4.2简单幂函数的图象和性质课件

能运用数形结合的方法处理幂函数有关 习，培养逻辑推理素养．
问题．(重点、难点)
自主 预习 探新 知
Hale Waihona Puke Baidu
1．幂函数的概念 形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函 数称为幂__函__数__．
思考：y＝1x≠0是幂函数吗？ 提示：是．因为它可写成y＝x0x≠0的形式．
2．幂函数的图象 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝x12；(3)y＝x2；(4)y ＝x－1；(5)y＝x3 的图象．
当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意． 综上所述，实数t的值为－1， 所求解析式为f(x)＝x2.]
4．已知函数f(x)＝(2m－3)xm＋1是幂函数． (1)求m的值； (2)判断f(x)的奇偶性． [解] (1)因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1， 即m＝2. (2)由(1)得f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－ f(x)，故f(x)是奇函数．
＝x－2
的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，fx>gx；
(2)当x＝1或x＝－1时，fx＝gx；
(3)当－1<x<1且x≠0时，fx<gx.
随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分 0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
[跟进训练]
2．当0<x<1时，函数f
1．已知幂函数fx＝kxα的图象过点12， 22，则k＋α等于(
)
A．12
B．1
C．32
D．2
C [由幂函数的定义知k＝1.又f12＝ 22， 所以12α＝ 22，解得α＝21，从而k＋α＝32.]
2．函数y＝x13的图象是( )
A
B
C
D
B [当0<x<1时，x13>x；当x>1时，x13<x，故选B.]
第二章 函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
学习目标
核心素养
1．了解幂函数的概念．(重点)
2．掌握 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ 1．借助幂函数的图象的学
x12的图象与性质．(重点)
习，培养直观想象素养．
3．掌握幂函数在第一象限的分类特征， 2．通过幂函数的性质的学
[跟进训练]
1
4．已知幂函数 f(x)＝xm2＋m(m∈N＋). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调 性；
(2)若函数还经过(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足 f2－a>fa－1 的实数 a 的取值范围．
[解] (1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数． 令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝2k x， ∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上fx为增函数．
(0，＋∞)上是减函数，且当x＜0时，f(x)＜0，当x＞0时，f(x)＞0，∴
0＞a＋1＞3－2a或a＋1＞3－2a＞0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1
或23＜a＜32.
故a的取值范围为aa<－1或23<a<32.
幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值 有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由 这些性质去限制α的取值．
3．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 12(1－4t－t2) (t∈Z)是偶函数，且在(0， ＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________．
f(x)＝x2 [∵f(x)是幂函数， ∴t3－t＋1＝1， 解得t＝－1或t＝0或t＝1. 当t＝0时，f(x)＝x12是非奇非偶函数，不满足题意； 当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上是减少的，不满 足题意；
3．在具体应用时，不一定是 y＝xα，α＝－1，12，1，2，3 这五个 已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某 一方面的性质．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝－1x是幂函数． (2)当x∈(0，1)时，x2>x3. (3)y＝x32与y＝x64定义域相同． (4)若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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[跟进训练] 3．比较下列各数的大小： (1)(－23)23和(－π6)23； (2)4.125，3.8－23和－1.935.
[解] (1)函数y＝x23在(－∞，0)上为减函数，又－23<－π6， ∴－2323>－π623. (2)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；－1.935<0， ∴－1.935<3.8－23<4.125.
函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为 常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3都不是幂函 数．
[跟进训练] 1．已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解] 由题意得2mn2－＋32＝m－0，2＝1，
m＝－3或1， 解得n＝32， 所以m＝－3或1，n＝32.
幂函数的图象及应用
【例2】
若点(
2
，2)在幂函数f
x
的图象上，点
2，14
在幂函数
gx的图象上，问当x为何值时，(1)fx>gx；(2)fx＝gx；(3)fx<gx.
α
[解]
设fx＝xα，则2＝
2
，解得α＝2，则fx＝x2.
同理可求得gx＝x－2.
在同一坐标系内作出函数f
x
＝x2和g
x
1
(2)∵
2
＝
1
22
＝2m2＋m，∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝x12，
由(1)知 fx在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f2－a>fa－1等价于 2－a>a－1≥0，
解得 1≤a<32.
故 a 的取值范围为1，32.
课堂 小结 提素 养
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的依据和 标准．
() () () ()
2．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，
±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(
)
A．－2，－21，21，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2，2，12
D．2，12，－2，－12
B [由幂函数的性质，知选B.]
3．已知函数f(x)＝ 2x，x≥2，
2．幂函数 y＝xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂，一般 从两个方面考查：(1)α>0 时，图象过(0，0)，(1，1)在第一象限的图象 上升；α<0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2) 曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时，曲线下凸；0<α<1 时，曲线上凸； α<0 时，曲线下凸．
[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜ m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1.
∴
a＋1
－13
<
3－2a
－13
，即f(x)＝x
－13
在(－∞，0)上是减函数，在
3．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点_(1_，__1_)_； (2)α>0 时，幂函数的图象通过原__点__，并且在区间[0，＋∞)上是增__ 函数．特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1 时，幂函数 的图象上凸； (3)__α_<_0__时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
角度二 由幂函数的大小求字母的取值范围
【例4】
已知幂函数f
x
＝x
m2－2m－3
(m∈N*)的图象关于y轴对称，
且在(0，＋∞)上是减函数，求满足
a＋1
－m3
<
3－2a
－m3
的a的取值范
围．
[思路点拨] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再
结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．
x
＝x1.1，g
x
＝x0.9，h
x
＝x－2的大小关系是
________________．
h x >g x >f x
[如图所示为函数f
x
，g
x
，h x
在(0，1)上的图象，
由此可知，hx>gx>fx.
]
幂函数性质的应用 角度一 比较幂的大小 【例3】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)250.3与130.3；(2)－23－1与－35－1
若关于x的方程f(x)＝k有两
（x－1）3，x＜2.
个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
(0，1) [作出函数图象如图所示，则当0<k<1时，关于x的方程
f(x)＝k有两个不同的实根．
]
4．比较下列各组数的大小 (1)2－13，1313；(2)0.20.5，0.40.3 [解] (1)由于幂函数 y＝x－13在0，＋∞上是减函数， 所以 2－13>3－13，又 3－13＝1313，所以 2－13>1313. (2)由于指数函数 y＝0.2x 在0，＋∞上是减函数，所以 0.20.5<0.20.3 由于幂函数 y＝x0.3 在0，＋∞上是增函数，所以 0.20.3<0.40.3，所 以 0.20.5<0.40.3.
合作 探究 释疑 难
幂函数的概念
【例1】
在函数y＝
x
，y＝
1 x2
，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂
函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[思路点拨] 从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函 数的定义．
B [因为y＝ x＝x12，y＝x12＝x－2，所以是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的 图象多了一个点(0，1), 所以常函数y＝1不是幂函数．]
[解] (1)∵0.3>0， ∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又52>13， ∴250.3>130.3. (2)∵－1<0， ∴y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－32<－35， ∴－23－1>－35－1.
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比 较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭 桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．