高中数学基础强化天天练必修1第8练

第46练 同角的三角函数关系式（2）

目标：进一步理解同角的三角函数关系式，会运用它们进行简单的三角函数式的化简求值及恒等式证明。

一、填空题

1.已知1cos 5α=

，且α是第四象限角，则sin α= .

【答案】【解析】∵ α

是第四象限角，∴sin α== 2.已知=-

=-ααααcos sin ,45cos sin 则 . 【答案】32

9- 【解析】,45cos sin -

=-αα两边平方可得 3．已知tan α＝2，则2cos α＋3sin α3cos α＋sin α

＝ ． 【答案】 5

8． 【解析】2cos α＋3sin α3cos α＋sin α5

8tan 3tan 32=++=αα。 4.若α为锐角，且12tan 5α=

，则sin α= . 【答案】1213

【解析】∵α为锐角，且12tan 5α=，解方程组22sin 12tan ,cos 5sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩

得 12sin 13

α=.

5.已知sin α－cos α＝12，则sin 3α－cos 3α＝________.

【答案】1116

【解析】∵sin α－cos α＝12，

∴sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝14，∴sin αcos α＝38.

∴sin 3α－cos 3α＝(sin α－cos α)(sin 2α＋sin αcos α＋cos 2α)

＝12×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋38＝1116.

6．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.

【答案】45

. 【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2

θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.

7．已知α是第三象限角，化简

1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α

＝ ． 【答案】αtan 2- 【解析】 αααααααα

αααtan 2cos sin 2cos sin 1cos sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222-=-=----+=----+． 8.已知tan α＝－3

2，则sin αcos α =________．

【答案】－6

13 【解析】由tan α＝sin αcos α＝－32 ∴sin α＝－32cos α ∴sin α·cos α＝－32cos 2α＝－32cos 2αsin 2α＋cos 2α＝－32tan 2α＋1

＝－613. 9．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝ ________．

【答案】－1－k 2

k

. 【解析】cos(－80°)＝cos80°＝k ，sin80°＝1－k 2， tan80°＝1－k 2k ，tan100°＝－tan80°＝－1－k 2

k

.

10．已知sin θ＋cos θ=

23

， 则sin 3θ＋cos 3θ＝_____________． 【答案】25254

【解析】因为sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ).

二、解答题

11．已知21tan -

=θ，求下列各式的值： （1）θ

θθθcos 2sin cos 3sin -+ （2）1cos sin 3sin 22-⋅-θθθ

解：(1) 原式 =12213212tan 3tan -=--+-

=-+θθ (2) 原式)cos (sin cos sin 3sin 2222θθθθθ+--=

θθθθθθθθθθ22222

2cos sin cos cos sin 3sin cos cos sin 3sin +--=--= 1)21(1)21(3)21(1tan 1tan 3tan 1cos sin 1cos cos sin 3cos sin 222222222+---⋅--=+--=+--=θθθθ

θθθθθθ

12.已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15

. (1)求tan α的值；

(2)把1cos 2α－sin 2α

用tan α表示出来，并求其值． 解:（1） 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0，∵α是三角形内角，∴⎩⎨⎧ sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43

. （2）1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α

cos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α

＝tan 2α＋11－tan 2α

∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝－432

＋11－－432＝－257.