第10章 一元回归及简单相关分析
第十章 一元线性回归
第十一章 一元线性回归一、填空题1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。
2、若回归方程的判定系数R 2=0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。
3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2为____________。
4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692=∑x， a=b ，则趋势方程中的b=______。
5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。
估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。
6、相关系数的取值范围_______________。
7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。
8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。
9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。
10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。
11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。
二、单选题1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ）A 、 增加70元B 、 减少70元C 、增加80元D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。
A 、强相关B 、弱相关C 、不相关D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。
A 、完全相关B 、无关系C 、不完全相关D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。
A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
回归分析
回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归，多元回归 基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式，是否 是我们所要的，要看回归方程的显著性检验（F 检验）和回归系数b的显著性检验(T检验)，还要 看拟合程度R2 (相关系数的平方,一元回归用R Square，多元回归用Adjusted R Square)
(Prob(event) <0.5 预测事件将不会发生， > 0.5 预测事件将会发生）
补充：回归分析
以下的讲义是吴喜之教授有 关回归分析的讲义，很简单， 但很实用
定量变量的线性回归分析
对例1(highschoo.sav)的两个变量的数据进行线性回归， 就是要找到一条直线来最好地代表散点图中的那些点。
b0为常数项 b1、b2、…、称为y对应于x1、x2、…、xn的偏回归系数 用Adjusted R2调整判定系数判定一个多元线性回归方程的拟合程度：
用来说明用自变量解释因变量变异的程度（所占比例）
一元线性回归模型的确定:一般先做散点图(Graphs ->Scatter>Simple),以便进行简单地观测（如：Salary与Salbegin的关系) 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方程，若不呈线 性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳 方程式（曲线估计）
关系是否有线性特点
Graphs ->Scatter->Simple X Axis： Salbegin Y Axis： Salary
2. 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性回归模型
Analyze->Regression->Linear Dependent: Salary Independents: Salbegin,prevexp,jobtime,jobcat,edcu等变量 Method: Stepwise
一元线性回归
《土地利用规划学》一元线性回归分析学院：资源与环境学院班级：2013009姓名：x学号：201300926指导老师：x目录一、根据数据绘制散点图： (1)二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： (1)1）最小二乘法原理 (1)2）求回归直线方程的步骤 (3)三、回归模型的检验： (4)1）拟合优度检验（R2）： (4)2）相关系数显著性检验： (5)3）回归方程的显著性检验（F 检验） (6)四、用excel进行回归分析 (7)五、总结 (15)一、根据数据绘制散点图：◎由上述数据，以销售额为y 轴（因变量），广告支出为X 轴（自变量）在EXCEL 可以绘制散点图如下图：◎从散点图的形态来看，广告支出与销售额之间似乎存在正的线性相关关系。
大致分布在某条直线附近。
所以假设回归方程为：x y βα+=二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： 1）最小二乘法原理年份 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 广告支出（万元）x 4.00 7.00 9.00 12.00 14.00 17.00 20.00 22.00 25.00 27.00销售额y7.00 12.00 17.00 20.00 23.00 26.00 29.00 32.00 35.00 40.00最小二乘法原理可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式。
考虑函数y=ax+b ，其中a,b 为待定常数。
如果Pi(xi,yi)（i=1,2,...,n ）在一条直线上，则可以认为变量之间的关系为y=ax+b 。
但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记Ei=yi-(axi+b)，它反映了用直线y=ax+b 来描述x=xi ，y=yi 时，计算值y 与实际值yi 的偏差。
当然，要求偏差越小越好，但由于Ei 可正可负，所以不能认为当∑Ei=0时，函数y=ax+b 就好好地反应了变量之间的关系，因为可能每个偏差的绝对值都很大。
一元线性回归原理_各种详细
第二节简单线性相关与回归分析一、相关系数及其检验（一）相关系数的定义单相关分析是对两个变量之间的线性相关程度进行分析。
单相关分析所采用的尺度为单相关系数，简称相关系数。
通常以ρ表示总体的相关系数，以ｒ表示样本的相关系数。
总体相关系数的定义式是：ρ＝（7.1）式中，Cov（X，Y）是变量X和Y的协方差；Var(X)和Var(Y)分别为变量X和Y的方差。
总体相关系数是反映两变量之间线性相关程度的一种特征值，表现为一个常数。
样本相关系数的定义公式是：（7.2）上式中，和分别是Ｘ和Ｙ的样本平均数。
样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体的数值也会有所差异。
容易证明，样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。
（二）相关系数的特点样本相关系数ｒ有以下特点：1.ｒ的取值介于－１与１之间。
2.当ｒ＝０时，Ｘ与Ｙ的样本观测值之间没有线性关系。
3.在大多数情况下，０＜｜ｒ｜＜１，即Ｘ与Ｙ的样本观测值之间存在着一定的线性关系，当ｒ＞０时，Ｘ与Ｙ为正相关，当ｒ＜０时，Ｘ与Ｙ为负相关。
4.如果｜ｒ｜＝１，则表明Ｘ与Ｙ完全线性相关，当ｒ＝１时，称为完全正相关，而ｒ＝－１时，称为完全负相关。
5.ｒ是对变量之间线性相关关系的度量。
ｒ＝０只是表明两个变量之间不存在线性关系，它并不意味着Ｘ与Ｙ之间不存在其他类型的关系。
对于二者之间可能存在的非线性相关关系，需要利用其他指标去进行分析。
关于这一问题，我们将在后面作进一步讨论。
（三）相关系数的计算具体计算样本相关系数时,通常利用以下公式：（7.3）上式是由样本相关系数的定义式推导而来的。
【例7-1】表7－2是2000年我国部分省市自治区城镇居民人均消费性支出和人均可支配收入的有关资料，试利用表中的数据计算消费性支出与可支配收入的样本相关系数。
)()(),(YVarXVarYXCov∑∑--∑--=22)()())((YYXXYYXXrttttX Y∑∑-∑∑-∑∑∑-=))(())((2222ttttttttYYnXXnYXYXnr资料来源：《中国统计摘要》，中国统计出版社2001年5月版解：将表7-2中的有关数据代入（7.3）式,可得:（四）相关系数的检验在实际的客观现象分析研究中，相关系数一般都是利用样本数据计算的，因而带有一定的随机性，样本容量越小其可信程度就越差。
一元线性回归分析
(n
2)
S2 ˆ0
2 ˆ0
:
2(n 2)
S 2 ˆ1
S2
n
（Xt X )2
t 1
(n
2)
S2 ˆ1
2 ˆ1
:
2(n 2)
所以根据t分布的定义，有
ˆ0 0 ~ t(n 2), ˆ1 1 ~ t(n 2)
Sˆ0
Sˆ1
进而得出了0的置信水平为1-区间估计为
et Yt Yˆt称为残差，与总体的误差项ut对应，n为样 本的容量。
样本回归函数与总体回归函数区别
1、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数 据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。
2、总体回归函数中的β0和β1是未知的参数，表现为常数。而样
本回归函数中的 ˆ0和是ˆ1 随机变量，其具体数值随所抽取
S 44.0632
Sef S
1 1 n
( X f X )2
n
45.543
( Xt X )2
t 1
所求置信区间为：(188.6565 97.6806)
回归分析的SPSS实现
“Analyze->Regression->Linear”
0
n
2 t1 Xt (Yt ˆ0 ˆ1 Xt ) 0
nˆ0
n
ˆ1
t 1
Xt
n
Yt
t 1
n
n
n
ˆ0
t 1
Xt
ˆ1
t 1
X
2 t
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
一元线性回归分析报告
实验报告金融系金融学专业________________ 级_____________ 班实验人：实验地点：____________________ 实验日期： ______________实验题目：进行相应的分析，揭示某地区住宅建筑面积与建造单位成本间的关系实验目的：掌握最小二乘法的基本方法，熟练运用Eviews软件的一元线性回归的操作，并能够对结果进行相应的分析实验内实验米用了建筑地编号为1号至12号的数据，通过模型设计、估计参数、检验统计量、回归预测四个步骤对数据进行相关分析。
实验步骤:、模型设定1.建立工作文件。
双击eviews，点击File/New/Workfile，在出现的对话框中选择数据频率，因为该例题中为截面数据，所以选择中设定变量个数，这里输入12。
unstructured/undated 在observations WorkfEle CreateV.'orkfite structure t/pe^j^nstructured f Undated 一刁Irregular Dated and Panelworkfies may be made fromUnstructured! workfiles bylater specifying date and/or other identifie r series.OK Cancel -Dmta range Observations：112Names [optionaf) WF: IPage：f2.输入数据。
在eviews命令框中输入data X 丫，回车出现group窗口数据编辑框，在对应的X,Y 下输入数据，这里我们可以直接将excel 中被蓝笔选中的部分用cirl+c复制，在窗口数据编辑框中1所对应的框中用cirl+v 粘贴数据。
3.作X 与丫的相关图形。
为了初步分析建筑面积（X ）与建造单位成本（丫）的关系,可以作以X 为横坐标、以Y 为纵坐标的散点图。
第10章 回归分析
7
解： 依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘 法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。 因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。 可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。 其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回 归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验 （α＝0.05）。 解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f， 所得的经验公式有意义。
14
应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实 验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜ 容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所 以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。 所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。 设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关 系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：
生物统计学课程教案
二、导入新课（需时3分钟）
生物统计学是应用数理统计学（mathematical statistics）的原理和方法来分析和解释生物界数量现象的科学，也可以说是数理统计学在生物学研究中的应用，它是应用数学的一个分支，属于生物数学的范畴。
5、布置作业（需时2分钟）
作业题
和思考
题布置
教材：P20/5、P21/12
参考资料
教材：1.生物统计学，杜荣骞编，第三版，高等教育出版社，2009.
参考书目：
1．EXCEL在统计分析中应用，王文中编中国铁道出版社，2003.
2.生物统计学郭平毅编，中国林业出版社，2006.
3.生物统计学李春喜，第三版，科学出版社，2006.
教学方法
和手段
教学过程
1、巩固复习（需时10分钟）
通过提问等方式复习上次课的学习的内容的加以总结，增强对知识的了解与记忆。
2、导入新课（需时1分钟）
第1章中对总体和样本的概述以及样本数据的处理方法做了一般介绍。用某个样本去推断同一总体将得出不同结论。这些结论不可能都是正确的。
3、讲授新课（需时75分钟）
第一节概率的基本概念
一、随机现象与统计规律
二、统计规律——频率的稳定性
三、概率的统计定义
四、概率的古典定义
五、概率的一般运算
第二节概率分布
一、随机变量
二、离散型随机变量的概率分布
三、连续型随机变量的概率分布
四、总体特征数
4、归纳总结（需时3分钟）
本次课主要学习了概率的基本概念、概率分布、总体特征数。
参考资料
教材：
1.生物统计学，杜荣骞编，第三版，高等教育出版社，2009.
1340076《生物统计学》教学大纲_新_杜荣骞60
GDOU-B-11-213《生物统计学》课程教学大纲课程简介课程简介:课程讲授的主要内容是：生物统计学的基本概念与基本方法，其中包括试验资料的整理、特征数的计算、概率与概率分布、抽样分布、平均数的统计推断、参数估计、拟合优度检验、方差分析、直线回归与相关分析、多元回归与相关分析、实验设计的基本原理与方法，函数型电子计算器的使用方法和常用生物统计软件( SAS, Excel )的应用等。
课程大纲一、课程的性质与任务：《生物统计学》是生物科学专业重要的专业基础课程之一。
它是数理统计的原理和方法在生物科学研究中的应用，是一门应用数学。
它不仅提供如何正确地设计科学试验和收集数据的方法，而且也提供如何正确地整理、分析数据，得出客观、科学的结论的方法。
学生在已学《高等数学》和《线性代数》等课程的基础上，通过本课程的学习，不仅可以掌握基本的试验(调查)设计和统计分析方法，而且能够较灵活的应用这些基本方法与手段分析和解释生物学现象、进行生物学研究的实验设计及其数据资料的处理，同时也是学生将来从事科研和管理工作所必需的知识。
二、课程的目的与基本要求：学完本课程后在教学内容上达到“基本概念清晰，基本方法熟练，基本原理了解，基本运算正确”，熟练掌握所介绍的几种基本的试验设计方法，能独立、正确进行试验设计；熟练掌握所介绍的几种基本的生物统计方法；熟练掌握函数型电子计算器的使用方法，能独立进行畜牧试验结果的统计分析；在学生能力的培养上达到：1、培养学生科学的统计思维方法“有很大的可靠性但有一定的错误率”这是统计分析的基本特点，因此在生物统计课程的学习中要培养一种新的思考方法——从不肯定性或概率的角度来思考问题和分析科学试验的结果。
2、培养学生科学的计算能力和表达能力本门课程的概念多、公式多、表格多，许多判断和推理过程都是在经过仔细的计算、分析后得出的，结果的表达也是非常简洁和严密的。
因此学习过程中要注意培养学生正确的计算能力和表达能力。
一元回归分析
二、一元回归分析
相关分析与回归分析的研究目标和研究方法是有明 显区别的。从研究目的上看，相关分析是用一定的数量 指标度量变量间相互联系的方向和程度，通过抽象的相 关系数来反映变量之间相关关系的程度；而回归分析是 要寻求变量间联系的数学形式，建立的回归方程反映的 是变量之间的具体变动关系，而不是抽象的系数。根据 回归方程，利用自变量的给定值可以估计或推算出因变 量的数值。
存关系的研究，用适当的数学模型去近似地表达或估计变量
之间的平均变化关系，其目标是要根据已知或固定的自变量
的数值去估计因变量的总体平均值。
二、一元回归分析
2 相关分析与回归分析的联系和区别 .
相关分析和回归分析是互相补充、密切联 系的。相关分析需要回归分析来表明数量关系的 具体表现形式，而回归分析则应该建立在相关分 析的基础上。只有依靠相关分析，对现象的数量 变化规律判明具有密切相关关系后，再进行回归 分析，求其相关的具体表现形式，这样才具有实 际意义。
二、一元回归分析
3. 样本回归函数
通常总体包含的单位数很多，无法掌 握所有单位的数值，故总体回归函数实际 上是未知的，我们能做到的就是对应于自 变量X的选定水平，对因变量Y的某些样本 进行观测，然后通过对样本观测获得的信 息去估计总体回归函数。
二、一元回归分析
以例8-5中100个家庭的 可支配收入与消费支出为例， 假设从100个家庭的总体中各 随机抽取10个家庭进行观测， 形成了两个随机样本，可将两 个随机样本的数据绘制成散点 图，如图8-9所示。
二、一元回归分析
1 回归的概念 .
“回归”一词是由英国生物学家高尔顿（Galton）在遗
传学研究中首先提出的。他发现相对于一定身高的父母，子
女的平均身高有朝向人类平均身高移动或回归的趋势。这就
一元线性回归模型
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
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• 含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的 平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化 的规律。
• 函数形式：可以是线性或非线性的。
从变量相关关系变化的方向看
正相关——变量同方向变化 ➢例：生产率提高，产品产量增加 负相关——变量反方向变化 ➢例：价格上升，产品需求量下降
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●总体相关系数
统计依赖关系
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 回归分析 无因果关系 相关分析
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2. 回归分析的基本概念
• 回归分析(regression analysis)是研究一 个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关 系的计算方法和理论。
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二者在一定条件下可以相互转换 函数关系 考虑对变量的测量误差 相关关系 相关关系 考虑全部影响因素 函数关 系
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相关关系的种类
从涉及的变量（或因素）数量看 （1）单相关——又称一元相关，指两个变 量之间的相关关系。
第10章相关分析及回归分析
第八章相关与回归分析一、本章重点1.相关系数的概念及相关系数的种类。
事物之间的依存关系，能够分为函数关系和相关关系。
相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。
2.相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数和进行相关系数的推断。
相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方式是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着紧密的关系,取得样本相关系数后还要对整体相关系数进行科学推断。
3.回归分析，着重掌握一元回归的大体原理方式，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。
用最小平方式估量回归参数，回归参数的性质和显著性査验，随机项方差的估量，回归方程的显菁性査验, 利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。
4.应用相关与回归分析应注意的问题。
相关与回归分析都有它们的应用范围，必需明白在什么情形下能用，什么情形下不能用。
相关分析和回归分析必需以定性分析为前提，不然可能会闹岀笑话，在进行预测时选取的样本要尽可能分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情形下才能进行，若是条件发生了转变，原来的方程也就失去了效用。
二、难点释疑本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。
为了辜握大体计算的内容,最少应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全数计算题。
初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy. Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。
若是能自己把这些公式推证一下，弄清其关系，那就更易记住了。
三、练习题（一）填空题1事物之间的依存关系，按照其彼此依存和制约的程度不同，能够分为（）和（）两种。
2.相关关系按相关关系的情形可分为（）和（）;按自变量的多少分（）和（）；按相关的表现形式分（）和（）；按相关关系的紧密程度分（）、（）和（）；按相关关系的方向分（）。
第10章 直线回归与相关分析
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验： 回归关系的假设测验： 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时，我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法： 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法：t测验或F测验
由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， 由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的 [31.7，44.2]；如要在x 31.7或 44.2的 区间外延，则必须有新的依据。 区间外延，则必须有新的依据。
整理后可得： 整理后可得：
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
2
上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组
一元线性回归模型案例分析
一元线性回归模型案例分析一、研究的目的要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。
居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。
改革开放以来随着中国经济的快速发展，人民生活水平不断提高，居民的消费水平也不断增长。
但是在看到这个整体趋势的同时，还应看到全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。
例如，2002年全国城市居民家庭平均每人每年消费支出为6029.88元, 最低的黑龙江省仅为人均4462.08元，最高的上海市达人均10464元，上海是黑龙江的2.35倍。
为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。
影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。
为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
二、模型设定我们研究的对象是各地区居民消费的差异。
居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。
而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。
所以模型的被解释变量Y 选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。
因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。
因此建立的是2002年截面数据模型。
影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。
市场调查与预测第10章 因果分析预测法
3.t检验 适用于小样本（n≤30），主要是检验参数 b在 某一显著性水平 α 上是否显著为零。其实质是检验 x是否对 y有显著影响。 4. 置信区间 假定要选择一个置信范围，使每一个特定的 y 值落在该 y的置信区间的概率为 90% ，那么计算 近似置信区间的常用公式为
8
10.1.4 简单回归预测应注意的问题
在市场预测的定量方法中，因果分析预测法 是与时间序列预测法不同的另一类预测方法。时 间序列法侧重从时间轴来考虑预测对象的变化和 发展，时间序列发展数学模型一般都是时间的函 数。而因果分析预测法是一类从分析事物变化的 因果联系入手，通过统计分析和建立数学模型揭 示预测目标与其他有关的经济变量之间的数量变 化关系，据此进行预测的方法，即把其相关因素 的变化看做“因”，把预测对象的变化看做“果 ”，建立因果之间的数学模型，并根据相关因素 的变化，推断预测对象的变动趋势。
1
10.1 一元回归分析预测法 一元回归分析预测法又称简单回归预测法。它 是利用已有统计数据资料，建立起一个只含自变量 的回归方程，并以这个自变量的一个已知值代入方 程去预测该方程的因变量变动趋势的方法。 10.1.1 分析影响预测目标的相关因素，选定自 变量 预测目标确定以后，首先要依据相关的经济 理论和实践经验，在收集大量有关数据资料的基础 上，通过理论分析和统计分析，找出影响预测目标 发展方向和变化程度的各种因素。
2.选定自回归模型 首先要计算出各个自变量数列的自相关系数。 自相关系数的计算方法和一般相关系数的计算方法 相同。自相关系数绝对值的大小，表明各个自变量 数列与因变量数列之间相关性的密切程度。 3.估计参数，建立预测方程进行预测 线性自回归模型参数通常用最小平方法推算的 公式估计，和一般线性回归模型的参数估计方法完 全相同。
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第十章一元回归及简单相关分析10.1对尿毒症患者采用低蛋白并补加基本氨基酸的食物进行治疗，分析该疗法对患者体内一些成分的影响。
以下数据是在治疗前患者的基本数据[64]：体重（BW）/kg 体内总钾（TBK）/mmol血清尿素（UREA）/（mmol·L-1）73 3 147 1970 3 647 3672 3 266 2553 2 650 2597 3 738 3477 3 982 3663 2 900 4954 3 194 3866 3 930 1653 3 419 3470 3 978 3463 2 747 2665 4 181 4688 3 678 4182 3 540 3969 3 912 1991 4 138 3562 2 896 4374 3 410 5090 3 679 2374 3 855 3871 2 750 5059 3 583 3180 3 268 4766 2 846 45115 4 804 65111 5 290 3864 2 960 4571 3 610 2469 2 905 31计算三者之间的相关系数，并检验相关的显著性。
答：所用程序及计算结果如下：options linesize=76 nodate;data uremia;infile 'e:\data\er10-1e.dat';input bw tbk urea @@;run;proc corr nosimple;var bw tbk urea;run;The SAS SystemCorrelation Analysis3 'VAR' Variables: BW TBK UREAPearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / N = 30BW TBK UREA0.0 0.0001 0.1257TBK 0.70594 1.00000 0.09661 0.0001 0.0 0.6116UREA 0.28582 0.09661 1.00000 0.1257 0.6116 0.0三个变量间，只有体重(BW)和体内总钾(TBK)间相关显著，r ＝0.705 94。
相关系数的显著性概率P ＝0.000 1。
10.2 还是上例，经过一年的饮食治疗后，体内总钾量与治疗前的总钾量，如下表[64]：病人号治疗后 /mmol治疗前 /mmol16 3 246 3 147 22 3 272 3 647 25 3 110 3 266 28 2 006 2 650 392 8792 90047 3 620 3 930 51 3 597 3 978 53 3 080 2 747 56 3 420 3 678 382 2802 40054 2 360 2 105 582 490 2 530以治疗前为自变量，治疗后为因变量，计算回归方程，并检验回归的显著性。
答：计算结果如下：The SAS SystemThe REG Procedure Model: MODEL1Dependent Variable: afterAnalysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 1 2573589 2573589 39.40 <.0001 Error 10 653264 65326 Corrected Total 11 3226853Root MSE 255.59029 R-Square 0.7976 Dependent Mean 2946.66667 Adj R-Sq 0.7773 Coeff Var 8.67388Parameter EstimatesParameter StandardVariable DF Estimate Error t Value Pr > |t|Intercept 1 560.15163 387.31612 1.45 0.1787 before 1 0.77447 0.12339 6.28 <.0001回归方程为：X Y 47774.063151.560ˆ+=t 检验的显著性概率P <0.000 1。
故回归系数极显著。
10.3调查河流中悬浮物每月沉淀的量与水流速度的关系，得到以下结果[65]：流量/（m3·min-1）每月上层沉积物/t流量/（m3·min-1）每月主流沉积物/t流量/（m3·min-1）每月下层沉积物/t1 651.3 425 468 12 181.6 1 990 300 23 640.1 2 010 730848.6 209 455 9 902.3 1 626 786 11 269.9 671.326 832.6 183 412 3 592.4 488 599 3 405.2 148.755 621.4 147 799 3 325.3 471 549 1 398.6 39 156 598.6 108 025 1 763.8 112 404 1 144.6 24 843 574.3 200 537 1 429.7 89 201 1 126.4 32 939 228.4 50 386 1 404.4 79 615 675.4 9 913 204.8 57 608 1 337.6 84 191 285.6 1 189 188.1 30 947 1 128.6 62 034 174.0 26416.3 1 826 823.1 87 925 104.2 881655.9 52 395 97.4 259595.1 66 379 47.1 367569.1 29 913 45.9 70273.9 20 497 41.3 136265.8 22 469 32.6 70236.7 22 704 3.4 13236.2 27 566 1.2 4145.8 7 463142.7 11 28197.2 9 25770.0 3 69963.7 3 95532.8 2 63627.2 1 23218.0 1 06817.0 58415.6 40010.2 4567.9 1956.6 114以流量为自变量，月沉积物为因变量，计算回归方程。
答：首先对自变量和因变量做双对数变换，获得经对数变换后的回归方程，再通过反对数得到原始单位的回归方程。
程序和结果如下：options linesize=76 nodate;data river;infile 'E:\data\er10-3e.dat';input upflow upsedim midflow midsedim lowflow lowsedim @@;x1=log10(upflow); y1=log10(upsedim);x2=log10(midflow); y2=log10(midsedim);x3=log10(lowflow); y3=log10(lowsedim);proc reg;model y1=x1;proc reg;model y2=x2;proc reg;model y3=x3;run;（1）上层沉积物：The SAS SystemModel: MODEL1Source DF Squares Square F Value Prob>FModel 1 3.92128 3.92128 382.295 0.0001 Error 8 0.08206 0.01026 C Total 9 4.00334Root MSE 0.10128 R-square 0.9795 Dep Mean 4.89337 Adj R-sq 0.9769 C.V. 2.06970Parameter EstimatesParameter Standard T for H0:Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T|INTERCEP 1 1.890841 0.15686760 12.054 0.0001X1 1 1.175010 0.06009554 19.552 0.0001从参数估计列，得到如下回归方程：变换为原单位后的方程为：010175.11118775.77ˆX Y =由t 检验的显著性概率可知，回归系数和常数项都是显著的。
（2）主流沉积物：The SAS SystemModel: MODEL1Dependent Variable: Y2Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Prob>FModel 1 35.58584 35.58584 1438.727 0.0001 Error 28 0.69256 0.02473 C Total 29 36.27840Root MSE 0.15727 R-square 0.9809 Dep Mean 4.19618 Adj R-sq 0.9802 C.V. 3.74797Parameter EstimatesParameter Standard T for H0:Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T|INTERCEP 1 1.366966 0.07992510 17.103 0.0001X2 1 1.194288 0.03148616 37.931 0.0001从参数估计列得到回归方程如下：22288194.1966366.1ˆX Y '+='变换为原单位后的方程为：288194.122090279.23ˆX Y =由t 检验的显著性概率可知，回归系数和常数项都是显著的。
（3）底层沉积物：The SAS SystemModel: MODEL111010175.1841890.1ˆX Y '+='Source DF Squares Square F Value Prob>FModel 1 20.99588 20.99588 26.414 0.0001 Error 15 11.92328 0.79489 C Total 16 32.91916Root MSE 0.89156 R-square 0.6378 Dep Mean 2.92730 Adj R-sq 0.6137 C.V. 30.45683Parameter EstimatesParameter Standard T for H0:Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T|INTERCEP 1 0.593156 0.50301446 1.179 0.2567 X3 1 0.996479 0.19388907 5.139 0.0001从参数估计列得到回归方程如下：33479996.0156593.0ˆX Y '+='变换为原单位后的方程为：479996.033826918.3ˆX Y =由t 检验的显著性概率可知，回归系数是显著的。