2018_2019高中数学模块综合学业质量标准检测新人教A版必修4

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2018-2019学年高中数学模块综合测评(B)新人教A版必修4

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知sin(-α)=,且cos(-α)>0,则tan α=()A. B.- C. D.-解析由已知得sin α=-,cos α>0,所以α是第四象限角,于是tan α=-.答案D2.已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,如果m⊥n,那么实数λ=()A.4B.3C.2D.1解析因为向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,所以m=(0,-3),n=(1+λ,-2+λ).因为m⊥n,所以m·n=0-3(-2+λ)=0,解得λ=2.答案C3.若角α的终边与单位圆相交于点(x0,2x0)(x0≠0),则tan 2α=()A.-B.C.-D.解析依题意tan α==2,所以tan 2α==-.答案A4.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.1B.-1C.2D.-2解析由题设a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,所以4+4|b|cos θ=0,即|b|cos θ=-1.答案B5.函数y=在一个周期内的图象是()解析y=cosx·=-2sin x cos x=-sin 2x,故选B.答案B6.导学号68254118将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到g(x)的图象.若g(x1)·g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则|x1-x2|的最大值为()A.πB.2πC.3πD.4π解析依题意得g(x)=sin 2+2=sin+2,若g(x1)·g(x2)=9,则g(x1)=g(x2)=3,所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,则当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|取得最大值3π.答案C7.已知a与b是非零向量且满足(a-6b)⊥a,(2a-3b)⊥b,则a与b的夹角是()A. B. C.π D.π解析根据条件(a-6b)·a=a2-6a·b=0,(2a-3b)·b=2a·b-3b2=0,又因为|a|≠0,|b|≠0,所以|a|=6|b|cos <a,b>①,3|b|=2|a|cos <a,b>②,所以3|a||b|=12|a||b|cos2<a,b>,得cos2<a,b>=,则cos <a,b>=,故a,b的夹角为.答案B8.的值等于()A.4B.-4C.-4D.4解析原式======-4.答案C9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对∀x∈恒成立,则φ的取值范围是()A. B.C. D.解析函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的周期为=π,所以ω=2,于是f(x)=2sin(2x+φ)+1.若f(x)>1对∀x∈恒成立,即当x∈时,sin(2x+φ)>0恒成立,则有2kπ≤2·+φ<2·+φ≤2kπ+π,求得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以≤φ≤,故选D.答案D10.如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为()A.[0,)B.[0,2)C.[1,)D.[1,2)解析设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,).答案A11.已知函数f(x)=sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cos图象上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则=()A.9+B.9-C.4+D.4-解析f(x)=sin x cos x-sin2x=·sin 2x-sin 2x+cos 2x-=sin, 因此f(x)最大值为,最小值为-.设A,则B,C,于是,故=4-.答案D12.若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是()A. B.C. D.解析依题意,函数y=2sin ωx在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知T≤2π<T,亦即≤2π<,解得≤ω<.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=cos x cos +cos cos 的值域是.解析f(x)=cos x cos +cos cos =cos x cos -sin x sin =cos,故函数值域为[-1,1].答案[-1,1]14.如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若=x+y(x,y∈R),则x+y=.解析设AB=1,则AD=,BD=BC=2,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,如图所示;则BE=,AF=1,且=(+1),又=x+y,所以x=+1,y=,即x+y=1+.答案1+15.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.解析由题意知cos =sin,即sin,所以+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.因为0≤φ<π,所以φ=.答案16.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度|a*b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若u=(2,0),u-v=(1,-),则|u*(u+v)|=.解析因为u=(2,0),u-v=(1,-),所以v=(1,),从而u+v=(3,).若设u与(u+v)的夹角为θ,则cos θ==,从而sin θ=,故|u*(u+v)|=|u||u+v|sin θ=2×2=2答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知向量=(1,-2),=(4,-1),=(m,m+1).(1)若,求实数m的值;(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.解(1)因为向量=(1,-2),=(4,-1),所以=(3,1).因为,且=(m,m+1),所以3(m+1)-m=0,所以m=-.(2)由(1)知=(3,1),=(m-1,m+3),=(m-4,m+2).因为△ABC为直角三角形,所以.当时,有3(m-1)+m+3=0,解得m=0;当时,有3(m-4)+m+2=0,解得m=;当时,有(m-1)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,无解.所以实数m的值为0或.18.(本小题满分12分)已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=.(1)求tan 2β的值;(2)求α的值.解(1)因为β∈,cos β=-,可得sin β=,所以tan β==-2, 故tan 2β=.(2)因为α∈,β∈,所以α+β∈,又因为sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-,于是cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=,由于α∈,故α=.19.(本小题满分12分)已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.解(1)函数f(x)=a·b-cos 2x=cos 2x cos -sin 2x sin cos 2x=-sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+,可得kπ+≤x≤kπ+,故单调递增区间为:.(2)当x∈时,可得2x+,因此sin,所以函数f(x)的值域是.20.导学号68254119(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f,求cos的值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<,得k=0,所以φ==-.(2)由(1)得f sin,所以sin.由<α<,得0<α-,所以cos=.因此cos=sin α=sin=sin cos +cos sin=.21.导学号68254120(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH,其中M,H分别在OA,OB上,N在上.设∠MON=θ,▱OMNH的面积为S.(1)将S表示为关于θ的函数;(2)求S的最大值及相应的θ值.解(1)如图,过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,∵∠AOB=,∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ,∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)=R2=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)=R2,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S取得最大值,且最大值为R2.22.(本小题满分12分)已知点A(sin 2x,1),B,设函数f(x)=(x∈R),其中O 为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值与最小值;(3)求函数f(x)的单调减区间.解(1)∵A(sin 2x,1),B,∴=(sin 2x,1),,∴f(x)==sin 2x+cos=sin 2x+cos 2x cos -sin 2x sin=sin 2x+cos 2x=sin 2x cos +cos 2x sin=sin.故f(x)的最小正周期T==π.(2)∵0≤x≤,∴≤2x+,∴-≤sin≤1,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-.(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调减区间是,k∈Z.。

(新人教版)2019年高中数学模块综合评价新人教A版必修4【重点推荐】

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)，所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 5π6≠0，因此选B.答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C.答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限．答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1 B.3，1 C ．－3，－1D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cos π3，即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1，选D.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0，所以a ＝b ＝c ，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)，所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3. 答案：D12．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.13B.27C.17D.23解析：由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．若函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．解析：令y ＝12，可得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，x 的值为…，－7π6，π6，5π6，13π6，…，两个相邻的x 值相差的最大值为4π3，因为函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以b －a 的最大值是4π3. 答案：4π315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43. 以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°，所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (1)求a －2b ；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值．解：(1)a －2b ＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210. (3)因为向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.因为a 2＝5，b 2＝10，所以5－10k 2＝0，所以k ＝±22. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0，所以6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以tan α＜0，所以tan α＝－43.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．所以sin α2＝55，cos α2＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2·sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，精品学习资料最新精品资料，为您推荐下载！ 11 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)，即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。

2018_2019学年高中数学阶段质量检测(一)(含解析)新人教A版必修4

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若角α的终边经过点P (－1,3)，则tan α的值为( ) A ．－13 B ．－3 C ．－1010 D.31010解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P (－1,3)，∴tan α＝－3.故选B. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12 C.12 D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3D ．3 解析：选B 弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角α＝lr＝1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 解析：选D 周期为π，排除A ，B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，所以选D. 6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选B 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos π2－2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2x －π3.故选B.9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数． A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________．解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．函数f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：令sin x ＝12，得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π3＝12. 答案：1215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，ba >b ，例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan α＋1tan α＝52，求2sin 2(3π－α)－3cos π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2的值．解：tan α＋1tan α＝52，即2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝12或tan α＝2.2sin 2(3π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos α＋2＝2sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋2. 当tan α＝12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝－45＋2＝65；当tan α＝2时，原式＝2×22－3×222＋1＋2＝25＋2＝125. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z . 21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1,7)．22．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2.若将f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.(2)令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得对称轴为直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1f x －1＋f (x )－1≤－433，故m ≤－1－332，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。

2018_2019高中数学模块综合学业质量标准检测新人教A版

模块综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．cos1，sin1，tan1的大小关系是( D ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．sin1<tan1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1[解析] 作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有OM <MP <AT ，即cos1<sin1<tan1.故选D ．2．(2015·陕西)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤|a |－|b | C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥|a |－|b |，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B ．3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0．又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43．4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( A ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[解析] 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．5．若cos2αα－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( C ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析]cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－22，即α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－22∴cos α＋sin α＝12．6．将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( C )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1 [解析] 将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( D ) A ．－16 B ．－8 C ．8D ．16[解析] 解法1：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，△ABC 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB →|＝|AC →|2＝16.故选D ．解法2：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC ，∴AB →·AC →＝AC →2＝16． 8．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( C )A ．13B ．27C ．17D ．23[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34．则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17．9．每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y ＝A sin ωt ，音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数(振幅、频率)有关．我们听到的声音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y ＝14sin4x ＋16sin6x ，则该复合音的周期为( B )A ．3π2B ．πC ．2π3D ．π6[解析] y 1＝14sin4x 的周期是π2，y 2＝16sin6x 的周期是π3，所以y ＝y 1＋y 2的周期应为π2与π3的公倍数π． 10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( C )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边的中点，由MA →＋MB →＋MC →＝0易知M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝2AD →．又∵AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，∴m ＝3，故选C ．11．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB →＝( A )A ．6B ．4C ．－4D ．－6[解析] ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan(π4x －π2)＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2,0)，∴OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)． ∴(OA →＋OB →)·AB →＝6．12．(2018·全国卷Ⅱ理，10)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( A )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π [解析] f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵ 函数f (x )在[－a ，a ]是减函数，∴ [－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π， ∴ 0<a ≤π4，∴ a 的最大值为π4．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017全国卷Ⅱ理科)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是__1__．[解析] f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－(cos x －32)2＋1．∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1． 14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝ 12 ．[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12．15．已知e 1、e 2是平面单位向量，且e 1· e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝3． [解析] 不妨设b ＝x e 1＋y e 2，则b ·e 1＝x ＋y2＝1，b ·e 2＝x 2＋y ＝1，因此可得x ＝y ＝23，所以|b |＝23|e 1＋e 2|＝233．16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间(π24，13π24)上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上) [解析] 化简f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π2－π3)＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)，∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )．即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos[2(x ＋π24)]≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ．(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →．[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b ．(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →．又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb ． 18．(本题满分12分)(2018·浙江卷，18)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解析] (1)解：由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45．所以sin(α＋π)＝－sin α＝45．(2)解：由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35．由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213．由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665．19．(本题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． [解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC →|＝|BC →|， ∴θ－2＋cos 2θ＝θ2＋θ－2，化简得2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12．∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5． (2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝－38．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2．(1)求f (x )的解析式； (2)若tan α＋1tan α＝5，求2fα－π4－11－tan α的值．[解析] (1)设最高点为(x 1,1)，相邻的最低点为(x 2，－1)，则|x 1－x 2|＝T2(T >0)，∴x 1－x 22＋＋2＝4＋π2，∴T 24＋4＝4＋π2，∴T ＝2π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝1． ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．(2)∵tan α＋1tan α＝5，∴sin αcos α＋cos αsin α＝5， ∴sin αcos α＝15，∴2f α－π4－11－tan α＝2α－π4－11－tan α＝2αcos π4＋sin2αcossinπ4－11－sin αcos α＝cos2α＋sin2α－1cos α－sin αcos α＝αcos α－2sin 2ααcos α－sin α＝2sin αcos α＝25．21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值．[解析] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H ．设∠OAD ＝θ(0<θ<π2)，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin(π2－θ)＝cos θ， AH ＝cos(π2－θ)＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ＝7＋43sin(2θ＋π3)．由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋43．22．(本题满分12分)已知向量m ＝(sin 12x,1)，n ＝(43cos 12x ，2cos x )，设函数f (x )＝m·n ．(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )，x ∈[－π，π]的单调递增区间．(3)设函数h (x )＝f (x )－k (k ∈R )在区间[－π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m·n ＝43sin 12x cos 12x ＋2cos x＝23sin x ＋2cos x ＝4sin(x ＋π6)． (2)由(1)，知f (x )＝4sin(x ＋π6)，x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈[－5π6，7π6]，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f (x )的单调递增区间为[－2π3，π3]．(3)当x ∈[－π，π]时，函数h (x )＝f (x )－k 的零点讨论如下：当k >4或k <－4时，h (x )无零点，a ＝0；当k ＝4或k ＝－4时，h (x )有一个零点，a ＝1；当－4<k <－2或－2<k <4时，h (x )有两个零点，a ＝2；当k ＝－2时，h (x )有三个零点，a ＝3．。

2018-2019学年高中数学人教A版必修4综合质量评估卷含答案

综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.sin2010°= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.sin2010°=sin(5×360°+210°)=sin210°=-sin30°=-.2.若点在角α的终边上,则sinα的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.由题意,x=sin=,y=cos=-,r=1,所以sinα==-.3.(2018·石家庄高一检测)若tanθ=2,则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.因为tanθ=2,则====.4.已知a与b是非零向量且满足(a-6b)⊥a,(2a-3b)⊥b,则a与b的夹角是( )A. B. C.π D.π【解析】选B.根据条件:(a-6b)·a=a2-6a·b=0;(2a-3b)·b=2a·b-3b2=0;因为|a|≠0,|b|≠0;所以|a|=6|b|cos<a,b>①,3|b|=2|a|cos<a,b>②;所以3|a||b|=12|a||b|cos2<a,b>,所以cos2<a,b>=;所以cos<a,b>=,所以a,b的夹角为.5.已知扇形的圆心角为π弧度,半径为2,则扇形的面积是( )A.πB.C.2πD.π【解析】选D.由S扇形=|α|R2,可得S扇形=×π×22=π.6.若α,β都是锐角,且cosα=,sin(α-β)=,则cosβ= ( )A. B.C.或-D.或【解析】选A.因为cosα=,所以sinα=,因为α,β都是锐角,所以-<α-β<,因为sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=.7. (2018·日照高一检测)已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若·=-1,则sin的值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.因为=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),所以·=(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1,得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1,所以sinα+cosα=,故sin=(sinα+cosα)=×=.8.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( )A. B. C. D.【解析】选C9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的递增区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选B.由图象可知A=2,T=-=,所以T=π,故ω=2.由五点法作图可得2·+φ=0,求得φ=-,所以f(x)=2sin.由2x-∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),所以f(x)的递增区间是(k∈Z).10.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.11.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,则|+|的取值范围为( )A. B.[,4]C.[,]D.【解析】选 B.以O为原点建立平面直角坐标系,如图所示:则C(0,1),A(1,0), D(3,0),设P(x,y),则+=(x+1,y),所以|+|=,设M(-1,0),则|+|=||,由图可知当P与C重合时||取得最小值,当P与D重合时,||取得最大值4,所以|+|的取值范围是[,4].12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-≥-,当P时,所求的最小值为-.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为________.【解析】将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,得到函数y=sin=sin2x的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为y=sin4x.答案:y=sin4x14.=________.【解析】原式===.答案:15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________. 【解析】由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇒(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-216.已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1+e2与e1-λe2夹角为60°,则实数λ的值是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=5,(1)若=-+,求证:点F为DE的中点.(2)在(1)的条件下,求·的值.【解析】(1)因为=-+,所以=-=+,又=2,=5,所以=+,所以F为DE的中点.(2)由(1)可得==(-),因为=2,=5,所以=-,所以·=-·=-+·=-×4+×2×6×cos60°=-.18.(12分)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=2a·b+2m-1(x,m∈R). (1)求f(x)的对称轴方程.(2)若x∈时,f(x)的最小值为5,求m的值.【解析】(1)a·b=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+;所以f(x)=2sin+2m;令2x+=+kπ,k∈Z;所以f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)因为x∈,所以≤2x+≤;所以2x+=时,f(x)min=2×+2m=5;所以m=3.19.(12分)已知函数f(x)=+cos2x-sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间.(2)在所给坐标系中画出函数在区间的图象(只作图不写过程).【解析】f(x)=+cos2x =sin2x+cos2x=sin.(1)函数f(x)的最小正周期T==π, 令2kπ+≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,则2kπ+≤2x≤2kπ+π,k∈Z,故kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(2)图象如下:20.(12分)(2018·山东高考)设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f=0,(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin,由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin,因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.21.(12分)已知函数f(x)=sin+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,当x∈时,f(x)的最大值为1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)-3≤m≤g(x)+3在x∈上恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为函数f(x)=sin+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,所以=,可得T=π,由=π,可得ω=2,所以f(x)=sin+b,因为当x∈时,2x-∈,由y=sinx在上单调递增,可得当2x-=,即x=时,函数f(x)取得最大值f=sin+b,所以sin+b=1,解得b=-,所以f(x)=sin-.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为:g(x)=sin-=sin-,因为当x∈时,2x-∈,g(x)=sin-∈[-2,1],所以g(x)-3∈[-5,-2],g(x)+3∈[1,4],因为g(x)-3≤m≤g(x)+3在x∈上恒成立,所以m∈[-2,1].22.(12分)如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,四边形ABCD是扇形的内接矩形,B,C两点在圆弧上,OE是∠POQ的平分线,E在上,连接OC,记∠COE=α,则角α为何值时矩形ABCD的面积最大?并求最大面积.【解析】设OE交AD于M,交BC于N,显然矩形ABCD关于OE对称,而M,N分别为AD,BC的中点,在Rt△ONC中,CN=sinα,ON=cosα,OM==DM=CN=sinα,所以MN=ON-OM=cosα-sinα,即AB=cosα-sinα,而BC=2CN=2sinα,故S矩形ABCD=AB·BC=(cosα-sinα)·2sinα=2sinαcosα-2sin2α=sin2α-(1-cos2α)=sin2α+cos2α-=2-=2sin-.因为0<α<,所以0<2α<,<2α+<,故当2α+=,即α=时,S矩形ABCD取得最大值,此时S矩形ABCD=2-.。

2018_2019学年高中数学阶段质量检测(三)(含解析)新人教A版必修4

阶段质量检测（三）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数解析：选D 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ＝－2sin x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π1＝2π.又f (－x )＝－2sin(－x )＝2sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故选D.2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15° ＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°) ＝sin 30°＝12.3．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值是( )A.210 B ．－210 C.7210 D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79解析：选A cos 2π3＋2α＝cos π－2π6－α＝－cos2π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.5．已知tan(α＋β)＝14，tan α＝322，那么tan(2α＋β)等于( )A.25B.14 C.1318 D.1322解析：选A tan(2α＋β)＝α＋β＋tan α1－α＋βα＝25.6．已知3sin x ＋cos x ＝2a －3，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12解析：选A 由3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2a －3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －32，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32≤1，即12≤a ≤52.7．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tanA ＋B2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32 D ．±12解析：选B 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B.9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x －α)恒成立，则α的值是( )A.π6B.π3C.π4 D.π2解析：选D ∵f (x ＋α)＝f (x －α)，∴函数f (x )的周期为T ＝2α，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为T ＝2π2＝π，∴2α＝π，∴α＝π2. 10．已知tan θ和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，那么a ，b 间的关系是( )A ．a ＋b ＋1＝0B ．a ＋b －1＝0C ．a －b ＋1＝0D ．a －b －1＝0解析：选C 由条件得tan θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－a ，tan θtan π4－θ＝b ，∴tan π4＝1＝tan θ＋π4－θ＝tan θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ1－tan θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－a1－b ，∴－a ＝1－b ，即a －b ＋1＝0.11．设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin 60°，故c <a <b .12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m <2恒成立时，实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1解析：选D f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )＝2sin B ＋1. ∵f (B )－m <2恒成立，∴2sin B ＋1－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1. ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 解析：因为sin α＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以tan α＝sin αcos α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－4314．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________．解析：由题意，sin A 2＝14，∴cos A 2＝154，∴tan A 2＝1515.∴tan A ＝2tanA21－tan2A 2＝157.答案：15715．化简sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )的结果是________．解析：原式＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝0.答案：016．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则m ＝________.解析：f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分 )已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6以及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．解：因为cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，所以sin θ＝－513，tan θ＝－512，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－513×32－1213×12＝－53＋1226，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－512＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512×1＝717.18．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.19．(12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a|2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1，此时f (x )取得最大值，最大值为32.20．(12分)已知向量a ＝(3，cos 2ωx )，b ＝(sin 2ωx,1)(ω>0)，令f (x )＝a·b ，且函数f (x )的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＋m ≤3，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a·b ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵函数f (x )的最小正周期为π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴f (x )∈[－1,2]．由f (x )＋m ≤3，得f (x )max ＋m ≤3， ∴2＋m ≤3，∴m ≤1.21.(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)试确定函数f (x )的解析式； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2π＝13，求cos 2π3－α的值．解：(1)由图象知，A ＝2，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，∴ω＝2πT ＝2π2＝π，故函数f (x )＝2sin(πx ＋φ)．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6，故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α2π＝13，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π·α2π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6＝16，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝16，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝2cos 2π3－α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫162－1＝－1718.22．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1， ∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.。

2019高中数学模块综合测评新人教A版必修4

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( ) A ．1＋22B ．－1＋22C ．1＋32D ．－1＋32B [cos(－2 640°)＝cos 2 640° ＝cos(7×360°＋120°) ＝cos 120°＝－12，sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22， ∴cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( )【导学号：84352374】A ．8π3B ．43C ．2πD ．4π3D [此扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2C [log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π6＝log 214＝－2.]4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( )【导学号：84352375】A ．17B ．－15C ．15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2，tan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1所示，则( )图1A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4C [∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4，又π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.] 6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A ．23 B ．－23C ．32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( )【导学号：84352376】A ．－32B ．－16C ．16D ．32D [由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，]8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3B [y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，(k ∈Z )，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π6，－32.]9．设向量a ＝(c os 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( )A ．12B ．1C ．32D ．1＋ 3A [|a －t b |＝a －t b2＝a 2－2t a·b ＋t 2b 2＝1－2t a·b ＋t 2＝t 2－2t ＋＋1＝t 2－－2t ＋1＝t 2－3t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14，即|a －t b |的最小值为12.]10．已知f (x )＝1＋sin 2x2，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( )【导学号：84352377】A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)， ∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋－2x 2＝1， ∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]11．如图2，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，CN →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )图2A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →，AN →＝15AC →，则AP →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则可知NP →∥AB →，AN →∥MP →，所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )【导学号：84352378】A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立，即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是________． (－2,6) [设C (x ，y )，则A C →＝(x ＋2，y －1)，B C →＝(x ，y －2)，A B →＝(2,1)．由A C →∥O B →，B C →⊥A B →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为________.【导学号：84352379】y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．如图3，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →＝________，QS →＝________.图332e 2－e 1，－e 1－32e 2 [∵平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →＝3e 2－2e 1. S 是OQ ，PR 的中点，∴PS →＝12PR →＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.]16．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________. 【导学号：84352380】π3[由题意得， sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1－27196＝1314. 又cos α＝17得sin α＝437.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π·α－ππ－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，∴cos α＝45，∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.【导学号：84352381】[解] 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2α ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 19．(本小题满分12分)如图4，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，图4(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程).【导学号：84352382】图5[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x ＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图6，已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设Z 是直线OP 上的一动点．图6(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ，求cos ∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点， ∴OZ →∥OP →.设实数t ，使OZ →＝tOP →， ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ，t )，则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ，t ) ＝(1－2t,7－t )， ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ，t )＝(5－2t,1－t )，∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，ZA →·ZB →有最小值－8，此时OZ →＝(2t ，t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时，ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5)，|ZA →|＝34，ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1，－1)，|ZB →|＝ 2. 故cos ∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3tan ωx ＋1tan 2ωx ＋1(ω＞0)． (1)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，求f (x )的单调增区间；(2)若f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x (0＜ω＜2)，求ω的值； (3)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，则ω的最大值为多少？【导学号：84352383】[解] f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos ωx 2＋1 ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2 ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π，2π|2ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，又因当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2时f (x )单调递增即f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6k ∈Z . (2)因为f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x ，所以函数f (x )关于直线x ＝π3对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1，所以ω＝12＋3k 2(k ∈Z )．又ω∈(0,2)，所以k ＝0，ω＝12.(3)由题意知ω＞0，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，所以T 4＝π4ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －π4ω≤－3π2，π4ω≥π2，解得ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16，所以ωmax ＝16.。

2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课后习题：模块综合测评(B)+Word版含解析

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知sin(-α)=,且cos(-α)>0,则tan α=()A. B.- C. D.-解析由已知得sin α=-,cos α>0,所以α是第四象限角,于是tan α=-.答案D2.已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,如果m⊥n,那么实数λ=()A.4B.3C.2D.1解析因为向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,所以m=(0,-3),n=(1+λ,-2+λ).因为m⊥n,所以m·n=0-3(-2+λ)=0,解得λ=2.答案C3.若角α的终边与单位圆相交于点(x0,2x0)(x0≠0),则tan 2α=()A.-B.C.-D.解析依题意tan α==2,所以tan 2α==-.--答案A4.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.1B.-1C.2D.-2解析由题设a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,所以4+4|b|cos θ=0,即|b|cos θ=-1.答案B5.函数y=-在一个周期内的图象是()12解析y=----cosx · - =-2sin x cos x=-sin 2x ,故选B . 答案B 6.导学号68254118将函数f (x )=sin 2x的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到g (x )的图象.若g (x 1)·g (x 2)=9,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则|x 1-x 2|的最大值为( ) A.πB.2πC.3πD.4π解析依题意得g (x )=sin 2+2=sin+2,若g (x 1)·g (x 2)=9,则g (x 1)=g (x 2)=3,所以sin3=sin 2 2+ 3=1.因为x 1,x 2∈[-2π,2π],所以2x 1+,2x 2+-,设2x 1++2k π,2x 2++2n π,k ,n ∈Z ,则当2x 1+=-,2x 2+时,|x 1-x 2|取得最大值3π. 答案C7.已知a 与b 是非零向量且满足(a -6b )⊥a ,(2a -3b )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) A.B.C. πD. π解析根据条件(a -6b )·a =a 2-6a ·b =0,(2a -3b )·b =2a ·b -3b 2=0,又因为|a |≠0,|b |≠0,所以|a |=6|b |cos <a ,b >①, 3|b |=2|a |cos <a ,b >②, 所以3|a ||b |=12|a ||b |cos 2<a ,b >, 得cos 2<a ,b >=,则cos <a ,b >=, 故a ,b 的夹角为. 答案B8.的值等于( )A.4B.-4C.-4D.4解析原式=--===-=-=-4.答案C9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对∀x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B.C. D.解析函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的周期为=π,所以ω=2,于是f(x)=2sin(2x+φ)+1.若f(x)>1对∀x∈-恒成立,即当x∈-时,sin(2x+φ)>0恒成立,则有2kπ≤2·-+φ<2·+φ≤2kπ+π,求得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以≤φ≤,故选D.答案D10.如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为()A.[0,B.[0,2)3D.[1,2)解析设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,).答案A11.已知函数f(x)=sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cos-图象上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则=()A.9+B.9-C.4+D.4-解析f(x)=sin x cos x-sin2x=·sin 2x--sin 2x+cos 2x-=sin, 因此f(x)最大值为,最小值为-.设A-,则B-,C,于是-,故=4-.答案D12.若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是()A. B.C. D.解析依题意,函数y=2sin ωx在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知T≤2π<T,亦即≤2π<,解得≤ω<.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=cos x cos +cos cos 的值域是.解析f(x)=cos x cos +cos cos =cos x cos -sin x sin =cos,故函数值域为[-1,1].414.如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若=x+y(x,y∈R),则x+y=.解析设AB=1,则AD=,BD=BC=2,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,如图所示;则BE=,AF=1,且=(+1),又=x+y,所以x=+1,y=,即x+y=1+.答案1+15.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.解析由题意知cos =sin,即sin,所以+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.因为0≤φ<π,所以φ=.答案16.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度|a*b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若u=(2,0),u-v=(1,-),则|u*(u+v)|=.解析因为u=(2,0),u-v=(1,-),所以v=(1,),从而u+v=(3,).若设u与(u+v)的夹角为θ,则cos θ=5=,从而sin θ=,故|u*(u+v)|=|u||u+v|sin θ=2×2=2答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知向量=(1,-2),=(4,-1),=(m,m+1).(1)若,求实数m的值;(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.解(1)因为向量=(1,-2),=(4,-1),所以=(3,1).因为,且=(m,m+1),所以3(m+1)-m=0,所以m=-.(2)由(1)知=(3,1),=(m-1,m+3),=(m-4,m+2).因为△ABC为直角三角形,所以或或.当时,有3(m-1)+m+3=0,解得m=0;当时,有3(m-4)+m+2=0,解得m=;当时,有(m-1)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,无解.所以实数m的值为0或.18.(本小题满分12分)已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=-.(1)求tan 2β的值;(2)求α的值.=-2,解(1)因为β∈,cos β=-,可得sin β=-,所以tan β=-6故tan 2β=.-(2)因为α∈,β∈,所以α+β∈,又因为sin(α+β)=-,所以cos(α+β)=--=-,于是cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=---,由于α∈,故α=.19.(本小题满分12分)已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.解(1)函数f(x)=a·b-cos 2x=cos 2x cos -sin 2x sin -cos 2x=-sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+,可得kπ+≤x≤kπ+,故单调递增区间为:.(2)当x∈时,可得2x+,因此sin,所以函数f(x)的值域是-. 20.导学号68254119(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f,求cos的值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<,得k=0,所以φ==-.(2)由(1)得f sin-,78所以sin -.由 <α< ,得0<α- , 所以cos - - -= -.因此cos =sin α=sin -=sin - cos+cos - sin=.21.导学号68254120(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 分别在OA ,OB 上,N 在上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S. (1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.解(1)如图,过N 作NP ⊥OA 于点P ,过H 作HE ⊥OA 于点E ,∵∠AOB=,∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ, ∴HN=EP=OP-OE=R (cos θ-sin θ), ∴S=HN ·NP=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R 2(cos θsin θ-sin 2θ)=R2--=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)=R2-,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S取得最大值,且最大值为-R2.22.(本小题满分12分)已知点A(sin 2x,1),B,设函数f(x)=(x∈R),其中O为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值与最小值;(3)求函数f(x)的单调减区间.解(1)∵A(sin 2x,1),B,∴=(sin 2x,1),,∴f(x)==sin 2x+cos=sin 2x+cos 2x cos -sin 2x sin=sin 2x+cos 2x=sin 2x cos +cos 2x sin=sin.故f(x)的最小正周期T==π.(2)∵0≤x≤,∴≤2x+,∴-≤sin≤1,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-.9(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调减区间是,k∈Z.10。

2018_2019学年高中数学阶段质量检测(二)(含解析)新人教A版必修4

阶段质量检测（二）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝( )A．AC B．ADC．BD D．BE解析：选B ∵AB＋BC－DC＝AC＋CD＝AD.2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )A．(－5，－10) B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)解析：选B ∵a∥b，∴－21＝m2，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2解析：选A 由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.∵|a|＝10，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B 由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以 cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝222＝22，即a与b的夹角是π4.5．设a，b，c为非零向量，若p＝a|a|＋b|b|＋c|c|，则|p|的取值范围为( )A．[0,1] B．[1,2] C．[0,3] D．[1,3]解析：选Ca|a|，b|b|，c|c|分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，c同向时，|p|取得最大值3，且|p|的最小值为0，故选C.6．已知角C为△ABC的一个内角，向量m＝(2cos C－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1)．若m⊥n，则角C等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C ∵m⊥n ，∴2cos 2C －3cos C －2＝0，∴(2cos C ＋1)(cos C －2)＝0，∴cosC ＝－12，又C 为△ABC 的一个内角，∴C ＝2π3. 7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：选C ∵PA ·PB ＝PB ·PC ， ∴PB ·(PA －PC )＝0， ∴PB ·CA ＝0，∴PB ⊥CA . 同理PC ⊥AB ，PA ⊥BC ， ∴P 是△ABC 的垂心．8．如图所示，非零向量OA ＝a ，OB ＝b ，且BC ⊥OA ，垂足为C ，若OC ＝λa (λ≠0)，则λ＝( )A.|a||b|a·b B.a·b |a||b| C.a·b |b|2 D.a·b|a|2解析：选D 由题意知OC ·BC ＝0，∴OC ·(OC －OB )＝OC 2－OC ·OB ＝0.又∵OC ＝λa ，∴λ2a 2－λa·b ＝0，即λa 2＝a·b ，∴λ＝a·b|a|2.9.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD ＝a ，BE ＝b ，则BC 等于( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43b D ．－23a ＋43b 解析：选B 由题意得BE ＝12(BA ＋BC )，所以2BE ＝BA ＋BC ，①同理得2AD ＝AB ＋AC ＝－BA ＋(BC －BA )＝－2BA ＋BC ，即2 AD ＝－2 BA ＋BC .② ①×2＋②得4 BE ＋2 AD ＝3 BC ，即 4b ＋2a ＝3 BC ，所以BC ＝23a ＋43b .选B.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量OA ，OB 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3，向量OC 满足OA ＋OB ＋OC ＝0，则OC与x 轴正半轴夹角取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π6解析：选B 由题意OC ＝－OA －OB ，由向量加法的几何意义得OC 是以－OA 与－OB 为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量，所以OC 与x 轴正半轴夹角的取值介于－OA 与－OB 与x 轴正半轴夹角之间．由题意得－OA ，－OB 与x 轴正半轴夹角分别为5π6与π3. 11．已知a ＝(－1，3)，OA ＝a －b ，OB ＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：选D 由题意|OA |＝|OB |且OA ⊥OB ，所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0，所以a ·b ＝0，且a 2＝b 2，所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12a －b2a ＋b2＝12a 2＋b 22＝4.12．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1) 解析：选A 因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x －＋by ＝0，ay ＋bx －＝0.由于对任意m ＝(a ，b )，都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以p ＝(1,0)．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )．则|a ＋b |的取值范围为________．解析：因为a ＋b ＝(x ，x ＋2)，所以|a ＋b |＝x 2＋x ＋2＝2x 2＋4x ＋4＝x ＋2＋2≥2，所以|a ＋b |∈[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ等于________．解析：因为a ，b 共线，所以由向量共线定理知，存在实数k ，使得a ＝k b ，即e 1＋λe 2＝－k (2e 1－3e 2)＝－2k e 1＋3k e 2又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ，λ＝3k ，解得λ＝－32.答案：－3215.如图所示，在正方形ABCD 中，已知| AB |＝2，若点N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB ·AN 的最大值是________．解析：AB ·AN ＝| AB ||AN |·cos∠BAN ，|AN |·cos∠BAN 表示AN 在AB 方向上的投影，又| AB |＝2，∴AB ·AN 的最大值是4.答案：416．设a ，b ，c 都是单位向量，且a 与b 的夹角为2π3，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．解析：(c －a )·(c －b )＝c 2－c·b －a·c ＋a·b ＝|c |2－c ·(a ＋b )＋|a |·|b |·cos 2π3＝12－c ·(a ＋b )，要使(c －a )·(c －b )最小，则只需c 与a ＋b 同向共线即可．∵a 与b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为2π3，∴|a ＋b |＝1，故最小值为－12.答案：－12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.18．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意，得a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32，因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)因为向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2，所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0，因为|a |＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0，所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33，又因为0≤α＜2π，所以α＝π6或α＝7π6.19.(12分)如图所示，在△ABC 中，已知CA ＝2，CB ＝3，∠ACB ＝60°，CH 为AB 边上的高．(1)求AB ·BC ；(2)设CH ＝m CB ＋n CA ，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值．解：设CB ＝a ，CA ＝b .(1)因为AB ＝CB －CA ＝a －b ，所以AB ·BC ＝(a －b )·(－a )＝－a 2＋a·b ＝－9＋3×2×cos 60°＝－6.(2)因为A ，H ，B 三点共线，所以设AH ＝λAB ＝λ(a －b )，所以CH ＝CA ＋AH ＝b ＋λ(a －b )＝λa ＋(1－λ)b .因为CH ⊥AB ，所以CH ·AB ＝0，所以[λa ＋(1－λ)b ]·(a －b )＝0，即λa 2－(1－λ)b 2＋(1－2λ)a·b ＝0. 又a 2＝9，b 2＝4，a·b ＝3，代入上式，解得λ＝17，所以CH ＝17a ＋67b ，即m ＝17，n ＝67.20.(12分)在边长为1的正△ABC 中，BC ＝2BD ，AC ＝3EC ，AD 与BE 相交于点F .(1)求AD ·BE 的值；(2)若AF ＝λFD ，求实数λ的值．解：(1)由题意，D 为BC 边的中点，而△ABC 是正三角形，所以AD ⊥BC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD ·BE ＝12( AB ＋AC )·(AE －AB )＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ＝13b 2－12a 2－16a ·b ＝13－12－16×1×1×12＝－14. (2)根据题意：BF ＝BA ＋AF ＝－AB ＋λλ＋1AD ＝－AB ＋λ2λ＋1( AB ＋AC )＝－λ－22λ＋1 AB ＋λ2λ＋1AC .记BF ＝μBE ，则BF ＝μBE ＝μ(－AB ＋AE )＝－μAB ＋2μ3AC .根据平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－22λ＋1＝－μ，λ2λ＋1＝2μ3，解得λ＝4.21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB ⊥a ，且| AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值为4时，求OA ·OC . 解：(1) AB ＝(n －8，t )， ∵AB ⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA |＝| AB |，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8， ∴OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2) AC ＝(k sin θ－8，t )． ∵AC 与a 共线， ∴t ＝－2k sin θ＋16.∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k2＋32k， ∵k ＞4，∴1＞4k＞0，当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC ＝(4,8)，∴OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ，b 满足关系式|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)求向量a 与b 的数量积(用k 表示)．(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值．(3)求向量a 与b 夹角的最大值．解：(1)由已知得|a |＝|b |＝1. ∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2|a |2＋2k a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2k a ·b ＋k 2|b |2)，∴8k a ·b ＝2k 2＋2，∴a·b ＝k 2＋14k(k >0)．(2)由(1)知a·b >0，∴a 与b 不可能垂直．若a∥b ，由a·b >0知a ，b 同向，于是有a·b ＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝1，即k 2＋14k＝1，解得k ＝2±3，∴当k ＝2±3时，a∥b . (3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝a·b ＝k 2＋14k(k >0)，∴cos θ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤k2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2， ∴当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取得最小值12.又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。

2018-2019学年高中数学(人教A版必修4)课后习题：模块综合测评(A) Word版含解析

模块综合测评(A )(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知α∈(π2,π),tan α=-34,则sin(α+π)=( )A.35B.-35C.45D.-45 解析由题意可得sin α=35,∴sin(α+π)=-sin α=-35,故选B .答案B2.函数y=cos 42θ-sin 42θ的最小正周期是( )A.2πB.4πC.π4D.π2解析y=cos 42θ-sin 42θ=(cos 22θ+sin 22θ)(cos 22θ-sin 22θ)=cos 4θ,所以最小正周期T=2π4=π2.故选D .答案D3.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( )A.-4B.-3C.-2D.-1解析由题意得(m +n )·(m -n )=m 2-n 2=0,即(λ+1)2+1=(λ+2)2+4,解得λ=-3. 答案B4.已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈{x |f (x )=A 2},且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( )A.3πB.2πC.πD.π2 解析依题意,转化为sin(ωx+θ)=12有两个不等的实数x 1,x 2,|x 1-x 2|min =π,则13·2πω=π,得ω=23,故f (x )的最小正周期是T=2πω=3π.答案A5.设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析依题意得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .答案A6.在△ABC 中,若sin(A-B )=1+2cos(B+C )sin(A+C ),则△ABC 的形状一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不含60°角的等腰三角形解析由题意知sin(A-B )=1-2cos A sin B ,即sin A cos B-sin B cos A=1-2cos A sin B ,得sin A cos B+sin B cos A=1=sin(A+B ),所以A+B=C=π2,所以△ABC 的形状一定是直角三角形.答案B7.式子sin 238°+cos38°sin52°-tan 215°3tan15°的值等于( ) A.2√33B.√33C.2√3D.3√32 解析原式=sin (38°+52°)-tan 215°3tan15°=1-tan 215°2tan15°×23=1tan30°=√3×23=2√33. 答案A8.将曲线y=sin (x +π3)上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到曲线A ,再把A 上的所有点向右平行移动π3个单位长度得到曲线B ,则曲线B 的函数解析式为( )A.y=sin 2xB.y=sin (2x -π3)C.y=sin 12xD.y=sin (12x -π3)解析将曲线y=sin (x +π3)上所有点的横坐标缩短为原来的12倍,得到的曲线的解析式为y=sin (2x +π3),再把所有点向右平移π3个单位长度得到的曲线的解析式为y=sin [2(x -π3)+π3]=sin (2x -π3). 答案B9.若向量a ,b 满足|a |=1,(a +b )⊥a ,(2a +b )⊥b ,则a ,b 的夹角为( )A.π3B.2π3C.π4D.3π4解析由条件得:{(a +b )·a =0,(2a +b )·b =0,∴{a ·b =-1,|b |=√2⇒cos <a ,b >=√2=-√22,故a ,b 的夹角为3π4. 答案D10.已知函数f (x )=sin(2x+φ)在x=π6处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象( )A.关于点(π6,0)对称B.关于点(π3,0)对称。

2018学年高一人教A版数学必修四：模块综合检测含答案

必修4模块综合检测一、选择题1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于（）．A ．1213B ．513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝（2，1），a ＋b ＝（1，k ），若a ⊥b ，则实数k 等于（）．A ．12B ．－2C ．－7D ．33．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →•AC →等于（）．A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin （π－α）＝－2sin （π2＋α），则sin αcos α等于（）．A ．25B ．－25C ．25或－25D ．－155．函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R ）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）．A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4 C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π46．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a •b 等于（）．A ．32B ． 3C ．2 3D ．127．把函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g （x ）的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4等于（）． A ．－32 B ．32C ．－1D ．18．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）．A ．23B ．13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是（）．A ．7，5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝（sin （α＋π6），1），b ＝（4，4cos α－3），若a ⊥b ，则sin （α＋4π3）等于（）．A ．－34B ．－14C ．34D ．1411．将函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）．A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题 12．sin 2010°＝________．13．已知向量a ＝（1－sin θ，1），b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ（θ为锐角），且a ∥b ，则tan θ＝________． 14．已知A （1，2），B （3，4），C （－2，2），D （－3，5），则向量AB →在CD →上的投影为________．15．已知函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点（2，－12），则函数f （x ）＝________．三、解答题16．已知向量a ＝（sin x ，32），b ＝（cos x ，－1）．（1）当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；（2）求f （x ）＝（a ＋b ）•b 在[－π2，0]上的最大值．17．设向量a ＝（4cos α，sin α），b ＝（sin β，4cos β），c ＝（cos β，－4sin β）．（1）若a 与b －2c 垂直，求tan （α＋β）的值；（2）求|b ＋c |的最大值；（3）若tan αtan β＝16，求证：a ∥b ．18．已知向量a ＝（sin θ，－2）与b ＝（1，cos θ）互相垂直，其中θ∈（0，π2）．（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若5cos （θ－φ）＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．19．已知函数f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数g （x ）在区间[0，π16]上的最小值．20．已知函数f （x ）＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )．（1）求f （－11π12）的值；（2）当x ∈[0，π4）时，求g （x ）＝12f （x ）＋sin 2x 的最大值和最小值．21．已知向量a ＝（cos α，sin α），b ＝（cos β，sin β），|a －b |＝255．（1）求cos （α－β）的值；（2）若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α．必修4模块综合检测答案1．D 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．D 10．B 11．B 12．－1213．1 14．210515．sin （πx 2＋π6）16．解：（1）∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013．（2）f （x ）＝（a ＋b ）•b ＝22sin （2x ＋π4）．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin （2x ＋π4）≤22，∴－22≤f （x ）≤12，∴f （x ）max ＝12．17．解：（1）因为a 与b －2c 垂直，所以a •（b －2c ）＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin （α＋β）－8cos （α＋β）＝0，因此tan （α＋β）＝2．（2）由b ＋c ＝（sin β＋cos β，4cos β－4sin β），得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤42．又当β＝－π4＋k π（k ∈Z ）时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为42．（3）证明由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b ． 18．解：（1）∵a ⊥b ，∴a •b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45．又θ∈（0，π2），∴sin θ＝255，cos θ＝55．（2）∵5cos （θ－φ）＝5（cos θcos φ＋sin θsin φ）＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ．∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12．又∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝22．19．解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12．由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．（2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12．当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22．故g （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1． 20．解：（1）f （x ）＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos 2x＝2cos 2x ， ∴f （－11π12）＝2cos （－11π6）＝2cos π6＝3．（2）g （x ）＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin （2x ＋π4）．∵x ∈[0，π4），∴2x ＋π4∈[π4，3π4）．∴当x ＝π8时，g （x ）max ＝2，当x ＝0时，g （x ）min ＝1．21．解：（1）∵|a |＝1，|b |＝1，∴|a －b |2＝|a |2－2a •b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1＋1－2cos （α－β）＝2－2cos （α－β），∵|a －b |2＝（255）2＝45，∴2－2cos （α－β）＝45，∴cos （α－β）＝35．（2）∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π．由cos （α－β）＝35得sin （α－β）＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213．∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin （α－β）cos β＋cos （α－β）sin β＝45×1213＋35×（－513）＝3365．。

2018-2019学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修4-4

模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，圆ρ＝sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 解析：选C 将圆的极坐标方程ρ＝sin θ化成直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，可知圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2.故选C. 2．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝2B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解析：选D 极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2.3．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin x 变为曲线y ′＝sin 2x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ>0，y ′＝μy μ>0，则μy ＝sin 2λx ，即y ＝1μsin 2λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1μ＝2，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝12，故选B.4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，则下列说法中正确的是( )A ．曲线C 是直线且过点(－1,2)B ．曲线C 是直线且斜率为33C ．曲线C 是圆且圆心为(－1,2)D ．曲线C 是圆且半径为|t |解析：选A 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，消去参数t 得曲线C 的普通方程为3x －y ＋2＋3＝0.该方程表示直线，且斜率是 3.把(－1,2)代入，成立，∴曲线C 是直线且过点(－1,2)，故选A.5．点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B 当ρ<0时，它的极角应在反向延长线上．如图，描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2<0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec θ，y ＝4tan θ(θ为参数)，在下列直线的参数方程中，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝4t ； ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1－12t ； ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝－45t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t ； ⑤⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3t ，y ＝－4－4t .(以上方程中t 为参数)，可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A ．①③⑤ B ．①⑤ C ．①②④D ．②④⑤解析：选A 由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a ＝3，b ＝4且双曲线的焦点在x 轴上，因此其渐近线方程是y ＝±43x .检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．7．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的连线PO 的倾斜角为π2，则点P 的坐标是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－125C ．(－3,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫125，125 解析：选A 曲线的普通方程为x 2＋y 2＝9(0≤x ≤3)，∵点P 与原点O 的连线PO 的倾斜角为π2，∴点P 的横坐标为0，将x ＝0代入x 2＋y 2＝9得y ＝3(y ＝－3舍去)，∴P (0,3)．故选A.8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图．围成的图形为△OPQ ，可得S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34. 9．点(ρ，θ)满足3ρcos 2θ＋2ρsin 2θ＝6cos θ，则ρ2的最大值为( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解析：选B 由3ρcos 2θ＋2ρsin 2θ＝6cos θ，两边乘ρ，化为3x 2＋2y 2＝6x ，得y 2＝3x －32x 2，代入ρ2＝x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x 2－6x ＋9)＋92＝－12(x －3)2＋92.因为y 2＝3x －32x 2≥0，可得0≤x ≤2，故当x ＝2时，ρ2＝x 2＋y 2的最大值为4.10．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定解析：选B 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ，(t 为参数)，将其代入椭圆方程得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θt －9＝0，则t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ，t 1t 2＝－93＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2|＝43.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．解析：直接化简，两式相减消去参数t 得，x －y ＝1，整理得普通方程为x －y －1＝0.答案：x －y －1＝012．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y －6＝0，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π))化成普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)，半径为2，∴圆心C 到直线l 的距离为|0＋2－6|2＝2 2. 答案：2 213．在极坐标系中，曲线C 1 与C 2 的方程分别为 2ρcos 2θ＝sin θ与 ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1 与C 2交点的直角坐标为________．解析：由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y ，又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1,2)．答案：(1,2)14．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.若以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，则直线C 1的直角坐标方程为______；若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，则C 1被C 2截得的弦长为________．解析：直线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴直线C 1的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. 曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)化成普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，表示圆，圆心到直线C 1的距离d ＝12，∴C 1被C 2截得的弦长为21－12＝ 2. 答案：x ＋y －2＝02三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ，①又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6.(舍去)故点P 的直角坐标为(0,0)．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的极坐标方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2. 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交． 17．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)．(1)以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2＝4，化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0. (2)由已知得直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|x －y ＋2|2＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，又|AB |＝－22＋－22＝22，所以△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋9，所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.18．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k t －1(t为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsinθ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝kt －1(t 为参数)消去t 可得C 1的普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)由题意知直线与圆相离．因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k 2－1，由|6k ＋3|1＋k2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.。

2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若sinα2=√33,则cos α=()A.−23B.−13C.13D.23解析:cosα=1-2sin2α2=1−2×(√33)2=13.故选C.答案:C2若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tanα>0,sinα<0,∴α是第三象限角.答案:C3函数f(x)=si n(2x+π3)的图象的对称轴方程可以为()A.x=π12B.x=5π12C.x=π3D.x=π6解析:由2x+π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π12(k∈Z).当k=0时,x=π12 .答案:A4已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析:因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0, 即2|a|2+a·b=0.设a与b的夹角为θ,则有2|a |2+|a ||b |cos θ=0.又|b |=4|a |,所以2|a |2+4|a |2cos θ=0,则cos θ=−12,从而θ=2π3. 答案:C5已知a =(1,12),b =(1,-12),c=a +k b ,d=a-b ,c 与d 的夹角是π4,则k 的值为( ) A.−13B.−3C.-3或−13D.−1解析:c =(1,12)+(k ,-12k)=(1+k ,12-12k),d =(0,1). co s π4=12-12k √(1+k )+14(1-k ),解得k=-3或−13.答案:C6将函数y =√3cos x +sin x(x ∈R )的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A .π12B.π6C .π3D.5π6解析:y =√3cos x+sin x=2co s (x -π6),向左平移m (m>0)个单位长度后得到函数y=2co s (x +m -π6)的图象.由于该图象关于y 轴对称,所以m −π6=kπ(k ∈Z ),即m=k π+π6,故当k=0时,m 取得最小值π6.答案:B7对任意平面向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b )2=|a+b|2D.(a+b )·(a-b )=a 2-b 2。

2018_2019学年高中数学模块综合评价新人教A版选修4_4

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z) 解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3. 答案：C2．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是( ) A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π4对称的曲线的方程是( ) A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2 解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0. 答案：A4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，所以t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，所以x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)．答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1.答案：C6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( ) A.125B.125 5C.95 5D.9510 解析：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 化为标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′将其代入x 2＋y 2＝9，整理得t ′2＋85t ′－4＝0，由根与系数的关系得t ′1＋t ′2＝－85，t ′1t ′2＝－4.故|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）－4t ′1t ′2＝⎝⎛⎭⎪⎫－852＋16＝125·5，所以弦长为1255. 答案：B 7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( ) A ．1 B ．2。

2018-2019学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修4

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P (－3,4)，则sin α的值等于( ) A ．－35 B.35C.45 D ．－45 解析：选C sin α＝4－2＋42＝45. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝ 3.3．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若AB ＝a ， AC ＝b ，则AM ＝( ) A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C ．－12(a －b ) D ．－12(a ＋b )解析：选B AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋12BC ＝AB ＋12(AC －AB )＝12(a ＋b )．4．设角α＝－35π6，则π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋π－α－cos 2π＋α的值为( )A.12B.32 C.22D. 3 解析：选D 因为α＝－35π6＝π6－6π，所以π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋π－α－cos 2π＋α＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos αsin α ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6＝1tan π6＝ 3.故选D.5．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.6．向量a ，b 满足|a ＋b |＝7，|a －b |＝3，则a·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 向量a ，b 满足|a ＋b |＝7，|a －b |＝3，可得a 2＋2a·b ＋b 2＝7，a 2－2a·b ＋b 2＝3，两式相减可得4a·b ＝4.解得a·b ＝1，故选A.7.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则( ) A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 9．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA ＋AB ＋AC ＝0，且|OA |＝|AB |， CA 在CB 方向上的投影为( )A ．－3B ．－ 3 C. 3 D ．3解析：选C 如图，由OA ＋AB ＋AC ＝0得OB ＝－AC ＝CA ，所以四边形OBAC 是平行四边形．又|OA |＝|AB |，所以三角形OAB 为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形．所以∠ACB ＝π6，所以CA 在CB 上的投影为|CA |cosπ6＝2×32＝3，选C. 10．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点P 为边BC 所在直线上的一个动点，则关于AP ·(AB ＋AC )的值，正确的是( )A ．为定值2B ．最大值为4C ．最小值为1D ．与P 的位置有关解析：选A 如图，取BC 中点D ，由题意知|AD |＝1.AP ·(AB ＋AC )＝AP ·(2AD )＝2|AD |·|AP |·cos ∠DAP ＝2|AD |2＝2.11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析：选A y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．12．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 面积之比为( )A.13B.12 C.23 D.34解析：选C 因为PA ＋PB ＋PC ＝AB ，所以PA ＋PB ＋PC －AB ＝0，即2PA ＋PC ＝0，所以2PA ＝CP ，即点P 是CA 边上的靠近点A 的一个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知cos x ＝2a －34－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －34－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －34－a ＞－1.∴－1＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：5415．y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________．解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9(k ∈Z )，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列命题：①f (x )的最大值为2； ②f (x )的最小正周期是π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y ＝f (x )的图象重合．其中正确命题的序号是____________．解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x －π3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos2x －π3＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴函数f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确；由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，A >0，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的部分图象如图所示，其中点P 是图象上的一个最高点．(1)求函数f (x )的解析式； (2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝513，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2.解：(1)由函数最大值为2，得A ＝2.由图象可得函数周期为T ＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2，又ω·π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝513，得cos α＝－1－sin 2α＝－1213，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2＋π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos π3＋cos αsin π3＝5－12313. 18．(12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()α＋π·α－ππ－α的值．解：(1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54.19．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x .(1)求f (x )的最小值及最小正周期； (2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋sin2x cos π6－cos 2x ·sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1，最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6，k ∈Z ，∴使f (x )＝3的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .20．(12分)已知四边形ABCD ，AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)． (1)若BC ∥DA ，求y ＝f (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，若AC ⊥BD ，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1) DA ＝－(AB ＋BC ＋CD )＝(－x －4,2－y )， ∵BC ∥DA ，∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0. ∴y ＝－12x .(2)∵AC ＝AB ＋BC ＝(x ＋6，y ＋1)，BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)，又∵AC ⊥BD ，∴AC ·BD ＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式，整理得y 2－2y －3＝0.解得y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6，于是BC ＝(－6,3)，AC ＝(0,4)，BD ＝(－8,0)，|AC |＝4，|BD |＝8，∴S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×4×8＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是BC ＝(2，－1)，AC ＝(8,0)，BD ＝(0，－4)，|AC |＝8，|BD |＝4， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×8×4＝16. 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6.(1)请用“五点法”画出函数f (x )在一个周期上的图象(先列表，再画图)； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34上的值域．解：(1)按五个关键点列表如下：(2)由2k π－π2≤2π3x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k －1≤x ≤3k ＋12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k －1，3k ＋12(k ∈Z )．(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34，所以2π3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2sin 2π3x ＋π6∈[－1,2]，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34上的值域是[－1,2]．22.(12分)已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈－π6，2π3时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2的图象如图所示．(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3上的解析式；(2)求方程f (x )＝22的解．解：(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，由题中图象可知，A ＝1，T 4＝2π3－π6，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，∴2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.当－π≤x <－π6时，－π6<－x －π3≤2π3，f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π3＋π3.又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，∴f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π3＋π3＝－sin x ⎝⎛⎭⎪⎫－π≤x <－π6. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝22，得x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12；当－π≤x <－π6时，由f (x )＝－sin x ＝22，得sin x ＝－22，∴x ＝－π4或－3π4. 综上知，方程f (x )＝22的解为 x ＝－π4或－3π4或－π12或5π12.。

2018-2019年高中数学模块综合评价新人教A版必修4

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)，所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 5π6≠0，因此选B.答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C.答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限．答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1 B.3，1 C ．－3，－1D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cos π3，即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1，选D.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0，所以a ＝b ＝c ，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)，所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3. 答案：D12．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.13B.27C.17D.23解析：由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．若函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．解析：令y ＝12，可得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，x 的值为…，－7π6，π6，5π6，13π6，…，两个相邻的x 值相差的最大值为4π3，因为函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以b －a 的最大值是4π3. 答案：4π315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43. 以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°，所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (1)求a －2b ；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值．解：(1)a －2b ＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210. (3)因为向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.因为a 2＝5，b 2＝10，所以5－10k 2＝0，所以k ＝±22. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0，所以6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以tan α＜0，所以tan α＝－43.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．所以sin α2＝55，cos α2＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2·sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，11 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)，即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。

2018-2019学年高中数学(人教A版,必修4)模块综合测评(A)(原卷版)

·模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知α∈,tan α=,则sin(α+π)=()A. B. C. D. -2.函数y=cos42θ-sin42θ的最小正周期是()A. 2πB. 4πC.D.3. 已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=()．A. -4B. -3C. -2D. -14.已知f(x)=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x1,x2∈,且|x1-x2|min=π,则f(x)的最小正周期是()A. 3πB. 2πC. πD.5.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A. =-B.C. D.6.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是()A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不含60°角的等腰三角形7.式子的值等于()A. B. C. 2 D.8.将曲线y=sin上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线A,再把A上的所有点向右平行移动个单位长度得到曲线B,则曲线B的函数解析式为()A. y=sin 2xB. y=sinC. y=sin xD. y=sin9.若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则a,b的夹角为()A. B. C. D.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线x=对称D. 关于直线x=对称11.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使=2,则的值为()A. B. C. D. -12.已知=(2,2),=(cos α,sin α),则的模的最大值是()A. 3B. 3C.D. 18二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设e1,e2是两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以a,b为基底表示向量e1+2e2,即e1+2e2=λa+μb,则λ+μ=_____.14.若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的函数对称轴为_____.15.已知θ是第四象限角,且sin,则tan=________________.16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,则ω·φ=_____.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.18.已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.19.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值.20.已知m=(sin A,cos A),n=(,-1),m·n=1,且A为锐角.(1)求角A的大小;(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos A sin x(x∈R)的值域.21.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,锐角α的终边与单位圆O交于点P.(1)用α的三角函数表示点P的坐标;(2)当=-时,求α的值;(3)在x轴上是否存在定点M,使得||=|恒成立?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.。

2018版高中数学(人教A版)必修4同步练习题：必考部分模块综合测评

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 【答案】 B2．如果一扇形的弧长为2π cm ，半径等于2 cm ，则扇形所对圆心角为( ) A ．2π B ．π C ．π2D ．3π2【解析】 θ＝l r ＝2π2＝π.【答案】 B3．设α是第二象限的角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43【解析】 ∵点P (x,4)在角α终边上，则有 cos α＝x16＋x 2＝x 5. 又x ≠0，∴16＋x 2＝5，∴x ＝3或－3. 又α是第二象限角，∴x ＝－3， ∴tan α＝y x ＝4－3＝－43.【答案】 D4．已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．2＋ 3 B ．1 C ．2－ 3D ． 3【解析】 ∵1－tan α1＋tan α＝2＋3，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3. 【答案】 C5．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2【解析】由题意易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 【答案】 D6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．2m B ．±2m C ．3mD ．±3m【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝m ， ∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3m . 【答案】 C7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) 【导学号：00680081】 A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【解析】由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 【答案】 A8．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4【解析】将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．【答案】 A9．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A ．22B ．33C ． 2D ． 3【解析】因为sin 2 α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14.又0<α<π2，所以cos α＝12，则有α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.【答案】 D10．已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A ．74πB ．π4C ．3π4D ．－7π4【解析】 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－255，cos B ＝－31010，tan A ＝－12，tan B ＝－13.∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π. ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－12－131－⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－13＝－1.∴A ＋B ＝74π.【答案】 A11．曲线y ＝A sin ωx ＋a (A >0，ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，2πω上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A >32B ．a ＝12，A ≤32C ．a ＝1，A ≥1D ．a ＝1，A ≤1【解析】由题意可知：a ＝2－12＝12， A ＝y max －y min 2>2－(－1)2＝32，故选A ．【答案】 A12．在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos 2B －2cos B ，若f (B )＝2，则角B 为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】由已知f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3. ∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝2，π3<2B ＋π3<73π，∴2B ＋π3＝π2，∴B ＝π12. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.【解析】由题意知T ＝2×⎝⎛⎭⎫54π－π4＝2π， ∴ω＝2πT ＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵0<φ<π，∴π4<π4＋φ<54π.又x ＝π4是f (x )＝sin(x ＋φ)图象的对称轴，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋k π，∵0<φ<π，∴φ＝π4.【答案】 π414．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若向量a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为________．【解析】当a ∥b 时，有1×(－1)－2x ＝0，即x ＝－12，此时b ＝－12a ，即a 与b 反向，若向量a 与b 夹角为钝角，则有： ⎩⎪⎨⎪⎧ a·b <0，x ≠－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x ≠－12， ∴x <2且x ≠－12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2 15．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是________．【解析】法一：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin 2x ＝2sin π6cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴T ＝2π2＝π.法二：y ＝sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π16．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．【解析】取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712B A →＋BC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫23BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫－712BA →＋BC → ＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2 ＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918. 【答案】2918三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中，i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m 的值，使(1)A ，B ，C 三点共线； (2)AB →⊥BC →.【解】 (1)利用AB →＝λBC →可得i －2j ＝λ(i ＋m j )，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，得m ＝－2.(2)由AB →⊥BC →得AB →·BC →＝0，∴(i －2j )·(i ＋m j )＝i 2＋m i ·j －2i ·j －2m j 2＝0， ∴1－2m ＝0，解得m ＝12.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z .故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35.故f (α)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4cos α＝1－2⎝⎛⎭⎫22sin 2α－22cos 2αcos α＝1－sin 2α＋cos 2αcos α＝2cos 2 α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x 2·cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．【解】 (1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【解】 (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.21．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A＋C )＝－45，求cos 2A 的值. 【导学号：70512046】【解】 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35，∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35，∴sin A ＝sin [(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－45×45＝725， ∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625.22．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．【解】 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y＝2sin x＋3－1的图象，即g(x)＝2sin x＋3－1，所以g⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。

2018-2019学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修4-5(1)

模块综合检测(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2 解析：选C 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23.2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：选D 因为－1＜b ＜0，所以b ＜b 2＜1. 又因为a ＜0，所以ab ＞ab 2＞a .3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B 至少有一个不大于60°是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°，所以反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60°.4．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2>b 2B.ba<1C ．lg(a －b )>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 解析：选D 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，又a >b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，故选D.5．若a >0，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 在R 上的解集不是空集的a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．{1}C ．(1，＋∞)D ．以上均不对解析：选C 函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1，所以若|x －4|＋|x －3|<a 的解集不是空集，需满足a >1.6．若关于实数x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－1,3)D ．[－1,3]解析：选C |x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上对应的点到1,3对应的两点的距离之和，故它的最小值为2.∵原不等式的解集为∅，∴a 2－2a －1<2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.7．若存在x ∈R ，使|2x －a |＋2|3－x |≤1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(5,7)C ．[5,7]D ．(－∞，5]∪[7，＋∞)解析：选C ∵|2x －a |＋2|3－x |＝|2x －a |＋|6－2x |≥|2x －a ＋6－2x |＝|a －6|， ∴|a －6|≤1，解得5≤a ≤7.8．若直线x a ＋y b＝1过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：选D 因为直线x a ＋yb＝1过点M (cos α，sin α)，所以cos αa ＋sin αb＝1.由柯西不等式可知⎝⎛⎭⎪⎫cos αa ＋sin αb 2≤(cos 2α＋sin 2α)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2，当且仅当cos αsin α＝1a 1b时等号成立，故1a 2＋1b2≥1.9．已知不等式|y ＋4|－|y |≤2x＋a2x 对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由题意得(|y ＋4|－|y |)max ≤2x＋a2x ，而|y ＋4|－|y |≤|y ＋4－y |＝4，因此2x＋a2x ≥4⇒a ≥[2x (4－2x)]max ，而2x(4－2x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x22＝4，当且仅当2x ＝2，即x ＝1时取等号，所以a ≥4，a min ＝4. 10．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9D ．16解析：选D 因为32＋x ＋32＋y ＝1，所以0<32＋x <1,0<32＋y <1，即x >1，y >1，所以x ＝y ＋8y －1，所以xy ＝y ＋8y －1·y ＝y 2＋8y y －1＝y －2＋1y －＋9y －1＝(y －1)＋9y －1＋10 ≥2y －9y －1＋10＝16，当且仅当y ＝4时等号成立．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x ＜3的解集是________________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x ＜3，∴|2x －1|＜3|x |.两边平方得4x 2－4x ＋1＜9x 2， ∴5x 2＋4x －1＞0，解得x ＞15或x ＜－1.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞15. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞12．若x <0，则函数f (x )＝x 2＋1x 2－x －1x的最小值是________．解析：令t ＝x ＋1x，因为x <0，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2，所以t ≤－2，则g (t )＝t 2－t －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－94，所以f (x )min ＝g (－2)＝4.13．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1. 所以不等式的解集为{x |x ≥1}．答案：[1，＋∞)14．设实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋3c ＝4，a 2＋b 2＋c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2，因为a ＋2b ＋3c ＝4，故a 2＋b 2＋c 2≥87，当且仅当a 1＝b 2＝c3，即a ＝27，b ＝47，c ＝67时取“＝”．答案：87三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．解：(1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|－5的图象，可知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a .|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1＋2－x |＝3， ∴－a ≤3，∴a 的取值范围是[－3，＋∞)．16．(本小题满分12分)设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3，解得x ≤－32或x ∈∅或x ≥32.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由题意得，关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋1|≥a 2－a 在R 上恒成立． ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴a 2－a ≤2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是[－1,2]．18．(本小题满分14分)已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N ＋.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2.那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋3<32－12k 2＋1k ＋3.因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1k ＋2＝1k ＋2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1k ＋3＝k ＋3k ＋3－12k 2＝－3k －1k ＋3k 2<0，所以f (k ＋1)<g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有f (n )≤g (n )成立．。

高中数学模块综合质量检测卷新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

模块综合质量检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知，θ2为第二象限角．故选B.2．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A ．53 B ．－53C ．±53D ．－23解析：选B ∵sin(π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－ 1－sin 2α＝－1－49＝－53.故选B. 3．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( ) A ．34 B ．537 C ．2537D ．53737解析：选D ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝537＝53737.故选D.4．(2018·某某太和中学期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故AB →∥AC →，因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.5．(2019·某某诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( ) A ．14AB →－34AC → B ．14AB →＋34AC →C ．34AB →－14AC → D ．34AB →＋14AC → 解析：选 B 解法一：设AD →＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4xAB →－4yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD →＝14AB →＋34AC →，故选B.解法二：在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.6．(2019·某某定州中学调研)函数f (x )＝12(1＋cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 由题意，得f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，故选D.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )A ．725 B ．925 C ．1625D ．2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34， ∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.故选B.9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C ．10.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118解析：选B如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝DE →＋EF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.11．(2019·某某百校联盟联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin α＋π12cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12，整理可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝23－4.故选B.12．(2019·某某部分市学校联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC →·PB →的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B 连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AP ⊥PC ，∴AC →·PB →＝AC →·(PC →＋CB →)＝AC →·PC →＝(AP →＋PC →)·PC →＝PC →2.依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，∴|PC →||CB →|＝|AC →||AB→|，即|PC →|＝|AC →||CB →|2.∵|AC →|2＋|CB →|2＝|AB →|2，∴|AC →|2＋|CB →|2＝4≥2|AC→||CB →|，即|AC →||CB →|≤2，当且仅当|AC →|＝|CB →|时取等号，∴|PC →|≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1，AC →·PB →的最大值为1，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )14．(2019·某某师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b |＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b |＝3，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a |＝1，|b |＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，则a ，b 的夹角为2π3. 答案：2π315．(2019·某某四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：416．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52为圆心，262为半径的圆，所以|c |的最大值为26.答案：26三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b ·c ＝－4，|a |＝22，某某数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. ∵b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4， ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a ·b ，即a ·b ＝2m ，①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6. ∴a ·b ＝±2 6.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.18．(12分)(2019·某某日照五中期中)已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)若β为第三象限角，且tan β＝43，求cos(α－β)的值．解：(1)因为角α的终边过点P (－4,3)，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α＝－58.(2)因为β为第三象限角，且tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.由(1)知，sin α＝35，cos α＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝0.19．(12分)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6.综上，所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．20．(12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，求当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线；(2)若|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，求|a －x b |的取值X 围．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，即13(a ＋b )＝λa ＋(1－λ)t b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，(1－λ)t ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，t ＝12.故t ＝12时，A ，B ，C 三点共线．(2)因为a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，则|a －x b |2＝a 2＋x 2b 2－2x a ·b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以当x ＝－12时，|a －x b |取得最小值，最小值为32；当x ＝12时，|a －x b |取得最大值，最大值为72，所以|a －x b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72. 21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.22．(12分)(2019·襄阳四校期中)设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知，2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1word11 / 11 ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。

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