18第18讲等比数列及其前n项和

第18讲 等比数列 及 前n 项和
基础梳理
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －
1.
3．等比中项: 若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m ，(n ，m ∈N ＋)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n b
n 仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1
－q n 1－q ＝a 1－a n q
1－q
.
6. 数列求和的常用方法 1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝
n
a 1＋a n 2
＝na 1＋n
n －2
d ；
(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1
，q ＝1，a 1－a n q 1－q
＝a 1－q n
1－q ，q ≠1. 2．倒序相加法 3．错位相减法 4．裂项相消法 5．分组转化求和法 6．并项求和法 三个公式(1)
1
n n ＋
＝1n －1n ＋1
(2)1n －
n ＋
＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1
双基自测
1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4
，则公比q =____________．
2．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6=______________________．
3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2＝________________．
4．等比数列{a n }的公比q ＝1
2
，a 8＝1，则S 8＝____________
5．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和 S n ＝_____________．
6．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前10项的和
为____________．
7．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －
1·n ，S 50＝________.
考向一 等比数列基本量的计算
【例1】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30.求a n 和S n .
【训练1】 等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．
考向二 等比数列的判定或证明
【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1
2，n ∈N *.
(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．
【训练2】数列{}n a 的前n 项和为,23,n n n s s a n =-
①证明：数列{}3n a +是等比数列； ②求数列{}n a 的通项公式n a 。

考向三 等比数列的性质及应用
【例3】已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后面3n 项的和．
【训练3】在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2，a 4
＝－4，则公比q ＝____；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝______.
考向四 公式法求和
【例4】已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列．(1)求公比q 的值； (2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．
【训练4】 在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ，并求a 9和S 8的值．
考向五 分组转化求和
【例5】已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
【训练5】 求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭
⎫1＋12＋1
4＋…＋⎝⎛⎭
⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.
考向六 裂项相消法求和
【例6】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n ⎝
⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n
2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n .
【训练6】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2
a n ·a n ＋1，求数列{
b n }的前n
项和S n .
考向七 错位相减法求和
【例7】已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和．
【训练7】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1a n ＝n 3，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和S n .
【强化训练】
1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝ 2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
＝
3．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4 与2a 7的 等差中项为5
4
，则S 5＝
4．等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.
5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前5
项和为________．
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前100项和为_______．
7．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为________．
8．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
9．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．
10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ＋1(n ＝1,2,3，…)．
(1)若{a n }是等差数列，求其首项a 1和公差d ；(2)证明{a n }不可能是等比数列； (3)若a 1＝－1，求{a n }的通项公式以及前n 项和公式．。