高能电子束对抗蚀剂曝光的Monte Carlo模拟

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可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法

指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为
Var
IF (x)

1
N
1

N j 1
I
2 F
(xj)

NI
2 F

N 1
N 1 N
N j 1
I
2 F
(
x
j
)

1 N
N
I
F
(
xk
)
2

k 1

N 1
N
1

N
式中, f(xi) (i=1, 2, …, n)为随机变量xi的概率密度函数。
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte lo 可靠性分析
Monte Carlo 可靠性分析方法又称随机抽样法、概率模拟法或统计试验法。该方法是通过随机模拟或者说统计试验来进行结构可靠性分析的。由于它是以概率和数理统计理论为基础的，故被无理学家以赌城Monte Carlo来命名。
否 IF(xj)=0
g(xj)≤0 ?
是 IF(xj)=1
m=m+IF(xj)
否 j=N?
是
Pˆf

m N
,
Var

Pˆf

Pˆf Pˆf2 N 1
结束
3 Monte Carlo 可靠性分析
常见分布随机数生成函数的调用格式
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte Carlo 可靠性分析
xS
)dxS

dxR

1 FS (xR )
fR (xR )dxR

系统建模与仿真第12讲 Monte Carlo蒙特卡洛方法

Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的应用：自然现象的模拟：宇宙射线在地球大气中的传输过程；高能物理实验中的核相互作用过程；实验探测器的模拟数值分析：利用Monte Carlo方法求积分
2
3.141528 3.141528 3.141509 3.141553 3.141506
3
3.141527 3.141521 3.141537 3.141527 3.141538
n
(i )2
si

i1
n 1
0.000012
0.0000032
s si / n
ua s t(0.683, n 1) 0.0000033
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟在实际研究中的作用
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的步骤： 1. 根据欲研究的系统的性质，建立能够描述该系统特性的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言系统的某些特性。
k n 1
3.1415279
14
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6 的射击效果能全部消灭敌人．

低能电子束对抗蚀剂曝光的MonteCarlo模拟

第4 期2004 年12 月微细加工技术MICROFABR ICATION TEC HNOLOGY№14Dec1 ,2004文章编号:100328213 (2004) 0420001206低能电子束对抗蚀剂曝光的Monte Carlo 模拟宋会英,张玉林,孔祥东(山东大学控制学院电子束研究所,济南250061)摘要:考虑二次电子的产生和散射,利用Monte Carlo 方法模拟了具有高斯分布特征的低能入射电子束斑在抗蚀剂中的散射过程,分别得到了电子束在抗蚀剂中的穿透深度和能量沉积的分布图。

发现在能量小于215 keV 范围内的模拟结果与实验结果相吻合,这比用传统的不考虑二次电子的Bethe 公式得到的模拟结果更加符合实际的电子散射过程,精度更高。

另外还发现电子束能量越低,曝光的分辨率和效率越高, 这一结果也与实验相吻合。

结果表明,二次电子的产生和散射对电子束曝光起了重要的作用,需考虑它们的影响。

关键词:电子束;Monte C arlo 模拟;散射;二次电子中图分类号: T N30517 文献标识码:A1 引言实验结果表明,低能电子束曝光能得到极高的分辨率,并且由于它具有低邻近效应、高曝光效率和对衬底材料损坏极低的特性, 近年来对其研究得到了较快的发展[ 1 - 2 ] 。

在电子束三维光刻技术中,薄层单元的厚度和束斑的分辨率是极其重要的参数[ 3 ] 。

通过模拟方法获得这些参数,可大大缩短实验过程。

在传统的模拟方法中,主要是通过理想的点入射电子束模拟在固体中的散射轨迹, 利用基于能量损失的连续减速近似的Bethe 公式计算其能量沉积分布。

可实际上电子束是以一定半径的束斑入射的,并且束斑中的电子符合高斯分布。

对抗蚀剂曝光起主要作用的不是较高能量的入射电子,而是低能二次电子[ 4 ] 。

在传统的基于能量损失的连续减速近似的Bethe 公式计算能量沉积分布时, 并没有考虑二次电子的产生,因此传统模拟方法的精度较低。

蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）

蒙特·卡罗⽅法（MonteCarlomethod）蒙特·卡罗⽅法（Monte Carlo method），也称统计模拟⽅法，是⼆⼗世纪四⼗年代中期由于科学技术的发展和电⼦计算机的发明，⽽被提出的⼀种以概率统计理论为指导的⼀类⾮常重要的数值计算⽅法。

是指使⽤随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的⽅法。

与它对应的是确定性算法。

这个⽅法的发展始于20世纪40年代，和原⼦弹制造的曼哈顿计划密切相关，当时的⼏个⼤⽜，包括乌拉姆、冯.诺依曼、费⽶、费曼、Nicholas Metropolis，在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室研究裂变物质的中⼦连锁反应的时候，开始使⽤统计模拟的⽅法，并在最早的计算机上进⾏编程实现。

现代的统计模拟⽅法最早由数学家乌拉姆提出，被Metropolis命名为蒙特卡罗⽅法，蒙特卡罗是著名的赌场，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣⽽贴切，很快被⼤家⼴泛接受。

被不过据说费⽶之前就已经在实验中使⽤了，但是没有发表。

说起蒙特卡罗⽅法的源头，可以追溯到18世纪，布丰当年⽤于计算π的著名的投针实验就是蒙特卡罗模拟实验。

统计采样的⽅法其实数学家们很早就知道，但是在计算机出现以前，随机数⽣成的成本很⾼，所以该⽅法也没有实⽤价值。

随着计算机技术在⼆⼗世纪后半叶的迅猛发展，随机模拟技术很快进⼊实⽤阶段。

（类⽐深度学习，感叹~）对那些⽤确定算法不可⾏或不可能解决的问题，蒙特卡罗⽅法常常为⼈们带来希望。

蒙特卡罗基本思想：利⽤⼤量采样的⽅法来求解⼀些难以直接计算得到的积分。

例如，假想你有⼀袋⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，这个⾖⼦的数⽬就是图形的⾯积。

当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。

借助计算机程序可以⽣成⼤量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的⽐例和坐标点⽣成范围的⾯积就可以求出图形⾯积。

第六章 M onte-Carlo 方法

具有分布密度函数f(x)的伪随机数变量抽样的基本步骤： • 在[0,1]区间抽取均匀分布的伪随机数列； • 在这伪随机数总体中抽取一个简单子样，使这个简单子样满足分布密度函数f(x)。
10
1、离散型分布随机变量的直接抽样对一个可以取两个值的随机变量x，如果它以几率p1取值x1, 而以几率p2取值x2。则：p2=(1-p1)。如果取(0,1)间一个随机数，若满足： x < p 1 , 则取： x = x 1
第六章 Monte-Carlo 方法第一节 Monte-carlo 方法概述 Monte-Carlo(蒙特卡罗)是摩纳哥闻名的赌城的名字，其本意具有“随机”、“机遇”之意，从而Monte-Carlo方法又称为随机抽样技巧或统计模拟方法(statistical simulation method )。是利用随机数进行数值模拟的方法。是由Metropolis在二次世界大战期间提出的,Nouman命名。在 Manhattan计划中，研究与原子弹有关的中子输运过程。 Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一。
由于试验次数不能太少，进行大量模拟就有很大的运算量，从而只有在计算机出现和发展后，该方法才得到有效应用，所以说，Monte-Carlo方法是和计算机紧密联系在一起的。
5
三. Monte-Carlo 方法的适用范围非常广泛
由于空间维数的多少对于Monte-Carlo方法的影响不大，且受问题的条件限制小，另外用该方法解决问题所编写的程序结构简单，所以该方法已广泛应用在许多领域。它可以解决一些典型的数学问题，如多重积分的计算、线性代数方程组、线性积分方程求解、齐次线性积分方程本征值的计算、微分方程边值的计算等；另外生物、物理、材料、化学、经济、通讯等科学方面许多复杂问题用该方法来解决相对来说比较简单。

高能通量脉冲电子束作用下钽靶破坏初步研究

第17卷　第10期强激光与粒子束Vol.17,No.10 2005年10月H I GH P OW ER LASER AND P ARTI CLE BEAMS Oct.,2005　文章编号:　100124322(2005)1021581204高能通量脉冲电子束作用下钽靶破坏初步研究3朱　隽,　章林文,　龙继东,　李　劲,　禹海军,　石金水(中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621900) 摘　要:　使用Monte2Carl o程序MC NP在2维情况下模拟得到了高能通量脉冲电子束在钽金属靶中的能量沉积。

根据能量沉积的模拟结果以及实验后靶上穿孔的大小和形貌,提出了电子束对不同结构钽金属靶破坏的物理机制。

由于能量沉积的差异,1mm实心靶中的热激波在一定时间内沿径向和轴向持续对靶材进行压缩,而在叠靶中这种压缩效果并不明显,因此实验后1mm实心靶上穿孔的大小几乎是叠靶上的两倍。

根据理论模型分析得到的靶材熔融喷射和层裂现象与实验结果相吻合。

关键词:　脉冲电子束;　钽靶;　热激波;　能量沉积中图分类号:　T L503.92 文献标识码:　A 当数十ns的脉冲电子束与靶相互作用时,将产生多种物理效应,如力学效应和热效应。

靶材料、电子束能量以及电子束在靶内的能通量密度不同时,材料的各种效应响应一般也不一样。

在“闪光二号”[1～3]上电子束的能量约为1Me V,靶上的能通量为100J/c m2左右。

靶内热激波的应力峰值约为0.5～2.5GPa,材料一般工作在弹塑性区。

在12Me V直线感应加速器上,靶上的能通量可达4kJ/c m2。

在热激波和稀疏波的作用下靶上最终呈现为对称撕裂的破坏形态[4]。

在美国的DARHT装置上,能量20Me V、流强2kA、脉冲宽度60ns的电子束经过加速聚焦后(F WH M焦斑1.3mm)与钽金属靶作用,靶上的能通量可达到6.3×104J/c m2。

模拟结果表明电子束的能量沉积可将靶中心处温度加热到几个e V,喷出的等离子体速度可达c m/μs的量级[5]。

Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析

2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：

直接蒙特卡洛模拟方法

直接蒙特卡洛模拟方法一、什么是蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机数和概率统计的模拟技术，通过生成大量随机样本来模拟实验或事件的概率分布，用于解决复杂的计算问题。

它起源于第二次世界大战时，用于解决核物理领域的复杂问题。

二、蒙特卡洛模拟方法的基本原理蒙特卡洛模拟方法的基本原理是利用概率统计理论中的随机抽样和大数定律，通过生成大量的随机样本，通过对这些随机样本进行统计分析，得到研究对象的数值解或概率分布。

在蒙特卡洛模拟中，随机数的生成是关键步骤，通常使用计算机算法来生成伪随机数。

2.1 蒙特卡洛模拟方法的步骤蒙特卡洛模拟方法的主要步骤包括： 1. 定义模拟的问题和目标。

2. 建立模拟模型，包括建立数学模型和模拟算法。

3. 生成随机数，用于模拟实验的输入。

4. 进行模拟实验并记录结果。

5. 分析模拟结果，得出目标问题的解或概率分布。

6. 进行模型验证和灵敏度分析。

2.2 蒙特卡洛模拟方法的应用领域蒙特卡洛模拟方法在各个领域都有广泛的应用，包括金融、天气预测、风险评估、物理学、化学工程等。

它可以帮助我们解决那些具有不确定性的问题，以及那些使用传统解析方法难以求解的复杂问题。

三、蒙特卡洛模拟方法的优缺点蒙特卡洛模拟方法具有以下优点： - 可以解决各种具有不确定性的问题。

- 可以处理复杂问题，无需求解解析解。

- 结果具有可靠性和可重复性。

然而，蒙特卡洛模拟方法也存在一些缺点： - 模拟结果受随机数生成算法的影响。

- 计算量大，运行时间较长。

- 在处理高维问题时会面临“维数灾难”。

四、蒙特卡洛模拟方法的案例应用4.1 金融领域的蒙特卡洛模拟在金融风险评估中，蒙特卡洛模拟方法非常常见。

例如，在期权定价中，我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来模拟股票价格的随机波动，从而计算期权的价值和风险。

示例代码：import numpy as npdef monte_carlo_option_pricing(S0, K, r, sigma, T, n_simulations):dt = T / n_simulationsS = np.zeros((n_simulations + 1, ))S[0] = S0for i in range(1, n_simulations + 1):epsilon = np.random.standard_normal()S[i] = S[i-1] * (1 + r * dt + sigma * np.sqrt(dt) * epsilon)payoff = np.maximum(S[-1] - K, 0)price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoff)return priceS0 = 100K = 105r = 0.05sigma = 0.2T = 1n_simulations = 10000option_price = monte_carlo_option_pricing(S0, K, r, sigma, T, n_simulations) print(f"The option price is: {option_price}")4.2 物理学中的蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟在物理学中也有广泛应用。

Monte Carlo(蒙特卡洛方法)解析

l 于是针与平行线相交的充要条件为 X 2 sin , l 即相交 A { : X 2 sin }.
于是有： l p P( X sin ) 2 0

l sin 2

0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
U(0,1)随机数的生成
乘同余法：
xi 1 axi
mod m
ui 1 xi 1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0称为种子,a 是乘因子,m是模数
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
1 确定行为的模拟
例：曲线下的面积
本节以曲线下的面积为例说明蒙特卡罗模拟在确定行为建模中的应用．
下面的算法给出了用蒙特卡罗方法求曲线下面积的计算机模拟的计算格式．
在给定区间上曲线y=cosx下面积的真值是2．注意到即使对于产生的相当多的点数，误差也是可观的．对单变量函数，一般说来，蒙特卡罗方法无法与在数值分析中学到的积分方法相比，没有误差界以及难以求出函数的上界M也是它的缺点．然而，蒙特卡罗方法可以推广到多变量函数，在那里它变得更加实用．
ˆ f n ( A) 。在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得的估计。历史上 af n ( A)

电子束光刻三维仿真研究_宋会英

电子束光刻三维仿真研究宋会英,杨瑞,赵真玉(中国石油大学(华东)计算机与通信工程学院,山东东营257061)摘要: 本文利用Monte Carlo 方法及优化的散射模型,对电子束光刻中电子在抗蚀剂中的散射过程进行了模拟,通过分层的方法,对厚层抗蚀剂不同深度处的能量沉积密度进行了计算,建立了电子束光刻厚层抗蚀剂的三维能量沉积模型.根据建立的三维能量沉积模型,采用重复增量扫描策略对正梯锥三维微结构进行了光刻仿真.理论分析和仿真结果表明,利用分层的三维能量沉积分布模型能更精确地实现电子束光刻的三维仿真.关键词: 电子束光刻;邻近效应;曝光强度;三维能量沉积模型中图分类号: TP305 1 文献标识码: A 文章编号: 0372-2112(2010)03-0617-03Three -Dimensional Simulation Study on the Electron Beam LithographySONG Hu-i ying,YANG Rui,Z HAO Zhen -yu(Colle ge o f Compute r and Communicat ion Engineering ,China U ni versity o f Pe troleum(East China ),Dongying ,Shandong 257061,China )Abstract: The electron scattering process of electron beam lithography in the thick resis t was simulated by the Monte Carlomethod with the optimized electron scattering model,the energy deposition density at the different depths of thick resist was calculat -ed by using of the stratified method,and the three dimensional energy deposition model of the thick resist in the electron beamlithography was establis hed.According to the three dimensional energ y deposition mode,w e have simulated the exposure of a threedimensional micro -structure of trapezoidal pyramid by the overlapped increment scanni ng s trategy.Theoretical analysis and the simu -lation results s how that the three dimensional energy deposition model based on the s tratified method can realize the three dimension -al simulation of the electron beam litho graphy more accu rately.Key words: electron beam lithography ;proximity effect;expo sure intensity ;three dimensional energy deposition model1 引言在微细加工技术中,电子束光刻技术是目前最好的图形制作技术,在实验室环境下,已经能将电子束聚焦成2nm 的束斑[1],它在微细加工和纳米器件的制备方面都呈现出重要的应用价值,同时,随着微机电系统(M-icro Elec tro Mec hanical Syste ms,MEMS)技术的发展,它必将在三维微结构加工技术中发挥重要作用[2].但是,电子束光刻机价格昂贵,实验费用高,通过仿真技术研究,可以减少实验次数、降低实验费用,因此,需要进行电子束光刻三维仿真技术研究.MEMS 制造技术是MEMS 技术的关键和基础,是当前MEMS 研究的重中之重.MEMS 技术发展要求制造真正的三维微结构.要得到精确的三维图形,需要对三维结构的产生机理及其邻近效应校正技术进行研究.目前的电子束光刻及其邻近效应校正模型主要是针对集成电路掩模制造技术,一般只在二维方向上进行建模.二维模型通常采用在整个抗蚀剂厚度上取平均值的方法进行简化,在抗蚀剂很薄的情况下,这种简化引起的误差很小,可以忽略,但随着三维微结构深宽比的增大,要求采用较厚的抗蚀剂层,沿着厚层抗蚀剂深度方向上的能量沉积密度变化较为显著,如用二维模型进行简化,就会引起较大的误差.因此,进行电子束光刻仿真技术研究,必须考虑厚层抗蚀剂深度方向上能量沉积密度的变化,建立三维能量沉积分布模型.本文利用Monte Car -lo 方法和优化的电子散射模型[3]对电子的散射过程进行仿真,然后对沿着厚层抗蚀剂深度方向上的能量沉积密度进行分层计算.对正梯锥三维微结构进行的光刻仿真结果表明利用分层的三维能量沉积分布模型能够更精确地实现电子束光刻的三维仿真.2 电子束光刻能量沉积模型当电子束在抗蚀剂表面的Q 点入射时,距离Q 点为r 1的P 点接收到的有效曝光剂量为E 1=F (r 1),F(r )为曝光强度分布函数,同时,如果电子束在P 点入射,则在Q 点接收到的有效曝光剂量为E 2=F(r 1).根据昂萨格倒易关系[4]有E 1=E 2.收稿日期:2009-08-21;修回日期:2010-02-26基金项目:山东省自然科学基金(No.Y2007G21) 第3期2010年3月电子学报ACTA ELECTRO NICA SINICA Vol.38 No.3Mar. 2010图1[2]为有效曝光剂量计算示意图,当电子束对区域A 进行曝光时,在P 接收到的有效曝光剂量为:E p = S F(r)d S (1)其中S 为曝光区域A 的面积.若对P 点附近(F(r)曲面下)的多个区域进行曝光,在P 点接收到的总有效曝光剂量应为各曝光剂量的累加和.由以上分析可知,通过如下两个步骤,即可计算版图中任意一点P 接收到的有效曝光剂量:移动F(r),使P 为其中心点或坐标原点;用下式计算P 点接收到的总有效曝光剂量[4]:E p = n i=1 S i F(r)d S i (2)其中,n 为以P 点为中心,F(r)曲面内包含的曝光区域的数目.在电子束三维光刻技术中,首先使用电子束光刻技术进行曝光,再用显影工序以选择性地去除曝光部分(正性抗蚀剂)或者未曝光部分(负性抗蚀剂),从而最终形成三维聚合物结构.在电子束光刻过程中需要考虑根据不同光刻深度用不同的剂量进行曝光,针对在光刻过程中扫描速率不能改变的电子束曝光机,可以采用重复增量扫描技术[5].在重复增量扫描技术中,某点可能被多次曝光.图形深度不同的位置其曝光次数也不相同,接收到的总曝光剂量是该点多次曝光剂量之和再加上相邻点散射引起的曝光剂量,可表示为[5]:D tot al =KD d + n i=0D i (3)其中K 为该点被曝光的总次数,D d 为单次曝光剂量,n 为对该图形有影响的其它图形的曝光总次数,D i 为第i 个相邻图形曝光对该图形造成的散射剂量.3 深度对电子束光刻产生能量沉积的影响 Monte Carlo 方法使用不同随机数反映随机过程的涨落现象,利用这种方法可以产生一个与电子行为相似的散射事件,能较准确地模拟电子在固体中的能量沉积分布.因此,通过Monte Carlo 方法模拟电子在固体中的散射,是极其有效的方法[6,7].在模拟数据的基础上,分析不同光刻条件对电子束能量沉积分布的影响,为电子束三维光刻技术中参数的确定提供理论基础,从而大大减少实验的次数.为了建立电子束光刻的三维能量沉积模型,首先对整个厚层抗蚀剂进行电子束光刻的Monte Carlo 模拟,然后对不同深度上的能量沉积密度进行计算,从而比较不同深度上能量沉积密度的差异,最终建立电子束光刻的三维能量沉积分布模型.在模拟过程中,抗蚀剂PMMA 的厚度为1000nm,电子束能量为30ke V,束斑半径为5nm.分别对厚层抗蚀剂不同深度上的能量沉积密度进行计算,图2为不同深度处的能量沉积密度分布,图中分别给出了抗蚀剂顶部、中间和底部厚度为100nm 抗蚀剂层中的平均能量沉积密度.由图2可清晰得知,随着抗蚀剂深度的增加,电子束能量沉积密度分布的中间部分逐渐由高而陡向矮而缓变化,随着抗蚀剂深度的增加,这种变化更加明显.邻近效应产生的根本原因是电子在抗蚀剂和衬底中遭受散射,改变了电子原有的运动方向[8,9].由图2可以得出,随着抗蚀剂深度不断增加,靠近入射点中心部分的能量沉积密度逐渐减弱,而远离入射点中心部分的能量沉积密度逐渐增强.因此,随着厚层抗蚀剂深度的增加,产生的邻近效应越来越显著.由于随着厚层抗蚀剂深度的增加其不同深度上能量沉积密度的扩散程度差别较大,因此,二维能量沉积模型采用平均值简化的方法无法精确地表达厚层抗蚀剂曝光后实际的能量沉积分布.鉴于此,构建三维能量沉积分布模型首先要对厚层抗蚀剂进行分层,由于在每一薄层中深度方向上的能量沉积密度变化很小,所以,在每一层上可采用求平均值的方法分别计算其能量沉积密度分布.图3是采用电子束能量为30ke V,束斑半径为5nm,在厚度为1200nm 的P MMA 上对某一栅形结构进行光刻后所产生的能量沉积分布,图3中A 、B 、C 分别为抗蚀剂顶部、中部和底部,厚度为100nm 抗蚀剂中的平均能量沉积密度分布,图3中D 为整个抗蚀剂层应用二维能量沉积模型获得的能量沉积密度分布,由图3中A 、B 、C 可知,随着厚层抗蚀剂深度的增加,其能量沉积分布的扩散程度越来越明显,这就导致了经光刻、显影后得到的栅型结构之间的邻近效应随抗蚀剂深度的增加而明显增强,这样制备的三维结构将与所期望得到的三维结构间有较大误差,甚至多个图形连接到一起,从而无法获得需要的三维结构.图3中D 所示的由二维能量618电子学报2010年沉积模型获得的能量沉积分布可知,采用通常的平均值简化的二维能量沉积分布模型丢失了许多信息,造成了计算结果与光刻产生的实际能量沉积分布之间的较大误差.所以,通过分层计算的方式建立的三维模型能更准确地模拟电子束三维光刻生成的微结构.4 重复增量扫描策略在利用现有的电子束曝光机图形发生器进行三维加工时,需要对曲面图形进行复杂的数据分割[5].考虑到加工三维结构降低数据传输的时间需要,需结合三维曝光模型和曝光图形的特殊结构,从软件和策略上提高电子束曝光机的性能,避免复杂的硬件优化.以曝光一个正梯锥为例,如图4所示,如果需要曝光得到一个简单的正梯锥,可以借助重复增量扫描策略,对于抗蚀剂中正梯锥的表层正方形部分,先对其进行如图的划分,从中央开始,依次对划分的多个正方形进行扫描,这样最中间部分的小正方形扫描了多次,而最外层的正方形边缘只扫描了1次,某一位置接收到的电子剂量由电子束扫描同一位置的总时间来确定.同理,重复增量扫描策略还可以用于圆锥、圆形曲面的曝光,具有类似曲面轮廓的图形在重复增量扫描策略下,无需进行复杂的分割,这样就避免了数据量过大的问题,从而大大降低了数据的传输量,减少了总曝光时间并且提高了曝光效率[5].5 实验与仿真结果利用SDS -3电子束曝光机,对厚度为570nm 的正性光致抗蚀剂S -1805进行了光刻实验,曝光的正方形的边长依次为7 m 、11 m 、15 m 、19 m 、23 m 、27 m 、31 m,电子束加速电压为20kV,单次曝光剂量为5 C/c m 2.在7 的NaOH 溶液中显影50s,得到的三维图形如图5所示.各级对应的深度分别为38nm 、91nm 、165nm 、266nm 、366nm 、456nm 、543nm.图6为利用重复增量扫描策略和分层的三维能量沉积分布模型,与实验相同的参数下获得的计算机仿真结果,仿真结果与实验结果的平均深度误差和平均宽度误差均小于10%.另外,仿真结果还表明,如果继续增加重复曝光次数,各曝光级别之间的界限不断减弱,最终成为一个连续曲面,这为利用现有电子束曝光系统实现三维曲面加工技术的研究奠定了基础.6 结论本文采用Monte Carlo 模拟和分层方法计算了电子束光刻在厚层抗蚀剂中的能量沉积分布,计算结果表明,随着厚层抗蚀剂深度的增加,电子束入射点附近的能量沉积密度呈现出由高而陡向矮而缓的变化趋势,即随着抗蚀剂深度的不断增加,其抗蚀剂深度上能量沉积分布的扩散程度越来越大,这表明三维微结构的邻近效应随抗蚀剂深度的不断增加越来越明显.根据模拟结果得到的电子束光刻厚层抗蚀剂中能量沉积分布的变化规律和数据,建立了更精确的分层的电子束光刻仿真三维能量沉积分布模型.利用重复增量扫描策略,采用分层的三维能量沉积分布模型获得了与实验较为接近的三维微结构的仿真结果,另外,分层的三维能量沉积分布模型的建立也为三维微结构的邻近效应校正奠定了基础.作者简介:宋会英女,1968年12月出生于山东省利津县.博士.现为中国石油大学(华东)计算机与通信工程学院副教授、硕士生导师.主要从事电子束光刻、邻近效应校正及其仿真技术研究.E -mail:songhuiying@杨瑞男,1984年10月出生于山东省博兴县.研究生.主要从事电子束光刻仿真技术、高性能计算研究.E -mail:yangrui10718@ (下转第631页)619第 3 期宋会英:电子束光刻三维仿真研究。

蒙特卡罗模拟

一，蒙特卡罗模拟的由来蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。

具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。

由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。

这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。

蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

二，蒙特卡罗模拟产生随机数的方法(1),用Excel菜单工具产生随机数。

(2),用Excel函数产生随机变量。

三，蒙特卡罗模的应用(1),估计面积和体积(2),MC模拟1，生日问题假设有N个人在一起，各自的生日为365天之一，根据概率理论，与很多人的直觉相反，只需有23个人便有大于50%的几率人群中至少有两个人的生日相同。

2，薄丰的投针问题3，中子屏蔽问题4，21点问题5，参数模拟问题6，辐射转移问题7，在数学中的应用通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。

对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。

一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。

非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。

此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。

蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)

例：a=5,c=1,m=16,I0=1 Î周期=m=16 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,..
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
RANDU随机数产生器：
1961年由IBM提出 I n +1 = (65539 × I n ) mod 2 存在严重的问题：Marsaglia效用，存在于所有乘同余方法的产生器
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
==〉伪随机数（Pseudo-Random Number) Î优点： – – – 占用计算机的内存少；产生速度快；可以重复前次的模拟结果，便于程序的找错；
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method)
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
– 所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性：
• 随机数序列应是独立的、互不相关的(uncorrelated)：即序列中的任一子序列应与其它的子序列无关； • 长的周期(long period)：实际应用中，随机数都是用数学方法计算出来的，这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复； • 均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)：随机数序列应是均匀的、无偏的，即：如果两个子区间的“面积”相等，则落于这两个子区间内的随机数的个数影相等。
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
2.2 随机数的产生 • [0,1]区间上均匀分布的随机数是Monte Carlo模拟的基础，服从任意分布的随机数序列可以用[0,1]区间均匀分布的随机数序列作适当的变换火舍选后求得； • [0,1]均匀分布的随机数的产生方法：

电子束曝光的Monte Carlo模拟

用，但这种模型仅适于高能电子和低原子序数材料。当电子能量较低时，Ｂｒ近似条由ｏｎ件导出的Ｒｕｈｒｒｔｅｏｄ散射截面和Ｂｔｅ高，偏差越大。本文建立了一个更为严格地描述
电子散射过程的物理模型，利用ＭｏｔｒｎｅＣｌａｏ方法，对高斯分布电子束在靶体ＰＭＭＡ一村
底中的散射进行模拟，通过大量计算，并研究
随机事件分析的一种数学模拟方法电子束
曝光的ＭｏｔＣｒ模拟，ｎｅｌｏａ对深入了解电子束曝光中邻近效应产生的原因，探讨邻近效应
维普资讯
２
微细加工技术
２００２正
电子束曝光技术中，电子人射到固体后，
并不是沿直线运动，而是按某种规律随机运
ｆｒ散射截面和Ｂｔｅ０ｄｅｈ连续能量损失公式计算，ｔｅｆｒＲｕｈｒｄ微分弹性散射截面为Ｊｏ：
维普资讯
第ｌ期
２００２年３月
ＭＩ０蝴ＣＲ
微细加工技术
ＩＣＡＴＩＯＮＴＥＣＮ￡ＧＹＨ０Ｌ
№ ．Ｉ
Ｍａ．２２ｒ．呻
文章编号：０３８１（０２０－０／５１０－２３２０）Ｉ）－４００
２电子散射中的ＭｏｔＣｒ模拟ｎｅａｏｌ
收稿日期：呻ｌ０－３２・８０基金项目：丸五 “ 国家科技攻关项目（Ｔ３５一Ｇ７０９ —７２—０Ｋ００９２，７６３—０）国家重点基础研究项目（７２；９３

蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟

如对32位字长的计算机
real procedure random((xi)) integer array (li)n real array (xi)n l0 any integer that 1< l0 <231-1 for i=1 to n do
li =(231-1)除以16807 li-1的余数
1 b 1 n f ( x )dx f ( xi ) a ba n i 1
d b 1 1 n f ( x, y)dxdy f ( xi , yi ) c a (d c)(b a) n i 1
一般地，Af ( x )d ( measure of A)
作业
u

1 sin 2
中子屏蔽问题 Neutron Shielding problem 铅墙（长为5）
入口
假设铅墙长为5，中子在铅中的平均自由程为1，中子与铅原子碰撞后各向同性散射。令碰撞8次后中子能量耗尽，试求穿透铅墙的中子的比例。暂不考虑垂直纸面的运动，则中子的水平位移是 1 cos cos ... cos 。
1
误差约
1 n
，它并不能和一些高级的数值积分算法比拟，
但对多维情况，MC方法却很有吸引力。

1 1 1
0 0 0
1 n f ( x, y, z )dxdydz f ( xi , yi , zi ) n i 1
我们可产生一系列随机数 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....... 可简单取3个随机数构成一个随机点，即 (1, 2 , 3 ), (4 , 5 , 6 ),....... 相应地，
算法（常微分）
蛙跳如Mori et al. 1998, ApJ, 494, 430 如Liu, W. J. et al. 2007, Adv. Space Res., in press

Monte-Carlo模拟教程

举例
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮．
蒙特卡罗方法的关键步骤在于随机数的产生，计算机产生的随机数都不是真正的随机数(由算法确定的缘故)，如果伪随机数能够通过一系列统计检验，我们也可以将其当作真正的随机数使用。
rand('seed',0.1);
rand(1) ％每次运ra行nd程('s序tat产e',s生um的(1值00*是clo相ck同)*r的and);
E = P(A0) = P(j=0)P(A0∣j=0) + P(j=1)P(A0∣j=1)
= 1 0 1 1 0.25 2 22
P(A1) = P(j=0)P(A1∣j=0) + P(j=1)P(A1∣j=1)
= 10 11 1 2 23 6
P(A2) = P(j=0)P(A2∣j=0) + P(j=1)P(A2∣j=1)
非常见分布的随机数的产生
• 逆变换方法
由定理 1 ，要产生来自 F(x) 的随机数，只要先产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1(u) 即可。具体步骤如下：
(1) 生成 (0,1)上均匀分布的随机数U。
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率” 来决定事件的“概率”。19世纪人们用蒲丰投针的方法来计算圆周率π，上世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

模拟扫描电镜像衬度的体构件monte carlo方法

Monte Carlo方法是一种模拟扫描电镜像衬度的体构件的方法。

它可以用来模拟电子束扫
描电镜（SEM）的像衬度，以及模拟电子束扫描电镜（SEM）的像衬度的变化。

Monte Carlo方法的基本原理是，通过模拟电子束扫描电镜（SEM）的像衬度，以及模拟
电子束扫描电镜（SEM）的像衬度的变化，来估计体构件的像衬度。

首先，需要设定一个模拟的电子束扫描电镜（SEM）的像衬度，然后使用随机数生成器，
生成一系列的随机数，用于模拟电子束扫描电镜（SEM）的像衬度。

接着，根据这些随机数，计算出体构件的像衬度。

最后，根据计算出的像衬度，可以得出体构件的像衬度。

Monte Carlo方法可以用来模拟电子束扫描电镜（SEM）的像衬度，以及模拟电子束扫描
电镜（SEM）的像衬度的变化，从而估计体构件的像衬度。

它可以用来模拟复杂的体构件，以及模拟体构件的像衬度的变化。

蒙特卡罗模拟与编程深度分析

蒙特卡罗模拟与编程
1．蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟和自举（Bootstrap）的命名过程 2．蒙特卡罗模拟和自举原理 3．设计计算过程 4．生成服从某种分布的随机数，生成各种类型的随机序列 5．模拟模型回归系数有限样本估计量和检验统计量的分布特征 6．估计响应面函数 7．极大似然估计编程 8．模拟中应注意的问题
' u序列初始值为零。
' 生成 AR(1) 序列 x1=0.8*x1(-1)+u
series x1
' 定义x1序列
x1(1)=0
' 定义x1序列初始值为零
smpl 2 1000 x1=.8*x1(-1)+u ' 生成 AR(1) 序列 ' 生成 MA(1) 序列 x1=u+0.8*u(-1)
smpl 1 1000 series x2 x2(1)=0
广义误差分布 @rged(r)
@cged(x, r)
@dged(x, r)
@qged(p, r)
拉普拉斯分布 @rlaplace
@claplace(x)
@dlaplace(x)
@qlaplace(p)
logistic 分布 @rlogistic
@clogistic(x)
@dlogistic(x)
@qlogistic(p)
4
30
Y1
2
0
20
-2 10
-4
-6
0
250
500
750
1000
标准正态分布随机数
10
10
Y4
8
5
6
0
4
-5
2
-10
0

医用电子直线加速器的屏蔽计算

医用电子直线加速器的屏蔽计算医用电子直线加速器（linac）是放射治疗中常用的设备之一，它能够产生高能电子束用于治疗恶性肿瘤。

由于其辐射风险，医用linac需要进行屏蔽以保护患者、操作人员和周围环境的安全。

在进行linac屏蔽计算时需要考虑的因素包括辐射类型、辐射功率、辐射能量、屏蔽材料等多个方面，下面将详细介绍医用linac的屏蔽计算。

首先，计算医用linac的屏蔽需要确定所需的剂量限制。

根据国际电离辐射防护委员会（ICRP）的建议，医用linac的屏蔽目标是使超过50 mGy/年的剂量限制不会在患者和操作人员或公众中超过。

然后，需要进行剂量建模和计算，以确定屏蔽材料的厚度和配置。

对于医用linac的屏蔽计算，需要先计算出患者所接受的剂量，然后再进行屏蔽厚度计算。

医用linac可以发出两种不同能量的电子束，其中较低能量电子束通常用于表面肿瘤和浅度肿瘤的治疗，而较高能量电子束则用于深度肿瘤的治疗。

因此，需要分别计算这两种不同能量的电子束的剂量分布。

常用的剂量计算方法是通过使用一种称为Monte Carlo模拟的技术来模拟电子束的传输和相互作用。

Monte Carlo方法通过在精确模型中跟踪大量粒子的传输路径和相互作用来计算剂量分布。

通过模拟粒子的输运，可以确定剂量在患者身体内的分布情况。

得到患者剂量分布后，就可以进行屏蔽厚度计算。

屏蔽材料的厚度取决于剂量负荷和所选材料的辐射防护特性。

对于医用linac的屏蔽，常用的材料包括铅、混凝土和钢等。

这些材料的屏蔽能力取决于其密度、厚度和辐射力学特性。

在屏蔽材料的选择和配置方面，需要考虑到对电磁场干扰的控制。

因为linac在治疗过程中会发出强烈的电磁辐射，如果没有进行适当的屏蔽，可能会对周围的电子设备和通信系统造成干扰。

因此，在屏蔽设计中需要考虑到电磁波的衰减问题，并选择适当的电磁波屏蔽材料。

除了屏蔽材料的选择和配置，还需要考虑到辐射监测问题。

在医用linac操作区域内应安装辐射监测设备，用于实时监测辐射水平，以确保在操作过程中辐射剂量不会超出所需的限制。

手把手教你蒙特卡洛模拟

手把手教你蒙特卡洛模拟
1、定义：蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。

2、基于计算机的蒙特卡洛模拟实现步骤：
（1）对每一项活动，输入最小、最大和最可能估计数据（注意这里不是三点估算），并根据提出的问题构造或选择一个简单、适用的概率分布模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），这些特征都可以通过模拟出的概率分布图得到。

（2）根据模型中各个随机变量的分布，利用给定的某种规则，在计算机上快速实施充分大量的随机抽样。

（3）对随机抽样的数据进行必要的数学计算，统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计，即最小值、最大值以及数学期望值和单位标准偏差。

（4）按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。

（5）根据求出的统计学处理数据，让计算机自动生成概率分布图，通常为正态分布图。

（6）根据概率分布图读出所需信息，如某项目成本200万情况下的完工概率，或确保70%完工概率时需要的成本等。

3、基于EXCEL与Crystal Ball的蒙特卡洛成本模拟过程实例：
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