂足是N （图略），则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M （2，2）． 〖答案〗 D考法（二） 点与准线的距离之和最小问题〖例2〗 （2021·邢台摸底）已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：（x ＋1）2＋（y －5）2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是_________．〖解析〗 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1（图略），则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C （－1，5）到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5．〖答案〗 5考法（三） 焦点弦中距离之和最小问题〖例3〗 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为_________．〖解析〗 由题意知F （1，0），|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值，依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2． 〖答案〗 2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．〖题组突破〗1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是_________．〖解 析〗由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为（1，0），则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2．〖答 案〗22．（2021·上海虹口区模拟）已知点M （20，40），抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ．若对于抛物线上的任意点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于_________．〖解 析〗过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |．根据点M 与抛物线的位置分类讨论，当点M （20，40）位于抛物线内时， 如图（1），|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |．当点M ，P ，D 共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42．当点M （20，40）位于抛物线外时，如图（2），当点P ，M ，F 共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p 22＝41，解得p ＝22或58．当p ＝58时，y 2＝116x ，点M （20，40）在抛物线内，故舍去． 综上，p ＝42或22．〖答 案〗42或22题型三 直线与抛物线的位置关系〖例〗 （2019·高考全国卷Ⅲ）已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．〖解析〗 （1）证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A （x 1，y 1）， 则x 21＝2y 1．因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1．整理得2tx 1－2y 1＋1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0． 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12． （2）由（1）得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12．由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0．于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t （x 1＋x 2）＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（t 2＋1）．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1．因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |（d 1＋d 2）＝（t 2＋3）t 2＋1．设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12． 因为EM →⊥AB →，而EM →＝（t ，t 2－2），AB →与向量（1，t ）平行， 所以t ＋（t 2－2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1． 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝42． 因此，四边形ADBE 的面积为3或42．直线与抛物线相交问题处理规律（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．（2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． （3）对于抛物线x 2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y ＝x 22p得k＝y ′＝x 0p．〖对点训练〗设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．〖解 析〗（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1．（2）由y ＝x 24，得y ′＝x 2．设M （x 3，y 3），由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N （2，2＋m ），|MN |＝|m ＋1|．将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16（m ＋1）＞0，即m ＞－1时，x 1，2＝2±2m ＋1．从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）．由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2（m ＋1），解得m＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．抛物线几何性质应用中的核心素养直观想象——抛物线几何性质的创新应用〖例〗 （2021·合肥调研）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为（ ） A ．22 B ．2 3 C ．±2 2D ．±2 3〖解析〗 法一：由题意知k ≠0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p ky －p 2＝0．不妨设A （x 1，y 1）（x 1＞0，y 1＞0），B （x 2，y 2），因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p 2＝22．根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．法二：如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，设直线AB 交准线于M ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BE |，结合AF →＝2FB →，知|BE |＝12|AD |＝13|AB |，则BE 为△AMD 的中位线，所以|AB |＝|BM |，所以|BE |＝13|BM |，所以|ME |＝|BM |2－|BE |2＝22|BE |，所以tan ∠MBE ＝|ME ||BE |＝22，即此时直线AB 的斜率为22，根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．〖答案〗 C求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用．〖对点训练〗（2021·惠州调研）已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN |＝（ ）A ．58B ．12C ．38D ．1 〖解 析〗法一：因为抛物线C ：y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18，抛物线C 的准线方程为y ＝－18．如图，过点M 作抛物线准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以|MA ||OF |＝|MN ||FN |．因为2FM →＝MN →，所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58．法二：因为抛物线y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18．设N （x 0，0），则由2FM →＝MN →，可得M ⎝⎛⎭⎫13x 0，112，代入抛物线方程，得112＝2⎝⎛⎭⎫13x 02，解得x 20＝38，则|FN |＝|ON |2＋|OF |2＝ 38＋164＝58． 〖答 案〗A。
第八章 平面解析几何-8.7 抛物线
( ×)
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2.（2022年全国乙卷）设为抛物线: 2 = 4的焦点，点在上，点 3,0 ，若
= ，则 =(
A.2
B.2
√
)
2
C.3
D.3 2
解：由题意，得 1,0 ，则 = = 2，即点A到准线 = −1的距离为2，所以
点A的横坐标为−1 + 2 = 1.不妨设点A在轴上方，将 = 1代入 2 = 4中，得 1,2 ，
C.双曲线
D.抛物线
√
解：设动圆的圆心为点C，半径为,则 = + 1.又点C到直线 = 1的距离等于，
2
1
2
= 2 × 4，解得 = .所以抛物线的方程为 2 = .若抛物线的焦
点在轴上，设抛物线的方程为 2 = −2 > 0 .因为抛物线经过点 4, −2 ，所以
42 = −2 × −2 ，解得 = 4.所以抛物线的方程为 2 = −8.故选AC.
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（2）已知抛物线 2 = 上的点 1, 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
√
)
D. 2 = −8
解：若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的方程为 2 = 2 > 0 .因为抛物线经过点
4, −2 ，所以 −2
顶点
轴
_____
原点
0,0
≥ 0,
∈
≤ 0,
______
∈
高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业59理新人教A版
课时作业59 抛物线一、选择题1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故所求距离为|3±0|32＋2＝32.选B. 答案：B2．(2014·辽宁卷)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：准线方程为x ＝－p 2＝－2，则p ＝4，焦点为(2,0)，则直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.答案：C3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题可知准线方程为x ＝－14，由抛物线定义知|AF |＝54x 0＝x 0＋14，解得x 0＝1，选A.答案：A4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3解析：由题知F (34，0)，则直线的方程为y ＝33(x －34)，代入抛物线方程得13(x －34)2＝3x ，即x 2－212x ＋916＝0，则x A ＋x B ＝212，∴|AB |＝212＋32＝12.答案：C5．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设A 、B 、C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，由抛物线的定义|FA →|＝x 1＋p 2＝x 1＋12，|FB →|＝x 2＋12，|FC →|＝x 3＋12，因F 为△ABC 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×p 2＝32，从而|FA →|＋|FB→|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32＝3.答案：C6．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2解析：设A (x 1，y 1)，由抛物线定义得AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2代入抛物线方程得y 1＝22，∴A (2,22)．又直线AB 过F (1,0)得k AB ＝22，∴直线AB 的方程为y ＝22(x －1)与抛物线联立得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 2＝12，∴B (12，－2)，|AB |＝x 2＋x 1＋p ＝52＋2＝92，又O 到直线AB 的距离d ＝223，∴S △AOB ＝92×223×12＝322.答案：C 二、填空题7．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：设M (x 0，y 0)，y ＝－4x 2得x 2＝－14y ，抛物线的焦点F (0，－116)，由抛物线定义得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516.答案：－15168．如右图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．解析：作BB ′⊥l ，AA ′⊥l ，由抛物线定义得AF ＝AA ′＝3，BF ＝BB ′，由BC ＝2BF ＝2BB ′得∠BCB ′＝30°，作FM ⊥AA ′于M ，则∠AFM ＝∠BCB ′＝30°，AF ＝3，则AM ＝32，则A ′M ＝32＝p ，∴抛物线方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x9．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：如图，在等边三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2. 又点B 在双曲线上，故13p 23－p243＝1.解得p ＝6.答案：6三、解答题10．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．解：(1)∵由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)，准线方程为x ＝－1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，由直线l 过焦点，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．11．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y3y 1＋y 3y 1＋y 3＝2.1．已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，所以可画图观察．如图，连接PF .d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |≥|FQ |＝|4×1－3×0＋11|42＋－2＝155＝3. 答案：C2．(2014·辽宁卷)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：依题意得准线为x ＝－2，从而y 2＝8x ，F (2,0)，设直线AB 为y －3＝k (x ＋2)，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x ＋y 2＝8x 联立Δ＝0，又因交点在第一象限所以k >0，解得k ＝12，所以B (8,8)则直线BF 的斜率为8－08－2＝43，故选D.答案：D3．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：方法1：如图，以(0，a )为圆心，a 为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C 存在．联立y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a 有(y －a )(y －a ＋1)＝0. 即y ＝a 或y ＝a －1. 故a －1≥0，即a ≥1.方法2：当C 与原点重合时，∠ACB 最小． 故若存在C 使得∠ACB 为直角，则∠AOB ≤π2，即OA →·OB →≥0，故a 2－a ≥0， 又a >0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)4．(2014·安徽卷)如右图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过原点O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1， 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. 因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A1B 1→| |A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→| |A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.。
高考数学第八章平面解析几何第7节抛物线理高考数学第八章平面解析几何第7节抛物线理
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线. (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________. 解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5. 答案 B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4B.6C.8D.12解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6. (2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案 (1)B (2)A规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ， 则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2.(2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)，圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x .答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4， 故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x . (2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|PA |，所以|PA |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PFA为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝xp， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k2≥8＋216＝16.当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号.故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A [思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点). 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.答案 D【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5B.6C.163D.203[一般解法] 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163. 法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.答案 C基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2B.1C.14D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18.答案 D2.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32B.2C.52D.3解析 ∵点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴|MF |＋|NF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝4，∴x 1＋x 2＝3，∴线段MN 中点的横坐标为32.答案 A3.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( )A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt△AEF中，co s∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，又0＜∠EAF ＜π，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C4.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8xD.y 2＝4x解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 答案 C5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3. 答案 B 二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0). 由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y . 设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.解析 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33， 因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33，根据抛物线的定义可知|PF |＝|PA |＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.答案 68.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝ca＝1＋b 2a 2，所以ba ＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 答案 x 2＝16y 三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 即5p4＋p ＝9，所以p ＝4. 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0， 可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2. 所以A (1，－22)，B (4，42).则OC →＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)， 整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)， 解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ， ∵|AF |＋|BF |＝233|AB |，∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3.答案 D12.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)， 则S △PEF S OAB ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C13.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1. 答案655－1 14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值. 解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.新高考创新预测15.(思维创新)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )A.14B.2C.4D.8解析 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B. 答案 B。
2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节抛物线课时作业202207203220
第七节 抛物线课时作业 A 组——根底对点练1．(2022·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．(2022·辽宁五校联考)AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，那么AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C.32D ．52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3．(2022·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，假设F 为△ABC 的重心，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4．直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，假设2FM →＝MN →，那么实数k 等于( ) A ．±33B ．±1C ．± 3D ．±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，那么tan ∠M ′MN ＝±3，∴直线l 的斜率k ＝±3，应选C. 答案：C5．P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D ．17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6．(2022·沈阳质量监测)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，那么x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.答案：437．(2022·云南检测)抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为__________．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，那么|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x9．抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)假设直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋－m2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋32·43p2＋4×4p 2＝16p ，因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2022·合肥质检)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)假设A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54. (2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．那么OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p)．由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22x 22－x 214p2＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组——能力提升练1．抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－3)．假设射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，那么点M 的纵坐标为( )A ．－13B ．－33C ．－23D ．－233解析：依题意，F 点的坐标为(m4，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝3∶1，k FD ＝3，k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ，所以43m＝3，解得m ＝4，所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x＝3(舍去)或x ＝13，所以y 2＝43，y ＝－233或y ＝233(舍去)，故点M 的坐标为(13，－233)，应选D. 答案：D2．(2022·石家庄质检)圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，那么抛物线C 2的方程为( ) A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x解析：由题意，知直线AB 必过原点，那么设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝ 22－4552＝255，解得k ＝2(k ＝－2舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x 2＋y －22＝4，可取A (0,0)，B (85，165)，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ，应选C.答案：C3．点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.352－1B ．332－1C ．23－1D ．10－1解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12，4)，那么|PA |2＝(y2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654，那么t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，那么m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点，所以|PA |2＝t 的最小值为454，所以|PA |的最小值为352，所以|PQ |的最小值为352－1，应选A.答案：A4．(2022·山西八校联考)抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，假设|FB |＝2|FA |，那么AB 的长度为________．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，那么AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，那么Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，那么A (12，2)，∴k ＝2－012－－1＝223.∴x 1＋x 2＝52，|AB |＝ 1＋89[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝172. 答案：1725．(2022·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点A ，直线FA 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ，FA 交C 的准线于点B ，那么|FA ||BA |等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k32pk，y ＝32pk .由y ＝k x，得y ′＝－k x2，所以k FA ＝32pk k32pk－p2＝－k k 234p 2k2，化简得k ＝p 242， 所以x ＝k32pk＝p4， |FA ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p4p 4－－p 2＝13. 答案：136．(2022·唐山统考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，那么x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，那么|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.7．如图，由局部抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C 〞，假设“黄金抛物线C 〞经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C 〞的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C 〞相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C 〞过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C 〞的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k2，y B ＝1－k k ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ＝k 1－2k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1， ∴k AQ ＝－1k，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1， 使得QP 平分∠AQB .。
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何课时55抛物线作业课件苏教版
5．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，过抛
物线 C 上的点 A(4，y0)作 AA1⊥l 于点 A1，若∠A1AF＝23π，则 p ＝( C )
A．6
B．12
C．24
D．48
解析：∵∠A1AF＝23π，∴∠AA1F＝∠AFA1＝π6. 设准线 l 与 x 轴的交点为 B， 则|BF|＝p，|A1B|＝|BF|tanπ6＝ 33p， ∴|AF|＝|A1Bπ|＝23p＝4＋p2，
二、填空题 9．(2019·北京卷)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_(_x_－__1_)2_＋__y_2_＝__4___.
解析：因为抛物线的标准方程为 y2＝4x，所以焦点 F(1,0)， 准线 l 的方程为 x＝－1，所求的圆以 F 为圆心，且与准线 l 相 切，故圆的半径 r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
14．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 C 与直 线 l1：y＝－x 的一个交点的横坐标为 8.
(1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
解析：设直线 l 与抛物线 C 的两个交点分别为 A(x1，y1)， B(x2，y2)．由直线 l 经过 C 的焦点(p2，0)，得 2×p2＋b＝0，所以
b＝－p，直线 l 的方程为 y＝2x－p.联立得yy2＝＝22xp－x，p， 消去 y
得，4x2－6px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝64p＝32p，所以|AB|＝x1＋x2 ＋p＝52p＝5，得 p＝2，即抛物线 C：y2＝4x，设 M(y420，y0)，则|MN| ＝ y420－32＋y02＝ 1y640 －y220＋9＝ 116y20－42＋8≥ 8＝2 2， 当且仅当 y02＝4，即 y0＝±2 时取等号，所以|MN|的最小值为 2 2.
高考数学 第八章 第八节 抛物线课时作业 理 新人教A版
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第八章第八节抛物线课时作业理新人教A版一、选择题1.(2013·中山模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=( )(A)错误!未找到引用源。
(B)1 (C)2 (D)32.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)123.(2013·深圳模拟)一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是( )(A)48错误!未找到引用源。
(B)24错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
4.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线错误!未找到引用源。
-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为( ) (A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
5.(2013·湛江模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条6.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )(A)48 (B)56 (C)64 (D)727.若双曲线错误!未找到引用源。
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=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=错误!未找到引用源。
y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
8.(能力挑战题)已知F为抛物线y2=8x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值等于( )(A)4错误!未找到引用源。
(新课标)高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 49 抛物线课时作业 文-人教版高三全册数学试题
课时作业49 抛物线一、选择题1．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.答案：A2．(2016·某某八校联考)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.故选B. 答案：B3．(2016·某某某某模拟)已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为( )A ．42B ．6 2C ．4D ．6解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，由于直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，所以由抛物线的定义得m ＋n ＋2＝|AB |，其最小值即为通径长2p ＝4.故选C.答案：C4．(2016·某某渝中区一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，双曲线C与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝43x解析：∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴双曲线C 为等轴双曲线，即a ＝b ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .又∵双曲线与抛物线y 2＝2px 交于A ，B 两点，如图所示，设点A (x ，y )，∴|OM |＝x ，|AM |＝y .又∵△OAB 的面积为xy ＝4，∴x ＝2，y ＝2.又点A 在抛物线上，∴22＝2p ·2，解得p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .故选C.答案：C5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( ) A.72B ．4 C.92D ．5 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.答案：C6．(2016·某某某某重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，双曲线的离心率为2，则e 2＝c 2a2＝1＋b 2a 2＝4，b a ＝3，渐近线方程为y ＝±3x ，求出交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，S △AOB＝12×3p ×p 2＝34p 2＝3，则p ＝2，故选C. 答案：C7．(2016·东北三校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C.答案：C8．(2016·某某某某月考)抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B.24C.12D.14解析：∵抛物线y 2＝2x 上一点M (x ，y )到它的焦点F 的距离为32，∴x ＋12＝32，∴x ＝1.当x ＝1时，y ＝±2，∴△OFM 的面积为12×12×2＝24.故选B.答案：B9．(2016·某某某某模拟)如图所示，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A.13B.23 C.223D ．2 2 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x ＋1，消去x ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.①因为直线与抛物线相交，所以有Δ＝42－4×k ×4k ＝16(1－k 2)>0.(*)y 1，y 2是方程①的两个根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，②y 1·y 2＝4.③又因为|AM |＝2|BN |，所以y 1＝2y 2.④ 解由②③④组成的方程组，得k ＝223.把k ＝223代入(*)式检验，不等式成立，所以k ＝223，故选C.答案：C10．(2016·某某凉山州模拟)设点M (－3,23)是抛物线y 2＝2px (p >0)准线上一点，过该抛物线焦点F 的直线与它交于A ，B 两点，若FM →·FA →＝0，则△MAB 的面积为( )A ．323B ．20 3C ．243D ．16 2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为点M (－3,23)是抛物线y 2＝2px (p >0)准线上一点，所以－p 2＝－3，解得p ＝6，则抛物线的方程是y 2＝12x ，焦点F 的坐标是(3,0)．因为FM →·FA→＝0，所以FM →⊥FA →，则k FM ·k AB ＝－1，由k FM ＝23－0－3－3＝－33，得k AB ＝3，所以直线AB 的方程是y ＝3(x －3)，代入y 2＝12x ，得x 2－10x ＋9＝0，则x 1＋x 2＝10，所以|AB |＝x 1＋x 2＋6＝16.由FM →⊥FA →，得FM →⊥AB →，且|FM |＝62＋232＝43，所以△MAB 的面积S ＝12×|AB |×|FM |＝12×16×43＝323，故选A.答案：A 二、填空题11．(2016·某某某某统考)已知F 1、F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a⇒|PF 2|＝6－a .∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－212．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析：焦点F 坐标为(1,0)，设A ，B ，C 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． ∴FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)． ∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0. ∴x 1＋x 2＋x 3＝3， ∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →| ＝x 1－12＋y 21＋x 2－12＋y 22＋x 3－12＋y 23＝x 1＋12＋x 2＋12＋x 3＋12＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6. 答案：613．(2016·某某某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若|AM |＝54|AF |，则k 的值为________．解析：设A (x 0，y 0)，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0.由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，因为|AM |＝54|AF |，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 22＋y 20＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋p 2， 两边平方并化简得y 20＝916⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 22，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋p 2＝34，所以k ＝y 0x 0＋p 2＝±34，故答案为±34. 答案：±3414．(2016·某某某某模拟)已知过点P (4,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32；当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综上，(y 21＋y 22)min ＝32. 答案：32 三、解答题15．(2016·某某百所高中联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点K (－1,0)为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)设FA →·FB →＝89，求直线l 的方程．解：(1)依题意知－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且设直线l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)． 将x ＝my －1代入y 2＝4x ，并整理，得y 2－4my ＋4＝0. 由Δ>0，得m 2>1，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. 所以x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝1.因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43满足m 2>1.所以直线l 的方程为x ＝±43y －1.即3x －4y ＋3＝0或3x ＋4y ＋3＝0.16．(2016·某某某某模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，四边形ABCD 内接于抛物线，如图所示．(1)若直线AB ，CD ，BC ，AD 的斜率均存在，分别记为k 1，k 2，k 3，k 4，求证：1k 1＋1k 2＝1k 3＋1k 4.(2)若直线AB 、AD 的斜率互为相反数，且弦AC ⊥x 轴，求证：直线BD 与抛物线在点C处的切线平行．证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． ∴k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴k 1＝2py 1＋y 2. 同理：k 2＝2p y 3＋y 4，故1k 1＋1k 2＝y 1＋y 2＋y 3＋y 42p， 同理：1k 3＋1k 4＝y 1＋y 2＋y 3＋y 42p，从而得证．(2)由AC ⊥x 轴，有x 1＝x 3，y 1＝－y 3，设以C 为切点的切线斜率为k ，则切线方程为y ＋y 1＝k (x －x 1)，代入y 2＝2px ，得k 2x 2－2(k 2x 1＋ky 1＋p )x ＋(kx 1＋y 1)2＝0.∴Δ＝4(k 2x 1＋ky 1＋p )2－4k 2(kx 1＋y 1)2＝0， 得k 2x 1＋ky 1＋p2＝0，而y 21＝2px 1，∴k ＝－p y 1.由直线AB 、AD 的斜率互为相反数，知2p y 1＋y 2＋2py 1＋y 4＝0. ∴2y 1＋y 2＋y 4＝0， ∴k BD ＝2p y 2＋y 4＝2p －2y 1＝－py 1， ∴k BD ＝k .∴直线BD 与抛物线在点C 处的切线平行．。
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业54抛物线(含解析)文
8 5课时作业54抛物线基础达标演练一、选择题1抛物线y = 2X 2的焦点坐标是（ ）A1 08, 0B 2, 0•・当C 1C 0, 8D I 0, 2 ；解析：抛物线的标准方程为 X 2= -y ，所以焦点坐标是 0, 8 .Q答案：C2.已知抛物线y 2 = 2px （p>0）的准线与曲线X 2+ y 2— 4X — 5 = 0相切，则p 的值为（ ）A. 2B. 1解析：曲线的标准方程为（X — 2）2+ y 2= 9，其表示圆心为（2,0） p•••由抛物线的准线与圆相切得 2 + ^= 3,解得p = 2,故选A.23.如果P l , P 2,…，P n 是抛物线C : y = 4x 上的点，它们的横坐标依次为X i , X 2,…，* 丄X n , F 是抛物线 C 的焦点，若 X i + X 2+-+ X n = 10,则 |P i F| + |P 2F| + …+ |P n F| =()A. n + 10B. n + 20C. 2n + 10D. 2n + 20解析：由抛物线的方程y 2= 4X 可知其焦点为(1,0),准线为X =- 1,由抛物线的定义可 知|P 1F| = X 1+ 1, |P 2F| = X 2 + 1,…,|P n F| = X n + 1，所以 |P 1F| + |P 2F| +•••+ |P n F| = X 1 + 1 + X 2 + 1 + •••+ X n + 1 = (X 1 + X 2 +•••+ X n ) + n = n + 10.故选 A答案：A4.(2017 •江西南昌一模)已知抛物线C: y 2= 8X 的焦点为F ,准线为I , P 是I 上一点， Q 是直线PF 与抛物线 C 的一个交点，若|FP| = 3|FQ|，则|QF| =( )C 2D4,半径为3的圆，又抛物 线的准线万程为x =答案：AA3C. 3D. 285解析：设I 与x 轴的交点为 M 过Q 作QN L l ,垂足为N,贝忆PQN hA PFM 所以|MQ|PQ| 2 8 8 阿=3,因为 |MF| = 4，所以 |NQ| = 3,故 |QF| = |QN| = 3,故选 A答案：A2 2 2得戲2- (k 2p +2p)x+,=0,则 X 1X2= 4.所以 y 1y2=- p 2.故叢=-4答案：A6. (2017 •河北邯郸一模)已知M(x o , y o )是曲线C: | — y = 0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N,若MF ・MN ：0,贝U X o 的取值范围是()A. ( — 1,0) U (0,1)B. ( 1,0)C. (0,1)解析：由题意知曲线 C 为抛物线，其方程为x 2= 2y ，所以F0, 2，根据题意可知，N(X o,O),5.已知抛物线 y 2= 2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x i , y i ) , Bg y 2),则簷勺值一定A.B. 4C.D. — p 2解析：方法1:若焦点弦 则x i = X 2 = p，所以 AB 丄x 轴,2py 1= p , y 2=— p ,2••• y i y 2=— p ,•业=-4. X 1X 2方法2 :若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设p 2AB 的直线方程为 y = k(x —功，联立y = 2pxJD. ( —1,1)点M 在抛物线上，所以有 0<霜 ,又 x o M 0,解得—1<x o <O 或 O<x o <1,故选 A答案：A 二、填空题2 22x y7.已知抛物线x = 2py(p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线 --1 = 1相交于A 、B 两点,0, MF =MN k (0，— y o )，所以 MF ・ MN k — y o* — y o <0,即 O<y o <1，因为若厶ABF 为等边三角形，则 p =答案：6解析:\/A -2B21 4，代入 x 2= 4y 中，贝U y o =-，故 |PF| = |PA| = y °+ 1 =-.33答案：49. ______________________ 已知一条过点 P （2,1）的直线与抛物线 y 2= 2x 交于A , B 两点，且P 是弦AB 的中点， 则直线AB 的方程为.解析：依题意，设点A （X 1，y 1），B （X 2，y 2），则有y 1= 2x 1，y 2= 2x 2，两式相减得y 1— y 2 = y 1 — y 2 22（X 1 — X 2），即 一 = =1,直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y — 1 = x — 2，即卩xX 1 — X 2 y 1 十 y 2 —y — 1 = 0.答案：x — y — 1= 0& （2017 •沈阳第一次质检）已知抛物线 x 2= 4y 的焦点为F ,准线为I , P 为抛物线上一 点，过P 作PAL I 于点A , 当/ AFO= 30° (O为坐标原点）时，|PF| =令I 与y 轴交点为B ,在Rt △ ABF 中，/ AFB= 30°, BF = 2,所以 AB=写.设 P(x o ,y °)，则 |xo |解析：由题意知,-2，代入方程10. 已知抛物线C: y2= 2px（p>0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则兽的值等于 ___________ .=64,②Dy>E沪/0/F X C/解析：设|AF| = m |BF| = n,则|BC| = n, |AD| = m, |AE| = m- n, |AF| + |BF| = n. cy 在Rt△ ABE 中，由于/ BAE= 60°，所以cos60°= m—n，解得-=3,即芈斗的值等于3.m+ n n |BF| 答案：3三、解答题211. 如图，已知抛物线y= 2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点, •••A点坐标为嘗,2p，同理得B点坐标为(2pk2, - 2pk)，由|OA| = 1, |OB| = 8,②*①得k6= 64,即k = 4.两直角Vy= kx,2 -由y = 2px,2p 得x=0或x=T可得加譽=14p2k2『+1 ①则p2= k216 F^T又p>0,则p=攀,故所求抛物线方程为y2=孚X.512. (2017 •湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2= 2py(p>0)，其焦点为F,点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k丰0)的直线与抛物线交于 A B两点，过A, B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1) 求OA- OB32(2) 设直线MF与抛物线交于C, D两点，且四边形ACBD勺面积为yp2，求直线AB的斜率k.2(X = 2py, 解：(1)设直线AB 的方程为y = kx + p, A(X1, y" , B(X2, y2)，由“p 得2j y= kx+,2 2X1 + X2= 2pk,x —2pkx —p = 0,则f 2X1 ・x 2=—p ,f f3 2--OA" OB= X1 •x 2+ y1 •y 2=—4P .X12 xx= 2py，知y '=x，「抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为pX2X1 线AM的X2—X1)，直线BM 的方程为y —y2 = — (x —X2)P，则可得，-2. --k1MF=- k，:直线MF与AB相互垂直.由弦长公式知，|AB| = ,k2+ 1|x 1 —X2|+ 1)，用—£代替k 得，|CD| = 2p p+ 1 ,四边形ACBD 勺面积 S = 2 • |AB| • |CD| = 2p 22 + k 2 + 右=詈p 2,解得 k 2 =3 或k 2=3,即 k =±3或 k =± 彳.生冲击容核1. (2017 •广西质检)过点P( — 2,0)的直线与抛物线 C: y 2 = 4x 相交于A, B 两点，且|PA| 1=2|AB|，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为()=v k 2 + 1 •解析：设A （x i,y i ） ,B （X 2,y 2），分别过A, B 作直线y = — 2的垂线，垂足分别为D, E. •/ |PA|p32p ,即2y o x 1 = 2p ,所以y o = p ,又AB 的方程为y = x —㊁，所以x o =?p , ,p ，代入AB 的中垂线y =-x + 2,可得p = 5. 答案：I24. （2017 •安徽合肥一检）设A , B 为抛物线y = x 上相异两点，其纵坐标分别为1, — 2,5 -3 7 _5B9 _71 =2|AB | , i+ 23y i = y 2,=x 2 + 2, y 1= 4x i ,又］ 2 y 2= 4x 2. 得x i = 3，则点A 抛物线C 的焦点的距离为i + 3=答案：A2. （2016 •四川卷）设0为坐标原点，P 是以 点，M 是线段PF 上的点，且|PM| = 2|MF|，则直线F 为焦点的抛物线y 2= 2px （p>0） VJOM 的斜率的最大值为（' ）上任意2 B-3解析：设 P （2p , t ），易知 F （2, o ）,t 2则由 |PM| = 2|MF|，得 M(^, 3)，当t = 0 时,i——，所以 |k| =p + —t 2p1 _L 斗 |t| 十 2pOM 的斜率的最大值为-2,F ,且倾斜角为n 的直线与抛物线交于A, B 两点,解析：设A （x i , 若弦AB 的垂直平分线经过点（0,2），贝U y i ） , B （X 2, y 2）, AB 中点 M （x o , y o ），则 y 1 = 2px i , y 2 = 2px 2,两式相p 等于,口y i — y 2 得(yi +y 2)• y i —2，于是直线tk = 2 =tp+ 2p11 分别以A , B 为切点作抛物线的切线|1, |2,设|1, |2相交于点P.（1）求点P 的坐标;如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由.—-2,3、 y o +2=3 入 + 6卩，6, — 2 .即 1 3、、 2丿 y o + 2= 2 入-卩,2入=9，=y 。
高职高考数学第八章平面解析几何8-8抛物线练习课件
方程为
()
A.(x-2)2+y2=16
B.(x-2)2+y2=4
C.(x+2)2+y2=16
D.(x+2)2+y2=4
【答案】C
6.抛物线x2+4y=0上一点到准线的距离为8,则该点的纵坐标是
()
A.7
B.6
【答案】C
C.-7
D.-6
7.已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0与坐标轴的交点上,则此抛物
D.最多有四个
Hale Waihona Puke 3.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为 (
A.1
B.2
C.4
【答案】B
) D.8
4.顶点在原点,对称轴为x轴,且过点(2,-2)的抛物线的方程为( )
A.y2=2x
B.y2=-2x C.x2=2y
D.x2=-2y
【答案】A
5.以抛物线y2=-8x的焦点为圆心,并且与抛物线的准线相切的圆的
第一部分 节练习
第八章 平面解析几何
8.8 抛物线
一、选择题
1.抛物线y2=12x的焦点坐标为
A.(3,0) 【答案】A
B.(0,3)
() C.(6,0)
D.(0,6)
2.圆心在抛物线y2=2px(p>0)上,且与x轴及抛物线的准线都相切的
圆()
A.有且仅有一个
B.不存在
C.有且仅有两个 【答案】C
线的标准方程是 ( )
A.y2=16x
B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y
D.y2=16x或x2=8y
【答案】C
8.抛物线x2=4ay(a<0)的准线方程是( )
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课时作业58 抛物线一、选择题1．(2016·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F (a ，0)(a <0)，则抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2axD ．y 2＝－4ax解析：以F (a ，0)为焦点的抛物线的标准方程为y 2＝4ax . 答案：B2．(2016·东北三省三校一联)点M (1，1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( )A.14 B ．－112C.14或－112D ．－14或112解析：抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ，因为点M (1，1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或a ＝－112，故选C.答案：C3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是双曲线x 25＋p －y 27＋p ＝1的一个焦点，则p 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线的半焦距为c ＝12＋2p ，∴12＋2p ＝p 24，∴p ＝12(负值舍去)，故选D.答案：D4．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛线物C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故选B. 答案：B5．(2016·山西质检)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，与C 交于点P ，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，22)C ．(3，23)D ．(4，4)解析：由题意，得抛物线的准线方程为x ＝－1，F (1，0)．设E (－1，y )，因为PQ 为EF 的垂直平分线，所以|EQ |＝|FQ |，即y －32＝（－1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得y ＝4，所以k EF ＝4－0－1－1＝－2，k PQ ＝12，所以直线PQ 的方程为y －32＝12(x ＋1)，即x －2y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即点P 的坐标为(4，4)，故选D. 答案：D6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2解析：由题意可设直线方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消参得4x 2－12px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝3p .∵线段AB 的中点的横坐标为3，∴3p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1. 答案：C 二、填空题7．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________． 解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的左顶点为(－1，0)，所以－p2＝－1，p ＝2.答案：28．(2016·河南洛阳一模)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程，得x 2a 2－y 23a 2＝1，∴其焦点坐标为(±2a ，0)，(2a ，0)与抛物线的焦点重合，联合抛物线与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－29．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛线物上一点，PA ⊥l ，垂足为A .如果△APF 是边长为4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____________，点P 的横坐标x P ＝__________．解析：如图所示，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，则|PA |＝y 202p ＋p 2＝4，又在Rt △AMF 中，∠AFM ＝∠FAP ＝60°，故tan ∠AFM ＝|AM ||MF |＝|y 0|p ＝3，联立①②得p ＝2，|y 0|＝23，故焦点坐标为(1，0)，点P 的横坐标为x ＝y 202p＝3.答案：(1，0) 3 三、解答题10．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5，0)是圆M 与x 轴的不同于F 的一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)过F 且斜率为43的直线n 与C 交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．解：(1)由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， Q ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，3p ，点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p ，|MF |＝2p . 由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点， 所以3p 2＝p2＋52，解得p ＝2，故抛物线C ：y 2＝4x ，圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16. (2)由题意知直线n 的方程为y ＝43(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝43（x －1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.设A (4，4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，则|AB |＝254.点Q (－1，23)到直线n ：4x －3y －4＝0的距离d ＝8＋635，所以△ABQ 的面积S ＝12|AB |·d ＝20＋1534.11．(2016·辽宁大连双基)已知过点(2，0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4（y 1＋y 2）（my 1＋4）（my 2＋4）＝－8mp ＋8mp（my 1＋4）（my 2＋4）＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2，16p 2－4py 0（y 2＋y 1）＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0（y 2＋y 1）＋y 20＝－2，16p 2－8p 2my 0－4py 2－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x .1．(2015·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比为( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由题可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A ＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.答案：A2．(2015·福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：解法1：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)． 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ， 这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法2：(1)同解法1.(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)． 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0， 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．3．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423.(1)求抛物线E 的方程；(2)过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O (O 为原点)三点共线，求点N 的坐标．解：(1)由已知得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，C (2，0)．如图，设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223.于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝13.由△AMC ∽△RAC 得|MC ||AC |＝|AC ||RC |，∴|MC |＝3，即2＋p2＝3，p ＝2.故抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)如图，设N (s ，t )．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －s ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝（s －2）2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0.① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0.② 由②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0.③P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝32.又点N 在抛物线E ：y 2＝4x 上．所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6.。