高等数学定积分

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高等数学常用积分表

高等数学是现代科学技术发展的基础，而积分作为高等数学中的核心内容，更是解决实际问题的重要工具。在高等数学的学习过程中，掌握常用的积分表对于提高解题效率和巩固理论知识至关重要。

一、高等数学积分表的重要性

高等数学积分表是数学家们总结出来的常用积分公式，它们广泛应用于物理、化学、工程等领域的求解问题。通过对这些积分表的熟练掌握，可以大大简化积分计算过程，提高解题速度。

二、常见积分表的分类

1.基本积分公式：如线性积分、多项式积分、三角函数积分等。

2.分式积分：如分式积分法、有理函数积分等。

3.反常积分：如瑕积分、反常三角函数积分等。

4.多元函数积分：如重积分、曲线积分、曲面积分等。

5.特殊函数积分：如贝塞尔函数积分、勒让德多项式积分等。

三、积分表的应用实例

1.求解一元函数的定积分：如求解面积、体积、弧长等问题。

2.求解多元函数的积分：如求解质心、惯性矩、曲率等问题。

3.求解微分方程：如求解初值问题、边值问题等。

4.求解概率问题：如求解随机变量的期望、方差等。

四、提高积分计算效率的方法

1.熟练掌握基本积分公式，善于运用分部积分、换元积分等方法。

2.学会利用计算机软件或工具进行积分计算。

3.提高代数运算能力，减少积分过程中的错误。

4.多做练习，积累经验，善于总结规律。

五、总结

掌握高等数学常用积分表对于解决实际问题具有重要意义。通过熟练运用积分表，我们可以更好地应对各种复杂数学问题，为现代科学技术的发展奠定基础。

高等数学第5章第一节定积分的概念

解 f ( x) x 2 C[0,1] 1 x 2dx 0
1 x 2dx与 [0,1]的分法与点 i 取法无关. 0
把 [0,1] n 等份,
分点为
xi
i, n
i
0,1,2,, n,
xi
xi
x i 1
1, n
i 1,2,, n;
取区间的右端点： i
xi
i ,i n
1,2,, n;
lim
n
6n 2
3
10
第一节定积分的概念
一. 定积分问题举例
1．曲边梯形的面积曲边梯形的定义:
设 y = f (x) 在区间 [a,b] 上非负, 连续。由直线 x = a, x = b ,y = 0 及曲线 y = f (x) 所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边。
y
y f (x)
o xa
xb x
1
n
max{t
1 i n
i
},
s lim v( 0 i1
i )ti .
4
面积
n
A
lim
0 i1
f ( i )xi
b
f
a
x dx.
路程
n
s
lim v(
0 i1
i )ti
v T2 t dt.

定积分的换元积分法与分部积分法

两边积分，得移项，得即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
sin x dx
f a
dx 20
f (x) dx
；
（2）若 f (x)为奇函数，则 a f (x) dx 0 。 a
例5 计算 1 x 1 x2 dx。 1
解
因为被积函数 y x 1 x2 在 [1，1] 上是奇函数，所以
由例4可知
1 x 1 x2 dx 0 1
二、定积分的分部积分法
如果 u(x)，v(x) 在上具有连续导数，由乘积的求导法则，可知 (uv) uv uv
1
0
40 4
例2 计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3

高等数学第五章定积分及其应用

⾼等数学第五章定积分及其应⽤

第五章定积分及其应⽤

第⼀节定积分概念

1、内容分布图⽰

★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义

★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2

★内容⼩结★课堂练习

★习题5-1 ★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1利⽤定积分的定义计算积分

dx x 2?.

讲解注意：

例2的近似值．

⽤矩形法和梯形法计算积分

-1

dx e

讲解注意：

第⼆节定积分的性质

1、内容分布图⽰

★性质1-4

★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3

★性质7

★例4★函数的平均值★例5

★内容⼩结★课堂练习

★习题5-2★

2、讲解注意：

例1⽐较积分值dx e x ?-2

和

dx x ?-2

的⼤⼩.

讲解注意：

例2估计积分

dx x

3sin 31

的值.

讲解注意：

例3估计积分dx x

ππ/2

sin 的值.

讲解注意：

例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f t

t x x x ?++∞

→2

)(3sin lim .

讲解注意：

例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.

讲解注意：

第三节微积分基本公式

1、内容分布图⽰

★引例

★积分上限函数

★积分上限函数的导数

★例1-2★例3★例4★例5

★例6

★例7-8 ★例9★例10★例11

★例12

★例13★例14

★内容⼩结★课堂练习

★习题5-3★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

高等数学定积分及重积分的方法与技巧

第一部分定积分的计算

一、定积分的计算

例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n

n a a a a n . 解原式=∫∑=⋅

=∞→1

011

lim a a

i n x n n i dx =

a x a +=

++11

1. 例2 求极限 ∫

+∞→1

1lim x

x n n dx .

解法1 由10≤≤x ，知n

n x x x ≤+≤

10，于是∫

+≤1

10x x n ∫≤1

n x dx dx .

而∫1

x ()∞→→+=+=+n n n x dx n 01111

01，由夹逼准则得∫+∞→1021lim x

x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理

()()x g x f b

a ∫

()()∫=b a

x g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）

， ().101111

≤≤+=

+∫

∫

n n n

n dx x dx x

x x x

由于11102≤+≤

，即

211n

+有界，

()∞→→+=∫n n dx x n

011

0，故∫+∞→10

21lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为(

)22,x a x R +或()

22,a x x R −型可作相应变换.

如对积分()

∫++3

112x

，可设t x tan =；

对积分

()0220

2>−∫

a dx x ax x a

，由于()

222a x a x ax −−=−，可设

t a a x sin =−.

对积分dx e x ∫

高等数学积分公式大全

在高等数学中，积分是求解不定积分、定积分和定积分的一种重要方法。积分公式是指一些常见函数的积分表达式，熟悉和掌握这些公式可以加快求解积分的速度。下面是一些常见的高等数学积分公式：

一、不定积分公式：

1. ∫kdx = kx + C （常数函数的积分）

2. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （幂函数的积分）

其中n不等于-1，C为常数。

3. ∫1/x dx = ln，x， + C （自然对数函数的积分）

4. ∫e^x dx = e^x + C （指数函数的积分）

5. ∫sinxdx = -cosx + C （正弦函数的积分）

6. ∫cosxdx = sinx + C （余弦函数的积分）

7. ∫sec^2xdx = tanx + C （正割函数的积分）

8. ∫csc^2xdx = -cotx + C （余割函数的积分）

9. ∫secxtanxdx = secx + C （正割函数与正切函数的积分）

10. ∫cscxcotxdx = -cscx + C （余割函数与余切函数的积分）

二、定积分公式：

1. ∫[a,b]kdx = k(b-a) （常数函数的定积分）

2. ∫[a,b]xdx = (b^2 - a^2)/2 （幂函数的定积分）

3. ∫[a,b]1/x dx = ln，b/a，（自然对数函数的定积分）

三、定积分计算方法与公式：

1.分部积分法

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx

2.代换法（换元积分法）

∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x))

高等数学-高等数学-第5章定积分

教学过程

教学思路、主要环节、主要内容

我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？

我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0<x1<...<x n-1<x n=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[x n-1,x n], 在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(x i-1≤ξi≤x i),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△x i并作出和

，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间

[a,b]上的定积分，记作。即：

定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

高等数学第六章《定积分的应用》

第六章定积分的应用

一、内容提要

（一）主要定义

【定义】定积分的元素法如果

（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量；（2）U 对区间[]b a ,具有可加性；（3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.

则可按以下步骤计算定积分

（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;

（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似

dU .

()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=

f x dx ⎰.

（二）主要定理与公式

根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积（1）直角坐标情形

①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积

()b

s f x dx =

⎰.

②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积

()()12 b

s f x f x dx =

-⎰

③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积

()()12d

s y y dy ϕϕ=-⎰

（2）参数方程情形由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨

=⎪⎩

，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()2

t t s t t dt ψϕ'=⎰

（3）极坐标情形

① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积

()2

12s d βα

高数定积分公式大全

在高等数学中，定积分是通过积分来求解某一特定函数的不定积分的一种特殊方法，是计算物理量变化，寻找函数极值点以及在区间内求定积分的有效工具。定积分的定义如下：如果函数f(x)在给定区间[a,b]上可导，那么定积分的定义为：

∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)

其中F(x)是f(x)的某个不定积分，解析法求解定积分的步骤为：首先将函数f(x)分解为常数、x、x^2、x^n多项式，其次对于每一项分别求解其不定积分，最后再将每一项求得的不定积分相加，即可得出整体定积分的解析解。

定积分中常见的公式有：

一、定积分中的基本公式

1. 不定积分的基本公式：∫x^ndx = 1/n+1*x^n+1 + C

2. 二次方程不定积分的公式：∫x^2dx = 1/3*x^3 + C

3.用的其他不定积分的公式：

(1)∫sinx dx = -cosx + C

(2)∫cosx dx = sinx + C

(3)∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C

(4)∫lnx dx = xlnx - x + C

二、高阶定积分的公式

1. 一阶定积分：

∫ax+b dx = 1/a*(ax+b) + C

2. 二阶定积分：

∫ax^2 + bx + c dx = 1/3a*x^3 + 1/2b*x^2 + cx + C

3.用的其他高阶定积分的公式：

(1)∫sinax dx = -1/a*cosax + C

(2)∫e^x dx = e^x + C

(3)∫lnax dx = xlnax - x + C

三、复合定积分的公式

求积分公式大全高等数学

高等数学中常见的积分公式包括：基本积分公式、初等函数的积分公式、换元积分法、分部积分法、三角函数的积分公式、反三角函数的积分公式、指数函数和对数函数的积分公式、定积分与变限积分的关系、定积分的求值公式等。下面将对这些公式进行详细介绍。

1.基本积分公式：

（1）常数函数的积分公式：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。

（2）幂函数的积分公式：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1

（3）指数函数的积分公式：∫e^xdx=e^x+C。

（4）对数函数的积分公式：∫1/xdx=ln，x，+C。

2.初等函数的积分公式：

（1）三角函数的积分公式：

∫sinxdx=-cosx+C

∫cosxdx=sinx+C

∫sec^2xdx=tanx+C

∫csc^2xdx=-cotx+C

∫tanxdx= -ln，cosx，+C

∫cotxdx=ln，sinx， + C。

（2）反三角函数的积分公式：

∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C

∫dx/√(1+x^2)=arctanx+C

∫dx/(x^2+a^2)=1/aarctan(x/a)+C。

3.换元积分法：

换元积分法是利用变量代换的方法进行积分运算。设u=g(x)为原函数x的一个连续可导函数，即u=g(x)满足一一对应的关系时∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du。

4.分部积分法：

分部积分法是将一个积分化成两个函数的乘积的积分，应用于求

∫u(x)v'(x)dx的积分。根据分部积分法的公式∫u(x)v'(x)dx =

高等数学第六章定积分

g(
i
)xi
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
性质2
b
kf ( x)dx
k
b
f ( x)dx
(k为常数)
a
a
性质1和性质2称为线性性质.
性质3 假设 a c b
b f ( x)dx
c f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
c
补充:不论 a,b,c 的相对位置如何,上式总成立.
n
i1
i 2
n
1 n
1 n3
n i 1
i2
O
i
1x
n
1 n3
n i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
xi
1, n
1 6
1
1 n
2
1 n
0 n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 n 6
1 n
2
1 n
1 3
对于任一确定的自然数 n, 积分和
f ( ) 1
b
f ( x)dx
ba a
(a b)
平均值公式求连续变量的平均值要用到.

高等数学第五章定积分第一节定积分的概念

0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
并作和， S n f (i )xi i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
的面积（见下图）
y
面积值为圆的面积的 1
4
所以 1 1 x 2 dx
0
4
1 x
2020/2/13
19
五定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a

a
b时， a
f
( x)dx

0；
2020/2/13
9
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间 [ a , b ] 上的定积分，记为积分和
积分上限
b a
f ( x)dx

I
lim 0

高数积分公式大全

高等数学中的积分公式是解决多种数学问题的重要工具。积分是微积分的核心概念之一，是对函数进行求和的过程。下面将介绍一些常见的积分公式。

一、基本积分公式

1. 幂函数积分：$\int

x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为常数，$C$为常数项。

2. 正弦函数积分：$\int \sin x dx=-\cos x+C$。

3. 余弦函数积分：$\int \cos x dx=\sin x+C$。

4. 指数函数积分：$\int e^x dx=e^x+C$。

5. 对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$。

6. 反正切函数积分：$\int

\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。

7. 反正弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-

x^2}}dx=\arcsin x+C$。

8. 反余弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-

x^2}}dx=\arccos x+C$。

二、常用积分公式

1. 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$，其中

$u$和$v$是可导函数。

2. 三角函数积分：

- $\int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+C$。- $\int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+C$。

- $\int \sin^3 x dx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+C$。

高等数学定积分的计算方法

定积分是高等数学中的一个重要概念，它是求解某种函数在某一区间上的积分，可以用来计算曲线下某一区域的面积或体积。计算定积分的方法有很多，其中最常用的是求和法和分段法。

求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后将每个小区间上的函数值加起来，从而求出定积分的近似值。具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成n个小区间，即

a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-a)/n；然后，将每个小区间上的函数值加起来，即

∫_a^bf(x)dx≈h*[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)]，其中h=(b-

a)/n。

分段法是指将定积分的区间分割成若干段，然后分别求出每段上的积分，最后将每段上的积分加起来，从而求出定积分的近似值。具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成

n段，即a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-

a)/n；然后，分别求出每段上的积分，即

∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h，其中h=(b-a)/n；最后，将每

段上的积分加起来，即∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h。

以上就是计算定积分的两种常用方法，它们都是基于求和原理的，只是求和的方式不同而已。在实际应用中，我们可以根据实际情况选择合适的方法，以达到最优的计算效果。

高数定积分公式大全

高数定积分，又称定积分或定性积分，是在高等数学中一种重要的概念，它能够用来求解许多复杂的和高度不确定的定积分问题，发挥着非常重要的作用。在利用定积分解决问题时，需要利用一系列的定积分公式，以完成对各种复杂函数的考察和计算。

在数学及其应用科学领域中，高数定积分的应用场景十分广泛，由于其丰富的定积分公式，使得它能够成功地解决各种复杂的定积分问题。这些定积分公式可以分为三类：边界公式、普遍公式和变换公式三类。

一、边界公式：

边界公式是对定积分中表达式的特殊情况进行求解时的有效的

简化方法，常见的边界公式有二重定积分的边界公式，三重定积分的边界公式以及变量偏导数的边界公式等。

1、二重定积分的边界公式：

其中，∮∫f(x,y)dydx的解是：

①当f(x,y)=h(x)g(y)时，∮∫h(x)g(y)dydx=∫h(x)dx∫g(y)dy

②当f(x,y)=h(y)g(x)时，∮∫h(y)g(x)dydx=∫h(y)dy∫g(x)dx

2、三重定积分的边界公式：

其中，∮∫∫f(x,y,z)dzdydx的解是：

当f(x,y,z)=h(x)g(y)j(z)时，∮∫∫h(x)g(y)j(z)dzdydx=∫h(x)dx∫g(y)dy∫j(z)dz

3、变量偏导数的边界公式：

其中，z/xy解是：

当f(x,y,z)=h(x)g(y)j(z)时，（z/xy =/x (∫h(x)dx∫

g(y)dyj(z))

而边界条件有：

①y为常数时，（z/xy = (j(z)/x)

②x为常数时，（z/xy = (h(x)/x)

高等数学- 定积分的计算

§5.2 定积分的计算
一、微积分基本定理二、牛顿—莱布尼茨公式三、定积分换元法四、定积分的分部积分法
一、变上限的定积分
设函数 f ( x)在区间 [a,b上] 连续，并且设 x 为 [a, b]上的一点，考察定积分
x
a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b] 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在[a, b]上定义了一个函数，
1
x0
x
x0 1
x (arctant)2dt
(2)求 lim 0
x
1 x2
(这是型不定式)
解
lim
x
x (arctant )2 dt
0
1 x2
lim
x
(arctan x
x)2
1 x2
2
4
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则变上限的定积
分( x)
x
a
f
(t)dt 就是
b
a udv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导: uv uv uv,
b
a (uv
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx

高等数学 定积分

高等数学常用积分表

高等数学 第5章 第一节 定积分的概念

定积分的换元积分法与分部积分法

高等数学第五章定积分及其应用

高等数学定积分及重积分的方法与技巧

高等数学积分公式大全

高等数学-高等数学-第5章定积分

高等数学第六章《定积分的应用》

高数定积分公式大全

求积分公式大全高等数学

高等数学 第六章定积分

高等数学第五章定积分第一节 定积分的概念

高数积分公式大全

高等数学定积分的计算方法

高数定积分公式大全

高等数学- 定积分的计算

高等数学定积分

高等数学第5章第一节定积分的概念

高等数学第六章定积分

高等数学第五章定积分第一节定积分的概念