2014届高考数学文二轮专题突破：专题七 第2讲数形结合思想

第2讲数形结合思想

1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题

将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问

题进行几何分析容易出错．

(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行

和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．

(5)构建立体几何模型研究代数问题．

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．

(7)构建方程模型，求根的个数．

(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．

4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．

(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注

意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整， 以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.

类型一 利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点

例1 (2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )

＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，3

2上的零点个数为( ) A ．5 B ．6

C ．7

D ．8

答案 B

解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．

当x ≠0时，若0

2，则x 3＝x cos(πx )，

即x 2＝cos πx .

再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，3

2上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)

的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

＋bx ＋c ，x ≤0

2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x

的方程f (x )＝x 的解的个数为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 C

解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，

解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 2＋4x ＋2，x ≤02， x >0

∴方程f (x )＝x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0

x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤0x 2＋4x ＋2＝x

解得x ＝2或x ＝－1或x ＝－2，均合题意． 类型二 利用数形结合思想解不等式或求参数范围

例2 (1)(2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 2－a

b ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x

－1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________． 答案 ⎝

⎛⎭

⎪

⎫1－316，0

解析 由定义可知，f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

(2x －1)x ，x ≤0，

－(x －1)x ，x >0.

作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图可知，当0

4

时，

f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 10，

且x 2＋x 3＝2×1

2＝1，

∴x 2x 3<1

4

.

令⎩⎪⎨⎪⎧

(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋3

4

(舍去)．

∴

1－34

16

答案 (－1,0)∪(0,1)

解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的 x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不

等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．

(1)使log 2(－x )