2018学年高中数学选修1-1课件：2.2.2 双曲线的简单几何性质 精品

(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率 越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
(4)对称性：由双曲线的方程xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)，若 P(x，y) 是双曲线上任意一点，则 P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因 P 与 P1，P2 分别关于 y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于 y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．
离心率
e＝ac∈ (1，＋∞)
渐近线
_y_＝__±_ba_x___
_y_＝__±_ab__x__
2．等轴双曲线 实轴和虚轴 等长 的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线
是 y＝±x ，离心率为 e＝2 .
[化解疑难] 对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲 线的方程xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)，得ax22＝1＋by22≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a， 即 x≤－a 或 x≥a.
即－1－2kk22＋1－8 k2＝8.解得 k＝0 或 k＝± 26，
由(1)知上述
k
的值符合题意，所以
k＝0
或
k＝±
6 2.
[随堂即时演练]
1．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线
的方程为
()
A.x42－1y22 ＝1 C.1x02 －y62＝1
B.1x22 －y42＝1 D.x62－1y02 ＝1
(2)设以 y＝±32x 为渐近线的双曲线方程为 x42－y92＝λ(λ≠0)， 当 λ＞0 时，a2＝4λ， ∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝94. 当 λ＜0 时，a2＝－9λ， ∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x92－48y12＝1 或y92－x42＝1.
[类题通法] (1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定 a，b 的值和焦 点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所 在的坐标轴易得．再结合 c2＝a2＋b2 及 e＝ac列关于 a，b 的方程(组)， 解方程(组)可得标准方程． (2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，那么此双曲线方程 可设为xa22－by22＝λ(λ≠0)．
[活学活用]
分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双
曲线的标准方程：
(1)双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( 3，0)；
(2)双曲线过点(3,9
2)，离心率 e＝
10 3.
(3)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－2)． 解：(1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
解：把方程 9x2－16y2＋144＝0 化为标准方程为 y92－1x62 ＝1. 由此可知，实半轴长 a＝3；虚半轴长 b＝4； c＝ a2＋b2＝ 9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)； 离心率 e＝ac＝53； 渐近线方程为 y＝±abx＝±34x. 双曲线的草图如图．
利用双曲线的几何性质求其标准方程
为 25，则 C 的渐近线方程为
()
A．y＝±14x
B．y＝±13x
C．y＝±12x
D．y＝±x
解析：因为双曲线xa22－by22＝1 的焦点在 x 轴上，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝±bax.
又离心率为 e＝ac＝ a2a＋b2＝
1＋ba2＝ 25，
所以ba＝12，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝ ∴c2－2ac－a2＝0， ∴ac2－2×ac－1＝0. 即 e2－2e－1＝0. ∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
3.直线与双曲线的相交
[典例] (12 分)已知斜率为 2 的直线被双曲线x32－y22＝1 所截 得的弦长为 4，求直线 l 的方程．
∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋13× 答案：3
122－4×－183＝3.
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－ 2)，离心率 e＝ 25； (2)中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，实轴长和虚轴长 相等，且过点 P(4，－ 10)．
解：(1)若双曲线的焦点在 x 轴上， 设其标准方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
2．2.2 双曲线的简单几何性质
[提出问题] 已知双曲线 C1 的方程：x92－1y62 ＝1. 问题 1：双曲线 C1 中的三个参数 a，b，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.
问题 2：试画出双曲线 C1 的草图？ 提示：如图所示：
问题 3：观察双曲线 C1 的图象，曲线与 x 轴、y 轴哪一条轴 有交点？有无对称性？
ay22－xb22＝1 (a＞0，b＞0)
x≤－a 或 x≥a ，
范围
y∈ R
y≤－a 或 y≥a ，
x∈ R
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
性
实轴：线段 A1A2 ，长： 2a ；虚轴：线段 B1B2 ，长：
质轴
2b ；半实轴长： a ，半虚轴长： b
解析：由题意知 c＝4，焦点在 x 轴上， 所以ba2＋1＝e2＝4， 所以ba＝ 3， 又由 a2＋b2＝4a2＝c2＝16， 得 a2＝4，b2＝12. 所以双曲线的方程为x42－1y22 ＝1. 答案：A
2．(新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得 x1＋x2＝－1－2kk2，x1x2＝－1－2 k2.
又直线 l 恒过点 D(0，－1)，且 x1x2＜0， 则 S△OAB＝S△OAD＋S△OBD ＝12|x1|＋12|x2|＝12|x1－x2|＝ 2.
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2 2)2，
双曲线的几何性质
[例 1] 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、 虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313，渐近线方程为 y＝±23x.
由已知得 a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2，
得 b2＝1. 故双曲线 C 的标准方程为x32－y2＝1.
(2)由 e2＝190，得ac22＝190，设 a2＝9k(k＞0)， 则 c2＝10k，b2＝c2－a2＝k. 于是，设所求双曲线方程为9xk2 －yk2＝1，① 或9yk2 －xk2＝1，② 把(3,9 2)代入①，得 k＝－161 与 k＞0 矛盾； 把(3,9 2)代入②，得 k＝9， 故所求双曲线的标准方程为8y12 －x92＝1.
4
(2)由 2a＝2b 得 a＝b，
∴e＝
1＋ba22＝ 2，
所以可设双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点 P(4，－ 10)，
∴16－10＝λ，即 λ＝6.
∴双曲线方程为 x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为x62－y62＝1.
课时跟踪检测见课时达标检测(十)
提示：与 x 轴有交点，有对称性．
[导入新知]
标准方程
1．双曲线的几何性质 xa22－by22＝1
(a＞0，b＞0)
ay22－xb22＝1 (a＞0，b＞0)
图形
性质
焦点 焦距
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) __|F_1_F_2_|＝___2_c _
标准方程
xa22－by22＝1 (a＞0，b＞0)
(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为 x22－y2＝k(k≠0)，
将点(2，－2)代入，得 k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
双曲线的离心率 [例 3] 已知双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，求此双曲线的 离心率． [解] 当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 y＝±bax， 依题意，得ba＝34，b＝34a，c＝ a2＋b2＝54a， ∴e＝ac＝54；当焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 y＝±abx， 依题意，得ab＝34，b＝43a，c＝ a2＋b2＝53a， ∴e＝ac＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.
[类题通法] 已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准 方程，确定方程中 a，b 的对应值，利用 c2＝a2＋b2 得到 c，然后确定 双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
[活学活用] 求双曲线 9x2－16y2＋144＝0 的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐 标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
因为双曲线过点(3，－ 2)，
则a92－b22＝1.①
又 e＝ac＝
a2＋a2 b2＝ 25，故 a2＝4b2.②
由①②得 a2＝1，b2＝14， 故所求双曲线的标准方程为 x2－y12＝1.
4
若双曲线的焦点在 y 轴上， 设其标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
同理可得 b2＝－127，不符合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为 x2－y12＝1.
4．过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线 AB，其 中 A，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
解析：双曲线的左焦点为 F1(－2,0)，