高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：构造齐次方程求椭圆的离心率-Word版含答案

今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率。

椭圆的几何性质中，离心率问题是重点。

根据题设条件，借助a ,b ,c 之间的关系，构造a ,c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

先看例题：
例：椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________.
22
2155c e e a ==⇒= 规律整理：
构造齐次方程求离心率的一般方法
先列出关于a ,b ,c 的齐次方程，然后根据222
b a
c ＝－消去b ,
进而，方程两边同时除以a 2（a 4等，由方程的次数决定）
转化成关于e 的方程求解。

再看一个例题，加深印象 例：如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.
联立①②可得两直线交点T 的坐标为2()(,)ac b a c a c a c
+--, 则线段OT 的中点M 的坐标为()(,)2()
ac b a c a c a c +--, 代入椭圆22
221x y a b
+=,可得4c 2+(a +c )2=4(a －c )2,两边同时除以a 2 即得关于离心率的方程：e 2
+10e －3=0,
解之得5e =-±e ∈(0,1),∴5e =.
总结：
1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.
2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e . 练习： 1.椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的半焦距为
c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ， 则椭圆的离心率为
( ) A.2－22 B.22－12 C.3－1 D.2－1
2. 已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ,0)和 F 2(c ,0)(c >0),过点2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交于A ,B 两点,且 F 1A ∥F 2B ,|F 1A |=2|F 2B |.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)求直线AB 的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在
1
AFC的外接圆上,
求n
m
的值.
答案：
从而e＝2－1. 答案 D
2.。