特征2上Special代数S(3,1)的极小权向量

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2016年秋学期东北师大人工智能16秋在线作业2满分答案

2016年秋学期东北师大人工智能16秋在线作业2满分答案1：在极大极小过程中，当端节点的估值计算出来后，推算“与”父节点得分的方法是选其子节点中一个()的得分作为父节点的得分。

A：最小B：最大C：任意D：以上答案均不正确正确答案：A2：问题的状态空间包含三种说明的集合，即所有可能的问题初始状态集合S、操作符集合F以及()。

A：描述谓词集合PB：节点集合VC：边集合ED：目标状态集合G正确答案：D3：从学科角度来讲，人工智能是()科学中涉及研究、设计和应用智能机器的一个分支。

A：计算机B：数学C：哲学D：地理正确答案：A4：简单遗传算法的遗传操作主要有选择、()、变异。

A：交叉B：取符号C：取整D：取上界正确答案：A5：问题归约法的组成部分包括一个初始问题描述、()、一套本原问题描述。

A：中间状态描述B：一套把问题变换为子问题的操作符C：目标状态描述D：问题变量描述正确答案：B6：()以一套规则建立人的长期存储器模型。

A：知识库B：工作存储器C：加密，解密设备D：推理机正确答案：A7：有序搜索，总是选择OPEN表上具有()f值的节点作为下一个要扩展的节点，即总是选择最有希望的节点作为下一个要扩展的节点。

A：最小B：最大C：任意D：以上答案均不正确正确答案：A8：计算智能系统特性的是计算适应性、()接近人的计算速度、近似于人的误差率。

A：计算速度快B：空间复杂度低C：计算容错力D：易于操作正确答案：C9：消解是一种可用于一定的()的重要推理规则。

A：子句B：双条件C：合取公式D：蕴含公式正确答案：A10：问题的状态空间(state space)是一个表示该问题()状态及其关系的图A：全部可能B：多数C：少数D：某些正确答案：A11：目前，人工智能的主要学派有哪些()。

A：符号主义B：连接主义C：行为主义D：机会主义正确答案：ABC12：谓词逻辑的基本组成部分是()和常量符号，并用圆括弧、方括弧、花括弧和逗号隔开，以表示论域内的关系。

Strongart数学笔记：代数数论入门指南

代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。

先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。

设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。

分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。

特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。

可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。

若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。

工程矩阵理论

双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1§1.2 线性变换及其矩阵 3§1.3 内积空间8§1.4 正交变换及其几何与代数特征§1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论§2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34§3.5 矩阵分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间§4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25 §5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。

Orthogonal Polynomials

Polynomials 7 Some questions leading to classical orthogonal Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomial solutions of eigenvalue problems . . Harmonic analysis on spheres and balls . . . . Approximation theory . . . . . . . . . . . . . . 8 Heuristics polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. Totik
72
with special functions, combinatorics and algebra, and it is mainly devoted to concrete orthogonal systems or hierarchies of systems such as the Jacobi, Hahn, Askey-Wilson, . . . polynomials. All the discrete polynomials and the q analogues of classical ones belong to this theory. We will not treat this part; the interested reader can consult the three recent excellent monographs [39] by M. E. H. Ismail, [28] by W. Gautschi and [6] by G. E. Andrews, R. Askey and R. Roy. Much of the present state of the theory of orthogonal polynomials of several variables lies also close to this algebraic part of the theory. To discuss them would take us too far from our main direction; rather we refer the reader to the recent book [24] by C. F. Dunkl and Y. Xu. The other part is the analytical aspect of the theory. Its methods are analytical, and it deals with questions that are typical in analysis, or questions that have emerged in and related to other parts of mathematical analysis. General properties ﬁll a smaller part of the analytic theory, and the greater part falls into two main and extremely rich branches: orthogonal polynomials on the real line and on the circle. The richness is due to some special features of the real line and the circle. Classical real orthogonal polynomials, sometimes in other forms like continued fractions, can be traced back to the 18th century, but their rapid development occurred in the 19th and early 20th century. Orthogonal polynomials on the unit circle are much younger, and their existence is largely due to Szeg˝ o and Geronimus in the ﬁrst half of the 20th century. B. Simon’s recent treatise [80, 81] summarizes and greatly extends what has happened since then. The connection of orthogonal polynomials with other branches of mathematics is truly impressive. Without even trying to be complete, we mention continued fractions, operator theory (Jacobi operators), moment problems, analytic functions (Bieberbach’s conjecture), interpolation, Pad´ e approximation, quadrature, approximation theory, numerical analysis, electrostatics, statistical quantum mechanics, special functions, number theory (irrationality and transcendence), graph theory (matching numbers), combinatorics, random matrices, stochastic processes (birth and death processes; prediction theory), data sorting and compression, Radon transform and computer tomography. This work is a survey on orthogonal polynomials that do not lie on the unit circle. Orthogonal polynomials on the unit circle—both the classical theory and recent contributions—will be hopefully dealt with in a companion article. This work is meant for non-experts, and it therefore contains introductory materials. We have tried to list most of the actively researched ﬁelds not directly connected with orthogonal polynomials on the unit circle, but because of space limitation we have only one or two pages on areas where dozens of papers and several books had been published. As a result, our account is necessarily incomplete. Also, the author’s personal taste and interest is reﬂected in the survey, and the omission of a particular direction or a set of results reﬂects in no way on the importance or quality of the omitted works. For further backgound on orthogonal polynomials, the reader can consult

近世代数习题解答2

近世代数习题解答第二章群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 那么1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a me a m=∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定一样? 证不一定一样例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证我们的答复是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τb ax x +→:λd cx x +→:τλd cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :εx x → (4):τb ax +)(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x:2τx x 2→:21ττ)1(2+→x x :12ττ12+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ)(1a a τ→:2τ)(2a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε)(a a a ε=→:ετ)()]([a a a ττε=→τ:τε)()]([a a a τετ=→∴τεετ=4．证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。

课件2：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

答案 A
例3 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中
点，P，Q是MN的三等分点。用向量 OA,OB,OC
表示OP和 OQ 。
O
M
A
Q
C
P
N
B
解 : OP OM MP 1 OA 2 MN
2
3
1 OA 2 (ON 1 OA)
2
3
2
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
OQ OM MQ 1 OA 1 MN
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
空间向量的直角坐标系
z
给定一个空间坐标系和向
量P ,且设{e1,e2,e3}为坐标向量，
p
由空间向量基本定理，存在唯
e3
一的有序实数组(x,y, z)使
e1
O e2
y
P xe1 ye2 ze3 x
有序组(x,y, z)叫做 P 在空间直角坐标系O--xyz
中的坐标，记作 P (x, y, z)
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量 e1,e2 ,e3 称为单位正交基底． (2)空间直角坐标系：以 e1, e2 , e3 的公共起点O为原点，分别以 e1, e2 , e3 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.
OP OQ zk. OQ xi y j.
z
OP OQ zk xi y j zk.
pP
由此可知，如果 i, j, k 是空间两两
O
y
垂直的向量，那么，对空间任一向
量 p ，存在一个有序实数组{x,y,z}使

2019电子科技大学研究生试卷答案

电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共 2 小时）课程名称图论及应用教师学时 60 学分 3 教学方式堂上授课考核日期 2019 年 5 月日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题(每空3分，共15分) 1. 图G 的邻接矩阵为0111101111001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则G 的生成树的棵数为 8 . 2. 设1G 是11(,)n m 简单图,2G 是22(,)n m 简单图,则1G 和2G 的(Cartesian)积图12G G ⨯的边数()m G =1221n m n m +. 3. 图1中最小生成树T 的权值()W T = 23 .4. 图2中S 到T 的最短路的长度为 8 .5. 设G 是n 阶简单图,且不包含三角形,则其边数一定不超过24n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．单项选择题(每题3分，共15分) 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………座位号图1 图21. 关于彼得森(Petersen)图, 下面说法正确的是 ( B )A. 彼得森图是哈密尔顿图;B. 彼得森图是超哈密尔顿图;C. 彼得森图可1-因子分解;D. 彼得森图是可平面图.2. 下面说法正确的是 ( C )A. 有割点的三正则图一定没有完美匹配;B. 有割边的三正则图一定没有完美匹配;C. 存在哈密尔顿圈的三正则图必能1因子分解;D. 正则的哈密尔顿图必能2因子分解.3. 关于图的度序列, 下面说法正确的是 ( B )A. 任意两个有相同度序列的图都同构;B. 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数;C. 若非负整数序列12(,,,)n d d d π=满足1ni i d =∑为偶数，则它一定是图序列;D. 如果图G 所有顶点的度和大于或等于图H 所有顶点的度和，则图G 度优于图H.4. 关于图的补图, 下面说法错误的是 ( A )A. 若图G 连通，则其补图必连通;B. 若图G 不连通，则其补图必连通;C. 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个团;D. 存在5阶的自补图.5. 关于欧拉图, 下面说法正确的是 ( D )A. 每个欧拉图有唯一的欧拉环游;B. 每个顶点的度均为偶数的图是欧拉图;C. 欧拉图中一定没有割点;D. 欧拉图中一定没有割边.(三).(10分)若阶为25且边数为62的图G 的每个顶点的度只可能为3，4，5或6，且有两个度为4的顶点，11个度为6的顶点，求G 中5度顶点的个数。

模式识别--第二讲线性分类器

第 1 页第二讲线性分类器一、判别函数1、决策论方法在模式识别中，如果根据模式特征信息，按照决策论的思路，以一定的数量规则来采取不同的分类决策，将待识别的模式划分到不同的类别中去，就称为模式识别的决策论方法。

在决策论方法中，特征空间被划分成不同的区域，每个区域对应一个模式类，称为决策区域（Decision Region ）。

当我们判定待识别的模式位于某个决策区域时，就判决它可以划归到对应的类别中。

图1 决策区域需要注意的是：决策区域包含模式类中样本的分布区域，但不等于模式类的真实分布范围。

2、判别函数如果特征空间中的决策区域边界（Decision Boundary ）可以用一组方程0)( x i G来表示，则将一个模式对应的特征向量x 代入边界方程中的)(x i G ，确定其正负符号，就可以确定该模式位于决策区域边界的哪一边，从而可以判别其应当属于的类别，)(x i G 称为判别函数（Discriminant Function ）。

判别函数的形式可以是线性的（Linear ）或非线性（Non-linear）的。

第 2 页例如图2就显示了一个非线性判别函数，当G (x )>0时，可判别模式x ∈ω1；当G (x )<0时，可判别x ∈ω2。

图2 非线性判别函数非线性判别函数的处理比较复杂，如果决策区域边界可以用线性方程来表达，则决策区域可以用超平面（Hyperplane ）来划分，无论在分类器的学习还是分类决策时都比较方便。

例如图3中的特征空间可以用两个线性判别函数来进行分类决策：当G 21(x )>0且G 13(x )>0时，x ∈ω2；当G 13(x )<0且G 21(x )<0时，x ∈ω3；当G 21(x )<0 且 G 13(x )>0时，x ∈ω1；当G 21(x )>0且G 13(x )<0时，x 所属类别无法判别。

大连理工大学22春“计算机科学与技术”《人工智能》期末考试高频考点版(带答案)试卷号5

大连理工大学22春“计算机科学与技术”《人工智能》期末考试高频考点版（带答案）一.综合考核(共50题)1.神经网络的学习方法主要有监督学习、非监督学习、()。

A.再励学习B.循环学习C.是非学习D.专家学习参考答案：A2.谓词P中的所有个体都是个体常量、变元或函数，则该谓词P为二阶谓词。

()A.正确B.错误参考答案：B3.定义谓词Prog(x)x是需要编程序的课。

Like(x，y)x喜欢y。

谓词公式Prog(x)→Like(wang，x)表示的事实为()。

A.只要是需要编程序的课，小王都喜欢B.小王喜欢编程序的课C.小王喜欢C语言D.C语言是编程序的课参考答案：A4.符号主义是以()为核心的方法。

A.符号传输B.符号处理C.信息传输D.信息处理5.支持集策略是沃斯(Wos)等人在1995年提出的一种归结策略。

()A.正确B.错误参考答案：B6.机器学习就是让计算机能够像人那样自动获取新知识，并在实践中不断地完善自我和增强能力，使得系统在下一次执行同样任务或类似的任务时，会比现在做得更好或效率更高。

()A.正确B.错误参考答案：A7.已知R1：IF E1 THEN (200，1)H 。

R2：IF E2 THEN (30，1)H 。

证据E1和E2必然发生，并且P(H)=0.03，则O(H/E1)=()。

A.6.18B.200C.0.03D.9096参考答案：A8.最常见的不确定性是随机性。

()A.正确B.错误参考答案：A9.知识库设计主要是设计知识库的结构，即知识的组织形式。

()A.正确参考答案：A10.规则库是专家系统的核心。

()A.正确B.错误参考答案：A11.遗传算法是一个随机搜索算法，适用于数值求解具有多参数、多变量、多目标等复杂的最优化问题。

()A.正确B.错误参考答案：A12.定义谓词如下：COMPUTER(x):x是计算机系的学生;LIKE(x，y):x喜欢y。

张晓辉是一名计算机系的学生，他喜欢编程序。

Quantum electrodynamics on the 3-torus -I

∗ †
Research supported by NSF Grant PHY0070905 dimock@acsu.buﬀ
1
Contents
1 Introduction 2 Preliminaries 2.1 the model . . . . . . . 2.2 counterterms . . . . . 2.3 the RG transformation 2.4 some tools . . . . . . . 3 The 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 ﬁrst step the split . . . . . . . boson translation . . new ﬁeld restrictions potential . . . . . . . fermion translation . spacetime split . . . backing up . . . . . . scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 7 9 14 16 16 17 20 22 23 26 26 28 29 29 31 33 44 49 53 55 56 62 65 66

2022年同等学力申硕计算机综合试题和答案解析--数学基础

2022年同等学力申硕计算机综合试题-数学部分一、用逻辑符号表达下列语句1、任意一个自然数，有且只有一个后继（论域为一切自然数）。

∀: 表示所有的，一切的，全称量词；∃: 表示存在1个，至少有1个，存在量词答：设N(x) : x 是自然数; A(x, y): y 是x 的后续; S(x, y): x等于y答案一：严格通用符号表达(∀x) (N(x) → ∃y A(x, y)) ∧(∀x) (N(x) ∧A(x, y)∧A(x, z) →S(y, z))解释：对于任意一个自然数x，都存在一个且仅有一个比它大1的自然数y作为它的后继。

前一个公式：表达对任意自然数x，都存在一个后继数y。

后一个公式：表达y是x的后继数且z也是x的后继数，则y=z。

答案二：有的教材用∃! ，用存在符号+感叹符号组合表示唯一的。

(∀x) (N(x) → ∃!y A(x, y))解释：对于任意一个自然数x，都存在唯一的自然数y作为它的后继。

二、填空题1、已知推理前提为¬(P∨R) ,¬(P→¬Q) ,¬R则有效结论为____(要求尽可能简洁)。

解：考察自然演绎法推理方法1：前提条件：¬(P∨R), ¬(P→¬Q), ¬R推理过程：(1)¬R P-前提引入(2)¬(P∨R)P-前提引入(3)¬P T-逻辑结果引入，(1) ，(2)，德摩根律(4)¬(P→¬Q)P-前提引入(5)F T-逻辑结果引入，(3) ，(4)，蕴涵式，德摩根律最终题目可以化简为F。

方法2：假设前提条件，¬(P∨R) 和( P →¬Q)为T-真，¬(P∨R) ⇔ ¬P∧¬ R (德摩根律)，由前提¬R为T，则¬P为T，可知P是F-假；¬( P→¬Q) ⇔ ¬ (¬P∨¬Q ) (蕴涵式) ⇔ P∧Q (德摩根律) ⇔F 与条件矛盾，最终题目可以化简为F。

考研数学二分类模拟258

考研数学二分类模拟258解答题1. 设ε1=(1，0，…，0)T，ε2=(0，1，…，0)T，…，εn=(0，0，…，1)T均为n维向量，证明：任一向量α=(a1，a2，…，a n)T能够由向量组ε1，ε2（江南博哥），…，εn 线性表出，并且表出方式唯一，写出这种表出方式．正确答案：证明：线性方程组x1ε1+x2ε2+…+x nεn=α的系数行列式为因此，这个线性方程组有唯一解，从而任一向量α都能由ε1，ε2，…，εn线性表出(且表出方式唯一)，显然α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．[考点] 向量2. 设A是三阶矩阵，其三个特征值为，求|4A*+3E|．正确答案：解：，A*的特征值为，4A*+3E的特征值为5，1，2，于是|4A*+3E|=10．[考点] 特征值与特征向量3. 设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，证明：F(x)=f(x)+x在(-∞，+∞)上单调递增．正确答案：证明：对任意x1，x2∈(-∞，+∞)，设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)≤|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|=x2-x1故f(x1)+x1＜f(x2)+x2，所以F(x1)＜F(x2)，即F(x)在(-∞，+∞)上单调递增．[考点] 函数、极限4. 计算n阶行列式正确答案：解1：逐行相加法．第1行的倍加到第2行，得再把第2行的倍加到第3行，得继续把第3行的倍加到第4行，……，依次进行下去，可得显然D n=n+1．解2：递推公式法．当n=1时，D1=2．下面设n＞1，把第2，3，…，n列都加到第1列上，然后按第1列展开，得显然，D1，D2，…，D n是首项为2，公差为1的等差数列．因此D n=2+(n-1)·1=n+1解3：用第一数学归纳法计算．当n=1时，D1=2=1+1；当n=2时，D2=3=2+1．假设对k-1阶行列式有D k-1=(k-1)+1=k．将D k按解2的过程处理，得D k=D k-1+1，则由归纳假设，D k=k+1．由数学归纳法知，D n=n+1，对一切n≥1成立．[考点] 行列式5. 讨论的连续性．正确答案：解：由于而因此即f(x，y)在R2上处处连续．[考点] 多元函数微分学6. 求绕Ox轴旋转一周所成的曲面的面积．正确答案：解：．设所求的表面积为P x，则[考点] 定积分的应用7. 试求不定积分，进而求出不定积分．正确答案：解：因为所以其中C为非零常数．②+①可得②-①可得[考点] 不定积分、定积分、反常积分8. 证明：椭球面与平面Ax+By+Cz=0相交所成椭圆的面积为正确答案：解：由于平面Ax+By+Cz=0过原点，此椭圆的长、短半轴分别是椭圆上任意点(x，y，z)到原点的距离的最大值d1与最小值d2，而S=πd1d2．为此设并令①②③分别乘以x，y，z后相加，并利用④⑤，得到d2=x2+y2+z2=λ于是问题转化为求λ的值．为此，将①②③分别乘以，后相加，并利用④，又得消去μ后得到关于λ的一个二次方程⑥记式⑥等号左端为a2λ2+a1λ+a0，则由一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，有其中λ1，λ2分别为a2λ2+a1λ+a0=0的两个根．由此即得[考点] 多元函数微积分设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．常数a＞0，b ＞0，证明：9. 存在ξ∈(0，1)，使得．正确答案：证明：令，那么g(x)在[0，1]上连续，且由连续函数零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即．[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)10. 存在ζ，η∈(0，1)，ζ≠η，使得．正确答案：证明：根据已知条件f(x)在区间[0，ξ]，[ξ，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是，存在ζ∈(0，ξ)与η∈(ξ，1)，使得进而[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)设矩阵有一个特征值为3．11. 求y；正确答案：解：因为3为A的特征值，所以|3E-A|=0，解得y=2．[考点] 特征值与特征向量12. 求可逆矩阵P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵．正确答案：解：(AP)T(AP)=P T A T AP=P T A2P令，|λE-A1|=0，得λ1=1，λ2=9，当λ=1时，由(E-A1)x=0得；当λ=9时，由(9E-A1)x=0得，单位化得令则(AP)T(AP)=diag{1，1，1，9}[考点] 特征值与特征向量13. 设f(x)连续，f(0)=0，f'(0)=1，求正确答案：解：由，得当a→0时，于是[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)14. ．正确答案：解：若记，则．于是，有[考点] 一元函数微积分15. 证明：数列收敛，并求其极限．正确答案：解：x1=2，，相邻两项满足．显然x1＜x2，x2＞x3，x3＜x4，此数列似乎有点奇怪，因为它并不是单纯地递增或者递减．但仔细观察，不难发现x1＜x3，x2＞x4，所以我们有理由相信该数列的奇子列单调递增，偶子列单调递减．下面讨论奇子列{x2n-1}和偶子列{x2n}．即奇子列相邻两项的正负号相同．又因为x3-x1＞0，所以{x2n-1}单调递增．同理可证{x2n}单调递减．又知对所有的n，有2≤x n≤3，由单调有界定理知都存在，分别记为A，B．再由，可得，两边同时取极限，得，两边同时取极限，得．显然A=B，因此{x n}收敛．于是再对两边取极限，可得．注意到x n＞2，所以．[考点] 极限、连续及其应用16. 求．正确答案：解：令φ(x)=max{x3，x2，1}，则设F(x)为φ(x)的一个原函数，则有其中C1，C2，C3为待定常数．因为F(x)连续，故所以因此[考点] 不定积分、定积分、反常积分分别求由下列曲线所围成的平面图形的面积．17. y=x2，x+y=2；正确答案：解：如图1所示，交点A(-2，4)及B(1，1)．所求的面积为图1[考点] 定积分的应用18. y=2x-x2，x+y=0；正确答案：解：如图2所示，交点A(3，-3)及O(0，0)．所求的面积为图2[考点] 定积分的应用19. y=x，y=x+sin2x(0≤x≤π)．正确答案：解：所求面积为[考点] 定积分的应用求：20. ；正确答案：解：令，得[考点] 一元函数微积分21. ．正确答案：解：[考点] 一元函数微积分22. 设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A k=0．证明：A不可对角化．正确答案：证1：令Ax=λx(x≠0)，则有A k x=λk x，因为A k=0，所以λk x=0，注意到x≠0，故λk=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(0E-A)x=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．证2：反证．若矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得P-1AP=diag{λ1，λ2，…，λn} ①给式①两边k次幂得由A k=0及②得，，故λ1=λ2=…=λn=0，再由式①得P-1AP=0，进一步得A=0，与A非零矛盾，所以A不可对角化．[考点] 特征值与特征向量。

多个成对比较矩阵确定权向量的一种方法_层次分析法

多个成对比较矩阵确定权向量的一种方法_层次分析法论文导读:：层次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供具有说服力的定量依据。

在层次分析法的过程中，成对比较阵的构造是一个非常重要的环节。

但由单个专家构造的成对比较阵中所包含的主观因素对层次分析法得出的决策影响较大，为了减少层次分析法中的主观成分，可请专家群体构造成对比较阵。

本文给出了一种通过对若干个成对比较矩阵求平均值来减少主观影响这种方法确定权向量。

论文关键词：层次分析法，成对比较阵，权向量，主观影响1.引言2.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂问题的思维、判断过程大体上是一样的[4]。

举一个简单的例子：“五一”长假期间你准备去旅游，是去风光秀丽的苏杭二州，还是去迷人的海南三亚，或者是去长春净月旅游村就近一游？假期不过七天，三地均游不可能，因此你必须对此作出选择与决策。

不妨设上面三个旅游方案为P1，P2和P3，你会根据诸如景色、费用、居住和旅途条件等一些准则去反复比较那三个侯选方案。

首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰，醉心旅游层次分析法，便会特别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。

其次，你会就每一个准则将三个方案进行对比，例如，P2景色最好，P1次之；P3费用最低，P1次之；P1居住条件较好，P2次之等等。

最后期刊网。

你要将这几个层次的比较进行综合，在P1、P2、P3中确定哪个作为最佳地点。

上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：1．将决策问题分解为三个层次，最上层为总目标层，即选择旅游地；最下层为方案层，分P1、P2、P3三个供选择方案；中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食和旅途五个准则。

各层间的联系用相连的直线段表示（如图1）图12．通过相互比较确定各准则对于目标的权重，各方案对于每个准则的权重。

特征2上Special代数S(3,1)的表示的开题报告

特征2上Special代数S（3，1）的表示的开题报告Special代数S（3，1）是一个3维有限维李代数，它是一个特殊的李代数，因为其同构类只有两个：S（3，1）和S（2，1）；它在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述角动量、自旋和超对称性等方面。

为了研究S（3，1）的性质，我们需要找到它的一个表示。

在这篇开题报告中，我们将展示如何构建S（3，1）的一个表示，并研究它的特征。

首先，我们需要找到S（3，1）的基础代数。

它由三个生成元组成：L1，L2和L3，它们是三个角动量算符。

这些生成元遵循下列李代数关系：[L1，L2] = iL3[L2，L3] = iL1[L3，L1] = iL2根据这些关系，我们可以构建S（3，1）的一个矩阵表示。

我们选取一个标准基础，其中L1、L2和L3都被表示为厄米矩阵，且满足以下性质：L1的本征值为(-1, 0, 1)L2的本征值为(-1, 0, 1)L3的本征值为(-1, 0, 1)我们可以用这些条件来构建表示矩阵，L1、L2和L3分别对应于以下矩阵：L1 = （0 -i 0，i 0 -i，0 i 0）L2 = （0 -1 0，1 0 1，0 -1 0）L3 = （-1 0 0，0 0 0，0 0 1）用这些矩阵，我们可以找到S（3，1）的基础表示为：S（3，1）= {αL1 + βL2 + γL3 | α、β、γ∈C}从此，我们可以计算出S（3，1）的特征。

我们注意到，每个元素可以写成以下形式：αL1 + βL2 + γL3 = α（0 -i 0）+β（0 -1 0）+γ（-1 0 0）+β（1 0 1）+γ（0 0 0）+α（0 i 0）+β（0 -1 0）+γ（0 0 1）因此，S（3，1）的特征可以表示为以下形式：χ = eα+e−α+2e−iβ+e−iγ以及它的特征向量归一化系数为：N = √[(coshα+cosβ+cosγ+2) (coshα-cosβ-cosγ+2) (coshα-cosβ+cosγ-2) (coshα+cosβ-cosγ-2)]/16接下来，我们将分析这个特征并讨论其含义。

山东省临沂市(新版)2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷

山东省临沂市（新版）2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（）A．0.83B．0.78C．0.76D．0.63第(2)题设F1，F2是双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．第(3)题如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（）A．直线与直线可能异面B．三棱锥的体积保持不变C．直线与直线所成角的大小与点的位置有关D．直线与直线所成角的最大值为第(4)题将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（）A．4B．5C．6D．7第(5)题已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（）A．3B．C．D．第(6)题在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题.由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界.从AlphaGo 到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的.在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：.下列关于Sigmoid函数的表述，正确的是（）①Sigmoid函数是单调递增函数；②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；③对于任意正实数，方程有且只有一个解；④Sigmoid函数的导数满足：.A．①②B．③④C．①②③D．①②④第(7)题设，则复数的模为（）A．B．C．1D．第(8)题已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则实数（）A．B．C．4D．＋1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知内角的对边分别为为的重心，，则（）A．B．C．的面积的最大值为D．的最小值为第(2)题斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:, .则下列结论正确的是（）A．B．是奇数C．D．被4除的余数为0第(3)题已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（）A．若删去3，则B．若删去9，则C．无论删去哪个数，均有D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，已知圆的半径为，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是_______________________．第(2)题写出一个值域为的周期函数__________．第(3)题已知函数，则___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）设，试讨论函数的单调区间；（2）若不等式在区间内恒成立，求出的取值范围，并证明不等式．第(2)题有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第次答题后游戏停止的概率为．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．第(3)题设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，.(1)求C的值；(2)若，求的面积.第(4)题如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正切值．第(5)题已知函数（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值（2）求函数的单调区间；（3）讨论函数在区间上零点的个数。

北航2012抽象代数试卷与答案

班号学号姓名成绩《抽象代数》期末考试卷注意事项：1、请大家仔细审题2、千万不能违反考场纪律题目：一、判断题（每小题2分，共20分）(⨯) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。

(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。

(√) 3、任何群都与一个变换群同构。

(√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。

(√) 5、素数阶群必为循环群。

(⨯) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。

(√) 7、环的理想构成其子环。

(⨯) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。

(⨯) 9、格保序映射必为格同态映射。

(√) 10、设A⊆S，则< P(A)，⊆ > 是格< P (S)，⊆ > 的子格。

二、填空题（10分）1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。

2、设〈G，*〉为群且a∈G。

若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；并且 a k = e 当且仅当__n | k3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。

4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+25、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。

对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。

三、计算题（40分，每小题8分）1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。

解：所有子群是：<{1}, •11 ><{1, 3, 4, 5, 9}, •11 ><{1, 10}, •11 >< N11—{0}，•11 >2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。

解：设f 为群 < N 7 ，+7 > 的自同态，则：f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 73、设有置换：试求 P 2 和Q ︒ P 。

离散数学习题答案5.13

习题1.11．判断下列哪些语句是命题．若是命题，区分简单命题与复合命题并说明其真值．（1）会议9点开始吗？（2）人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人．（3）2008年北京奥运会开幕式那天，天气很晴朗．（4）请全体起立！（5）太阳系以外的星球上也有生命．（6）Z-,,2>yxyx∈（7）太阳从西方升起当且仅当他喜欢看NBA．（8）青岛真是一个美丽的海滨城市啊（9）除非明天下雨，否则运动会会如期举行．（10）2或是素数或是合数．答案：（1）不是；（2）是复合命题，真值为真；（3）是简单命题，真值以具体情况而定；（4）不是；（5）是复合命题，真值为真；（6）不是；（7）是复合命题，真值为真；（8）不是；（9）是复合命题，真值为真；（10）是复合命题，真值为真。

2．将下列命题符号化．（1）小明不仅喜欢踢足球，也喜欢打篮球．（2）小明不是不喜欢踢足球，而是不喜欢打篮球．（3）假如下午不下雨，我就去广场溜狗，否则就在家里看电视或者做家务．（4）吃得苦中苦，方为人上人．答案：（1）p:小明喜欢踢足球q:小明喜欢打篮球p∧q（2）p:小明喜欢踢足球q:小明喜欢打篮球q p ⌝∧（3）p :下午下雨 q :我去广场遛狗 r :我在家里看电视 s :我在家里做家务 ))(()(s r p q p ∨→∨→⌝ （4）p :吃得苦中苦 q :为人上人 q p →3．设命题s r q p ,,,的真值分别为0,0,1,1，求下面命题的真值．（1）)(r q p ∧∧s ⌝→ （2）↔∨⌝)(q p )(s r → （3）)()(s q p r ∨⌝→⌝∧（4）)()))(((s q p r q p ⌝∨→⌝∧→∨ 答案：（1）真；（2）真；（3）真；（4）真。

习题1.21．说明下列符号串中哪些是命题公式．若是公式，用真值表法判断其类型．（1）)(pr q p ∨→ （2）)(r q p ⌝∨→⌝ （3）p q p ∧∧⌝)( （4）)()(q p q p ⌝∧∨∧ （5）p p p ⌝→⌝→)(（6）))(()(r q q p p ⌝∧⌝∧→⌝∨答案：（1）不是，p 和r 之间缺少联结词；（2）不是，非p 和后面的缺少联结词；（3（4）是，（5）习题1.3 1．用等值演算法证明下列等值式．（1）p(∧)(∨)⌝∧qqpp⇔（2）))pp∧q→→r∧→⇔))(p(()((rq （3）))∧p∧∨↔q⌝⇔⌝(()p)(qp(q （4）)⌝∧→∨p∧⌝)(()p(rqq答案：pq p p q q q p p q q p p q p q p q p ⇔⌝∨∧⇔⌝∨∧⌝∨∧⇔⌝∨∧∧∨∧⇔⌝∧∨∧）（））（）（（）（））（)(()()(（2）)()())()(())()((r q p r q p r p q p r p q p ∧→⇔∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔→∧→（3）))()p (())(())(())()(())()(()(q p q p q q p p q q p p q q p q p ∧⌝∧∨⇔∨⌝⌝∧∨⌝⌝⇔∨⌝∧∨⌝⌝⇔→∧→⌝⇔↔⌝（4）FF T r F T r q q p p ⇔→⇔∧→⇔∧⌝∧→⌝∨)()))(()(2．用等值演算法判断下列公式的类型．（1）))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ （2）))((p q p →∧⌝（3）)())()((q p p q q p ↔↔→∧→ （4）)()(p q q p ⌝→→→⌝ 答案：（1）Tp q q p q q p q p q p q p q p q ⇔⌝∨⌝∨⇔⌝∨⌝∧⌝∨∨⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨)())()(()(())((）所以（1）为永真式Fp q p p q p q p ⇔⌝∧∧⇔∨∧⌝⌝⇔→∧⌝)())p (())((所以（2）为永假式（3）Tq p q p q p p q q p ⇔↔↔↔⇔↔↔→∧→)()()())()(( 所以（3）为永真式（4）)())()(()()()()()()(q p q p q p p q q p p q q p p q q p ∧⌝⇔∧∧∨⌝⇔⌝∨⌝∨∨⌝⇔⌝∨⌝→∨⇔⌝→→→⌝所以（4）为一般式习题1.41．写出与公式)(q p →⌝，q p q →→)(，))((q p q →→⌝分别等值的三个公式321,,A A A ，要求它们的联结词集合为{}∧⌝,；再将321,,A A A 等值地换成仅含联结词“↑”的形式．答案：q p q p q p ⌝∧⇔∨⌝⌝⇔→⌝)()( ：1A ；q q p q q p q q p q q p q ⇔∨⌝∧⇔∨∨⌝⌝⇔∨→⌝⇔→→)()()()( : 2A ； q q p q q p q q p q q p q ⌝⇔⌝∧∨⌝⇔⌝∧→⇔∨→⌝⌝⇔→→⌝)()())(())((:3A ；1A ))(())(()(:q q p q q p q q p q p ↑↑↑↑↑⇔↑∧⇔⌝∧。

湖北省省直辖行政单位2024年数学(高考)部编版第二次模拟(拓展卷)模拟试卷

湖北省省直辖行政单位2024年数学（高考）部编版第二次模拟(拓展卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（）A．11B．13C．15D．17第(2)题在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点(包括四条边上的点)，且满足，则四棱锥的体积的最大值是（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．或D．或第(4)题已知函数 (，且)在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题复数（是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．D．第(6)题四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，，，Q为正方形ABCD内一动点且满足，若，则三棱锥的体积的最小值为（）A．3B．C．D．2第(7)题区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有，，，四个点，若图中恰有条边，则满足上述条件的图的个数为（）A．B．C．D．第(8)题总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）60 44 66 44 2166 06 58 05 6261 65 54 35 0242 35 48 96 3214 52 41 52 4892 66 22 15 8696 63 75 41 9958 42 36 72 24A．23B．21C．35D．32二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

核磁共振谱自动基线校正新方法

核磁共振谱自动基线校正新方法钟彩娇，陈志伟*，陈忠【摘要】该文提出一种新的核磁共振谱自动基线校正方法，该方法基于迭代移动平均值算法，改进了峰区域的基线识别，然后使用迭代方法进行基线建模．为了改进峰区域的基线建模结果，该方法结合了两种基线校正方法的优点，在基线识别过程选择了一系列位于峰区域的“基线定位点”，然后和除了峰区域以外的基线点一起参与基线建模．该基线校正方法适用于NMR谱，即使在基线严重非线性失真的情况下也能得到理想的基线校正结果．【期刊名称】波谱学杂志【年(卷),期】2014(000)004【总页数】12【关键词】核磁共振(NMR)；自动基线校正；迭代方法；数据处理引言在核磁共振(Nuclear Magnetic Resonance, NMR)研究中，谱图基线失真的原因有很多，往往来源于硬件、处理过程或其他复杂原因[1,2]，包括仪器不稳定性、滤波器相位非线性响应和FID数据前几个点的损坏等[2,3]．基线失真会直接影响NMR谱的定量分析以及谱峰分配的准确性和精确度[4–6]．为了获得平坦的基线，现代谱仪一般采用过采样和数字信号处理，但仍无法处理所有的基线失真[7,8]．同时，随着对二维谱和多维谱研究的深入，人工基线校正方法将十分费时且不易达到最佳效果，自动基线校正方法显然更有效率及实用性．自动基线校正方法可以笼统地分为含参数方法和无参数方法．目前，一些常用的含参数方法很多都是基于Whittaker滤波器实现的[9]．该滤波器的使用大大提高了基线校正算法的速度和灵活性，并且在MATLAB编程中其基础算法仅用几行代码就能实现．2006年，Cobas等人提出的全自动基线校正方法[10]，使用连续小波变换结合Whittaker滤波器，解决了低信噪比谱的基线校正难题，然而该方法无法很好地识别宽峰；2012年，鲍庆嘉等人在该基础上提出了一种基于迭代的自动基线校正方法[11]，其自动基线识别方法(Baseline Recognition with Combination and Improvement, BRCI)结合3种算法的优点，能良好地识别包括宽峰在内的所有谱峰，在基线建模过程采用基于Whittaker滤波器的迭代方法，并引入“准基线点”消除负区域，但该算法在基线非线性失真时可能导致峰区域基线偏低．理论上，最佳的基线拟合方法应该不含参数或参数尽量少，然而实践中，无参数的基线校正方法一般比较难达到理想效果．大部分无参数方法基于多项式拟合，在低信噪比和基线复杂的情况下，多项式拟合方法无法拟合出最佳的基线模型[12]．最近的研究中，自动迭代移动平均值方法(Automated Iterative Moving Average, AIMA)的基线校正效果比较理想[13]，然而仍有不足之处，AIMA方法在峰区域容易将基线估计的过高[14]，导致谱峰强度减小．为了解决由基线非线性失真造成的校正错误，本文提出了一种自动迭代的基线校正新方法，在BRCI方法的基础上，结合了它和AIMA方法的优点并加以改进，改善了峰区域的基线建模效果．新方法适用于NMR谱的基线校正，并且在基线严重非线性失真的情况下也能建立比较理想的基线模型．1 理论1.1 自动基线识别新方法的基线识别结合了BRCI方法和AIMA方法的优点，增加了对峰区域的计算，能更充分地利用峰区域的数据点．新方法首先利用BRCI方法识别出所有基线和峰信息：其中BRCI方法先使用连续小波变换，目的是得到导数谱并消除基线起伏[15]，然后利用滑动窗口算法[16]识别基线点和信号点，最后利用改进的迭代阈值方法识别宽峰[17]．这个过程将识别出的所有峰分成了多个区域，并且得到其位置信息，然后判断出峰的正负[11]．峰的正负具体判断过程如下：把峰区域的首尾点的平均值作为峰偏离坐标轴的高度，整个峰区域减去这个值后再找出该峰区域的绝对值高度最高的位置，记该位置的峰值为Hmax，并将|Hmax*σ|作为阈值（σ为比例系数，文献中设为0.1，用户可根据需要适当调整该系数）．若Hmax＞0，并且该区域包含的所有负值均不超过阈值，则标记该峰为正峰，否则不标记；若Hmax ＜0，并且该区域包含的所有正值均不超过阈值，则标记该峰为负峰，否则也不做标记．对这些不做标记的峰区域进行线性插值以此作为该区域的基线，后续不做其他处理．识别出峰信息后，为了更好地建立峰区域的基线模型，新方法找到峰区域内的“基线定位点”作为基线点参与后续的基线建模．“基线定位点”的确定主要结合AIMA方法中的迭代平均值算法(Iterative Averaging, IA)实现，并且仅对峰区域进行计算，以下以正峰为例：第一步，使用AIMA算法中的迭代平均值步骤，拟合出该峰区域的基线，然后选取临时“基线定位点”，具体步骤如下：记峰区域序列为y，长度为N，首次迭代更新偶数点如下：第二次迭代更新奇数点如下：紧接着，去掉首尾点，迭代更新偶数点：以此类推，再去掉一次首尾点，迭代更新奇数点：当第一个更新点i达到floor(N/2)时，迭代终止，此时峰区域得到一条未最大化谱峰的基线y．对负峰而言，应先将其取反，按上述步骤得到负峰区域的基线后，将得到的基线连同负峰再次取反，使该区域的基线回到原来负峰所在的位置上，以此作为初始信号序列的一部分．负峰区域基线的建立均可按这样两次取反的步骤得到，这样可以保证基线的连续性，以下不再赘述．根据公式不难发现，基线y低于任何信号点，即在峰区域信号扣除迭代平均值步骤得到的基线不会产生任何负区域．利用这样的优点，新方法选取该基线y 的所有局部极小值点，作为临时“基线定位点”．第二步，新方法将所有临时“基线定位点”及峰的两个边界点进行顺序线性连接，得到一个临时序列y′，并去除“尖峰定位点”，得到满足条件的“基线定位点”．所谓“尖峰定位点”，即序列y′中的局部极大值点，去除这些点的定位标记．这样做是防止加入裂峰处的局部极小值点，导致所得基线过高，并加快基线建模速度．同时，去掉这样的尖峰定位点并不会影响基线建模效果．新方法将峰区域的“基线定位点”和非峰区域的基线点一起用于基线建模．同时，获取后续建模过程中将用到的基线ya=min(y, y′)．1.2 基线建模基线校正的关键步骤是建立基线模型，将原始谱减去基线模型得到没有基线失真的谱图．在以前的基线校正方法中，一般只采用基线识别所得的基线点来进行基线建模．BRCI方法虽然引入“准基线点”参与基线建模，但在无负区域出现的情况下，相当于仅对峰区域进行线性插值，在这种情况下要保证校正正确的前提是峰区域的基线线性失真；若在非线性失真情况下，仅依靠几个“准基线点”并不能很好地建立基线模型．例如，若在峰密集区域基线向上非线性弯曲，线性插值后并不会出现负区域，也即不引入任何“准基线点”，这样得到的基线模型在该区域就会偏低，导致该峰区域峰强度增大，造成校正错误．新方法加入“基线定位点”参与基线建模，并利用迭代方法消除负区域．基线建模是基于Whittaker滤波器[9]原理实现的迭代方法．设信号序列为等间隔的序列y，长度为N，计算得到的基线序列为z，滤波器的权向量序列为w，第m次迭代的目标函数为(5)式中，权向量(5)式中的第一项代表信号保真度，即所得的基线偏离原始数据的程度，用来表示，并用权向量w(i)来区分第i个点属于基线还是峰；第二项代表基线序列z 的平滑度，使用差分的平方和表达为其中一阶差分为了寻找保真度和平滑度这两个相互矛盾的目标的整体平衡点，该算法引入了一个目标函数：Q S Rλ= + [9]，其中λ是用户参数，代表平滑系数．平滑系数λ的值越大，平滑度R对于目标函数Q的影响就会越大，基线z就会越平滑（以z越偏离信号序列y为代价），反之亦然．该算法基于补偿最小二乘原理，目的是找到使目标函数Q最小的序列z，数学上通过求解来实现[9]．首次迭代时，将基线识别过程得到的基线点和“基线定位点”的权值设为1，其余信号点的权值设为0，得到初始权向量 1w．初始信号序列1y由基线区域的数据点和峰区域的初始基线组成．峰区域的初始基线利用AIMA方法中的迭代平均值平滑(Iterative Averaging Smoothing, IAS)步骤得到：将自动基线识别过程（上文1.1小节）最后一步得到的基线ay，经IAS步骤处理后得到序列基线yb，则峰区域首次迭代得到基线模型为1z．计算此次信号序列和基线模型的基线差值若D1存在负区域，则进行第二次迭代．第二次迭代，标记1D负区域中的局部极小值点为“基线定位点”（设该点权值为1），得到新的权向量序列2w．这个过程同时也消除了一些因谱峰识别错误而产生的负区域，这部分负区域中的“基线定位点”效果等同于BRCI方法的“准基线点”．不改变基线数据点，令峰区域得到第二次迭代的信号序列y2．第二次迭代得到基线模型判断是否仍有负区域，有则继续迭代，直到第m次迭代mD 不存在负区域时终止，最后这次迭代得到的基线mz即为最终基线模型．1.3 基线校正过程示意图新方法的算法流程图见图1．图2 为新方法对NMR谱的处理过程图．图2(a)为经IA算法计算得到的基线（非峰区域保留了原数据点）．找出峰区域的局部极小值线性连接得到图2(b)，去除“尖峰定位点”后得到图中“▲”表示的“基线定位点”．基于IAS算法计算得到图2(c)所示的初始基线．图2(d)展示了最终的基线模型．图2(e)为基线校正后的结果．2 讨论2.1 基线严重非线性失真情况下的校正对一个由于时间域信号前几个数据点损坏导致基线较大程度非线性失真的一维谱图进行基线校正，图3对比了AIMA方法、BRCI方法和新方法在该情况下的基线校正结果．图3(a)和(b)两个纵列分别代表3种方法的基线建模结果和基线校正结果．从图3可以看到，在右侧谱峰密集并且畸变较大的区域，3种方法得到的结果有很明显的区别．AIMA方法在谱峰密集区域所得的基线建模结果有很多凸起，基线估计略偏高，谱图校正后，该区域的峰强度减小；而在基线向上弯曲并且失真程度比较大的位置，基线失真可能被识别成宽峰，例如在图 3(b)中“※”号标注的区域基线估计得过低，校正后出现伪峰．BRCI方法在该区域没有使用任何数据点，基线为线性，导致该区域基线过低，校正后峰积分面积增大．新方法得到的基线建模结果良好，谱图校正后基线平整，峰积分面积比例保持良好．对图3(b)校正后的谱图进行积分：选取“▲”号标注的两个甲基峰进行积分，则其理论比值应为1∶1．经过计算，AIMA方法和新方法得到的比值分别为1∶1.04和1∶1.05，这两个结果比较相近，准确度较高；而BRCI方法校正后两个甲基峰的积分比值为1∶1.24，结果偏差较大．图3(b)中箭头所指处的凸起是因为该处出现一个负信号，而AIMA方法拟合的基线会低于任何信号，因而无法得到正确结果．该方法必须结合其他谱峰识别方法，才能处理含负峰的谱图，否则就会出现错误校正．通过对比可以发现，新方法结合了两种方法的优点并改进，所得结果既弥补了BRCI方法在峰区域的基线建模的不足，又不会出现AIMA方法那样基线估计不理想的情况，新方法即使在较大程度非线性失真的情况下也能得到比较理想的基线建模效果．2.2 不同峰形的基线建模结果分别使用AIMA方法、BRCI方法和新方法对1D1H NMR谱进行基线建模，得到图4所示的3种不同方法的基线建模结果对比．图4中A，B和C三组图分别代表低信噪比、谱峰密集和峰形良好3种不同情况下的基线建模结果．在低信噪比和峰形良好的情况下，新方法和BRCI方法的校正结果相近，均为线性，而AIMA方法在这两种情况下得到的基线比其他两种方法偏低．这可能是由于AIMA方法所得的基线低于任何噪声，而其他两种方法所得的基线在噪声的平均值位置；在谱峰密集的情况下，AIMA方法所得的基线偏高，BRCI方法得到的基线为直线，新方法得到的基线能较好地贴合峰底部，又不会导致基线偏高．2.3 平滑系数对基线建模结果的影响由于存在谱峰重叠，对比图4中B组的图，BRCI方法和新方法的建模结果哪一个更合理，我们暂时不做判断．但是经过数据验证，随着平滑系数λ的改变，BRCI方法在该区域的建模结果并不会改变（由于不出现负区域，在峰区域建模结果始终为直线），而新方法所得的基线贴合底部的程度却会变化，用户可以利用这个性质，选择合适的参数建立理想的基线模型．使用不同的平滑系数，用新方法对图4的谱再次进行基线建模，得到图5的结果（图中显示的范围与图4中B组的一样）．图5展示了不同的平滑系数λ对新方法基线建模结果的影响．从结果可以看到，随着平滑系数的增大，新方法所得基线逐渐偏离峰底部：当平滑系数λ过小时会导致基线过高而系数越大，新方法所得的基线结果越趋向线性插值．图中，当时所得的基线几乎为线性，与图4中BRCI所建立的基线相近．因此，新方法具有较大的灵活性，可以根据基线失真的程度调节平滑系数λ，从而得到最合适的基线．根据经验，对于基线失真较严重的，一般使用较小的平滑系数能得到更理想的基线模型；反之，则使用较大的平滑系数．2.4 对碳谱的基线校正除了对质子谱的基线校正，新方法同样适用于碳谱的校正．图6展示了BRCI 方法和新方法对碳谱的基线校正结果（由于AIMA方法无法处理负峰，此处不做对比）．实验过程中，两种方法均保持相同的平滑系数，当平滑系数设置较大的值时能同时得到较好的基线结果，当时分别得到图6(a)一组所示的基线模型．相比于噪声水平，两种方法在该参数下的基线建模结果相差较小，基线模型较理想．从图6(b)可以看到，两种方法的校正结果基本相近，均能得到基线较佳的谱图．设置不同的平滑系数，用BRCI方法和新方法分别对上面的数据进行处理，得到图7所示的结果（图中仅显示局部碳谱）．对比第一列图可以发现，平滑系数越大，BRCI方法在峰区域得到的基线越理想．而当平滑系数太小时，BRCI方法在峰区域得到的基线偏离理想值，导致基线校正后峰强度增大．经分析，这可能是由于BRCI方法在峰区域所得的基线不靠或仅靠少数个“准基线点”建立，面对碳谱这样噪声较大的谱时容易受噪声影响，使得基线建模不理想．对比第二列图，新方法在变化范围较大的参数值下所得的基线建模结果都相近，除了基线的平滑度不同外基本区别不大．通过上述的对比，不难发现在对碳谱的基线建模过程中，新方法对参数的依赖程度低，相比BRCI方法能节约更多的参数调试时间，并且不容易产生校正错误．4 总结本文提出了一种新的NMR谱自动基线校正方法，它是在BRCI方法和AIMA方法的基础上进行有机的结合和改进．该方法最重要的改进在于解决了基线非线性失真情况下的基线建模问题，并且也适用于一般情况下的基线校正．对比传统方法对峰区域数据的忽视，新方法在峰区域引入“基线定位点”，能更大程度地利用峰区域的数据．实验结果表明新的自动基线校正方法对基线严重失真的NMR谱能获得比较理想的基线建模结果，从而对谱图进行更佳的基线校正．新方法采用MATLAB编程实现，其源程序可向作者索取．参考文献：[1] Hoch J C, Stern A S. 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