4.2简单幂函数的图象和性质课件
第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小;
当 = −3时,2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数,但不满足当 ∈ 0, +∞ 时,
随的增大而减小,故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数,且在
故A正确;
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点,故B不正确;
当 > 0时, > 0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故C不正确;
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 , 0,0 , 1,1 ,共三个,故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增,则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1,即 + 1 − 3 = 0,
解得 = −1或 = 3,
∴ 当 = −1时, − 2 = −3,则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减,不合题意;
当 = 3时, − 2 = 1,则 = 在 0, +∞ 上单调递增,符合题意,∴ = 3,
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(2)g(x) 3x3 4x2 3x 2
(3)h(x) x3 1 1 x3
(4)u(x) ( x)2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ,试判断这个偶 函性 .数
x2 1,x0.
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ,则f(x)在(-∞,0]上是( A )
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2:观察y=x2的图像,说出它 有哪些特征? 图像回放
对任意的x,f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范:判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性:
(1)f (x)
4 x2
x2 6x 9 3
简单的幂函数
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数,底数是自变量x,
指数是常量,即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y1
图
y x2
问题1:观察y=x3的图像,说出它 有哪些特征? 图像回放
对任意的x,f(-x)=-f(x)
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数,在[a,b]上是
减少的,则它在[-b,-a]上是( B )
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
拓展性训练题
函数简单的幂函数课件

函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义:形如y=x^a的函数,其中a为常数。
幂函数在高等数学中占有重要地位,其性质和应用有着广泛的应用。
0102非零的常数次幂函数$y=x^a$,当a>0时,函数在$(0,+\infty)$上单调递增;当a<0时,函数在$(0,+\infty)$上单调递减。
幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发,在$y$轴右侧的图象是上升的,在$y$轴左侧的图象是下降的,并且图象过点$(0,0)$。
幂函数的奇偶性当$a$为整数时,幂函数为奇函数;当$a$为偶数时,幂函数为偶函数。
当$a$为负奇数时,幂函数为既奇又偶函数;当$a$为负偶数时,幂函数为非奇非偶函数。
幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称;$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。
幂函数的扩展在实际应用中,可以将幂函数扩展到多个变量的情形,如二元三次幂函数等。
03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域,2.函数式,3.图象1.定义域的确定,2.函数式的变换,3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理,2.函数式变换的准确性,3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性,2.奇偶性,3.周期性基本性质1.函数的单调性,2.函数的奇偶性,3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间,2.幂函数的奇偶性判断,3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系,掌握利用幂函数求解方程的方法。
利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握,利用幂函数求解方程的解,特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。
幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用,主要是指利用幂函数的性质和图像特点,通过观察幂函数的图像来确定方程的根。
高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4-2简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
【素养目标】 1.通过具体实例,理解幂的概念.(数学抽象) 2.会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性 质.(直观想象) 3.理解常见幂函数的基本性质.(逻辑推理)
【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体,学生应自己动手在同一个平面直角坐 标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进 而研究一般幂函数的图象和性质.
___(1_,__1_)___
思考2:在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性? 提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0,y=xα是增函数;当α<0 时,y=xα是减函数.
基础自测
1.下列函数为幂函数的是
( D)
A.y=2x4
B.y=2x3-1
C.y=2x
D.y=x2
[解析] y=2x4 中,x4 的系数为 2,故 A 不是幂函数;y=2x3-1 不
题型二
Hale Waihona Puke 幂函数的图象例 2 函数 y=xα 与 y=αxα∈-1,1,12,2,3的图象只可能是
下面中的哪一个
(C)
[分析] 逐个分析函数图象,也可给α分别取已知数值,研究两个函
数在同一个坐标系的图象形状.
[解析] A 中直线对应函数 y=x,曲线对应函数为 y=x-1,1≠-1,
1
故 A 错;B 中直线对应函数为 y=2x,曲线对应函数为 y=x2
【对点练习】❸ (1)比较下列各组数的大小:
①1.10.1,1.20.1;②0.24-0.2,0.25-0.2.
(2)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m=
A.1
幂函数的性质与图像ppt

幂函数的性质与图像ppt于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到:(1)所有的图形都通过(1,1)这点。
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。
(6)显然幂函数无界。
篇二:幂函数的性质与图像(一) - 黄浦教研→首页幂函数的性质与图像(一)学校:储能中学执教:陈云青日期:2011-12-6教学目标1.知道幂函数的概念,会用有代表性的k的值,讨论幂函数的定义域、单调性、奇偶性及最值;2.在探究幂函数的性质与图像的过程中,体会研究函数性质的过程与方法; 3.在交流研究幂函数性质的活动中,感悟数学思想方法。
教学重点幂函数的性质与图像。
教学难点探索研究幂函数性质与图像的途径,熟悉由特殊到一般的数学思想。
情景引入建立下列问题的函数关系:(1)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y?____________ ;(2)如果一个正方体容器的体积为x,那么该正方体容器的棱长y?____________ ;(3)如果某人在x秒内,骑自行车行了1km,那么他骑自行车的平均速度y?____________ 。
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-2《简单幂函数的图象和性质》课件PPT

1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
《幂函数及其图象》课件

欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件!本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用,并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧!
什么是幂函数?
幂函数是一类特殊的函数,其定义为f(x) = x^a,其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a,其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值,包括定义域、值域等,求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法,求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式,以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用,如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集,且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时,幂函数图象向上开口;当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时,幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用,用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例,增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线,帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系,用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象
北师大版242简单幂函数的图象和性质课件(29张)

[练习2]图中的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象,已知α取±2,±
1 2
四个值,则相
应于曲线C1,C2,C3,C4的α依次为( B )
A.-2,-21,21,2
B.2,21,-12,-2
C.-12,-2,2,12
D.2,12,-2,-21
解析:由题意知,C3,C4的函数对应的α值为负值,而C1,C2的函数对应的α值应为 正值.且由x>1时,C1的图象在C2的上方,C3的图象在C4的上方,可知选B.
作幂函数的图象的原则与方法 (1)原则:联系函数的定义域、值域、单调性、对称性等函数的性质. (2)方法:先画第一象限,然后根据对称性和定义域画其他象限. ①指数大于1,在第一象限的图象,类似于y=x2的图象; ②指数等于1,在第一象限为上升的射线; ③指数大于0且小于1,在第一象限的图象,类似于y= x的图象; ④指数等于0,在第一象限为水平的射线; ⑤指数小于0,在第一象限类似于y=x-1的图象.
1 3
<14
1 3
D.15
1 3
<14
1 3
<
1 2
1 3
解析:∵y=x
1 3
在(0,+∞)上是增函数,且51<41<
1 2
,∴15
1 3
<14
1 3
<
1 2
1 3
,故选
D.
3.若幂函数y=(m2-3m+3)xm-4的图象不过原点,则m的值是___1_或__2__. 解析:由题意得mm2--43≤m0+,3=1, 解得m=1或m=2.
[防范措施] (1)在解题时要认真分析题目条件,选准解题的入手点,最后要注意根 据题目的要求用准确的数学语言将其表述出来.
(2)本题综合性较强,解题的关键是准确把握幂函数的图象,抓住了幂函数的图象就 抓住了性质,也就有效地克服了应用中的难点.
北师大版高中数学必修第一册2.4.2简单幂函数的图象和性质课件

教材要点 要点一 幂函数的概念 一般地,形如___y=__x_α__(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是 常数的函数称为幂函数.
要点二 幂函数的图象和性质
函数
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
{_x_|_x_≥___0_}
{_x_|_x_≠___0_}
值域
R
6.(13分)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时f(x): (1)是幂函数;
解析:∵f(x)是幂函数, 故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1.
(2)是正比例函数;
(3)是反比例函数;
(4)是二次函数.
解析:若f(x)是二次函数,则-5m-3=2, 即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.
解析:过原点的指数α>0,不过原点的α<0,所以n<0, 当x>1时,在直线y=x上方的α>1,下方的α<1,所以p>1,0<m<1,0<q<1;x>1 时,指数越大,图象越高,所以m>q.综上所述n<q<m<p.
答案:B
四
状元随笔 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若指 数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则 考虑用中间值法比较大小,中间值可以是“0”或“1”.
答案:B
3.[多选题]已知幂函数f(x)=xα(α是常数),下列说法错误的是( ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)在(0,+∞)上单调递增 C.f(x)的图象一定经过点(1,1) D.f(x)的图象有可能经过点(1,-1)
中职数学4.2-幂函数ppt课件

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8
练习1、下列函数中,哪几个
函数是幂函数? 答案:(1)(4)
(1)y = 1
x2
(3)y=2x
(2)y=2x2 (4)y=1
(5) y=x2 +2 (6) y=-x3
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9
二、幂函数应用
例1 写出下列函数的定义域:
(1)y = x 3 ;
1
(2)y = x 2 ;
(3)y = x -2 ;
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
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19
-6
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
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4.2
幂 函 数
1
基本信息
•中文名 杨幂
•外文名 YangMi,Mini •别名 紫曦,幂幂,狐狸,小幂,狐小幂 •国籍 •民族 汉族 •出生日期 1986年9月12日 •毕业院校 北京电影学院 •音乐作品《爱的供养》、《宫锁心玉》 •影视作品《宫》、《仙剑奇侠传三》、《 上海电视节白玉兰奖最佳女演员 •身高 1.68m •生肖 虎 •血型 B型 •体重 45kg •丈夫 刘恺威
V是a的函数
y=x3
(长4)_如a__果_S _一12__个__正方a是形S场的地函的数面积为y=Sx,12 那么正方形的边
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[解] (1)∵0.3>0, ∴y=x0.3在(0,+∞)上为增函数.又52>13, ∴250.3>130.3. (2)∵-1<0, ∴y=x-1在(-∞,0)上是减函数,又-32<-35, ∴-23-1>-35-1.
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点:指数不变.比 较大小的问题主要是利用函数的单调性,特别是要善于应用“搭 桥”法进行分组,常数0和1是常用的中间量.
[解] ∵函数在(0,+∞)上递减,∴m2-2m-3<0,解得-1< m<3.
∵m∈N*,∴m=1,2.又函数的图象关于y轴对称, ∴m2-2m-3是偶数, 又22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数, ∴m=1.
∴
a+1
-13
<
3-2a
-13
,即f(x)=x
-13
在(-∞,0)上是减函数,在
[跟进训练]
1
4.已知幂函数 f(x)=xm2+m(m∈N+). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调 性;
(2)若函数还经过(2, 2),试确定 m 的值,并求满足 f2-a>fa-1 的实数 a 的取值范围.
[解] (1)∵m∈N+,∴m2+m=m(m+1)为偶数. 令m2+m=2k,k∈N+,则f(x)=2k x, ∴定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上fx为增函数.
若关于x的方程f(x)=k有两
(x-1)3,x<2.
个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
(0,1) [作出函数图象如图所示,则当0<k<1时,关于x的方程
f(x)=k有两个不同的实根.
]
4.比较下列各组数的大小 (1)2-13,1313;(2)0.20.5,0.40.3 [解] (1)由于幂函数 y=x-13在0,+∞上是减函数, 所以 2-13>3-13,又 3-13=1313,所以 2-13>1313. (2)由于指数函数 y=0.2x 在0,+∞上是减函数,所以 0.20.5<0.20.3 由于幂函数 y=x0.3 在0,+∞上是增函数,所以 0.20.3<0.40.3,所 以 0.20.5<0.40.3.
函数解析式中只有满足幂的系数为1,底数为自变量x,指数为 常量这三个条件,才是幂函数.如:y=3x2,y=(2x)3都不是幂函 数.
[跟进训练] 1.已知y=(m2+2m-2)xm2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值. [解] 由题意得2mn2-+32=m-0,2=1,
m=-3或1, 解得n=32, 所以m=-3或1,n=32.
3.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x 12(1-4t-t2) (t∈Z)是偶函数,且在(0, +∞)上是增加的,则函数的解析式为________.
f(x)=x2 [∵f(x)是幂函数, ∴t3-t+1=1, 解得t=-1或t=0或t=1. 当t=0时,f(x)=x12是非奇非偶函数,不满足题意; 当t=1时,f(x)=x-2是偶函数,但在(0,+∞)上是减少的,不满 足题意;
1
(2)∵
2
=
1
22
=2m2+m,∴m2+m=2,解得 m=1 或 m=-2(舍去),
∴f(x)=x12,
由(1)知 fx在定义域[0,+∞)上为增函数,
∴f2-a>fa-1等价于 2-a>a-1≥0,
解得 1≤a<32.
故 a 的取值范围为1,32.
课堂 小结 提素 养
1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x 为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是不是幂函数的依据和 标准.
3.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点_(1_,__1_)_; (2)α>0 时,幂函数的图象通过原__点__,并且在区间[0,+∞)上是增__ 函数.特别地,当 α>1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α<1 时,幂函数 的图象上凸; (3)__α_<_0__时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
3.在具体应用时,不一定是 y=xα,α=-1,12,1,2,3 这五个 已研究熟的幂函数,这时可根据需要构造幂函数,并针对性地研究某 一方面的性质.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=-1x是幂函数. (2)当x∈(0,1)时,x2>x3. (3)y=x32与y=x64定义域相同. (4)若y=xα在(0,+∞)上为增函数,则α>0. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[跟进训练] 3.比较下列各数的大小: (1)(-23)23和(-π6)23; (2)4.125,3.8-23和-1.935.
[解] (1)函数y=x23在(-∞,0)上为减函数,又-23<-π6, ∴-2323>-π623. (2)4.125>125=1;0<3.8-23<1-23=1;-1.935<0, ∴-1.935<3.8-23<4.125.
合作 探究 释疑 难
幂函数的概念
【例1】
在函数y=
x
,y=
1 x2
,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂
函数的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
[思路点拨] 从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函 数的定义.
B [因为y= x=x12,y=x12=x-2,所以是幂函数; y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数; y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数; y=1=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的 图象多了一个点(0,1), 所以常函数y=1不是幂函数.]
2.幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般 从两个方面考查:(1)α>0 时,图象过(0,0),(1,1)在第一象限的图象 上升;α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.(2) 曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸; α<0 时,曲线下凸.
当t=-1时,f(x)=x2,满足题意. 综上所述,实数t的值为-1, 所求解析式为f(x)=x2.]
4.已知函数f(x)=(2m-3)xm+1是幂函数. (1)求m的值; (2)判断f(x)的奇偶性. [解] (1)因为f(x)是幂函数,所以2m-3=1, 即m=2. (2)由(1)得f(x)=x3,其定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=- f(x),故f(x)是奇函数.
1.已知幂函数fx=kxα的图象过点12, 22,则k+α等于(
)
A.12
B.1
C.32
D.2
C [由幂函数的定义知k=1.又f12= 22, 所以12α= 22,解得α=21,从而k+α=32.]
2.函数y=x13的图象是( )
A
B
C
D
B [当0<x<1时,x13>x;当x>1时,x13<x,故选B.]
第二章 函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念.(重点)
2.掌握 y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y= 1.借助幂函数的图象的学
x12的图象与性质.(重点)
习,培养直观想象素养.
3.掌握幂函数在第一象限的分类特征, 2.通过幂函数的性质的学
() () () ()
2.如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,
±12四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为(
)
A.-2,-21,21,2
B.2,12,-12,-2
C.-12,-2,2,12
D.2,12,-2,-12
B [由幂函数的性质,知选B.]
3.已知函数f(x)= 2x,x≥2,
幂函数的图象及应用
【例2】
若点(
2
,2)在幂函数f
x
的图象上,点
2,14
在幂函数
gx的图象上,问当x为何值时,(1)fx>gx;(2)fx=gx;(3)fx<gx.
α
[解]
设fx=xα,则2=
2
,解得α=2,则fx=x2.
同理可求得gx=x-2.
在同一坐标系内作出函数f
x
=x2和g
x
=x-2
的图象(如图所示),观察图象可得:
(1)当x>1或x<-1时,fx>gx;
(2)当x=1或x=-1时,fx=gx;
(3)当-1<x<1且x≠0时,fx<gx.
随着α的变化,其图象也随着变化,讨论其图象的特点时,可分 0<α<1,α>1和α<0三种情况讨论.
[跟进训练]
2.当0<x<1时,函数f
(0,+∞)上是减函数,且当x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0,∴
0>a+1>3-2a或a+1>3-2a>0或a+1<0<3-2a,解得a<-1
或23<a<32.
故a的取值范围为aa<-1或23<a<32.
幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值 有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质,也可由 这些性质去限制α的取值.
x
=x1.1,g
x
=x0.9,h
x
=x-2的大小关系是
________________.
h x >g x >f x
[如图所示为函数f
x
,g
x