高等数学 定积分
高等数学 第5章 第一节 定积分的概念
定积分存在的两个充分条件:
定理1 设 f ( x) 在区间 [a, b]上连续, 则 f ( x)在区间 [a, b] 上可积. 定理2 设 f ( x)在区间 [a, b] 上有界, 且只有有限个间断点,则
f ( x)在区间 [a, b]上可积.
6
定积分的几何意义
y y f (x)
A
o xa xb x
lim
n
6n 2
3
10
1 i n
i
},
0,
n
A lim 0 i1
f ( i )xi
An
x xn1 nxn b
3
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动,
已知速度 v v(t )是时间间隔 [T1 ,T2 ]上 的
连续函数, 且 v(t ) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程。
匀速直线运动:
路程=速度×时间.
(1) 分割
T1 t0 t1 ti1 ti tn T2 ,
v( i )
ti ti ti1
(i 1,2,, n)
(2) 近似代替
si v( i )t i
T1
i
T2
t t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn
(3) 求和 (4) 取极限
s
n i 1
s
i
n v(
i 1
i )t i
每 个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
2
(2)近似代替
y Ai f (i )xi
(i 1,2,, n)
(3)求和
y f (x)
A1 A2
Ai
A
n i 1
Ai
n
高等数学 定积分
第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 (求曲边梯形的面积))(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.(四个小矩形)(九个小矩形)观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.曲边梯形如图所示,,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点,内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为,个小区间分成把区间形面积,曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底,以i i i f x x ξ-(1)分割(2)近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时,趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为(3)求和(4)取极限实例2 (求变速直线运动的路程)设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数,且0)(≥t v ,求物体在这段时间内所经过的路程.思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.(1)分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度(3)求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ(4)取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值(2)近似设函数)(x f 在],[b a 上有界,记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间,各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ,),2,1( =i ,在各小区间上任取一点i ξ(i i x ∆∈ξ),作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ,二、定积分的定义定义怎样的分法,⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法,只要当0→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分,记为积分上限积分下限积分和几点说明:(1) 定积分是一个数值,它仅与被积函数及积分区间有关,⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定:)(.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积,则在区间若)(i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义:积取负号.轴下方的面在轴上方的面积取正号;在数和.之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时,定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界,且只有有限个间断点,则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分,分点为nix i =,(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆,(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ,(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -,(n i ,,2,1 =)小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ,(n i ,,2,1 =)i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3:将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 :五、小结1.定积分的实质:特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法:分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2:将和式极限,表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为:)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和.分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =,(n i ,,2,1 =)⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续,且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2:将和式极限,表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:(1)当b a =时,0)(=⎰ba dx x f ;(2)当b a >时,⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充:不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f (定积分对于积分区间具有可加性)假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ,例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论:证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤,(1)dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明: 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论:(2)设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰(此性质可用于估计积分值的大致范围)则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7(定积分中值定理)积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ,1. 积分中值公式的几何解释:xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边,为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续,则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数, 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数,
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x), x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论:变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意:积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间 变化的,因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续,则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ,知nn x x x ≤+≤210,于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101,由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx (其中()x g 在区间[]b a ,上不变号), ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx,即211nx+有界,()∞→→+=∫n n dx x n01110,故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 (1)当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx,可设t x tan =;对积分()02202>−∫a dx x ax x a,由于()2222a x a x ax −−=−,可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021,可设.sin t e x =−(2)()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下:将被积函数的分子拆项,[分子]=A[分母]+B[分母]′,可求出22dc bdac A ++=,22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式,这是求原函数的障碍.可作适当变换,去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 (定积分的换元法)定积分与不定积分的换元原则是类似的,但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意:(1)()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数; (2)换限要伴随换元同时进行;(3)求出新的被尽函数的原函数后,无需再回代成原来变量,只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分(1)∫+=2031cos sin sin πx x xdx I , dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π;(2).1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 (1)∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . (2)=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式:dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 (1)常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
高等数学定积分概念
代,虽然为此会产生误差,但当分割越来越细的 时候,矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面
积.
一分为二 y
y
b
x
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一分为四
y
y f x
S ( A)
O
a
x1
x2
x3
b
x
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一分为八
y
y f x
S ( A)
i 1
前页 后页 返回
给定的 0, 能够找到 0, 使得当
T max Δxi 时, 对任意 i [ xi 1 , xi ] ,
都有
f ( )Δx -S
i 1 i i
n
.
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和 的极限.
总结以上分析,下面给出定积分定义.
与 S 的差距 就会越来越小.
问题是:
i 1
(1) 如何刻画分割越来 越细?
(2) 如何刻画 f ( i )Δxi 越来越逼近于 S ?
i 1 n
下面依次讨论这两个问题.
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(1) 对于一般的 T : a0 x0 x1
xn b, 不能
用 n 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
f ( )x
i 1 i
b
n
i
J ,
n
则称 f 在 [a , b] 上可积, 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分,记作 J a f ( x )dx lim
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
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其中称 f 为被积函数, [a , b] 为积分区间, x 为积
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数,()称为被积表达式,称为积分变量,
[, ]称为积分区间,称为积分下限,称为积分上限.
15
02 定积分的定义
注(1)定积分)( 是一个数值,它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关,而与积分变量的符号无关,即
(2)近似(“以直代曲”)
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ,以 ( ) 为高,
y
y=()
以 为底,作小矩形.小矩形的面积为
( ) ,用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ,即
≈ ( ) ( = 1, 2, ⋯ , ).
)(
=
)(
=
)( .
(2)定积分存在,与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke (3)按照定积分的定义,记号)( 中的, 应满足关系
< ,为了研究的方便,我们补充规定:
① 当 =
② 当 >
时, = )( = )( 0;
在区间 [1,2] 内, 0 ≤ < 2 < 1 ,
则( )3 < .由性质5.5的推论1,得
2
1
>
2
1 ( )3 .
28
极限,得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法,上述极限都存在,则称函数()在区间[, ]上可积,
高等数学 第五章 定积分的概念及其性质
() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式:
b a f (x)dx
例1:计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解:(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ,则当 x 时,t
解:(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
(2)
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和,即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积,则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时,t ,有:
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ,则当 x 1 时,t
2
则当 x 0时,t 0 ,有:
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
.
解
1
(
x
3
x
1)dx
高等数学-高等数学-第5章定积分
教学过程教学思路、主要环节、主要内容我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。
设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法,但是此图形有一边是一条曲线,该如何求呢?我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动,而且它的高是连续变化的,因此在很小的一段区间的变化很小,近似于不变,并且当区间的长度无限缩小时,高的变化也无限减小。
因此,如果把区间[a,b]分成许多小区间,在每个小区间上,用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高,我们再根据矩形的面积公式,即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值,从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然:把区间[a,b]分的越细,所求出的面积值越接近于精确值。
为此我们产生了定积分的概念。
定积分的概念:设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<x n-1<x n=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],...[x n-1,x n], 在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(x i-1≤ξi≤x i),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△x i并作出和,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间上的点ξi怎样取法,只要当区间的长度趋于零时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作。
即:定理(1):设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积。
(2):设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号,在x轴上方的图形面积赋以正号,在x轴下方的图形面积赋以负号,则在一般情形下,定积分的几何意义为:它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
高等数学5.1 定积分概念
1
1 0
x 2 dx lim
0
i 1
n
1 f(x i )x i lim 1 (1+1 )(2+1 ) . n n n 3 6
利用几何意义求定积分:
求积分
0 (1 - x)dx
1
.
解 以y=1-x为曲边,以区间[0, 1]为底的曲边梯形为一直角 三角形, 所以
O
a x 1 x1 x 2 x2n i 1xi-1 Nhomakorabeaxi xi
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为:A f (x i )xi .
•记 max{x1, x2, · ·x n }.则 ·,
•曲边梯形的面积的精确值为:A= lim f (x i )xi . 0
i 1 n
(2)和 f (x i )xi 通常称为f (x)的积分和.
i 1 n
b
b
b
定积分的可积性问题:
如果f(x)在[a, b]上的定积分存在,我们就说f(x)在[a, b]上可 积. 定理1 设f (x)在区间[a,b]上连续,则f (x) 在[a,b]上可积. 定理2 设f (x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则 f (x) 在[a,b]上可积.
把区间[a,b]分成n个小区间
[x0,x1],[x1,x2],· ,[xn-1,xn] , · · 各小段区间的长依次为
x1x1-x0,x2x2-x1,· ,xn xn -xn-1. · ·
任取xi [xi-1,xi] ,作函数值 f (xi)与小区间长度xi的乘积 f (xi) xi (i1,2,· ,n) , · · 并作出和 S=
高等数学 第六章定积分
把区间[a,b] 分成 n个 y 小区间[ xi1, xi ],长度为
y f (x)
xi xi xi1;
(2) 取近似
Ai
在每个小区间[ xi1, xi ] O a x1 xi1i xi xnb1 x
上任取一点i,以 [ xi1, xi ]为底,f (i )为高的小矩形,
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,L n
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 被
[a,b]积分区间
积 函
分积 变表
数 量达
式
注
n
(1) S f (i )xi是与[a, b]的分法及在[ xi1 , xi ]
i 1
一点 i (i xi ), 作乘积 f (i )xi (i 1,2, , n)
(3)
n
并作和 S f (i )xi
(4)
i 1
记 max{ x1, x2 , , xn },如果不论对 [a,b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i
怎样的取法,只要当 0时,和S总趋于确定的
lim na sin xdx lim sinn a 0
n n
x
n n
证明 求证 lim 4 sin nx sinn x dx 0 n 0
证
当x
0,
4
时,
|
s in nx
sinn
x
|
sin
高数定积分公式大全
高数定积分公式大全在高等数学中,定积分是通过积分来求解某一特定函数的不定积分的一种特殊方法,是计算物理量变化,寻找函数极值点以及在区间内求定积分的有效工具。
定积分的定义如下:如果函数f(x)在给定区间[a,b]上可导,那么定积分的定义为:∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的某个不定积分,解析法求解定积分的步骤为:首先将函数f(x)分解为常数、x、x^2、x^n多项式,其次对于每一项分别求解其不定积分,最后再将每一项求得的不定积分相加,即可得出整体定积分的解析解。
定积分中常见的公式有:一、定积分中的基本公式1. 不定积分的基本公式:∫x^ndx = 1/n+1*x^n+1 + C2. 二次方程不定积分的公式:∫x^2dx = 1/3*x^3 + C3.用的其他不定积分的公式:(1)∫sinx dx = -cosx + C(2)∫cosx dx = sinx + C(3)∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C(4)∫lnx dx = xlnx - x + C二、高阶定积分的公式1. 一阶定积分:∫ax+b dx = 1/a*(ax+b) + C2. 二阶定积分:∫ax^2 + bx + c dx = 1/3a*x^3 + 1/2b*x^2 + cx + C3.用的其他高阶定积分的公式:(1)∫sinax dx = -1/a*cosax + C(2)∫e^x dx = e^x + C(3)∫lnax dx = xlnax - x + C三、复合定积分的公式定积分可以复合求解,以求解复合定积分为例,复合定积分公式为:∫a^b f(x)dx =a^x f(x)dx +x^b f(x)dx其中f(x)为一个标量函数,[a,b]为被积函数的定积区间,求解步骤如下:1.根据f(x)的表达式求出该函数的不定积分F1(x);2.复合定积分拆分成两部分,先求∫a^x f(x)dx,即F1(x)的定积分,再求∫x^b f(x)dx,即F2(x)的定积分;3.后将两部分求得的结果相加,即可得出复合定积分的解析解,解析解为F1(b) - F1(a) + F2(b) - F2(a)。
定积分是高等数学中占有重要地位的
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = f (ε)
a
但若
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = Mf
a
则
b
(Mf − f (x))g(x)dx = 0
a
由 (Mf − f (x))g(x) 0 导出 (Mf − f (x))g(x) = 0
从而由
b a
g(x)dx
=
0,存在
ε
∈
(a,
−
h
x0 a
f (t)dt
−
f (x0)|
=|
x0 +h x0
f
(t)dt
−
h
x0 x0
+h
f
(x0
)dt
|
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续,从而对 ε > 0,存在 δ > 0,当 |t − x0| δ 时, |f (t) − f (x0)| < ε,从而当 0 < h < δ 时,
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt < ε
x0
从而
lim
h→+0
x0 +h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
f (x0)
同样方法:
lim
h→−0
x0 −h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
定积分的计算方法与技巧
定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分,它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍定积分的基本概念和计算方法,以及一些常用的技巧。
一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。
设f(x) 在区间 [a,b] 上连续,则它在该区间上的定积分为:∫(b,a) f(x) dx其中,∫是积分符号,f(x) 是被积函数,dx 表示积分变量。
二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数,有一些基本积分公式可供使用。
比如:∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等,使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。
2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数,可以尝试将区间划分成几个子区间,然后在每个子区间上分别进行积分计算。
这个方法被称为分段积分。
3. 反常积分对于某些函数,其在一定区间上可能无法被积分,这时需要使用反常积分的方法进行计算。
反常积分分为两种情况:无穷积分和间断积分。
无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。
间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。
三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式,可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式,从而简化计算。
例如,对于∫cos(x^2)dx ,可以使用代换 y=x^2 ,将积分式转化成∫cos(y)dy 。
2. 微积分基本定理微积分基本定理指出,对于连续函数 f(x) ,其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差,即:∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。
3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数,其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为:∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx (偶函数)∫(b,a) f(x) dx = 0 (奇函数)例如,对于 f(x) = sin(x) ,其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为:∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况,可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。
高等数学(第五章)定积分
二、定积分的定义
定义 设 f ( x) 在[ a , b ]上有界
(1) 将[ a , b ] 任意分成 n 个小区间 [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],, [ xi 1 , xi ] ,, [ xn 1 , xn ], x0 a , xn b . xi xi xi 1 (i 1, 2,, n), 为第 i 个小区间的长度 .
f ( )x . 在 x 与 x x 之间 . x 0 , x
定理 2 (变上限的积分求导定理) 设 f ( x) 在[ a , b ] 上连续 , x 则 f (t )dt f ( x) .
a
x a
f (t )dt
f (t)
b a
o a
c1
c2
b
f ( x) dx .
x
根据定积分的几何意义 我们可以计算一些简单的定积分 .
y
yx
例1
b a
1dx b a . ?
ab 1 2 2 x dx ? (b a) (b a ) . 2 2
o
a
b
x
例2
例3
b a
R 0
R x dx
2 2
0
i 1
n
并称极限值为 f ( x) 在[ a , b ]上的定积分.
记为
b a
f ( x)dx
上限
b a
f ( x)dx lim f (i )xi .
0
i 1
n
下限
a 叫积分下限 , b 叫积分上限 ,[ a , b ]叫积分区间. f ( x) 叫被积函数 , x 叫积分变量 . f ( x)dx叫被积表达式 .
高等数学- 定积分的计算
一、微积分基本定理 二、牛顿—莱布尼茨公式 三、定积分换元法 四、定积分的分部积分法
一、变上限的定积分
设函数 f ( x)在区间 [a,b上] 连续,并且设 x 为 [a, b]上的一点, 考察定积分
x
a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b] 上任意变动,则 对于每一个取定的x 值,定积分有一个对应 值,所以它在[a, b]上定义了一个函数,
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3(微积分基本公式)
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
(2)计算 e 1 (1 ln x) dx. 1x
例5 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
例 6 当 f ( x)在[a, a]上连续,且有
① f ( x)为偶函数,则
a
a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx;
②
f
(
x
)
为奇函数,则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
sin x cos2 x cos x sin2 x
1 cos x
1 sin x
cos
x
sin
x
1
cos x cos
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在[0,1]上是有界函数,但不可积.因为不论对[0,1]怎样分 割,在任意被分割的小区间[xi-1,xi]上,总能取到ξi为有理数, 这时f(ξi)=1,也总能取到ξi为无理数,这时f(ξi)=0.所以对[0,1] 的任何一种分法,我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积?什么条件下不可积?
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在[a,b]上无界,则f(x)在[a,b]上一定是不可积 的.这是因为,若f(x)在[a,b]上无界,那么无论对[a,b] 怎样分割,都至少有一个区间[xi-1,xi],函数f(x)在其上无 界.因此,在[xi-1,xi]上一定可以取一点ξi,使得f(ξi)大于任 意一个正数M,因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大.当λ→0时,这个和就不可能趋向于任何极限.由此可知, f(x)在[a,b]上可积的必要条件是f(x)在[a,b]上有界.
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系,有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st,速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间[a,b]上,f(x)既有正值又有负值时,函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方,而其他部分在x轴的下方.如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正,在x下方的图形面积为负, 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,如图5-2所示.
把区间[a,b]分成个n小区间 [x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn],
高等数学定积分定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
i 1 i
n
i
J2
2
2
.
因此,f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积,则 f g 在 [a , b] 上
c
b
注 若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
i xi ix i i x i . T T T
因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
b
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c b a
T T
T
T
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高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质
第5章 定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题,这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学,我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。
但在实际应用中,有时需要求以曲线为边的图形的面积(图5.1),这种图形可以分割为若干个一条边为曲线,而其余边为直线的图形(图5.2)。
现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形(图 5.3)的面积,这种图形称为曲边梯形,曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。
怎样计算曲边梯形的面积呢?不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率(切线的斜率、瞬时速度)的,都是先求某一区间内的平均变化率(割线的斜率、平均速度),得到某点变化率的近似值,再取极限由近似变化率过渡到精确变化率(切线的斜率、瞬时速度)。
简言之,就图5.3图5.1图5.2是先求近似值,再取极限由近似值过渡到精确值。
我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积,先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替,则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值,当把曲边梯形无限细分时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述,按下面四个步骤求曲边梯形的面积A : (1)分割 用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ,把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ,它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ,经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ,则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。
高等数学第四节 定积分概念
子 x i 区 1 ,x i的 间 x i 长 n 1 ,( i 1 度 ,2 , ,n )
在 x i 1,x i上取 ix i 点 ni , (i1,2,,n )
n
f (i )xi
i1
n
ixi
i1
ni i1n
1 n
n12
n(n1), 2
0 1xdn x l i m n 1 2n(n 2 1)
1in
n
wl im 0i1F(i)si.
二、定积分的定义
定义 设函 f(x)在 数区 a,b上 间有定 , 义且
在 a,b上任意 n1 个 地分 插点 入
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
将 a , b 分 n 个 成 [ x i 子 1 ,x i ] i ( 1 , 2 , 区 , n ), 间
定理 设f(函 x )在 [a ,b ] 数 上,则 连 f(x )在 [a 续 ,b ] 上.可
当 f(x)0时 ,定积 abf分 (x)dx表示曲边梯 ; 形
当f(x)0时,定积b分 f(x)dx表示曲边梯形 值.面 a
当 f(x)在 [a,b]上有 、有 正 负 , 时
如果约 (见定 下):图 在x轴上方的图形的面积正为 ,
第四章 积分学 §4 定积分概念
一、几个例子 二、定积分的定义 三、例 四、拓展与思考 五、小结
一、几个例子
1.曲线梯形的面积(点击动画播放)
由直线所,围 如成 三、的 角 四图 形 边形 形等面
已经在中学课 了 ,现 本在 中来 解求 决曲边 积. 梯 所谓曲边梯形是指:
由 y f 曲 ( x )f ( ( x ) 线 0 )x ,a ,x b 以 x 轴 及
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第六章定积分一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1.理解定积分的概念及其性质.2.了解定积分的几何意义.3.了解变上限的定积分的性质,熟练掌握牛顿莱布尼茨公式.4.掌握定积分的换元法和分部积分法.5.了解无穷区间上的广义定积分的几何意义,牛顿–莱布尼茨公式,定各分的换元法和分部积分法.重点 定积分的概念及定积分的几何意义,牛顿–莱布尼茨公式,定积分的换元法和分部积分法.难点 变上限的定积分,定积分的换元法和分部积分法.(二)内容提要1.曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形.2.定积分的概念与定积分的几何意义(1)定积分的概念设函数在区间上有定义,任取分点)(x f y =],[b a,b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间分成个小区间,记为],[b a n ),2,1]([,1n i x x i i =-,{}i ni i i i x n i x x x ∆==-=∆≤≤-11max ),,,2,1(λ 再在每个小区间上,任取一点,取乘积的和式,即],[1i i x x -i ξi i x f ∆)(ξ.in i ix f ∆∑=1)(ξ如果时上述极限存在(即这个极限值与的分割及点的取法均无关),则0→λ],[b a i ξ称函数在闭区间上可积,并且称此极限值为函数在上的定积分,记)(x f ],[b a )(x f ],[b a 做,即⎰bax x f d )(,⎰∑=→λ∆ξ=bani i i x f x x f 1)(lim d )(其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分)(x f x x f d )(x ],[b a 区间,与分别称为积分下限与积分上限,符号读做函数从到的定a b ⎰bax x f d )()(x f a b积分.关于定积分定义的说明:①定积分是特定和式的极限,它表示一个数.它只取决于被积函数与积分下限、积分上限,而与积分变量采用什么字母无关,例如,一般地有⎰⎰=2/π02/π0d sin d sin t t x x =.⎰ba x x f d )(⎰bat t f d )(②定积分的存在定理:如果在闭区间上连续或只有有限个第一类间断点,)(x f ],[b a 则在上可积.)(x f ],[b a (2)定积分的几何意义设在上的定积分为,其积分值等于曲线、直线)(x f ],[b a ⎰ba x x f d )()(x f y =和所围成的在轴上方部分与下方部分面积的代数和.b x a x ==,0=y x 3.定积分的性质(1)积分对函数的可加性,即,⎰⎰⎰±=±ba ba ba x x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([可推广到有限项的情况,即.⎰⎰⎰±±=±±±ba ba ba n n x x f x x f x x f x f x f d )(d )(d )]()()([121 (2)积分对函数的齐次性,即.⎰⎰=ba ba k x x f k x x kf )( d )(d )(为为为(3)如果在区间上,则.],[b a 1)(≡x f ⎰-=ba ab x d 1(4)(积分对区间的可加性)如果,则b c a <<.⎰⎰⎰+=bac a b c x x f x x f x x fd )(d )(d )(注意:对于三点的任何其他相对位置,上述性质仍成立,仍有c b a ,,.⎰⎰⎰+=baca bc x x f x x f x x fd )(d )(d )((5)(积分的比较性质)如果在区间上有,则],[b a )()(x g x f ≤.⎰⎰≤baba x x g x x f d )(d )((6)(积分的估值性质)设与分别是函数在闭区间上的最大值与最M m )(x f ],[b a 小值,则.)(d )()(a b M x x f a b m ba-≤≤-⎰(7)(积分中值定理)如果函数在闭区间上连续,则在区间上至)(x f ],[b a ],[b a 少存在一点,使得ξ.⎰-ξ=baa b f x x f ))((d )(4.变上限的定积分(1)变上限的定积分当在上变动时,对应于每一个值,积分就有一个确定的值,x ],[b a x ⎰xat t f d )(因此是变上限的一个函数,记作⎰x a t t f d )(,⎰≤≤=xa b x a t t f x )( d )()(Φ称函数为变上限的定积分.)(x Φ(2)变上限的定积分的导数如果函数在闭区间上连续,则变上限定积分在闭区间)(x f ],[b a ⎰=xa t t f x d )()(Φ上可导,并且它的导数等于被积函数,即],[b a.⎰≤≤=='=xab x a x f t t f x x x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ 5.无穷区间上的广义积分设函数在上连续,任取实数,把极限称为函数)(x f ),[+∞a a b >⎰+∞→ba b x x f d )(lim在无穷区间上的广义积分,记做)(x f ,⎰⎰∞+∞→=baa b x x f x x f d )(lim d )(若极限存在,则称广义积分收敛;若极限不存在,则称广义积分⎰∞+ax x f d )(发散.⎰∞+ax x f d )(类似地,可定义函数在上的广义积分为)(x f (]b ,∞-.⎰⎰∞--∞→=baba x x f x x f d )(lim d )(函数在区间上的广义积分为)(x f ),(+∞-∞,⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞++=ccx x f x x f x x f d )(d )(d )(其中为任意实数,当右端两个广义积分都收敛时,广义积分才是收敛的;否c ⎰∞+∞-x x f d )(则广义积分是发散的.⎰+∞∞-x x f d )(6.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)设函数在闭区间上连续,如果是的任意一个原函数,则)(x f ],[b a )(x F )(x f ,)()()(d )(a F b F x F x x f ba ba -==⎰以上公式称为微积分基本定理,又称牛顿–莱布尼茨公式.7.定积分的计算(1)定积分的换元法设函数在上连续,令,则有)(x f ],[b a )(t x ϕ=,⎰⎰'=ba at t t f t x xx f d )()]([)(d )(βϕϕϕ其中函数应满足以下三个条件:①;b a ==)(,)(βϕαϕ②在上单值且有连续导数;)(t ϕ],[βα③当在上变化时,对应值在上变化.t ],[βα)(t x ϕ=],[b a 上述公式称为定积分换元公式.在应用换元公式时要特别注意:用变换把原)(t x ϕ=来的积分变量换为新变量时,原积分限也要相应换成新变量的积分限,也就是说,换x t t 元的同时也要换限.原上限对应新上限,原下限对应新下限.(2)定积分的分部积分公式设函数在区间上均有连续导数,则)(),(x v x u ],[b a .⎰⎰-=ba ba ba u v uv v u d )(d 以上公式称为定积分的分部积分公式,其方法与不定积分类似,但结果不同,定积分是一个数值,而不定积分是一类函数.(3)偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数在关于原点对称区间上连续,则)(x f ],[a a -①当为偶函数时,,)(x f ⎰⎰-=aaax x f x x f 0d )(2d )(②当为奇函数时,.)(x f ⎰-=aax x f 0d )(利用上述结论,对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便.二、例题精解1.变上限的定积分对上限的求导方法例 1 已知 , 求 .⎰+=t t x xx F d 1sin )(2)(x F '解 =+⎰+=xx t t x F sin 2d 1)(⎰+cx t t 2d 1⎰+xctt sin d 1=,⎰+-2d 1x c t t ⎰++xct t sin d 1=+)(x F ')2(12x x +-xx cos sin 1⋅+=.++-212x x x x cos sin 1⋅+小结 如果定积分上限是的函数,那么利用复合函数求导公式对上限求导;如果定x 积分的下限是的函数,那么将定积分的下限变为变上限的定积分,利用复合函数求导公x 式对上限求导;如果复合函数的上限、下限都是的函数,那么利用区间可加性将定积分x 写成两个定积分的和,其中一个定积分的上限是的函数,另一个定积分的下限也是的x x 函数,都可以化为变上限的定积分来求导.2.利用换元积分法计算定积分的方法例2 计算 (1), (2) .⎰+-40d 11x xx⎰4π4d tan sec x x x 解 (1)利用换元积分法,注意在换元时必须同时换限.令, , ,x t =x 2t =t t x d 2d =当时,,当时,,于是0=x 0=t 4=x 2=t ==⎰+-40d 11x xx⎰+-20d 211t t t t ⎰+--20d 1424[t tt[].3ln 44021ln 442-=+--=tt t (2)=⎰4π04d tan sec x x x ⎰4π03)(sec d sec x x .43411sec 414π04=-==x 小结用换元积分法计算定积分,如果引入新的变量,那么求得关于新变量的原函数后,不必回代,直接将新的积分上下限代入计算就可以了.如果不引入新的变量,那么也就不需要换积分限,直接计算就可以得出结果.3.利用分部积分法计算定积分的方法分部积分公式为.⎰⎰-=baba bau v uv v u d d例3 计算(1),(2).⎰1d arctan x x x x x d ln 2e e 1⎰解(1)=⎰10d arctan x x 10arctan x x⎰+-102d 1xx x=102)1ln(214πx +-= .2ln 214-π(2) 由于在[]上;在[]上,所以1,e10ln ≤x 2e ,10ln ≥x=+x x x d ln 2e e 1⎰x x x d )ln (1e 1⎰-xx x d ln 2e 1⎰=+2(d ln 21e1x x ⎰-)2d(ln 2e 12x x ⎰=[+]+[]-x x ln 2242x 1e 1x x ln 22-42x 2e 1=(+)+(+)41-412e 1212e 14e -414e 41 =+.21-432e 1434e 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号,这就要注意正负号,有时需要分段进行积分.4.广义积分的计算方法例4 判别下列广义积分的敛散性,如果收敛计算其值 .(1), ⎰∞++022d )1(x x x解 (1) 因为积分区间为无穷区间,所以原式===+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21bb x 02)1(21[lim +-+∞→==,]21)1(21[lim 2++-+∞→b b 21故所给广义积分收敛,且其值为.21 小结1.本章的重点是定积分的概念及几何意义.牛顿–莱布尼茨公式,定积分的换元积分法与分部积分法.2.学好本章内容,首先要理解定积分的概念,掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法.3.要深刻理解微积分基本定理:牛顿–莱布尼茨公式。