高考数学中的恒成立问题与存在性问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
“恒成立问题”的解法
常用方法:①函数性质法;②主参换位法;③分离参数法;④数形结合法。 一、函数性质法
1.一次函数型:给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >,则根据函数
的图象(直线)可得上述结论等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ;同理,若在[m,n]内恒有()0f x <,则有⎩
⎨⎧<<0)(0
)(n f m f .
例1.对满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式2
12x px px x ++>+恒成立的x 的取值范围。
略解:不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2
()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于
0,故有:⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ,即⎪⎩⎪
⎨⎧>->+-0
10342
2x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.
2.二次函数:
①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>(或0<)在R 上恒成立,则有00a >⎧⎨∆<⎩(或00
a <⎧⎨
∆<⎩); ②.若二次函数2
()(0)0f x ax bx c a
=++≠>(或0<)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2.
已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 的值至少
有一个为正数,则实数m 的取值范围是( )
A .(0,2)
B .(0,8)
C .(2,8)
D .(-∞,0)
选B 。
例3.设2
()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时,都有()f x a ≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设2
()()22F x f x a x ax a =-=-+-,
(1)当4(1)(2)0a a ∆=-+≤时,即21a -≤≤时,对一切[1,)x ∈-+∞,()0F x ≥恒成立; (2)当4(1)(2)0a a ∆=-+>时,由图可得以下充要条件:
0(1)021,2
f a
⎧⎪∆>⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎩即(1)(2)0
30
1,a a a a -+>⎧⎪
+≥⎨⎪≤-⎩32a ⇒-≤<-;综合得a 的取值范围为[-3,1]。 例4.关于x 的方程9(4)340x
x
a +++=恒有解,求a 的范围。
解法:设3x
t =,则0t >.则原方程有解即方程2
(4)40t a t +++=有正根。
1212
(4)040
x x a x x ∆≥⎧⎪
∴+=-+>⎨⎪=>⎩2(4)1604a a ⎧+-≥⇒⎨<-⎩8a ⇒≤-.
3.其它函数:
()0f x >恒成立⇔min ()0f x >(若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界≥0)
; ()0f x <恒成立⇔max ()0f x <(若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界≤0).
例5.设函数3
21()(1)4243
f x x a x ax a =
-+++,其中常数1a >, (1)讨论()f x 的单调性;
(2)若当0x ≥时,()0f x >恒成立,求a 的取值范围。
解:(2)由(I )知,当0≥x 时,)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3
1)2(23+⋅++-=a a a 24434
23++-=;a f 24)0(=
-1 o x
y
则由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1
f a f a 即1,4(3)(6)03240.
a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩16a ⇒<<∴(1,6)a ∈。
二、主参换位法:某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 例6.已知函数32
3()(1)132
a f x x x a x =
-+++,其中a 为实数. (1)已知函数()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;
(2)已知不等式2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围.
解:由题设知“2
2
3(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞,都成立,
即2
2
(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞,
都成立。设22()(2)2g a x a x x =+--(a R ∈),则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。220x +>恒成立,则对∀x R ∈,()g a 为R 上的单调递增函数。 所以对∀(0)a ∈+∞,,
()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥,220x x --≥,∴20x -≤≤,于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。
三、分离参数法:利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥(D x ∈,λ为实参数)恒成立时参数λ的取值范围的基本步骤:
(1) 将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值;
(3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,求得λ的取值范围。 适用题型:(1)参数与变量能分离;(2)函数的最值易求出。 例7.当(1,2)x ∈时,2
40x
mx ++<恒成立,则m 的取值范围是.