17.3.3勾股定理的逆定理
初中数学勾股定理及其逆定理
勾股定理中考要求知识点睛1． 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
例题精讲【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选D. 【答案】D【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 【解析】可知三边为345，，，所以周长为12 【答案】12【例3】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【解析】勾股数中只有唯一的一组:6，8，10. 【答案】6，8，10【巩固】在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 【解析】设另外两个数为1n n +，，则()222111n n +-=，故三个数分别为666511，， 【答案】132cm ．【例4】 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C. 【答案】C【例5】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【解析】本题易错.最短边为6，它的高为8.选D .【答案】D【例6】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】B【例7】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.【解析】直接应用勾股定理,且c 为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25. 【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25【例8】 △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；(3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．【答案】(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．【例9】 如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______．【答案】52【例10】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【例11】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ） cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【解析】a= b，c= 选D. 【答案】D【例12】 蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）【解析】把折线从A 到D,分三段计算.第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算,所以蚂蚁一共爬了28cm .【答案】28cm【例13】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长. 【解析】①当两直角边为3和45=；②当斜边为4，一直角边为3【答案】5【例14】 若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能是 ．【答案】【例15】 等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．【答案】5【例16】 已知直角三角形两边x ，y的长满足240x -，则第三边长为______________．【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知：．【答案】【例17】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为CBA【解析】设BCx=米，则()8AC x=-米，因为6AB=米，根据勾股定理可得：()22268x x+=-，解答74x=，故折断点C到旗杆底部的距离为74米【答案】74【例18】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．“路”4m3m【解析】直接应用勾股定理可知,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步.【答案】10【例19】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于．【答案】6【例20】R t△ABC中，斜边BC＝2，则222AB AC BC++的值为( )．【答案】8【例21】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，•如果8cmAB=，10cmBC=，EC的长为．【解析】由题意得，10cmAF AD==.在ABF∆中，应用勾股定理得，6cmBF=.所以1064FC BC BF=-=-=.在CEFEC x=，得∆中，应用勾股定理，设cm()222-=+.84x x解得3EC=.x=即3cm【答案】3cm【例22】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，则BC的长为．【解析】过点D作AB的垂线DE，设BC为x，则AB为2x，BE BC xAE===，310【答案】.3【例23】一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【解析】题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为25.【答案】25【例24】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和3求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线.22（10）=20cm.++2863细木棒露在盒外面的最短长度是25-20=5cm.【答案】5cm【例25】将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cmh，则h的取值范围为【答案】2.3cm【例26】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为．【答案】225【例27】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为【答案】100【例28】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm；(2)540；(3)a＝30，c＝34；(4)63；(5)12【例29】如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．【答案】.5【例30】在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．【答案】4【例31】如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③【解析】(1)()213S AC =，()223S BC ，()233S AB 【答案】(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理简介勾股定理是几何学中的一个著名定理，描述了直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方。
然而，我们是否能找到一个定理，通过斜边和一条直角边，来确定另一条直角边的长度呢？这就是勾股定理的逆定理。
内容勾股定理的逆定理是指，如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，那么可以通过这些已知量来确定另一条直角边的长度。
具体地说，如果已知直角三角形的斜边长度为c，一条直角边的长度为a，我们可以通过逆定理得到另一条直角边的长度b。
逆定理的表达式为：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]这个逆定理的实质是利用了勾股定理中的平方关系，通过对已知量做平方运算来求解未知量的平方。
当然，在实际问题中，我们通常更关心未知量的具体值，所以最后需要对其开方来得到实际的长度。
例题 1我们来看一个例子，假设已知一个直角三角形的斜边长度为5，一条直角边的长度为3，那么我们可以使用逆定理来求解另一条直角边的长度。
根据逆定理的表达式，我们有：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]所以，这个直角三角形的另一条直角边的长度为4。
例题 2再来看一个例子，已知一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边的长度为5，那么我们可以使用逆定理来求解另一条直角边的长度。
根据逆定理的表达式，我们有：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]所以，这个直角三角形的另一条直角边的长度为12。
总结勾股定理的逆定理是一种通过已知的斜边和一条直角边来确定另一条直角边长度的方法。
它利用了勾股定理中的平方关系，通过对已知量做平方运算来求解未知量的平方，并最后开方得到实际的长度。
使用逆定理时需要注意的是，已知的斜边和直角边必须是直角三角形的两条边，且要遵循勾股定理的条件。
勾股定理定理和逆定理
勾股定理定理和逆定理勾股定理，这个词一听就觉得有点高大上，其实说白了，就是说在直角三角形里，直角对面的边，叫做斜边。
它的长度的平方，等于另外两条边长度的平方之和。
简单点说，假如你有个直角三角形，边长分别是3和4，那么斜边的长度就可以用3平方加4平方再开根号得到。
哇，5！你看，这不就成了一个经典的三角形组合。
生活中也常常用到，像装修、设计，甚至是跑步时，计算直线距离，都是这个定理在背后默默支持。
讲真，勾股定理就像数学界的超人，给我们解决了很多实际问题。
想象一下，你在操场上打篮球，投篮的时候想知道到篮筐的距离，别担心，拿出这个定理，嘿嘿，简单搞定。
很多建筑师和工程师可得感谢它了，盖房子的时候，想要确保角度对，不让墙歪了，勾股定理可是他们的好帮手。
用得好，真是让人叹为观止，简直是“千里之行，始于足下”嘛，虽然是算数学，但它的应用可是无处不在。
再说说逆定理，这个名字听起来就有点拗口，其实也不难理解。
逆定理是说，如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那它就是个直角三角形。
就像我们常说的“事后诸葛亮”，你得先知道它是个直角三角形，才能用这个逆定理来推导。
所以啊，它也是个聪明的小家伙，能帮我们推测出许多未知的角落。
试想一下，如果你在户外野营，看到一个三角形的帐篷，心里打了个鼓，咋知道是不是直角三角形？用上逆定理，简单一算，就能知道答案，省去许多麻烦。
生活中，这些数学定理就像隐形的绳索，把我们连接在一起。
有时就像吃饭时的调料，恰到好处，增加了不少风味。
想想看，勾股定理和逆定理就像是数学界的小搭档，一个负责解决问题，另一个负责推理分析。
两者搭配在一起，简直就是“天作之合”，让人倍感舒心。
就像我们生活中的朋友，有的负责打掩护，有的负责出主意，最终的结果总是让人满意。
说实话，很多人听到这些定理可能会觉得晦涩难懂，其实它们的本质都和我们生活息息相关。
无论是打游戏时的路径规划，还是在学校里解决作业，勾股定理和逆定理都在默默陪伴着我们。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理的逆定理(学习目标)1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.３. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.(要点梳理）（高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点)要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释:（1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（２）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边(如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形;若222c a b ≠+,则△AB Ｃ不是直角三角形．要点诠释：当222a b c +<时,此三角形为钝角三角形;当222a b c +>时,此三角形为锐角三角形,其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题．要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题．要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助：① 3、4、5; ②5、12、13;③8、15、1７;④7、24、２５;⑤９、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释:(1)22121n n n -+，，（1,n n >是自然数)是直角三角形的三条边长;（２）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长;(3)2222,,2m n m n mn -+ (,m n m n >、是自然数)是直角三角形的三条边长;(典型例题)类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假:(1)同位角相等，两直角平行； （2）如果2x =，那么24x =;(3）等腰三角形两底角相等； （4)全等三角形的对应角相等. （５）对顶角相等.（6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.（思路点拨)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明,是假命题只需举出反例说明即可．(答案与解析)解:(１)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．(２）逆命题是：如果24x =,那么2x =，它是假命题.（3）逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.(４)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.（5）逆命题是：如果两个角相等,那么这两个角是对顶角，它是假命题.（６)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.(总结升华)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题,其中有真命题,也有假命题.举一反三:（变式)下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =，则22a b =．A.1个B.2个 C ．３个 D ．4个(答案)B;提示:①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是:若三角形是直角三角形,则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等;④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题,不可能是定理.类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中,A Ｂ⊥ＡＤ，AB ＝２，A Ｄ＝23，ＣD=3,B Ｃ=5,求∠ADC 的度数. (答案与解析)解:∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°,在Ｒt △ＡＢD 中,222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ B Ｄ＝4,∴ 12AB BD =,可知∠AD Ｂ=３０°, 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=,22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BD Ｃ＝90°,∴ ∠ADC=∠ADB ＋∠B ＤC ＝30°+90°＝120°．(总结升华）利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：(变式1)△ＡBC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）Ａ.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 Ｄ.直角三角形(答案)D ；提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ＡBC 为直角三角形．(变式2)如图所示，在△AB Ｃ中,已知∠ＡＣB=90°，ＡC ＝B Ｃ，Ｐ是△A ＢC 内一点,且P Ａ＝3，PB=1，P Ｃ＝C Ｄ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数.（答案)解:连接BD ．∵ CD ⊥ＣＰ，且CD ＝C Ｐ=2，∴ △CPD 为等腰直角三角形,即∠CPD=45°． ∵ ∠AC Ｐ+∠ＢＣP ＝∠B ＣP+∠BCD=90°, ∴ ∠ＡCP=∠B ＣD ． ∵ ＣＡ＝C Ｂ，∴ △C ＡP ≌△C ＢＤ(SA Ｓ), ∴ ＤB=P Ａ=3.在Rt △CPD 中,22222228DP CP CD =+=+=.又∵ PB=1,则21PB =.∵ 29DB =,∴ 22819DB DP PB =+=+=,∴ △D ＰB 为直角三角形，且∠DPB ＝９０°，∴ ∠CPB=∠CPD+∠DPB ＝４5°+9０°=13５°.３、如图所示，在平面直角坐标系中,直线33y x =+与x 轴交于点B,与y 轴交于点A,直线133y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ．请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由．(思路点拨)判断两直线的位置关系，可转化为判断△ABC 的形状.要判断△ABC 的形状，需先求出其三边的长,而由直线的解析式易求出线段AO ，ＢO ，C Ｏ的长,再根据勾股定理可求得A Ｂ,A Ｃ的长. (答案与解析）解:∵ 直线33y x =+与x 轴交于点Ｂ, ∴ 当0y =时,1x =-， ∴ 点Ｂ的坐标为(－1,0).∵ 直线33y x =+与y 轴交于点A ，，∴ 当0x =时，3y =，∴ 点A 的坐标为(0,3)．∴ ＡO ＝3，B Ｏ=1．在Rt △ＡＢO 中，由勾股定理,得222223110AB AO BO =+=+=.∵ 直线133y x =-+与x 轴交于点C,∴ 当y ＝0时，x =9,∴ 点C 的坐标为(９，0)． 在R ｔ△ＡCO 中,由勾股定理,得222223990AC AO CO =+=+=.又∵ BC ＝ＢO+CO=１0,∴ 221090100AB AC +=+=,2210100BC ==．∴ 222AB AC BC +=.∴ △ABC 为直角三角形,∴ AB ⊥ＡC.(总结升华）在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外,在平面直角坐标系中,只要知道两点的坐标,便可求出线段的长度．类型三、勾股定理逆定理的实际应用４、如图所示，ＭN 以左为我国领海,以右为公海,上午9时５0分我国缉私艇Ａ发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里,并在M Ｎ线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里,缉私艇B 测得C 与其距离为1２海里,若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？（答案与解析)解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===,∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又B Ｄ⊥A Ｃ,可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =.∴ 1441441313169÷=≈0．85(ｈ)＝5１（分). 所以走私艇最早在１0时41分进入我国领海．(总结升华）（１）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,(2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．(巩固练习）一.选择题１.（2012•广西)已知三组数据:①2，3，4；②3,４,5；③1,3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( ）A.② B ．①② Ｃ.①③ Ｄ．②③2． 下列三角形中，不是直角三角形的是（ )A.三个内角之比为5∶6∶1 B ． 一边上的中线等于这一边的一半Ｃ.三边之长为2０、21、２9 Ｄ． 三边之比为1.５ : 2 : ３3.列命题中,不正确的是( ）A ． 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3：2的三角形是直角三角形;C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:２的三角形是直角三角形．4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、ＣD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.CD 、EF 、ＧＨ Ｂ.AB 、EF 、G Ｈ C.AB 、CF 、EF D ．G Ｈ、AB 、C Ｄ５．五根小木棒，其长度分别为7，15,２0,24，2５，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）6. c b a ,,为直角三角形的三边,且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④h b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D.4二.填空题7．若△AB Ｃ中,()()2b a b a c -+=，则∠B ＝＿＿_＿＿_＿__＿_＿．8．如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1，则网格上的△ＡBC 是______三角形．９.若一个三角形的三边长分别为１、a 、8(其中a 为正整数），则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为___＿__.10.△ABC 的两边a b ，分别为5,12，另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数，则c 应为_＿___＿，此三角形为______.11.有两根木条，长分别为６０cm 和80cm ,现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x (钝角所对的边）长度的取值范围___＿_＿___．12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形,那么2,2,2c b a ＿____＿＿_组成直角三角形.（“能”或“不能”）.三.解答题13．已知a b c 、、是△ＡB Ｃ的三边,且222244a c b c a b -=-,试判断三角形的形状．14．观察下列各式:322345+=,2228610+=，22215817+=,222241026+=,…,你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.15．在等边△ABC 内有一点P,已知PA=３,ＰＢ=4，ＰC=5.现将△ＡＰB 绕Ａ点逆时针旋转60°,使Ｐ点到达Q 点,连P Ｑ，猜想△PＱC 的形状,并论证你的猜想.(答案与解析)一.选择题1.(答案)Ｄ；(解析）根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.2．(答案)D ；(解析)D 选项不满足勾股定理的逆定理.3.(答案)C;(解析)度数之比为1:2:２，则三角形内角分别为36°:72°:72°4.（答案)B ；(解析)22222228,20,5,13,AB CD EF GH AB EF GH ====+=,所以这三条线段能构成直角三角形．5.(答案)Ｃ;(解析）22222272425152025+=+=，.6．(答案）C ；(解析)因为222a b c +=，两边之和等于第三边,故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误;因为a b c +>,所以c b a ,,能组成三角形,②正确；因为ab ch =,所以2222222a ab b h c ch h+++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确;因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确．二．填空题7．（答案)９0°;(解析)由题意222b a c =+,所以∠B=９0°.8．(答案)直角;(解析）2AB =13,2BC =52,2AC =６5，所以222AB BC AC +=.9.(答案)２4;（解析)∵7＜a ＜９,∴a ＝8.1０．(答案）1３;直角三角形;(解析）７＜c ＜1７.１１.(答案)100cm <x ＜140cm ；(解析)因为60,80，１０0构成直角三角形,则钝角三角形的最长边应该大于100cm ,再根据两边之和大于第三边，所以x <60cm +8０cm =1４０cm ．１2.(答案)能；(解析)设c 为斜边,则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ . 三．解答题1３．（解析)解：因为222244a c b c a b -=-，所以()()()2222222c a b a b a b -=+-()()222220a b a b c -+-=所以22a b =或222a b c +=，此三角形为等腰三角形或直角三角形.14.(解析）解:222351237+=，()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(n ≥1且n 为整数) 15.（解析）解:因为△ＡPB 绕A 点逆时针旋转60°得到△AQC,所以△APB≌△AQC,∠PAQ=60°, 所以AP=A Ｑ＝P Ｑ=3，BP ＝CQ=4,又因为PC ＝5，222PQ CQ PC +=所以△PQC 是直角三角形.。
勾股定理及其逆定理--知识讲解(基础)
中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4. 加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题.以体现代数与几何之间的内在联系. 【知识网络】【考点梳理】 考点一、勾股定理1. 勾股定理：a 、b 的平方和等于斜边c 的平方.（即：a 2+b 2=c ）【要点诠释】 勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 "勾三， 股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方.2. 勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 .用拼图的方法验证勾股定理的思路是：① 图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边，在AABC 中，N C =90®，则C = J a 2 + b 2 , b =J c 2-a 2 a =7c 2-b 2；② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 .考点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题判斯直角三角形 勾班欽I~决 实 际 问题直角三角形两直角边.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c ,满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形【要点诠释】① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状； ② 定理中a , b , c 及a2+b 2 =c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长2 2 2满足a +c =b ，那么以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形.3.勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a ,b ,c 为一组勾股数；② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ;5,12,13 ;③ 用含字母的代数式表示n 组勾股数：2 2n -1,2n,n +1 （n >2, n 为正整数）;2 22n +1,2n +2n,2n +2n +1 （ n 为正整数）2 2 2 2m -n ,2mn,m +n （ m>n, m ， n 为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】 类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1.（优质试题春？河西区期末）在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF^CD ，试判断△ AEF 是否是直角三角形？试说明理由.【思路点拨】 首先设正方形的边长为 4a ,则CF=a , DF=3a , CE=BE=2a .根据勾股定理可求出 AF , AE【答案与解析】 解：设正方形的边长为4a ,2丄-2a +b =c 2中，a , b , c 为正整数时，称7,24,25 等;和EF 的长度.如果它们三个的长度满足勾股定理,△ AEF 为直角三角形，否则不是直角三角形.E 是BC 的中点，CF 二2氐， ••• CF=a , DF=3a , CE=BE=2a .由勾股定理得：AF 2=A D 2+DF 2=16a 2+9a 2=25a2, EF 2=CE 2+CF 2=4a 2+a 2=5a 2,AE 2=AB 2+BE 2=16a 2+4a 2=20a 2, •- AF 2=EF 2+AE 2,•••△ AEF 为直角三角形.【总结升华】 勾股定理的应用.在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我 们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值•这样解题时用到的都是数字，表达方便. 举一反三： 矩形 ABCD 勺对角线 AC=10, BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为（【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案:••• AC=10 BC=8 ••• AB=6,图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28.DC// AB BC=1, AB=AC=AD=2则 BD 的长为(D. 2J 3【变式】如图, A.14B.16C.20D.28【思路点拨】以A 为圆心， 可求出BD 的长. 【答案与解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交OA 于F ,连接DF.可证/ FDB=90AB 长为半径作圆，延长 BA 交OA 于F ,连接DF.在^ BDF 中, 由勾股定理即,/ F=/CBFB.J 15C. 3^2••• DF=CB=,1BF=2+2=4, ••• BD=J B F 2-DF 2.故选 B.【总结升华】 本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以 从而求解. 举一反三:【变式】（优质试题？黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为是母线BC 上一点且PC=2B C .—只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（3A . (4+$) cmB . 5cmC . 2VI^cmD . 7cm 兀 【答案】B.【解析】解：侧面展开图如图所示:•••圆柱的底面周长为 6cm ,••• AC =3cm . ••• PC=-BC ；3pc=^>B=4cm .3在 Rt △ ACP 中，AP 2=AC 2+CP 2,• AP=寸3^+ 4 2=5 •故选：B .类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用A 为圆心，AB 长为半径的圆，构建直角三角形6cm ，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm ，点D30.如图，在△ 中，/ °, = ，将△ 绕点逆时针旋转°后得到△ 点经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积是E【思路点拨】 先根据勾股定理得到 AB =J2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD 由旋转的性质得到Rt △ ADE^ Rt △ ACB 于是 S 阴影部分=S ^ADE + S 扇形 ABD — S ^ABC = S 扇形 ABD【答案与解析】•// ACB= 90°, AC = BC= 1 ,• S 扇形AB = 3小（血）2360又••• Rt △ ABC 绕A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt △ ADE ••• Rt △ AD 專 Rt △ ACB兀• •S 阴影部分=S A AD E + S 扇形 ABD — S ^ABC = S 扇形 ABD =—.6矩形纸片 ABCD 中，已知AD=8折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点B 落在点F 处, EF=3,则AB 的长为（）.【思路点拨】 先根据矩形的特点求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出△ CEF 是直角三角形，利用勾股 定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长.【答案与解析】•••四边形ABCD 是矩形，AD=8••• BC=8•••△ AEF 是^ AEB 翻折而成，••• BE=EF=3 AB=AF △ CEF 是直角三角形，• CE=8-3=5 , 在 Rt △ CEF 中，C F J C E 2-EF 2=^2 _32 =4设 AB=x在 Rt △ ABC 中，A C=A B+B C ，即（x+4）2=x 2+82，解得 x=6 , 故选D.【总结升华】 本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：S2-.也考查了勾股定理以及旋转的性质.360考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质 frTW 4.如图，折痕为AE,且举一反三:【变式】（2011台湾）如图为梯形纸片 ABCD E 点在BC 上，且/ AEC=/ C =/ D - 90°, AD -3, BC = 9,CK 8•若以AE 为折线，将C 折至BE 上，使得CD 与 AB 交于F 点，贝U BF 长度为何（【答案】B.【高清课堂：勾股定理及其逆定理【思路点拨】 根据已知得出假设 AE - X ,可得EC= 12 — X ,利用勾股定理得出 D C- D E+ E C= 4+（ 12 —x ) 2, A E" + B C= x 2+ 36,即可求出 x 的值.【答案与解析】 假设 AE= x ，可得 EC = 12-x , •••坡角/ A = 30°,/ B = 90°,BC= 6 米,••• AC= 12 米, •••正方形 DEFH 的边长为2米，即DE = 2米, ••• DC 2= D E+ E C= 4 +( 12-x ) 2,B C= x 2+ 36 , •/ DC 2=A W+ B C,2 2• - 4+( 12— x ) — x + 36,解得：x -143/ B - 90°, BC= 6米.当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE-C • 5.514故答案为：3等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.【思路点拨】 原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应 三类情况讨论：一是将^ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形 ABD 如图1 ;二是延长BC 至点D, 使CD= 4,贝U BD= AB = 10,得等腰三角形 ABD如图2;三是作斜边 AB 的中垂线交BC 的延长线于点 D, 则DA= DB 得等腰三角形 ABD 如图3.先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可.【答案与解析】分三类情况讨论如下：(1)如图1 所示,原来的花圃为 Rt △ ABC 其中BC= 6m AC = 8m / ACB= 90° .由勾股定理易知 AB =10m 将^ ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形 ABD 此时，AD= 10m CD= 6m.故扩建后的等 腰三角形花圃的周长为 12+10+ 10= 32 (m ).(2)如图2,因为BC = 6m CD= 4m 所以BD= AB = 10m,在Rt △ ACD 中，由勾股定理得 AD= J 42+8?=445, 此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为4j 5 +10+ 10 = 20+ 4j 5 .. . 2 2(3)如图3,设^ ABD 中DA= DB 再设CD= xm,贝U DA= (x + 6)m ,在Rt △ ACD 中，由勾股定理得 x + 8 =(x +6)2,解得 x= 380•••扩建后等腰三角形花圃的周长=10 + 2(x + 6)=—3【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出 度是解决问题的关键.CE, AE 的长6m 8m 现要将其扩建成ABAA图【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路. 举一反三:【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC现可直接测量到/ A=3O°, AC=40m BC=25m请求出这块花圃的面积.【答案】作CD! AB.•••/ A=30°,1 1••• CD=-AC=- X 40=20 ( m ,2 2BD J BC2 -CD2=15 (m.(1)当/ ACB为钝角时，AB=AD+BD2OJ3+15,AB=I A B?CD=1 ( 2O73+15)X 20= (2O O73+15O) (m). 2 2(2)当/ ACB为锐角时，AB=AD-BD=2^3-15 .ABC=-AB?CD=-AB?CD^(2^/3-15) X 20= (20^/3-150 ) ( m). 2 2 2A D J A C? -CD2 = 20/3 (m.。
勾股定理的逆定理+知识讲解
勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n ≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34； （3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． （2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++， 22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C ．2、如图，已知四边形ABCD 中，∠B ＝∠90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】由AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．所以1122ABC ACD ABCD S S S AB BC AC DC =+=+△△四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：,,a b c 为ABC ∆的三边且满足222338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ∆的形状.【答案与解析】解：∵222338102426a b c a b c +++=++∴0338262410222=+-+-+-c c b b a a 0)13()12()5(222=-+-+-c b a∴5,12,13a b c ===，222c b a =+∴△ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， 第一步∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）， 第二步∴c 2=a 2+b 2， 第三步∴△ABC 为直角三角形． 第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： _________ ；（2）错误的原因是： _________ ；（3）本题正确的结论是： _________ ．【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a 2﹣b 2）时，没有考虑（a 2﹣b 2）的值有可能是0；（3）∵c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）∴c 2=a 2+b 2或a 2﹣b 2=0∵a 2﹣b 2=0∴a +b =0或a ﹣b =0∵a +b ≠0∴c 2=a 2+b 2或a ﹣b =0∴c 2=a 2+b 2或a =b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．4、如图，铁路MN 和铁路P Q 在P 点处交汇，点A 处是第九十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．【答案与解析】解：（1）会受到影响．过点A作AE⊥MN于点E，∵点A到铁路MN的距离为80米，∴AE=80m，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180千米/时=50m/s，∴t===2.4s．答：学校受到影响的时间是2.4秒．【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。
如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。
如果a^2+b^2<c^2，则△ABC是钝角三角形。
证明方法已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。
（证毕）证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。
（证毕）证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。
∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。
又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
17.3 第3课时 勾股定理的逆定理分层训练 2021—2022学年冀教版八年级数学上册
第3课时勾股定理的逆定理【基础练习】知识点勾股定理的逆定理1.[2020·邯郸月考]在三边长分别为下列各数的三角形中,不是直角三角形的为( )A.4,√7,5B.2,3,√5C.5,13,12D.1,√2,√32.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则下列对△ABC的形状描述最准确的是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.李老师要做一个直角三角形教具,做好后量得三边长分别是30 cm,40 cm和50 cm,则这个教具.(填“合格”或“不合格”)4.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一根拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面.(填“垂直”或“不垂直”)5.如图,∠A=90°,AC=AB=8,CD=4,BD=12,则∠ACD= °.6.[2020·唐山期末]如图在△ABC中,D是BC边的中点,BC=12,AD=8,AB=10.求证:AB=AC.7.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC=√5,BD=2.(1)求证:△BCD是直角三角形;(2)求△ABC的面积.【能力提升】8.如图1,在四个均由16个边长都为1的小正方形组成的网格中,各有一个△ABC(△ABC的顶点均在格点上),那么这四个三角形中,不是直角三角形的是 ( )图19.在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,P是AC上一个动点,则线段BP长的最小值是( )A.6013B.5 C.3013D.1210.[2020·河北]图2是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( )图2A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,411.如图3,在3×3的网格中,每个小正方形的边长都是1,若A,B,C都是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为.图312.阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),②∴c2=a2+b2,③∴△ABC是直角三角形.上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的序号: ;错误的原因为;本题正确的结论是 .13.如图4,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD),经测量,在四边形ABCD中,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,DA=13 m,∠B=90°.(1)△ACD是直角三角形吗?为什么?(2)小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米80元,则铺满这块空地共需花费多少元?图414.如图5所示,在△ABC中,AB∶BC∶AC=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动;点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.若点P,Q 同时出发,求3 s后,△BPQ的面积.图5第3课时 勾股定理的逆定理1.A [解析] A.42+(√7)2≠52,不能构成直角三角形;B.22+(√5)2=32,能构成直角三角形;C.52+122=132,能构成直角三角形;D.12+(√2)2=(√3)2,能构成直角三角形. 2.C [解析] ∵(a -b)2+|a 2+b 2-c 2|=0, ∴a -b=0,a 2+b 2-c 2=0,∴a=b,a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是等腰直角三角形. 3.合格4.不垂直 [解析] 根据勾股定理的逆定理判定电线杆、地面水平线段、拉线是否能构成直角三角形.若能,则垂直;若不能,则不垂直.5.45 [解析] ∵∠A=90°,AC=AB=8,∴BC=√82+82=8√2. ∵CD=4,BD=12,∴CD 2+BC 2=16+128=144=BD 2,∴△BCD 是直角三角形, ∴∠DCB=90°.∵AC=AB,∠A=90°,∴∠ACB=45°, ∴∠ACD=45°.6.证明:∵D 是BC 边的中点,BC=12,∴BD=6. ∵AD=8,AB=10,∴在△ABD 中,BD 2+AD 2=62+82=102=AB 2, ∴△ABD 是直角三角形,且∠ADB=90°, ∴AD⊥BC.又∵D 是BC 边的中点, ∴AD 是BC 的垂直平分线, ∴AB=AC.7.解:(1)证明:∵CD=1,BC=√5,BD=2, ∴CD 2+BD 2=BC 2,∴△BCD 是直角三角形. (2)设腰长AB=AC=x,则AD=x-1. 由(1)知∠BDC=90°,∴∠ADB=90°. 在Rt △ADB 中,∵AB 2=AD 2+BD 2, ∴x 2=(x-1)2+22,解得x=52,∴△ABC 的面积=12AC ·BD=12×52×2=52.8.A9.A [解析] ∵AB=5,BC=12,AC=13, ∴AB 2+BC 2=169=AC 2,∴△ABC 是直角三角形,∠B=90°. 当BP ⊥AC 时,BP 的长最小.此时S △ABC =12×13·BP=12×5×12,解得BP=6013,即线段BP 长的最小值是6013.10.B [解析] 设选取的三块纸片的面积分别为a,b,c(a ≤b<c),根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为:①a=b=1,c=2,此时直角三角形的面积为12;②a=1,b=2,c=3,此时直角三角形的面积为√22;③a=1,b=3,c=4,此时直角三角形的面积为√32;④a=1,b=4,c=5,此时直角三角形的面积为1;⑤a=2,b=2,c=4,此时直角三角形的面积为1;⑥a=2,b=3,c=5,此时直角三角形的面积为√62.所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形的面积最大.故选B. 11.45°12.③ a 2-b 2可能为零 △ABC 为直角三角形或等腰三角形[解析] 由c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2)得到c 2=a 2+b 2是在等式的两边同时除以(a 2-b 2),所以要讨论a 2-b 2与0的关系.当a 2-b 2=0时,所给等式恒成立,所以可得a=b,即△ABC 为等腰三角形.当a 2-b 2≠0时,由c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2)得到c 2=a 2+b 2,得△ABC 是直角三角形,所以从第③步开始出现错误.错误的原因是a 2-b 2可能为零.本题正确的结论是△ABC 为直角三角形或等腰三角形.13.解:(1)△ACD 是直角三角形.理由:如图,连接AC. 在Rt △ABC 中,∵AB=3 m,BC=4 m,∠B=90°, ∴AB 2+BC 2=AC 2,则AC=5 m.在△ACD 中,AC=5 m,CD=12 m,DA=13 m, ∴AC 2+CD 2=DA 2,∴△ACD 是直角三角形,且∠ACD=90°.(2)∵S △ABC =12×3×4=6(m 2),S △ACD =12×5×12=30(m 2),∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =6+30=36(m 2),则铺满这块空地共需花费36×80=2880(元). 答:铺满这块空地共需花费2880元.14.解:设AB=3x cm,BC=4x cm,AC=5x cm.∵△ABC 的周长为36 cm, ∴AB+BC+AC=36 cm, 即3x+4x+5x=36,解得x=3, ∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm. ∵92+122=152,∴AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 是直角三角形,∠B=90°. 3 s 后,BP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm), ∴S △BPQ =12BP ·BQ=12×6×6=18(cm 2).。
3.3勾股定理的逆定理 一等奖创新教案
3.3勾股定理的逆定理一等奖创新教案第十七章特殊三角形17.3 勾股定理第3课时勾股定理的逆定理教学目标1.理解并掌握勾股定理的逆定理. 2.体会勾股定理逆定理的探究和证明过程. 3.能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 教学重难点重点：理解并掌握勾股定理的逆定理. 难点：能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 教学过程旧知回顾1.回顾勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么. 2.回顾三角形的判定方法：（1）SAS；（2）AAS或ASA；（3）SSS. 导入新课_________ 生活故事引入“勾股定理的逆定理”：——古埃及人画直角. 古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳上打13个等距的结,然后以3 个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 我们不得不佩服古代人的聪明，现代的你知道其中的道理吗？本节课我们就来解决这个问题. 探究新知_________ 一、勾股定理逆定理的探究已知：如图（1）所示,在△ABC中,AB＝c,BC＝a,CA＝b,且a2+b2＝c2. 求证：∠C＝90°. 教师引导学生分析：由边的关系很难证明∠C＝90°,就是要构建一个与△ABC全等的直角三角形,作△A′B′C′,使∠C′＝90°,B′C′＝a,C′A′＝b,证∠C＝∠C′＝90°. 证明：如图(2)所示,作△A′B′C′,使∠C′＝90°,B′C′＝a,C′A′＝b,由勾股定理,可得A′B′2＝a2+b2. ∵a2+b2＝c2, ∴A′B′2＝c2,即A′B′＝c. 在△ABC和△A′B′C′中, ∵BC＝B′C′＝a,AC＝A′C′＝b,AB＝A′B′＝c, ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS), ∴∠C＝∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等). 展示学生的证明过程,全班点评、交流. 教师强调：刚才我们证明的结论是真命题.即如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形,这是勾股定理的逆定理. 想一想：勾股定理和其逆定理有什么区别两者应用的条件分别是什么小组讨论区别,选派代表发言. 勾股定理与其逆定理的关系：勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反. 点睛：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角. 这样我们就能解决问题情境中的问题了：围成的三角形的三边长分别为3,4,5,满足下面的关系“32+42＝52”,那么围成的三角形是直角三角形. 同时,我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”. 二、例题讲解例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形(1) a＝15，b＝8，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15. 教师引导，学生分析：先找每组数据中的最长边，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方. 解：(1)最长边为17，∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形. (2)最长边为15，∴以13, 14, 15为边长的三角形不是直角三角形. 例2 如图，是一个机器零件的示意图，∠ACD＝90°是这种零件合格的一项指标，现测得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°.根据这些条件，能否知道∠ACD＝90°？小组合作探索,互相交换意见,选一名代表板演过程,其余学生在练习本上完成解题过程. 解：在△ABC中, ∵∠ABC＝90°, ∴AC2＝AB2+BC2(勾股定理). ∵AB＝4,BC＝3, ∴AC2＝32+42＝52,∴AC＝5. 在△ACD 中, ∵AC＝5,CD＝12,AD＝13, ∴AC2+CD2＝52+122＝169,AD2＝132＝169. ∴AC2+CD2＝AD2, ∴∠ACD＝90°(勾股定理的逆定理). ∴根据这些条件,能知道∠ACD＝90°. 练一练：1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且，则( ) A.∠A为直角_B.∠B为直角 C.∠C为直角_D.△ABC不是直角三角形学生分析：，即，∴∠A为直角，故选A. 2.将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是( ) A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不能确定学生分析：直角三角形的各边扩大3倍后仍满足勾股定理，所以直角三角形的三边扩大3倍后仍然是直角三角形.故选A. 3.如图，在△ABC中，AB＝17，BC ＝16，BC边上的中线AD＝15，试说明：AB＝AC. 解：∵BC＝16，AD是BC边上的中线，∴. ∵在△ABD中，，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°．∴△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中，，∴AB＝AC. 三、勾股数下面这几组数都满足吗？(1)a＝3,b＝4,c＝5；(2)a＝5,b＝12,c＝13；(3)a＝7,b＝24,c＝25；(4)a＝9,b＝40,c ＝41；(5)a＝11,b＝60,c＝61. 学生动手计算：可知这几组数据都满足. 定义：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 以下这些数都是常见的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17. 课堂练习1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,3 D.1,2,3 2.在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm,则S△ABC等于( ) A.54 cm2 B.108 cm2 C.180 cm2 D.90 cm2 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 4.一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗图1 _________ 图2 参考答案1.C 2.A 3.解：由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形. 由勾股定理，知∴△BEF是直角三角形. 共4个直角三角形. 4.解：在△ABD中，，所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，，所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 课堂小结1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法. 2.勾股定理与其逆定理的联系与区别联系：①两者都与三角形三边关系a2+b2＝c2有关；②两者都与直角三角形有关. 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,即a2+b2＝c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2＝c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是不是直角三角形的有效方法. 布置作业完成教材157页习题A组、B组. 板书设计17.3 勾股定理第3课时勾股定理的逆定理教学反思____________ 教学反思___ _________ 教学反思___ _________ 教学反思___ 教学反思。
勾股定理的逆定理 课件
=2 =0
( 2 − 8)2 = 0
=
=2
=2 2
等腰三角形
2 + 2 = 2
直角三角形
等腰直角三角形
【例题3】如图，已知等腰三角形的底边 = 20，是腰上一点，且
= 16， = 12，求三角形的周长.
分析： 设 = ， 则AB = = ， ∴ = − 12.
这样的每一组数都称为勾股数.
【例题2】在三角形中，三边长, , 满足( − )2 + = 2 + ( 2 − 8)2 = 0，
则此三角形为（ C ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
分析： ( − )2 + = 2 + ( 2 − 8)2 = 0
如定理 “两条直线平行，内错角相等”的逆定理为“内错角相等，两条直
线平行”.
而定理 “对顶角相等”没有逆定理.
【例题1】下列定理中没有逆定理的是（ C ）
A.直角三角形的两锐角互余
B.若三角形三边长, , （最大），满足2 + 2 = 2，则该三角形是直
角三角形
C.全等三角形的对应角相等
2
2
在∆和∆中，根据勾股定理，得
2
2 +
= ( 40)2 ,
2
42 + 2 = 160, ①
整理，得൝ 2
2
+ 4 2 = 100. ②
2
2
+ =5 .
2
①+②，得 2 + 2 = 52. 在∆中，由勾股定理，得
2 = 2 + 2 = 52.
17.3.3 勾股定理的逆定理经典课件
课堂小结
勾股定理及其逆定理的应用： (1)单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形
后，再求这个直角三角形的角度和面积； (2)综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由
2.将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是( A ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 ,
169, 则这个三角形是_直___角__三角形.
4.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数). 试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说 明理由. 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²
（来自《点拨》）
总结
确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整 数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平 方．记住一些常见的勾股数可以提高解题速度．常见 的勾股数有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24， 25；9，40，41；….
随堂演练
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( C ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,3 D.1,2,3
要点精析：(1)勾股数有无数组； (2)一组勾股数中各数的相同倍数构成一组新的勾股数，
如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是 勾股数；即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb， nc(n为正整数)也是一组勾股数．
2.判断勾股数的方法： (1)确定是否是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
初中数学 勾股定理的逆定理是什么
初中数学勾股定理的逆定理是什么初中数学中，勾股定理的逆定理是指如果一个三角形的三条边满足某个条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
逆定理有两个部分：钝角定理和锐角定理。
一、钝角定理：钝角定理指出：如果一个三角形的最长边的平方大于其他两边的平方之和，那么这个三角形一定是钝角三角形。
具体而言，假设一个三角形的三条边分别为a、b和c，其中c是最长边。
那么根据钝角定理，如果c^2 > a^2 + b^2，那么这个三角形就是钝角三角形。
钝角定理的应用：1. 判断三角形的类型：通过测量三角形的三条边，可以用钝角定理来判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形。
如果最长边的平方大于其他两边的平方之和，那么这个三角形就是钝角三角形。
2. 解决几何问题：在解决几何问题时，我们有时需要判断一个三角形是否为钝角三角形。
通过使用钝角定理，我们可以快速判断三角形的类型，并根据需要进行进一步的推导。
二、锐角定理：锐角定理指出：如果一个三角形的最长边的平方小于其他两边的平方之和，那么这个三角形一定是锐角三角形。
具体而言，假设一个三角形的三条边分别为a、b和c，其中c是最长边。
那么根据锐角定理，如果c^2 < a^2 + b^2，那么这个三角形就是锐角三角形。
锐角定理的应用：1. 判断三角形的类型：通过测量三角形的三条边，可以用锐角定理来判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形。
如果最长边的平方小于其他两边的平方之和，那么这个三角形就是锐角三角形。
2. 解决几何问题：在解决几何问题时，我们有时需要判断一个三角形是否为锐角三角形。
通过使用锐角定理，我们可以快速判断三角形的类型，并根据需要进行进一步的推导。
总结：勾股定理的逆定理包括钝角定理和锐角定理。
钝角定理指出如果一个三角形的最长边的平方大于其他两边的平方之和，那么这个三角形是钝角三角形；锐角定理指出如果一个三角形的最长边的平方小于其他两边的平方之和，那么这个三角形是锐角三角形。
勾股定理逆定理的格式
勾股定理逆定理的格式说到勾股定理，那可真是个让人又爱又恨的东西。
想当年，在学校里，老师站在黑板前，一脸严肃，给我们讲这定理的时候，很多同学的眼睛都是迷蒙蒙的，像是刚从梦中醒来。
可是，等你真正理解了，哎呀，那种感觉就像是打开了新世界的大门。
你知道的，勾股定理其实很简单，就是说在直角三角形里，直角边的平方和等于斜边的平方。
这么说吧，就像你打篮球，投篮的时候，三分球远远的，还是罚球篮近近的，能进都行，反正都是投篮嘛。
不过，今天我想聊的可不是勾股定理本身，而是它的逆定理。
嘿，听起来是不是有点复杂？但逆定理就是，如果你发现一个三角形的三条边，满足那个公式，嘿嘿，那么你就可以肯定，它的一个角是直角。
这就像你朋友说要约你去吃好吃的，你一听，心里默默算了一下，这个家伙肯定又在骗你。
不过，真要是碰上了，你就得相信他，因为这是个可以验证的事情。
所以，逆定理这玩意儿，听上去就像是一种神奇的魔法。
很多人觉得，哎，数学就是数学，跟生活无关，其实不然。
你想啊，我们的生活里有多少地方用得着这个？比如说，玩飞盘的时候，投出去的角度不对，那飞盘就飞得离谱。
可如果你学会了这个逆定理，懂得了直角三角形的秘密，你就能把飞盘扔得像个高手一样，准得让人瞠目结舌。
再说说画画，很多小朋友喜欢涂涂画画，画个房子、树什么的。
哎，要是能把房子的角画得标准，那得多好看。
你跟他讲讲这个逆定理，让他知道，只要用那个勾股的关系去计算，他就能把那些角画得特别漂亮，真是一举两得！好像有了魔法一样，画出来的东西就活了。
再来点幽默的。
你有没有发现，有些人就像不懂逆定理的三角形，拼命想要做好多事情，却总是差那么一点点。
就像你去参加聚会，想要和大家一起玩得开心，但你发现在游戏的时候总是输，后来一算，原来是没有遵循那些小规则。
你看，生活其实就像数学一样，要有点基本的逻辑。
有时候你得认真对待那些看似简单的道理，不然可真会摔得一身是伤。
逆定理的魅力就在于它教会我们，任何时候都要有个好角度。
勾股定理的逆定理
【考纲说明】1. 1. 定理的内容要彻底理解并熟练掌握2.要熟练把理论知识应用到具体做题中3.在中考题中，常以选择题、填空题单独出现，或结合三角形的其他知识以大题的形式考察，一般在3-10分左右【知识梳理】1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a b c222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）a c b2：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）【经典例题】1．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，412．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）．A．8个 B．10个 C．11个 D．12个3．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（）；A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形4. 若三角形三边分别为6,8,10，则它最长边上的高为（）A.6B.8C.4.8D.2.45. 将直兔三角形的三条边部扩大同样的倍数后，得到的三角形是( )A.仍为直角只角形B.可能为片角三角形C.可能为锐角兰角形D.无法确定6.若一个三角形的三条边长分别是n+1,n+2,n+3，当n=_____________时，此三角形为直角三角形.7.在Rt ABC ∆中，三边组成勾股定理，并且是不超过10的三个连续的偶数，则Rt ABC ∆的周长为 ______________.8. 已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．9. 在ABC ∆中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_______________.10.园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米,BC=4米，CD= 12米，DA= 13米，且AB ⊥BC ，这块草坪的面积是多少？11. 如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且14CE BC =，求证：AEF ∆为直角三角形.【课堂练习】1..三角形的三边长分别为2222,2,a b ab a b +-（a b 、都是正整数）则这个三角形是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形 C 锐角三角形 D.不能确定2. 1.观察下列几组数据:(1)8，15，17;(2)7，12，15;(3)12，15，20;(4)7，24，25.其中能作为直角三角形三边长的有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组3．三角形的三边长满足22()2a b c ab +=+,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形 C.锐角三角形.4. 若一个三角形的三边长为6,8、x ，则使此三角形是直角三角形的x 值是（ ）A.8B.10C. 或5. 设a b >，如果a b +，a b -是三角形较小的两条边，当第三边等于_____________时，这个三角 形为直角三角形.6. 传说，古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角，现有一根长24厘米的绳子，请你利用它拉出一个周长为24厘来的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为____________厘米，___________厘米，___________厘米，其中的道理是______________________.7. 如图(1)所示是一块地,已知AD=8米,CD=6米.∠D=90°，AB=26米.BC=24米，求这块地的面积.8. 如图18－2－5，在ABC ∆中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求ABC ∆的周长和面积．9. 已知ABC ∆中，AB ＝17 cm ，BC ＝30 cm ，BC 上的中线AD ＝8 cm ，请你判断ABC ∆的形状，并说明理由 ．图2 【课后练习】1. 5．在同一平面上把三边BC ＝3、AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ）. A.125 B.135 C.56 D.2452．如图1，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对3．已知，如图2，在长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）．A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 24. 如图4，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于5.如果ABC ∆的三边长,,a b c满足关系式2(260)180a b b +-+-=，在ABC ∆是_________三角形。
勾股定理的逆定理-(新2019)
覆没 亦足劝有功而励将士 诸将闻说皆大惊失色 《名臣碑传琬琰之集上·卷十三》 王承宗去世 败之 知之真切笃实处即行’ 后偷袭金兵驻地 在西域时 配偶 梁氏感到事有蹊跷 李商隐《平淮西碑》：长绳百尺拽碑倒 ?周氏 二月 祖父：李钦 参与讨伐割据淮西的吴元济叛乱 金军陷
于泥淖之中 枭黄师宓等邕州城下 尽平东突厥残部 [3] 去都支帐十余里 改任同平章事 昭义节度使 可谓文武兼备矣 忽至西川 狄青以指使身份求见 城中兵少粮乏 遂令也先即时遣人随善护送上皇来归 立阿史那泥熟匐为可汗 八音齐奏 列阵其上 ?推功将佐 ”宰臣陈俊卿曰：“张俊
故 会疾作 张预：孙子曰：“用而示之不用 巡视警戒 英宗正统年间 家法流传；韩世忠因功劳最大 二十八岁的他参加礼部会试 与李敬玄 马载同典选 [1] 围广州 天下最要紧的是读书做一个圣贤的人 使其无应听之主 （《蔡州咏李愬》） 37. 我们腹背受敌；（《广名将传》） 为暗室
一炬 供游人观仰 其党黄师宓 侬建中智中及伪官属死者五十七人 妻女 谓曰：“吾用兵 吕颐浩为江东安抚制置使 那蛮夷贪得无厌 明太祖朱元璋取古今功臣三十七人配享历代帝王庙 [12-13] [38] 其弟王承元上表归降 讨伐利头的盗贼 李愬留五百人守城栅 乃莫与伦比 便擅自率步
族智能发展史上的一大成就 过了一夜 又曰：“我专而敌分 一一安置 愬厚待吴秀琳 韩世忠画像 狄青 袭击过往的路人 推忠厚以感物 [35] 调露元年（679年） 收其帐二千三百 昔汉文帝思颇 牧于前代 只同意给韩世忠升一级 主要成就 列城唇齿 又败平卢兵于沂州 [4] 5.不可
与张亢 滕宗谅一例待之 十二月 19. 成为了一代军神 不慕功名 泚贼叛逆 大厅两侧各有侧屋 兀术率撒离曷 李成等破三京 曾为韩祠（即纪念和祭祀韩世忠的祠庙）写一副楹联 （《旧唐书》）②愬事章武（唐宪宗） 金军攻楚州（今江苏淮安） 而狄青却不加理睬 他将朱宸濠交付当时
北师大版八年级数学勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点进阶：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点进阶：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点进阶：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理例1、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B 点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2.例2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC ＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．举一反三：【变式】△ABC的三边a、b、c满足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC的形状是．例4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【巩固练习】一．选择题1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）A ．13，16，19B ．，，C ．18，24，36D ．12，35，372．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.a ：b ：c=1：2：1B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5C.（a+b ）（a ﹣b ）=c 2D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：33． 已知△ABC 三边长分别为2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1，（n 为正整数），则△ABC 为（ ）A ． 直角三角形B ． 等腰三角形C ． 锐角三角形D ． 钝角三角形4． 有下面的判断：①△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a +b ）（a ﹣b ）=c 2．以上判断正确的有（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）6． c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②222111,,a b c 能组成直角三角形 ③hb a 1,1,1能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题7．若△ABC 中，()()2b a b ac -+=，则∠B ＝____________．8．若△ABC 的三边长分别为x +1，x +2，x +3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ．9．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为______．10．△ABC 的两边a b ，分别为5，12，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．11．在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度．12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2c b a ________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．三．解答题13．如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m ，AD=400m ，CD=1300m ，BC=1200m ．请计算种植草皮的面积．14．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ．（1）填表：边a 、b 、c 三角形的面积与周长的比值3 4 55 12 138 15 17（2）若a +b ﹣c =m ，则猜想s l= （并证明此结论）．15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．。
八年级数学下册勾股定理的逆定理（基础），建议收藏！
⼋年级数学下册勾股定理的逆定理（基础），建议收藏！勾股定理是解直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，难度不⼤，应该熟练掌握。
可能出现在基础题中，也可能出现在综合题中【学习⽬标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应⽤．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利⽤勾股定理的逆定理，由三边之长判断⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应⽤范围.【要点梳理】要点⼀、勾股定理的逆定理如果三⾓形的三条边长a,b,c满⾜，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作⽤是判定某⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定⼀个三⾓形是否为直⾓三⾓形.要点⼆、如何判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形1. 是否具有相等关系.若1. ，则△ABC是∠C＝90°的直⾓三⾓形；若1. ，则△ABC不是直⾓三⾓形.2. 要点诠释：当1. 时，此三⾓形为钝⾓三⾓形；当时，此三⾓形为锐⾓三⾓形，其中c为三⾓形的最⼤边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中⼀个叫原命题，则另⼀个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不⼀定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满⾜不定⽅程的三个正整数，称为勾股数（⼜称为⾼数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三⾓形⼀定是直⾓三⾓形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：1. 3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……2. 如果是勾股数，当t为正整数时，以at,bt,ct 为三⾓形的三边长，此三⾓形必为直⾓三⾓形.要点诠释：（1）（n>1,n是⾃然数）是直⾓三⾓形的三条边长；（2）（n是⾃然数）是直⾓三⾓形的三条边长；（3）（m>n,m,n是⾃然数）是直⾓三⾓形的三条边长；。
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理关卡1 ——勾股定理笔记：1. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+。
【注】在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
2. 勾股定理的证明:（1）方法一：传说中的毕达哥拉斯的证法： 222214214c ab b a ab S ABCD +⨯=++⨯=正方形 222c b a =+∴（2）方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22214c ab b a S ABCD +⨯=+=正方形 222c b a =+∴（3）方法三：赵爽弦图。
将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()ab b a c S ABCD 21422⨯+-==正方形 222c b a =+∴（4）方法四：“总统”证法。
将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形：()()2212122c ab b a b a S ABCD +⨯=++=梯形222c b a =+∴考法1 ——勾股定理例题1（1）一直角三角形的两直角边长分别为12和16,则斜边长为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 20（2）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A. 12B. 13C. 144D. 194变式题如图，分别以Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为1S ，右边阴景部分面积为2S ，则（ ）A. 21S S =B. 21S S <C. 21S S >D. 无法确定考法2 ——勾股定理中的分类讨论例题2（1）已知直角三角形的两边长分别为6和8，则这个直角三角形的周长是 。
（2）在三角形ABC 中，AB=10，AC=102，BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等于（ ）。
A.10B.8C.6或10D.8或10考法3 ——勾股定理的简单应用例题3（1）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题17.3.3勾股定理的逆定理课型新授课课
时
1
学习目标1.理解勾股定理的逆定理.
2.利用勾股定理的逆定理解决相关问题.
学习
重点
勾股定理的逆定理
学习
难点
勾股定理逆定理的证明设计
亮点
教学过程中学生活
动
设计意
图
时
间
一、新课导入
二、出示学习目标
三、预习成果展示
生读
学生回答
学生回答引入本节课
的教学内容
明确本节所
学内容
通过探究得
出勾股定理
的逆定理
2
分
钟
5
钟
四、合作探究学生完成
生独立完成
学生独立完
成，老师归
纳总结
学生独立完
成
熟悉勾股定
理逆定理
练习运用勾
股定理逆定
理解题
分类讨论和
勾股定理的
结合，锻炼
学生全面思
考问题的能
力
勾股定理与
画图相结
合，巩固勾
股定理逆定
理
2
分
钟
4
分
钟
5
分
钟
5
分
钟
学生独立完
成
学生独立完
成，老师归
纳总结
勾股定理的
简单应用
勾股定理及
其逆定理的
综合应用
5
分
钟
6
分
钟
五、课堂小结
六、课后作业本课时导学测评学生独立完
成
学生回答
勾股定理逆
定理与代数
回顾本节知
识内容
2
分
钟
1
分
钟
板书设计
17.3.3勾股定理的逆定理
1、勾股定理的逆定理
2、运用勾股定理和逆定理解题注意事项
课后反思。