信号与系统2012第5讲

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信号与系统教案第5章(吴大正)

二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
5.1
拉普拉斯变换
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。解
( s ) t e 1 ( ) t j t F ( s ) e e d t [ 1 lim e e ] 1 b 0 0 ( s ) ( s ) t 1 s , Re[s] jω 不定，无界， t st
t
f1 (t) 1 0 1 f2 (t) 1 t
例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 F1(s)= (1 e s ) s F2(s)= F1(s)
-1
0
1
t
5.2
拉普拉斯变换性质
f1(t) 1 0 f2(t) 1 0 2 -1 4 t 1 t
= () + 1/j
（3）0 >0，F(j)不存在。例f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) , >2；其傅里叶变换不存在。
5.2
拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例2:已知f1(t) ←→ F1(s), 求f2(t)←→ F2(s) 解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)

信号与系统第五章

0
∞
∞ 0
n n 1 n2 n n 1 2 = {t } = {t} s s s s s n n 1 2 1 n n 1 2 1 1 = {ε (t )} = s s s s s s s s s n! = n +1 σ >0 s n! n σ> 0 即: t n + 1
s
n + s
n
n Kk Kk 1 1 1 } } = ∑ { ∴ f (t ) = { F ( s )} = {∑ s sk k =1 k =1 s sk
= ∑ K k e sk t ε (t )
k =1
n
这里是单边拉氏变换. 这里是单边拉氏变换.
例:求 F (s) =
4s 2 +11s +10 2s + 5s + 3
st
∞
称为复变量
则
F (s) =
∫
∞ ∞
f (t ) e
dt
称上式为信号 f (t ) 双边拉普拉斯变换的定义式双边拉普拉斯变换的定义式拉普拉斯变换反变换: f ( t ) e σ t = 1 ∞ F ( s ) e j ω t d ω 反变换: 2π ∞ 1 ∞ ∴ f (t ) = F ( s ) e σ t e jω t d ω 2π ∫ ∞ 1 ∞ = F ( s ) e st d ω 2π ∫ ∞
∫
∞
0
t
n 1
e
st
n n 1 dt = {t } s
利用上述结果有: 利用上述结果有: 1 n =1 t 2 s 三,冲激函数 Aδ (t )
{ Aδ t )} = (
n=2
t
2 s3
∫
∞

信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件

无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输输
入出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的

郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义第5章傅里叶变换应用于通信系统——

3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形上的变化。设激励信号为 e(t) ，响应信号为 r(t) ，则无失真传输的条件是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。

信号系统-第5章拉普拉斯变换与系统函数

事实上，由于X(s)是一个复平面上的函数，将其视为一个数学上的变换而不强调其物理意义更易理解。
利用复变函数理论中的围线积分、留
数定理和约当（Jordon）引理等知识，反变换表达式（5-11）中原函数x(t)的计算可简化为如下所示的留数计算。
x(t)
1 2πj
j∞ j∞
X
(s)est ds
因此，反演公式同样适用于单边拉普拉斯反变换。
5.3 拉普拉斯变换的进一步讨论
5.3.1 定义与说明
式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变换的定义，这里重写于下：
∞
X (s) x(t)estdt 0
图5-2 3个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换
【例5-5】求(t)的拉普拉斯变换。
解取为“0+”时，
1
j∞
X (s)estds
x(t) 2πj j∞
0
t≥0 t0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可理解为将x(t)视为形如 et ejt 的幅度随指数形式增长或衰减的正弦波的线性组合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X (j) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难以得到物理解释。
变收换敛与域单也边相拉同普，拉均斯为变Re换s相同，，均即为右F半(s)平 s面1（，包括大半或小半，视而定）。
【例5-4】因果信号 f1(t) et (t) 与非因果信号 f2 (t) et (t) 具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。
F1(s)
∞
et (t)estdt
0
0
令 s j ，即 Res ， Ims，

信号与系统(精编版)第5章离散信号与系统的时域分析

26
5.2 LTI离散系统的自由响应、强迫响应
与零输入响应、零状态响应
5.2.1 离散信号的差分运算与累和运算 1.序列的差分运算与连续信号微分运算相对应，离散信号有差分运算。一
阶前向、后向差分运算本来的定义式分别应为因为离散信号变量k为整变量，所以前向差分定义式中前向变量增量Δk=(k+1)－k=1，后向差分定义式中后向变量增量
第5章离散信号与系统的时域分析
20
例5.1-1 计算和式
解
第5章离散信号与系统的时域分析
21
例5.1-2 计算换元移动累和式
解考虑单位脉冲序列的偶函数性及式(5.1-6)关系，所以
这一结果正确吗？
第5章离散信号与系统的时域分析
22
参看图5.1-8，当k－2<3即k＜5时有
(5.1-15)
第5章离散信号与系统的时域分析
6
图5.1-2 复杂序列用单位阶跃序列表示
第5章离散信号与系统的时域分析
7
图5.1-3 序列与ε(k)相乘被截取
第5章离散信号与系统的时域分析
8
5.1.2 单位脉冲序列单位脉冲序列定义为
(5.1-2)
其波形如图5.1-4所示。它与连续信号δ(t)的定义有着显著的区别：δ(k)只在k＝0处定义函数值为1，而在k等于其余各整数时函数值均为零。
(5.1-12)
(5.1-13)
第5章离散信号与系统的时域分析
17
令k－m＝n并代入上式，考虑m＝0时n＝k，m＝∞时 n＝－∞，得
(5.1-14)
第5章离散信号与系统的时域分析
18
图5.1-7 换元移动累和示意图
第5章离散信号与系统的时域分析

信号与系统第五章3郑君里ppt课件

t
包络延时
π
v 2 t 波形
2 π
4
100
99
π 4
101
t
π 2
v2t1完整版2P2PTc课件ots405co1s0t0 8
讨论
•此带通系统幅频特性在通带内不是常数，因而响应信号的两个边频分量相对于载频分量有所削弱。
他们还分别 4产 5的生相了移，而载等频于点零
•经此带通系统幅以波后包，络调的相小(对也强即 “调幅深度”减小；
1002
(频率在＝10附 0 近 )
Hj1j1100
利用此式分 co1 别 s0t， 0 求 1co1 系 s0t,1 统 1co对 9st9 ,
2
2
三个信号的响应，为此写出：
Hj1001
Hj1012e完j4整版5PPT课件Hj99 2ej45
5
2
2
响应v2(t)
H j10 10 H j10 2 1 e j45H j9 92 e j45
•包络产生时延间，可延由时相时移值与之频比
求得＝ 4s;
群时：延描述了调幅波信形号的包延络时。
完整版PPT课件
9
例2 若信 ft通号过某线性产时生不输变出
1afwatd
1.求此系统的系H统 a函；数 2.若 wtsin πtπcπot3sπt，H 求 a表达式，并 Ha~图形；
解：激励信 v1t号表示式可展开写作
v1tco 1s t0 ) (0 1 2co 1s t0 1 2 1co 9ts 9
可以分别求此三个余弦信号的稳态响应，然后叠加。
由Hs写出频响特性

信号与系统第五章(陈后金)1资料

例1 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入激励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
解：由于输入激励x(t)的频谱函数为
系统的频率响应由微分方程可得
1 X ( j ) j 3
~ x (t )
A
-T0
0

T0
t
解：对于周期方波信号，其Fourier系数为
A n0 Cn Sa T0 2
可得系统响应
y(t )
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0

A A n0 e jn0t y(t ) 2 Sa Re aT n 1 T 2 a jn0
非周期x(t)通过LTI系统的零状态响应若信号x(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号 ejt(<t<)的线性组合表示，即
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2π
由系统的线性非时变特性，可推出信号x(t)作用于系统的零状态响应yzs(t)。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
Yzs ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) a n ( j ) n a n1 ( j ) n1 a1 ( j ) a0
一、连续时间LTI系统的频率响应
1 1 H ( j ) F [h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2

LTI系统

主讲
∫ 教 ∫ 师
② 当 0 < t < T 时，y(t) = ③ 当T < t < 2T 时，y(t) =
tτ dτ = 1 t2
0 t
τ dτ
2 = Tt
−
1T2
：
祁
∫ 永
敏
④
当 2T <t <3T 时，y(t) =
t −T
2T τ dτ
=
2T 2
2 −
1
(t
−
T
)2
t −T
2
⑤ 当 t > 3T 时， y(t) = 0
k =−∞
∫ y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∞ x(τ )h(t − τ )dτ −∞
∞
∫= x(t − τ )h(τ )dτ = h(t) ∗ x(t) −∞
2012-10-12
25
通信工程学院
主讲教师
h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
⇒
h(t) h(n)
（齐次性）
∫ ∫ 祁
永敏
∞
x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
→
∞ x(τ )h(t −τ )（叠加性）
−∞
LTI系统对任意输入 x(t) 的响应可表示为：
∫ y(t) = ∞ x(τ )h(t −τ )dτ = x(t) ∗ h(t) −∞
表明:LTI系统可以由它的单位冲激响应h(t) 来表征。
讲教
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号
∞
xΔ
(t
)
，
∑ 师
：
即：xΔ (t) = x(kΔ)δΔ (t − kΔ) ⋅ Δ