1 恒定电流

dl ds J
+d E
J平行 E
注意：
J E
（点点对应）
……欧姆定律的微分形式
1.欧姆定律的微分形式对非均匀导体也成立,
对非稳恒电流也成立。
2.有许多材料并不服从欧姆定律。（称为 非欧材料）
例如，半导体材料。它的伏安特性（U~I）非直线。 但是非欧材料是很有用的。
nq v
v为载流子平均定向流动速度，也叫“飘移速度”。
无外电场时,载流子作无规则热运动 v 0
有外电场时,载流子作定向流动
一般
v :
v 0
10 –2 ~ 10 -1mm/s
例如, Cu导线 n = 8.5×1028/m3，J = 6A/mm2 时，
J 6 可得 v 28 9 19 nq 8.5 10 / 10 1.6 10 0.44 mm/s


对任意小面元 d S ， d I J d S J d S dS ds dI
J
d S
对于有限大的面积 S:
s
J
q
s
S
I d I J d s
q n
P v J
dS=1
若P点处载流子的速度不同：
设单位体积中，速度为v i
i
的载流子数目为 ni ，
则 J J n qv nq i i i
ni vi n
nq v
J J i ni qvi nq
i
ni vi n
（单位时间净流出封闭面的电量等于零）
恒定电流的电路有一些重要规律，例如：
节点电流方程（基尔霍夫第一定律）
按照恒定条件
s
应 I J d s 0
I1
S
I2
I3
流出任一封闭面 S 的电流 强度必然等于流入该封闭 面的电流强度。 I3 -I1 -I2 =0
I
i
i
0
回路电压方程（基尔霍夫第二定律）
a
U a

a
E d r
I I dr 2 4 π r 4 π a
I U a 4 π a U a 1 1 所以接地电阻 R I 4π a a 一般要求 R ： 102 1 r I I a 讨论： U ar a 4 π r 2 d r 4 π a (1 r ) a U a ( 1 ) r
A
例。
C
B
例。电阻法探矿
定义： P 点处的电流密度 dI ˆ J v d S


I
dI P
ˆ v
P点处的电流密度 矢量的大小，等于通过 该处垂直于载流子运动 方向单位面积的电流强度。
dS
J 的定义的另一表述：
J nqv
v
正载流子定向移动速度
由图可以看出 这两个定义是一致的。
绕回路一周应回到原来的电势，即电压降代数和 （或电压升代数和）为零。
3 欧姆定律
对一段均匀金属导体：
Uab IR
l l R s s
a
R
l S
I Uab
b
……电阻率 单位： m 1 ……电导率（单位:1/m)

(西门子） 1 S

欧姆定律的 微分形式： 将欧姆定律用于导体中的一微小段，
1 稳恒电流
1 电流的电流密度
电流是导体中带电粒子（自由电子或 正负离子， 统称“载流子”）的定向流动。 规定:正电荷流动的方向为电流的方向。
电流强度（电流）：单位时间内通过某一截面的 电量称为通过该截面的电流强度，用 I 表示。 某瞬时 I lim Δ Q d Q Δt dt 对细导线用电流强度的概念就够了。 对大块导体，为描写导体内每一点的电流情况， 还需引入 r = 10a 时，U a r = 0.9 U a ，即90%电势差降落 在 r = 10a 的范围内，故改善接地点附近的接 地状态是关键。（注意接地点附近有跨步电压）
例. 一接地装置，接地电极为一个金属球，其半 径为 a，已知 埋入深度 h >>a，大地电导率为 ， U a 求：接地电阻 R （提示： R ） I 【解】 h a J球对称 I h I ˆ r P点处 J 2
4 πr
a
r
P
由欧姆定律的微分形式 I ˆ E J / r 2 4 π r
即电流强度等于电流密度的通量。 对于一个封闭面S: I 净流出封闭面的电流 强度为：
J d s
s
根据电荷守恒定律，单位时间净流出封闭面的 电量等于单位时间内封闭面内减少的电量， 所以
d q内 J d s dt s
……电流的“连续性方程” 它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。
2 稳恒电流
导体内各处电流密度 J 不随时间变化的电流称为
恒定电流或直流电。
恒定的电流必然要求恒定的电场（ E 不随时间变
化）,这就要求电路中的电荷分布不随时间变化。 即对任一封闭面应满足 d q内 d q内
即
J d s 0
s
dt
0
J ds
s
dt
……这称为“恒定条件”
设导体中有电流 I 流过，某点 P 处的 J , E
如图所示。 取微小体积：长为 dl， 垂直 J 的底面积为 ds, 两端电压 I

P
U= - ( + d )= - d 代入欧姆定律， U IR dl 得 d ( J d s ) ( ) J d l ds 1 d J ( ) E dl