人教版小学8年级数学上册认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系

合集下载

八年级数学上认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系知识点分析人教版

认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系山东省淄博市沂源县徐家庄中学256116 吴修利左效平）0≠k （y=kx+b一次函数）0≠k（y=kx正比例函数,的图像是一条直线的图像也是一条直线。

所以，正比例函数除了是特殊的一次函数外，其关系具体表现它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系。

如下：≠k （y=kx+b、一次函数1）0≠k（y=kx）的图像可有正比例函数0 的图像平移得到。

平移的规律：（y=kx+b一次函数时，0＞b①当y=kx的图像可有正比例函数）0≠k 上下平移的位置在常数项；得到；个单位，b的图像向上平移）0≠k（＜b②当y=kx的图像可有正比例函数）0≠k（y=kx+b一次函数时，0得到；个单位，|b|的图像向下平移）0≠k（上下平移的位置在常数项；个单位，n）的图像向右平移0≠k（y=kx时，正比例函数0＞n③当）x-n（y=k得到一次函数的图像，此时，一次函数的解析式为：+b 中；x。

左右平移的位置在底数n+bkx-y=k ≠k（y=kx时，正比例函数0＞n④当个单位，n）的图像向左平移0 专心爱心用心的图像，此时，一次函数的解析式为：+b）x+n（y=k得到一次函数中；x。

左右平移的位置在底数n+bkx+y=ky=2x将直线、1例。

个单位所得的直线的解析式是：2向右平移y、2 C－2x＝y、2 B＋2x＝y、A2(x＝y、2) D－2(x＝ 2) ＋，2)－2(x＝y解析：根据上面的平移规律第三条，得到的解析式为：。

C所以，我们应选择）0≠k（y=k2x）的图像与正比例函数0≠k（y=k1x+b、一次函数 2 的图像平行）的图0≠k（xy=k）的图像与正比例函数0（≠kx+by=k一次函数12 像平行的条件：没有关系。

b，与常数项= kk21的图像平行，y=2x的图像与正比例函数y=kx+b一次函数已知，、2例，）2，3（A并且经过点求函数的解析式。

y=kx+b分析：因为一次函数的图像平行，y=2x的图像与正比例函数的b 求出的坐标代如解析式，A只须把点，k=2一次函数中的所以，值就得到完整的函数解析式了。

2022年八年级上数学：一次函数与正比例函数

一次函数与正比例函数【学习目标】1．理解正比例函数和一次函数的概念，，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.2．通过讨论一次函数与一元一次方程的关系，用函数的观点加深对已经学习过的一元一次方程内容的再认识.【基础知识】一．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．二．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y ＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．三．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．四．待定系数法求正比例函数解析式待定系数法求正比例函数的解析式．五．一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程．六．根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【考点剖析】一．一次函数的定义（共3小题）1．（2022春•卧龙区期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（）A．y＝x﹣x2B．y＝C．y＝kx+b D．y＝﹣x2．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是．3．当m取何值时，函数y＝（m+5）x2m﹣1+7x﹣3（x≠0）是一个一次函数？二．正比例函数的定义（共2小题）4．（2021春•新化县期末）若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．5．（2021春•饶平县校级期末）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，（1）写出y与x之间的函数解析式：（2）求当x＝﹣4时，y的值．三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）6．（2020秋•永嘉县校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．7．（2021春•饶平县校级期末）已知y与x+1成正比例，且x＝﹣2时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点P（a，4）在（1）中的函数图象上，求点P的坐标．8．（2021春•江城区期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣11，求k和b的值．四．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）9．（2021春•惠州期末）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．10．（2008秋•淮安区期末）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值．11．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的关系式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．五．一次函数与一元一次方程（共2小题）12．利用函数图象解下列方程（1）0.5x﹣3＝1（2）3x﹣2＝x+4【思路导引】把0.5x﹣3＝1变化为y＝画出函数y＝的图象，求得函数和x轴的交点．13．用函数图象求解下列方程．①2x﹣3＝x﹣2；②x+3＝2x+1．六．根据实际问题列一次函数关系式（共3小题）14．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB＝xcm，BC＝ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．15．已知等腰三角形的周长是18cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数，试求函数的关系式，并写出自变量的取值范围．16．一辆汽车以50千米/小时的速度，从相距150千米的甲城市开往乙城市．（1）求汽车与乙城市的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数解析式，写出自变量的取值范围．（2）判断y是x的什么函数．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）下列函数中，一次函数一共有（）个．（1）y＝+1；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．A．1B．2C．3D．42．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．k的值不确定3．（2021秋•芝罘区期末）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（）A．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm）C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）D．路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系4．（2021秋•江阴市期末）下列函数中，属于正比例函数的是（）A．y＝x2+2B．y＝﹣2x+1C．y＝D．y＝5．（2021秋•青羊区校级期末）下列各式①y＝﹣8x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣8x2+2；⑤y＝0.5x ﹣3，是一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2021春•淄川区期中）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：x…﹣213…y…7﹣2﹣8…则y与x的函数表达式为（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣3C．y＝3x﹣1D．y＝﹣3x+1二．填空题（共7小题）7．（2021秋•杭州期末）正比例函数y＝3x的比例系数是．8．（2021秋•丹阳市期末）一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝．9．（2021秋•毕节市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|3﹣m|+5是关于x的一次函数，则m＝．10．（2021春•铁西区期末）若关于x的方程﹣2ax+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2ax+b一定经过某点的坐标为．11．（2021春•浦北县期末）若函数y＝kx+b（k≠0）是正比例函数，则b的值为．12．（2021春•贵港期末）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与一次函数y＝kx+（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x＝kx+的解是．13．（2021春•鄢陵县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为．三．解答题（共7小题）14．（2021春•饶平县校级期末）已知函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求这个正比例函数的解析式．15．（2021春•和平区校级月考）已知直线l与直线y＝2x+1的交点的横坐标为2，与直线y＝﹣x﹣8的交点的纵坐标为﹣7，求直线l的表达式．16．（2021春•朝阳区校级期中）已知z＝m+y，m是常数，y是x的正比例函数．当x＝2时，z＝1；当x＝3时，z＝﹣1，求z与x的函数关系式．17．（2021春•营口月考）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）求当x＝2时的函数值．18．（2020秋•蚌埠月考）已知直线y＝kx+b中，自变量x的取值范围是﹣1≤x≤7，相应函数值的范围是﹣12≤y≤8，求该函数的表达式．19．（2021春•凤山县期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2时，求y的值．20．（2020秋•安庆期中）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？。

八年级第十七章《函数及其图象》知识点

.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。

人教版八年级数学上册正比例函数的图像和性质

当k<0时它的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减少。
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际条件的制约。
练习题
1，下列函数中，正比例函数是（ )
A. y=-8x
B. y=-8x+1
C. y=8x² +1
D. y=-8/x
2，已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二，
四象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3，函数y=(m-3)x³¯™是正比例函数，m为何值？
4.直线y=kx经过点（1，-4），那么k=___ 这条直线在第___象限内，直线上的点的纵坐标随横坐标的增大而___。已知点A(a,1),B(-2,b)在这条
2
y
·
o1
y= 12x
小结：两图像都是经过原点的直线函数y=2x的图像从左向右上升，经过第一，三象限；函数y=-2x 的图像从左向右下降，经过第二，四象限。
正比例函数性质：
对于正比例函数y=kx 1、图象都经过原点； 2、当k>0时，它的图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 3、当k<0时，它的图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减少；
2.4
2.自变量x的取值范围0≤x≤35
1.8
3.蜡烛点燃35分钟后可燃烧完。
1.2
0.6
0 12
x
3 45 6
本章总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：

一次函数的图像与性质知识点总结

一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 知识点2、函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k ﹤0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．。

八年级数学《正比例函数、一次函数和反比例函数》知识点

八年级数学《正比例函数、一次函数和反比例函数》知识点班级姓名1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

3、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x4、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

7、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数8、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +9、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

八年级上册4.2一次函数与正比例函数课件

（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
解:当x=3500时,
y=0.2×3500－160=540(元)；
解答
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元、那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
因为(4000－800)×20%=640(元)
600<640
所以此人这次取得的劳务报酬所得税不超过4000。
布置作业
1.课本第82页：习题第1、2、3、题。 2.课堂精炼：第24页。
达标测试
4.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时, (1)此函数为一次函数； (2)此函数为正比例函数.
物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。（1）计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，
3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表： x /kg 1 2 3 4 5 …… y /cm 3.5 4 4.5 5 5.5 ……
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
（弹簧长度=弹簧伸长量+原长）y=0.5x+3
y x2 不是正比例函数，也不是一次函数
(3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
y=15＋5x 是一次函数，但不是正比例函数
练一练
1下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正
比例函数？（1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数.
设此人这次取得的劳务报酬所得税是x元，则 600=0.2x－160；解得x=3800
所以此人这次取得的劳务报酬所得税是3800元。
小结一次函数、正比例函数定义及一般形式？

认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系

认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线,正比例函数y=kx（k≠0）的图像也是一条直线。

所以，正比例函数除了是特殊的一次函数外，它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系。

其关系具体表现如下：1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像平移得到。

平移的规律：①当b＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，得到；上下平移的位置在常数项；②当b＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移|b|个单位，得到；上下平移的位置在常数项；③当n＞0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图像向右平移n个单位，得到一次函数y=k（x-n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx-kn+b。

左右平移的位置在底数x中；④当n＞0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图像向左平移n个单位，得到一次函数y=k（x+n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx+kn+b。

左右平移的位置在底数x中；例1、将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是：。

A、y＝2x＋2B、y＝2x－2C、y＝2(x－2)D、y＝2(x＋2)解析：根据上面的平移规律第三条，得到的解析式为：y＝2(x－2)，所以，我们应选择C。

2、一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像平行一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像平行的条件：k1= k2，与常数项b没有关系。

例2、已知，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，并且经过点A（3，2），求函数的解析式。

分析：因为一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以，一次函数中的k=2，只须把点A的坐标代如解析式，求出b 的值就得到完整的函数解析式了。

八年级数学《一次函数与正比例函数》知识点总结

八年级数学《一次函数与正比例函数》知识点总结1．一次函数的定义若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)．谈重点一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式．【例1】下列函数中，是一次函数的是( )．A ．y ＝7x 2B ．y ＝x －9C ．y ＝6xD ．y ＝1x ＋1 解析：A× x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B√ 符合一次函数的一般形式． C× 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D× 答案：B2．正比例函数的定义对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数．辨误区一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．【例2】下列函数中，是正比例函数的是( )．A ．y ＝－2xB ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x 2D ．y ＝－2x 解析：A √ 符合正比例函数的一般形式．B×b＝1≠0，所以它不是正比例函数．C×x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.D×含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.答案：A辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b(k≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx(k≠0)的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．【例3】甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走．(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式．(2)它们是什么函数．分析：路程＝速度×时间，s2＝30－s1.解：(1)s1＝4t，s2＝30－4t.(2)两个函数都是一次函数，而s1＝4t还是正比例函数．点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b ＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．【例4－1】在下列函数中，x 是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y ＝3x ；(2)y ＝1x ；(3)y ＝－3x ＋1；(4)y ＝x 2.分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式．解：一次函数是(1)y ＝3x 和(3)y ＝－3x ＋1.其中(1)y ＝3x 还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．【例4－2】已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．分析：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，要求出待定系数k ，必须有x 与y 的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x ＝0时，y ＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x ＝1时，y ＝－2.这就是我们需要的等量关系．解：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，根据题意，当x ＝1时，y ＝－2.代入函数解析式，得－2＝k .故所求函数解析式为y ＝－2x .5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式，定自变量的范围通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【例5】一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L时，老王行驶了多少千米？分析：根据油箱中原有油9 L,1 h耗油1.5 L，则t h耗油1.5t L，得到行驶t h后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L，由此可得出函数关系式．解：(1)Q＝9－1.5t，由9－1.5t＝0，得到t＝6，故t的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t，得t＝4.于是s＝v t＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.。

八年级数学上册教学课件《一次函数与正比例函数》

探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
思考一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征：（1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
一次函数正比例函数
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
素养考点 1 一次函数与正比例函数的判断
例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
数是“1”
巩固练习
变式训练
已知函数y=2x|m|+(m+1).
4.2 一次函数与正比例函数
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： m 1 因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
y=0.12x
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ z = 60-0.12x
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次. 3．自变量x的系数都不为0.
知识点 2 一次函数与正比例函数的应用
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否
为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)
与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也
是x的正比例函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.

正比例函数和一次函数

正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，假如
b
kx
y+
=（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数
b
kx
y+
=中的b为0时，kx
y=（k为常数，k≠0）。

这时，y叫做x
的正比例函数。

2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
b
kx
y+
=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kx
y=的图像是经过原
点（0，0）的直线。

（如以下图）
4. 正比例函数的性质
一般地，正比例函数kx
y=有以下性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质
一般地，一次函数
b
kx
y+
=有以下性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
kx
y=（k≠0）中的常数k。

确定一
个一次函数，需要确定一次函数定义式
b
kx
y+
=（k≠0）中的常数k和b。

解这类问题的
一般方法是待定系数法。

八年级数学上册第四章一次函数4.2一次函数与正比例函数

函数关系(guān xì)式有什么关系(guān xì)吗?请小一次组函间数交：若流两. 个变量(biànliàng) x、y之间的关系可以
表示成y=kx+b(b为常数，k不等于0）的形式，
则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变
量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数(hánshù).
第八页，共二十一页。
若是正比例函数，则m,n应该满足是 m≠－2 ，
n=1 .
3.当k= 3 时,函数y=(k+3)x －k2－58 是关
于x的一次函数 .
第十页，共二十一页。
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否(shì fǒu)为x的一次函数？是否为正
比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
程x/km
油箱剩余油
量y/L 100 91 82
73 64 46
(2) 你能写出x与y的关系(guān xì)吗?
y=100－0.18x
第六页，共二十一页。
(3) 汽车行驶的路程x可以(kěyǐ)无限增大吗?
行驶路程有没有一个取值范围(fànwéi)?
油箱剩余油量y呢?
第七页，共二十一页。
• 上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个
第十九页，共二十一页。
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”. 你在学业上的收获与你平时(píngshí)的付出是成正比的.
第二十页，共二十一页。
内容总结 (nèiróng)
第四章一次函数。函数有图象、表格、代数表达。做一做。做一做。(2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系吗。2.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，。（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间(shíjiān)x(h)之间的关系。解：由路程=速度×时间(shíjiān)，得y=60x ,。y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.。结束寄语

《正比例函数与一次函数》知识点归纳

《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点一、表达式：y=kx （k≠0的常数）二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线；说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；三、性质特征：1、图像经过的象限:k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；2、增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；四、成正比例关系的几种表达形式:1、y与x成正比例：y=kx (k≠0);2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0);3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0);《一次函数》知识点一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数）注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

二、图像：一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。

说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”；（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）；直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；2、增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”：（1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；（2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大；∣k∣越小，直线越平缓，直线越远离y轴，与x轴的夹角越小；(3) b的作用：b决定直线与y轴的交点位置b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)；b﹤0时，直线与y轴负半轴相交（或与y轴的交点在x轴的下方）；（4）k和b的共同作用：k和b共同决定直线所经过的象限四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到当b>0时，将直线y=kx：向上平移b个单位得到直线y=kx+b；当b﹤0时，将直线y=kx：向下平移∣b∣个单位得到直线y=kx+b；五、两条直线平行和垂直：直线m：y=ax+b; 直线n: y=cx+d（1）当a=c，b≠d时，直线m∥直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。