高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
高中数学人教A版必修二第四章圆与方程学业分层测评含答案
学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为0＋32＋－1－22＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－322＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．【解】(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①|2a＋b－5|22＋1＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12，③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
学业分层测评一、选择题1．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0即(x－4)2＋(y－2)2＝9圆心为C1(42)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4圆心为C2(－2－1)两圆相离|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5【答案】 C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切且都过点(41)则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切且都经过点(41)∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(aa)(bb)则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2(4－b)2＋(1－b)2＝b2即ab为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根整理得x2－10x＋17＝0∴a＋b＝10ab＝17∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32∴|C1C2|＝2(a－b)2＝32×2＝8【答案】 C3．过点P(23)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线P APB则弦AB所在的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线而以PC为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134根据两圆的公共弦的求法可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0整理可得2x ＋3y －1＝0故选B【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(31)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)将(31)代入得λ＝－25故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．两圆相交于两点A (13)和B (m －1)两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上且k AB ＝41－m＝－1即m ＝5 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上 所以1＋m 2－1＋c ＝0所以c ＝－2所以m ＋c ＝3【答案】 3三、解答题8．求圆心为(21)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0①已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0又此直线经过点(5－2)∴5－4－5＋r 2＝0∴r 2＝4故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝49．有相距100 km 的AB 两个批发市场商品的价格相同但在某地区居民从两地运回商品时A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定AB 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【09960144】【解】 建立以AB 所在直线为x 轴AB 中点为原点的直角坐标系则A (－500)B (500)．设P (xy )由2|P A |＝|PB |得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0 所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到AB 两地购物一样合算．[自我挑战]10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等排除CD 选项画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限排除A 故选B【答案】 B11．设半径为3 km 的圆形村落A 、B 两人同时从村落中心出发A 向东B 向北A 出村后不久改变前进方向斜着沿切于村落圆周的方向前进后来恰好与B 相遇设A 、B 两人的速度一定其比为3∶1问A 、B 两人在何处相遇？【解】由题意以村中心为原点正东方向为x轴的正方向正北为y轴的正方向建立直角坐标系设A、B两人的速度分别为3v km/h v km/h设A出发a h在P处改变方向又经过b h到达相遇点Q则|PQ|＝3b v|OP|＝3a v|OQ|＝(a＋b)v则P(3a v0)Q(0(a＋b)v)在Rt△OPQ中由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4bk PQ＝0－v(a＋b)3a v－0∴k PQ＝－34设直线PQ的方程为y＝－34x＋c(c>0)由PQ与圆x2＋y2＝9相切得|4c|42＋32＝3解得c＝154故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km。
人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于圆心 到该直线的距离为 ，
故 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，即 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
18．解：（1）因为直线 的方程可化为 ，
所以 过直线 与 的交点 .
又因为点 到圆心 的距离 ，
所以点 在圆内，所以过点 的直线 与圆 恒交于两点．
参考答案
1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．A8．B9．D10．D11．A12．A
13． .
14．
15．
16．
17．解：（1）设圆 的方程为 ，
因为圆 过 三点，
所以有 ，解得 ， ，
∴ 外接圆 的方程为 ，
即 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 ，
得 或 ，此时弦长为 ，满足题意；
（2）由（1）可知：过点 的所有弦中，弦心距 ，
因为弦心距、半弦长和半径 构成直角三角形，
所以当 时，半弦长的平方的最小值为 ，
所以弦长的最小值为 .
此时， .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以当 时，得到最短弦长为 .
19．解：将方程 化为标准方程为 ，
此方程表示以 为圆心，2为半径的圆．
（1） 表示圆上的点 与定点 连线的斜率，
A． B．
C． D．
6．在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为（）
A． B． C． D．
7．圆 的圆心到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．2
8．已知直线l：y＝x＋m与曲线 有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A．［－1, )B．(－ ，－1］C．[1， )D．(－ ，1］
教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》综合测试题(含答案)
教A 版高中数学必修2第四章《圆与方程》综合测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对2.圆1O :2220x y x +-=与圆2O ：2240x y y +-=的位置关系是( ) A.外离B.相交C.外切D.内切3.过点(1,1)A -与(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为( ) A. 22(3)(1)4x y -++= B. 22(3)(1)4x y ++-= C. 22(1)(1)4x y -+-= D. 22(1)(1)4x y +++=4.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是( ) A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 30x y +-=D. 30x y -+=5.若圆221:1C x y +=,与圆222:680C x y x y n +--+=外切,则n =（ ）A. 21B. 9C. 19D. -116.圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称,则l 的方程为( ) A.0x y +=B.20x y +-=C.20x y --=D.20x y -+=7.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定8.若直线y x b =+与曲线3y =,则b 的取值范围是( )A.1,1⎡-+⎣B.1⎡-+⎣C.1⎡⎤-⎣⎦D.1⎡⎤⎣⎦9.在平面直角坐标系中, ,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45π B. 34πC. (6π-D.54π 10.已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A. 22(5)(7)25x y -+-=B. 22(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)25x y -++= C. 22(5)(7)9x y -++=D. 22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++=11.已知点(,)(0)M a b ab ≠是圆222(0)x y r r +=>内一点,直线g 是以M 为中点的弦所在的直线,直线l 的方程为20ax by r ++=,则( ) A. //,l g 且l 与圆相离 B. l g ⊥且l 与圆相切 C. //,l g 且l 与圆相交 D. l g ⊥且l 与圆相离12.已知直线1y kx =+与圆22(2)(1)4x y -+-=相交于两,?P Q 点,若||PQ ≥则实数k的取值范围是( )A. 3[-,0]4B. [-, 33C. []1,1-D. [ 二、填空题13.过点()3,1作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________.14.过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线l ,直线1:320l ax y a ++=与l 平行,则1l 与l 间的距离为__________.15.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为则圆C 的标准方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 三、解答题17.已知圆C :222440x y x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.18.已知方程22260x y x y m ++-+=.1.若m R ∈,试确定方程所表示的曲线;2.若方程表示的是圆,且圆的圆心到直线210x y --=的距离等于半径,求m 的值.19.在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为. （1）求圆心P 的轨迹方程;（2）若P 点到直线y x =求圆P 的方程.20.已知圆22:(1)5C x y +-=，直线():10R l mx y m m -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，若直线l 的倾斜角为120︒，求弦AB 的长．21.已知点()2,0P 及圆C :226440x y x y +-++=1.若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1,求直线l 的方程;2.设直线10ax y -+=与圆C 交于A ,B 两点,是否存在实数a ,使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.22.已知圆M 的圆心在 x 轴上,半径为1,直线41:32l y x =-被圆M 且圆心M在直线l 的下方. 1.求圆M 的方程;2.设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-,若圆M 是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.参考答案1.答案：A 解析：点()3,4,5P 与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为相反数,所以两点关于x 轴对称. 2.答案：B解析：本题考查圆的方程及其互相转化关系;圆与圆的位置关系及其判断也是考查重点. 要知道圆与圆的位置关系得知道圆心的坐标以及圆心距与两圆半径,因此先求坐标,再求距离. 1O :2220x y x +-=与圆2O :2240x y y +-=故,圆心坐标与半径分别为1(1,0)O ,2(0,2)O ,11r =,22r =,12O O =,211r r -=,13< 所以相交,选B点评:本题属于概念题,掌握基本概念及判断方法即可。
2017-2018学年高中人教A版数学必修二习题：第4章 圆与
学业分层测评(二十四) (建议用时：45分钟)一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【解析】 由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切． 【答案】 B2．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．0【解析】 由题意知：直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，且线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以1＋m 2－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 【答案】 B3．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5【解析】 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.【答案】 C4．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36【解析】 ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6，再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.【答案】 D5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.【答案】 B 二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相外切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程为__________. 【解析】 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 a －4 2＋ b ＋1 2＝1. ①因为两圆外切，则有 a －2 2＋ b ＋1 2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1.【答案】 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1 三、解答题8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0， ① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系(图略)，则A (－50,0)，B (50,0)．设P (x ，y )，由2|PA |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点， 所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知|OC |＝5， 所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6. 【答案】 B11．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 【解】 (1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝ 0－2 2＋ －1－1 2－2＝2(2－1)， ∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2， 解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
人教A版高中数学必修二第四章 圆与方程练习题(含答案)
高中数学必修二 圆与方程练习题一、选择题１. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A.B. C. D.2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B.C. D.3. 圆上的点到直线的距离最大值是（ ） A. B. C. D.4. 将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 5. 在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）A. 条B. 条C. 条D. 条6. 圆在点处的切线方程为（ ） A.B. C. D.二、填空题1. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是 . .2. 由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方为 .3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程 为 .(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x 012222=+--+y x y x 2=-y x 221+221+221+20x y λ-+=x 122240x y x y ++-=λ37-或2-或80或101或11(1,2)A 1(3,1)B 212340422=-+x y x )3,1(P 023=-+y x 043=-+y x 043=+-y x 023=+-y x (1,0)P -032422=+-++y x y x y P 221x y +=,PA PB 0,,60A B APB ∠=P 270x y --=C y (0,4),(0,2)A B --C４. 已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________.5. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________.三、解答题1. 点在直线上，求的最小值.2. 求以为直径两端点的圆的方程.3. 求过点和且与直线相切的圆的方程.4. 已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.高中数学必修二 圆与方程练习题答案()4322=+-y x kx y =,P Q OQ OP ⋅P 0843=++y x ,PA PB 012222=+--+y x y x ,A B C PACB (),P a b 01=++y x 22222+--+b a b a (1,2),(5,6)A B --()1,2A ()1,10B 012=--y x C y 03=-y x x y =72C一、选择题1. A 关于原点得，则得2. A 设圆心为，则3. B 圆心为4. A 直线沿轴向左平移个单位得圆的圆心为5. B 两圆相交，外公切线有两条6. D的在点处的切线方程为 二、填空题1. 点在圆上，即切线为 2.3.圆心既在线段的垂直平分线即，又在 上，即圆心为，4. 设切线为，则5. 当垂直于已知直线时，四边形的面积最小三、解答题1.到直线的距离而，.2. 解：得3.解：圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则，得，而(,)x y (0,0)P (,)x y --22(2)()5x y -++-=(1,0)C ,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-max (1,1),1,1C r d ==20x y λ-+=x 1220x y λ-++=22240x y x y ++-=(1,2),3,7C r d λλ-====-=或2224x y -+=（）)3,1(P (12)(2)4x --=1(1,0)P -032422=+-++y x y x 10x y -+=224x y +=2OP =22(2)(3)5x y -++=AB 3y =-270x y --=(2,3)-r =5OT 25OP OQ OT ⋅==CP PACB (1,1)01=++y x d ==min 2=(1)(5)(2)(6)0x x y y +-+-+=2244170x y x y +-+-=AB 6y =(,6)a r 222()(6)x a y r -+-=222(1)(106)a r -+-=r =.4. 解：设圆心为半径为，令而，或22(13)(1)16,3,5a a a r --+===22(3)(6)20x y ∴-+-=(3,),t t 3r t=d ==22222,927,1r d t t t =--==±22(3)(1)9x y ∴-+-=22(3)(1)9x y +++=。
人教版高中数学必修二检测第四章 圆与方程 单元质量评估(四) Word版含解析
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单元质量评估(四)(第四章)(分钟分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求).(·平顶山高一检测)圆()关于轴对称的圆的方程为( ).()().()()()【解析】选.由题意知所求圆的圆心为(，)，半径为，故所求圆的方程为()..直线：与圆：的位置关系是( ).相交或相切 .相交或相离.相切 .相交【解析】选.圆的圆心(，)到直线的距离，因为<<，所以位置关系为相交.【一题多解】选.直线：过定点，而点在圆：内部，故直线与圆相交..(·广东高考)平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )或或或或【解析】选.设所求切线方程为，依题有，解得±，所以所求的直线方程为或..若直线与圆有两个不同的交点，则点(，)与圆的位置关系是( ) .点在圆外.点在圆上.点在圆内.不能确定【解析】选.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，<，即>，所以点(，)在圆的外部.【延伸探究】若本题条件换为“直线与圆相切”则结论又如何呢？【解析】选.由题意知，即.则点在圆上..(·成都高一检测)圆：与圆：的位置关系是( ) .外离 .相交.外切 .内切【解析】选.圆(，)，，圆(，)，，<，且>，故两圆相交..(·全国卷Ⅱ)圆的圆心到直线的距离为,则( )【解析】选.圆化为标准方程为:()(),故圆心为(),。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
学业分层测评(二十四)(建议用时：分钟)一、选择题．已知两圆的圆心距是，两圆的半径分别是方程－＋＝的两个根，则这两个圆的位置关系是( )．外离．外切．内切．相交【解析】由已知两圆半径的和为，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】．已知两圆相交于()，(，－)，两圆的圆心均在直线－＋＝上，则＋的值为( )．．－．．【解析】由题意知：直线－＋＝为线段的垂直平分线，且线段的中点在直线－＋＝上，所以－＋＝，即＋＝.【答案】．点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是( )．．．＋．－【解析】圆：＋－－＋＝，即(－)＋(－)＝，圆心为()；圆：＋＋＋＋＝，即(＋)＋(＋)＝，圆心为(－，－)，两圆相离，的最小值为－(＋)＝－.【答案】．半径长为的圆与轴相切，且与圆＋(－)＝内切，则此圆的方程为( )．(－)＋(－)＝．(±)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(±)＋(－)＝【解析】∵半径长为的圆与轴相切，设圆心坐标为(，)，则＝，再由＝，可以解得＝±，故所求圆的方程为(±)＋(－)＝.【答案】．过点()向圆：＋＝上作两条切线，，则弦所在的直线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝【解析】弦可以看作是以为直径的圆与圆＋＝的交线，而以为直径的圆的方程为(－)＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦所在的直线方程为：(－)＋－－(＋－)＝，整理可得＋－＝，故选.【答案】二、填空题．过两圆＋－－－＝与＋＋－－＝的交点和点()的圆的方程是．【解析】设所求圆的方程为 (＋－－－)＋λ(＋＋－－)＝(λ≠－)，将()代入得λ＝－，故所求圆的方程为＋－＋＋＝.【答案】＋－＋＋＝．与圆(－)＋(＋)＝相外切于点(，－)且半径为的圆的方程为.【解析】设所求圆的圆心为(，)，则＝.①因为两圆外切，则有＝＋＝，②联立①②，解得＝，＝－，所以，所求圆的方程为(－)＋(＋)＝.【答案】(－)＋(＋)＝三、解答题．求圆心为()且与已知圆＋－＝的公共弦所在直线经过点(，－)的圆的方程．【解】设所求圆的方程为(－)＋(－)＝，即＋－－＋－＝，①已知圆的方程为＋－＝，②②－①得公共弦所在直线的方程为＋－＋＝，又此直线经过点(，－)，∴－－＋＝，∴＝，故所求圆的方程为(－)＋(－)＝.．有相距的，两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，地的单位距离的运费是地的倍．问怎样确定，两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】建立以所在直线为轴，中点为原点的直角坐标系(图略)，则(－)，()．设(，)，由＝，得＋＋＋＝，所以在圆＋＋＋＝内到地购物合算；在圆＋＋＋＝外到地购物合算；在圆＋＋＋＝上到，两地购物一样合算．．已知圆：(－)＋(－)＝和两点(－)，()(>)．若圆上存在点，使得∠＝°，则的最大值为( )．．。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 学业分层测评25 Word版含答案
学业分层测评(二十五)(建议用时：分钟)一、选择题．在空间直角坐标系中，点(，－)关于平面对称的点的坐标是( ) ．(－，－) ．()．(，－) ．(－，－)【解析】(，－)关于平面对称的点的坐标为()．【答案】．点到原点的距离是( )．【解析】＝＝.【答案】．与()，(－)两点距离相等的点(，，)满足的条件是( )．＋＋－＝．－＋－＝．－＋＋＝．－＋＋＝【解析】由＝，得(－)＋(－)＋(－)＝(＋)＋(－)＋，化简得＋＋－＝，故选. 【答案】．已知点(，，－)，(，－，－)，则的最小值为( )．．．．【解析】＝＝＝，当＝－时，＝＝.【答案】．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为( )图．【解析】由题意得，(，)，(，)，∴，则＝＝.【答案】二、填空题．点(，－)在平面内的射影为(，，)，则＋＋＝.【解析】点(，－)在平面内的射影为(，－)，∴＝，＝，＝－，∴＋＋＝＋－＝.【答案】．在空间直角坐标系中，以()，()，()，()为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为.【解析】△＝△＝△＝××＝，△＝×＝×＝，故三棱锥的表面积＝＋.【答案】＋三、解答题．已知点(－，－，－)，(－，－)，(－，－，－)，判断△的形状.【解】＝＝，＝＝，＝＝.因为＝，且＋＝，所以△为等腰直角三角形．．如图，在空间直角坐标系中，＝，原点是的中点，点在平面内，且∠＝°，∠＝°，求点的坐标．。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案
学业分层测评(二十三)(建议用时：分钟)一、选择题．对任意的实数，直线＝＋与圆＋＝的位置关系一定是( )．相切．相离．相交但直线不过圆心．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点()，且点()在圆内，但是直线不过圆心()．【答案】．若是圆＋＝的弦，的中点是()，则直线的方程是( )．＋－＝．＋－＝．－＝．－＋＝【解析】结合圆的几何性质知直线过点()，且和直线垂直，故其方程为：－＝－(－)，整理得＋－＝.【答案】．圆心为()且与直线＋＝相切的圆的方程为( )．(－)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝【解析】由题意知所求圆的半径＝＝，故所求圆的方程为(－)＋＝，故选.【答案】．若直线－＝被圆(－)＋＝所截得的弦长为，则实数的值为( )．－或．或．或．－或【解析】由弦长公式＝，可知圆心到直线的距离＝，即＝，解得＝或.【答案】．圆＋－＋－＝过点(－)的最大弦长为，最小弦长为，则－＝( )．－．－．－．－【解析】圆的方程可化为(－)＋(＋)＝，圆心(，－)到(－)的距离为＝<.∴最大弦长为直径，即＝，最小弦长为以(－)为中点的弦，即＝＝.∴－＝－.【答案】二、填空题．直线－＝与圆(－)＋＝交于点、，则＝.【解析】圆心到直线的距离＝＝，半径＝，∴＝＝.【答案】．圆＋＋＋－＝上到直线＋＋＝的距离为的点有个.【解析】圆的方程可化为(＋)＋(＋)＝，所以弦心距为＝＝.又圆的半径为，所以到直线＋＋＝的距离为的点有个．【答案】三、解答题．已知圆：＋－＋＝，直线：＋＋＝.()当为何值时，直线与圆相切；()当直线与圆相交于，两点，且＝时，求直线的方程．【解】将圆的方程＋－＋＝配方，得标准方程为＋(－)＝，则此圆的圆心为()，半径为.()若直线与圆相切，则有＝.解得＝－.()过圆心作⊥，则根据题意和圆的性质，得＝，＝()＝().))解得＝－或＝－.故所求直线方程为－＋＝或－＋＝.．在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：－＝相切．()求圆的方程；()若圆上有两点、关于直线＋＝对称，且＝，求直线的方程．【解】()依题意，圆的半径等于原点到直线－＝的距离，即＝＝.所以圆的方程为＋＝.()由题意，可设直线的方程为－＋＝.则圆心到直线的距离＝.由垂径分弦定理得：＋()＝，即＝±.所以直线的方程为：－＋＝或－－＝.。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 学业分层测评22 Word版含答案
学业分层测评(二十二)(建议用时：分钟)一、选择题．方程＋－＋＋＝表示的图形是( )．一个点．一个圆．一条直线．不存在【解析】方程＋－＋＋＝，可化为＋－＋＋＝，即(－)＋(＋)＝，故方程表示点(，－)．【答案】．方程＋＋＋＋＝表示的圆过原点且圆心在直线＝上的条件是( )．＝＝，≠．＝＝，≠．＝≠，≠．＝≠，＝【解析】∵圆过原点，∴＝，又圆心在＝上，∴＝≠.【答案】．由方程＋＋＋(－)＋＝所确定的圆中，最大面积是( )ππ．π．不存在【解析】所给圆的半径为＝＝.所以当＝－时，半径取最大值，此时最大面积是π.【答案】．若圆＋－－＝的圆心到直线－＋＝的距离为，则的值为( )．－或或．或．－或【解析】把圆＋－－＝化为标准方程为(－)＋(－)＝，故此圆圆心为()，圆心到直线－＋＝的距离为，则＝，解得＝，或＝.故选.【答案】．若△的斜边的两端点，的坐标分别为(－)和()，则直角顶点的轨迹方程为( ) ．＋＝(≠)．＋＝．(－)＋＝(≠)．(－)＋＝【解析】线段的中点为()，因为△为直角三角形，为直角顶点，所以到点()的距离为＝，所以点(，)满足＝(≠)，即(－)＋＝(≠)．【答案】二、填空题．已知圆：＋＋＋－＝(为实数)上任意一点关于直线：－＋＝的对称点都在圆上，则＝.【解析】由题意可得圆的圆心在直线－＋＝上，将代入直线方程得－－＋＝，解得＝－.【答案】－．当动点在圆＋＝上运动时，它与定点()连线中点的轨迹方程为．【解析】设(，)，(，)，由中点坐标公式得(\\(＝(＋)，＝(＋)，))所以(\\(＝－，＝－.))点(－－)满足圆＋＝的方程，所以(－)＋(－)＝，化简得＋＝，即为点的轨迹方程．【答案】＋＝三、解答题．已知圆：＋＋＋＋＝，圆心在直线＋－＝上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程.【解】圆心，因为圆心在直线＋－＝上，所以－－－＝，即＋＝－，①又＝＝，所以＋＝，②由①②可得(\\(＝，＝－))或(\\(＝－，＝.))又圆心在第二象限，所以－<，即>，所以(\\(＝，＝－，))所以圆的一般方程为：＋＋－＋＝.．已知圆的方程为＋＝，求经过点()的圆的弦的中点的轨迹．【解】设动点的坐标为(，)，根据题意可知⊥.当垂直于轴时，的坐标为()，此时＝；当＝时，＝；当≠，且≠时，有·＝－，∵＝，＝，∴·＝－，。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 章末综合测评4 Word版含答案
章末分层突破①(－)＋(－)＝②＋＋＋＋＝(＋－＞)③＞＋④＝＋⑤－＜＜＋(教师用书独具)一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆＋＋＋＋＝和＋＋＋＋＝的交点的圆系方程为＋＋＋＋＋λ(＋＋＋＋)＝(λ≠－)．求圆心在直线＋－＝上，且经过两圆＋－＋－＝与＋＝的交点的圆的方程.【精彩点拨】解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．【规范解答】法一：设所求圆为＋－＋－＋λ(＋－)＝，化为一般式，得＋－＋－＝.故圆心坐标为，代入直线＋－＝，得λ＝－.再把λ代入所设方程，得＋＋－－＝，故所求圆的方程为＋＋－－＝.法二：解方程组(\\(＋－＋－＝，＋＝，))得两圆的交点为(，－)和(，－)．设所求圆的方程为＋＋＋＋＝.∵，在圆上，且圆心在直线＋－＝上，∴错误!解得(\\(＝，＝－，＝－.))∴所求圆的方程是＋＋－－＝.．圆心在直线－＝上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．【解】设所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝(＞)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足－＝或＋＝.又圆心在直线－＝上，所以－＝.由(\\(－＝，－＝，))得(\\(＝，＝，))由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝－，))所以圆心坐标为()或(，－)，相应的半径为＝或＝，故所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝或(－)＋(＋)＝..置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．已知圆：(－)＋(－)＝，直线过点()且与圆交于，两点，且＝，求直线的方程．【精彩点拨】分斜率存在与不存在两种情况：()⇒⇒⇒⇒()⇒。
高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.1.2 Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．圆＋－＋＋＝(＜)的周长等于( )．π．－π．－π．π解析：由已知得，圆的标准方程为(－)＋(＋)＝，∵＜，∴半径＝－，∴圆的周长为－π.答案：．如果方程＋＋＋＋＝(＋－＞)所表示的曲线关于直线＝对称，则必有( )．＝．＝．＝＝．＝解析：由已知＋－＞，可知方程＋＋＋＋＝表示的曲线为圆．若圆关于＝对称，则知该圆的圆心在直线＝上，则必有＝.答案：．已知圆的方程为＋－＋＋＝，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )．－＋＝．－－＝．＋－＝．＋＋＝解析：由已知得圆心(，－)，且圆心不在直线－＋＝－－＝＋－＝上，而在直线＋＋＝上，故该圆的一条直径所在直线的方程为＋＋＝.答案：．若圆＋－－＝的圆心到直线－＋＝的距离为，则的值为( )．－或或．－或．或解析：把圆＋－－＝化为标准方程为(－)＋(－)＝，故此圆圆心为()，圆心到直线－＋＝的距离为，则＝，解得＝，或＝.故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．若是经过点(－)和圆＋＋－＋＝的圆心的直线，则在轴上的截距是．解析：圆心(－)，则直线的斜率＝＝－，所以直线的方程是－＝－(＋)，即＝－－，所以在轴上的截距是－.答案：－．若方程＋＋＋＋＝表示以(，－)为圆心，为半径的圆，则＝.解析：由已知－＝，－＝－，所以＝－，＝，又因为半径为，即＝，＝，解之，得＝.答案：．若方程＋－＋＋－＝表示一个圆，则实数的取值范围是．解析：由方程＋－＋＋－＝，可知＝－，＝，＝－，由＋－＞，得＋－＋＞，即(－)＞，所以≠.答案：≠三、解答题(每小题分，共分)．求圆心在直线＝上，且经过点(－)，(，－)的圆的一般方程．解析：设圆的方程为＋＋＋＋＝，则圆心是，由题意知，(\\(－()＝－()，－＋＋＝，＋－＋＝，))解得＝＝－，＝－，即所求圆的一般方程是＋－－－＝.．求一个动点在圆＋＝上移动时，它与定点()连线的中点的轨迹方程．解析：设点的坐标是(，)，点的坐标是(，)．由于点的坐标为()且是线段的中点，所以＝，＝，于是有＝－，＝.因为点在圆＋＝上移动，所以点的坐标满足方程＋＝，则(－)＋＝，整理得＋＝.所以点的轨迹方程为＋＝.。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
学业分层测评（二十四）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】 B2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.【答案】 B3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y ＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.【答案】 C4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0. ∴a ＋b ＝10，ab ＝17，∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.∴|C 1C 2|＝2(a －b )2＝32×2＝8.【答案】 C5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 7．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，且k AB ＝41－m＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上， 所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3.【答案】 3三、解答题8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，①已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【导学号：09960144】【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．设P (x ，y )，由2|P A |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．[自我挑战]10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.【答案】 B11．设半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？【解】 由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v ，则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，在Rt △OPQ 中，由|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2得5a ＝4b ，k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0，∴k PQ ＝－34， 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋c (c >0)，由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切，得|4c |42＋32＝3，154，故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km.解得c＝。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评21 Word版含答案
学业分层测评（二十一）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是()A．1 B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D 正确．【答案】 D5．(2016·兰州高一检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C 二、填空题6．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________． 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1137．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2 三、解答题8．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程.【导学号：09960131】【解】 法一：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(7－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(6－b )2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )． 由圆的定义得|AC |＝|BC |， 即(a －4)2＋(5－2a －7)2 ＝(a ＋3)2＋(5－2a －6)2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝(4－1)2＋(7－3)2＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.9．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．【解】 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，∵它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝32.∴所求圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.[能力提升]10．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2)【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋(－1)2＝455，又|AB |＝5，所以△P AB 面积的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.【答案】 B11．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程.【导学号：09960132】【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝132， 圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－6，∴外接圆的方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694.。
2019-2020学年高中人教A版数学必修二习题：第4章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案
学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0 【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.【答案】 B3．圆心为(3,0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9【解析】 由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3，故选B. 【答案】 B4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4【解析】 由弦长公式l ＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋－＝2，解得a ＝0或4.【答案】 D5．圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝( )A ．10－27B ．5－7C ．10－3 3D ．5－322【解析】 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＋＋－1－＝32<5.∴最大弦长为直径，即m ＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦， 即n ＝225－2＝27. ∴m －n ＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x －y ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝4交于点A 、B ，则|AB |＝________.【解析】 圆心到直线的距离d ＝|2－0|2＝2，半径r ＝2，∴|AB |＝2r2－d2＝2 2. 【答案】 2 27．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有________个.【解析】 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，所以弦心距为d ＝|－1－2＋1|2＝ 2. 又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1. 故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.9．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．【解】 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0.则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m|5. 由垂径分弦定理得：m25＋(3)2＝22，即m ＝± 5. 所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.10．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．b ＝ 2B ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上都不正确【解析】 如图，作半圆的切线l 1和经过端点A ，B 的直线l 3，l 2，由图可知，当直线y ＝x ＋b 为直线l 1或位于l 2和l 3之间(包括l 3，不包括l 2)时，满足题意．∵l 1与半圆相切，∴b ＝－2；当直线y ＝x ＋b 位于l 2时，b ＝－1；当直线y ＝x ＋b 位于l 3时，b ＝1.∴b 的取值范围是－1＜b ≤1或b ＝－ 2.【答案】 B11．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0.(1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长．【解】 (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－4－3＝3，所以直线l 的斜率为－13， 则2m ＝－13，所以m ＝－16. 在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5.所以|AB |＝2|AC2|－|PC|2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.。
高中数学第四章圆与方程单元质量评估习题(含解析)新人教A版必修2
第四章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( C ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A (0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B (3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB |＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．2．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( B ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.3．以点A (1，－2)，B (3,4)为直径端点的圆的方程是( D ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 解析：圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB |＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 4．已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( D )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0的圆心为P (3，－3)，则线段OP 的中点为M ⎝⎛⎭⎫32，－32，其斜率k OP ＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－32＝x －32，即x －y －3＝0.5．已知a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，则点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝8的位置关系是( A )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定解析：因为a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，ab ＝－2，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1＋22<8，由此可知，点P (a ，b )在圆内．故选A.6．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( C )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d <r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m |5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．7．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得kk <0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋yD (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交，故选A.8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，又因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.9．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( A )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C ．[－2，2] D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N (1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，|OM |＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN ′，连接ON ′，则在Rt △OMN ′中，sin ∠OMN ′＝33<22，则∠OMN ′<45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.10．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎡⎭⎫－34，0B.⎣⎡⎭⎫－34，＋∞C.⎝⎛⎦⎤0，34D.⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析：依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径rx ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则在直线l 上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线l 的距离为|4m ＋2|m 2＋1，则|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.11．从点A (－2,1)发出的光线l 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( B )A.43B.83C ．2D ．4 解析：圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4，圆心为M (2,3)，半径rA (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2kM 相切，得|2k －3＋2k －1|k 2＋1＝2，即3k 2－8k ＋3＝0，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为83，即所有反射光线所在直线的斜率之和为83，故选B.12．如图，已知直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接P A ，PB ，则△P AB 的面积的最大值是( C )A ．8B ．12 C.212D.172解析：易得A (4,0)，B (0，－3)，即|OA |＝4，|OB |＝3，所以|AB |＝5.根据题意分析，可知要使△P AB 的面积最大，则需使点P 到直线AB 的距离最远，所以点P 在过点C 的AB 的垂线上．因为直线AB 的方程可化为3x －4y －12＝0，所以点C 到直线AB 的距离为|－4－12|(－4)2＋32＝165，所以点P 到直线AB 的距离为1＋165＝215，所以△P AB 的面积的最大值为12×5×215＝212，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为4π.解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝⎛⎭⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.15．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝39. 解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39.16．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝4.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)，且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0. 如图，作MC ⊥AB 于点C .在Rt △MBC 中，BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，圆心M (1,1)到直线l 的距离为d ＝|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.因此，所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0；当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为x ＝2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.18．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，切点为A .当切线P A 的长度为23时，求点P 的坐标．解：由题可知圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.设P (2b ，b )，因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°. 在Rt △MAP 中，|MP |2＝|AM |2＋|AP |2，故|MP |＝22＋(23)2＝4.又|MP |＝(0－2b )2＋(4－b )2＝5b 2－8b ＋16，所以5b 2－8b ＋16＝4，解得b ＝0或85.所以点P 的坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫165，85.19．(12分)已知圆M 经过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2.(1)求圆M 的方程；(2)若P ⎝⎛⎭⎫2，12为圆内一点，求过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程． 解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E .由题意有－D －E ＝2，即D ＋E ＝－2.①又A (1，－2)，B (－1,0)两点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧D －2E ＋F ＋5＝0，－D ＋F ＋1＝0.② 联立①②，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，于是所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0. (2)设直线l 的斜率为k l .由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心M (1,0)． 当直线l 过定点P ⎝⎛⎭⎫2，12，且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，此时直线MP 的斜率k MP ＝12－02－1＝12， 所以k l ＝－1k MP ＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.20．(12分)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2.(1)求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，若|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程，并求此轨迹被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长．解：(1)依题意，可知在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 分两种情况： ①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，所以|－2k |k 2＋1＝2，解得k＝±1，即直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0；②直线l 不过原点，可设l 的方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0，所以|－2－a |2＝2，解得a ＝0(舍去)或a ＝－4，即直线l 的方程为x ＋y ＋4＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0或x ＋y ＋4＝0.(2)设P (x ，y )，由|PM |＝|PO |，|PM |2＝|PC |2－|CM |2，得x 2＋y 2＝(x ＋2)2＋y 2－2，化简得点P 的轨迹方程为x ＝－12.于是直线x ＝－12被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3.21．(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2 r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． 解：(1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，其圆心M (6,7)，半径为5. 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)如图，因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
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学业分层测评（二十四）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是()
A．外离B．外切
C．相交D．内切
【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.
【答案】 B
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y ＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()
A．5 B．1
C．35－5 D．35＋5
【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.
【答案】 C
4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()
A ．4
B ．4 2
C ．8
D ．8 2
【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，
则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，
即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0. ∴a ＋b ＝10，ab ＝17，
∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.
∴|C 1C 2|＝2(a －b )2＝32×2＝8.
【答案】 C
5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )
A ．2x －3y －1＝0
B ．2x ＋3y －1＝0
C ．3x ＋2y －1＝0
D ．3x －2y －1＝0
【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以
PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝
0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.
【答案】 x 2＋y 2
－133x ＋y ＋2＝0 7．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．
【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，
且k AB ＝41－m
＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，1在该直线上， 所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3.
【答案】 3
三、解答题
8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，
即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，①
已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－
2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【导学号：09960144】
【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．
设P (x ，y )，由2|P A |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，
所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2
500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样
合算．
[自我挑战]
10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋652＝45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
【答案】 B
11．设半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？
【解】 由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，
则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v ，
则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，
在Rt △OPQ 中，由|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2得5a ＝4b ，
k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0
，∴k PQ ＝－34， 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋c (c >0)，
由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切，得|4c |
42＋3
2＝3，
15
4，故A、B两人相遇在正北方离村落中心15
4km.
解得c＝。