简单几何体的面积和体积课件
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空间几何体的表面积和体积课件-ppt
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空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
3
作业
已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体 的棱长为a，求球O的表面积和体积.
解答：正方体的一条对
角线是球的一条直径，
所以球的半径为 R
3a
2
C′
o
A
感谢阅读
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
V 1 (S' S'S S)h 3 A
P
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
V 1 h[Sh (S S' )
S' ]
3
S S'
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
RS2
1 3
RS3
V球
4
3
R3
1 3
RS球面
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
3
作业
已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体 的棱长为a，求球O的表面积和体积.
解答：正方体的一条对
角线是球的一条直径，
所以球的半径为 R
3a
2
C′
o
A
感谢阅读
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
V 1 (S' S'S S)h 3 A
P
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
V 1 h[Sh (S S' )
S' ]
3
S S'
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
RS2
1 3
RS3
V球
4
3
R3
1 3
RS球面
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
8.3简单几何体的表面积与体积第3课时球的问题课件(人教版)
6.一个正四面体的棱长为 ，若该四面体的表面积为 ，
其内切球的表面积为 ，求
=
=
正方体与球
正方体的外接球与内切球
如图①，正方体的棱长为，则外接球的直径为 ，内切球的直径为
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图②
半径定大小
球与多面体
多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等
多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等
球与旋转体
旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；球心在旋转轴上
旋转体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上
2
球与几何体外接、内切问题
′ =
×
×=
在Δ′ 中， = ′ + ′
所以
=
2 3
3
2
+
所以球 = =
2
1
,解得
2
=
′
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
确定球心位置
构造直角三角形，确定球的半径
球心定位置
过正方体对角面截组合体，其截面图如图③
①
②
③
3
正方体与球
与正方体各棱都相切的球
如图④，正方体的棱长为，该球的直径为
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图⑤
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
空间几何体的表面积和体积1(共82张1)PPT课件
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
精选PPT课件
24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
精选PPT课件
28
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
精选PPT课件
24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
精选PPT课件
28
第9讲 立体几何
在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面各边 都相等， 是 PC 上的一动点， M 当点 M 满足BM⊥PC 时， 平面 MBD⊥平面 PCD. 立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线 面关系的转化，即： 线∥线↔线∥面↔面∥面
判定 线⊥线↔线⊥面↔面⊥面 性质
线∥线↔线⊥面↔面∥面 如(ⅲ)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，给出下列 四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒ α⊥β ； ④l⊥m ⇒ α∥β. 其 中 正 确 的 命 题 是
8.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定：①判定定理：如果平面外的一条直线和这个 平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一 个平面内的任何直线与另一个平面平行. (2)性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这 条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平 行.在遇到线面平行时， 常需作出过已知直线且与已知 平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.如 α、β 表示平面，a、b 表示直线，则 a∥α 的一个充分 不必要条件是( D ) A.α⊥β，a⊥β C.a∥b 且 b∥α B.α∩β＝b，且 a∥b D.α∥β 且 a⊂β
(4)体积公式 V 柱＝S·h (S 为底面面积，h 为高)， 1 V 锥＝ S·h(S 为底面面积，h 为高). 3 (5)球的表面积和体积 4 3 2 S 球＝4πR ，V 球＝ πR . 3
2.空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个 公共点.②平行直线——在同一平面内，没有公共 点.③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点. 如(1)空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边 上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系是 相交 . (2)给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a，b，如果 a 平行于平面 α，那么 b 不 平行平面 α； ③两异面直线 a，b，如果 a⊥平面 α，那么 b 不垂直 于平面 α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平 行直线.其中正确的命题是 ①③ .
《立体几何初步——简单几何体的表面积与体积》数学教学PPT课件(4篇)
栏目 导引
第八章 立体几何初步
一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的 球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内 接于⊙O，而⊙O1 内切于△SAB. 设⊙O 的半径为 R， 则有43πR3＝972π， 所以 R3＝729，R＝9. 所以 SE＝2R＝18. 因为 SD＝16，所以 ED＝2. 连接 AE，又因为 SE 是直径，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
角度二 球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶
点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________． 【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝ 12＋22＋32＝ 14， 所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆， 将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r， 球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
第八章 立体几何初步
一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的 球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内 接于⊙O，而⊙O1 内切于△SAB. 设⊙O 的半径为 R， 则有43πR3＝972π， 所以 R3＝729，R＝9. 所以 SE＝2R＝18. 因为 SD＝16，所以 ED＝2. 连接 AE，又因为 SE 是直径，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
角度二 球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶
点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________． 【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝ 12＋22＋32＝ 14， 所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆， 将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r， 球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
分叫作棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
简单几何体的表面积与体积 PPT课件
A. 2倍
B. 4倍
C. 8倍
D. 16倍
2. (2010·福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所
示，则其侧面积等于
()
A. 3B. 2 C. 2 D. 6 3 3. 若一个球的体积为4 π3 ，则它的表面积为 ．
4. (教材改编题)一个长方体有共顶点的三个面的面积分别
是 2，3， .则6这个长方体外接球的直径是( )
3
C. 2 2 4 cm3 3
D. Cm1 63 30
解：解此几何体为正四棱柱与正四棱台的组合体，
因为V正四棱柱=4*4*2=32(cm3)，
V正四棱台13（82+42+
8242） 2=224， 3
所以V32224320（cm3）.故选B. 33
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
变式2－1
(2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积为
．
答案:10/3 解析：由三视图可知，该几何体为一个底面 边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边 长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体． 因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积 为 1/3*4*1=4/3,所以该几何体的体积 V=2+ 4/3=10/3.
链接高考
(2010·陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
棱柱，所以侧面积为3*2*1=6.
3. 12π 解析：V= 4/3πR3=4 3 ，∴R= 3，
S=4πR2=4π×3=12π.
4. D 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意
不妨
ab 2，
b
c
3 ， 解得
a
c
课件1：简单几何体的表面积和体积
S 表面积＝S 侧＋2S 底 S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝ Sh 1
V＝ 3Sh
台体 (棱台和圆台)
球
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
S＝ 4πR2
V＝ 43πR3
1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问 题易出错．
2．易混侧面积与表面积的概念．
的体积，三棱锥 A -B1BC1 的高为 23，底面积为12，故其体
积为13×12×
23＝
3 12 .
[答案]
3 12
(2)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝AD＝3 cm， AA1＝2 cm，则三棱锥 A-B1D1D 的体积为________ cm3.
[解析] 因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形，
[针对训练] (2013·苏北四市二模)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，O 为底面正方 形 ABCD 的中心，则三棱锥 B1-BCO 的体积 为________． 解析：由题意可得 VB1-BCO＝13S△BCO×BB1＝13×12S△BCD×2＝13
×12×2×2×2＝43. 答案：43
点都在一个球面上，则球的体积为________．
解析：依题意可知，球心到平面 ABC 的距离为12AA′＝1，
平面 ABC 所在圆的半径为12BC＝ 3，则球的半径为
12＋ 3 答案：323π
2＝2，则球的体积为43×π×23＝323π.
1．(2013·南通三模)底面边长为 2 m，高为 1 m 的正三棱锥的
2R＝
OA2＋OB2＋OC2＝
1 2×
2
8.3 简单几何体的表面积与体积(2个课时)(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
8.3 简单几何体的表面积与体积预备知识——平面图形的面积ab S =2aS =ahS 21=a ah S =2)(h b a S +=2rS π=lrr S 21212==αrl1.多面体的表面积公式26aS =bcac ab S 222++=aac )(为棱长a )//,,(高宽为长c b a ab多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。
如：棱长为2的正四面体的表面积34)3221(4=⨯⨯⨯=S a223a a下上梯S S S ++4ahS 62+底2.多面体的体积公式3aV =正方体abhV =长方体aaabh )(为棱长a )//,,(高宽为长h b a Sh V =棱柱(S,h 分别为棱柱的底面积和高)(1)棱柱的体积：(2)圆/棱锥的体积：Sh V 31=锥体(S,h 分别为棱锥的底面积和高)圆柱体积：h r V 2π=圆柱(r,h 分别为圆柱的底面半径和圆柱的高)祖暅原理“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
前后体积不变底面积和高都相等的棱柱，体积相等。
祖暅原理——推导棱锥体积公式底面积和高都相等的棱锥，体积相等。
两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
将三棱柱分割成3个小三棱锥，由等底等高易证得V 1=V 2=V 3321V V V V ++=棱柱棱锥V Sh 3=⇒Sh V 31=⇒棱锥2)(相似比下上=S S 212221,','S S h h S S h h S S =∴⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.多面体的体积公式3aV =正方体abhV =长方体aaabh )(为棱长a )//,,(高宽为长h b a Sh V =棱柱(S,h 分别为棱柱的底面积和高)(1)棱柱的体积：(2)棱锥的体积：Sh V 31=棱锥(S,h 分别为棱锥的底面积和高)(3)棱台的体积：h S S S S V )(31+'+'=棱台(S',S 分别为上/下底面积，h 为棱台的高))''(3122r r r r h V ++=π圆台推广：圆台体积(r',r 分别为上/下底半径，h 为圆台的高)棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差，得到棱台的体积公式．hS S 棱台高下底面积已知上底面积,,','2⎪⎭⎫⎝⎛+=h x x S S ,'h x x S S +=∴h S S S x ''-=∴推导棱台体积公式根据面积比=相似比的平方，得小锥大锥棱台V V V -=∴hS S S S )(31+'+'=x S x h S '31)(31-+=Sh x S S 31)'(31+-=Sh h S S S 31')'(31++=S 为底面面积，h 为柱体高0='S S 分别为上、下底面面积，h 为台体高S S ='S 为底面面积，h 为锥体高上底扩大上底缩小h S S S S V )(31+'+'=ShV =ShV 31=柱体、椎体、台体体积公式的关系[变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_________,体积为_______.2234)232221(8=⨯⨯⨯⨯=S 34)12231(2=⨯⨯⨯⨯=V P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A ,B ,C ,D 在同一个平面内，若四边形ABCD 是边长为30cm 的正方形，则该八面体的表面积为____.3030231800)23303021(8cmS =⨯⨯⨯⨯=。
第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积46页PPT文档
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°， E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使 A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
解：如图，把正四面体放在正方体中．显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为1，
∴正方体棱长为
∴外接球直径2R=
第二节 空间几何体的表面积和体积
柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥
面积 S侧＝ 2πrh S侧＝ πrl
圆台
S侧＝ π(r1＋r2)l
体积
面积
直棱柱 S侧＝
正棱锥 S侧＝
正棱台 S侧＝
球
S球面＝
体积
对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割 补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决.
结合图形，确定球心与径，代入表面积公式.
【解析】 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠BAC＝120°，∠ABC＝ (180°－120°)＝30°，AM＝
＝2.因此，R2＝22＋
＝5，此球的表面积等于
4πR2＝20π.
【答案】 20π
解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z， 则
∴体积V＝xyz＝24. 答案：24
5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么 这个圆柱的侧面积是________．
解析：底面半径是
所以正方形的边长是2π ＝2
2 S 故圆柱的侧面积是(2 )2＝4πS.
答案：4πS
1．多面体的表面积是各个面的面积之和． 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这 个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和．
8.3简单几何体的表面积与体积(1)PPT课件(人教版)
问题4：扇环的面积公式是怎样的？
•O
解： 设OA m,则有 l1 l2 ， ∴m l1l .
m lm
l2 l1
∴S扇环 =S扇形OAB
S扇形OAB
=
1 2
l2 (l
m)
1 2
l1m
m
A′
l
l1
=
1 2
l2l
1 2
m(l2
l1
)
1 2
l2l
1 2
l1l
1 2
l (l2
l1 ).
A
S扇环
1 2
(l1
1 (r2 rr r2 )h
3
r •O
V圆台
=
1 3
(S
SS S)h
3 圆柱、圆锥、圆台的体积
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆 锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?
• O'
h
l
r •O
V圆柱 r 2h
上底面扩大到 与下底面全等
r' •O' hl
r •O
上底面缩小 为一个点
故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π.
3 圆柱、圆锥、圆台的体积
例2(3) 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积
为_2_2_4_π__.
解析 设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图. ∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2. ∴下底面半径R＝8，高h＝8，
r •O
V柱体 Sh
S′=S
V台体
=
1 3
(S
SS S)h
S′=0
立体几何简单几何体的表面积和体积PPT课件
• (1)证明：EF∥平面PAD； • (2)求三棱锥E－ABC的体积V.
第19页/共60页
• 分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证． • (2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面积易求，需看E到平面ABC的距
离 是 否 可 求 ， 注 意 到 E 为 P B 中 点 ， PA ⊥ 平 面 A B C D ， 因 此 只 需 取 A B 中 点 G ， 则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距 离 的 一 半 ． 而 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 PA ， 也 可 获 解 ． • 解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， • ∴EF∥BC. • 又BC∥AD，∴EF∥AD， • 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， • ∴EF∥平面PAD.
(3)如果正棱台的上、下底面的周长是 c′、c，斜高是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝12(c＋c′)h′
第2页/共60页
• (4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧 面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和．
• 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体积相等． • 6．柱体体积V柱＝Sh.特殊地，圆柱体积V＝πr2h.
• 答案：B • 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.
第18页/共60页
• [例2] (2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA ⊥ 平 面 A B C D ， A P ＝ A B ， B P ＝ B C ＝ 2 ， E ， F 分 别 是 P B ， P C 的 中 点 ．
答案：C
第16页/共60页
(理)(2010·北京西城抽样)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其 正(主)视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧(左)视图
第19页/共60页
• 分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证． • (2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面积易求，需看E到平面ABC的距
离 是 否 可 求 ， 注 意 到 E 为 P B 中 点 ， PA ⊥ 平 面 A B C D ， 因 此 只 需 取 A B 中 点 G ， 则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距 离 的 一 半 ． 而 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 PA ， 也 可 获 解 ． • 解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， • ∴EF∥BC. • 又BC∥AD，∴EF∥AD， • 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， • ∴EF∥平面PAD.
(3)如果正棱台的上、下底面的周长是 c′、c，斜高是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝12(c＋c′)h′
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• (4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧 面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和．
• 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体积相等． • 6．柱体体积V柱＝Sh.特殊地，圆柱体积V＝πr2h.
• 答案：B • 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.
第18页/共60页
• [例2] (2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA ⊥ 平 面 A B C D ， A P ＝ A B ， B P ＝ B C ＝ 2 ， E ， F 分 别 是 P B ， P C 的 中 点 ．
答案：C
第16页/共60页
(理)(2010·北京西城抽样)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其 正(主)视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧(左)视图
§7简单几何体的面积和体积共32页
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
§7简ห้องสมุดไป่ตู้几何体的面积和体积
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
§7简ห้องสมุดไป่ตู้几何体的面积和体积
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
立体几何 简单几何体的面积和体积50页PPT
何 简单几何体的面积和体积
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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下底面周长．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽
然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用 “割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或 化离散为集中，给解题提供便利． (1)几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易
答案：
4 3 cm 3
工具
第七章
立体几何
栏目导引
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面 展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2 将圆心角为 π， 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面， 则圆锥的表面积 3 等于________．
解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 1 12 2 rl＝ ·π·r ＝3π， 2 23 ∴r＝3，l＝2π. ∴圆锥的母线长为 3，底面半径为 1， 故圆锥的表面积为 S＝π·1·3＋π·r2＝4π.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几 何体的体积为( A．12π C．9π ) B．16π D．24π
答案： B
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( A. 3 C．4 B．3 D．5
)
4 解析： 设球半径为 R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3. 3
求体积的几何体，进而求之．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体
积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研 究体积． (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础， 充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
又球的表面积为 4πR2， 3 2 πR 4 3 则 ＝ . 4πR2 16
答案： B
工具
第七章
立体几何
栏目导引
4．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底 面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．
解析： ∵S 底面 ABCD＝36， 1 1 ∴VP－ABCD＝ S 底面 ABCD· PA＝ ×36×8＝96. 3 3
栏目导引
(2009·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各项点都在同一球面
上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 ________．
解析： 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M， 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 1 ∠ABC＝ (180° －120° )＝30° ， 2
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
第七章
立体几何
栏目导引
从近两年的高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高
考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；
客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由 几何体的表面积、体积得出某些量，主观题考查较全面，考查线、面位 置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象 能力．
第5课时 简单几何体的面积和体积
工具
第七章
立体几何
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工具
第七章
立体几何
栏目导引
柱、锥、台和球的侧面积和体积
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第七章
立体几何
栏目导引
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第七章
立体几何
栏目导引
【思考探究】 对于不规则的几何体应如何求其体积？
提示：
对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化
为已知体积公式的几何体进行解决．
起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析： 如图，把正四面体放在正方体中． 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为 1， 2 ∴正方体棱长为 ， 2 2 6 ∴外接球直径 2R＝ 3· ，∴R＝ . 2 4 故所求外接球的体积为 4 3 4 63 6 V 球＝ πR ＝ π· ＝ π. 3 3 4 8
工具
第七章
立体几何
栏目导引
在 Rt△BEB1 中，BE＝EB1＝1，∴BB1＝ 2，
∴几何体的表面积为 S＝S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋ 1 S 正方形 AA1D1D＝1＋2×1＋2× ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＝7＋ 2(m2)． 2 3 3 ∴几何体的体积 V＝ ×1×2×1＝ (m3)， 4 2 3 ∴该几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为 m3. 2
答案： B 【阅后报告】 本题考查了三视图及几何体的体积计算，解题难点
是由三视图读出该几何体的形状．
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第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·全国新课标卷)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a， 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 B．6πa2 )
C．12πa2
D．24πa2
工具
第七章
ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝ 6， 所以 HA＝HB＝ 3， 因为∠APB＝∠ADB＝60° ， 所以 PA＝PB＝ 6，HD＝HC＝1， 可得 PH＝ 3，AC＝BD＝ 3＋1. 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S＝ AC×BD＝2＋ 3， 2 3＋2 3 1 所以四棱锥的体积为 V＝ ×(2＋ 3)× 3＝ . 3 3
2
答案： C
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．高考中对该部分的考查也常以三视图为条件，求组合体的表面 积和体积，求表面积时应注意重合部分的处理． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要
认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，
并作出合适的截面图．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积和 底面积的和； 2．求棱柱、棱锥、棱台的体积时，根据体积公式，需要具备已知 底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
答案： 96
工具
第七章
立体几何
栏目导引
5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的 底面直径为________．
解析： 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，
πrl＋πr2＝3π r＝1 则有 ，∴ ， 2πr＝lπ l＝2
∴直径 2r＝2.
答案： 2
工具
第七章
立体几何
工具
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 1.已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出
的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析：
由三视图知该几何体是三棱锥，底
面△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝2，BC＝ 2.面 SBC⊥面 ABC，SD⊥面 ABC，SD＝2，所以 1 1 4 该三棱锥的体积等于 × ×2×2×2＝ (cm3)． 3 2 3
解析： 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体 对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体 的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
答案： B
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2010·陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
工具
第七章
立体几何
栏目导引
练规范、练技能、练速度
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
第七章
立体几何
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1．几何体的展开图
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式的讨论，都是利用展开图 进行的． (1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱 的母线长． (2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长 是圆锥的底面周长．
(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上
AC AM＝ ＝2. 2sin 30°
AA12 因此，R ＝2 ＋ 2 ＝5，
2 2
此球的表面积等于 4πR2＝20π.
答案： 20π
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【变式训练】
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，
∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．
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解析： (1)直观图如图所示．
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体 3 积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的体积的 ，在直角梯形 AA1B1B 4 中，作 BE⊥A1B1， 则四边形 AA1EB 是正方形， ∴AA1＝BE＝1，
答案： 4π
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2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽
然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用 “割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或 化离散为集中，给解题提供便利． (1)几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易
答案：
4 3 cm 3
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圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面 展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
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2 将圆心角为 π， 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面， 则圆锥的表面积 3 等于________．
解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 1 12 2 rl＝ ·π·r ＝3π， 2 23 ∴r＝3，l＝2π. ∴圆锥的母线长为 3，底面半径为 1， 故圆锥的表面积为 S＝π·1·3＋π·r2＝4π.
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1．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几 何体的体积为( A．12π C．9π ) B．16π D．24π
答案： B
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2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( A. 3 C．4 B．3 D．5
)
4 解析： 设球半径为 R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3. 3
求体积的几何体，进而求之．
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(2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体
积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研 究体积． (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础， 充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
又球的表面积为 4πR2， 3 2 πR 4 3 则 ＝ . 4πR2 16
答案： B
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4．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底 面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．
解析： ∵S 底面 ABCD＝36， 1 1 ∴VP－ABCD＝ S 底面 ABCD· PA＝ ×36×8＝96. 3 3
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(2009·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各项点都在同一球面
上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 ________．
解析： 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M， 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 1 ∠ABC＝ (180° －120° )＝30° ， 2
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从近两年的高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高
考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；
客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由 几何体的表面积、体积得出某些量，主观题考查较全面，考查线、面位 置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象 能力．
第5课时 简单几何体的面积和体积
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柱、锥、台和球的侧面积和体积
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【思考探究】 对于不规则的几何体应如何求其体积？
提示：
对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化
为已知体积公式的几何体进行解决．
起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
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解析： 如图，把正四面体放在正方体中． 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为 1， 2 ∴正方体棱长为 ， 2 2 6 ∴外接球直径 2R＝ 3· ，∴R＝ . 2 4 故所求外接球的体积为 4 3 4 63 6 V 球＝ πR ＝ π· ＝ π. 3 3 4 8
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在 Rt△BEB1 中，BE＝EB1＝1，∴BB1＝ 2，
∴几何体的表面积为 S＝S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋ 1 S 正方形 AA1D1D＝1＋2×1＋2× ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＝7＋ 2(m2)． 2 3 3 ∴几何体的体积 V＝ ×1×2×1＝ (m3)， 4 2 3 ∴该几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为 m3. 2
答案： B 【阅后报告】 本题考查了三视图及几何体的体积计算，解题难点
是由三视图读出该几何体的形状．
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1．(2010·全国新课标卷)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a， 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 B．6πa2 )
C．12πa2
D．24πa2
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ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝ 6， 所以 HA＝HB＝ 3， 因为∠APB＝∠ADB＝60° ， 所以 PA＝PB＝ 6，HD＝HC＝1， 可得 PH＝ 3，AC＝BD＝ 3＋1. 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S＝ AC×BD＝2＋ 3， 2 3＋2 3 1 所以四棱锥的体积为 V＝ ×(2＋ 3)× 3＝ . 3 3
2
答案： C
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1．高考中对该部分的考查也常以三视图为条件，求组合体的表面 积和体积，求表面积时应注意重合部分的处理． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要
认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，
并作出合适的截面图．
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1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积和 底面积的和； 2．求棱柱、棱锥、棱台的体积时，根据体积公式，需要具备已知 底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出．
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一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
答案： 96
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5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的 底面直径为________．
解析： 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，
πrl＋πr2＝3π r＝1 则有 ，∴ ， 2πr＝lπ l＝2
∴直径 2r＝2.
答案： 2
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【变式训练】 1.已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出
的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
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解析：
由三视图知该几何体是三棱锥，底
面△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝2，BC＝ 2.面 SBC⊥面 ABC，SD⊥面 ABC，SD＝2，所以 1 1 4 该三棱锥的体积等于 × ×2×2×2＝ (cm3)． 3 2 3
解析： 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体 对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体 的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
答案： B
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2．(2010·陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
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练规范、练技能、练速度
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1．几何体的展开图
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式的讨论，都是利用展开图 进行的． (1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱 的母线长． (2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长 是圆锥的底面周长．
(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上
AC AM＝ ＝2. 2sin 30°
AA12 因此，R ＝2 ＋ 2 ＝5，
2 2
此球的表面积等于 4πR2＝20π.
答案： 20π
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3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，
∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．
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解析： (1)直观图如图所示．
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体 3 积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的体积的 ，在直角梯形 AA1B1B 4 中，作 BE⊥A1B1， 则四边形 AA1EB 是正方形， ∴AA1＝BE＝1，
答案： 4π
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