2016-2017学年福建省三明市B片区高二(上)期末数学试卷(理科)含解析
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案(修改) (1) (2019高考复习资料)
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分．1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.A8. C9. D 10.D 11.C 12.C 二、填空题：每小题5分，满分20分．13.2± 14.2 15.2n - 16.2 17．解：（Ⅰ）60B = ，4c =，6b =，在△ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得4sin 2sin 6c B C b ===， ……………………2分 又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos C =，则sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+12=+=， 所以△ABC的面积1sin 122S bc A ===6分 （Ⅱ）设BD x =，则2BE x =，AE =，又60B = ，4c =，在△ABE 中，由余弦定理得2212164242cos60x x x =+-⋅⋅⋅ ，即28168x x =-，解得1x =， ……………………9分 则2BE =，所以90AEB ∠= ，在直角△ADE中，AD =12分 18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠= ，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅= ， 得2AC =， ……………………2分 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又AD ∥BC ，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =所以PA AD ⊥，AP AC A = ，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥． …………………………5分 （Ⅱ）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， ……………………6分 则(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -，(0,0,2)P ，所以(0,2,2)PC =- ，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =- ，设PFPBλ=([0,1])λ∈， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)F λλλ-+，所以(21,21,22)EF λλλ=+--+，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ． ……………………8分设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅= n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y z x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得(1,1,1)=--n ． ……………………10分因为直线EF 与平面PDC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|EF EF <>=<> m n ，即||||||||||||EF EF EF EF ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，所以|22|λ-+=，1|||λλ-=，解得λ，所以PF PB …………………………12分 19. 解：（Ⅰ）（i ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 33251981()()101010000P C ==． …………………………4分 （ii ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X =⨯+⨯+⨯≈吨．…………8分 (Ⅱ) 设李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,6)i i x y i =， 它们的平均值分别为x ，y ，则126216x x x x +++== ，又点(,)x y 在直线 233y x =+上，所以40y =，因此126240y y y +++= ，所以7月份的水费为294.624054.6-=元． 设居民月用水量为t 吨，相应的水费为()f t 元，则4, 012,()48(12) 6.6, 12<14,61.2(14)7.8 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=+-⨯≤⎨⎪+-⨯<≤⎩ 即4, 012,()2 6.631.2, 12<14,7.848, 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=-≤⎨⎪-<≤⎩当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=，所以李某7月份的用水吨数约为13吨． …………………………12分 20. 解法一：（I ）因为△MCD 的面积是△NCD 的面积的3倍，所以3MF NF =，即()3a c a c +=- ，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=． …………………………4分 （II ）当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=， 设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为k -，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则AC 的直线方程为()312y k x -=-，代入22143x y +=中整理得 ()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，()()12423134k k x k -+=+；同理()()22423134k k x k ++=+． ……………………8分所以()21228634k x x k -+=+，()1222434kx x k --=+， ……………………10分 则1212ABy y k x x -=- ()12122k x x k x x +-=- 12=， 因此直线AB 的斜率是定值12． …………………………12分 解法二：（I ）同 解法一．（II ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程：y kx m =+代入22143x y +=中 整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，设A ()11,x y ，B ()22,x y ，所以122843km x x k +=-+， 212241243m x x k -=+， ……………………6分222222644(43)(412)16(1239)0k m k m k m ∆=-+-=-+>当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12123322011y y x x --+=--，整理得121232()()2302kx x m x x m +-+-+=，……………8分 所以222412382()()23043243m kmk m m k k -⋅+---+=++， 整理得21212(2)960k m k m +-+-=， ……………………9分 即(63)(223)0k k m -+-=，所以2230k m +-=或630k -=．……………………10分当2230k m +-=时，直线AB 过定点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 不合题意；当630k -=时，12k =，符合题意， 所以直线AB 的斜率是定值12． …………………………12分21. 解法一：(Ⅰ)当=4a 时，()()22e 421xf x x x =+-，()()()()22222e 2421e 822e 46x x xf x x x x x x '=⋅+-++=+ ……………………1分设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， ……………………2分 即()()()00222200000e4212e 461x x xx x x x -+-=+-，02e 0x > ，30081410x x ∴-+=， ……………………………………3分设()38141g x x x =-+，()()()()2350,010,150,2370g g g g -=-<=>=-<=> …………………4分 ()0g x ∴=在三个区间()()()2,0,0,1,1,2-上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程381410x x -+=恰有三个根，故过点()1,0P 有三条直线与曲线()y f x =相切． …………………………………5分 (Ⅱ) 当0x ≤时，()10f x +≥，即当0x ≤时，()22e2110xaxx +-+≥∴当0x ≤时，221210e x ax x +-+≥， …………………………………6分 设()22121e x h x ax x =+-+，则2221()222(1)e e x x h x ax ax '=+-=+-， ……7分设21()1e x m x ax =+-，则22()ex m x a '=+．⑴当2a ≥-时，220,2ex x ≤∴≥ ，从而()0m x '≥（当且仅当0x =时，等号成立）()211ex m x ax ∴=+-在(],0-∞上单调递增，又()00,m =∴ 当0x ≤时，()0m x ≤，从而当0x ≤时，()0h x '≤，()22121e xh x ax x ∴=+-+在(],0-∞上单调递减，又()00h = ， 从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210ex ax x +-+≥于是当0x ≤时，()10f x +≥， …………………………………9分 ⑵当2a <-时，令()0m x '=，得220,e x a +=12ln 0,2x a ⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭故当]12(ln(),02x a∈-时, ()222e 0e x x a m x a ⎛⎫'=+< ⎪⎝⎭, ()211e x m x ax ∴=+-在]12(ln(),02a-上单调递减， 又()00,m =∴ 当]12(ln(),02x a∈-时，()0m x ≥，从而当]12(ln(),02x a∈-时，()0h x '≥，()22121e x h x ax x ∴=+-+在]12(ln(),02a-上单调递增，又()00h = ，从而当12(ln(),0)2x a ∈-时，()0h x <，即221210e x ax x +-+<于是当12(ln(),0)2x a ∈-时，()10f x +<， ……………………………11分综合得a 的取值范围为[)2,-+∞. ……………………………12分解法二：(Ⅰ)当=4a 时，()()22e 421xf x x x =+-，()()()()22222e 2421e 822e 46x x xf x x x x x x '=⋅+-++=+，……………………1分设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， ……………………2分 即()()()00222200000e4212e 461x x xx x x x -+-=+-，02e 0x > ，30081410x x ∴-+= ……………………………………3分设()38141g x x x =-+，则()22414g x x '=-，令()0g x '=得x = 当x 变化时，()()g x g x '，变化情况如下表：………………………………………………………4分381410x x ∴-+=恰有三个根，故过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切． …………………………………5分 （Ⅱ）同解法一．22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2y x =， ………………2分1C ∴的直角坐标方程为22(1)y x =-． ………………5分 （Ⅱ）由直线l cos()204πθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=所以直线l 的直角坐标方程为:20x y +-=，又点(2,0)P 在直线l 上，所以直线l的参数方程为：2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 代入1C的直角坐标方程得240t +-=， …………………………8分 设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，121281604t t t t ∆=+>⎧⎪∴+=-⎨⎪=-⎩1212PA PB t t t t ∴+=+=-=== …………………………10分 23． 解：（I ）当3a =时，不等式()6f x ≤为23216x x -+-≤若12x <时，不等式可化为(23)(21)446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为(23)(21)26x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为(23)(21)446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤，综上所述，关于x 的不等式()6f x ≤的解集为1522x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． ………………5分 （II ）当x R ∈时，()2212121f x x a x x a x a =-+-≥-+-=-， 所以当x R ∈时，2()13f x a a ≥--等价于2113a a a -≥--， 当1a ≤时，等价于2113a a a -≥--，解得1a ≤≤，当1a >时，等价于2113a a a -≥--，解得11a <≤+所以a的取值范围为⎡+⎣． …………………………10分。
福建省三明市2016-2017学年高二下学期普通高中期末质量检测数学(理)试题含答案
三明市2016-2017学年第二学期普通高中期末质量检测高二理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定积分311dx（)A．2B．2 C．1D．12。
（A）在极坐标系中，圆2cos的圆心的极坐标是( )A．1,2B．1,2C．1,D．1,0（B)已知0a，10b，则下列各式正确的是( )A.2ab ab a B。
2ab a ab C。
2a ab ab D。
2a ab ab3.设随机变量服从正态分布2,4N,若321P a P a，则实数a的值是（)A．4B．43C．2D．1034。
设,,a b c都为正数，那么用反证法证明“三个数111,,a b cb c a至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数（)A．都不大于2 B．都不小于2 C.至少有一个不大于2 D．都小于25。
如图1是函数y f x的导函数'y f x的图象，那么函数y f x的图象最有可能是( ）A ．B ． C.D ．图16.将编号为1，2,3，4的四个档案袋放入3个不同档案盒中，每个档案盒不空且恰好有1个档案盒放有2个连号档案袋的所有不同放法种数有（ )A ．6B ．18C 。
24D ．36 7.（A ）在直线坐标系xOy 中，过点1,2P 的直线l 的参数方程为212222x t yt （t 为参数)，直线l 与抛物线2yx 交于点A ，B ，则PAPB的值为( ）A ．2B ．2C 。
32D ．10 (B ）若0a ，0b ，且lg a 和lg b 的等差中项是1，则11ab的最小值为（ ）A 。
110B.15C.12D 。
18。
如图是函数2fxx ax b的部分图象,'f x 是f x的导函数,则函数'xg xe f x的零点所在的区间是（ ）A ．11,2B ．1,02C 。
10,2D ．1,129。
2016-2017学年福建省三明市第一中学高二上学期数学(理)小测题
三明一中高二理科数学小测卷（三）班级 姓名 座号 成绩6、7、 8、 9、一、选择题（每小题6分，共30分）1、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数为（ ）A.4B.3C.2D.12、下列命题中是真命题的是 （ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题②“若AB=AC,则三角形ABC 是等腰三角形”的逆命题③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④3．“1-<x ”是“02>+x x ”的（ ）.Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件4. 已知命题:p ,sin cos x R x x ∃∈+命题:q 函数()1f x x=在定义域内是减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）.A. q p ∨B. q p ∧C.()p q ∨⌝D. ()()q p ⌝∧⌝5．设l m ，均为直线，α为平面，其中,l m αα⊄⊂，则“//l α”是“//l m ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（每天6分，共24分）6．命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定为 .7.在平面直角坐标系中，直线()12x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是 .8．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是9．给出下列命题：①命题“若方程210ax x ++=有两个实数根，则14a ≤”的逆否命题是真命题； ②“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③函数()22xf x x =-的零点个数为2； ④幂函数()()a f x x a R =∈的图像恒过定点()0,0；⑤“向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”.其中正确命题的序号为__________．三、解答题：（每题18分，共36分）10、已知数列{}n a 的前n 项和为2n Sn r =-，求证：{}n a 是等比数列的充要条件是1r =.11．设命题:p 函数()32xf x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数，命题:q 函数()243f x x x =-+在[]0,a 上的值域是[]1,3-.若q p ∨为真，q p ∧假，则实数a 的取值范围.。
福建省三明市清流一中2016-2017学年高二上学期第三阶段考试数学理试题 含解析
2016－2017学年第一学期第三次阶段考试卷高二理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分)1. 为了抽查某城市汽车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的汽车检查，这种抽样方法是（ ）A.简单随机抽样 B 。
抽签法 C 。
系统抽样 D.分层抽样2。
下列事件中是随机事件的事件的个数为（ ） ①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点； ②在地球上,树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾． A.1 B 。
2 C 。
3 D.43。
如图所示的算法中，输出的S 的值为 A 。
15 B.16 C.17 D 。
184。
设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线 ①上不能填入的数是( ) A.13 B.13。
5 C 。
14 D.14.55.函数f (x )=-x 2+2x ，x ∈[-1,3］，则任取一点x 0∈［—1，3],使得f （x 0) ≥0的概率为（ ）A。
第3题图第4题图B。
C. D.6。
抛物线2x2=-y的焦点坐标是（）A.（—1,0)B.(0—1） C。
(—,0） D.（0,—）7. 在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面x O y对称点P 的坐标为( ）A.（—1，2，3） B。
（1,-2，3） C.（1，2，-3） D。
(—1，2，-3）8. 从2006名学生中选取50名组成参观团,若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名．则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是( ）A.，B。
, C.， D.,9。
已知x为实数,条件p：x2＜x,条件q:＞2，则p是q的（)A.充要条件B.必要不充分条C.充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件10。
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷含答案)
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷(含答案)kj.co荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某单位员工按年龄分为A、B、c三个等级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从c等级组中应抽取的样本数为A．2B．4c．8D．102．下列有关命题的说法错误的是A．若“”为假命题，则均为假命题B．“”是“”的充分不必要条件c．“”的必要不充分条件是“”D．若命题：，则命题：3．若向量，，则A．B．c．D．4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为A．分B．分c．分D．分5.已知变量与负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．B．c．D．6．执行如图所示的程序框图,输出的等于A．B．c．D．7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为A．B．c．D．8.函数图象上的动点P到直线的距离为，点P到y轴的距离为，则A．B.c．D.不确定的正数9.如果实数满足条件，则的最大值为（）A．B．c．D．10.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为A.75°B.60° c.45° D.30°11．如图，在正方体ABcD-A1B1c1D1中，P是侧面BB1c1c 内一动点，若P到直线Bc与直线c1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆c.双曲线D.抛物线12．过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是A．B.c．D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆x210－＋y2－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则＝________.14．下列各数、、中最小的数是___________.15．已知函数，其中实数随机选自区间，对的概率是_________.16．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点．给出下列四个命题：①若平面，且是边中点，则有；②若，平面，则面积的最小值为；③若，平面，则三棱锥的外接球体积为；④若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设是实数，有下列两个命题：空间两点与的距离.抛物线上的点到其焦点的距离.已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求的最大值．19.（本题满分12分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成B组，[90，100]分数段的学生组成c组，现从B，c两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自c组的概率．20．（本题满分12分）在直角梯形PBcD中，∠D=∠c=，Bc=cD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB 沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥Bc，点E在SD上，且，如图2．(1)求证：SA⊥平面ABcD；(2)求二面角E-Ac-D的正切值；(3)在线段Bc上是否存在点F，使SF∥平面EAc？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．①若直线平分线段，求的值；②对任意，求证：．22．（本题满分10分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为；的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）命题人：冯钢审题人：冯启安参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案AcDBccDBBBDc12【解析】选c设为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点的纵坐标为，则由得，又∵直线的方程为，∴，即，又∵，∴，两边同除以，得，即，令，∵，，∴双曲线离心率的值所在区间是.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.814.15.16.①④三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答：和都是假命题，为真命题，为假命题.………………2分,；…………………………………………6分又抛物线的准线为，为假命题，，.…………………………………10分故所求的取值范围为.………………………………12分18.解答：（1）设圆心坐标为，则解得：，故圆的方程为：……………6分（2）因为z＝x＋y，即，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，即可求出的最大和最小值.将代入圆的方程，令，或者利用圆心到直线的距离等于半径可求得最大值为：……………………………………12分 19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30第四个小矩形的高为=0.03……4分（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，………………6分由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：………………8分（3）由已知可得c组共有学生60×10×0.005=3人，则从B，c两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为，共有等10种不同情况，其中这两个学生都来自c组有3种不同情况，∴这两个学生都来自c组的概率．……………………………………12分20.解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABcD为正方形，所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABcD是边长为2的正方形，因为SB⊥Bc，AB⊥Bc，所以Bc⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以Bc⊥SA，又SA ⊥AB，所以SA⊥平面ABcD，……………………4分(2)在AD上取一点o，使，连接Eo．因为，所以Eo∥SA 所以Eo⊥平面ABcD，过o作oH⊥Ac交Ac于H，连接EH，则Ac⊥平面EoH，所以Ac⊥EH．所以∠EHo为二面角E-Ac-D的平面角，．在Rt△AHo中，，，即二面角E-Ac-D的正切值为．……………………8分(3)当F为Bc中点时，SF∥平面EAc理由如下：取Bc的中点F，连接DF交Ac于，连接E，AD ∥Fc，所以，又由题意，即SF∥E，所以SF∥平面EAc，即当F为Bc的中点时，SF∥平面EAc...............12分解法二：(1)同方法一 (4)(2)如图，以A为原点建立直角坐标系，A(0，0，0)，B(2，0，0)，c(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E 易知平面AcD的法向为设平面EAc的法向量为，由所以，可取所以所以即二面角E-Ac-D的正切值为．………………………………8分(3)设存在F∈Bc，所以SF∥平面EAc，设F(2，a，0)所以，由SF∥平面EAc，所以，所以4-2a-2=0，即a=1，即F(2，1，0)为Bc的中点.……………………………………12分21.解：（1）在直线中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由题意得c=b=1，∴，则椭圆方程为．…………………………3分（2）①由，，的中点坐标为，所以．……………………………………………6分②解法一：将直线PA方程代入，解得，记，则，于是，故直线的方程为，代入椭圆方程得，由，因此，………………………………………………9分∴，，∴，∴，故．…………12分解法二：由题意设，，，则，∵三点共线，∴，……………………………………8分又因为点在椭圆上，∴，两式相减得：， (10)分∴，∴．……………………………………………………12分 22.解：（I）曲线方程为，可得，可得∴的直角坐标方程：，的参数方程为，消去参数可得：的普通方程：．………………………………5分（II）由（I）知，为以（0，1）为圆心，为半径的圆，的圆心（0，1）到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．…………………10分kj.co。
福建省三明市2016-2017学年高二上学期期末考试数学联考(理)试题 Word版含答案
福建省三明市2016-2017学年高二上学期期末考试数学联考（理）试题一．选择题（单选题，每题仅一个答案正确，每题5分，共60分）1.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( ) A ．7 B ．15 C ．25 D ．352.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ） A ．3个都是正品 B.至少有1个是次品 C. 3个都是次品 D.至少有1个是正品3.已知具有线性相关的两个变量y x ,之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t =（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.54.命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，2240x x -+≥B ．x R ∀∈，2244x x -+≤ C ．x R ∃∈，2240x x -+> D ．x R ∃∉，2240x x -+>5.设21:<<x p ，12:>x q ，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.曲线1-=x xe y 在点()1,1处切线的斜率等于( ) A ．e 2 B ． e C ．2 D ．17.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()0,3,1,0,1,3-B A ，若点C 满足→→→+=OB OA OC βα，其中1,,=+∈βαβαR ，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 8.执行如图所示的程序框图，则输出的S =( )A ．1023B ．512C ．511D ．2559.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 3±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 10.若函数()a x x x f +-=33有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ． ()2,2- B ．[]2,2- C ．()1,-∞- D ．()+∞,1 11.设()x f 是定义在R 上的增函数，其导函数为()x f /，且满足()()()01/<-+x x f x f ，下面不等式正确的是( )A ．()()12-<x f x f B ．()()()11+<-x xf x f xC ．()1->x x fD ．()0<x f12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两点，记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 22121k k k k ++最小时，双曲线离心率为（ ）A ．2B ．3C 1D ．2二．填空题（每题5分，共20分） 13.已知向量()()29,0,1,4,1,1,0=+=-=→→→→b a b a λ且0λ>，则=λ___________.14.函数x x y ln =的单调递减区间是 ．15.在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是________． 16.M 是抛物线y x =2上一点，N 是不等式04y ≥-+x 表示区域内的一点，O 为原点，则→→+OM ON 2的最小值为 ．三．解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17.城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组， 如表所示(单位：min)．（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅲ）若从表中第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18.()()R a x x g xax x f ∈=-=,ln ,1是常数． （Ⅰ）求曲线()x g y =在点()()1,1g P 处的切线l .（Ⅱ）是否存在常数a ，使l 也是曲线()x f y =的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简要说明理由．19.已知点P 是⊙O ：922=+y x 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足.32→→=DP DQ（Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）动点Q 的轨迹上存在两点N M ,关于点()1,1E 对称，求直线MN 的方程．20.如图，多面体ABCDEF 中，BE BC BA ,,两两垂直，且2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC ．（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3=，求证：ADF CG 平面//； （Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值．21.已知椭圆()0,1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为36，且过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设与圆43:22=+y x O 相切的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求OAB ∆面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．22.已知函数()()()()⎩⎨⎧∈>+--<-++=.,0,320,33222R a x a x e x a ax x x f x （Ⅰ）若函数()x f y =在1=x 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若函数()x f y =的图象上存在两点关于原点对称，求a 的范围；（Ⅲ）当2≥x 时，记()()()()x e x a a x x f x g 6332+--+-+=，若()0≥x g 恒成立，求a 的取值范围．福建省三明市2016-2017学年高二上学期期末考试数学联考（理）试题参考答案1-6 BDCCAC 7-12 BCAADB13. 3 14. 10,e ⎛⎤⎥⎝⎦15. 2517 16.42717解：（Ⅰ）()min 5.1015.2225.1745.1265.725.2151=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-----2分（Ⅱ）候车时间少于10分钟的概率为1581562=+----- 4分 所以候车时间少于10分钟的人数为3215860=⨯人-----5分 （Ⅲ）将第三组乘客编号为4321,,,a a a a ，第四组乘客编号为21,b b ，从6人中任选两人有包含以下基本事件： ()21,a a ，()31,a a ，()41,a a ，()11,b a ，()21,b a ，()32,a a ，()42,a a ，()12,b a ，()22,b a ， ()43,a a ，()13,b a ，()23,b a ， ()14,b a ，()24,b a ， ()21,b b ，-----8分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为815．-----10分 18解：（Ⅰ）由题意知，()01=g ，-----2分又()()11,1//==g xx g ，----- 4分 所以直线l 的方程为1-=x y ．----- 5分 (2)设()x f y =在o x x =处的切线为l ，----- 6分 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.11,112o o o o x a x x ax ----- 9分解得⎪⎩⎪⎨⎧==432a x o ----- 10分 此时()12=f ，----- 11分 即当43=a 时，l 是曲线()x f y =在点()1,2Q 的切线．----- 12分 19解：（Ⅰ）设()()y x Q y x P o o ,,,，依题意，则点D 的坐标为()0,o x D ----- 2分∴()()oo y DP y x x DQ ,0,,=-=→→又.32→→=DP DQ∴y y x x o o 23,==----- 4分∵P 在⊙O 上，故922=+o o y x ，∴14922=+y x ----- 5分∴点Q 的轨迹方程为14922=+y x -----6分 （Ⅱ）假设椭圆14922=+y x 上存在两点()()2211,,,y x N y x M ，关于点()1,1E 对称，则()1,1E 是线段MN 的中点，且有2,22121=+=+y y x x ----- 8分()()2211,,,y x N y x M 代入椭圆，得1492121=+y x 1492222=+yx ----- 9分 作差，整理可得94-=MN k ----- 10分 ∴直线MN 的方程为01394=-+y x ----- 11分 将直线MN 的方程代入椭圆方程检验得：△＞0有实根∴椭圆上存在两点N M ,关于点()1,1E 对称，此时直线MN 的方程为01394=-+y x ----- 12分20解：（1）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，----- 1分则有BE MF BE MF GM AG ==,//,．∵AH HF =∴ GH //MF GH MF 21,=又∵CD //BE CD BE 21,=∴GH CD GH CD =,//∴四边形CDHG 是平行四边形----- 3分 ∴DH CG //，又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴ADF CG 平面//．----- 5分 （Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．----- 6分则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=------ 7分 设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有 2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩，令1y =，得(3,1,2)n =-----9分 77-,cos =⋅⋅=⎪⎭⎫⎝⎛→→→→→→DEn DE n DE n ----- 10分 设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有sin n DE n DEθ⋅==⋅．----- 11分 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77．----- 12分 21解：（Ⅰ）由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒==+13632122ac b a 1,322==b a ----- 2分 ∴椭圆C 的方程1322=+y x ．----- 4分（Ⅱ）①当k 不存在时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2323y x huo ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2323y x ----- 5分6分②当k 存在时，设直线为()()2211,,,,y x B y x A m kx y +=7分 2243(1)d r m k =⇒=+----- 8分分当且仅当2291k k =即33±=k 时等号成立----- 11分∴OAB ∆面积的最大值为23，此时直线方程133±±=x y ．----- 12分 22解：（Ⅰ）当0>x 时，()()322+--=a x e x f x ，()()a x e x f x +-=2/，----- 1分∵()x f y =在1=x 处取得极值， ∴()01/=f ，即()012=+-a e解得：e a -=1，----- 2分 经验证满足题意∴e a -=1．----- 3分（Ⅱ）()x f y =的图象上存在两点关于原点对称，即存在()322+--=a x e y x 图象上一点()()0,>o o o x y x ，使得()o o y x --,在3322-++=a ax x y 的图象上----- 4分则有()⎩⎨⎧-+-=-+--=33322202a ax x y a x e y o o o x o o ，----- 5分消去o y 化简得：ox x e a o2=，即关于o x 的方程在（0，+∞）内有解----- 6分设()()02>=x x e x h x ，则()()2/12xx e x h x -= ∵0>x ∴当1>x 时，()0/>x h ；当10<<x 时，()0/<x h 即()x h 在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数∴()(),21e h x h =≥且x →+∞时，()x h →+∞；x →0时，()x h →+∞ 即()x h 值域为[)+∞,2e ，-----7分∴e a 2≥时，方程ox x e a o2=在（0，+∞）内有解∴e a 2≥时，()x f y =的图象上存在两点关于原点对称．----- 8分 （Ⅲ）若()0≥x g 恒成立，即()083≥-+x a e x 在[)+∞,2恒成立⇔()ax e a x e x x-≥-⇔-≥3328----- 9分记()()223≥-=x x e x k x()0132132323/>-⋅≥-=e e x k x ，()()223≥-=x x e x k x在[)+∞,2上单调递增，又x →+∞时，()x k →+∞()x k ∴值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2232e ----- 11分.22223232e a e a -≥⇒-≤-∴----- 12分。
2016-2017年福建省三明市b片区高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
B．1
C．2
D．3Leabharlann 10． （5 分）已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所 成角的正弦值等于（ A． B． ） C． D．
11． （5 分）已知抛物线 x2=2py（p＞0）的弦 AB 的中点的纵坐标为 3，且|AB|的 最大值为 8，则 p 的值为（ A．1 B．2 ） C．4 D．8
4． （5 分）一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯 的时间为 40 秒，当你到达路口时，看见的不是红灯的概率是（ A． 5． （5 分）已知 B． ， C． ，
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）
D． ，若 ， ， 三向
量共面，则实数 y 的值为（ A．﹣2 B．﹣1
）建省三明市 B 片区高二 （上） 期末数学试卷 （理 科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）命题 p：A1，A2 是互斥事件：命题 q：A1，A2 是对立事件，那么（ A．p 是 q 的必要但不充分条件 B．p 是 q 的充分但不必要条件 C．p 是 q 的充要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不 q 的必要条件 2． （5 分） 已知下表所示数据的回归直线方程为 x y A．16 2 3 B．18 3 7 4 11 C．20 ， 则实数 a 的值为 （ 5 a D．22 6 21 ） ）
18． （12 分） 在四棱锥 P﹣ABCD 中， △ABC， △ACD 都为等腰直角三角形， ∠ABC= ∠ACD=90°，△PAC 是边长为 2 的等边三角形，PB= （Ⅰ）求证：BE⊥平面 PAD； （Ⅱ）求二面角 C﹣PA﹣D 的余弦值． ，E 为 PA 的中点．
2016-2017学年福建省高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年福建省高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A ．50 B ．40 C ．25 D ．202.已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()30.023P ξ>=，则()33P ξ-≤≤=（ ） A ．0.954 B ．0.023 C ．0.977 D ．0.0463.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[]62--，B ．[]51--，C ．[]4,5-D ．[]3,6- 4.如图所示的程序表示的算法是（ ）A ．交换m 与n 的位置B ．辗转相除法C ．更相减损术D ．秦九韶算法 5.已知随机变量,X Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ~，则()(),E Y D Y 分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.66.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某处运动，得到如下的列联表：由卡方公式算得：27.8K ≈ 附表：参照附表：得到的正确的结论是（ ）A ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关”7.已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上的一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线(C 为圆心)，,A B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为（ ）A ．3B ．．2 8.设某大学的女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = ，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高增加170cm ，则可断定其体重必为58.79kg9.已知圆2221:24C x y mx m +-+=，圆()2222:2283C x y x my m m ++-=->，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离10.有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同．若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都各测试一人，则不同的安排方式的种数为（ ）A ．264B ．72C ．266D ．274 11.若()()2013201301201312x a a x a x x R -=+++∈ ，则201312232014222a a a +++值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1-12.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为（ ） A ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1 C ．121,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ．14.一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 是“第二次取到的是一等品”，则()/P B A ．(()/P B A 为A 在发生的条件下B 发生的概率)15.若,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪>-⎩，则1y z x =+的范围是 ．16.已知函数()()y f x x I =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数(),y h x x I =∈.即(),y h x x I =∈满足对任意x I ∈，两点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称.若()h x 是()g x =()3f x x m =+的对称函数，且()()h x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）(1)设集合{}1,2,3M =和{}1,1,2,3,4,5N =-，从集合M 中随机取一个数作为a ，从N 中随机取一个数作为b .求所取的两数中能使2b a ≤时的概率；(2)设点(),a b 是区域6000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求能使2b a ≤时的概率.18. （本小题满分12分）已知圆22:4230C x y x y +-+-=和圆外一点()4,8M -.（1）过M 作圆C 的切线，切点为,D E ，圆心为C ，求切线长及DE 所在的直线方程； （2）过M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若4AB =，求直线AB 的方程.19. （本小题满分12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100、、、、.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.（分数可以不为整数）20. （本小题满分12分）设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()()2f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程（用含b 的方程表示）（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.21. （本小题满分12分）某中学高二年级共有8个班，现从高二年级选10名同学组成社区服务小组，其中高二（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X 为选出的同学来自高二（1）班的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.22. （本小题满分10分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为,,a b c . （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率.2016-2017学年福建省高二上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题1-5: CADBB 6-10:CDDDA 11、12：CA 二、填空题 13.534 14. 32 15. 1(,]3-∞ 16. 102>m 三、解答题17. 解（1）∵2b≤a,若a=1则b=－1， 若a=2则b=－1，1,若a=3则b=－1，1，记事件A 为“所取的两数中能使2b ≤a ”,则事件A 包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件A 的概率为P(A)= 518（2）依题设条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6≤0a ＞0b ＞0 ,而构成所求事件的区域为三角形AOB 部分,如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6=0b= a 2解得交点为B(4,2).∴所求事件的概率为P=S △AOB S △AOC = 12 ×6×212 ×6×6 = 1318.解（1）圆方程22(2)(1)8x y -++=，||CM ==由于,,,C D M E 四点共圆，则过,,,C D M E 的圆方程为22953(3)()24x y -++=由于DE 为两圆的公共弦，则两圆相减得DE 直线方程为：27190x y --=. （如用圆的切线方程求出的相应给分）（2）①若割线斜率存在，设:8(4)AB y k x +=-，即480kx y k ---=. 设AB 的中点中点为N ，则||CN =||CN ⇒=由222||||()2AB CN r +=，得4528k =-；直线:4528440AB x y ++=. ②若割线斜率不存在，:4AB x =.代入圆方程得2122301,3y y y y +-=⇒==-，符合题意. 综上直线:4528440AB x y ++=或4x =.19、解：（1）由概率和为1可得：005.01204.03.02.0=⇒=+++a a（2）区间]70,50的概率和为45.04.005.0=+，则区间]80,70[中还需拿出概率05.0的区域才到达概率为5.0，即区间]80,70[要拿出61的区域，故中位数为3271106170=⨯+.（3）根据上表知：)90,50[外的人数为：10)2540205(100=+++- 20、解：（Ⅰ）令x ＝0，得二次函数图象与y 轴交点是（0，b ）；因为二次函数二次项系数为1，由二次函数性质得二次函数()()2f x x x b x R =++∈的图象必与x 轴有两个交点．令()20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得14b <且b ≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与20x x b ++= 是同一个方程，故D ＝1，F ＝b ． 令x ＝0 得20y Ey b ++=，此方程有一个根为b 且b ≠0，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为22(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C ：22(1)0x y x b y b ++-++=方程化为22(1)0x y x y b y ++---= 则圆C 必过定点（0，1）和（－1，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－1，1）．21.解：（1）三名学生均不来自高二（1）班的概率为24712035310371===C C p 三名学生有1名来自高二（1）班的概率为40211206331027132==⨯=C C C p 三名学生来自不同班级的概率为60494021247=+=p （2）0=X 时，2471203531037===C C p ，1=X 时，4021120633101327==⨯=C C C p 2=X 时，407120213102317==⨯=C C C p ，3=X 时，120131033==C C p . X 的分布列如下表：9.0101203402401240)(==⨯+⨯+⨯+⨯=x E22.解：（1）由题意，随机有放回的抽取3次，基本事情（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3）……（3，3，3）共有27个 又c b a =+包含三个基本事件：（1，1，2），（1，2，3），2，1，3）源:Z+xx+] 对应的概率31279p ==. （2）“c b a ,,不完全相同”的对立事件是“c b a ,,完全相同”， “c b a ,,完全相同”包含三个基本事件：“3,2,1=========c b a c b a c b a ” 所以381279p =-=.。
福建省三明市清流一中2016-2017学年高二上学期第一阶段考试数学理试卷(理科实验班) 含答案
清流一中2016—2017上学期第一阶段考试卷高二理科数学（实验班)一 选择题(本大题共12小题,共60分)1。
用秦九韶算法在计算64232)(234-+-+=x x x x x f 时，要用到的乘法和加法的次数分别为( )A 。
4，3 B.6,4 C 。
4,4 D 。
3，4 2.如图程序的输出结果为（ ）A.3，2 B 。
3，3 C 。
2，2 D.2，33.运行如图方框中的程序，若输入的数字为—1，则输出结果为（ ）A 。
Y=1 B.Y=-1 C.Y=-3 D.Y=-54.采用系统抽样的方法从2005个个体中抽取一个容量为50的样本， 则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（ ） A.40，5 B 。
50，5 C 。
5，40 D.5，50 5。
读下图所示程序，对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )A. S=1+2+3+...99，P=1+2+3+...99 B.S=1+2+3+...99,P=1+2+3+ (100)C. S=1+2+3+...100，P=1+2+3+...100 D.S=1+2+3+...100，P=1+2+3+ (99)6。
下列四个数中，最大的是( ）第2第3题A 。
25 B 。
(5)44 C. (4)103 D 。
(2)110117。
为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为12,l l ，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是（ ）A 。
直线1l 和2l 一定有公共点（s ，t ） B 。
直线1l 和2l 相交,但交点不一定是（s ，t)C 。
必有1l ∥2l D 。
1l 和2l 必定重合8.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5:4：3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,则应抽二年级的学生（ )A.100人B.60人C.80人D.20人9。
2016-2017学年福建省高三(上)期末数学试卷(理科)Word版(解析版)
2016-2017学年福建省高三（上）期末试卷（理科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切2．下列有关命题的叙述错误的是（）A．若非p是q的必要条件，则p是非q的充分条件B．“x＞2”是“”的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＜0”D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题3．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．4．下列命题中错误的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β5．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣106．函数f（x）=（x+2）2（x﹣1）3的极大值点是（）A．x=﹣2或1 B．x=﹣1或2 C．x=﹣1 D．x=﹣27．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A． B．C． D．8．过双曲线x2﹣y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28 B．14﹣8C．14+8 D．89．如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体的表面积是（）A．B．C．D．10．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是（）A．B． C． D．11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A．9 B．6 C．3 D．2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．14．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，则平面PAB与平面PCD 所成的二面角的度数为．15．若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2，则类似的结论为：．16．如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）给出命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．（1）如果命题p为真，求a的取值范围；（2）如果命题“p∪q”为真，“p∩q”为假，求实数a的取值范围．18．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣1与函数g（x）=alnx（a≠0）．（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣2g（x），求函数F（x）的极值．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°．（Ⅰ）求直线A1C与底面ABC所成的角；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求出C1P的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知点P是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F1，F2是椭圆的两个焦点，|OP|=，•=（点O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．2016-2017学年福建省高三（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2008•重庆）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选 B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．2．下列有关命题的叙述错误的是（）A．若非p是q的必要条件，则p是非q的充分条件B．“x＞2”是“”的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＜0”D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题【分析】由充分必要条件的判断方法判断A、B；写出全称命题的否定判断C；由复合命题的直接判断判断D．【解答】解：若非p是q的必要条件，则q⇒￢p，∴p⇒￢q，即p是￢q的充分条件．故A正确；由x＞2⇒，但由，不一定有x＞2，如x＜0．∴“x＞2”是“”的充分不必要条件．故B正确；命题“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＜0”．故C正确；若p且q为假命题，则p，q中至少一个为假命题．故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题的自己判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查命题的否定和逆否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是基础题．3．（2015•宝鸡一模）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．4．（2007秋•天河区期末）下列命题中错误的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β【分析】由线面垂直的几何特征，讨论a⊂α，但a与l不垂直时，a与β的位置关系，可得A的真假；根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理，可得B的真假；根据面面垂直的性质可得C的真假，根据面面垂直的性质定理，可得D的真假，进而得到答案．【解答】解：若α⊥β，α∩β=l，当a⊂α，但a与l不垂直时，a与β不垂直，故A错误；若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又由m⊂α，则α⊥β，故B正确；若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故C正确；若α⊥β，α∩β=AB，a⊥AB，由面面垂直的性质定理可得a⊥β故选A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答本题的关键．5．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式为：9（n﹣1）+n=10n﹣9故选B．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．函数f（x）=（x+2）2（x﹣1）3的极大值点是（）A．x=﹣2或1 B．x=﹣1或2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【分析】先求出函数的导数：f′（x）=（x﹣2）（x﹣2）2（5x+4），令f′（x）＞0，解得：x ＞﹣，或x＜﹣2，从而得到x=﹣2是函数的极大值点．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣2）（x﹣2）2（5x+4），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，或x＜﹣2，∴函数f（x）在（﹣∞﹣2），（，+∞）上递增，在（﹣2，﹣）上递减，∴x=﹣2是函数的极大值点，故选；D．【点评】本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A． B．C． D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选B．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．过双曲线x2﹣y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28 B．14﹣8C．14+8 D．8【分析】根据双曲线方程得a=b=2，c=4．由双曲线的定义，证出|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8=PQ|+8，结合|PQ|=7即可算出△PF2Q的周长．【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣y2=8，∴a=b=2，c=4，根据双曲线的定义，得|PF2|﹣|PF1|=4，|QF2|﹣|QF1|=4，∴|PF2|=|PF1|+4，|QF2|=（|QF1|+4），相加可得|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8，∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7，∴|PF2|+|QF2|=7+8，因此△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=7+8+7=14+8，故选：C【点评】本题给出经过双曲线右焦点的弦PQ长，求PQ与左焦点构成三角形的周长，着重考查了双曲线的标准方程、定义与简单几何性质等知识，属于基础题．9．（2008•天河区校级模拟）如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体的表面积是（）A．B．C．D．【分析】通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，正三角形的边长为：2，正三棱柱的高为3，所以正三棱柱的表面积为：2×+3×2×3=18+2cm2．故选A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．10．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是（）A．B． C． D．【分析】由题意可以先设出椭圆的方程，因为过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，所以可以利用椭圆的方程及左焦点F1求出|PF1|=，然后在有|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项得到方程进而求出则的值．【解答】解：由题意设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），令x=﹣c得y2=，∴|PF1|=，∴==，又由|F1B2|2=|OF1|•|B1B2|得a2=2bc，∴a4=4b2（a2﹣b2）．∴（a2﹣2b2）2=0．∴a2=2b2．∴=．故选B．【点评】此题重点考查了椭圆的标准方程及其性质，等比中项等，还考查了学生对已知信息的合理顺序的应用．11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．∴BD⊥AC，故①正确．设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．∴AC=a．∴△ADC为等边三角形，故②正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．cos＜，＞=，∴＜，＞=60°，故③正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故④不正确．故选：C【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键，是中档题．12．（2012•资阳二模）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A．9 B．6 C．3 D．2【分析】确定抛物线y2=4x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论．【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∴S1=，S2=，S3=∴S12+S22+S32=（++）=x1+x2+x3，∵点F是△ABC的重心∴x1+x2+x3=3∴S12+S22+S32=3故选C．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形重心的性质，属于中档题．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2016春•鹤壁期末）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．14．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，则平面PAB与平面PCD 所成的二面角的度数为450．【分析】如图，过点P作直线l∥AB，直线l就是平面PAB与平面PCD的交线，故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角，在直角△PAD△中可知∠DPA=45°．【解答】解：如图，过点P作直线l∥AB，直线l就是平面PAB与平面PCD的交线，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥面PAD即CD⊥PD，∴PD⊥l，PA⊥l，故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角，在直角△PAD△中可知∠DPA=45°．故答案为：450【点评】本题考查了二面角的求解，属于基础题．15．（2002•上海）若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2，则类似的结论为：=．【分析】本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由平面中，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．（面的性质）我们可以类比在空间中相似的体的性质．【解答】解：根据类比推理的思路：由平面中面的性质，我们可以类比在空间中相似的体的性质，由若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．我们可以推断：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2则：=故答案为：=【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．16．（2012•资阳二模）如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为．【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，连接OQ，F1P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1，并由此得到椭圆C的离心率．【解答】解：连接OQ，F1P如下图所示：则由切线的性质，则OQ⊥PF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1，故|PF2|=2a﹣2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2）解得：b=a则c=故椭圆的离心率为：故答案为：．【点评】本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a，b，c的关系式，最后化归为a，c （或e）的关系式，利用方程求解．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（10分）给出命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．（1）如果命题p为真，求a的取值范围；（2）如果命题“p∪q”为真，“p∩q”为假，求实数a的取值范围．【分析】（1）若命题p为真，则2﹣a＞a＞0，解得：a的取值范围；（2）如果命题“p∪q”为真，“p∩q”为假，则p，q中一真一假，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）命题p为真⇔2﹣a＞a＞0⇔0＜a＜1…（4分）（2）命题q为真命题“p∨q”为真，“p∧q”为假⇔p，q中一真一假，…（6分）当p真q假时，，得…（8分）当p假q真时，，得所以a的取值范围是或…（10分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的标准方程，二次函数的图象和性质，难度中档．18．（12分）（2015•沈阳模拟）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．19．（12分）（2012•江西一模）已知函数f（x）=x2﹣1与函数g（x）=alnx（a≠0）．（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣2g（x），求函数F（x）的极值．【分析】（I）先判定点（1，0）与函数f（x），g（x）的图象的位置关系，然后分别求出在x=1处的导数，根据函数f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，建立等量关系，求出a的值；（II）先求出F（x）的解析式和定义域，然后在定义域内研究F（x）的导函数，讨论a的正负，分别判定F'（x）=0的值附近的导数符号，确定极值．【解答】解：（I）因为f（1）=0，g（1）=0，所以点（1，0）同时在函数f（x），g（x）的图象上（1分）因为f（x）=x2﹣1，g（x）=alnx，f'（x）=2x，（3分）由已知，得f'（1）=g'（1），所以，即a=2（6分）（II）因为F（x）=f（x）﹣2g（x）=x2﹣1﹣2alnx（x＞0）（7分）所以（8分）当a＜0时，因为x＞0，且x2﹣a＞0，所以F'（x）＞0对x＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，F（x）无极值（10分）当a＞0时，令F'（x）=0，解得（舍）（11分）所以当x＞0时，F'（x），F（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）F′（x）﹣ 0+F（x）↘极小值↗（13分）所以当时，F（x ）取得极小值，且．（14分）综上，当a＜0时，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，函数F（x）在处取得极小值a﹣1﹣alna．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，公切线等有关基础知识，考查空运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论的思想，属于中档题．20．（12分）（2012•泗县校级模拟）已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【分析】（1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：（1）求导函数，可得（x＞0）若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1﹣a=0，解得a=1∴f（x）=x﹣lnx∴f（x）+2x=x2+b，即x﹣lnx+2x=x2+b，亦即x2﹣3x+lnx+b=0设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0）则g'（x）=2x﹣3+==当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表x（0，）（，1）1（1，2）2g'（x）+0﹣0+G（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b﹣2，g（）=b﹣﹣ln2，g（2）=b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0∴b﹣﹣ln2≥0，b﹣2＜0，b﹣2+ln2≥0∴+ln2≤b＜2【点评】本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2012•嘉兴模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°．（Ⅰ）求直线A1C与底面ABC所成的角；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求出C1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，证明B1O⊥平面ABC，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐标，底面ABC的法向量，设直线A1C与底面ABC所成的角为θ，通过，求出直线A1C与底面ABC所成的角．（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，通过求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通过=0，求出．．求解．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，∵侧面BCC1B1⊥平面ABC，∴B1O⊥平面ABC，∴∠B1BC=60°．又∵BCC1B1是菱形，∴O为BC的中点．…（2分）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，B（0，﹣1，0），C（0，1，0），，，∴，又底面ABC的法向量…（4分）设直线A1C与底面ABC所成的角为θ，则，∴θ=45°所以，直线A1C与底面ABC所成的角为45°．…（7分）（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，则，，．…（8分）设平面B1CP的法向量，则．令z=1，则，，∴．…（10分）设平面ACC1A1的法向量，则令z=1，则，x=1，∴．…（12分）要使平面B1CP⊥平面ACC1A1，则==．∴．∴．…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，平面与平面垂直，考查空间想象能力，计算能力．22．（12分）（2013•鹰潭一模）已知点P是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F1，F2是椭圆的两个焦点，|OP|=，•=（点O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用椭圆短轴长为2，求b．利用，|OP|=，•=，可求c，进而求出椭圆方程和离心率．（Ⅱ）将直线方程和椭圆方程联立，进行消元，转化为一元二次方程问题，然后利用根与系数之间的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y），F1（﹣c，0），F2（c，0）由|OP|=，得，…（1分）由•=得，即…（2分）所以c=，又因为短轴长为2，所以b=1，所以离心率e=，…（4分）椭圆C的方程为：；…（6分）（Ⅱ）由得，设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0…（7分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…（8分）所以．因为+=λ，λ∈（0，2），所以，，得，于是，…（9分）所以…（10分）又因为λ＞0，原点O到直线MN的距离为所以=，当，即时等号成立，S△OMN的最大值为…（13分）【点评】本题主要考查了椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系．综合性较强，运算量较大．。
2017届福建省三明市高三质检理科数学试题及答案
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x ，2x ，…，nx 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么A B 等于 A ．∅ B ．{}|01x x x <<∈R ， C ．{}|22x x x -<<∈R ， D ．{}|21x x x -<<∈R ，2．已知样本M 的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M 的数据分别加上4后得到样本N 的数据，那么两样本M ，N 的数字特征对应相同的是A ．平均数B ．众数C ．标准差D ．中位数 3．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数B ． 偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 4．已知数列{}n a 的前n 项和21n nS=-，则数列2{}n a 的前10项和为A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3- D ．101(21)3-5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线1l 在平面α内，直线2l 在平面β内，且2l ⊥m ，则“1l ⊥2l ”是“α⊥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为34，三棱锥的体积为14，则a 的值为ABC ．34D ．17．已知R a ∈，那么函数()cos f x a ax =的图象不可能是BC D8．已知函数21 1<0,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-+-≤=⎨-+>⎩，将函数()()1g x f x x =--的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{}na ，则该数列的通项公式为 A ．1n a n =- B ．n a n = C ．(1)n a n n =-D ．a n ＝2n－29．已知区域11,(,)|11x x y y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬-≤≤⎪⎩⎪⎭⎩，区域||1{(,)|0e ,[1,1]}2x A x y y x -=≤≤∈-，在Ω内随机投掷一点M ，则点M 落在区域A 内的概率是A ．11(1)2e- B ．11(1)4e- C ．1e D ．11e-10．若曲线()y f x =在点11(,)A x y 处切线的斜率为A k ，曲线()y g x =在点22(,)B x y 处切线的斜率为Bk （12x x ≠），将||||A B k k AB -的值称为这两曲线在A ，B 间的“异线曲度”，记作(,)A B ϕ．现给出以下四个命题：①已知曲线3()f x x =，2()1g x x =-，且(1,1),(2,3)A B ，则(,)A B ϕ>②存在两个函数()y f x =，()y g x =，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；③已知抛物线2()1f x x =+，2()g x x =，若120x x >>，则(,)A B ϕ<④对于曲线()e x f x =，()e x g x -=，当121x x -=时，若存在实数t ，使得(,)1t A B ϕ⋅>恒成立，则t 的取值范围是[1,)+∞．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．二项式10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a ＝_____．12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了500名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是380，则身高在170cm 以下的频率为＿＿＿＿＿．13．若命题“2[1,2],20x x ax a ∃∈++≤”为假命题，则实数a的取值范围 是 ．14．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．15．如图，三条平行直线12,,l l l 把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l 到12,l l 的距 离相等．点O 在直线l 上，点A B ,在直线1l 上，P 为平 面区域内的点，且满足1212(,)OP OA OB λλλλ=+∈R．若P 所在的区域为④,则12λλ+的取值范围是是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知集合}{1,1,2,3A =-，从A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，作为复数i z a b =+(i 为虚数单位)的实部和虚部．（Ⅰ）求复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率； （Ⅱ）设2||z ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ.17．（本小题满分13分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将ACD !沿矩形的对角线AC翻折，得到如图2所示的几何体D ABC -，使得BD(Ⅰ) 求证：AD BC ⊥；(Ⅱ) 若在CD 上存在点P ，使得12P ABC D ABC V V --=，求二面角P AB C --的余弦值．ABCDPDCBA图1 图218.（本小题满分13分）已知点3(,)2P c c 在以(,0)F c 为右焦点的椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，斜率为1的直线m 过点F与椭圆Γ交于A B ,两点，且与直线:4l x c=交于点M ．(Ⅰ) 求椭圆Γ的离心率e ；(Ⅱ) 试判断直线PA ，PM ，PB 的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．19．（本小题满分13分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，π3BCD ∠=，设 BAD θ∠=，且ππ(,)93θ∈．(Ⅰ) 若π4θ=，求AB 的长；(Ⅱ) 求BD 的长()f θ，并求()f θ的最小值；(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与θ有关，且需求量()g θ的函数关系式为()4sin 66g θθθ=+（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++()a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）将函数()y f x =的导函数．．．的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数()y g x = 的图象，试证明：当12a =时，[()]()22n n n g x g x -≥- ()n +∈N ．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵 10 a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0,0a b >>）． （Ⅰ）当2,3a b ==时，求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；（Ⅱ）当a b =时，曲线22:1C x y -=在矩阵M 的对应变换作用下得到曲线C '：2210x xy --=，求a 的值．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3,5415x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)P x y 是直线l 与曲线C 的内部的公共点，求x y -的取值范围．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知不等式|2|1x -≤的解集与不等式220x ax b -+≤的解集相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =x 的值．2017年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题：1—5 BCACB 6—10 DDABC二、填空题：11．12-； 12．0.24； 13．1(,)3-+∞； 14 15．(,1)-∞-；三．解答题：16．解：（Ⅰ）从集合A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，组成复平面内的对应点有2412A =种，其中位于第一象限的点有236A =种，所以所求的概率为12. ……………………6分（Ⅱ）222=z a b ξ=+,=2,5,10,13ξ． ……………………7分1(2)P ξ==,1(5)P ξ==，1(10)P ξ==，1(13)6P ξ==．……………………11分 ∴11111525101363362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (13)分 17．解：（Ⅰ）当BD =1AD =，2AB =，∴AD BD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ， ∴AD BC ⊥．……………………5分（Ⅱ）如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所 在直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 由（Ⅰ）知AD BC ⊥，又AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面ABD ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABD ⊥平面ABC ， 过D作DH AB⊥，则DH z∥轴， ……………………7分在Rt ABD !中，1AD =，2AB =，可得13,22AH BH ==．故3(0,2D ，∵12P ABC D ABC V V --=，∴P 为DC中点，∴13(,24P ．设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n∴(,,)(0,2,0)0,13(,,)(,0,24x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10,2y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩……………9分取2z =-，则2)=-n ，又平面ABC 的法向量为(0,0,1)=m ， ………11分则cos ,m n＝||||⋅⋅m nm n．故二面角P AB C--的余弦值为． ……………………13分18．解：（Ⅰ）因为点3(,)2P c c 在椭圆2222:1x y a bΓ+=上，所以2222914c c a b +=.整理得，422441740a a c c -+=，即4241740e e -+=， 解得12e =或2e = (舍)，所以离心率12e =. ……………………5分（Ⅱ）直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由(Ⅰ）知，2,a c b ==，∴椭圆222:3412E x y c +=直线m 的方程为y x c =-．代入椭圆方程并整理， 得227880x cx c --=. ……………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则有2121288,77c c x x x x +=⋅=-. (8)分可知M 的坐标为(4,3)c c ．所以1213123322y c y c k k x c x c --+=+--212122121272()521()x x c x x c x x c x x c-++==-++ 232(3)2214c c k c c-==-， ……………………12分∴1322k k k +=.故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列． ……………………13分19．解法一：（Ⅰ）在ACD ∆中，已知=6AD ，2π3ACD ∠=，π3ADC θ∠=-，由正弦定理得：π2πsin()sin33AC ADθ==-故πsin()3AC θ=-. ……………………2分当π4θ=时, ππsin()34AC =-＝ππππcos cos sin )3434⋅-⋅== 故AB的长为……………………4分（Ⅱ）在ABD ∆中，已知=6AD ，π3sin()3AB θ-，BAD θ∠=，由余弦定理得：2222cos BD AD AB AD AB θ=+-⋅⋅……………………5分2ππ363sin()]243sin()cos 33θθθ=+--⨯-2ππ3696[2sin()3sin()cos ]33θθθ=+--2π13696[1cos(2)sin )cos ]32θθθθ=+---1133696[cos 22cos 22]424θθθθ=++--+113696(cos 22)44θθ=+--π6048sin(2)6θ=-+……………………7分因为ππ(,)93θ∈，所以π7π5π2(,)6186θ+∈，即sin(2)16πθ+≤BD ∴则BD的最小值为πsin(2)6θ+=1，即π=6θ. ……………………9分(用其它方法求出BD 的表达式及最小值酌情给分) （Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈,令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈,问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使是()0h x =,……………………10分①当(4,2π)x ∈时, |sin x |≤1，必有()4sin 0h x x x =+>；②当2π(,4]3x ∈时, '()4cos 1h x x =+，因为2π4π433x <≤<，所以11cos 2x -≤<-，从而'()4cos 10h x x =+<,在2π4π(,)33x ∈恒成立，()h x 在区间2π4π(,)33递减，于是4π4π4π()(4)()4sin 40333h x h h ≥>=+>->综上，在 2π(,2π)3,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零.……………………13分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈，令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈,问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使得使是()0h x =,………………10分'()4cos 1h x x =+,令'()0h x =，得1cos 4x =-, ∵2π(,2π)3x ∈,故存在12π(,π)3x ∈,23π(π)2x ∈，,使得121cos cos 4x x ==-, 易知()h x 在12π(,)3x 单调递，在(12)x x ，递减，在2(,2)x π递增，故在2π(,2π)3,22π()max{(),()}3h x h h x ≥,∵2π2π()033h =>,注意到23π(π)2x ∈，,且211cos 42x =->- ,∴ 4π3π32x <<,2sin 4x =-．这样22224π()4sin 4(03h x xx x =+=⨯+>>．……………12分综上：在 2(,2)3ππ,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零．……………………13分20．解法一：（Ⅰ）当2a =时，2()2ln(1)f x x x =++(1)x >-，21(21)()4011x f x x x x +'=+=≥++，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞. ……………………3分（Ⅱ）因函数()f x 图象上的点都在0,x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内， 则当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，、 设2()ln(1)g x ax x x =++-(0x ≥)，只需max()0g x ≤即可．由1()211g x ax x '=+-+[2(21)]1x ax a x +-=+， …………………4分(ⅰ) 当0a =时， ()1x g x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 故()(0)0g x g ≤=成立． ……………………5分 (ⅱ) 当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以112x a=-， ① 若1102a -<，即12a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>， 则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值， 当x →+∞时，()g x →+∞，此时不满足条件；② 若1102a-≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a-上单调递减，在区间1(1,)2a-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值，当x →+∞时， ()g x →+∞，不满足条件． ……………………7分(ⅲ) 当0a <时，由[2(21)]()1x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减， 故()(0)0g x g ≤=成立．……………………8分 综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞．……………………9分 （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x =-++，当12a =时，1g()(0)x x x x =+> (10)分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()()112212111111n n n n n nn n n n n n nx C x C x C x C x x x x x x ----=+⋅+⋅++⋅+-+ ()122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ .令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ ，则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>， ∴2T122244144n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ ()()()≥121n nn n CC C -⋅+⋅++⋅ 1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++-- () 222n =-(). ∴22n T≥-，即[()]()22n n n g x g x -≥-. ……………………14分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x =-++，当12a =时，1g()(0)x x x x =+>，…………………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()() 设11()()()n n n h x x x x x=+-+，当1n =时，结论成立； 当2n ≥时，112111()()(1)()n n n n h x n x nx xx x --+'=+---21221[(1)(1)(1)]n n n n x x x x-+=+---∵当1x ≠时，22222111n n x xxx --+++=- ∴222221(1)(1)n n x x x x --=-+++ ， 当1x =时，上式显然成立.∴2212221(1)()[(1)(1)]n n n n x h x x x x x--+-'=+-+++2124226221111(1)[(1)(1)(1)]n n n n n n n n x C x C x C x x------+-=-+-++- 当(0,1)x ∈时，()0h x '≤；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '≥ ∴()(1)22n h x h ≥=- ∴[()]()22n n n g x g x -≥-，()n N *∈.……………………14分解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x =-++，当12a =时，1g()(0)x x x x=+>…………………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()() 以下用数学归纳法证明不等式[()]()22n n n g x g x -≥-. ①当1n =时，左边110x x x x=+-+=()()，右边1220=-=，不等式成立； ② 假设当n k =k +∈N ()时，不等式成立，即11k k k x x xx+-+()()22k ≥-， 则11111k k k x x x x++++-+()()11111111k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++=++-++++-+()[()()]()()()111k k k x x x x x x =++-++()[()()]111k k x x--+()()22k ≥⋅-+122k +=-.也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n +∈N ，[()]()22n n n g x g x -≥-都成立. ………………14分21．（1）解：（Ⅰ） 2 10 3M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令 2 -1() 0 -3f λλλ-=＝(-2)(-3)λλ＝0， 得2λ=或3λ=，当2λ=时，由112 120 3ξξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当3λ=时，由222 130 3ξξ⎛⎫=⎪⎝⎭，得211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以对应特征值为2的一个特征向量是110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应特征值为3的一个特征向量是211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ……………………4分（Ⅱ）设曲线C 上的点(,)P x y 在矩阵M 的作用下变成(,)P x y '''，则10 a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,,x ax y y ay '=+⎧⎨'=⎩将变换公式代入曲线C '：2210x xy --=可得，2()2()10ax y ax y y +-+-=，即22210a x y --=，即为曲线:C 221x y -=，∴21a =，又a >，∴1a =．……………………7分（2）解法一：（Ⅰ）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∴222x y y +=，即22(1)1x y +-=，所以曲线C的直角坐标方程为22(1)1x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）法一：∵341(1)1555x y t t t -=-+=--，而11t -<<，∴111555t -<-<，∴6141555t -<--<-，即x y-的范围是64(,)55--． ……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）联立2241,3(1)1,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩解得113,59,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,51.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴x y-的范围是64(,)55--． ……………………7分（3）解：（Ⅰ）不等式|2|1x -≤的解集为{}|13x x ≤≤， 所以方程220x ax b -+=的两根为1,3x x ==.∴13,213,2a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩ 解得8,6a b ==. ……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()f x =定义域为5|34x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.所以22222(46]++≥.则()f x ≤，当且仅当4213x =时取等号. 故当4213x =时，()f x 的最大值为…………………7分。
福建省三明市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
福建省三明市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）A ．3B ．C ．2D ．62．若命题“p q ∧”为假，且“q ⌝”为假，则（ ）A ．“q p ∨”为假B ．p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假3．命题:“∀x ∈R,022<+-x x ”的否定是（ ）A.∀x ∈R,022≥+-x xB.∃x ∈R,022≥+-x xC.∃x ∈R,022<+-x xD.∀x ∈R,022≥+-x x4．已知12,F F 是椭圆2212516x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点．在1AF B ∆中，若有两边之和是15，则第三边的长度为A ．6B ．5C ．4D ．3 5．若='=)2(,cos )(πf x x f 则（ ）A ．1-B ．23C ．0D ．1 6．命题“若2015x >，则0x >”的否命题是（ ）A ．若2015x >，则0x ≤B ．若0x ≤，则2015x ≤C ．若2015x ≤，则0x ≤D ．若0x >，则2015x >7．某物体的运动方程为s=3t 3+2，则该物体在t=2时的瞬时速率是（ ）A.36B.26C.14D.28 8．抛物线22x y =的焦点坐标为（ ）A ．（１，0）B ．（21，0） C ．（10,8） D ．（10,16） 9．已知0a >，函数3()[1,)f x x ax =-+∞在上是单调函数，则a 的取值范围是（ ）A.(3,)+∞B.[3,+) ∞C.(-,3)∞D.(-,3]∞10．直线l 过抛物线()220x py p =>的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是（ ）A ．212x y =B ．28x y =C ．26x y =D ．24x y =11．已知双曲线E 的中心在原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 线段中点(12,15)N --，则E 的方程为（ ）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -= 12．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∃∈>”； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；④命题p ：[1,),lg 0x x ∀∈+∞≥，命题q ：2,10x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题(每小题5分，共20分)13．双曲线14416922=-y x 的离心率=e ．14．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 15．函数的导数为 ．16．函数f （x ）=xlnx 在（0，+∞）上的最小值为 ．三、解答题（共70分）17.（10分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=．（1）求f （x ）的零点； （2）求函数y ＝f (x )在区间上的最小值．318．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为62，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 2:-=kx y 与椭圆C 交于B A ,两点，点()0,1P ，且PA =PB ，求直线l 的方程．19．（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
2016-2017学年高二数学(理)上学期期末试卷(附答案)
2016-2017学年高二数学（理）上学期期末试卷（附答案）九江一中2016 -2017学年上学期期末考试高二数学(理科)试卷命题人：高二数学备组审题人：高二数学备组注意事项：1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共10分，答题时间120分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2第I卷（选择题）答案必须使用2B铅笔填涂；第II卷（非选择题）必须将答案卸载答题卡上，写在本试卷上无效。
3考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、如果，那么下列不等式成立的是（）A．B．．D．2、（）A．1 B．30 ．31 D．643、已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A B D4、已知命题，命题，则是的（）A充分不必要条B必要不充分条充要条D既不充分也不必要条、若实数满足，则的最小值为（）A B2 D6、已知数列为等比数列，则下列结论正确的是（）A．B．若，则．若，则D．7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。
书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺．尺D．尺8、若双曲线的渐近线与圆（）相切，则（A）（B）（）2（D）9、设正数满足：，则的最小值为（）A．B．．4 D．210、若椭圆和圆，( 为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是( )A B D11、以抛物线的顶点为圆心的圆交于A，B两点，交的准线于D，E 两点已知|AB|= ，|DE|= ，则的焦点到准线的距离为（A）2 （B）4 （）6 （D）812、如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（）A．B．9 D．14第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题分13、在△AB中，若,则14、在平面内，三角形的面积为S，周长为，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=___________________1、已知中，，则的最大值是16、设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_________三、解答题：解答应写出字说明、证明过程或演算步骤(17)（本小题满分10分）在中，角所对的边分别为，且（1）求的值；（2）若，，求三角形AB的面积（18）（本小题满分12分）已知数列满足，（1）计算，，，的值；（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想（19）（本小题满分12分）数列的前项和记为，，（Ⅰ）当为何值时，数列是等比数列;（Ⅱ）在（I）的条下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求20、（本小题满分12分）由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形，沿折起，使平面平面（1）求证：；（2）求二面角的正切值21、（本小题满分12分）已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．（1）求的值；（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．22、（本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆的一个焦点和抛物线的焦点重合．（1）求椭圆的方程（2）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点，若存在，说出点的坐标，若不存在，说明理由．九江一中2016 ----2017学年上学期期末考试高二数学试卷命题人：高二备组注意事项：4本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共10分，答题时间120分钟。
福建省三明一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0 2．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样3．抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（）A．B．C．4 D．24．阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（）A．6 B．18 C．27 D．1245．“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一抛物线形拱桥，当水面宽4米时，水面离拱顶2米，若水面下降1米，则水面的宽为（）A．米B．2米C．6米 D．8米7．如图，E，F分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M为EF的中点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣﹣+B．++C．﹣+D．﹣++8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．310．掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（）A．B．C．D．11．过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（）A．3 B．C．4 D．12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（）A．，B．，C．，D．，二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．把八进制数（102）（8）转化为三进制数为（）（3）．14．某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是．15．双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为．16．已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，则四边形ABCD面积最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2+mx+m）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．（Ⅰ）若p为真，求m的范围；（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．18．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，F（﹣2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为x﹣y=0．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．19．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．20．（12分）已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．21．（12分）如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．22．（10分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）现需生产20件此零件，预测需用多长时间？（参考公式：=，=﹣x）2016-2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．故选：B．【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．2．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【考点】收集数据的方法．【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选A．【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．3．抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（）A．B．C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线的方程转化成标准方程，则抛物线的焦点在y轴上，即2p=4，p=2，焦点与准线的距离为p=2．【解答】解：将抛物线y=﹣x2转化成标准方程：x2=﹣4y，则抛物线的焦点在y 轴上，即2p=4，p=2，焦点（0，﹣1），准线方程为y=1，焦点与准线的距离为p=2，故选D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线焦点到准线的距离，属于基础题．4．阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（）A．6 B．18 C．27 D．124【考点】程序框图．【分析】运行程序，即可得出结论．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：s=1，n=2；s=3•2=6，n=3；s=（6+3）•3=27，n=4，退出循环，故选C．【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．5．“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出﹣=1表示的曲线是双曲线的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若﹣=1表示的曲线是双曲线，则m（m﹣1）＞0，解得：m＞1或m＜0故m＜0是m＞1或m＜0的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查双曲线的定义，是一道基础题．6．一抛物线形拱桥，当水面宽4米时，水面离拱顶2米，若水面下降1米，则水面的宽为（）A．米B．2米C．6米 D．8米【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2米．故选：B【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．属于中档题．7．如图，E，F分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M为EF的中点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣﹣+B．++C．﹣+D．﹣++【考点】空间向量的加减法．【分析】利用向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：=，，，∴=++，故选：B．【点评】本题考查了向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【考点】极差、方差与标准差；分布的意义和作用；众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．【解答】解：=×（4+5+6+7+8）=6，=×（5+5+5+6+9）=6，甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．故选：C．【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意方程求得椭圆的半焦距，结合椭圆定义求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，则|AF2|+|BF2|=8﹣|AB|，再求出当AB垂直于x轴时的最小值，则|AF2|+|BF2|的最大值可求．【解答】解：由题意可知：椭圆+=1焦点在x轴上，a=2，b=，c=1，由椭圆的定义可知：|AF2|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，则|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，|AF2|+|BF2|=8﹣|AB|，∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，当x=﹣c=﹣1， +=1，解得：y=±，∴|AB|min=3，∴|AF2|+|BF2|的最大值为8﹣3=5．【点评】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆通径的求法，考查计算能力，属于基础题．10．掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由已知掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记为（m，n），共有36种可能，而由数量积则θ∈（0，]的，n范围是m﹣n≥0并且m+n≠0，由几何概型公式得到所求．【解答】解：解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件若θ∈（0，]，则m≥n，则满足条件的（m，n）有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）（6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件则P=；故选C．【点评】本题主要考查古典概型概率求法，用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角；解答本题的关键是明确概率模型，分别求出所有事件以及满足条件的事件个数，利用公式解答．11．过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（）A．3 B．C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B的纵坐标的乘积，结合2|AF|=|BF|+|BA|，求得A，B的纵坐标，则|AB|可求．【解答】解：由抛物线x2=4y，得F（0，1），若直线l⊥x轴，不合题意；设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k2+2，y1y2=1，①∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，∴|FA|=2|BF|，即y1+1=2（y2+1），即代入①得，∴y1=2，则|AB|=．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（）A．，B．，C．，D．，【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定义可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解出m，n．利用余弦定理可得关于e1，e2的等式，再由基本不等式求得当e1e2取最小值时，e1，e2的值．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．cos=，化为：=（a+a1）（a﹣a1）．∴﹣4c2=0，∴，∴4≥2，则，即，当且仅当e1=，e2=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．把八进制数（102）（8）转化为三进制数为（2110）（3）．【考点】进位制．【分析】首先把八进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以8的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以3，倒序取余即得三进制数．=1×82+0×81+2×80=66（10）【解答】解：102（8）66÷3=22 022÷3=7 (1)7÷3=2 (1)2÷3=0 (2)=2110（3）故102（8）故答案为：2110．【点评】本题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的，考查了转化思想，属于基础题．14．某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是140．【考点】频率分布直方图．【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故答案为：140【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．15．双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为60°．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．【解答】解：双曲线﹣x2=1的两条渐近线的方程为：y=±x，所对应的直线的倾斜角分别为60°，120°，∴双曲线双曲线﹣x 2=1的两条渐近线的夹角为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．16．已知A 、B 是椭圆+=1的两个顶点，C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD 面积最大值是 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】四边形ABCD 面积=S △ABD +S △ABC ，AC 是固定的直线，可判断两条平行直线与AB 平行时，切点为C ，D ，此时h 1，h 2最大，面积最大时，利用导数求出D（2，）再利用对称性得出C （﹣2，），|AC |=5，最后利用点到直线的距离，求出即可．【解答】解：∵A 、B 是椭圆+=1的两个顶点，∴A （4，0），B （0，3），∴直线AB 的方程为：3x ﹣4y ﹣12=0，当如图两条平行直线与AB 平行时，切点为C ，D ，此时四边形ABCD 面积最大值：S=AC （h 1+h 2），k AC =y=3，y′==x=2，y=，D （2，）根据对称性可知：C （﹣2，），|AC |=5h 1=，h 2=，S=AC（h1+h2）=××=【点评】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置故关系，利用数形结合的思想判断出最值的位置，再利用导数求解，即可得需要的点，用公式求解即可．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016秋•三元区校级期中）已知命题p：函数f（x）=lg（x2+mx+m）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．（Ⅰ）若p为真，求m的范围；（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）根据对数函数以及二次函数的性质得到关于m的不等式，解出即可；（Ⅱ）求出q为真时的m的范围，根据p，q中一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）若p为真，x2+mx+m＞0恒成立，…（1分）所以△=m2﹣4m＜0，…（2分）所以0＜m＜4．…（Ⅱ）因为函数g（x）=x2﹣2x﹣1的图象是开口向上，对称轴为x=1的抛物线，所以，若q为真，则m≥1．…若p∨q为真，p∧q为假，则p，q中一真一假；…（6分）∴或，…（10分）所以m的取值范围为{m|0＜m＜1或m≥4}．…（12分）【点评】本题考查了对数函数、二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．18．（12分）（2016秋•三元区校级期中）已知双曲线C的中心在坐标原点，F（﹣2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为x﹣y=0．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设双曲线方程为﹣=1，a＞0，b＞0，依题意，，解得即可，（Ⅱ）联立方程组，消元，根据判别式即可求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线方程为﹣=1，a＞0，b＞0，依题意，，解得，所以双曲线方程x2﹣=1，（Ⅱ）联立得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4=0，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以3﹣k2=0或△=（﹣2k）2+16（3﹣k2）=0，即k2=4或k2=3，所以k=±或k=±2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，以及直线和双曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）（2012•莆田二模）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ．f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ）共15种，其中a 和b 至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a 和b 至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x ≤1，0≤y ≤1，点（x ，y ）在如图所示的正方形OABC 内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x ﹣y ﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x ，y ∈[0，1]时满足2x ﹣y ﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．20．（12分）（2016秋•三元区校级期中）已知曲线C 上的任意一点到点F （1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l 过点A （1，1），且与C 交于P ，Q 两点；（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若A 为PQ 的中点，求三角形OPQ 的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用曲线C 上任意一点到点F （1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，可知曲线C 的轨迹是以F （1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C 的方程；（Ⅱ）求出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可求三角形OPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线∴曲线C的方程为y2=4x．…（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=2因为y12=4x1，y22=4x2，所以作差，可得直线l斜率为2，…（6分）所以直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．此时直线l与抛物线相交于两点．…（7分）设T为l与x的交点，则|OT|=，…（8分）由y=2x﹣1与y2=4x，消去x得y2﹣2y﹣2=0，…（9分）所以y1+y2=2，y1y2=﹣2，…（10分）所以三角形OPQ的面积为S=|OT||y1﹣y2|=．…（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是正确运用抛物线的定义，正确运用韦达定理．21．（12分）（2016春•苏州期末）如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c 的关系，解方程可得椭圆方程；（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==﹣，两边平方，再由点A，B 的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；②由题意可得C（x2，﹣y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=（3+4yy2），（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整1理，即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）①由题意可得k1k2==﹣，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），化简可得x12+x22=8；②由题意可得C（x2，﹣y2），由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，可得y12+y22==，由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，则直线AC的斜率为k AC==±=±．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的求法，注意运用点满足椭圆方程，直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（10分）（2016秋•三元区校级期中）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）现需生产20件此零件，预测需用多长时间？（参考公式：=，=﹣x）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）分别求出，，代入公式计算即可；（Ⅱ）将x=20代入=2x﹣0.5，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）==2.5，==4.5，…（2分）==2，。
三明市高二数学上期末试卷及答案
三明市高二数学上期末试卷及答案三明市高二数学上期末试卷及答案为了帮助大家顺利通过期末考试，有一个愉快的假期生活，店铺为大家带来一份三明市高二数学上的期末试卷及答案，欢迎大家阅读参考。
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )A.∀x∉R，log2x=2015B.∀x∈R，log2x≠2015C.∃x0∈R，log2x0=2015D.∃x0∈R，log2x0≠20152.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.5，6，7，8，9D.6，16，26，36，463.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )A. B. C. D.4.双曲线的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.D.5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )A.98B.105C.112D.1197.运行如图的程序后，输出的结果为( )A. B. C. D.8.已知椭圆过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )A.2x﹣y﹣3=0B. 2x﹣y﹣1=0C.x﹣2y﹣4=0D.x﹣2y+4=09.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )A. B. C. D.10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )A.2B.C.D.811.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)若 + = ，则实数a的值为( )A. B.2 C. D.2或12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )A.(2，4)B.(4，6)C.[2，4]D.[4，6]二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.13.将十进制数2016(10)化为八进制数为.14.已知变量x与y的取值如下表：x 2 3 5 6y 7 8﹣a 9+a 12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为.15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN 的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为.16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：①函数f(x)为奇函数;②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;④函数f(x)的最小值为 .其中说法正确的序号是(请写出所有正确说法的序号).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s的取值范围记为集合A，求集合A;(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.20.已知双曲线C：﹣ =1(a>0，b>0).(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率;(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率.[来源:]21.已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且，求k的取值范围.22.已知函数 .(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )A.∀x∉R，log2x=2015B.∀x∈R，log2x≠2015C.∃x0∈R，log2x0=2015D.∃x0∈R，log2x0≠2015【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，log2x0≠2015，故选：D.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.2.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.5，6，7，8，9D.6，16，26，36，46【分析】利用系统抽样的性质求解.【解答】解：∵要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，∴所选取的5袋奶粉的编号应该分别在1～10，11～20，21～30，30～40，41～50中各一袋，且所选取的5袋奶粉的编号间隔相等，由此能排除A、B、C，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是D.故选：D.【点评】本题考查用系统抽样方法确定所选取样本的编号的求法，是基础题，解题时要注意系统抽样的性质的合理运用.3.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )A. B. C. D.【分析】利用列举法求出基本事件空间，由此能求出结果.【解答】解：一个家庭有两个小孩，基本事件为：{男男}，{女女}，{男女}，{女男}，∴两个孩子是一男一女的概率为p= .故选：C.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.4.双曲线的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.D.【分析】由双曲线﹣=1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，即可得到所求双曲线的渐近线方程.【解答】解：由双曲线﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，可得双曲线的渐近线方程为y=± x.故选：D.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题.5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是( )[来源:Z_xx_]A.①②B.②③C.①③D.①②③【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲、乙两同学成绩的中位数、平均数与方差即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据，得;甲同学成绩的中位数是90，乙同学成绩的中位数是90，中位数相等，①错误;甲同学的平均分是 = (87+89+90+91+93)=90，乙同学的平均分是 = (88+89+90+91+92)=90，平均分相等，②正确;甲同学成绩的方差是 = [(﹣3)2+(﹣1)2+02+12+32]=4，乙同学成绩的方差是 = [(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22]=2， > ，③正确;综上，正确的命题是②③.故选：B.【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题.。
【数学】福建省三明市2017年普通高中毕业班质量检查数学理试题Word版含答案
【关键字】数学2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非必考题两部分）．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，若，则实数的取值范围是A. B. C. D.2．已知是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为A．B．C．D．4．设，为双曲线的左、右焦点，为上一点，与轴垂直，直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为2，则输出的值为A．64 B．84C．340 D．13646．已知数列的前项和为,且，则A． B. C．D．7.已知函数的图象关于直线对称，则A. B. C. D.8．在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数的A. B. C. D.9. 在四面体中，若，，，则直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．10．函数的图象大致是11．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为A． B. C. D.12．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的正面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为A．B．C．D．绝密★启用前2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅱ卷注意事项：用黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，满足，，且，则实数.14．的展开式中的系数是20，则实数.15. 已知函数，数列满足，则.16．对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时,都有；③当，且时，，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且60B =，4c =． （Ⅰ）若6b =，求角C 的正弦值及△ABC 的面积；（Ⅱ）若D ，E 在线段BC 上，且BD DE EC ==，23AE BD =，求AD 的长． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=，2AD AP ==，22AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上． （Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．19．（本小题满分12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点(1,0)F ,椭圆Γ的左,右顶点分别为,M N .过点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点,且△MCD 的面积是△NCD 的面积的（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD 与x 轴垂直，,A B 是椭圆Γ上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数22()e (21)xf x ax x =+-，a ∈R ．（Ⅰ）当4a =时，求证：过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅱ）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线lπcos()204θ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C . （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值． 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()221f x x a x =-+-，a ∈R ．（I ）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （II ）当x ∈R 时，2()13f x a a ≥--，求实数a 的取值范围.2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分．1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.A8. C9. D 10.D 11.C 12.C 二、填空题：每小题5分，满分20分．13.2± 14.2 15.2n - 16.2 17．解：（Ⅰ）60B =，4c =，6b =，在△ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得4sin 2sin 63c BC b===， ……………………2分又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos C =， 则sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+123236=⋅+⋅=， 所以△ABC的面积1sin 122S bc A ===……………………6分（Ⅱ）设BD x =，则2BE x =，AE =，又60B =，4c =，在△ABE 中，由余弦定理得2212164242cos60x x x =+-⋅⋅⋅，即28168x x =-，解得1x =， ……………………9分 则2BE =，所以90AEB ∠=， 在直角△ADE中，AD =12分18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅=， 得2AC =， ……………………2分 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又AD ∥BC ， 所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =所以PA AD ⊥，AP AC A =， 所以AD ⊥平面PAC，所以AD PC ⊥． …………………………5分（Ⅱ）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， ……………………6分则(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -，(0,0,2)P ，所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-，设PFPBλ=([0,1])λ∈， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)F λλλ-+， 所以(21,21,22)EF λλλ=+--+，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ． ……………………8分 设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅=n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y zx z-=⎧⎨--=⎩令1x=，得(1,1,1)=--n． (10)分因为直线EF与平面PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以|cos,||cos,|EF EF<>=<>m n，即||||||||||||EF EFEFEF⋅⋅=⋅⋅m nm n，所以|22|λ-+=，1|||λλ-=，解得λ=，所以PFPB=． (12)分19. 解：（Ⅰ）（i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为33251981()()101010000P C==． (4)分（ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X=⨯+⨯+⨯≈吨．…………8分(Ⅱ) 设李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为(,)(1,2,3,4,5,6)i ix y i=，它们的平均值分别为x，y，则126216x x x x+++==，又点(,)x y在直线233y x=+上，所以40y=，因此126240y y y+++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元．设居民月用水量为t吨，相应的水费为()f t元，则4, 012,()48(12) 6.6, 12<14,61.2(14)7.8 1416,t tf t t tt t<≤⎧⎪=+-⨯≤⎨⎪+-⨯<≤⎩即4, 012,()2 6.631.2, 12<14,7.848, 1416,t tf t t tt t<≤⎧⎪=-≤⎨⎪-<≤⎩当13t=时，() 6.61331.254.6f t=⨯-=，所以李某7月份的用水吨数约为13吨． …………………………12分20. 解法一：（I ）因为△MCD 的面积是△NCD 的面积的3倍，所以3MF NF =，即()3a c a c +=- ，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=． …………………………4分（II ）当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=， 设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为k -，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 设A ()11,x y ，B ()22,x y ， 则AC 的直线方程为()312y k x -=-，代入22143x y +=中整理得 ()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，()()12423134k k x k -+=+；同理()()22423134k k x k ++=+． ……………………8分所以()21228634k x x k -+=+，()1222434kx x k --=+， ……………………10分则1212AB y y k x x -=- ()12122k x x k x x +-=- 12=，因此直线AB 的斜率是定值12． …………………………12分 解法二：（I ）同 解法一．（II ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程：y kx m =+代入22143x y +=中 整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，设A ()11,x y ，B ()22,x y ，所以122843kmx x k +=-+， 212241243m x x k -=+， (6)当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以12123322011y y x x --+=--，整理得121232()()2302kx x m x x m +-+-+=，……………8分所以222412382()()23043243m kmk m m k k -⋅+---+=++， 整理得21212(2)960k m k m +-+-=， ……………………9分即(63)(223)0k k m -+-=，所以2230k m +-=或630k -=．……………………10分当2230k m +-=时，直线AB 过定点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 不合题意； 当630k -=时，12k =，符合题意， 所以直线AB 的斜率是定值12． (12)分21. 解法一：(Ⅰ)当=4a 时，()()22e 421x f x x x =+-，()()()()22222e 2421e 822e 46x x x f x x x x x x '=⋅+-++=+ ……………………1分设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， ……………………2分即()()()00222200000e4212e 461x x xx x x x -+-=+-，02e 0x >，30081410x x ∴-+=， (3)分设()38141g x x x =-+，()()()()2350,010,150,2370g g g g -=-<=>=-<=> (4)()0g x ∴=在三个区间()()()2,0,0,1,1,2-上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程381410x x -+=恰有三个根， 故过点()1,0P 有三条直线与曲线()y f x =相切． …………………………………5分 (Ⅱ)当0x ≤时，()10f x +≥，即当0x ≤时，()22e 2110x ax x +-+≥∴当0x ≤时，221210e x ax x +-+≥， …………………………………6分 设()22121e x h x ax x =+-+，则2221()222(1)e e x x h x ax ax '=+-=+-， ……7分设21()1e x m x ax =+-，则22()ex m x a '=+．⑴当2a ≥-时，220,2ex x ≤∴≥，从而()0m x '≥（当且仅当0x =时，等号成立）()211ex m x ax ∴=+-在(],0-∞上单调递增，又()00,m =∴当0x ≤时，()0m x ≤，从而当0x ≤时，()0h x '≤，()22121ex h x ax x ∴=+-+在(],0-∞上单调递减，又()00h =， 从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210ex ax x +-+≥于是当0x ≤时，()10f x +≥， (9)分⑵当2a <-时，令()0m x '=，得220,e x a +=12ln 0,2x a ⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭ 故当]12(ln(),02x a∈-时, ()222e 0e x xam x a ⎛⎫'=+< ⎪⎝⎭,()211e x m x ax ∴=+-在]12(ln(),02a-上单调递减， 又()00,m =∴当]12(ln(),02x a∈-时，()0m x ≥，从而当]12(ln(),02x a∈-时，()0h x '≥，()22121e x h x ax x ∴=+-+在]12(ln(),02a -上单调递增，又()00h =，从而当12(ln(),0)2x a ∈-时，()0h x <，即221210e x ax x +-+<于是当12(ln(),0)2x a∈-时，()10f x +<， (11)分综合得a 的取值范围为[)2,-+∞. ……………………………12分 解法二：(Ⅰ)当=4a 时，()()22e 421x f x x x =+-，()()()()22222e 2421e 822e 46x x x f x x x x x x '=⋅+-++=+，……………………1分设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， (2)分即()()()00222200000e 4212e 461x x x x x x x -+-=+-，02e 0x >，30081410x x ∴-+= (3)分设()38141g x x x =-+，则()22414g x x '=-，令()0g x '=得x = 当x 变化时，()()g x g x '，变化情况如下表：……4分381410x x ∴-+=恰有三个根，故过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切． …………………………………5分（Ⅱ）同解法一．22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2y x =， ………………2分 1C ∴的直角坐标方程为22(1)y x =-． ………………5分（Ⅱ）由直线lcos()204πθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=所以直线l 的直角坐标方程为:20x y +-=，又点(2,0)P 在直线l 上，所以直线l的参数方程为：22(2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 代入1C的直角坐标方程得240t +-=， …………………………8分设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，121281604t t t t ∆=+>⎧⎪∴+=-⎨⎪=-⎩，1212PA PB t t t t ∴+=+=-===…………………………10分23． 解：（I ）当3a =时，不等式()6f x ≤为23216x x -+-≤ 若12x <时，不等式可化为(23)(21)446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为(23)(21)26x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为(23)(21)446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤， 综上所述，关于x 的不等式()6f x ≤的解集为1522x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． ………………5分（II ）当x R ∈时，()2212121f x x a x x a x a =-+-≥-+-=-，所以当x R ∈时，2()13f x a a ≥--等价于2113a a a -≥--，当1a ≤时，等价于2113a a a -≥--，解得1a ≤，当1a >时，等价于2113a a a -≥--，解得11a <≤+所以a 的取值范围为⎡⎣． …………………………10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
福建省三明市2017年普通高中毕业班质量检查数学理试题 Word版含答案
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非必考题两部分）．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|1216,|x A x B x x a =<≤=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是A.4a >B.4a ≥C.0a ≥D.0a > 2．已知i 是虚数单位，则复数1i34i-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为A ．15 B ．25 C ．49 D ．454．设1F ，2F 为双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点，P 为Γ上一点，2PF 与x 轴垂直，直线1PF 的斜率为43，则双曲线Γ的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 2，则输出S 的值为A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1n+112()n n a a a n *=⋅=∈N ，，则=0162SA ．1008323⋅- B.122016- C ．322009- D ．322008-7.已知函数()sin()2cos()(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象关于直线πx =对称，则cos2ϕ=A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 8．在区域0,(,)|1,1x x y x y x y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +>的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的 值是 A.23 B. 12C. 12-D. 23-9. 在四面体ABCD中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC =，则直线AB 与CD所成角的余弦值为A ．13-B ．14-C ．14 D ．1310．函数2||ln ||()2x x x f x =的图象大致是11．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22a e b+（其中e 为椭圆C的离心率）的最小值为 A12．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD 是为 体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为 A ．383r B ．38π3r C ．3163r D ．316π3rDCBA绝密★启用前2017年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b满足,1)=a ，||1=b ，且λ=a b ，则实数λ= .14．5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是20，则实数a = .15. 已知函数2()=cos(π)f n n n ，数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++()n +∈N ，则122n a a a +++= .16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时,都有()0xf x '>；③当12x x ≠，且12()()f x f x =时，120x x +<，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：211()(0),()2120 (0);x x x g x x ⎧+≠⎪=-⎨⎪=⎩ln(1) (0),()2 (0);x x h x x x -+≤⎧=⎨>⎩323()2x x x φ=-+；()e 1x x x ϕ=--．则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且60B =，4c =． （Ⅰ）若6b =，求角C 的正弦值及△ABC 的面积；（Ⅱ）若D ，E 在线段BC 上，且BD DE EC ==，AE =，求AD 的长．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=，2AD AP ==，AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上． （Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．19．（本小题满分12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点(1,0)F ,椭圆Γ的左,右顶点分别为,M N .过点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点,且△MCD 的面积是△NCD 的面积的3倍.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD 与x 轴垂直，,A B 是椭圆Γ上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数22()e (21)xf x ax x =+-，a ∈R ．（Ⅰ）当4a =时，求证：过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅱ）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l πcos()204θ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C . （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()221f x x a x =-+-，a ∈R ．（I ）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （II ）当x ∈R 时，2()13f x a a ≥--，求实数a 的取值范围.2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分．1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.A8. C9. D 10.D 11.C 12.C 二、填空题：每小题5分，满分20分．13.2± 14.2 15.2n - 16.2 17．解：（Ⅰ）60B =，4c =，6b =，在△ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得4sin 2sin 6c B C b ==， ……………………2分 又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos C =，则sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+12+=所以△ABC的面积1sin 122S bc A ===……………………6分（Ⅱ）设BD x =，则2BE x =，AE =，又60B =，4c =，在△ABE 中，由余弦定理得2212164242cos60x x x =+-⋅⋅⋅，即28168x x =-，解得1x =， ……………………9分 则2BE =，所以90AEB ∠=， 在直角△ADE中，AD =12分18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅=， 得2AC =， ……………………2分 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又AD ∥BC ， 所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =，所以PA AD ⊥，AP AC A =， 所以AD ⊥平面PAC，所以AD PC ⊥． …………………………5分（Ⅱ）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， ……………………6分则(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -，(0,0,2)P ，所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-，设PFPBλ=([0,1])λ∈， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)F λλλ-+， 所以(21,21,22)EF λλλ=+--+，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ． ……………………8分 设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅=n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y z x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得(1,1,1)=--n ． (10)分因为直线EF 与平面PDC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos ,||cos ,|EF EF <>=<>m n ，即||||||||||||EF EF EF EF ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，所以 |22|λ-+=，1|||λλ-=，解得λ，所以PF PB =． …………………………12分19. 解：（Ⅰ）（i ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 33251981()()101010000P C ==． …………………………4分（ii ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X =⨯+⨯+⨯≈吨．…………8分(Ⅱ) 设李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,i i x y i =，它们的平均值分别为x ，y ，则126216x x x x +++==，又点(,)x y 在直线233y x =+上，所以40y =，因此126240y y y +++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元．设居民月用水量为t 吨，相应的水费为()f t 元，则4, 012,()48(12) 6.6, 12<14,61.2(14)7.8 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=+-⨯≤⎨⎪+-⨯<≤⎩ 即4, 012,()2 6.631.2, 12<14,7.848, 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=-≤⎨⎪-<≤⎩当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=，所以李某7月份的用水吨数约为13吨． …………………………12分20. 解法一：（I ）因为△MCD 的面积是△NCD 的面积的3倍，所以3MF NF =，即()3a c a c +=- ，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=． …………………………4分（II ）当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=， 设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为k -，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 设A ()11,x y ，B ()22,x y ， 则AC 的直线方程为()312y k x -=-，代入22143x y +=中整理得 ()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，()()12423134k k x k -+=+；同理()()22423134k k x k ++=+． ……………………8分所以()21228634k x x k -+=+，()1222434kx x k --=+， ……………………10分则1212AB y y k x x -=- ()12122k x x k x x +-=- 12=，因此直线AB 的斜率是定值12． …………………………12分 解法二：（I ）同 解法一．（II ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程：y kx m =+代入22143x y +=中 整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，设A ()11,x y ，B ()22,x y ，所以122843kmx x k +=-+， 212241243m x x k -=+， (6)分222222644(43)(412)16(1239)0k m k m k m ∆=-+-=-+>当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以12123322011y y x x --+=--，整理得121232()()2302kx x m x x m +-+-+=，……………8分所以222412382()()23043243m kmk m m k k -⋅+---+=++， 整理得21212(2)960k m k m +-+-=， ……………………9分即(63)(223)0k k m -+-=，所以2230k m +-=或630k -=．……………………10分当2230k m +-=时，直线AB 过定点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 不合题意； 当630k -=时，12k =，符合题意， 所以直线AB 的斜率是定值12． (12)分21. 解法一：(Ⅰ)当=4a 时，()()22e 421x f x x x =+-，()()()()22222e 2421e 822e 46x x x f x x x x x x '=⋅+-++=+ ……………………1分设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， ……………………2分即()()()00222200000e 4212e 461x x x x x x x -+-=+-，02e 0x >，30081410x x ∴-+=， (3)分设()38141g x x x =-+，()()()()2350,010,150,2370g g g g -=-<=>=-<=> (4)分()0g x ∴=在三个区间()()()2,0,0,1,1,2-上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程381410x x -+=恰有三个根， 故过点()1,0P 有三条直线与曲线()y f x =相切． …………………………………5分 (Ⅱ)当0x ≤时，()10f x +≥，即当0x ≤时，()22e 2110x ax x +-+≥∴当0x ≤时，221210e x ax x +-+≥， …………………………………6分 设()22121e x h x ax x =+-+，则2221()222(1)e e x x h x ax ax '=+-=+-， ……7分设21()1e x m x ax =+-，则22()ex m x a '=+．⑴当2a ≥-时，220,2ex x ≤∴≥，从而()0m x '≥（当且仅当0x =时，等号成立）()211ex m x ax ∴=+-在(],0-∞上单调递增，又()00,m =∴当0x ≤时，()0m x ≤，从而当0x ≤时，()0h x '≤，()22121ex h x ax x ∴=+-+在(],0-∞上单调递减，又()00h =， 从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210ex ax x +-+≥于是当0x ≤时，()10f x +≥， (9)分⑵当2a <-时，令()0m x '=，得220,e xa +=12ln 0,2x a ⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭ 故当]12(ln(),02x a∈-时, ()222e 0e x xam x a ⎛⎫'=+< ⎪⎝⎭,()211e x m x ax ∴=+-在]12(ln(),02a-上单调递减， 又()00,m =∴当]12(ln(),02x a∈-时，()0m x ≥，从而当]12(ln(),02x a∈-时，()0h x '≥，()22121e x h x ax x ∴=+-+在]12(ln(),02a-上单调递增，又()00h =，从而当12(ln(),0)2x a ∈-时，()0h x <，即221210e x ax x +-+<于是当12(ln(),0)2x a ∈-时，()10f x +<， (11)分综合得a 的取值范围为[)2,-+∞. ……………………………12分 解法二：(Ⅰ)当=4a 时，()()22e 421x f x x x =+-，()()()()22222e 2421e 822e 46x x x f x x x x x x '=⋅+-++=+，……………………1分设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， (2)分即()()()00222200000e 4212e 461x x x x x x x -+-=+-，02e 0x >，30081410x x ∴-+= (3)分设()38141g x x x =-+，则()22414g x x '=-，令()0g x '=得x = 当x 变化时，()()g x g x '，变化情况如下表：………………………………………………………4分381410xx∴-+=恰有三个根，故过点(1,P有三条直线与曲线()y f x=相切．…………………………………5分（Ⅱ）同解法一．22．解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为2y x=，………………2分1C∴的直角坐标方程为22(1)y x=-．………………5分（Ⅱ）由直线l cos()204πθ--=，得cos sin20ρθρθ+-=所以直线l的直角坐标方程为:20x y+-=，又点(2,0)P在直线l上，所以直线l的参数方程为：22(x tty⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入1C的直角坐标方程得240t+-=， (8)分设A，B对应的参数分别为12,t t，121281604t tt t∆=+>⎧⎪∴+=-⎨⎪=-⎩，1212PA PB t t t t ∴+=+=-===…………………………10分23． 解：（I ）当3a =时，不等式()6f x ≤为23216x x -+-≤若12x <时，不等式可化为(23)(21)446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为(23)(21)26x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为(23)(21)446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤，综上所述，关于x 的不等式()6f x ≤的解集为1522x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． ………………5分（II ）当x R ∈时，()2212121f x x a x x a x a =-+-≥-+-=-，所以当x R ∈时，2()13f x a a ≥--等价于2113a a a -≥--，当1a ≤时，等价于2113a a a -≥--，解得1a ≤，当1a >时，等价于2113a a a -≥--，解得11a <≤+所以a 的取值范围为⎡⎣． …………………………10分。
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2016-2017学年福建省三明市B片区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题p：A1，A2是互斥事件：命题q：A1，A2是对立事件，那么（）A．p是q的必要但不充分条件B．p是q的充分但不必要条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不q的必要条件2．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（）A．16 B．18 C．20 D．223．甘班全体同学某次考试数学成绩（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），则图中x的值等于（）A．0.012 B．0.018 C．0.12 D．0.184．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是（）A．B．C．D．5．已知，，，若，，三向量共面，则实数y的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．某校共有学生3000名，各年级男、女生人数如表所示，已知高一、高二年级共有男生1120人，现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为（）A．16 B．18 C．20 D．248．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则=（）A．B．C．D．9．函数f（x）=ax n（2﹣x）2在区间[0，2]上的图象如图所示，则n的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．310．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．已知抛物线x2=2py（p＞0）的弦AB的中点的纵坐标为3，且|AB|的最大值为8，则p的值为（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx无极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，1]C．（﹣2，0）∪（0，1]D．（﹣∞，]∪{1}二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）13．若命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是．15．已知抛物线C1：y2=4x的焦点到双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为，则双曲线C2的离心率为．16．已知是椭圆C：=1上的任一点，Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点，已知焦点F1、F2，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M，则P，M两点间的最大距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3，0）的距离|BC|＞；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“￢q”和“p∧q”均为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．（Ⅰ）求出a，b的值；（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．20．（12分）某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON 为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx﹣．（Ⅰ）当a﹣b=1，a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当b=﹣1，a≤4时，不等式f（x）＜﹣在区间[2，4]上恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省三明市B片区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题p：A1，A2是互斥事件：命题q：A1，A2是对立事件，那么（）A．p是q的必要但不充分条件B．p是q的充分但不必要条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不q的必要条件【分析】根据互斥事件和对立事件的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：根据互斥事件和对立事件的定义可知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用互斥事件和对立事件的区别与联系，是解决本题的关键．2．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出的值，从而求出a的值．【解答】解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：=×（2+3+4+5+6）=4，由回归直线经过样本中心点，得=4×4﹣4=12，即=×（3+7+11+a+21）=12，解得a=18．故选：B．【点评】本题考查了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目．3．甘班全体同学某次考试数学成绩（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），则图中x的值等于（）A．0.012 B．0.018 C．0.12 D．0.18【分析】根据频率和为1，列出方程求出x的值．【解答】解：根据频率和为1，得0.006×10×3+0.01×10+0.054×10+10x=1，解得x=0.018．故选：B．【点评】本题考查了根据频率分布直方图求对应频率的应用问题，是基础题目．4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用对立事件概率计算公式求解．【解答】解：∵一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，∴当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：p=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．5．已知，，，若，，三向量共面，则实数y的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【分析】，，三向量共面，存在实数m，n，使得=m+n，即可得出．【解答】解：∵，，三向量共面，∴存在实数m，n，使得=m+n，∴，解得m=1，n=2，y=2．故选：D．【点评】本题考查了向量共面基本定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（2016•房山区二模）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S＞2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S＞2，退出循环体，输出n的值为5．【解答】解：模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件S＞2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=3不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=4不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=5满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．某校共有学生3000名，各年级男、女生人数如表所示，已知高一、高二年级共有男生1120人，现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】先求出高三学生数是多少，再求用分层抽样法在高三年级抽取的学生数．【解答】解：根据题意得，高一、高二学生总数是1120+（456+424）=2000，∴高三学生总数是3000﹣2000=1000；用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为=20．故选：C．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，解题时应了解分层抽样方法的特点，是基础题．8．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则=（）A．B．C．D．【分析】根据空间向量的线性表示，用、和分别表示出和，求和即可．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，∴=++=++=++，=+=+=+；∴=（++）+（+）=++．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目．9．函数f（x）=ax n（2﹣x）2在区间[0，2]上的图象如图所示，则n的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先求导，再结合图象和导数和函数的关系，得到f（x）在x=处有极大值，也是最大值，即可得到1＜＜1.5，判断即可．【解答】解：∵f（x）=ax n（2﹣x）2，∴f′（x）=anx n﹣1×（2﹣x）2+axⁿ×2（2﹣x）×（﹣1）=ax n﹣1（x﹣2）（x﹣），∵=1﹣＜1，∴x﹣＜2，当0＜x＜时f（x）'＞0，当＜x＜2时f（x）'＜0，∴f（x）在x=处有极大值，也是最大值，∵在图中最大值在1到1.5之间，∴1＜＜1.5，解得2＜n＜6，故选：D．【点评】本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系，属于中档题．10．（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．已知抛物线x2=2py（p＞0）的弦AB的中点的纵坐标为3，且|AB|的最大值为8，则p的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B中点的纵坐标为4，知y1+y2=6，由|AB|=y1+y2+p，弦AB的长度，可得结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A、B中点的纵坐标为3，∴y1+y2=6，当弦AB过焦点时，|AB|取最大值，此时|AB|=y1+y2+p=6+p=8，∴p=2．故选B．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．12．已知函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx无极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，1]C．（﹣2，0）∪（0，1]D．（﹣∞，]∪{1}【分析】函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx（x＞0），f′（x）=（2x﹣2m）lnx+（x ﹣2m+）=（2xlnx+x﹣m）．当x＞1且x＞m时，即x＞max（1，m）时，f′（x）＞0，可得函数f（x）单调递增，满足函数f（x）取极值．对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx（x＞0），f′（x）=（2x﹣2m）lnx+（x﹣2m+）=（2xlnx+x﹣m）．当x＞1且x＞m时，即x＞max（1，m）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增，满足函数f（x）无极值．①m＞1时，只要求x∈（0，m）时，f′（x）≥0即可，只需2xlnx+2x﹣m≤0即可．∴m≥2x+2xlnx，令g（x）=x+2xlnx，g′（x）=3+2lnx，可得函数g（x）的图象：∴m＞g（m）=m+2mlnm，解得：m＜1，舍去．②m=1时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，即1≥g（x）．而g（x）max=g（1）=1，成立，即m=1满足条件．③当0＜m＜1时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，∴m≥g（x）max=g （1）=1，不符合题意，舍去．④当m≤0时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，∴m≤g（x）min==﹣2，即m≤﹣2．综上可得：m的取值范围是∪{1}．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）13．若命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣8，0] ．【分析】命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则“∀x0∈R，ax02﹣ax0﹣2＜0”是真命题，即ax02﹣ax0﹣2＜0恒成立【解答】解：命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则“∀x0∈R，ax02﹣ax0﹣2＜0”是真命题，即ax02﹣ax0﹣2＜0恒成立，当a=0时，成立；当a≠0时，⇒﹣8＜a＜0综上实数a的取值范围是（﹣8，0]故答案为：（﹣8，0]【点评】本题考查了命题真假的应用，属于基础题．15．已知抛物线C1：y2=4x的焦点到双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为，则双曲线C2的离心率为．【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=，即有b2=a2，则c2=a2，即有双曲线的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于基础题．16．已知是椭圆C：=1上的任一点，Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点，已知焦点F1、F2，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M，则P，M两点间的最大距离为．【分析】点F1关于∠F1QF2的角平分线QM的对称点N在直线F2Q上，故|F2N|=|QF2|+|QF1|=1，又OM是△F2F1N的中位线，故|OM|=，由此可以判断出点M的轨迹，进而可求P，M两点间的最大距离．【解答】解：如图，由椭圆C：=1，得F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴双曲线的焦点坐标也为F1（﹣1，0），F2（1，0）．点F1关于∠F1QF2的角平分线QM的对称点N在直线F2PQ上，故|F2N|=|QF2|+|QF1|=1，又OM是△F2F1N的中位线，故|OM|=，∴点M的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，∴P是椭圆长轴的一个端点时，P，M两点间的距离最大，最大值为+2=．故答案为：．【点评】本题给出椭圆上动点P，求点M的轨迹方程，着重考查了椭圆、双曲线的定义和简单几何性质，以及等腰三角形“三线合一”等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3，0）的距离|BC|＞；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“￢q”和“p∧q”均为假命题，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由得a的取值范围；（Ⅱ）函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．根据二次函数的图象可得实数a的取值范围，由命题“¬q”和“p∧q”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题，列式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为命题p为真命题，由得a2＞4，即a ＜﹣2或a＞2，所以a的取值范围为{a|a＜﹣2或a＞2}（Ⅱ）∵函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．∴a≤0或a≥3由命题“¬q”和“p∧q”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题即，得﹣2≤a≤0，故a的取值范围为{a|﹣2≤a≤0}【点评】本题考查了复合命题的真假的应用，属于基础题．18．（12分）某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．（Ⅰ）求出a，b的值；（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意利用列出方程，能求出a，b．（Ⅱ）分别求出甲、乙两种数据的平均数和方差，得到，，从而得到应选派乙参加更合适．（Ⅲ）设从甲同学的5次成绩中任取两次，利用列举法求出基本事件个数和“优秀组合”包含基本事件个数，由此能求出甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知：，，解得a=3，b=8．（Ⅱ），，∵，，∴甲、乙两生的整体水平相当，乙生更稳定一些，故应选派乙参加更合适．（Ⅲ）设从甲同学的5次成绩中任取两次得基本事件有：（87，88），（87，90），（87，92），（87，93），（88，90），（88，92），（88，93），（90，92），（90，93），（92，93），共计10个，而两次成绩的平均分大于90，即“优秀组合”包含的基本事件有：（88，93），（90，92），（90，93），（92，93）共计4个，所以甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率为．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明BE⊥BC，利用BC∥AD，可得BE⊥AD，结合BE⊥PA，证明BE⊥平面PAD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、PAD的一个法向量，即可求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DAC=45°，，∴BC∥AD，，∵E为PA的中点，且，∴BE⊥PA，在△PBC中，PC2=PB2+BC2，∴BC⊥PB．又∵BC⊥AB，且PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB，∵BE⊂平面PAB，∴BE⊥BC，又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴BE⊥平面PAD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可以BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，B（0，0，0），，，则，．设平面PAC的一个法向量为，则∴∴取又由（Ⅰ）知BE⊥平面PAD，故为平面PAD的一个法向量，∴，，故二面角C﹣PA﹣D的余弦值．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查面面角，考查向量方法的运用，正确求出平面的法向量是关键．20．（12分）某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON 为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．【分析】（Ⅰ）以O为原点，ON所在直线为x轴，过O作ON的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设曲线段OM所在方程为y2=2px（p＞0），求出p=2，即可得到曲线段OM所在抛物线方程．（Ⅱ）为使绿化建设的面积取得的最小值，应使矩形ABNC最大．设A（x0，y0），求出矩形ABNC的面积的表达式，通过函数的导数，求和函数的单调性，求解函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）以O为原点，ON所在直线为x轴，过O作ON的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设曲线段OM所在方程为y2=2px（p＞0），则由M（4，4）在抛物线上，得p=2，∴曲线段OM所在抛物线方程为y2=4x（Ⅱ）为使绿化建设的面积取得的最小值，应使矩形ABNC最大．设A（x0，y0），则，则矩形ABNC的面积，∴令S'=0，得，且S在时单调递增，在时单调递减．∴当时又∵曲边形OMN的面积为，∴当时，绿化建设的面积取得最小值，最小值为．【点评】本题考查抛物线方程的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用离心率为，点在椭圆C上，列出方程解得a2=4，b2=3．然后求解椭圆C的方程即可．（Ⅱ）设直线l MN：x=ty+1（t≠0），联立方程直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及点N关于x轴的对称点P（x2，﹣y2），求出，得到直线PM的方程为，利用对称性可观察若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0，求出x，然后判断直线PM恒过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题知，即，得∵点在椭圆上，∴．解得a2=4，b2=3．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设直线l MN：x=ty+1（t≠0），联立方程得∴且△=144t2+144＞0∵N（x2，y2）∴点N关于x轴的对称点P（x2，﹣y2）∴故直线PM的方程为，由对称性可知若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0得，将①②式代入上式，得x==4，故直线PM恒过定点（4，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题的解决方法，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx﹣．（Ⅰ）当a﹣b=1，a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当b=﹣1，a≤4时，不等式f（x）＜﹣在区间[2，4]上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为，令，求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调性确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x∈（0，+∞），∵，且由a﹣b=1得b=a﹣1，∴，当a﹣1=1即a=2时，，知函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a﹣1＞1即a＞2时，知x∈（0，1）和x∈（a﹣1，+∞）时f'（x）＞0，当x∈（1，a﹣1）时，f'（x）＜0故函数f（x）的单调增区间（0，a﹣1）和（1，+∞），单调减区间为（a﹣1，1）；综上所述，当a=2时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，1）和（a﹣1，+∞），单调减区间为（1，a﹣1）；当1＜a＜2时，故函数f（x）的单调增区间（0，a﹣1）和（1，+∞），单调减区间为（a﹣1，1）（Ⅱ）当b=﹣1时，由得，令，则设，由a≤4知对称轴，故t=x2﹣ax﹣4在[2，4]上单调递增，所以当x=2时，t min=﹣2a，当x=4时，t max=12﹣4a，①当12﹣4a≤0，即3≤a≤4时，g'（x）≤0，知g（x）在[2，4]上单调递减，得，故3≤a≤4．②当﹣2a≥0，即a≤0时，g'（x）≥0，知g（x）在[2，4]上单调递增，g（x）max=g（4）=3﹣aln4＜0，得，故此时无解．③当﹣2a＜0＜12﹣4a，即0＜a＜3时，g'（x）=0在（2，4）上有唯一一个实数解x0，且g（x）在x∈（2，x0）上单调递减，在x∈（x0，4）上单调递增，要使g（x）＜0恒成立，只需，得，故．综上①②③知，所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。