第九章振动

F
v0
x/m
0.08 0.04
o
0.04
0.08
求（2）由起始位置运动到x =-0.04m处所需要 的最短时间. 利用运动方程计算 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所需要的 最短时间为t
v0
x/m
0.08 0.04
o
t
0.04
0.08
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 2 cos( t ) t 2 3 2 2 3 3 2 v < 0 sin( t ) > 0 t 2 3 2 3 3 2 t 0.667 s 3
式中A和 为积分常数
— 简谐运动方程
利用速度和加速度的数学定义,可得
dx A sin(t ) 速度 v dt
d x 2 A cos(t ) 加速度 a 2 dt
显然，速度和加速度也为时间的周期函数
2
简谐振动的位移、速度和加速度的函数曲线
x, v,a
x A cos( t ) ，
v0
x/m
0.08 0.04
o
0.04
0.08
已知 m 0.01 kg , A 0.08 m , T 4 s
t 0, x0 0.04 m, v0 0 求（1） 1.0 s, x, F t 2 π π 1 解: A 0.08 m , s T 2 t 0，x0 0.04 m cos x0 A 1 2 π 3 π v0 0 sin 0 3
1） x0 A cos 1 x0 A 1 1 0
x 2.0 10 cos 4 t m
2
v 2） x0 0 ，0 0 x0 0 cos 2 0 2 2
v0 0
2 2
2
x 2.0 10 cos(4 t ) m 2 A v 3） x0 ， 0 0 2
A 2.0 102 m.当t=0时，1）在正方向的端点； 2）在平衡位置向负向运动；3）在 x 1102 m 2 处向负向运动；4）在 x 110 m 处向正向运 动.求以上各种情况的运动方程. 解：关键在用初始条件求初相位. 1 2 T 4 s 则简谐运动方程为 x 2.0 102 cos(4 t )m
一 单摆 设任意时刻的角位移为 5 时， sin 所受重力矩为
A 转 动 正 向 m

M mgl sin mgl
负号表示力矩M的方向与角 位移 的方向相反. 2 d mgl J J 2 dt 2 代入J ml ，可得 2 d g 2 dt l
cos(t ) P 1 P ( t )P 0
3）到达P点相应位置所需时间
x/m
0.10 0.05
O
P

5 P ( t ) P t 0 24 3
4
t/s
5 t t 1.6s 24 3
§9-3单摆和复摆
三 简谐运动的方程和特征 （1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0 （2）简谐运动的动力学方程 （3）简谐运动的运动学方程


3
t/s
3 2 v4 Asim(4 ) < 0 sim(4 ) > 0 3 3 5 4 rad s 1 3 2 24 5 则运动方程为 x cos( t ) m 24 3
2）P点的相位 对点P有 xP 0.10cos(t ) P 0.10
2
1
t/s
2 x 2 cos( ) 1 0, 2 3 A 3
2 0, 2 3 2 4 0 2 3 3 则此简谐运动的方程为 4 2 x 2 cos( t ) cm 3 3 故选D
T 9-12.一放在水平桌面上的弹簧振子， 0.5s
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
2 1
0 同步
π 反相 为其它
2
2 x 2.0 10 cos(4 t )m 3
2
9-14.质点的x – t曲线如图所示，求：1）运动方程；2） P点对应的相位；3）到达P点相应位置所需时间。 x/m 分析：运动方程为 P x Α cos(t ) A已知，则求出初相位 和角频 率 ，可求出运动方程。 O 振动曲线给出的条件： A x0 , v0 0 1.初始条件 2 x4 0 , v4 0 2.t=4s时 解：确定初相位 ： A 由图可知初始条件为 x0 0.05 2
v0 0 , 则 sin 0, 0(在1,2象限)
应用初始条件确定初相位，例如
A t 0 , x0 , v0 0 2 x0 1 5 cos , (或 ) A 2 3 3
v0 A sin 0 5 sin 0 , (或 )
2

x0 1 x0 1.0 10 m cos 3 3 3 A 2 v0 0 3 3 2 x 2.0 10 cos(4 t ) m
3
A v 4）x0 ， 0 0 2
1 x0 1.0 10 m cos 4 4 2 3 2 v0 0 4 2 3(4 3)
v0
x/m
0.08 0.04
o
t
0.04
0.08
9-2.振动曲线如图，则此简谐运动的方程为
2 2 2 2 A)x 2 cos( t ) cm B)x 2 cos( 3 t 3 ) cm 3 3 4 2 4 2 C)x 2 cos( t ) cm D)x 2 cos( t ) cm 3 3 3 3
3 3
3
5 3 3
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 A cos( t1 )
x2 A cos( t2 )
(t2 ) ( t1 ) t t 2 t1
o
a
v
x
t
位移与时间的关系（x-t）曲线称为振动 曲线。
二 描述简谐运动的特征量
x A cos(t )
1.振幅 A
运动物体离开平衡位置最大位移的绝对值. 单位：m 2.周期 T 振动物体完成一次振动所需要的时间.
单位： s
3.频率 振动物体在1s时间内完成振动的次数.
单位： Hz 角频率（圆频率）
第九章
振 动
1.掌握简谐运动的运动方程及方程中各物理量 （特别是相位）的意义；
2.掌握简谐运动的基本特征，能根据给定的 初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并 理解其物理意义；
3.理解同方向、同频率简谐运动的合成规律;了 解相互垂直简谐运动合成的特点。
§9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
一 简谐运动 1.机械振动
v0
x/m
0.08 0.04
o
0.04
0.08
则运动方程为 π π x 0.08cos( t ) m 2 3 t 可求（1） 1.0 s, x, F
将 t 1.0s 代入上式，得 x 0.069 m
F kx m x 1.70 10 N
2
3
m 0.01kg
简谐运动方程的建立
d x F ma m 2 dt F kx
可得
2
Байду номын сангаас
d x m 2 kx dt 2 d x k 2 x0 dt m
2
k 令 ，则得 m
2
d x 2 x 0 2 dt
其解为：
2
— 简谐运动的微分方程
重要公式
x A cos(t )
三 初始条件
x A cos(t )
t 0 时
v A sin(t ) x0 A cos
v0 A sin
2 0 2 0 2
— 初始条件
v A x
x0 arccos ( [ , ]) A v0 0, 则 sin 0, 0(在3,4象限)
振动物体在2 秒内完成振动的次数. 单位： rad/s 4. T、 、之间的关系：
1 T
2π 2π T
5.相位 t 决定振动物体运动状态的物理量.
x A cos(t ) v A sin(t )
单位： rad 初相位

决定振动物体初始时刻运动状态的物理量.
FT
O
l
2 J ml P
d g 2 dt l g 2 令 ，则 l 2 d 2 0 2 dt
2
A

FT
O
l
转 动 正 向 m
其解为
m cos( t )
—角谐振动
2 J ml P

g l
l T 2π g
2π
物体或物体的某一部分在一确定位置 附近来回往复的运动 平衡位置 例如: 心脏的跳动，钟摆，乐器， 地震等
2.简谐运动 简谐运动： 最简单、最基本的振动 合成 简谐运动 分解 复杂振动
谐振子： 作简谐运动的物体
弹簧振子的振动
l0
k
m
x
A
o
A
F
x0 F 0 k x — 线性回复力
1 式中 k 称为弹簧的劲度系数，单位： N m 。 k 负号表示F的方向与位移的方向相反，总是指 向平衡位置。
0.10 0.05
4

t/s
x0 1 cos A 2 3
v0 0
v0 A sin 0 sin 0
x/m 确定角频率 ： 由图可知 t 4s x4 0 v4 0 0.10 P 0.05 x4 A cos(4 ) 0 O 3 4 4
解：由图可知初始时刻（即t=0）有
x0 1, v0 0
t=1s时有 x 2, v 0 设方程为
x / cm
x 2cos(t ) cm
1 2
o
1
t/s
求 ：t=0时， x0 1, v0 0 x0 1 2 cos A 2 3 2 v0 0 sin 0 3 则方程为 x / cm 2 x 2 cos( t ) cm 3 o 求 ：t=1s时，有 x 2, v 0 1
单位： rad
简谐运动的相位
x
x A cos(t ) v A sin(t )
A
O

T 2


T

t
P
Q
P点相位为

3 x Q点相位为 ： 0, v A 物体仍在平衡 2 位置，但是向x轴正向运动.
：x 0, v A 物体在平衡 2 位置，向x轴负向运动；
超前
落后
x
x
x
t
②
①
o
o t
o
t
2 1 0
例（P8）一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力； 分析：确定简谐运动方程可以求解