第4-5章信号的频域分析

jn0 jn0 2 e 2 e 2 n jA n A 2 (2 j )sin 0 sin 0 Tn0 2 T n0 2
A T
1 A e jn0t T jn0

2
jA Tn0
n0 A Sa ( ) T 2
7. 频域卷积特性
8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性
例 ：求序列 f [k ] {1, 2, 1}的DTFT 1
F (e j ) 1 2e j e j 2 (1 e j )2
e
j
4 cos 2
2 2
F (e
j
) 4 cos 2
k
j
2 ( 0 ) k 2
k
利用泊松求和公式
1 2nt T (t ) (t kT ) exp( j ) T n T k
可得
DTFT{e
j0 k
} 2 ( 0 2 r )
2 2 ( 0 )
r
例 ： (e j ) 1 / 1F
-jT
F1 ( j) F ( j)e
A Sa (

2
) e - j T
[例2] 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相 乘后信号的频谱函数。
[解] 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为
F ( j ) A Sa (
应用频移特性可得

2
)
1 1 F[ f (t ) cos0t ] F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2
f (t )
A
(A)
f ' (t )


2
0

2
t
/ 2
/2
0 (A)
t
[解]
f ' (t ) A (t ) A (t ) 2 2


2

F[ f ' (t )] Ae
j
Ae
-j

2
A 2 j sin( ) 2

由上式利用时域微分特性，得
F[ f ' (t )] ( j ) F ( j ) A 2 j sin( ) 2 2A 因此有 F ( j ) sin( ) ASa ( ) 2 2
A / T

2
2


n 0
0 2 / T
[例题3]
f (t )
2 1
f (t ) 1.5
n 1

n nt Sa ( ) cos( ) 2 2
-4 -3 -2 -1
1
2
3 4
t
f1 (t )
2
-4 -3 -2 -1
1
2
3 4
t
f 2 (t )
1
f 2 (t ) 0.5


2

2
t

2
2



分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
f (t ) (A / T0 ) (2A / T0 )Sa (n0 / 2) cosn0t
n 1
若=T/2，则有
fT (t ) A 2A 1 1 (cos 0t cos 3 0t cos 5 0t ) 2 3 5
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。
[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。
f1 (t )
A
f (t )
A

T t
0


2
0

2
t
[解] 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，
其对应的频谱函数为
F ( j ) A Sa (
因为

2
)
f1 (t ) f (t T )
故，由延时特性可得
P 1 | F (n 0 ) |2 F 2 (0) 2 | F (n 0 ) |2 0.1806
n =1 4 4
n = —4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
Fn
1 25
8
2
40
40
n 0
周期信号的功率谱
[例题] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 [解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
1 4 f (t ) cos n0t 2 2 m=1 [(2m 1) ]
1 4 4 4 2 cos 0t 2 cos 30t cos 50t 2 2 9 25
例1周期矩形脉冲信号的频谱图
n0 A Fn Sa ( ) T 2
Fn
n 1

n nt Sa ( ) cos( ) 2 2
-4 -3 -2 -1
1
2
3 4
t
[例题4] 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽 (0~2/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信 号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
fT (t ) A
T


2

2
T
t
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为 n0 A
0.5 f [k ] 0 2 /( 2 k 2 ) k 0 k even k odd
例2
DTFT{ f [k ] cos(k )} ( F (e j ( ) ) F (e j ( ) ) / 2
F ( e j ) Y 1
2

2

周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为
1 2 e j ( 2 m1)0 t f (t ) Fn e 2 m= [(2m 1) ]2 n = n为奇数 jn0t f (t ) F0 2 Re( Fn e )

jn0t
由
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为
1. 线性特性
af1 (t ) bf2 (t ) aF () bF2 () 1
F ( jt ) 2f ( )
f (at) 1 F( j ) a a
2. 对称互易特性
3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性
f (t t0 ) F ( j ) e-jt 0
1 (n )
0 1
e
1
0
jn0t
dt te
jn0t
1 0
e jn0t dt)
0Βιβλιοθήκη Baidu
1
(cosn 1) 2
2 0 T
2 / ( n ) 2 , n为奇数 1 Fn (cos n 1) 1/ 2; n 0 2 (n ) 0; n 0且为偶数

[例4]
试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。
[解] 已知单位阶跃信号傅立叶变换为:
1 F [u (t )] ( ) j
故利用频域微分特性可得:
d 1 1 F [tu (t )] j [ ( ) ] j ( ) 2 d j
傅立叶变换性质一览表
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级 f (t ) 数展开式。 A
-T 0
T
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开
1 T 1 Fn 2T f (t )e jn0t dt 2 Ae jn0t dt T 2 T 2
()
例2： DTFT{ u[k ]}
k
1
k jk
解：
F (e )
4
j

k 0

e

1 1 e j
3 |F(ej)|
2
1
0
3
2

0

2
3

例3： DTFT{e j0k }
DTFT{e j0k } e j0k jk e

2

ó Æ ×Ò
F (e 1
2 j ( )
)

2


2
F (e j ( ) ) 1
2
Ò Æ Ó Ò

2


0
2
2
0
0
20 30

因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为
f (t )
n =
F

n e
jn0t
A T

n =


Sa(
n0 jn0 t )e 2
由
f (t ) F0 2 Re( Fn e jn0t )
n 1
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为
( 0 ) ( 0 ) 1 { A Sa[ ] A Sa[ ]} 2 2 2
F ( j )
f (t )
A
/ 2
0
/2
t
0

f (t ) cos 0 t
A
F ( j )
/ 2
/2
t
0
0
0

[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。
A， f (t ) 0，

| t | / 2 | t | / 2
由傅立叶正变换定义式，可得
F ( j ) f (t )e j t dt 2 A e j t dt
2
A Sa (
F ( ) A

2
)
f (t ) A
Fn T Sa ( 2 )
将A=1，T=1/4，=1/20，0=2/T=8 代入上式
Fn 0.2 Sa (n0 / 40) 0.2 Sa (n / 5)
信号的平均功率为
1 P T

T /2
T / 2
f 2 (t )dt 0.2
包含在有效带宽(0~2/)内的各谐波平均功率为
f (t ) e j0t F[ j ( 0 )]
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j ) 1 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( j ) F2 ( j )] 2 n d f ( j ) n F ( j ) n dt t 1 f ( )d j F ( j ) F (0) ( ) n n n dF ( j ) t f (t ) j d n
f (t )

- 2 1
0

2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Fn存在 1 1 T 1 0 jn0t jn0t 2 Fn T f (t )e dt ( te dt te jn0t dt) 0 T 2 2 1
1 (te jn0t 2 jn0

0 0
j
解：
G(e
j
dF(e j ) 1 / ) d 1 /

1 g[k ] 2

G(e j )e jk d

2
sin kd 0
k 0 0 j ((1) k 1) /( 2 k ) k 0