第二讲 绝对值
第2讲 绝对值与有理数运算(学生版)
第2讲 绝对值与有理数运算知识精要（一）绝对值1、一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
2、一个正数的绝对值是他本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。
3、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
两个负数绝对值大地那书数反而小。
（二）、有理数的加减法1、有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数减法的意义有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
减法是加法的逆运算。
3、有理数的减法法则有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 设b a x -=，则a b x =+，)()(b a b b x -+=-++∴)(b a x -+=． 因此，)(b a b a -+=-．（三）有理数的乘法1、有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零. 说明：①掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“两数相乘，同号得正，异号得负”. 且不可与有理数加法的符号法则混淆；②有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专指“两数”相乘而言的. 2、有理数乘法法则的推广①几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为零，积就为零.3、 倒数（1）倒数的意义乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数. 即若a ·b=1，则a 与b 互为倒数；若a 与b 互为倒数，则a ·b=1.（2）倒数的求法①求一个非零整数的倒数，直接可写成这个数分之一的形式，即a 的倒数为1a .②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下位置即可，即m n 的倒数为nm. 对于带分数先将其化为假分数，再求倒数.③求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，然后再求倒数.（3）零没有倒数，因为零不能作除数. 4、 有理数的除法法则（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数. 即：)0(1≠⨯=÷b ba b a （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.名师精讲例1、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有：ab a b a b2*-=,试计算2*)3(-的值。
第二讲-绝对值
第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。
一．基础知识回顾：1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 。
5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。
7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a=（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）；8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考： 若1a <2a <3a <…<n a ①当n 为偶数时，当x 满足什么条件时，代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值；②当n 为奇数时，x 满足什么条件代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值.（4）代数式 x a x b ---（其中a b <），当x a ≤时，有最小值a b --，当x b ≥时有最大值a b -9、绝对值方程：（1）x a = ① 当 0a >时，方程有两个解x a =±；② 当 0a =时，方程有一解0x = ③当0a <时，方程无解；（2）x a x b m -+-=（a b <）①当 m b a >-时，方程有两解：2a b m x ++=或 2a b m x +-= ② 当m b a =-时，方程有无数个解，即满足a x b ≤≤的所有值 ③当m b a <-时，方程无解（3）x a x b m ---=（a b <）①当 a b m a b --<<-时，方程有一解 ② 当 m a b =-或 m a b =--时，方程有无数个解 ③当m a b >-或m a b <--时，方程无解二、【典型例题分析】（一）绝对值的化简：含有绝对值符号的化简的关键是先确定绝对值符号内部分的正负，再利用绝对值的代数意义化去绝对值符号（就是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数）。
绝对值与偶次根式
第二讲：绝对值与偶次根式一、绝对值①绝对值的几何意义 ②0≥a ③去绝对值符号的方法 ④零值分段法 ⑤含绝对值符号的函数图像的画法例题：T1、若a a -=，则a 的取值范围是__________。
T2 、化简1325---x x ； T3 、求函数11-++=x x y 的最小值。
拓展：求1234-+-+-+-=x x x x y 的最值。
思考：问方程2311=-++x x ，211=-++x x ，2711=-++x x 有没有解？有多少个解？ T4 、 作下列函数的图象： ①x y = ②1-=x y ③1--=x y ④12-=x y ⑤2=+y x二、偶次根式：①意义 ②要求 ③性质1、a a =2)( （0≥a ）；2、a a =2；3、ab b a =⋅（0,0≥≥b a ）；4、)0,0(>≥=b a a b a b ④、有理化例题T1：指出下列各式成立的条件 ：①22-=-x x x x ②x x x x --=--5)3()3)(5(2T2：化简下列各式：① aba a ab a a ++-； ② 22)2()1(x x -+-; ③ a a 1- T3：计算：①当25=x 时，计算11111111)(+-+-+++-++--+=x x x x x x x x x f 的值； ②若11122+-+-=a a a b ，求b a +的值。
T4：设3232-+=x ，3232+-=y ，求33y x +的值。
T5：比较1112-=A 与1011-=B 的大小。
T6：设215-=x ，求1224-++x x x 的值。
三、作业 1、化简下列各式：①13-+-x x ②1670150296354624++-+- 2、求值①已知a b a -<<，则2)(b a b a ++-=___________。
②若012)1(2=+-+-y x x ，则=+-222y xy x __________。
绝对值和有理数加减
第二讲 绝对值和有理数加减绝对值数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即。
②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。
1、最小的正整数是______，最大的负整数是_____，绝对值最小的数是_____，绝对值是本身的是______2、35-的倒数的绝对值是__________;若|x|=-(-8),则x=______; |π-3.14|=______ 3、用“＞”、“＜”、“＝”号填空:（1）1___02.0-； （2）43___54；（3）][)75.0(___)43(-+---；（4）14.3___722--。
4、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。
5、判断下列各式是否正确(正确 “√”，错误 “×”)： ①a a -=；（ ） ②a a -=-；（ ） ③aa a a=；（ ） ④若a b =，则a =b ；（ ）⑤若a=b ，则a b =.（ ）6、如果a a -=||，下列成立的是（ ）A ．0>aB ．0<aC ．0≥aD ．0≤a7、如图，|a|=__________，|b|=___________综合：1、已知32--y x 与互为相反数，求y x 32+的值.2、若|3a+5|=|2a+10|，求a 的值．a a ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a aa 0≥a3、数轴上的绝对值化简问题（1）已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示①比较a ，-a ，b ，-b 的大小，用“＜”连接. ②=+c a ，=+b a ，=-c a ，=-b a . ③=--+b c b a .2．a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a ﹣b|﹣|a+b|．3．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a ﹣c|﹣|a ﹣b|﹣|b ﹣c|+|2a|．4、有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|.(1)若|a+c|+|b|=2，求b 的值；(2)化简|a-b|-|a+c|-|b+c|计算：1、已知,012=-+-y xy 求()()()()()().201520151...2211111的值++++++++++y x y x y x xy2、|211-|+|3121-|+|4131-|+……+|201191-|变式：|121-|+|2131-|+|4131-|+……|2017120161-|+|2018120171-|绝对值的最值根据x≥0这个性质，解答下列各题。
初中数学竞赛——绝对值
第2讲 绝对值知识总结归纳一. 绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩二. 绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．三. 去绝对值符号的方法：零点分段法（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．四. 零点分段法的步骤（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．五. 含绝对值的方程（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解． （2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．六. 绝对值三边不等式:a b a b a b -≤+≤+七. 含有绝对值的代数式的极值问题对于代数式123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）（1） 如果n 为奇数，则当12n x a +=时取最小值；（2） 如果n 为偶数，则当122n n a x a +≤≤时取最小值.典型例题一. 绝对值的化简【例1】 已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c -++-+-．【例2】 已知a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值.【例3】 已知a 、b 、c 、d 满足101a b c d <-<<<<<，11a b +=+,11c d -=-，求a b c d +++的值.c b0 a【例4】 化简：12x x -+-.【例5】 化简：525x x +--.【例6】 化简：23132x x x ++---.【例7】 化简：5423x x x ++-++；【例8】化简：21x x-+. 【例9】化简：121x x--++.【例10】已知0x<，化简：23x xx x---.【例11】若25x<<，化简：5252x x xx x x---+--.【例12】 若0a <，且ax a≤，化简：12x x +--.【例13】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值.【例14】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值.二. 绝对值方程【例15】 解方程：（1）2(1)5x x --+=； （2）576x --=-；【例16】4329+=+.x x【例17】解方程：（1）143-+-=；x x（2）324+-=；x x（3）13-=+．x x【例18】解方程：|||4|5x-=.【例19】解方程：||48|3|5+-=.x x【例20】 解方程：324x x -+=.【例21】 解方程：3212x x x --+=+【例22】 解方程：213x --=.【例23】 已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解的情况.三. 绝对值不等式【例24】 解不等式： |35|10x +≤.【例25】 解不等式：23x x +>-.【例26】 解不等式：|3||21|2x x +--<.【例27】 解不等式：4231x x ---≤.【例28】 求不等式20069999x x -+≤的整数解个数.【例29】 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.【例30】 解关于x 的不等式：11ax ax ->-.四. 绝对值的几何意义和最值问题【例31】 已知04a ≤≤，求23a a -+-的最大值.【例32】 已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值.【例33】 求35x x ++-的最小值.【例34】 （1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值.（2）试求1232013x x x x -+-+-++-的最小值.【例35】 试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．【例36】 试求214253x x x x +-+-+-的最小值．【例37】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.五. 三角不等式【例38】 证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+.【例39】 已知21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.【例40】 已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值.【例41】 已知a b c d 、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，求b a d c -+-的值.【例42】 已知0ab >，45P a b a b =-++，362Q a b a b =-++，试比较P 与Q 的大小.思维飞跃【例43】 满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？【例44】 求24x y x y -+-+-的最小值．作业1. 已知a a =-，0b <，化简：22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--.2. 化简：3223x x -++．3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简：a b c a b c ++.4. 已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．5. 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a ++-+--．6. 化简：2325x x x x --．7. 化简：123x x x -++--．a b 08. 解方程：100100300x x ++-=．9. 解方程：116x x x +-++=.10. 解方程：（1）32368x x ++-=； （2）23143x x x +--=-.11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.12. 计算下列式子的的最小值.（1）123x x x -+++-； （2）31523x x x -+++-； （3）213243x x x x +-+-+-．13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值.14. 计算21563x x x ++-++的最小值．15. 已知1223y x x x =++-+-，当x a =时，y 的最小值是b ，求b a a b ⋅的值.。
第二讲_绝对值及有理数的混合运算
第二讲：绝对值与有理数的加减一、绝对值专题训练例1 计算 （1）3-+5- （2）21-31- （3） 1.25--0.5- 例2、比较87-和76-的大小．例3、已知｜x ｜＝5，求x 的值。
拓展训练：(1)｜x －3|＝5，求x 的值.(2)如果有理数a ，b 满足｜a ｜=5,｜b ｜=4且a ＜b ，求a 和b 的值例4．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例5．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例6．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？解：设甲数为x ，乙数为y 。
由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例7．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例8．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++课后训练（家庭作业）1、比较下列每对数的大小：（1）|53|与|52|-； （2）－｜－7｜和－（－7） （3）|—4|与—4； （4）|—（—3）|与—|—3|； （5）—98与—97；（6）—85与—1172、已知a 与b 2互为倒数，c -与2d 互为相反数，3=x ，求式子x dc ab ++-22 值。
第二讲 绝对值
第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b ±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p ≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．。
希望杯培训第二讲绝对值
希望杯培训第二讲《绝对值》例题1：已知x ＜0＜z ，xy ＞0，x z y >>，那么y x z y z x --+++的值【 】A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 例题2：若x ＝220022001，则=-+-+-+-+-+54321x x x x x x ________ 例题3：数－200314a是【 】A ．正数B ．负数C ．非正数D ．零 例题4：使代数式x x x 43-的值为正整数的x 值是【 】A ．正数B ．负数C ．零D ．不存在例题5：已知a ，b ，c 都是非负数，并且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是【 】A ．负数B ．非负数C ．正数D ．非正数 例题6：已知a ＜－1，－1≤c ≤0，a ＜b ＜c ，则1-----++c a c b c b a 的最小值是_____________，最大值是______________例题7：方程236x x -++=的解的个数是【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例题8：如果2a ＋b ＝O ，则|2b|a |||1|a |a |-+-等于【 】 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题9：如果a ＋b －c ＞0，a －b ＋c ＞0，－a ＋b ＋c ＞0，则200220022002)()()(c c b b a a +-的值为【 】A ．1B ．－1C ．0D ．3例题10：If a ，b ，c ，d are rational numbers(有理数)，|a －b|≤9，|c —d|≤16 and |a －b －c ＋d|＝25，then |b －a|－|d —c|＝例题11：已知a ，b ，c 都是整数，m ＝｜a ＋b ｜＋｜b －c ｜＋｜a －c ｜，那么【 】A 、m 一定是奇数B 、m 一定是偶数C 、仅当a ，b ，c 同奇偶时，m 是偶数D 、m 的奇偶性不能确定例题12：如果0)2(32=++-n m ，则方程3mx ＋1＝x ＋n 的解是______________ 例题13：11-++x x 的最小值是【 】A 、2B 、1C 、0D 、－1例题14：不等式0)1)((<-+x x x 的解是__________________例题15：已知1≤x ，1≤y ，且421--++++=x y y y x u ，则u 的最大值与最小值的和是________________例题16：彼此不相等的有理数a 、b 、c 、在数轴上对应的点分别是A 、B 、C 、如果 c a c b b a -=-+-，那么A 、B 、C 的位置关系是___________例题17：某公共汽车运营线路AB 段上有A 、B 、C 、D 、四个汽车站，如图所示，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 、四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？ B C D A练习试题：1．若x 是有理数，且33x x -=，则一定有【 】 A 、x ＞0 B 、x ＜0 C 、x ≥0 D 、x ≤02．A 是非零有理数，则【 】A 、a a ≥B 、a a ≥2C 、a a≥1 D 、a a -≥2 3．数轴上的点A 、B 、C 分别对应数：0，－1．x ，C 与A 的距离大于C 与B 的距离，则( )．A ．x ＞0B ．x ＞－1C ．x ＜－21 D ．x ＜－1 4．使代数式x xx -的值为正整数的x 的值是【 】A 、正数B 、负数C 、非零的数D 、不存在的5．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB≠BC．那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点【 】A ．是B 点 B ．是线段AC 的中点 C 是线段AC 外的一点D ．有无穷多个6．If 3x ≤ , 1y ≤ , 4z ≤ ,and 29x y z -+=, then 246x y z =7．若ab ≠0，则bb a a +不能等于－2,0,1,2这四个数中的【 】 A 、－2 B 、0 C 、1 D 、28．已知0)2(12=+++x y x 则=yx ___________ 9．数轴上的三个点到原点的距离分别是3,5,2，则这三个点在数轴上对应的数最小是【 】A 、－2B 、－3C 、－5D 、210．设x 、y 、a 、都是整数，a x -=1，222a a y -+=，则a ＝____________11．如图．若数轴上a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 ．(填“A"、“B’’、“C”或“D”)12．已知a ＝1999，则=-+--++-200133314332323a a a a a a ___________13．有理数a 、b 、c 、均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，设x ＝b a cc a bc b a+++++试求20009919+-x x14．已知a 、b 、c 、d 都是整数，且 _______。
第2讲 绝对值
绝对值要点一、绝对值1．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3．绝对值的性质：（1）非负性：||0a ≥；（2）双解性：若||||a b =，则a b =或a b =-．【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若||||||a b c ++=0，则a =0，b =0，c =0．要点二、有理数的大小比较1．数轴法2．法则比较法3． 作差法4． 求商法5．倒数比较法类型一、绝对值（1）2017-的绝对值是_________，|2017|--的相反数是________，|2017|-与________互为倒数．（2）①绝对值不大于3的整数有________；②绝对值大于2而小于5的负整数是________．（3）①若m 、n 满足||||=m n -2+-30，则mn 的值等于________；②||||x y =--7，则xy =________．（4）已知|5|a =，||2b =，则||a b -的值是__________．举一反三：【变式1】如果｜x ｜＝2，那么x ＝ ； 如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______．如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．【变式2】如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．【变式3】下列说法正确的是（ ）A. 一个数的绝对值一定比0大B. 一个数的相反数一定比它本身小C. 绝对值等于它本身的数一定是正数D. 最小的正整数是1知识导航 例题1 典题精练（1）下列说法正确的个数（ ） ①()a --表示正数；②||a 一定是正数，||a -一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果||||a b >，则a b >．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）若x 表示有理数，则||x --一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（3）下列说法正确的是（ ）A ．若a 表示有理数，则a -表示非正数B ．和为零的两数互为相反数C ．一个数的绝对值必是正数D ．若||||a b >，则a b <<0举一反三：【变式】（1）||||x y 2-2+7-3=0，求xy =________．（2）4-27的倒数是________，3.75的负倒数是___________． （3）给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若||m m >，则0m <；④若||||a b >，则a b >，其中正确的有______．类型二、绝对值非负性的应用若|x ﹣2|与|y+3|互为相反数，则x+y= ．举一反三：【变式】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．类型三、含有字母的绝对值的化简(1)若﹣1＜x ＜4，则|x+1|﹣|x ﹣4|= ．(2)有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：求代数式│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │的值.例题2 例题3例题4b a 0c 1【变式1】当a ＞0，b ＜0时，化简|5－b |＋|b －2a |＋|1＋a |【变式2】已知a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，化简a －b a +＋a c -＋c b +＝ .一、选择题 1．以下选项中比|﹣|小的数是（ ）A ．1B ．2C ． D.2．下列判断中，正确的是( )．A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C.任何数的绝对值都是正数D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.3．下列各式错误的是( )．A ．115533+=B ．|8.1|8.1-=C ．2233-=-D ．1122--=- 4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q5．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b|6．若|a | + a ＝0，则a 是( )．A. 正数B. 负数C.正数或0D.负数或0二、填空题7．若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________．8．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．9．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________．10.在﹣2.1，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是 ．11．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．12．如果|a ﹣2|+|b+1|=0，那么a+b 等于 ．13.若1a a=-，则a 0；若a ≥a ，则a ． 课堂巩固14．若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．15.如图，数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ．(1)则：a ﹣b 0，a+c 0，b ﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）(2)你能把|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．16．比较下列每对数的大小：（1）|53|与|52| ； （2）－｜－7｜和－（－7） （3）|—4|与—4；（4）|—（—3）|与—|—3|； （5）—98与—97； （6）—85与—117．17.正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，下面是6个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不不足规定质量的克数）：－25，＋10，－11，＋30，＋14，－39请指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明。
第二讲 绝对值2
第二讲 绝对值一、 知识提要1 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|2 任何一个数的绝对值都是非负数，即任何一个数的绝对值都不小于0，即|a|≥0.3 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥－a.4 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩5 两个负数，绝对值大的反而小；两个数，若绝对值相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数.6 常用公式 222;;(0)a a aaa ab a b b bb===⋅=≠7 在数轴上，|x|的意义是数x 对应的点与原点的距离；|x －a|的意义是数x 对应的点与数a 对应的点之间的距离.二、 例题 例1 计算12(3)(4)5(6)---+---+---例2 化简：2123y x x x x =-+-+++ 例3 数142005a-______0.例4 使代数式34x x x-的值为正整数的x 的值是（ ）(A)正数 (B)负数 (C)零 (D)不存在的例5 已知a 、b 、c 都是负数，并且|x －a| + |y －b| + |z －c| = 0，则xyz______0.例6若200522006x =，则|x| + |x －1| + |x －2| + |x －3| + |x －4| + |x －5| =_______.例7已知x = 2005，则| 4x 2－5x + 9 |－4| x 2 + 2x + 2 | + 3x +7 =____.例8 如果2a + b = 0，则12a a b b-+-=_______.例9 如果a + b －c > 0，a －b + c > 0，－a + b + c > 0，则200820082008a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭等于_______.例10 If a,b,c,d are rational numbers, |a －b|≤9, |c －d|≤16 and |a ―b ―c + d| = 25, then |b ―a|―|d ―c| = ______.例11 若m是方程|2005－x| = 2005 + |x| 的解，则|m－2006| 化简后等于__________.例12 如果|m－3| + (n + 2)2 = 0，则方程3mx + 1 = x + n的解是_______.例13 若| a +b + 1|与(a－b + 1)2互为相反数，则a与b的大小关系是_________.（A）a > b （B）a = b （C）a < b （D）a≥b例14不等式(|x| + x )(1－x) < 0的解是_________.例15 |x + 1| + |x－1|的最小值是________.例16 已知|x|≤1，|y|≤1，且u = |x + y| + |y + 1| + |2y―x―4|，则u的最大值与最小值的和等于_________.例17 彼此不等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C，如果|a－b| + |b－c| = |a－c| ，那么A,B,C的位置关系是_________.例18 某公共汽车运营线路AB段上有A,B,C,D四个汽车站，如图，现在要在AB端上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路车总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？例19已知3+-+.x<-，化简321x例20化简3121++-.x x练习：1.代数式372x-+的最小值是，此时x=.2.若0x<，则23x x-= .3.若3,2x y==，且x y y x-=-，则x y+= .4.设有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简b a a c c b-+++-.5.若0a b c≠，则a b ca b c++的所有可能值是什么？6.若23a a a-=，则a0（填“≥”、“=”或“≤”）.7. 若0,0a a b<<，那么15b a a b-+---= . 8.一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是.9.已知x与2y互为相反数，y与3z互为相反数，1632x y z+++的值是.10.不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C.如果a b b c a c-+-=-，那么B点与A、C的位置关系是.11.若25x y-+与322000x y--互为相反数，则95x y-= .12.化简25x x-++的值.13.有理数,x y适合关系式：10,12x x y y x y++=+-=，求x y+的值.14.有理数a 、b 、c 、d ，满足1a b c d a b c d=-，则a b c d abcd+++的最大值为 .15.若()2250a b -+-=，则62a b a b-= .16.已知35,232522x x x -≤≤++-= .17.已知,12341112133x x x x x x x x π=-+-+++--+++-+++ = .18.x 为 时，式子()()2424x x x x -+-=-+-成立.19. x 为 时，式子()()()()76357635x x x x +-=+-成立.20. 若0a b +<，则13a b a b +----= .21.适合关系式34326x x -++=的整数x 的值是 .22.若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a-+-=，计算c a a b b c-+-+-的值为 .。
02：第二讲：绝对值
第二讲：绝对值一：数系应用例1：已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值。
1、已知03452=+-+b a a ，求320068b a-的值；2、若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，x 的绝对值是1，求a bx cd x+++的值； 3、已知2++b a 与4)12(-ab 互为相反数，求代数式++-+ba abab b a 33)(21的值； 4、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221(12)a b m m cd-+÷-+的值。
二：绝对值的非负性例1：已知022=-+-a ab ，求()()()()()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值；5、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式220062005()()2()b a a b ab a b -++++的值。
6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
7、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三：去绝对值例1：（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值？ （4）求987-+-+-x x x 的最小值？8、若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 9、若0<x ，化简：|||2||3|||x x x x ---；10、若0<a ，且0<ab ，化简：74---+-b a a b 11、设0<a ，且||ax a ≤，试化简：|1||2|x x +-- 12、如果0abc ≠，求：||||||a b c a b c++的值。
人教版七年级数学上册同步讲义 第二讲 绝对值【解析】
第二讲绝对值2.1绝对值的定义绝对值的定义【例1】如果|a|=﹣a，则a是（）A.a＞0B.a=0C.a＜0D. a≤0【答案】D【练习1.1】若实数a<0，则3a﹣5|a|等于（）A. 8aB.﹣2aC.﹣8aD. 2a【答案】A【练习1.2】若|a﹣1|=1﹣a，则（）A.a>1B.a<1C.a≥1D.a≤1【答案】D【例2】若|a|=3，|b|=5，则|a+b|的值为（）A.8B.2C.2或8D.以上都不对【答案】C【练习2.1】如果|a|=3，|b|=1，那么a+b的值一定是（）A.4B.2C.﹣4D.±4或±2【答案】D【练习2.2】已知|a|=8，|b|=5，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A.3B.13C.13或﹣13D.3或﹣3【答案】C【例3】如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（）A. 1B. 2k﹣1C. 2k+1D. 1﹣2k【答案】B【练习3.1】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|+|b﹣a|结果为（）A.﹣2aB.﹣2a+2bC.﹣2bD.﹣2a﹣2b【答案】A【练习3.2】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|+|b+2|的结果是（）A.1B.2b+3C.2a﹣3D.﹣1【答案】B2.2 绝对值的非负性⏹绝对值的非负性【例4】已知（1﹣m）2+|n+2|=0，则m+n的值为（）A.﹣1B.﹣3 C .3 D.不能确定【答案】A【练习4.1】若（x﹣1）2+|y+2x|=0，则代数式2xyx y+的值是（）A.不能确定B.4C.43- D.﹣4【答案】B2.3绝对值的几何意义⏹绝对值的几何意义【例5】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a=；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．【答案】（1）3；5；a=1或﹣5；（2）6．【练习5.1】在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（）A.﹣5B.1C.﹣1D.﹣5或1【答案】D【练习5.2】我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，则式子|x﹣2|+|x+1|的最小值为．【答案】32.4绝对值的综合应用（选讲）绝对值的综合应用【例5】若xyz＜0，则的值为（）A.0B.﹣4C.4D.0或﹣4【答案】D【练习5.1】如果a、b、c是非零有理数，且0a+b+c=，那么的所有可能的值为________________；【答案】0【练习5.2】ba ca b c++=1，求（abcabc）2003÷（bc ac abab bc ac⨯⨯）的值．【答案】﹣1．+++x y z xyzx y z xyz||||||||a b c abca b c abc+++课后作业:1．2的相反数和绝对值分别是（ ） A.2，2B.﹣2，2C.﹣2，﹣2D.2，﹣2【答案】B2．下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②﹣a 一定是一个负数；③没有绝对值为﹣3的数；④若|a |=a ，则a 是一个正数；⑤离原点左边越远的数就越小；正确的有多少个（ ） A.0B.3C.2D.4【答案】C3．有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 、b 、﹣a 、|b |的大小关系正确的是（ ）A.|b|＞a ＞﹣a ＞bB.|b|＞b ＞a ＞﹣aC.a ＞|b |＞b ＞﹣aD .a ＞|b |＞﹣a ＞b【答案】A4．实数a 在数轴上的位置如图所示，则 =（ ）A. 2.5-aB.2.5-aC. 2.5a +D. 2.5--a【答案】B5．若实数a<0，则3a ﹣5|a|等于（ ） A. 8aB.﹣2aC.﹣8aD. 2a【答案】A6．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示：化简|a|+|a ﹣b |= ______ ．25-a .【答案】b ﹣2a7．已知|x |=3，|y |=2，则|x ﹣y |的值等于 ______ ． 【答案】1或58．已知a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简12|1|2||﹣﹣﹣﹣+a b a b ．【答案】3a ﹣4b +3．9．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是2，求的值。
第二讲 绝对值
绝对值绝对值是初中代数的一个重要概念，理解绝对值应注意以下几个方面的问题：1．去绝对值符号法则：2．绝对值的几何意义：从数轴上看，| a |即表示数a的点到原点的距离，即| a |代表的是一个长度，故| a |表示一个非负数。
3．绝对值常用的性质①| a |≥0 ②| a 2| = | a |2= a2③| ab | = | a |•| b |④| ab| =| a || b |（b≠0）⑤| a+b |≤| a | + | b |⑥| a–b |≥| a |–| b |例题与求解：例1 已知| a |=5，| b |=3，且| a–b|= b–a，那么a+b=_______.例2 如果0<p<15，那么代数式| x–p | + | x–15 | + | x–p–15|在p≤x≤15的最小值是（）（A）30 （B）0 （C）15 （D）一个与p有关的代数式例 3 已知| ab–2|与| b–1|互为相反数，试求代数式1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+…+1(a+1999)(b+1999)的值。
例4设a、b、c是非零有理数，求a| a |+b| b |+a| c |+ab| ab |+ac| ac |+bc| bc |+abc| abc |的值。
例5 若a、b、c为整数，且| a–b |19 + | c–a |19 = 1,试求| c–a | + | a–b | + | b–c |的值。
例6化简| x–2 | + | x + 3 |. 能力训练（A级）。
第二讲绝对值的性质及化简.
第二讲绝对值的性质及化简.绝对值的性质及化简中考要求绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a③aa(a0)a(a0)a(a0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若a b c0，则a0，b0，c0绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a，且a a；（2）若a b，则a b或a b；aa(b0)；bb（3）ab a b；（4）|a|2|a2|a2；（5）a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．例题精讲绝对值的性质化简题库·学生版 page 1 of 3【例1】 m n的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．； x的几何意义是数轴上表示的点与0（>，，【例2】 x3的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x31，则x．【例3】 x2的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x22，则x【例4】已知a1且a b c，那么a b c b2c3，【例5】若x2x20，求x的取值范围．【例6】解绝对值方程 x5=3【例7】如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c的值.·【例8】计算：绝对值的性质化简题库·学生版 page 2 of 3 11111111+…+.[1**********]007【例9】若x1+（x－y+2）=0 ，求2019（x+y）+3x－y的值. 2【例10】如果ab2+b1=0，试求 2111aba1b1a2b21a2019b2019的值.绝对值的性质化简题库·学生版 page 3 of 3。
第二讲 绝对值
第2讲 绝对值的性质与化简【例1】(1)若xy xy =，则必有……………………………………………………( ) A .x,y 异号 C.x,y 中至少有一个是0B .x,y 同号 D . x ，y 同号或x,y 中至少有一个是0.(2)已知a 、b 、c 在数轴上位置如图，化简：代数式|a |＋|a ＋b |＋|c －a |－|b －c |．(3)若ab≠0，则ab a b+的取值不可能是………… ..……………………..（ ） A.0 B.1 C.2 D.－2注1：化简a a=__________ 【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数,且a+b+c ＝0,那么求||a a +||b b +||c c +||abc abc 的所有可能的值.【例3】设a<0，且a x a ≤，试化简12x x +--.【例4】已知a 、b 、c 均不为0,且a ＋b ＋c ＝0,设x ＝|||a b c +＋||b c a +＋||c a b+| ,试求代数式x 19-99x +2018的值.【例5】化简: (1)12a a -+-； (2)123x x x ++-+-； (3)13x --．注2：零点分段法基本步骤：_______________________________.【例6】已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 化简：y x z y z x --+++【例7】点A 、B 在数轴上分别表示数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离表示为|a －b |．回答下列问题：(1)数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_____________；(2)数轴上表示x 和－1的两点之间的距离是_____________；(3)当代数式|x －1|＋|x －3|取最小值时，求相应x 的取值范围？_____________________(4)试求出123x x x -+-+-的最小值？(5)试求出12...99100x x x x -+-++-+-的最小值？结论：____________________________________________________________.(6)满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(7)已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值．【例8】2020020,20y x b x x b b b x =-+-+--<<≤≤已知，其中求y 的最小值.【例9】若2x＋｜10－5x｜＋｜1－3x｜＋4的值在某个范围内，恒为常数，求x的取值范围及此常数的值．【例10】若a，b为实数，则下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a－b｜＝｜b－a｜；(2)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(3)｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；(4)｜a－b｜＝｜a｜－｜b｜；(5)｜ab｜＝｜a｜｜b｜注3：绝对值满足三角不等式：_______________________________.【例11】已知a 、b 、c 、d 是有理数,│a －b │≤9,│c －d │≤16,且│a －b －c ＋d │=25,那么请求出代数式：│b －a │－│d －c │的值.【例12】已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知||||||ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，求式子ad －bc 的值一.选择题1.a<0时，化简a a等于………………………………………………………………..（ ）A 、1B 、—1C 、0D 、1±2.已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ,1,-1,那么│a+1│表示…………( ).A.A 、B 两点的距离B.A 、C 两点的距离C.A 、B 两点到原点的距离之和D.A 、C 两点到原点的距离之和3.已知z x <<0，0>xy ，且x z y >>那么y x z y z x --+++的值….（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号4.不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果｜a-b ｜+｜b-c ｜=｜a-c ｜，那么B 点应为…………………………( )．(1)在A ，C 点的右边； (2)在A ，C 点的左边；(3)在A ，C 点之间； (4)以上三种情况都有可能．5.已知a 是任意有理数,则│－a │－a 的值是………………………………………( ).A.必大于零B.必小于零C.必不大于零D.必不小于零6.使代数式|3|||4x x x-的值为正整数的x 值是…………………………………………( ). A.正数 B.负数 C.零 D.不存在的二.填空题7.计算：214131412131---+-=______． 8.已知│a│=1,│b│=2,│c│=3,且a>b>c,那么a+b-c=_______9.若m,n,p 满足：1m n p m n p++=，则3____2mnp mnp = 10.若有理数x 、y 满足2002(x －1)2+│x －12y ＋1│＝0,则x 2+y 2＝________.11.非零整数m,n 满足50m n +-=，所有这样的整数组(m,n )共____组12.若a,b 为有理数,那么,下列判断中:(1)若│a │=b ,则一定有a=b ;(2)若│a │>│b │,则一定有a>b ;(3)若│a │>b ,•则一定有│a │>│b │;(4)若│a │=b ,则一定有a 2=(-b )2.正确的是________(填序号)13.若m m =-，化简12m m ---的结果是_______14.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示:则│c －1│＋│a －c │＋│a －b │化简后的结果是_________.15.能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．c a16.设a+b+c=0,abc>0,则求||b c a ++||c a b ++||a b c +的值.17.(1)若a ＋b ＜0，化简｜a ＋b －1｜－｜3－a －b ｜；(2)│x －1│－│x －3│；(3)若x<0,化简23x xx x ---.18.当b 为何值时，5－12-b 有最大值，最大值是多少？19.如果0<p<15,请求出代数式1515x p x x p -+-+--在p≤x≤15•时的最小值.20.已知a 为有理数,那么代数式│a －1│＋│a －2│＋│a －3│+│a －4│的取值有没有最小值?如果有,试求出这个最小值；如果没有,请说明理由．21.若a ，b ，c 为整数，且｜a －b ｜19＋｜c －a ｜99＝1，试计算｜c －a ｜＋｜a －b ｜＋｜b －c ｜的值．。
绝对值与二次根式-
第二讲 绝对值与二次根式【基础知识】 一、绝对值1、绝对值代数定义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
有时也可以记为：(0)(___0)||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥⎧⎧=⎨⎨-<-⎩⎩或者 2、绝对值几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。
那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；|x||-2||x-1|1O-1-2x-1x(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。
绝对值为零的数只有一个零；(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.即||||0a b a b a b =⇒=+=或二、二次根式1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。
2、二次根式的性质： (1)2(0)||(0)a a a a a a≥⎧==⎨-<⎩ (2)0a ≥(3)2()(0)a a a =≥(4)(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a a a b b b=≥> (5)0a b a b >⇔>≥ 【典型例题】 一、化简求值例1计算下列各式的值:①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2|1|x x -+;解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;②02(1sin 60)-=033|1sin 60||1|122-=-=-.③22131()44x x x x -+=-++213()024x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-解:当x<0时, 2||2x x +-=22x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=22x x +-所以2222(0)||22(0)x x x x x x x x ⎧--<+-=⎨+-≥⎩注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+ 解:原式=222(3)(1)(2)x x x +++--|3||1||2|x x x =++-+-以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3<x ≤1时, 原式=(x+3)+(1-x)+(2-x)=-x+6当1<x ≤2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(2-x)=x+4 当x>2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x综上所述，原式= 3(3)6(31)4(12)3(2)x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<≤⎪⎨+<≤⎪⎪>⎩注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|解:先找零点：|1|01 |1|201|1|01x xx xx x-==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩或3所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4 当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2综上所述，原式＝22(1) 22(11) 4(13) 22(3)x xx xxx x--<-⎧⎪+-≤<⎪⎨≤<⎪⎪-≥⎩注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.二、条件化简求值例5 化简2(3)|4|(34) x x x-+-<<解：因为3<x<4,所以x-3>0,x-4<0,所以原式= x-3+4-x=1.例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x||=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.解:由非负数的意义得:2402:1:13402x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-+==⎩⎩.例9 已知212005|1|04x y x ++-+=，求2008200520052y x +⨯的值. 解: 212005|1|04x y x ++-+=20051()2005|1|02x y ⇒-++=10210x y ⎧-=⎪⇒⎨⎪+=⎩ 121x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩20082005200520082005200512(1)2()1122y x ⇒+⨯=-+⨯=+=注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（ ）（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)Ob ac解:由已知，根据非负数的性质，得010xy x y =⎧⎨-+=⎩即010x x y =⎧⎨-+=⎩或010y x y =⎧⎨-+=⎩解之得：01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，， 那么||1|1|a a -=+ .解:由||01a a a +=≠-，， 可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，||111|1|(1)a a a a ---==+-+；当10a -<≤ 时，||111|1|1a a a a ---==-++.所以1(1)||11(10)|1|a a a a <-⎧-=⎨--<≤+⎩注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2(2)2x x -=-，则x 0. ③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲绝对值授课时间：2011.8.13
【基本知识】
1、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
2、绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
3、结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
【例题精析】
例1：a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；
(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
(4)若｜a｜=b，则a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
例2 ：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
例3：已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①
或
｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②
由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b ±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分(如图1－2所示)，即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
即
说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
解有三个分界点：-3，1，-1．
(1)当x≤-3时，
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1时，
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
(3)当-1≤x≤1时，
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
(4)当x≥1时，
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
分析要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
故x应满足的条件是
此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7．
【巩固练习】
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？
6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．。