第二节 几类简单微分方程及其解法

第二节 几类简单微分方程及其解法

本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法.

一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为： 0)',,(=y y x F 或),('y x F y =，

其中)',,(y y x F 为,,'x y y 的已知函数，),(y x F 为,x y 的已知函数.

一、可分离变量的微分方程

如果一阶微分方程),('y x F y =的等式右端能分解为：

)()(),(y g x f y x F =，

即)()('y g x f y =

(7.2.1)

则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程.

设)(y g ≠0，则方程(6.2.1)改写为：

dx x f dy y g )()

(1=， 上式两边积分，可得

⎰⎰=dx x f dy y g )()(1.

上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法.

注：在分离变量时，未知函数y 的函数和微分要写在等式的左边.

例1 求微分方程)3(2'+=y x y 的通解.

解1：

原方程可改写为)3(2+=y x dx

dy . 分离变量，两边积分,得,23

1⎰⎰=+xdx dy y ,3ln 12c x y +=+即.312-±=+c x

e y

记1c e c ±=，则微分方程的通解为 32

-=x ce y （c 为任意常数）.

解2：

原方程可改写为)3(2+=y x dx

dy . 分离变量，两边积分,得,23

1⎰⎰=+xdx dy y ,ln )3ln(2c x y +=+即,3ln

2x c y =+23x ce y =+ 则微分方程的通解为

32

-=x ce y （c 为任意常数）.

注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为

⎰u du 的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成

ln du u c u =+⎰，而是写成ln du u u =⎰；

（2） 不定积分等式中至少有一个形为⎰u du 的积分时，任意常数不写成c ，而写成c ln 并放在等式右侧.

例2 求微分方程y xy ='的通解.

解: 分离变量，两边积分, 得

,dy dx y x =⎰⎰

c x y ln ln ln +=

cx ln =

则微分方程的通解为cx y = （c 为任意常数）.

例3 求微分方程dx e x dy x e y

y )1(2)1(2+=+的通解.

解: 分离变量，两边积分, 得 dx x x dy e e y y ⎰⎰+=+2121，

c x e y ln )1ln()1ln(2++=+

)1(ln 2x c +=，

).1(12x c e y +=+

则微分方程的通解为

]1)1(ln[2-+=x c y （c 为任意常数）.

例4 求微分方程)'('2

y y a xy y +=-的通解.

解: 原方程可写为

,')(2ay y y x a -=+

分离变量，两边积分,得

=-⎰dy ay y )1(11()1a dy y ay

+-⎰ 1dx a x =

+⎰, ,ln )ln()1ln(ln c x a ay y ++=--

)(ln 1ln

x a c ay

y +=-， 即 ).(1x a c ay

y +=- 则微分方程的通解为

)1)((ay x a c y -+= （c 为任意常数）.

例5 求微分方程0sin )1(cos =++-ydy e ydx x 满足定解条件4)0(π

=y 的特解.

解: 分离变量，两边积分, 得

dx e

e dy y y x x

+=-⎰⎰1cos sin ， cos (1)cos 1x x d y d e y e +=+⎰

⎰, 即

c e y x ln )1ln(cos ln ++=

)1(ln x e c +=，

则微分方程的通解为

)1(cos x e c y +=

由定解条件 4)0(π=

y 可得：4

2=c ， 所以，所求特解为 )1(4

2cos x e y +=.

例6 跳伞运动员跳伞下落，当伞张开时，伞以初速度为零垂直下落. 设空气助力与运动速度成正比，求跳伞运动员下落速度与时间的函数关系及其极限速度.

解: 设下落速度为)(t v ，则加速度)('t v a =. 跳伞运动员所受的外力为：重力mg ，方向与速度方向相同；阻力)0(>k kv ，方向与速度方向相反. 根据牛顿第二定律，下落速度)(t v 满足的微分方程为

,'mv kv mg =-

定解条件为,0)0(=v

分离变量，并积分,得

,⎰⎰=-m dt kv mg dv

(),d mg kv k dt mg kv m -=--⎰⎰

， ln()ln k mg kv t c m

-=-+， ln mg kv k t c m

-=-， k t m mg kv e c

--=， 通解为：

),(1t m k

ce mg k v --= 代入定解条件 ,0)0(=v 可得,mg c =

所以，跳伞运动员下落速度与时间的函数关系为

).1(t m k

e k mg v --= 当时间足够大时，极限速度为

)1(lim lim t m k

t t e k mg v -+∞→+∞→-= .k

mg = 答 下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k

mg v --=，极限速度为k mg .