解三角形备战高一数学下学期期末考试精品(word版含答案)

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高一解三角形综合复习(含详细答案)

(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3， (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.【例5】在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )．A.13B.45C ．1D ．3 解析由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1. 答案 C【例6】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=，=（cosA ，﹣2cosA ），=﹣1．（1）求∠A 的大小；（2）若，c=2，求△ABC 的面积．【例7】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若acosC=csinA ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC 的面积为，求的值．三、课堂练习【训练1】若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【训练2】(1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.【训练8】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ．（1）求角A 的大小；（2）若•=，求△ABC 的面积．课后作业：1、已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13 解析法一 ∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169， ∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29， ∴sin θ－cos θ＝－23.法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13. (2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|· cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.①又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.8、已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设=（a ﹣b ，c ），=（a ﹣c ，a+b ），且∥．（1）求∠B ；（2）若a=1，b=，求△ABC 的面积．备注:家长签字:____________年月日星期 i。

新高一数学下期末试卷(含答案)

新高一数学下期末试卷(含答案)新高一数学下期末试卷（含答案）一、选择题1.已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=b，则A选2.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=5选3.3.已知三角形ABC中，A为60度，c=2，cosA=1/2，则ABC为有一个内角为30°的等腰三角形选D。

4.已知对任意实数x、y，不等式(x+y)/(1+xy)≥9恒成立，则实数a的最小值为2选D。

5.已知ABC为等边三角形，AB=2，设P，Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC（λ∈R），若BQ·CP=-2，则λ=1/2选A。

6.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)，ω>π/2，f(x)是奇函数，直线y=2与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π/2，则f(x)在[π/3.π/8]上单调递减选B。

7.已知函数y=f(x)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是[-1,2]选B。

8.若α,β均为锐角，sinα=2/5，sin(α+β)=3/5，则cosβ=4/5或-3/5选C。

9.要得到函数y=2/3cos2x+1/3的图像，只需将函数y=2sin2x的图像向左平移π/4个单位选C。

10.已知sin(π/3-α)=-1/2，cos(2α+π/3)=2/3，则cosα=7/8选D。

分析】详解】1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^2+x+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$。

因为 $f(x)$ 是一个开口向下的二次函数，所以其图像在顶点处取得最大值。

顶点横坐标为 $x=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2}$，纵坐标为 $f(-\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$。

而 $g(x)$ 的图像是由两个 V 形图像组成的，分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处取得最小值$0$。

高一下学期期末考试数学复习(解三角形)

高一下学期期末考试数学复习（解三角形）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（） (A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．3.在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________. 4.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形5.已知在ABC ∆中，cc b A 22cos 2+=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形6.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为332，则C =（ ) （A ）3π （B ）23π （C ）6π （D ）56π 7.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A 的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.8.在△ABC 中，且b sin A a cos B ． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．9.在△ABC 中，设S 为△ABC 的面积，满足222)S a b c =+-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。

高一数学解三角形单元测试及答案

高一数学解三角形单元测试及答案解三角形本章测试本次测试共有12道选择题，每题5分，总分60分。

在每道题中，只有一个选项是正确的，请将正确选项填涂在答题卡上。

1.在三角形ABC中，已知a=2，b=2，B=π/6，则A=（）A。

3π/4 B。

π/3 C。

4π/3 D。

π/42.在三角形ABC中，已知a²=b²+c²+bc，则角A为（）A。

30° B。

45° C。

120° D。

150°3.已知三角形ABC中，A:B:C=11:4，则a:b:c的比值为（）A。

1:1:3 B。

2:2:3 C。

1:1:2 D。

1:1:44.在三角形ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若a=2，b=1，B=29°，则此三角形的解为（）A。

无解 B。

有一解 C。

有两解 D。

有无数解5.在三角形ABC中，∠C=90°，0<A<45°，则下列各式中，正确的是（）A。

sinA>XXX>XXX<XXX<sinB6.一艘船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（）A。

176/22海里/时 B。

346海里/时 C。

22海里/时 D。

342/22海里/时7.已知三角形ABC的面积为S，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4S=a²-(b-c)²，bc=4，则S=（）A。

2 B。

4 C。

3 D。

15/28.已知三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cosC=1/4，4bcosA+acosB=3，则三角形ABC外接圆的半径为（）A。

2/3 B。

2√2 C。

4 D。

69.在三角形ABC中，已知asinA/bsinB=(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)，则三角形ABC的形状为（）A。

(完整word版)高一下学期解三角形数列综合测试题.docx

一、选择题1.在ABC中，已知 a 6，b 4， C120 ,则 c的值为A.76B. 76C.28 D . 282.观察数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55的规律， x应等于A.11B.12C.13D.143.在 ABC 中，已知 a6， C60 , c 3，则 A的值为A.45B.135C.45 或135D.60 或1204..已知等差数列{ a n }中， a5a11 16， a41，则 a12的值为A.15B.30C.31D.645.某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向，后来船沿南偏东 60 的方向航行 90海里后，看见灯塔在正西方向，这时船与灯塔的距离为A.302海里B.30 3海里C.453海里D.452海里已知等差数列{ a n }中，a1a3，a8，则的值为6.. 4 a420a15A.26B.30C.28D.367..已知 { a n } 为等差数列， S n是其前 n项和 , 且S1122，则 tan a6的值为3A. 3B.3 C .3 D .33在 ABC中，已知 a， B2,当 ABC的面积等于 23时，sin C等于8.43A.7B.14C.14 D .2114147149.在ABC 中，若a7, b3, c8, 则面积为（）A 12B 21 C.28 D .6 32等差数列 an }的前n项和为 S ，若 a5,a a14,则使S 取最小值的 n为10..{n1410nA.3B.4C.5D.6在ABC中，已知a，，13,则最大角正弦值等于11.7 b8 cosC14A.3B. 2 3C .3 3D .4 37777112．等比数列{ a n}前n项乘积记为M n,若M1020, M 2010,则 M 30（）A． 1000B． 40251 C．D．4813．某人朝正方向走x km 后，向右 150°，然后朝新方向走3km ，果他离出点恰好 3 km，那么x的（）A .3B . 2 3 C. 2 3或3 D. 314．在等差数列｛ a n｝中，前 n 和 S n，若 S16— S5 =165，a8a9 a16的是（）A．90B．90C． 45D．4515．数列{ a n}的前 n 和S n，令T n S1S2 L S n，称 T n数列 a1， a2，⋯⋯，na n的“理想数” ，已知数列 a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” 2004 ，那么数列2，a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” （）A． 2002B．2004C． 2006D． 2008二、填空设为等差数列a n 的前n项和若S33, S624,则S916. S n.在等比数列中，是方程2的两个根，则17.a n a5 , a97 x18x7 0a7 ___在ABC 中，B60，＝，ABC外接圆半径R73 ，则18.S ABC1033ABC 的周长为19 已知ABC 的三边分别为 a, b, c; 且 3a 23b 2 - 3c22ab0,则 sin C20．已知△ ABC的三分是a, b， c ，且面 S ＝a2b2 c 2，角 C ＝_____4a c21．若 a、 b、 c 成等比数列， a、x、 b 成等差数列， b、y、c 成等差数列，x y 三. 解答在ABC 中，若sin22B sin2，b2, c求及a.22. A sin C sinBsinC 4. A23.在 ABC 中，若tan A2c b ,求A的值. tan B b224．（ 12 分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。

2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)解三角形(解析版)

专题03解三角形考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形考点二、判断三角形的形状考点三、解三角形的实际应用1、根据正弦定理、余弦定理求边或角2、求三角形的周长或面积3、解三角形中求取值范围或最值问题4、解三角形的综合应用利用正弦定理和余弦定理解三角形1．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1a =，2b =，c =C =（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．45︒2．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4a =，b =π6A =，则角B 的大小为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．2π3D ．π63．（22-23高一下·天津·期中）已知ABC ，内角、、A B C 的对边分别是,,,60a b c a b B ===︒，则A 等于（）A ．45︒B ．30︒C ．45︒或135︒D ．30︒或150︒4．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，75,45AB A B === ，则AC =（）A B ．2CD ．3【答案】B【分析】根据三角形内角和先求出角C ，再根据正弦定理即得．【详解】因为180A B C ++= ，所以60C = ，5．（22-23高一下·天津·期中）若ABC 2BC =，60C =︒，则边AB 的长度等于（）A B C ．2D ．36．（22-23高一下·天津南开·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()42cos 1,sin 5a c B C =+=，则sin B =（）A ．1825B ．2425-C ．1825-D ．24257．（22-23高一下·天津·期中）ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π68．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，a 3b =，6A π=，则此三角形（）A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定判断三角形的形状9．（19-20高一下·天津东丽·期末）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A ．若4,30a b A === ，则B 只有一解B ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形10．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos a c B =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B，再由诱导公式及两角和的正弦公式判断即11．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，已知()sin 2sin cos A A C C =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形12．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角,,A B C 满足2sin cos sin B C A =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形【答案】B【分析】根据()sin sin A B C =+得到()sin 0B C -=，求出B C =，得到三角形形状.【详解】()2sin cos sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+，故sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=，因为(),0,πB C ∈，所以B C =，故ABC 为等腰三角形.故选：B13．（22-23高一下·天津·期中）在 ABC 中，如果满足cos cos b A a B =，则 ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形14．（22-23高一下·天津·期中）设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定15．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，已知||||AB AC AB AC +=-，且sin 2sin cos A B C =，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形16．（2021·甘肃天水·模拟预测）在ABC 中，若21sin cos C b C B c B -=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形B解三角形的实际应用17．（22-23高一下·天津·期中）一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为与轮船原来的距离为A．6海里B．12海里C．6海里或12海里D．由题意得：18AC=则2 cos ACCAB∠=即灯塔与轮船原来的距离为本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果18．（22-23高一下·天津·期中）一艘轮船沿北偏东28o方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32o方向上，经过10灯塔与轮船原来的距离为海里.19．（20-21高一下·天津宁河·阶段练习）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为则灯塔与轮船原来的距离为海里．【答案】6【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可.【详解】记轮船的初始位置为A，灯塔位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--= 63BC =，在ABC 中，由余弦定理得：22cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅()2226631262AB AB+-==-⨯⋅，所以解得6AB =或12AB =-20．（22-23高一下·天津南开·期中）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45,60A C B A B C ''''''∠=∠= ，由点C 测得点B 的仰角为15 ，BB '与CC '的差为100，由点B 测得点A 的仰角为45 ，则A ，C 两点到水平面ABC '''的高度差AA CC ''-为米.已知BB '与CC '的差为100，则又15BCD ∠=，则tan15CD =则3131010100(2B C CD ''=-==+根据正弦定理和余弦定理求边或角21．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知3a =c =2π3A =．(1)求C 的值；(2)求b 的值．22．（22-23高一下·天津河西·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b b A -=.(1)若a =3b =，求边c 的长；(2)若π2C =，求角B 的大小．23．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.24．（22-23高一下·天津·期中）在非等腰ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且3a =，4c =，2C A =.(1)求cos A 的值；(2)求ABC 的周长；(3)求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.25．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.26．（22-23高一下·天津和平·期中）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =u r与()cos ,sin n A B =r平行.(1)求A ；(2)若a =2b =，求sin C 的值.27．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知45,6,cos 5a b B ===-.(1)求A 的值；(2)求()sin 2B A +的值.28．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC(1)求a 的值；(2)求sin A 的值；(3)求sin 26A π⎛⎫+ ⎪的值.29．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin cos cos A A B B C +=-.(1)求角C 的大小；(2)若sin 2sin A B =，c =ABC 的面积.30．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．向量),m b =，()sin ,cos n A B = ，且m n ∥．(1)求B 的值；(2)若2a =，b ，求ABC 的面积31．（2021·广西·二模）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为、b 、，且c b c a=--.(1)求角A 的大小；(2)若a =，且ABC S = ABC 的周长.32．（22-23高一下·天津河北·期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =u r，()cos ,sin n A B =r ，且//m n .(1)求角A ；(2)若a =2b =，求边c及ABC 的面积；(3)在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.33．（22-23高一下·天津和平·期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，4c =，a =(1)求A ，b ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积.34．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos cos b c a A B=+.(1)求角B 的大小；(2)若4,b a c =+=ABC 的面积.35．（22-23高一下·天津滨海新·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos c A a B b A =+．(1)求角A ；(2)若ABC 的外接圆半径R =4b =，求ABC 的面积；(3)若a =3BA AC ⋅=- ，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长．求取值范围或最值问题36．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin sin sin A B C ++的取值范围.37．（21-22高一下·湖北·期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.=38．（2020·全国·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()223sin sin 222C B bc b c b c a +=++.(1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a b m c +=的取值范围.39．（21-22高一下·江苏无锡·期中）从①222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=②sin cos b A B =，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若__________.(1)求角A 的大小：(2)若D 是BC 的中点，AD =ABC 面积的最大值.(3)若O 为ABC 的外接圆圆心，且cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，求实数m 的值.【详解】（1）解：选条件①时，222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=，根据正弦定理：222b a c bc -+=，40．（20-21高一下·山东济南·期中）如图所示，某市有一块空地OAB ，其中2km OA =，60OAM ∠=︒，90AOB ∠=︒．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中M ，N ，都在边AB 上，且30MON ∠=︒，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN △地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网．设=AOM θ∠．（1）当1km AM =时，求此时防护网的总长度；（2）若15θ=︒，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？（2）15θ=︒时，在三角形sin 60sin15OM AM =︒︒在三角形OMN 中，由正弦定理得，sin 30sin 75MN OM =︒︒所以sin 60sin 75MN AM =sin 60sin 301sin 302︒⋅︒=︒以O 为顶点时，所以OMN OAM S MN S AM=△△即人工湖用地OMN （3）在三角形OAN 18060ONA ∠=︒-由正弦定理得，(2sin 60sin 90ON =︒︒在三角形OAM 中，由正弦定理得sin OM。

加强练(七) 三角函数、解三角形--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版)

加强练(七) 三角函数、解三角形一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( ) A.19 B.13 C.12 D.23 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.2．(2021·镇海中学模拟)若y ＝f (x )·sin x 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是( ) A ．sin x B ．cos x C ．sin 2x D ．cos 2x 答案 B解析因为函数sin x cos x ＝12sin 2x 是周期为π的奇函数，所以可知f (x )＝cos x ，故选B.3．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π，即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.4．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.5665 B.1665C.5665或1665 D ．以上都不对答案 B解析 cos B ＝513>0，∴B 为锐角，sin B ＝1213，又sin A ＝35<sin B ，由正弦定理得0<A <B <π2，cos A ＝45，cos C ＝cos []π－（A ＋B ）＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋ sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.5．(2021·浙江十校联盟适考)将函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，－1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，－1 答案 D解析将函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1的图象，再向右平移π8个单位长度得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4－1的图象，令23x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝3π8＋3k π2，k ∈Z ，则函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4－1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，－1，故选D.6．函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A.47B.87 C ．10 D ．8 答案 D解析过点P 作x 轴的垂线，垂足为点C ，则易得CP ＝1，AC ＝14T ＝14×2ππ＝12，BC ＝34 T ＝32，则tan ∠APC ＝12，tan ∠BPC ＝32，则tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC )＝12＋321－12×32＝8，故选D. 7．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A.8．(2021·台州期末评估)已知函数y ＝sin x ＋a cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的最小值为a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，3] B ．[－3，3] C ．(－∞，3] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，33答案 C解析设y ＝f (x )＝sin x ＋a cos x ，则f (0)＝a ，又函数f (x )的最小正周期是2π，所以此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的左端点处取到最小值，所以必有f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即a ≤32＋12a ，解得a ≤3，故选C.9．(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③ 答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数，①正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，②错误．如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.10．(2021·浙江名师预测卷四)若不等式(|x －a |－b )×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则a ＋b 的最小值为( ) A.56 B ．1 C.23 D ．2 答案 A解析当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56时，πx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3≥0，所以|x －a |－b ≤0，则a －b ≤x ≤a ＋b ，所以a ＋b ≥56.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．(2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案 3π4解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴asin A ＝b－cos B.又由正弦定理a sin A ＝bsin B ，故－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.12．(2021·嘉兴测试)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期是4π，则ω＝________，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝35，则cos θ＝________．答案 12 －725解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期是2πω＝4π，则ω＝12，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝cos θ2＝35，则cos θ＝2cos 2θ2－1＝－725. 13．(2021·浙江“超级全能生”联考)如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，BC ＝23，A ＝60°，△ABC 的面积等于23，则sin B ＝________，角平分线AM 的长为________．答案 12 433 解析由题意知⎩⎨⎧c ＞b ，bc ＝8，b 2＋c 2－bc ＝12，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4，所以sin B ＝b sin A a ＝12.因为BC ＞AC ，所以B ＝30°，C ＝90°，在Rt △ACM 中，AM ＝AC cos 30°＝433.14．(2021·宁波模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上的值域是________．答案－π6 (－1，2)解析由已知有π2＝12·2πω，则ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)向左平移π3个单位长度，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为g (x )为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，|φ|＜π2，故φ＝－π6；由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，u ＝2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π2，故f (x )＝2sin u ∈(－1，2)，即值域为 (－1，2)．15．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.16．(2021·湖州期末质检)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若b 2＋3a 2＝c 2，则tan Ctan B ＝________；tan A 的最大值是________．答案－224解析在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．又因为c 2＝b 2＋3a 2，所以a ＝－b cos C ，结合正弦定理得－sin B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )，化简得tan Ctan B ＝－2，则tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B 1＋2tan 2B＝11tan B ＋2tan B≤121tan B ·2tan B ＝24，当且仅当tan B ＝22时等号成立，所以tan A 的最大值为24.17．在平面四边形ABCD 中，A ＝B ＝C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE (利用CF 向左平移即可)．在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，所以BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，所以BE ＝212×6＋24＝6＋2，所以6－2<AB<6＋ 2.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)(2021·绍兴适考)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，acos A＝3sin B.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)由acos A＝3sin B得a sin B＝3cos A.又因为asin A＝bsin B，所以a sin B＝b sin A＝3cos A.因为b＝1，所以sin Acos A＝3b＝3，即tan A＝ 3因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4，得c2－c－3＝0，解得c＝1＋132(舍负)，所以S△ABC ＝12bc sin A＝3＋398.19．(本小题满分15分)(2021·镇海中学检测)已知函数f(x)＝1＋sin 2x＋sin x－cos x.(1)求函数f(x)的值域；(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足f(B)＝1，a＝3，b＝1，求c的值．解(1)由于f(x)＝1＋sin 2x＋sin x－cos x，所以f(x)＝|sin x＋cos x|＋sin x－cos x，去绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4（k ∈Z ），－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4（k ∈Z ），结合函数图象可知f (x )的值域为[－2，2]． (2)因为f (B )＝1，0<B <π，所以B ＝π6，再由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2＋c 223c ＝32，解得c ＝1或2.20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.21．(本小题满分15分)(2019·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值； (2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ·c，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B＝2sin B ．从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255. 22．(本小题满分15分)(2021·湖州期末质检)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－14(x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值和函数f (x )的最小正周期；(2)设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝14，a ＝2，求b ＋c 的取值范围．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32×32－14＝12.因为f (x )＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14 ＝1－cos 2x 4＋34sin 2x －14＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.因为A 为锐角△ABC 的内角，所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝2sin π3＝43得b ＝43sin B ，c ＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以b ＋c ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为△ABC 为锐角三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2⇒π6<B <π2，所以B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，所以b ＋c ∈(23，4]．。

高一数学解三角形试题

高一数学解三角形试题1.如图，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角，求建筑物AB和CD底部之间的距离BD。

【答案】【解析】过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．【考点】直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．2.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．故∴ymax【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．3.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.4.①设a，b是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b=0②若③在△ABC中，若，则△ABC 是等腰三角形④在中，，边长a,c分别为a=4,c=，则只有一解。

解三角形小题综合解析版--高一下学期备战期末专题训练

期末专题04解三角形小题综合一、单选题1(2022春·江苏常州·高一校联考期末)在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cos B<0，进而得∠B为钝角，即可求解.【详解】在△ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC=6，AC=8可知:cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=25+36-64 2×5×6=-120<0,故∠B为钝角，因此△ABC是钝角三角形故选：C2(2022春·江苏连云港·高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2b sin A，则B=()A.π6B.π4C.π3D.7π12【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形ABC中，0<B<π2，由正弦定理得asin A=bsin B，又a=2b sin A，所以sin B=12，且0<B<π2，故B=π6.故选：A.3(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a= 3b sin A，则sin B=()A.63B.33C.23D.13【答案】A【分析】运用正弦定理边化角直接计算即可.【详解】由题意，2a=3b sin A，∴2sin A=3sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin B=23=63；故选：A.4(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=c cos B，则△ABC的形状()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为a=c cos B，cos B=a2+c2-b2 2ac，所以a=c⋅a2+c2-b22ac，整理得a2+b2=c2，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B5(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC 中，B =45°，点D 是边BC 上一点，AD =5，AC =7，DC =3，则边AB 的长是()A.46B.1036 C.562D.26【答案】C【分析】由余弦定理求得cos C ，由正弦定理求得AB ．【详解】△ACD 中cos C =AC 2+CD 2-AD 22AC ⋅CD=49+9-252×7×3=1114，所以sin C =1-1114 2=5314，△ABC 中，由正弦定理AB sin C =AC sin B 得AB =AC sin C sin B =7×5314sin45°=562．故选：C ．6(2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB =CD =4，BC =3，AD =7，则该玉佩的面积为()A.496π-934B.493π-932C.496π D.493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出BO =3，AO =7，进而得出△OAD 为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由BC ⎳AD ，得△OBC ∼△OAD ，所以BC AD =BOAO，又AB =CD =4，BC =3，AD =7,所以37=BO BO +AB=BO BO +4，解得BO =3，所以AO =7，所以△OAD 为等边三角形，则∠AOB =π3，故S 扇形=12αr 2=12×π3×72=496π，S △BOC =12OB ×OC ×sin π3=12×3×3×32=934，所以玉佩的面积为496π-934.故选：A7(2022秋·江苏南通·高一统考期末)图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26 )在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬( )(参考数据：tan34°≈0.67，tan56°≈1.49)A.23°26B.32°34C.34°D.56°【答案】B【分析】由题意有tan α=22.98≈0.67，可得∠MAN ，从而可得β【详解】由图1可得tan α=22.98≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α=34°，所以∠MAN =90°-34°=56°，所以β=56°-23°26 =32°34 ，该地的纬度约为北纬32°34 ，故选：B ．8(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设f x =sin x cos x -cos 2x +π4，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，则△ABC 面积的最大值为()A.2+33B.3+33C.2+34D.3+34【答案】C【分析】先用三角恒等变换得到f x =sin2x -12，从而根据f A 2 =0求出A =π6，再结合余弦定理基本不等式求出bc ≤2+3，根据面积公式求出最大值.【详解】f x =sin x cos x -cos 2x +π4 =12sin2x -121+cos 2x +π2 =sin2x -12，则f A 2 =sin A -12=0，所以sin A =12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π6，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-12bc=32，所以b 2+c 2=3bc +1，由基本不等式得：b 2+c 2=3bc +1≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立，所以bc ≤2+3，S △ABC =12bc sin A =14bc ≤2+34故选：C9(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中，使得△ABC 恰有一个解的是()A.a =2,b =4,A =π3B.a =13,b =4,A =π3C.a =23,b =4,A =2π3D.a =32,b =4,A =2π3【答案】D【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A . 因为a =2,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π32=3>1，无解；B . 因为a =13,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin Aa =4×sin π313=23913，又32<23913<1，则π3<B <2π3，有两解，故错误；C . 因为a <b ,A =2π3，则B >A ，所以无解，故错误；D . 因为a =32,b =4,A =2π3，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π332=63，又12<63<1，且a >b ，所以π6<B <π2，故有一解，故正确. 故选：D10(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知△ABC 为锐角三角形，AC =2，A =π6，则BC 的取值范围为()A.1,+∞B.1,2C.1,233D.233,2【答案】C【分析】根据锐角三角形得出角B 的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π60<B <π20<5π6-B <π2,解得π3<B <π2,所以32<sin B <1.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B =BC sin A，即BC =AC ⋅sin A sin B =2×sin π6sin B =1sin B ,由32<sin B <1，得1<1sin B<233，即1<BC <233.所以BC 的取值范围为1,233.故选：C .11(2022春·江苏镇江·高一统考期末)已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，且测得点B 对点A 和点C 的张角为120°，则点B 到AC 的距离为( )km ．A.2077B.10217C.20217D.1077【答案】B【分析】由余弦定理求出AC ，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120°=102+202-2×10×20×-12=700，即AC =107，所以S △ABC =12AB ⋅BC sin120°=12⋅AC ⋅h ，解得h =AB ⋅BC ⋅sin120°AC =1003107=10217.故选：B12(2022春·江苏无锡·高一统考期末)设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b =2，a 2sin C =6sin A ，则△ABC 面积的最大值为()A.3B.5C.6D.3【答案】B【分析】由a 2sin C =6sin A 结合正弦定理可得ac =6，再利用余弦定理可求得cos B ≥23，则可得sin B ≤53，从而可求出△ABC 面积的最大值【详解】因为a 2sin C =6sin A ，所以由正弦定理可得a 2c =6a ，得ac =6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，4=a 2+c 2-12cos B ，所以4+12cos B =a 2+c 2≥2ac =12，当且仅当a =c 时取等号，所以cos B ≥23，所以sin B =1-cos 2B ≤1-49=53，所以12ac sin B ≤12×6×53=5，当且仅当a =c 时取等号，所以△ABC 面积的最大值为5，故选：B13(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)△ABC 中，A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，则()A.若a <b <c ，则cos B <sin CB.∃A ,B 使得sin (A +B )=sin A +sin BC.∀B ,C 都有tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan CD.若sin A +cos A =32，则A 是钝角【答案】D【分析】特殊值法判断A 、C ；B 由题设有sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，进而有cos B =cos A =1即可判断；D 由已知得sin A +π4 =64<22，结合0<A <π即可判断.【详解】A ：由题设A <B <C ，若C =150°，B =20°，A =10°，此时cos B =sin π2-B >sin C ，错误；B ：若sin (A +B )=sin A +sin B ，则sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，而sin A ,sin B >0，所以cos B =cos A =1，又0<A +B <π，故不存在这样的A ,B ，错误；C ：当B =C =π4时tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan C不成立，错误；D ：由sin A +cos A =2sin A +π4 =32，故sin A +π4 =64<22，而0<A <π，所以5π4>A +π4>3π4，即π>A >π2，正确.故选：D14(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac =8,sin B +2sin C cos A =0，则△ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C【分析】根据sin B +2sin C cos A =0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b 2=a 2-c 2，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据S △ABC =12ac sin B 可求△ABC 面积的最大值．【详解】∵sin B +2sin C cos A =0，∴sin A +C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +3cos A sin C =0，则a ⋅b 2+a 2-c 22ab +3×b 2+c 2-a 22bc×c =0，整理得2b 2=a 2-c 2，∴cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-a 2-c222ac=a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32，当且仅当a 2=3c 2⇔c =83,a =83时取等号，∴B ∈0，π6，∴sin B ≤12，则S △ABC =12ac sin B ≤12×8×12=2．故选：C ．15(2022春·江苏扬州·高一期末)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p=(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，若p ∥q，则角C 的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】B【分析】因为p ⎳q ，所以a +c c -a -b b -a =0，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为p ⎳q，所以a +c c -a -b b -a =0，所以c 2-a 2-b 2+ab =0,∴a 2+b 2-c 2=ab ，所以2ab cos C =ab ,∴cos C =12,∵0<C <π，所以C =π3.故选：B .16(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为()A.206海里B.406海里C.20(1+3)海里D.40海里【答案】A【分析】分别在△ACD 和△BCD 中利用正弦定理计算AD ,BD ，再在△ABD 中利用余弦定理计算AB 即可【详解】由题意可知CD =40,∠ADC =105°,∠BDC =45°,∠BCD =90°,∠ACD =30°，所以∠CAD =45°,∠ADB =60°，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin30°=40sin45°，得AD =202，在Rt △BCD 中，因为∠BDC =45°,∠BCD =90°，所以BD=2CD=402，在△ABD中，由余弦定理得AB=AD2+BD 2-2AD⋅BD cos∠ADB=800+3200-2×202×402×12=2400=206，故选：A17(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且b2-c2⋅sin B=2S，若a=kc，则k的取值范围是()A.1,2B.0,3C.1,3D.0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到c=a-2c cos B，结合正弦定理得到B=2C，由△ABC为锐角三角形，求出B∈π3,π2，从而求出cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，求出k的取值范围.【详解】因为S=12ac sin B，所以b2-c2⋅sin B=2S=ac sin B，即b2-c2=ac，所以ac+c2=a2+c2-2ac cos B，整理得：ac=a2-2ac cos B，因为a>0，所以c=a-2c cos B，由正弦定理得：sin C=sin A-2sin C cos B，因为sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，所以sin C=sin B cos C-cos B sin C=sin B-C，因为△ABC为锐角三角形，所以B-C为锐角，所以C=B-C，即B=2C，由B∈0,π2C=B2∈0,π2A=π-B2-B∈0,π2，解得：B∈π3,π2，因为a=kc，所以cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，解得：k∈1,2，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题18(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)在△ABC中，下列结论中，正确的是()A.若cos2A=cos2B，则△ABC是等腰三角形B.若sin A>sin B，则A>BC.若AB2+AC2<BC2，则△ABC为钝角三角形D.若A=60°，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(23,+∞)【答案】ABC【分析】根据cos2A=cos2B及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于选项A，因为cos2A=cos2B，且A，B∈(0，π)，所以A=B，所以△ABC是等腰三角形，所以选项A正确；对于选项B，由sin A>sin B，则a<b且A，B∈(0，π)，可得A>B，所以选项B正确；对于选项C，由AB2+AC2<BC2，以及余弦定理可得cos A<0，即△ABC为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A=60°，AC=4，以及正弦定理可得sin B=ACBCsin A=23BC<1，解得BC>23，且由大边对大角B>A，可得AC>BC，即BC<4，所以BC长的取值范围是(23，4)，所以选项D 错误；故选：ABC.19(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°,c =2，下列说法正确的是()A.若a=3,△ABC有两解B.若a=3,△ABC有两解C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即c sin A<a<c，△ABC有两解，a>c或a=c sin A，△ABC有一解，a<c sin A，△ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出△ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，∵c sin A<a<c，∴△ABC有两解，故A正确；B选项，∵a>c，∴△ABC有一解，故B错误；C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴c cos A<b<cc cos A，即2<b<22，故C正确；D选项，∵△ABC为钝角三角形，∴0<b<c cos A或b>cc cos A，即0<b<2或b>22，故D错误.故选：AC20(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)在三角形△ABC中，∠A=π3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.223B.1.1 C.233D.1.01【答案】BD【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足32c <a <c ，即可求解.【详解】若三角形有两解，则满足32c <a <c ，故1<c a <233，故选：BD 21(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c =2b ，B =30°，则角A 可能为()A.135°B.105°C.45°D.15°【答案】BD【分析】由正弦定理求角．【详解】解：正弦定理得c sin C=bsin B ，又c =2b ，B =30°，sin C =22，c >b ，则C >B ，0°<C <180°，故C =45°或135°，A =105°或15°故选：BD ．22(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ，设向量m=c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，则下列选项正确的是()A.A =2BB.C =2AC.1<ca<2D.若△ABC 的面积为c 24，则C =π2【答案】BC【分析】根据向量平行得到c 2=a 2+ab ，结合余弦定理转化为cos C =-12+b 2a，进而利用正弦定理得到cos C =-12+sin B 2sin A，化简整理即可判断A 、B 选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca 转化为2cos A ，然后求出角A 的范围，进而求出值域即可判断C 选项；利用S =12ab sin C =c 24，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A ，进而可以求出角C ，从而可以判断D 选项.【详解】因为向量m =c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，所以c 2=a a +b ，即c 2=a 2+ab ，结合余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，cos C =-ab +b 22ab，cos C =-12+b 2a ，再结合正弦定理得cos C =-12+sin B2sin A，2sin A cos C =-sin A +sin B ，又因为sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ,所以2sin A cos C =-sin A +sin A cos C +cos A sin C ，sin A cos C -cos A sin C =-sin A ，sin A -C =-sin A ，sin A -C =sin -A ，所以A -C =-A ，故C =2A ，所以B 正确，A 错误；c a =sin C sin A =sin2A sin A =2sin A cos A sin A，因为sin A ≠0，所以c a =2cos A ，又因为0°<A<180°0°<2A<180°0°<180°-3A<180°，所以0°<A<60°，所以12<cos A<1，即1<2cos A<2，因此1<ca<2，故C正确；因为S=12ab sin C=c24，结合正弦定理12sin A sin B sin C=14sin2C，即sin A sin B=12sin C，则sin A sin180°-3A=12sin2A,sin A sin3A=12sin2A,sin A sin3A=sin A cos A，sin3A=cos A ，sin3A=sin A+90°则3A+A+90°=180°，或3A=A+90°，故A=22.5°或A=45°，故C=45°或C=90°，故D错误.故选：BC.23(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若b=6，c=2，3sin A3+cos A3=2cos C，则下列说法正确的有()A.A+3C=πB.sin C=64C.a=2 D.S△ABC=154【答案】AD【分析】利用三角恒等变换可得出cos C=cosπ3-A3，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】因为2cos C=2cos A3cosπ3+sinπ3sin A3=2cosπ3-A3，即cos C=cosπ3-A3，因为0<A<π，0<C<π，则0<π3-A3<π3且余弦函数y=cos x在0,π上递减，所以，C=π3-A3，所以，A+3C=π，A对；因为A+3C=π=A+B+C，则B=2C，所以，0<2C<π，可得0<C<π2，由正弦定理bsin B=csin2C，即62sin C cos C=2sin C，所以，cos C=64，则sin C=1-cos2C=104，B错；由二倍角公式可得sin2C=2sin C cos C=154，cos2C=2cos2C-1=-14，所以，sin A=sin3C=sin C cos2C+cos C sin2C=104×-14+64×154=108，由正弦定理asin A=csin C可得a=c sin Asin C=1，C错；S△ABC=12ab sin C=12×1×6×104=154，D对.故选：AD.24(2022春·江苏扬州·高一统考期末)如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点M为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有( )．A.AP =14AB +12ACB.BN =3NCC.|AN |=193D.AP 与AC 夹角的余弦值为51938【答案】AC【分析】对A ，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B ，根据三点共线的性质，结合AP =14AB +12AC 可得AN =13AB +23AC ，进而得到BN=2NC判断即可；对C ，根据余弦定理可得∠BAC ，再根据B 中AN =13AB +23AC两边平方化简求解即可；对D ，在△ANC 中根据余弦定理求解即可【详解】对A ，AP =12AM +12AC =14AB +12AC，故A 正确；对B ，设AP =λAN ，则由A ，λAN =14AB +12AC ，故AN =14λAB +12λAC，因为B ,N ,C 三点共线，故14λ+12λ=1，解得λ=34，故AN =13AB +23AC ，故AB +BN =13AB +23AB +23BC ，所以BN =23BN +23NC ，即BN =2NC ，故B 错误；对C ，由余弦定理，cos ∠BAC =32+22-422×3×2=-14，由B 有AN =13AB +23AC ，故AN 2=19AB2+49AC 2+49AB ⋅AC ⋅-14 ，即AN 2=1+169-23=199，所以|AN |=193，故C 正确；对D ，在△ANC 中AN =193，AC =2，NC =13BC =43，故cos ∠NAC =AN 2+AC 2-NC 22AN ⋅AC=199+4-1692⋅193⋅2=131976，故D 错误；故选：AC25(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的是()A.若A >B ，则sin A >sin BB.若a =2，b =5，B =π3，则该三角形有两解C.若a cos A =b cos B ，则△ABC 一定为等腰三角形D.若sin 2C >sin 2A +sin 2B ，则△ABC 一定为钝角三角形【答案】AD【分析】对A ，根据正弦定理判断即可；对B，根据正弦定理求解sin A判断即可；对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可【详解】对A，由三角形的性质，当A>B时，a>b，又由正弦定理asin A=bsin B>0，故sin A>sin B，故A正确；对B，由正弦定理asin A=bsin B，故2sin A=532，故sin A=155，因为a<b，故A<π3，故该三角形只有1解，故B错误；对C，由正弦定理，sin A cos A=sin B cos B，故sin2A=sin2B，所以A=B或2A+2B=π，即A+B =π2，所以△ABC为等腰或者直角三角形，故C错误；对D，由正弦定理，c2>a2+b2，又余弦定理cos C=a2+b2-c22ab<0，故C∈π2,π，故△ABC一定为钝角三角形，故D正确；故选：AD26(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若sin A>sin B，则A>BB.若a2+b2-c2>0，则△ABC是锐角三角形C.若a cos B+b cos A=a，则△ABC是等腰三角形D.若asin A =bcos B=ccos C，则△ABC是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知C为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得A=C；D由正弦定理及三角形内角性质得B=C=45°.【详解】A：由sin A>sin B及正弦定理知：a>b，根据大边对大角有A>B，正确；B：由余弦定理cos C=a2+b2-c22ab>0，只能说明C为锐角，但不能确定△ABC是锐角三角形，错误；C：sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C=sin A，则a=c，故△ABC是等腰三角形，正确；D：由asin A =bcos B=ccos C=bsin B=csin C，则sin B=cos B,sin C=cos C，且0<A,B,C<π，故B=C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，错误.故选：AC27(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=a cos B+b cos AB.若a cos A=b cos B，则△ABC为等腰或直角三角形C.若a2tan B=b2tan A，则a=bD.若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C ，由余弦定理判断D ．【详解】解：由余弦定理a cos B +b cos A =a ×a 2+c 2-b 22ac +b ×b 2+c 2-a 22bc=c ，A 正确；a cos A =b cos B ，由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，sin2A =sin2B ，A ,B 是三角形内角，所以2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 正确；由a 2tan B =b 2tan A 得sin 2A ×sin B cos B =sin 2B ×sin Acos A，sin2A =sin2B ，同上得a =b 或a 2+b 2=c 2，C 错；若a 3+b 3=c 3，所以a c 3+b c 3=1，因此0<a c <1,0<bc<1，所以a c 2+b c 2>a c 3+b c 3=1，即a 2+b 2>c 2，cos C =a 2+b 2-c 22ab >0，C ∈(0,π)，所以C 为锐角，显然c 边最大，C 角最大，所以△ABC 为锐角三角形，D 正确．故选：ABD ．28(2022春·江苏苏州·高一校考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，下列说法正确的是()A.若a cos A =b cos B ，则△ABC 是等腰三角形B.若AB =22,B =45°,AC =3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若△ABC 不是直角三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan CD.若AB ⋅BC<0，则△ABC 为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A =B 或A +B =π2判断；对于B 应用余弦定理求BC 即可判断；对于C 由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D 由向量数量积定义判断；【详解】对于A ：由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，则sin2A =sin2B ，则△ABC 中A =B 或A +B =π2，故A 错误；对于B ：由cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =BC 2-142BC=22，则BC 2-4BC -1=0，可得BC =2±5，故BC =2+5，满足条件的三角形有一个，故B 正确；对于C ：由△ABC 不是直角三角形且A =π-(B +C )，则tan A =-tan (B +C )=-tan B +tan C1-tan B tan C，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，故C 正确；对于D :AB ⋅BC =|AB ||BC |cos (π-B )=-|AB ||BC |cos B <0，即|AB ||BC|cos B >0，∠B 为锐角，故△ABC 不一定为钝角三角形，故D 错误；故选：BC三、填空题29(2022春·江苏连云港·高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是xcm ，若OA =3cm ，AP =7cm ，α=120°，则x 的值是．【答案】5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在△APO中，由余弦定理可知49=OP2+9-2×3⋅OP⋅cos∠AOP⇒OP=5cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm,∴PQ=OQ-OP=10-5=5cm,故答案为：530(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距nmile．【答案】202【分析】利用正弦定理求AB的长度即可.【详解】由题设，CA=40nmile且∠ABC=135°，正弦定理有ABsin∠BCA=CAsin∠ABC°，则ABsin30°=40sin135°，可得AB=202nmile.故答案为：20231(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60°，a =1，c=7，则b=.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，C=60°，a=1，c=7，所以由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，所以7=1+b2-2b cos60°，b2-b-6=0，(b+2)(b-3)=0，得b=-2(舍去)，或b=3，故答案为：332(2022春·江苏扬州·高一期末)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km【答案】603+60【分析】由题意作图后由正弦定理求解【详解】作图如下，由题意得A=75°，B=60°，C=45°，AB=120，故BCsin A=ABsin C，BC=120sin45°⋅sin75°，而sin75°=sin(45°+30°)=6+24，得BC=603+60故答案为：603+6033(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的△BAD 、△ACF 、△CBE 构成，其中△DEF 和△ABC 都为等边三角形.若DF =2，∠DAB =π12，则AB =.【答案】6+2##2+6【分析】设AF =BD =x ，在△ABD 中，利用正弦定理求出x 的值，再利用正弦定理可求得AB 的长.【详解】由已知△ABD ≌△CAF ，所以，AF =BD ，设AF =x ，在△ABD 中，∠ADB =2π3，∠BAD =π12，则∠ABD =π4，sin ∠BAD =sin π12=sin π3-π4 =sin π3cos π4-cos π3sin π4=6-24，由正弦定理BD sin π12=AD sin π4，即x 6-24=x +222，解得BD =AF =x =233，由正弦定理BD sin π12=ABsin 2π3得AB =BD sin 2π3sin π12=233×326-24=6+ 2.故答案为：6+ 2.34(2022春·江苏常州·高一统考期末)在△ABC 中，AB =22，BC =3，B =45°，点D 在边BC 上，且cos ∠ADC =1717，则tan ∠DAC 的值为.【答案】67【分析】首先由余弦定理求出b ，再求出sin ∠ADC ，由正弦定理求出AD ，再由余弦定理求出BD ，最后在△ADC 中由正弦定理求出sin ∠DAC ，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB =22，BC =3，B =45°，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即b 2=9+8-2×3×22×22=5，所以b =5，因为cos ∠ADC =1717，所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =41717，所以sin ∠ADB =sin π-∠ADC =sin ∠ADC =41717由正弦定理AB sin ∠ADB=AD sin B ，所以AD =172，再由余弦定理AD 2=BD 2+AB 2-2AB ⋅BD cos B ，即4BD 2-16BD +15=0，解得BD =32或BD =52，又BC =3，∠ADC ∈0,π2 ，所以BD =32，则DC =32，在△ADC 中由正弦定理AC sin ∠ADC =DCsin ∠DAC ，即541717=32sin ∠DAC，所以sin ∠DAC =68585，又AD >DC ，所以cos ∠DAC =1-sin 2∠DAC =78585，所以tan ∠DAC =sin ∠DAC cos ∠DAC=67；故答案为：6735(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =6，b =2，要使△ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取(取整数值，答案不唯一)．【答案】5(填7也对，答案不唯一)【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c <8，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有4=a -b <c <a +b =8，若c 为钝角所对边，有c 2>a 2+b 2=40，c >40，若a 为钝角所对边，有36=a 2>b 2+c 2=4+c 2，c <32，由b <a ，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是4，32 ∪40,8 , 由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7.故答案为：5(填7也对，答案不唯一).36(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC 中，以AB ，BC ，CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D ，E ，F ，若∠BAC =30°,DF =4，利用拿破仑定理可求得AB +AC 的最大值为．【答案】46【分析】结合拿破仑定理求得AD ,AF ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB +AC 的最大值.【详解】设BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图，连接AF ，BD ，AD ．由拿破仑定理知，△DEF 为等边三角形．因为D 为等边三角形的中心，所以在△DAB 中，AD =12⋅AB sin60°=c 3，同理AF =b3．又∠BAC=30°,∠CAF=30°,∠BAD=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=90°．在△ADF中，由勾股定理可得DF2=AD2+AF2，即16=c23+b23，化简得b+c2=2bc+48，由基本不等式得b+c2≤2⋅b+c22+48，解得b+c≤46(当且仅当b=c=26时取等号)，所以AB+ACmin=46．故答案为：46。

高一数学解三角形试题答案及解析

高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。

【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。

高一数学解三角形试题答案及解析

高一数学解三角形试题答案及解析1.如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：①测量②测量③测量则一定能确定间距离的所有方案的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】A.【解析】根据图形可知，可以测得，角也可以测得，利用测量的数据，求解两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定两点间的距离，故选A.【考点】解三角形的实际应用.2.锐角△ABC中，如果那么的范围是_____________.【答案】【解析】由于是锐角△ABC，则【考点】余弦定理.3.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。

【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.4.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.5.中，若，则的面积为（）．A．B．C．1D．【答案】A【解析】根据三角形面积公式可得面积为．【考点】三角形面积公式的选择和计算．6.两地相距，且地在地的正东方。

2017-2019北京高一数学下学期期末汇编：解三角形(教师版)

2017-2019北京高一数学下学期期末汇编：解三角形一．选择题（共14小题）1．（2019春•西城区校级期末）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝，A＝45°，B＝75°，则a＝（）A．B．C．1D．32．（2019春•西城区校级期末）在△ABC中，若，则a＝（）A．B．C．D．3．（2019春•平谷区期末）已知△ABC中，b＝3，c＝，B＝，那么角A大小为（）A．B．C．D．4．（2019春•海淀区校级期末）已知△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a，b，c，A＝120°，a＝，△ABC的面积为，则c+b＝（）A．4.5B．4C．5D．65．（2019春•大兴区期末）在△ABC中，a2+b2﹣c2＝ab，则∠C＝（）A．B．C．D．6．（2019春•昌平区期末）已知△ABC中，，那么角C的大小是（）A．B．C．D．7．（2019春•朝阳区期末）在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝，则B＝（）A．B．C．D．8．（2018秋•顺义区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c＝2，sin A＝2sin C，cos B＝，则△ABC的面积S＝（）A．1B．2C．D．9．（2018秋•石景山区期末）在△ABC中，a＝6，c＝4，∠A＝60°，则tan C的值是（）A．B．C．D．10．（2018秋•石景山区期末）在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．11．（2019春•东城区期末）在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形12．（2019春•朝阳区期末）如图，设A，B两点在河的两岸，某测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为（）A．50米B．50 米C．25米D．米13．（2019春•朝阳区期末）构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设BD＝2AD，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．14．（2017春•西城区期末）在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，给出下列四个结论：①以为边长的三角形一定存在；②以为边长的三角形一定存在；③以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在；④以为边长的三角形一定存在．那么，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共10小题）15．（2019春•海淀区校级期末）在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a，b，c，已知a＝1，sin A＝，sin C ＝，则c＝．16．（2019春•通州区期末）能说明命题“在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则这个三角形一定是等腰三角形”为假命题的一组A，B的值为．17．（2019春•海淀区校级期末）在△ABC中，a2﹣b2﹣c2＝bc，则A＝．18．（2019春•大兴区期末）能说明“在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B”为错误结论的一组A，B的值是．19．（2019春•东城区期末）在△ABC中，，b＝1，c＝1，则A＝．20．（2019春•西城区期末）在△ABC中，a＝2，，sin A+cos A＝0，则角B的大小为．21．（2019春•朝阳区期末）在△ABC中，已知a＝，c＝2，A＝60°，则b＝．22．（2019春•朝阳区期末）在△ABC中，b sin A sin B+a cos2B＝b，则＝23．（2019春•通州区期末）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN＝m．24．（2019春•丰台区期末）如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为海里，两艘轮船之间的距离为海里．三．解答题（共6小题）25．（2019春•平谷区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c＝2a，B＝120°，△ABC的面积S＝．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）求sin C的值．26．（2019春•西城区校级期末）在△ABC中，，（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若，求b的值．27．（2019春•通州区期末）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．28．（2019春•大兴区期末）已知△ABC是锐角三角形，a＝7，b＝8，A＝60°．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求BC边上的高．29．（2019春•东城区期末）在△ABC中，若．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，，求△ABC的面积．30．（2019春•昌平区期末）在△ABC中，a＝7，b＝5，．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求c边的长及△ABC面积的大小．2017-2019北京高一数学下学期期末汇编：解三角形参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2019春•西城区校级期末）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝，A＝45°，B＝75°，则a＝（）A．B．C．1D．3【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求C的值，进而根据正弦定理即可求解a的值．【解答】解：∵c＝，A＝45°，B＝75°，∴C＝180°﹣A﹣B＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2．（2019春•西城区校级期末）在△ABC中，若，则a＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可求a的值．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3．（2019春•平谷区期末）已知△ABC中，b＝3，c＝，B＝，那么角A大小为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可求sin C的值，进而可求C，根据三角形的内角和定理可求A的值．【解答】解：∵b＝3，c＝，B＝，∴由正弦定理，可得＝，可得：sin C＝，∵c＜b，可得C＝，∴A＝π﹣B﹣C＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．4．（2019春•海淀区校级期末）已知△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a，b，c，A＝120°，a＝，△ABC的面积为，则c+b＝（）A．4.5B．4C．5D．6【分析】由三角形的面积公式可求bc的值，根据余弦定理可求b+c的值．【解答】解：∴A＝120°，a＝，∴△ABC的面积为＝bc sin A＝×b×c，∴bc＝4，∵由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：21＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝（b+c）2﹣4，即（b+c）2＝25，∴c+b＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．（2019春•大兴区期末）在△ABC中，a2+b2﹣c2＝ab，则∠C＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理可求cos C的值，根据C的范围可求C的值．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．（2019春•昌平区期末）已知△ABC中，，那么角C的大小是（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理直接求解cos C的大小，根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，又0＜C＜π，∴C＝．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．7．（2019春•朝阳区期末）在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝，则B＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得sin B＝，结合大边对大角可得B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：∵a＝4，b＝4，A＝，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＜a，故B为锐角，∴B＝．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（2018秋•顺义区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c＝2，sin A＝2sin C，cos B＝，则△ABC的面积S＝（）A．1B．2C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得a＝2c＝4，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c＝2，∴sin A＝2sin C，由正弦定理可得a＝2c＝4，∵cos B＝，∴sin B＝＝，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题．9．（2018秋•石景山区期末）在△ABC中，a＝6，c＝4，∠A＝60°，则tan C的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得sin C＝，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵a＝6，c＝4，∠A＝60°，∴由正弦定理，可得：，可得：sin C＝，∵a＞c，C为锐角，∴cos C＝＝，tan C＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10．（2018秋•石景山区期末）在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得sin C，根据大边对大角可求C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用两角和的正弦函数公式可求sin B，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C＝＝＝，∵a＞c，C为锐角，∴cos C＝＝，∴可得：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝+＝，∴S△ABC＝ac sin B＝＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．11．（2019春•东城区期末）在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】使用正弦定理将边化角，根据比例式得出tan A＝tan B．【解答】解：在△ABC中，∵a cos B＝b cos A，∴sin A cos B＝sin B cos A，∴，即tan A＝tan B．∴A＝B．∴△ABC是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理得应用，属于基础题．12．（2019春•朝阳区期末）如图，设A，B两点在河的两岸，某测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为（）A．50米B．50 米C．25米D．米【分析】先利用三角形的内角和求出∠B＝30°，再利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°∴∠B＝30°由正弦定理可得：∴AB＝＝＝50m．故选：A．【点评】本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边，属于中档题．13．（2019春•朝阳区期末）构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设BD＝2AD，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】设AD＝x，根据余弦定理表示出AB，分别求S△ABC，S△DEF，再计算面积比即可．【解答】解：设AD＝x，因为△ABC是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成，所以BD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD cos120°代入可得AB2＝7x2，由三角形面积公式可得S△ABC＝AB2＝x2，同理S△DEF＝DE2＝x2，所以△DEF与△ABC的面积之比为＝．故选：D．【点评】本题考查了三角形面积计算问题，是基础题．14．（2017春•西城区期末）在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，给出下列四个结论：①以为边长的三角形一定存在；②以为边长的三角形一定存在；③以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在；④以为边长的三角形一定存在．那么，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①，比如a＝2，b＝2，c＝1时，，以为边长的三角形不存在；②，由+b＞c，可得a+b+2＞c，即，可判定②．③，当△ABC中为直角三角形时，不妨设c为斜边，则a2+b2＝c2，∴以a2，b2，c2为边长的三角形一定不存在；④，，，由此可判定．【解答】解：对于①，比如a＝2，b＝2，c＝1时，，以为边长的三角形不存在，故①错；对于②，∵a+b＞c，∴a+b+2＞c，即，可得②正确．对于③，当△ABC中为直角三角形时，不妨设c为斜边，则a2+b2＝c2，∴以a2，b2，c2为边长的三角形一定不存在，故③错；对于④，∵，，由此可判定④正确；故选：C．【点评】本题考查了三角形中三边的长度制约条件，属于中档题．二．填空题（共10小题）15．（2019春•海淀区校级期末）在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a，b，c，已知a＝1，sin A＝，sin C ＝，则c＝3．【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：∵a＝1，sin A＝，sin C＝，∴由正弦定理，可得：＝，可得：c＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．（2019春•通州区期末）能说明命题“在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则这个三角形一定是等腰三角形”为假命题的一组A，B的值为30°，60°（答案不唯一，满足A+B＝90°就可以）．【分析】利用余弦定理代入化简即可得出．【解答】解：∵a cos A＝b cos B，∴a×＝b×，∴化为：（a2+b2﹣c2）（a+b）（a﹣b）＝0，∴解得a＝b，或a2+b2＝c2．∴符合要求的一组A，B的值答案不唯一（满足A+B＝90°）．故答案为：30°，60°（答案不唯一，满足A+B＝90°就可以）．【点评】本题考查了余弦定理的应用、三角形形状的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．（2019春•海淀区校级期末）在△ABC中，a2﹣b2﹣c2＝bc，则A＝．【分析】由已知可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可得A的值．【解答】解：∵a2﹣b2﹣c2＝bc，∴可得：b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝﹣，∴由A∈（0，π），∴A＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．18．（2019春•大兴区期末）能说明“在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B”为错误结论的一组A，B的值是，．【分析】由二倍角公式可得A，B均为锐角，再由三角函数的诱导公式，可得所求A，B的一组值．【解答】解：在△ABC中，若sin2A＝sin2B，即2sin A cos A＝2sin B cos B，可得cos A＞0，cos B＞0，即A，B均为锐角，可得2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，能说明原命题为错误结论的一组A，B的值为，．故答案为：，．【点评】本题考查三角函数的恒等变换和诱导公式的运用，考查变形能力和推理能力，属于基础题．19．（2019春•东城区期末）在△ABC中，，b＝1，c＝1，则A＝120°．【分析】直接利用余弦定理求解．【解答】解：由余弦定理可得：cos A＝．∵0＜A＜π，∴A＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了余弦定理，属于基础题．20．（2019春•西城区期末）在△ABC中，a＝2，，sin A+cos A＝0，则角B的大小为．【分析】根据sin A+cos A＝0可得A的值，然后利用正弦定理可得C，再由三角形的内角和定理得B．【解答】解：∵sin A+cos A＝0，∴tan A＝﹣1，∴在△ABC中A＝，由正弦定理，有，∴C＝，∴，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理的应用和同角三角函数的基本关系，考查运算能力，属基础题．21．（2019春•朝阳区期末）在△ABC中，已知a＝，c＝2，A＝60°，则b＝3．【分析】由已知利用余弦定理可得b2﹣2b﹣3＝0，即可解得b的值．【解答】解：∵a＝，c＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：7＝b2+4﹣2×，即：b2﹣2b﹣3＝0，∴解得：b＝3，或﹣1（舍去）．故答案为：3．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．22．（2019春•朝阳区期末）在△ABC中，b sin A sin B+a cos2B＝b，则＝【分析】根据正弦定理，同角三角函数基本关系式结合题意即可求解．【解答】解：∵△ABC中，b sin A sin B+a cos2B＝b，∴sin2B sin A+sin A cos2B＝sin B，可得：sin A＝sin B，∴由正弦定理可得：a＝b，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．23．（2019春•通州区期末）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN＝750m．【分析】利用直角三角形求出AC，由正弦定理求出AM，再利用直角三角形求出MN的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝500m，所以AC＝500m；在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝500×＝500m；在Rt△MNA中，AM＝500m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝500×＝750m．故答案为：750．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．24．（2019春•丰台区期末）如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为海里．【分析】先连接AC，可得到BC的长度和∠CAD的值，可求AC的值，再由余弦定理将题中数据代入即可得到答案．【解答】解：连接AC，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∠CAD＝45°，可得：AC＝5，根据余弦定理可得：CD2＝AC2+AD2﹣2×AC×AD×cos∠CAD＝25+18﹣2×5×3×＝13，故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为海里．故答案为：5，．【点评】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属基础题．三．解答题（共6小题）25．（2019春•平谷区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c＝2a，B＝120°，△ABC的面积S＝．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）求sin C的值．【分析】（Ⅰ）由S＝，可得a．c的值，再由余弦定理可得b．（Ⅱ）由正弦定理可得．可得sin C．【解答】解：（Ⅰ）∵c＝2a，B＝120°，△ABC的面积S＝．∴S＝，∴a＝1．c＝2由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+4﹣2×＝7．∴．（Ⅱ）由正弦定理可得．即，∴sin C＝【点评】本题考查了正余弦定理，三角形的面积，属于中档题．26．（2019春•西城区校级期末）在△ABC中，，（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若，求b的值．【分析】（Ⅰ）首先利用正弦定理和三角函数的关系式进行变换，进一步求出B的值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，0＜A，B＜π，sin A，sin B≠0，由及正弦定理有从而．（Ⅱ）由于a＝3，B＝，所以根据，解得c＝6，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝28．解得．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，特殊角的三角函数的值的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．27．（2019春•通州区期末）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及题设，结合sin A＝sin（B+C），推出tan B＝1，求解B即可．（Ⅱ）（法一）直接利用余弦定理转化求解即可．（法二）由正弦定理得，然后通过两角和与差的三角函数，转化求解A的正弦函数，然后求解三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及题设得sin A＝sin B cos C+sin C sin B，又sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，所以sin B＝cos B，即tan B＝1，所以．（Ⅱ）（法一）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B可得：a2﹣4a﹣12＝0，解得a＝6或a＝﹣2（舍）．由得S△ABC＝6．（法二）由，，得B＞C由正弦定理得又，所以．【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理，三角形的面积的求法，考查计算能力．28．（2019春•大兴区期末）已知△ABC是锐角三角形，a＝7，b＝8，A＝60°．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求BC边上的高．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）利用余弦定理，通过运算求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知△ABC是锐角三角形，a＝7，b＝8，A＝60°．利用正弦定理得，解得sin B＝．（Ⅱ）根据a＝7，b＝8，A＝60°，利用余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得，解得c＝3或5．①当c＝3时，．由于求出的三角形为钝角三角形，故舍去．②当c＝5时，．故．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，特殊角三角函数值的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．29．（2019春•东城区期末）在△ABC中，若．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan B＝，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（Ⅱ）由余弦定理可求c，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得b sin A＝a sin B，又由b sin A＝a sin（B+），得a sin B＝a sin（B+），即sin B＝sin（B+），即sin B＝sin B+cos B，所以sin B＝cos B，可得tan B＝，又因为B∈（0，π），可得B＝．（Ⅱ）因为a＝2，，B＝，由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos，可得：3＝4+c2﹣2×，可得：c2﹣2c+1＝0，解得：c＝1，所以△ABC的面积为S＝ac sin＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．30．（2019春•昌平区期末）在△ABC中，a＝7，b＝5，．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求c边的长及△ABC面积的大小．【分析】（I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，根据正弦定理可求sin B的值．（II）在△ABC中，由余弦定理得c2+5c﹣24＝0，解方程可得c，利用三角形的面积公式即可得解．【解答】解：（I）在△ABC中，由，得sin A＝，因为，即，解得：．（II）在△ABC中，由，整理，得c2+5c﹣24＝0，解得c＝3，c＝﹣8（舍），所以．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。

高一数学下学期期末考试试题含解析3

智才艺州攀枝花市创界学校一中2021~2021年度第二学期高一年级期末考试数学试卷〔文科〕一、选择题：每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．a b >，那么以下不等式成立的是〔〕A.11a b < B.22ax bx >C.22a b>D.33x x a b > 【答案】D 【解析】【分析】取特殊值检验，利用排除法得答案。

【详解】因为a b >，那么当1,1ab ==-时11a b>，故A 错；当0x =时22ax bx =，故B 错；当1,1a b ==-时，22a b =，故C 错；因为a b >且103x >，所以33x x a b>应选D.【点睛】此题考察不等式的根本性质，属于简单题。

ABC △中，3A π∠=，6,BC AB ==C ∠=〔〕A.4π或者34πB.34πC.4π D.6π 【答案】C 【解析】由正弦定理计算即可。

【详解】由题根据正弦定理可得sin sin BC AC A C ==，解得sin 2C =，所以C ∠为4π或者34π，又因为3A π∠=，所以C ∠为4π应选C.【点睛】此题考察正弦定理，属于简单题。

}{na 满足11a==，那么10a =〔〕A.10B.20C.100D.200【答案】C 【解析】【分析】由题可得数列是以1为首相，1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出10100a =【详解】因为11a ==，所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列()111n n =+-⨯=10=，那么10100a =【点睛】此题考察由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题。

x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，那么关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是〔〕A.(,1)(3,)-∞-+∞B.(1,3)-C.(1,3)D.(,1)(3,)-∞+∞【答案】A 【解析】由不等式的解集可知0a >且1ba=；从而可解得()()30ax b x +-=的根，根据二次函数图象可得所求不等式的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+∞可知：0a >且1ba= 令()()30ax b x +-=，解得：11x =-，23x =0a >()()30ax b x ∴+->的解集为：()(),13,-∞-+∞此题正确选项：A【点睛】此题考察一元二次不等式的求解问题，关键是可以通过一次不等式的解集确定方程的根和二次函数的开口方向.5.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．〞意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤〞，假设该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤一共重多少斤？〔〕 A.6斤 B.7斤C.9斤D.15斤【答案】D 【解析】【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a=，52a =，156a a ∴+=，数列的前5项和为155553152a a S =⨯=⨯=+．即金锤一共重15斤，应选D ．【点睛】此题主要考察等差数列求和公式的应用，意在考察运用所学知识解答实际问题的才能，属于根底题.}{na 前n 项和为nS，满足1020S S =，那么以下结论中正确的选项是〔〕A.15S 是n S 中的最大值B.15S 是n S 中的最小值C.150S = D.300S =【答案】D 【解析】此题考察等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质. 设公差为,d 那么由等差数列前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+知：n S 是n 的二次函数；又1020S S =知对应二次函数图像的对称轴为102015;2n +==于是对应二次函数为2()(15);f n a n b =-+无法确定000;aa a =><或或所以根据条件无法确定n S 有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有(0)(30)0,f f ==即300.S =应选D}{na 中，23711440aa a -+=，数列}{nb 是等比数列，且77b a =，那么68b b =〔〕A.4B.8C.16D.64【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列性质可求得7a ，再利用等比数列性质求得结果. 【详解】由等差数列性质可得：()222371131177744480a a a a a a a a -+=+-=-=又{}n a 各项不为零78a ∴=，即78b =由等比数列性质可得：268764b b b ==此题正确选项：D【点睛】此题考察等差数列、等比数列性质的应用，属于根底题.ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，假设sin cos 0b A B =，且三边,,a b c 成等比数列，那么2a cb+的值是〔〕A.4B.2C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理整理可得tan B=，进而可知在三角形中3B π=，由,,a b c 成等比数列得2b ac =，再根据余弦定理化简配方，从而得出答案。

高一年级第二学期数学试题(解三角形)

2018~2019学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题（解三角形）一、填空题（每小题5分，共70分）1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果sin A ∶sin B ∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2. 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B＝________.3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，那么C ＝________.4. 在△ABC 中，若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，则A ＝________.5. 如图，一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B＝23sin C ，则A ＝________.7. (2017·武汉调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则C ＝________.8. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为________．9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.10. 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，则△ABC 的形状为________三角形．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C＝60°，c ＝3，则原创·仿真模拟a ＋23cos Asin B＝________.12. 在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.13. 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 14. 在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．二、解答题（每小题18分，共90分）15. 已知函数()x f ＝3sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛≤220πϕπω＜—，＞的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπα＜＜f ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值．16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .（1）求角B 的大小；（2）若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A－sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . （1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．18. 已知函数()x πx x f 2sin 32cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛+= （1）求函数()x f 的最小正周期和值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，()A f ＝12－34，求△ABC 的面积S .19.“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱距到达地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．（1）求B，C两救援中心间的距离；（2）求D救援中心与着陆点A间的距离．2018~2019学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题（解三角形）参考答案1．－14 2．4 3．π4 4．π4 5．302 6．π6 7．π4 8．(2，3) 9．45°10．锐角解析由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即c 3＜ca 2＋cb 2，所以c 2＜a 2＋b 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形． 11．4解析由正弦定理知a sin A ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入原式得＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.12．562解析如图，在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3.由余弦定理可得cos ∠ADC ＝25＋9－4930＝－12， ∴sin ∠ADC ＝32＝sin ∠ADB .在△ABD 中，B ＝45°，AD ＝5，sin ∠ADB ＝32，由正弦定理可得5sin 45°＝AB sin ∠ADB ＝AB 32，∴AB ＝562.13．6－24解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥2 34a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．14．4 3解析在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ， ∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3. 15．（1）因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－π6＋k π，k ∈Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.（2）由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.16．（1）由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.（2）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )，即2sin B cos A ＝3sin B .因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m (m >0)，则BC ＝m ，所以CM ＝12m . 在△AMC 中，由余弦定理，得AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM ·AC ·cos 2π3，即(7)2＝14m 2＋m 2－2·12m ·m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得m 2＝4，解得m ＝2.所以S △ABC ＝12CA ·CB sin 2π3＝12×2×2×32＝ 3. 17．（1）因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0. 由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.（2）设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3，可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，得 BD sin θ＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ADsin π3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，可知θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3. 此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.18．（1）∵函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.（2）∵2AC →·CB→＝2ab ，∴2ab ·cos(π－C )＝2ab ，cos C ＝－22，∴C ＝3π4.又f(A)＝12－34，∴12－32sin 2A＝12－34，sin 2A＝12，∴A＝π12，∴B＝π6.由正弦定理，得asin π12＝bsinπ6＝csin3π4，即a6－24＝b12＝2222，解得a＝6－2，b＝2.∴S＝12ab sin C＝3－1.19．（1）由题意知P A⊥AC，P A⊥AB，则△P AC，△P AB均为直角三角形，在Rt△P AC中，P A＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝3 3，在Rt△P AB中，P A＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝3，又∠CAB＝90°，BC＝AC2＋AB2＝303(万米)．（2）sin∠ACD＝sin∠ACB＝310，cos∠ACD＝－110，又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝33－1 210，在△ADC中，由正弦定理，得ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，AD＝AC·sin∠ACDsin∠ADC＝9＋313(万米)．。

2020高一数学下学期高一数学必修4_解三角形测试卷

必修 5《解三角形》测试卷一、选择题（12×5=60）1、在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有 2 个解的是（）A . b=10，A= ，C=B .a=60，c=48，B=60C .a=7，b=5，A=80D .a=14，b=16，A=452、在 ABC 中，A 60, a 43, b 4 2 ，则B 等于（）A.45或135B.135C.45D. 以上答案都不对3、 ABC 中，是（）sin A : sin B : sin C = 2 : 6 : ( 3 + 1)，则三角形的最小内角A.60B.45C.30D.以上答案都不对4、在 ABC 中，A = 60，b=1，面积为3 ，求a b c sin A sin B sin C的值为（）A.2 39 3B.13C.２13D.39 35、在△ABC 中，三边长 AB=7，BC=5，AC=6，则 AB • BC 的值为（）A. 19B. -14C. -18D. -196、 A 、B 是△ABC 的内角，且 cos A sin B 5 5 13，则 sin C 的值为（）A.63 15或 65 65B.6365C.16 63或 65 65D.16657、ABC 中，a=2，A= 30 ，C= 45，则 ABC 的面积为（）45 703 ，A.2B.2 2C.3 + 1D.1 2( 3 +1)ABCsin B si n Ccos 2A 2，则是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9、已知 ABC 中， AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（） A. 0 C6B. 0 C2 C.6C2D.6C310、若以 2，3， x 为三边组成一个锐角三角形，则 x 的取值范围是（）A. 1<x<5B.5 < x < 5C.1 < x < 13D.5 < x < 1311 、在ABC中，已知a 8, B 60 , C 75，则b（）（A ）42（B ）4 3（C ）46（D ）32312、在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°，则塔高为（）A.400 3米B.400 3 3米C. 2003 米D. 200 米二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13、三角形两条边长分别为 3cm ，5c m ，其夹角的余弦是方程5 x 27 x 6 0 的根，则三角形面积为。

高一下学期期末复习解三角形数学试题

解三角形复习题一、单选题1．在ABC 中，若105A ，30C =，b =c =（）A ．2B C D ．12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若2cos b a C =⋅，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3B π=，3b =，a =则c =（）．A B ．C ．3D ．34．某人遥控一机器人，让机器人从点A 发向正北方向走了到达点B 后，向右转105︒，然后朝新方向走了x km 后到达点C ，结果发现机器人在点A 的东北方向，则x 为（）A B ．C D ．5．在ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b =23B π=，则A 等于（） A ．4πB ．12πC ．6π D ．34π 6．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a b =，3sin 5A =，则sinB 的值为（） A ．15B ．115C ．13D ．597．在平行四边形ABCD 中，2,1,60o AB AD BAD ==∠=，则cos BAC ∠的值是（）A B ． C ． D 8．如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40，灯塔B 在观察站南偏东60，则灯塔A 在灯塔B 的（）A ．北偏东10B ．北偏西10C ．南偏东80D ．南偏西809．在ABC 中，若3sin b B =，cos cos A C =，则ABC 形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形10．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若60A =，6c =，6a =，则此三角形有（）A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解11．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2b C A A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且a =ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．12．在ABC 中，sin :sin :sin A B C =，则ABC 最大角和最小角之和为（） A ．90° B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b =23B π=，则A 等于_______．14．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3C π=，2b =，c =则角B =_____．15．在ABC 中，若()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则ABC 是________三角形．2π三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 恰好．．满足下列四个条件中的三个：①1cos 2A =；②1cos 2B =-；③a =1b =．（1）请指出这三个条件（不必说明理由）；（2）求边c ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B -+=-．（1）求角A 的大小；（2）若1a =，b =，求角B ．19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin B b A = （1）求角B 的大小；（2）若cos 3A =，求sin(2)A B -的值；（3）若2b =，2c a =，求边a 的值.20．ABC 中，角,,A B C 的对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A += （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.21．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.22．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长解三角形复习题参考解析1．A【解析】因为105A ，30C =，所以45B =，则sin sin b cB C=122c=，解得2c =，故选：A. 2．A【解析】由题设，结合正弦定理有sin 2sin cos B A C =，而()B A C π=-+， ∴sin()sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C A C +=+=，即sin()0A C -=，又0,A C <<π，∴A C =.故选：A3．B【解析】在ABC中，由余弦定理得：22222cos 39b a c ac B c =+-=+=，即260c -=，解得：c =c =，c ∴=故选：B.4．D【解析】由题意可知60ACB ∠=︒，45BAC ∠=︒，sin 45x=︒，即x =故选：D 5．A【解析】在ABC中，3a =，b =23B π=，由正弦定理可得sin sin a b A B =，所以sin sin 2a B Ab ==，因为a b <，所以A B <，可得20,)3A π∈（，所以4A π=.故选：A . 6．A【解析】由正弦定理可知：31sin 3sin sin sin 55a b b b B A B B =⇒=⇒=，故选：A7．A【解析】如图所示，在平行四边形ABCD 中，2,1,60o AB AD BAD ==∠=，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2221221cos1207=+-⨯⨯=，即AC =又由222cos2AC AB BC BAC AC AB +-∠===⋅故选：A.8．D 【解析】AC BC =，40CAB CBA ∴∠=∠=，60BCD ∠=，30CBD ∴∠=，403010DBA ∴∠=-=，∴灯塔A 在灯塔B 的南偏西80.故选：D.9．C【解析】由正弦定理知：2sin b R B =，2sin a R A =，则3sin b B =可化为：32sin 2sin sin R B R A B ⨯=. 因为0180B << ，所以sin 0B ≠，所以sin A =，可得60A =或120，又因为cos cos A C =，所以A C ∠=∠，所以60A =，60C =，180606060B ∠=--=，所以ABC 为等边三角形.故选：C. 10．B【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c aC A= ，因为6a =，6c =，60A = ，所以sin C =，所以60C =或120C =（舍），由三角形的内角和可得：180606060B =--=，所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.11．B 【解析】由1sin cos sin cos 2b C A A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭，得()1cos sin cos cos sin sin sin 2b A A A C A C B =+=+=，即1cos sin 2b A B =，即2sin cos b B A =，由正弦定理可得：sin sin a b A B = 2cos A=，即tan A =，由0A π<<,则3A π=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,即22122b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当c b =时取得等号. 所以12bc ≤ ，ABC 面积11sin 1222S bc A =≤⨯= ，故选：B12．B【解析】由正弦定理得sin :sin :sin ::A B C a b c ==所以最大角为B ，最小角为A ，所以设,5,,0a k b k c k ===>，所以由余弦定理得：222222225211cos 2102a b c k k k C ab k +-+-===，因为()0,C π∈，所以3C π=，所以120A B += ，故选：B13．4π【解析】因为ABC 中，3a =b =23B π=，由正弦定理，可得sin sin a b A B =，所以sin sin 2a B Ab ==，因为a b <，所以A B <，所以2(0,)3A π∈，可得4A π=． 14．4π【解析】由正弦定理可得sin sin b c B C=，所以，2sin sin sin 2b C B c π===. 因为b c <，则B C <，所以，B 为锐角，因此，4B π=.15．直角【解析】依题意()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=，222sin sin sin A B C -=，由正弦定理得222222,a b c a b c -==+，所以三角形ABC 是直角三角形. 16【解析】根据定理可得AC ==== 17．【解析】（1）①③④ （2）方法一：因为1cos 2A =，所以60A =︒，又因为sin sin a bA B=，且a =1b =，所以1sin 2B =，所以30B =︒，所以90C =︒，所以2c =．方法二：因为2222cos a b c bc A =+-，且1cos 2A =，a =1b =，所以220c c --=，所以2c =．18．【解析】（1）由已知，()()()a b a b c c b -+=-，∴222bc c b a =+-，而2221cos ,022c b a A A bc π+-==<<，∴3A π=.（2）由（1）及正弦定理知：sin sin a b A B =，则1sin 322B ==，∴6B π=或56B π=，又0A B π<+<，∴6B π=. 19．【解析】（1cos sin sin A B B A =，而A 为ABC 的内角，sin B B =，即tan B =0B π<<，可得3B π=，（2）2sin(2)sin 2cos cos2sin 2sin cos cos (2cos 1)sin A B A B A B A A B A B -=-=--，∵cos A =，0A π<<，可得sin A =1cos ,sin 2B B ==，∴sin(2)A B -==，（3）由余弦定理知：2222cos a c ac B b +-=，又2b =，2c a =，1cos 2B =，∴234a =，可得a =20．【解析】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，可得sin 2sin cos A A A =，在ABC 中，0A π<<，sin 0A ≠，可得：1cos 2A =，故3A π=；（2）由（1）知3A π=，且2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=2b c bc bc bc bc +-≥-=，所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，当且仅当4b c ==时取等号，所以ABC 21．【解析】（1）因为角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+，又∵180A B C ︒++=，所以60A =︒.（2）∴1sin 2ABC S bc A =⋅=△ 22．【解析】因为2AB AD ==，60A ∠=︒，所以ABD △为正三角形，所以2,60BD ABD =∠=，因为//AD BC ，60A ∠=︒，所以12060ABC DBC ∠=∴∠=因此22225225cos6019CD CD =+-⨯⨯⨯=∴=。

高一数学下学期期末考试试题含解析试题

【答案】B
【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，那么，解出，所以，选C.
11. 正四面体中，是的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，那么，或者其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，那么，，．应选B．
点睛：两角用正弦定理求解
3. 以下命题正确的个数为
①梯形一定是平面图形；
②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
假如两个平面有三个公一共点，那么这两个平面重合.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2 ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=2 ，球的半径为：；
点睛：(1)此题主要考察空间直线平面的位置关系，意在考察学生对这些根底知识的掌握程度和空间想象才能.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵敏选择方法判断.
4. 在数列中，，那么等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：逐一求解。
A. B. C. D.
【答案】A

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