角的轴对称性(3)
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性【基础知识点】：1．线段的轴对称性：① 线段是轴对称图形，对称轴有两条：一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【结论】：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2．角的轴对称性：①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
【结论】：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合【课后练习题】一、选择题1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段2.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点二、填空题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D.①若BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 。
②若BD:DC=3:2,点D 到AB 的距离为6,则BC 的长是多少？2、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝，理由是三、应用题1、已知∆ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知∆BEC的周长是16。
求∆ABC的周长.2、如图在△ABC 中，AB>AC,BC的垂直平分线DE,分别交AB,BC于D,E,AB=12cm,△ACD的周长为21cm,求AC长。
等腰三角形的轴对称性3
1 解：BC＝ AB． 2
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
证明：作斜边上的中线CD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线， 1 ∴CD＝ AB＝BD（直角三角形斜边
巩固练习：
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°， M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
交流：
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
活动一 操作•观察
1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．
你还有其 他发现吗？
图1
图2
图3
2．剪得的纸片是否能折成图2的形状？ 3．△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明 理由．
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
活动二 探索•说理
A
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半．
D
B
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平 分∠EAC吗？试证明你的结论．
E.5 等腰三角形的轴对称性（3）
如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC， 那么AD∥BC吗？
E
A
D
B
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
活动一 操作•观察
你能用折纸的方法将一个直角三 角形分成两个等腰三角形吗？
B D C A
CD=BD=AD， CE=AE，
∠A=∠ACD， ∠B=∠BCD，
∠ACB=∠DEA=∠DEC=90°．
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
2.4线段、角的轴对称性(3)作业纸
1线段、角的轴对称性(3)【基础练习】2 .如图，在△ ABC 中，Z C = 90 ° AD 平分Z BAC 交 BC 于 D , DE 丄 AB 于 E ,若 DE = 5, BC = 12, 则BD 长为 ( ) A . 6 B . 7C . 8D .不确定3. 已知：在厶ABC 中，AD 为Z BAC 的角平分线交边 BC 于点D , DE 丄AB , F 为AC 上一点，且Z DFA=100°，则 ()4. _____________________________ 如图，已知点 C 是Z A0B 平分线上一点，点 P 、P 分别在0A 、0B 上.如果要得到 0P = 0 P', 可以添加的条件为 (填序号).①Z 0CP = Z 0CP ；②Z 0PC =Z 0P C :③ PC = P C :④ P P '丄 0C .7. (1)利用网格线画出四边形 ABCD 两个内角的平分线， 设它们 相交于点O ;(2) 观察点O 是否在另两个内角的平分线上；(3) 把四边形ABCD 的顶点D 向右平移4格，再向下平移2 格, 还能观察到与上面相同的结论吗？主备人：周美华 王炜班级 _________ 姓名 _________ 学号 __________5.如图，在 Rt A ABC 中，Z ACB = 90°, BE 平分Z ABC , DE 丄 AB , 那么 AE + DE = ________________ .6.如图，在 Rt A ABC 中，Z C = 90°, AD 平分Z BAC 交 BC 于 D . (1)若 BC = 8, BD = 5, ⑵若 AB = 8, CD = 5, 求点D 到AB 的距离. 求厶ABD 的面积. 第5题图 图1.如图，0P 平分/ AOB , PC 丄OA 于C , PD 丄0B 于D ，则下列结论中错误的是 ( A . PC = PD B . 0C = 0DC . Z CPO = Z DPOD . 0C = PC> DFB.DE<DF= DFD.不能确定 DE 、DF 的大小第1题图A&已知：如图，点B、C分别在/ MAN的两边上，BD丄AM , CE丄AN，垂点分别为D、E, BD、CE相交于点F，且BF = CF .证明：点F在/ A的角平分线上.NOA, DN OB,9•如图，射线0C在/ AOB的内部，点D、E在射线OC上，DMEP OA, EQ OB，垂足分别为M、N、P、Q,且EP = EQ . 求证：DM =DN .【拓展提升】1 . △ ABC的周长为60,/ A和/B的角平分线相交于点P,若点P到边AB的距离为10,则厶ABC 的面积为.2 .如图，/ AOB= 90 °将三角尺的直角顶点落在/ AOB的角平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与/ AOB的两边分别相交于点E、F.⑴求证：PE= PF.(2)若将三角板绕点P旋转，使得点E落在AO的延长线上，(1)中的结论还成立吗？请你画出相应的图形，并证明你的结论•完成时间： ____________家长签字： ____________2。
等腰三角形的轴对称性(3)
A D
⑴
⑵
⑶
B
⑷
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半. 的一半.
A D
C
B
在△ABC中，∠ACB=90° ∵AD=BD ∴CD= 1/2 AB
A
B
Eபைடு நூலகம்
D
C
例1如图,在△ABC中,∠BAC=1200 AD⊥AB 如图, ABC中 AE⊥AC. ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ADE是等边三角形吗 ⑶在Rt△ABD中, ∠B=_____,AD=_____BD; Rt△ABD中 Rt△ACE中 有类似结论吗? 在Rt△ACE中,有类似结论吗?
A
B
D
C
E
书P26/练习 P26/练习
试一试
1.如图,在四边形ABCD中 1.如图,在四边形ABCD中, 如图 ABCD ∠ABC=∠ADC=900，M、N分别 AC、BD的中点 试说明： 的中点. 是AC、BD的中点.试说明： D MN⊥BD.
A N M
B
C
拓展提高 如图在△ABC中 M,N分 如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分 别是BC EF的中点 试说明： BC与 的中点, 别是BC与EF的中点, 试说明：MN ⊥EF.
A
B
E
D
C
如图, BAC中 例2 ⑴如图,在△BAC中,∠BAC=900 AB=AC,点 AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的 BC上 BD=BA,点 BC的 延长线上, CE=CA.试求 DAE的度数 试求∠ 的度数. 延长线上,且CE=CA.试求∠DAE的度数.
七年级数学下册《角的轴对称性》优秀教学案例
2.实践操作：各小组用纸、剪刀等工具，制作一个轴对称的图案，并在组内交流制作过程和心得。
3.问题解决：给定几个实际问题，如找出具有轴对称性的日常物品，计算轴对称图形的面积等，让学生在小组内共同解决。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会引导学生完成以下任务：
七年级数学下册《角的轴对称性》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，轴对称性作为图形与几何领域的重要内容，旨在培养学生的空间观念和逻辑思维能力。本案例以七年级数学下册《角的轴对称性》为教学内容，针对学生在学习过程中可能遇到的难点和困惑，设计了一系列具有实用性和人性化的教学活动。通过引导学生观察、思考、实践，使他们在轻松愉快的氛围中掌握角的轴对称性质，并学会运用这一性质解决实际问题。
1.什么是轴对称？轴对称有什么特点？
2.如何判断一个角是否具有轴对称性？
3.轴对称性质在解决几何问题时有什么作用？
（三）小组合作
小组合作是本章节教学的重要环节。我会根据学生的能力和特长，合理分组，确保每个小组的实力相当。在小组合作中，学生将共同完成以下任务：
1.探讨轴对称的定义和性质，总结出判断角具有轴对称性的方法。
2.通过合作、探究，培养学生的团队协作能力和创新精神。
设计小组讨论、合作完成任务的教学环节，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和创新精神。
3.运用比较、归纳等方法，提高学生分析和解决问题的能力。
引导学生通过比较不同类型的轴对称图形，发现它们的共同特征，培养学生的归纳能力。在此基础上，指导学生运用所学知识解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
角的轴对称性
简单的轴对称图形：角的轴对称性教学目标知识技能1.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征.2.探索并了解角的轴对称性及相关性质.3.会用尺规作角的平分线.过程与方法1.通过独立思考,小组合作探究,主动展示,经历角的平分线性质的形成与初步应用过程,从而增强应用数学知识的意识与解决实际问题的能力.2.通过观察、折叠等活动,发展空间观念,培养有条理的思考和规范的数学语言.情感态度与价值观1.通过活动体验学数学的快乐,增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验,并在合作学习中获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣,培养学生的合作、探究精神.2.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.教学重难点【重点】掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线.【难点】角平分线的性质的应用.教学准备【教师准备】课件、基本作图工具.【学生准备】笔记本、基本作图工具、角的纸片等.教学过程一、新课导入:[导语]前面我们学习了基本图形“线段”是轴对称图形,那么,我们之前学过的另一个基本图形“角”是不是轴对称图形?如果是,对称轴是怎样的直线?【活动内容】不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?对折,再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?[处理方式]学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论.教师要有足够的耐心,要为学生的思考留有时间和空间.通过探究,学习新知:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.[设计意图]体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫.通过探究角的对称性,让学生亲自动手折叠一个角,能够调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,为整节课的学习奠定基础.二、知识探索：探究活动1角平分线的性质【活动内容】请同学们按要求继续前面的折纸活动,并与同伴交流.折纸要求:1.在折痕(即∠AOB的角平分线)上任意找一点C;2.过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,点D是折痕与OA边的交点,即垂足;3.过点C折OB边的垂线,得到新的折痕CE,点E是折痕与OB边的交点,即垂足;4.将∠AOB再次对折.【问题】在上述的操作过程中,折痕CD与CE能重合吗?改变点C的位置,CD与CE还相等吗?你能解释其中的道理吗?小组交流展示成果.已知:如图∠AOC=∠BOC,CD⊥OA,垂足为D,CE⊥OB,垂足为E,CD与CE相等吗?试说明理由.解:因为CD⊥OA,CE⊥OB（已知）所以∠CDO=∠CEO=90°（垂直的定义）在△CDO和△CEO中,∠CDO=∠CEO（已证）因为∠COD=∠COE（已知）OC=OC（公共边）所以△CDO≌△CEO （AAS）故：CD=CE. （全等三角形的对应边相等）(教师板书)结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.[处理方式]学生动手折叠,教师在多媒体上演示折叠过程.学生分组讨论、交流,并用文字语言阐述得到的性质.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证.【即时训练一】判断下列说法是否正确.如图所示.1.因为OC平分∠BOA,所以CD=CE.()2.因为CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()3.因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()【即时训练二】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5 cm.求:点D到AB的距离.教师引导学生学会分析问题,具体就是:已知条件和要求的线段或角,需要在图形中确定下来,没有的就需要添加辅助线,以便选择需要应用的性质解答.生:本题需要作出表示点D到AB的距离线段,然后利用角平分线的性质解答.解:过点D作DE⊥AB,垂足为E,因为AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,所以DE=DC=5 cm,即点D到AB的距离是5 cm.[设计意图]注重符号语言转化性质的条件和结论,是为了让学生更好地理解和应用解答问题,尤其是对图形的分析,是学生学习的弱项,加强对图形的标注和构造,为今后图形性质的学习打下坚实的基础.注意事项:角平分线性质中的距离,对应的必须是垂线段,不能认为是任意线段.探究活动2尺规作角的平分线对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线,对不能折叠的角怎样得到其角平分线呢?下面我们探究用尺规作角的平分线.已知:∠AOB.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:(1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.(2)分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC.则OC是∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗?想一想:在作图的过程中有哪些相等的线段?学生交流后得到:OD=OE,CD=CE.△COD和△COE全等吗?全等的依据是什么?[处理方式]教师口述作法步骤,学生根据教师的口述完成作图过程.不要求学生写作法,教师可以引导学生分析在作图的过程中哪些线段相等,学生可以通过交流讨论明确这样作的道理.[设计意图]明确几何作图的基本思路和方法.在自己操作的过程中培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.探究活动3角平分线性质的应用一条公路与一条铁路所成角的平分线上有一点P,要从点P建两条路,一条到公路上,一条到铁路上,怎样修建距离最短?这两条路有什么关系?理由是什么?设公路与铁路交于点O,公路为OA,铁路为OB,过点P分别作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,则PM是到公路上的路,PN是到铁路上的路(垂线段最短).因为点P在公路与铁路所成角的平分线上,所以PM=PN.[设计意图]让学生进一步理解角的平分线的性质,并在此基础上学会利用角的平分线的性质解决简单的问题.[知识拓展]“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这句话逆过来说“到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否也正确呢？三、课堂小结：1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.四、随堂检测：1.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:B2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB 于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为()A.4 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定答案:B4.如图所示,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是()A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT答案:D五、板书设计：角的轴对称性探究活动1角平分线的性质探究活动2尺规作角的平分线探究活动3角平分线性质的应用六、作业布置：【必做题】教材第127页习题5.5知识技能第1题.【选做题】教材第127页习题5.5数学理解第2,3题.教学反思1、成功之处：通过折纸操作,从而得到启发,在教师的引导下,让学生悟出角平分线的性质和用尺规作角的平分线,培养学生实践操作能力;学生在经历观察、类比、归纳等过程的基础上,再让学生实践用尺规作角的平分线的过程,进一步提升了学生的感性和理性的融合.在本课时中,营造了一个和谐的课堂学习氛围.2、不足之处：过多的关注学生的实践和操作,忽略了实践和操作的可行性，导致延误了很多时间，致使课堂教学未能按计划完成！另外，在整堂课时间的安排与掌控中，没有合理有效的合理安排，使得课堂结尾仓促！。
2.4 线段角的轴对称性复习 课件
角的对称性
实际问题1
南京市政府为了方便居民的生活， 计划在三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间 修建一个购物中心，试问，该购物 中心应建于何处，才能使得它到三 个 小 区 的 距 离 相 等 .
A
B
C
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角的对称性
应用举例
如图，△ABC中，AB的垂直平分线分 别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线 分别交AC、BC于点F、G，要求△AEG的 周长，还需添加什么条件？
A D B
苏科版八年级数学上
F C
G E 苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
C A
苏科版八年级数学上
角的对称性
■在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上 一定点,则当点P运动到何处时,△PBE 的周长最小?
A D
E
P
B
苏科版八年级数学上
C
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
角的对称性
已知：在ΔABC中，D是BC上一点,DF⊥AB于
Ａ、１个 Ｃ、３个
Ｂ、２个 Ｄ、４个
E B D F C
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角பைடு நூலகம்对称性
3.如图：在△ABC中，∠B=90°， BC=18cm，AD是角平分线，且BD： CD=1：2，则点D到AC的距离是 6 ______cm.
A
B D
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
2.4线段、角的轴对称性(3)教学设计
让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．
指导学生活动．
练习：课本P55练习．
延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．
这题是线段垂直平分线性质和角平分线性质的综合应用．
借助网格画线段的垂直平分线和角平分线有利于学生明确其区别，也有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
小结
1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．
2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？
动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．
在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．
实践探索三
角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：
总结
角平分线上的点有什么特点？
讨论后共同小结：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
实践探索四
如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
2.5等腰三角形的轴对称性(3)
1
符号语言:
ADΒιβλιοθήκη 例题 1：已知：如图，点 C 为线段 AB 的中点， ∠AMB＝ B
C
∠ANB＝90°.CM 与 CN 是否相等？为什么？
N MO
A
B
C
三、拓展思考：如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°如果∠A＝30°，那么 BC 与
AB 有怎样的数量关系？证明你的结论．
A
B
C
四．当堂检测
1.如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，DE⊥AC，垂足为 E．
图（2）
B
C
图（3）
B
C
图（4）
把纸片按（2）（3）所示的方法折叠，再把纸片展开并连接 CD 如图（4）， 问题：（1）△ACD 与△BCD 为什么是等腰三角形？请说明理由． （2）观察图形，你还有哪些发现？ （3）D 是斜边 AB 的中点吗？斜边 AB 上的中线 CD 与斜边 AB 有何数量关 系？为什么？ 定理：_______________________________________
重难点：探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决
相关数学问题．
教学法：自主学习,讨论,讲练结合 导学 过 程
一． 自主学习：
1. 提问：(1)等腰三角形有哪些性质？ (2)怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 2．已知：如图，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，AD∥BC．E 求证：AB＝AC．
①如果 CD＝2.4cm，那么 AB＝____cm．
②写出图中相等的线段和角．
B
D
C
E
A
五．作业布置 1 .课堂作业：P68T12 练习。 2.课外作业：伴你学
线段、角的轴对称性
第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】1、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
【基础知识】1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【考点剖析】一．角平分线的性质（共6小题）1．（2021秋•焦作期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤52．（2021秋•渑池县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．83．（2021秋•锡山区期末）如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是．4．（2021秋•石城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．5．（2021秋•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为cm2．6．（2022春•丹徒区月考）如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．二．线段垂直平分线的性质（共7小题）7．（2021秋•高青县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm8．（2021秋•江都区期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（）A．40°B．44°C．48°D．52°9．（2022•工业园区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．10．（2021秋•鼓楼区校级月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．11．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝8，求△DAF的周长．12．（2022•建湖县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，则△ACD的周长为cm．13．（2022•宿城区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝．【过关检测】一、单选题1．（2020·江苏八年级月考）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点2．（2021·江苏八年级期中）如图所示，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AB BD ⊥于点B ，点E 是BD 的中点，连接AE ，CE ，则AE 与CE 的大小关系是（ ）A ．AE CE <B ．AE CE =C ．AE CE >D ．2AE CE =3．（2021·江苏八年级专题练习）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）的交点．A ．三角形三边垂直平分线的交点B ．三角形三条高的交点C ．三角形三条中线的交点D ．三角形三条角平分线的交点4．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④二、填空题6．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF =AC ，则∠ABC =___________°．7．（2021·江苏八年级期中）如图，△ABC 中，边BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 、D ，AC ＝5，△AEC 的周长为12，则AB ＝___．8．（2021·江苏八年级期中）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于G ．如果AB ＝9，BC ＝12，△ABG 的面积为18，则△CBG 的面积为_____．9．（2019·江苏）如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD = 6 ，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为__________．10．（2019·江苏苏州·八年级月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，O 为ABC 的两角平分线的交点，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则点O 到边AB 的距离为__________．三、解答题11．（2018·江苏）作图题：（1）在图1中，画出CDE △关于直线AB 的对称图形C D E '''．（2）在图2中，已知AOB ∠和C 、D 两点，在AOB ∠内部找一点P ，使PC PD =，且P 到AOB ∠的两边OA 、OB 的距离相等．12．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）作图题：（1）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点P ，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站P 必须符合下列条件：①到两公路OA 、OB 的距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定P 点的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）如图，先将ABC 向下平移3个单位得到111A B C △，再以直线l 为对称轴将111A B C △翻折得到222A B C △，请在所给的方格纸中依次作出111A B C △和222A B C △．13．（2019·江苏）已知，如图，在△ACB 中，∠C =90°．（1） 作∠B 的平分线BD 交AC 于点D ．（要求尺规作图，保留痕迹）（2） 过点D 作斜边AB 的垂线段，垂足为点E ． （要求尺规作图，保留痕迹）（3） 求证：CD =ED ．第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】2、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
角的轴对称性-北师大版七年级数学下册教案
角的轴对称性-北师大版七年级数学下册教案
一、教学目标
1.认识轴对称线，并了解角的轴对称性的定义和性质。
2.掌握角的轴对称性的判定方法和应用技巧。
3.培养学生发现问题、解决问题的能力。
4.增强学生的空间想象和逻辑推理能力。
二、教学重点和难点
1. 教学重点
1.角的轴对称性的定义和性质；
2.角的轴对称性的判定方法和应用技巧。
2. 教学难点
角的轴对称性的应用技巧。
三、教学过程
1. 导入新课
1.引导学生回忆什么是轴对称线；
2.提示学生思考如何判断一个角是否具有轴对称性。
2. 角的轴对称性的概念和性质
1.解释轴对称线的概念；
2.阐述角的轴对称性的定义和性质。
3. 角的轴对称性的判定方法
1.通过手绘图形，让学生感性认识角的轴对称性；
2.针对常见的几何图形，演示角的轴对称性的判定方法。
4. 角的轴对称性的应用技巧
1.将学生分组，让他们分析课堂上演示的例子；
2.要求学生结合日常生活，找到更多具有轴对称性的例子；
3.提供一些具体的练习题，帮助学生掌握角的轴对称性的应用技巧。
5. 拓展练习
1.布置课外练习题，巩固学生知识点；
2.鼓励学生自己设计一些具有轴对称性的几何图形。
四、教学反思
本课程主要围绕角的轴对称性展开，通过引导学生回忆轴对称线的概念、让学生感性认识到角的轴对称性，再结合具体的例子，让学生掌握角的轴对称性的判定方法和应用技巧。
同时，通过拓展练习，激发学生的自主探究和创造能力，帮助他们更好地理解和运用角的轴对称性。
2.5 等腰三角形的轴对称性(3)
(2)说出图中的等腰三角形,并加以证明.
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
例2、已知：如图，BC=BD,∠ACB=∠ADB. 求证：AC=AD.
A
B
C
D
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
【例题讲析】
例3、 已知：如图∠EAC是△ABC的外
角，AD平分∠EAC，AD//BC；
求证：AB=AC
E
A D
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
【例题讲析】
变1：已知：如图在△ABC中,BD平分 ∠ABC,DE//BC；求证：BE=DE
A
E B
D C
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
【例题讲析】
变2：已知：如图，在△ABC 中，0B平分 ∠ABC，OC平分∠ACB，过点O作BC的平行 线交AB、AC于点D、E；
证明：DE=BD+CE. 若AB=18,AC=12,求△ADE的周长.
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
【例题讲析】
变3：在△ABC中，0B平分∠ABC，OC平分
∠ACF，过点O作BC的平行线交AB、AC于点D、
E，则线段DE、BD、CE又具有什么关系？说明
理由.
A
DE
O
B
C
F
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
2.5 等腰三角形的轴对称性（3） 探索活动：
活动一 在一张长方形的纸条上任意画出一条截线 AB，所得的∠1 与∠2相等吗？为什么？
A 2
1 B
C
B
2
1
A
经过折叠后所得的△ABC，在所得的三角形 中∠1=∠2，度量边AC，BC的长度，有什么发现？
(三)轴对称
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
14. 如图，在△ ABC 中， EF 是 AB 的垂直平分线， AD ⊥ BC 于点 D ，且 D 为 CE 的 中点. (1)求证： BE ＝ AC ；
解：(1)证明：∵ EF 是 AB 的垂直平分线， ∴ BE ＝ AE . ∵ AD ⊥ BC ， D 为 CE 的中点， ∴ AD 是 EC 的垂直平分线，∴ AE ＝ AC ， ∴ BE ＝ AC .
2. 在平面直角坐标系中，点 P 与点 M 关于 y 轴对称，点 N 与点 M 关于 x 轴对称.若点
P 的坐标为(－2，3)，则点 N 的坐标为( C )
A. (－3，2) C. (2，－3)
B. (2，3) D. (－2，－3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
3. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；
根据轴对称的性质，判断三角形全等，由全等三角形的性质结合等腰三角 形性质、三角形的外角性质即可求出∠ E 的度数.
二、线段垂直平分线的性质与判定
例2.(2024白城通榆期末)如图， AD ⊥ BC ， BD ＝ DC ，点 C 在 AE 的垂直平分线上. 若 AB ＝5 cm， BC ＝6 cm，则 AC ＝ 5 cm ， DE ＝ 8 cm .
A. ①②③ C. ③④
B. ①②④ D. ①②③④
八年级数学线段和角的轴对称性3
B
C
结论
内容：对任意三角形，存在一个点，这个点到三 角形的三边距离相等；这个点是任意两个内角的 平分线的交点。
解： BP平分ABC PD AB PF BC PD PF
CP平分ACB PE AC PF BC PE PF PD PE PF
武汉汗蒸房 / xqj219qox 汗蒸房装修 汗蒸房尺寸 汗蒸房安装 我的第一个老师——周老夫子，正因为有回给我们们拿书，所骑公共汽车与一台货车相互撞，从未以后继而不要想着所高一教书了。 兴奋的是，周老夫子目前已无大碍。曾经，对于我们一帮小鬼不应该顽皮在哪个地步，给周老夫子起的外号是“机器狼”。到目前， 我则是仿佛相当明晰，难的是对于我们本来不情愿说明别的事了，讲起“机器狼”，有不少说不出的关于高一的快乐回忆事情的能力。 在大约三四年级的就当前，又来了随机组合老夫子，他姓吴，如此对于我们给吴老夫子的外号为“老吴“。 有名村，正因为刚下过几天的雨，路并不好走。尽管如此，也反对不到我的执行。是怎么样进行工作的，经满了好多块麦地，麦子曾 经开端泛黄，收割的季节行将抵达。对我而言，那一条路再熟习不满了。上高一的就当前，可惜时常来回走。走在那一条熟习的家里， 大多数过往的点滴涌上了我的心头，我的思绪开端搞得会有些紊乱。但我很明显，目前不是认真思考别的事的就当前，接着我又一不 小心就很轻易苏醒了起来。我应该，我也置信，在新历史的某某天，我肯定有时去回忆起和回想每天那么多的原创内容发出来供我们 转载多的曾经与过往，我肯定让在下有充裕的时间和精力去回味和领悟、领会、顿悟、明白、感觉。
角平分线的性质定理
内容：角平分线上的点到角的两边距离相等； 如何证明？
解： 过点P作PC OA, PD OB PC OA, PD OB PCO PDO ___ OP平分AOB AOP _____ 在 COP和 DOP中 PCO PDO AOP _____ OP OP COP DOP PC PD
北师大版数学七年级下册《角的轴对称性》说课稿3
北师大版数学七年级下册《角的轴对称性》说课稿3一. 教材分析《角的轴对称性》是北师大版数学七年级下册的一节重要内容。
本节课主要让学生了解角的对称性，通过对称性来进一步理解角的概念。
教材从实际生活中的例子出发，引入角的对称性，然后通过大量的图片和实例，使学生直观地认识和理解角的对称性。
教材还设置了丰富的练习题，让学生在实践中巩固角的对称性知识。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们对数学已有一定的认识和基础。
但是，对于角的对称性，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，以生动有趣的实例引出角的对称性，让学生通过观察、思考、交流、实践等方式，理解和掌握角的对称性。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解和掌握角的对称性，能运用角的对称性解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流、实践等环节，培养学生的数学思维能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们独立思考、合作交流的良好习惯。
四. 说教学重难点1.重点：角的对称性的概念及其运用。
2.难点：理解并掌握角的对称性的本质，能灵活运用角的对称性解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、情境教学法、实践教学法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、图片等，为学生提供丰富的直观信息，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际生活中的对称图形，如蝴蝶、树叶等，引导学生发现对称性的存在，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍角的对称性的概念，让学生初步认识角的对称性。
3.实例讲解：通过展示各种具有对称性的角，让学生观察、思考，引导学生发现角的对称性规律。
4.实践操作：让学生亲自动手，剪出具有对称性的角，并贴在黑板上，向大家展示。
5.讲解与练习：讲解角的对称性的性质和运用，让学生在实践中巩固知识。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调角的对称性的重要性和运用。
2.4线段、角的轴对称性(3)
八年级(上册)
2.4
Байду номын сангаас
线段、角的对称性（3）
AOB
2.4 线段、角的对称性（3）
做一做
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O B
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点 在这个角的角平分线上吗？
A
E B D C
A
A C
B
E
B
P
P
F
2.4 线段、角的对称性（3）
1、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点， CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝， 理由是 。
A E C P
O F
B
2.4 线段、角的对称性（3）
2、如图，AD平分BAC，∠C=90°,DE⊥AB,那么 (1)DE和DC相等吗？为什么？ (2)AE和AC相等吗？为什么？
d
p
B O A
2.4 线段、角的对称性（3）
问题 ：三角形的两条内角平分线的交点在第三 个内角的平分线上吗？
已知:如图,在Δ ABC中.P是∠B、∠C的平分线的交点， 那么点P在∠A的平分线上吗？ 为什么？
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执教：赵洪香年级初二学科数学
学习内容：2.4线段、角的轴对称性(3)
学习目标：1.经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；
2.探索并掌握角平分线的性质；
3.了解角的平分线是具有特殊性值的点的集合；
4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提
高演绎推理能力。
学习过程：
一、探索活动：
1.一个角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（通过折纸操作，感受角的轴对称性）
结论1：角是轴对称图形，对称轴是 .
2. 画∠AOB及其角平分线，并取角平分线上任意一点P，分别作点P到OA,OB的垂线段PC 和PD，PC=PD吗？为什么？ (老师引导学生作图，并口述相等的理由，用几何语言表达)
结论2：角平分线上的点到角两边距离。
符号语言：
例1：已知：在△ABC中，AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD
求证：∠B=∠C（用性质解决问题，注意书写的规范）
3.讨论：我们知道：如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB；反过来,如果PA=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上.
如果点P在∠AOB平分线上，那么点P到OA,OB的距离相等，反过来，你能提出什么猜想？
结论3：角的内部到角两边距离相等的点在。
符号语言：
B 到角两边距离相等的点，你能找出多少个？
4. 归纳：角平分线可以看作是 的点的集合.
例2：任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA ，OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过点B 画OB 的垂线，设两条垂线相交于点P 。
（用判定解决问题，写成推理格式）
（1）点O 在∠APB 的平分线上吗？为什么？ （2）点P 在∠AOB 的平分线上吗？为什么？
应用：如图，要在河岸建一座码头，要求码头到两条公路的距离相等，问：码头应建在何处？
练习：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC ，且CD = 5，则点D 到AB 的距离为 .
二、操作活动
例3、利用网格线画图
（1）在BC 上找一点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等 （变式：找一点格点P ，使点P 到AB 和BC 的距离相等） （2）在射线AP 上找一点Q ，使QB=QC
练习： 1、（1）利用网格线画出四边形ABCD 的两个内角的平分线，记它们的交点为O 。
（2）观察点O 是否在另两个内角的平分线上。
（3）如果将图中的四边形的顶点D 向右平移8格，还能观察到与上面相同的结论吗？
2、尺规作图：
如图：求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠
四、课堂小结：师生共同小结角平分线的性质和判定。
家作班级 姓名
课作成绩 家作完成时间 到 态度评价 家长签名 1、如图，点Q 在∠AOB 的平分线上，QA ⊥OA ，QB ⊥OB ，A 、B 分别为垂足，则AQ=_________，理由是______ _____.
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D. （1）若BC=8，BD=5，则点D 到AB 的距离是 .
（2）若BD ：DC=3：2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长是 .
3、如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A 、B ．下列结论中，不一定成立的是 ( )
A ．PA=P
B B ．PO 平分∠APB
C ．OA=OB
D ．AB 垂直平分OP
第1题 第3题 第5题
4、已知：在△ABC 中， D 为∠BAC 的角平分线上AD 上一点，DE ⊥AB ，F 为AC 上一点， 且∠DFA=1000
，则 （ ）
A.DE>DF
B.DE<DF
C.DE=DF
D.不能确定DE 、DF 的大小. ★5、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为：（ ）
A 、11
B 、5.5
C 、7
D 、9
6、如图所示，A 、B 是两个工厂，m 、n 是两条公路，现要在这一地区建一加油站，要求这个加油站到A 、B 两个工厂的路程相等、到两条公路m 、n 的距离也相等，是否存在同时满足这两个要求的地点？怎样找出这个地点？
7、在AC 上找一点P ，使得P 到AB 、BC 的距离相等； （2）在射线P 上找一点Q ，使得QA=QC ．
m
n
B A
8、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，且BD = DC ，那么EB = FC 吗？说明理由。
9、如图,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,BE 、CF 交于点D,且DB=CD ． 求证:点D 在∠A 的平分线上．
★10、如图所示，OC 平分∠AOB ，P 是OC 上一点，D 是OA 是上一点，E 是OB 上一点，且PD ＝PE ，证明：∠PDO ＋∠PEO ＝180°.
P O
E D
C
B
A
A B E C F
D。