狂刷11导数的应用-小题狂刷高考数学(文)人教版(原卷版)
狂刷11 导数的应用-小题狂刷高考数学(文)人教版(解析版)
专题三 导数及其应用狂刷11 导数的应用1．函数()212ln 2f x x x x =--的单调增区间是 A ．()1,-+∞ B ．()2,+∞ C ．(),2-∞D ．(),1-∞-【答案】B【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，易错点是忘记求函数的定义域，属于基础题.先求出函数的定义域，再求导数，令导数大于0，解得x 的范围即为函数的单调增区间. 2．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-【答案】A【解析】由题可得2222()2x f 'x x xx -=-=，显然当[1,2]x ∈时，()0f 'x ≥，故函数()f x 在[1,2]上单调递增，故函数()f x 在[1,2]上的最大值为()422ln 2f =-．故选A ．学!科网3．若函数32()6f x x ax x =--+在()01，上单调递减，则实数a 的取值范围是A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<【答案】A【解析】()f x '=3x 2−2ax −1．∵f (x )在()01，上单调递减，∴不等式3x 2−2ax −1≤0在(0，1)上恒成立．∴()0f '≤0，()1f '≤0，∴a ≥1．故选A ．4．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是 A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f xf x f x <<【答案】D【名师点睛】本题主要考查函数值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()f x '利用导函数的正负判断函数的增减，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2fx 的大小，从而求得最后的结果.5．函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如下图，则函数()y f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由导函数在(),0-∞上的图象可知原函数在区间(),0-∞上先单调递减，再单调递增，则选项A 、C 错误；由导函数在()0,+∞上的图象可知原函数在区间()0,+∞上先单调递增，然后单调递减，再单调递增，则选项B 错误. 本题选择D 选项.【名师点睛】本题主要考查原函数图象与导函数图象之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.结合导函数与原函数图象之间的关系排除错误选项即可确定正确选项.6．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则当0x <时A ．()0f x '>，()0g x '>B ．()0f x '>，()0g x '<C ．()0f x '<，()0g x '>D ．()0f x '<，()0g x '<【答案】B【解析】由题意可知y =f (x )是奇函数，y =g (x )是偶函数．∵x >0时，y =f (x )，y =g (x )都是增函数，∴x <0时，y =f (x )是增函数，y =g (x )是减函数，即x <0时，f ′(x )>0，g′(x )<0．故选B ． 7．已知函数32()3()f ax x x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A ．(3,)-+∞B ．(3,0)(0,)-+∞C ．(,0)(0,3)-∞D ．[3,)-+∞【答案】B【解析】由题可得21(3)6x ax f 'x =+-，因为()f x 恰有三个单调区间，所以2()3610x ax f 'x =+-=有两个不同的实数根，所以0a ≠且3643(1)0a ∆=-⨯⨯->，即3a >-且0a ≠，故实数a 的取值范围为(3,0)(0,)-+∞．故选B ．8．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是A ．()311-，B ．()311，C ．[]311，D ．[]27，【答案】C【名师点睛】本题主要考查导函数求解函数的最值，恒成立条件的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先求得()f x 的最小值，然后结合恒成立的条件求解实数m 的取值范围即可. 9．已知函数()f x 的定义域为,(1)2f -=R ，若对任意,()2x f x '∈>R ，则()24x f x >+的解集为 A ．(1,1)-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】设()()24g x f x x =--，因为()2f x '>，所以()()20g x f x '-'=>， 又()12f -=，所以()()11240g f -=-+-=，所以由()0g x >得1x >-， 故()24f x x >+的解集为()1,-+∞．故选B ．学+科网 10．设函数()()ex f x F x =是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则 A ．f (2)>e 2f (0)，f (2018)>e 2018f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2018)>e 2018f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2018)<e 2018f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2018)<e 2018f (0)【答案】C【解析】因为f ′(x )<f (x )，所以f ′(x )− f (x )<0，则()()()0exf x f x F x '-'=<， 所以函数()F x 在R 上是减函数，所以(2)(0)F F <，(2018)(0)F F <， 即2020180(2)(0)(2018)(0),e e e ef f f f <<，所以f (2)<e 2f (0)，f (2018)<e 2018f (0)，故选C ． 11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2e xg x xf x ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()e 20xg x ax '=-≥恒成立，即e 2x a x ≤恒成立，令()()e02xh x x x =>，则()()2e 12x x h x x -'=， 当01x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当1x >时，()()0,h x h x '>单调递增.则()h x 的最小值为()1e e1212h ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【名师点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可.12．若函数()3f x x ax =-在2x =处取得极小值，则实数a =______________．【答案】12【解析】()23f x x a '=-，由题意可知()2120f a '=-=，则12a =．13．已知函数()326(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[]1,2-上取得最大值3，最小值−29，则b 的值为__________． 【答案】3【解析】由题意得()()231234f x ax ax ax x '=-=-，0a >，∴由()0f x '<解得04x <<，此时函数()f x 单调递减；由()0f x '>，解得4x >或0x <，此时函数()f x 单调递增，即函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，即函数()f x 在0x =处取得极大值，同时也是最大值，则()03f b ==.故答案为3.【名师点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：（1）确定函数的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.14．从长为16cm 、宽为10cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_______3cm . 【答案】144【解析】设小正方形的边长为()05cm x x <<，则盒子的容积()()()3210216245216005V x x x x x x x =--=-+<<，()()21210416043202V x x x x =-+=--'，当02x <<时，0V '>，当25x <<时，0V '<，2x ∴=时，V 取得极大值，也是最大值，()()31041642144cm V =-⨯-⨯=.故答案为144.【名师点睛】本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目.15．抛物线22y x =-与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为______________．【答案】86916．若ln ()xf x x=，0e a b <<<，则有 A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b <D ．()()1f a f b >【答案】C 【解析】ln ()x f x x =，21ln ()xf x x-'∴=，(0,e)x ∴∈时，()0f x '>；()f x ∴在(0,e)上是增函数，又0e a b <<<，()()f a f b ∴<． 故选C ．【方法点睛】利用导数研究函数单调性的基本步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导函数()f x '；（3）由()0f x '>(或()0f x '<)，解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，()f x 在相应的区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减函数．利用导数研究函数的单调性需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．本题主要考查利用导数与函数单调性之间的关系，考查逻辑思维能力、计算能力，属于基础题．17．直线a y =分别与曲线2,ln 2-=-=x y x x y 交于点Q P ,，则||PQ 的最小值为A ．2B ．2C ．1D ．6【答案】A【解析】令2()ln ,()2f x x x g x x =-=-，令1()21f x x x'=-=，得1x =(负值舍去)． 又1()2f x x x'=-在(1,)+∞上为增函数，即()(1)1f x f ''>=在区间(1,)+∞上成立，而()g x 的导数恒为1，也就是说，从1x =起，()f x 越来越陡，()g x 保持匀速递增，两个图象的水平距离越来越大，故当1x =时，PQ 取得最小值为2． 故选A ．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，数形结合的数学思想方法．一开始，我们可以先利用导数画出两个函数的图象．对比这两个图象间的水平距离，会发现可以先求出函数()f x 的切线与()g x 平行的那条的方程，由此就可以求出两者水平距离的最小值．由于()g x 是匀速递增的，而()f x 在(1,)+∞增加得越来越快，从图象上看出，两种水平距离越来越大．18．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 之间的关系为()3400,039090090090,390x x x R x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪>⎩,则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是A ．150B ．200C ．250D ．300【答案】D【解析】由题意可得总成本为()20000100C x x =+，设总利润为()P x 元，则()()()3300200000390()()90070090100390x x x P x R x C x x x ⎧--≤≤⎪=-=⎨⎪->⎩，()()()23000390300100390x x P x x ⎧-+≤≤->'⎪=⎨⎪⎩，当0300x ≤<时，()0P x '>，当300390x <≤时，()0P x '<，当390x >时，()1000P x '=-<，故()P x 在[]0300，上是增函数，在)[300+∞，上是减函数，则当300x =时，总利润最大， 故选D.【名师点睛】本题考查了分段函数的应用，解题的关键是利用导数的大小判断出函数的增减性，求出函数的极值和最值，属于中档题.先求出总成本为()20000100C x x =+，然后求出总利润的函数式，对总利润的函数式进行求导，利用导数的大小判断出函数的增减性，进而可得函数的最值，即可确定出答案.19．已知实数0a >x 的方程()1f x a =-有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是ABCD 【答案】C【解析】当0x <时，函数()f x 为增函数；当0x ≥时，1e 1()xf x ax a -+-'=-，()f x '为增函数，令0()f x '=，易得1x =，故函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min 1()()f x f ==0．画出函数()f x 的大致图象如下图所示，要使()1f x a =-有三个不相等的实数根，则11e 22a a a <-<+，即2e22a <<+． 故选C ．20．若函数()2e xf x x a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．24,e+∞（） B ．240e（，） C ．204e （，）D ．0+∞（，）【答案】B【解析】函数2e xy x a =-的导数为22e e e (2)x x x y x x x x '=+=+，令y ′=0，则x =0或−2，当−2＜x ＜0上时，y ′<0,函数单调递减，当x ∈（−∞，−2）或（0，+∞）时，y ′>0, 函数在两个区间上单调递增，∴函数f （x ）在x =−2处取极大值，在x =0处取极小值，函数的极值为：f （0）=−a ，()224e f a --=-，已知函数()2e xf x x a =-恰有三个零点，故−a <0,且24e a -->0,解得实数a 的取值范围是240e（，）. 故选B.【名师点睛】已知函数y =f （x ）有几个零点，求f （x ）中参数的值或取值范围问题，可以通过求导，判断函数的单调性，从而求出函数最值，再根据题意求出参数的值或取值范围.21．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且2x ≠时，()2x -()()20f x xf x '⎡⎤+<⎣⎦，若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率为4-，则()2f 的值为A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】当0x >且2x ≠时，()()2[2x f x -+()]0xf x '<，从而可得2x >时，()()20f x xf x '+<；02x <<时，()()20f x xf x '+>，令()()2g x x f x =，(0,x ∈+∞），则()()2=2g x xf x x +'()()()2f x x f x xf x ⎡⎤=+'⎣'⎦， 可得当02x <<时，()0g x '>；当2x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在2x =处取得极大值，所以()()242g f '=()420f +'=，又()24f '=-，所以()24f =. 故选A.【名师点睛】用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()exf xg x =；如()()0f x f x '+<构造()()e x g x f x =；如()()xf x f x '<构造()()f x g x x=；如()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等.22．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则 A ．1122a -<< B ．1122a -≤≤C ．12a <-或12a >D ．12a ≤-或12a ≥【答案】A【解析】若函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内无极值点，则()2220f x x ax '=+-≥或()2220f x x ax '=+-≤在()1,2x ∈内恒成立.学科!网①当()2220f x x ax '=+-≥在()1,2x ∈内恒成立时，1a -≤时，()1210f a -'=≥，得12a ≥；2a -≥时，()24+20f a '=≥，得a ∈∅；②当()2220f x x ax '=+-≤在()1,2x ∈内恒成立时，则()1210f a -'=≤且()24+20f a '=≤，得12a ≤-. 综上，函数()321213f x x ax x =+-+无极值时，12a ≤-或12a ≥. ∴当1122a -<<时，函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值.故选A ．【名师点睛】（1）可导函数()y f x =在点0x 处取得极值的充要条件是()00f x '=，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同；（2）若()f x 在(),a b 内有极值，那么()f x 在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值.23．已知函数l (n )f x x x x =+，当1x >时，不等式()()1()k x f x k -<∈Z 恒成立，则k 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】因为l (n )f x x x x =+，当1x >时，不等式()()1()k x f x k -<∈Z 恒成立，即()1ln k x x x x -<+恒成立，因为1x >，所以ln 1x x xk x +<-对任意的,()1x ∈+∞恒成立，令l (1)n x x x g x x +=-，则2ln 2(1)()x x g x x ---'=，令ln 2(1))(h x x x x =-->，则11(1)0x h x x x='-=->， 所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增．因为31()ln30h =-<，2n 4)20(2l h =->，所以方程()0h x =在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足04()3,x ∈，当01x x <<时，()0h x <，即0()g x '<，当0x x >时，()0h x >，即0()g x '>，所以函数l (1)n x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又000l ()n 20h x x x =--=，所以00min 000(1)()1(2)x x g x g x x x +-===-，所以min 0()k g x x <=，因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3． 故选B ．24．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若()20f =，则不等式()0xf x >的解集为____________.【答案】()(),20,2-∞-【解析】令()()g x xf x =，由()f x 是偶函数可知函数()g x 为奇函数，则当0x <时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即函数()g x 是区间(),0-∞上的减函数， 且()()()222220g f f -=--=-=，据此绘制函数()g x 的大致图象如图所示，结合函数图象可知不等式()0xf x >的解集为()(),20,2-∞-.【名师点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.由题意构造函数()()g x xf x =，结合函数的单调性和函数的奇偶性整理计算即可求得最终结果.25．若关于x 的方程x 3−3x ＋m =0在[0，2]上有实根，则实数m 的取值范围是______________．【答案】[−2，2]26．若对任意的3[,]44x ππ∈，sin cos 10x x ax --+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】442(,]3+-∞π【解析】设si ()n cos 1g x x x ax =--+，则cos sin 2sin 4()()g x x x a x -'π=+=+a -．因为3[,]44x ππ∈，所以2sin()[0,2]4x π+∈．①当0a ≤时，0()g x '≥在3[,]44ππ上恒成立，所以min 04()()()g x g x g π≥=>，即()0g x ≥恒成立，符合题意；②当2a ≥时，0()g x '≤在3[,]44ππ上恒成立，所以()()332144g x g a ππ≥=+-，而21212444a +-≤+-⨯=⨯210+<，故2a ≥不符合题意；③当02a <<时，则存在0(,)44x π3π∈，使得0(,)4x x π∈时，()g x 是增函数，当03(,)4x x π∈时，()g x 时减函数，由于()04g π>，所以()304g π≥，即3214a π+-0≥，即44203a +<≤π．综上所述，4423a +≤π．故填442(,]3+-∞π．27．（2018新课标Ⅲ文）函数422y x x =-++的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数过定点()0,2，排除A ，B ；求导得()()3242221f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得()22210x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C. 故选D.28．（2014新课标全国Ⅱ文）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【解析】1()f x k x '=-，由已知得()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，故1k x≥恒成立，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 29．（2016四川文）已知a 为函数f (x )=x 3–12x 的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．2【答案】D【解析】23123(2)(2)()x x f x x =-=+-'，令0()f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程()0f x '=的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，()0f x '<，0x x >时()0f x '>，则0x 是极小值点，如果0x x <时，()0f x '>，0x x >时，()0f x '<，则0x 是极大值点．故选D ．30．（2017浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．31．（2014新课标全国Ⅰ文）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a的取值范围是 A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-【答案】C【解析】根据题中函数特征，当0a =时，函数2()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负; 当0a >时，求导可得：2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增; 2(0)x a∈，时函数单调递减，显然存在负零点; 当0a <时，求导可得：2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：2(,)x a∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减; 2(0)x a∈，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：2()0f a >，即3222()3()10a a a⨯-+>，可解得：24a >，则2a >(舍去) ,2a <-． 32．（2015新课标全国Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．33．（2016新课标全国Ⅰ文）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是A ．[1,1]-B ．1[1,]3- C ．11[,]33-D ．1[1,]3--【答案】C34．（2015年高考全国Ⅰ）设函数()f x =e (21)xx ax a --+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x <0，则a 的取值范围是A ．[−32e ，1) B ．[−32e ，34) C ．[32e ，34)D ．[32e，1)【答案】D【解析】由题意可知存在唯一的整数x 0，使得000e (21)xx ax a -<-，设()e (21)xg x x =-，h (x )=ax a -，由()e (21)xg x x '=+可知当12x <-时，()g x '＜0，g (x )在(−∞，−12)上单调递减， 当12x >-时，()g x '＞0，()g x 在(−12，+∞)上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故(0)(0)(1)(1)h g h g >⎧⎨-≤-⎩，即132e a a <⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，所以32e ≤a <1，故选D ．35．（2018江苏）若函数()()3221f x x ax a =-+∈R 在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】3-【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．先结合三次函数图象确定在()0,+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.。
高中数学第三章导数及其应用导数在研究函数中的应用强化练含解析新人教A版选修11
高中数学第三章导数及其应用导数在研究函数中的应用强化练含解析新人教A 版选修11导数在研究函数中的应用(强化练)[学生用书P135(单独成册)]一、选择题1．(2019·濮阳高二检测)已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B ．12C.34D ．1解析：选B.由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B.2．函数f (x )＝x 3－3x 在(1，＋∞)上是( ) A ．减函数 B ．增函数 C ．常数函数D ．不能确定解析：选B.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝3x 2－3>0，故选B.3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝f (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，则x ＜0时( ) A ．f ′(x )＞0 B ．f ′(x )＜0 C ．f ′(x )＝0D ．无法确定解析：选B.因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．又x ＞0时，f ′(x )＞0，故当x ＞0时，f (x )为增函数，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x ＜0时，f (x )为减函数，故选B.4．(2019·太原高二检测)如图是导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列说法错误的是( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C.由题图，可知当x ＜－1或3＜x ＜5时，f ′(x )＜0；当x ＞5或－1＜x ＜3时，f ′(x )＞0.故函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，函数y ＝f (x )在x ＝－1，x ＝5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 说法错误．5．函数f (x )＝x ＋cos x 在[0，π]上的( ) A ．最小值为0，最大值为π2B ．最小值为0，最大值为π2＋1C ．最小值为1，最大值为π2D ．最小值为1，最大值为π－1解析：选D.f ′(x )＝1－sin x ．因为0≤x ≤π， 所以0≤sin x ≤1，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[0，π]上是增函数， 所以f (x )max ＝f (π)＝π－1，f (x )min ＝f (0)＝1，故选D.6．设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞ )解析：选B.由题意，可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x－2x ＋2＝(4x －2)ln x .由f ′(x )＜0，可得(4x －2)ln x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＞0ln x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＜0ln x ＞0，解得12＜x ＜1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选B.7．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ， 又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C.8．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋1在x ＝1处取得极大值3，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.依题意知f (1)＝a ＋b ＋1＝3， 即a ＋b ＝2.①因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，f ′(1)＝0， 所以3a ＋2b ＝0.② 由①②得a ＝－4，b ＝6.所以f ′(x )＝－12x 2＋12x ＝0得x ＝0或x ＝1. 易知在x ＝0处f (x )取极小值1.故选C.9．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3，1]上不单调，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析：选A.由题意得f ′(x )＝(x －b )(x －2)．因为f (x )在区间[－3，1]上不单调，所以－3＜b ＜1.由f ′(x )＞0，解得x ＞2或x ＜b ；由f ′(x )＜0，解得b ＜x ＜2.所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.故选A.10．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A.对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于在区间[－3，2]上，f (x )max －f (x )min ≤t .因为f (x )＝x 3－3x －1，所以f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．因为x ∈[－3，2]，所以函数f (x )在[－3，－1]，[1，2]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19，所以f (x )max －f (x )min ＝20，所以t ≥20，即实数t 的最小值是20.二、填空题11．函数y ＝x －2ln x 的单调递增区间为________．解析：由题易知x ＞0，故由y ′＝1－2x＞0，得x ＞2，故函数y ＝x －2ln x 的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)12．在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )＜0的解集为________．解析：原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f ′（x ）＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f ′（x ）＜0， 由函数图象知当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)． 答案：(－∞，－1)∪(0，1)13．设a ∈R ，若函数f (x )＝x 3－ax 在(－1，1)内有极值点，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－a ，因为函数f (x )在(－1，1)内有极值点，所以f ′(x )＝3x 2－a ＝0在(－1，1)内有根，故a ＞0，又x ＝±a3，所以0＜a3＜1，所以0＜a ＜3. 答案：(0，3)14．设函数f (x )的定义域为R ，若f (x )－f ′(x )＞0，且f (0)＝8，则不等式f （x ）ex＜8的解集为________．解析：设F (x )＝f （x ）ex，则F ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x （e x）2＝f ′（x ）－f （x ）ex.因为f (x )－f ′(x )＞0，所以F ′(x )＜0，即函数F (x )在R 上单调递减．因为f (0)＝8，所以F (0)＝8，所以不等式f （x ）ex＜8等价于F (x )＜F (0)，解得x ＞0，故不等式的解集为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞) 三、解答题15．设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 所以f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴， 故该切线的斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)，知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－13(舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜ 0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．16．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝13x 3－3a ＋12x 2＋(2a 2＋a )x ＋3的单调性．解：由题意，得f ′(x )＝x 2－(3a ＋1)x ＋a (2a ＋1)＝(x －a )[x －(2a ＋1)]． 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝2a ＋1. 当a ＝2a ＋1，即a ＝－1时，f ′(x )＝(x ＋1)2≥0，且f ′(x )不恒等于0，所以此时函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＜2a ＋1，即a ＞－1时， 由f ′(x )＞0，得x ＞2a ＋1或x ＜a ， 由f ′(x )＜0，得a ＜x ＜2a ＋1，所以此时函数f (x )在(－∞，a )和(2a ＋1，＋∞)上单调递增，在(a ，2a ＋1)上单调递减； 当a ＞2a ＋1，即a ＜－1时， 由f ′(x )＞0，得x ＞a 或x ＜2a ＋1， 由f ′(x )＜0，得2a ＋1＜x ＜a ，所以此时函数f (x )在(－∞，2a ＋1)和(a ，＋∞ )上单调递增，在(2a ＋1，a )上单调递减． 综上所述，当a ＝－1时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞－1时，函数f (x )在(－∞，a )和(2a ＋1，＋∞)上单调递增，在(a ，2a ＋1)上单调递减；当a ＜－1时，函数f (x )在(－∞，2a ＋1)和(a ，＋∞)上单调递增，在(2a ＋1，a )上单调递减．17．(2019·六安高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ，对于任意实数x 恒有f ′(x )≥2x 2＋2x －4.(1)求实数a 的最大值；(2)当a 取得最大值时，函数F (x )＝f (x )－x －k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，对于x ∈R 恒有f ′(x )≥2x 2＋2x －4， 即x 2＋2x －a ＋4≥0对于x ∈R 恒成立， 所以Δ＝4－4(4－a )≤0，解得a ≤3， 所以实数a 的最大值为3.(2)因为当a ＝3时，F (x )＝f (x )－x －k 有三个零点， 所以关于x 的方程k ＝x 3＋2x 2－4x 有三个解， 令g (x )＝x 3＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝3x 2＋4x －4， 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：当x ＝23时，g (x )取得极小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－4027.结合图象(图略)，可知实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4027，8.18．设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x＜x .解：(1)由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．(2)证明：由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，有ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x－1，即1＜x －1ln x＜x .。
专题04：文化文学常识备战-备战2025年高考语文一轮复习题型狂刷(全国通用)原卷版
专题04：文化文学常识单选题1．下列有关文学常识的表述错误的一项是（）A．我国第一部诗歌总集《诗经》，原名《诗》或《诗三百》直到汉代以后，儒家把它奉为经典，才称为《诗经》，它的现实主义精神，成为我国诗歌现实主义优良传统的源头。
B．《楚辞》是我国继《诗经》之后的又一部诗歌总集，是我国浪漫主义诗歌创作的源头。
它是东汉刘向搜集屈原及其弟子宋玉等作家的作品编辑而成的。
C．被刘知几称为“著述罕闻，古今卓绝”的《左传》是我国第一部叙事详备的编年史，也是一部杰出的历史散文著作。
D．《战国策》是刘向编订的一部国别体史书，它以其独特的语言风格，雄辩的论说，铺张的叙事，尖刻的讽刺，耐人寻味的幽默而著称，标志着我国古代历史散文发展到了一个新的高度。
2．下列有关文学常识的表述不正确的一项是（）A．陶渊明字元亮，又名潜，私谥“靖节”，世称靖节先生，是东晋著名诗人。
他的田园诗被誉为“中国田园诗的基石”，代表作有《饮酒》等。
B．两篇《狂人日记》的作者分别是中国的鲁迅和法国的果戈理。
C．巴金的《家》塑造了觉慧这一积极投身民主运动的青年，反映了封建大家庭的生活状况。
D．中国古代戏剧以“戏”和“曲”为主要因素，称为“戏曲”，主要包括南戏、杂剧、传奇以及各种地方戏。
3．下列对文化常识的解说，有误的一项是（）A．徘徊于斗牛．．之间斗牛：星宿名，指斗宿（南斗）、牛宿。
B．六艺经传．皆通习之传：传记，与“经”相对的著作。
C．羽化．．而登仙羽化：道教称飞升成仙为“羽化”。
D．君子曰．．．：学不可以已君子曰：先秦儒家著作中引述古代贤人的言论。
4．下列对文中文化常识的解说，不正确的一项是（）A．连衡：是联合六国共同对付秦国的策略。
B．大夫，古代官阶名。
西周以后先秦诸侯国中，在国君之下设卿、大夫、士三级。
古代医生位于大夫之列，由民间口传至今。
C．八州：古时天下分九州，秦居雍州，其他六国分别居于兖州、冀州、青州、徐州、豫州、荆州、扬州、梁洲八州。
D．“字”，在古代男子20岁(成人)举行加冠礼时取字，在女子15岁许嫁举行笄礼时取字，以表示对他人的尊重或供朋友称呼。
狂刷11 函数的极值与导数-学易试题君之小题狂刷君2019学年高二文数人教版(选修1-1)(解析版)
6．已知函数 f(x)=x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是
A． x0∈R，f(x0)＝0
B．函数 y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(−∞，x0)上单调递减 D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0 【答案】C 【解析】若 x0 是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的大致图象如下图所示，则在(−∞，x0)上不单调，故 C 不正 确．故选 C．
【答案】A
D．函数 f (x) 有极大值 f (1) 和极小值 f (2)
8．设函数 f (x) 在 R 上可导，其导函数为 f (x) ，且函数 f (x) 在 x 2 处取得极大值，则函数 y xf (x)
的图象可能是
【答案】D
【解析】由题意， f (2) 0 ，当 x 2 时， f (x) 0 ，当 x 2 时， f (x) 0 ，
数 y f (x)
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
3
C．既有极大值又有极小值 【答案】B
D．既无极大值也无极小值
11．若函数 f (x) x3 ax 在 x 2 处取得极小值，则实数 a ________________． 【答案】12 【解析】 f (x) 3x2 a ，由题意可知 f (2) 12 a 0 ，则 a 12 ．
易得 f (x) 在 (2 , 2) 上单调递减，在 (2 , ) 上单调递增，故 f (x) 的极小值点为 2，即 a 2，故选 D．
5．设 a∈R，若函数 y ex ax ，x∈R 有大于零的极值点，则
A． a 1 e
C． a 1
【答案】C
高三数学选修11第三章导数及其应用专项练习(带答案)-精选教育文档
高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。
一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.二、解答题9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+x，1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.参考答案1.①2.f(x0+x)-f(x0)3.4+2x解析 y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-212+1=4x+2(x)2，yx=4x+2(x)2x=4+2x.4.s(t+t)-s(t)t解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析 yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为g(3)-g(2)3-2=(23-3)-(22-3)1=2.∵a+2=22，a=2.第三章导数及其应用专项练习的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家取得更好的成绩。
狂刷10 导数的概念与运算-试题君之小题狂刷君2017-2018学年高考数学文 含解析 精品
专题三 导数及其应用狂刷10 导数的概念与运算1．函数错误！未找到引用源。
在点错误！未找到引用源。
处的导数为 A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】错误！未找到引用源。
故选C ．2．某物体的运动方程为错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
的单位是米，错误！未找到引用源。
的单位是秒，则该物体在错误！未找到引用源。
秒末的瞬时速度为 A ．错误！未找到引用源。
米/秒B ．错误！未找到引用源。
米/秒C ．错误！未找到引用源。
米/秒D ．错误！未找到引用源。
米/秒 【答案】C【解析】错误！未找到引用源。
，物体在3秒末的瞬时速度是5321|3=⨯+-='=t s (米/秒)，故选C ．3．曲线错误！未找到引用源。
在点错误！未找到引用源。
处的切线方程为 A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【答案】D4．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(2)+x3，则f ′(2)等于A．−8 B．−12C．8 D．12【答案】B【解析】错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
．令错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，得错误！未找到引用源。
．故选B．5．曲线错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
处的切线方程是A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C6．已知函数错误！未找到引用源。
在点P处的导数值为3，则P点的坐标为A．(−2，−8) B．(−1，−1)C．(−2，− 8)或(2，8) D．(−1，−1)或(1，1)【答案】D【解析】由错误！未找到引用源。
，求导得错误！未找到引用源。
由错误！未找到引用源。
得错误！未找到引用源。
，所以点P的坐标为(−1，−1)或(1，1)．故选D．7．已知曲线错误！未找到引用源。
狂刷25 数列的综合应用-小题狂刷高考数学(文)人教版(原卷版)
专题六 数列狂刷25 数列的综合应用1．已知等差数列{a n }满足a 3=3,且a 1,a 2,a 4成等比数列,则a 5= A ．5 B ．3 C ．5或3D ．4或32．已知首项为1的等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,且S 2,S 4,S 8成等比数列,则 d = A ．0 B ．1或2 C ．0或2D ．23．设{a n }是首项为a 1,公差为−2的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1= A ．8 B ．−8 C ．1D ．−14．各项为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠,且2311,,2a a a 成等差数列,则3445a a a a ++的值是A ．512 B ．512C 15- D 51+51- 5．已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6=a 2·a 10，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9=2a 7，则S 17= A ．34 B ．39 C ．51D ．686．已知等差数列{a n }的首项为1,a 1+a 3+a 5=15,{a n }的前n 项和为S n ,若S 10,a 10+1,k (其中k ∈R )成等比数列,则实数k 的值是 A ．7 B ．6 C ．5D ．47．在等差数列{a n }中,a 2=4,且1+a 3,a 6,4+a 10成等比数列,则公差d = __________．8．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 4−a 72+2a 10=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 5b 9= _______．9．等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则数列{a n }的前n 项和S n = __________．10．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项，则数列{a n }的通项公式为a n = __________．11．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为A ．12n n b -= B ．13n n b -= C ．22n n b -=D ．23n n b -=12．等比数列{}n a 中， n S 是数列{}n a 的前n 项和， 314S =，且1238,3,6a a a ++依次成等差数列，则13a a ⋅等于 A ．4 B ．9 C ．16D ．2513．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且1313,,a a a 成等比数列,若11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和,则2163n n S a ++的最小值为A ．3B ．4 C．2D ．9214．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列,23a =,且358,,a a a 成等比数列,设11n n n b a a +=,则数列{}n b 的前n 项和n T 为A ．1nn + B ．1n n - C ．221nn +D ．24nn +15．若等差数列{a n}与等比数列{b n}的首项是相等的正数,且它们的第2n+1项也相等,则A．a n+1<b n+1B．a n+1≤b n+1C．a n+1≥b n+1D．a n+1>b n+116．若互不相等的实数a,b,c成等差数列，b,a,c成等比数列，且a+3b+c=5,则a=__________．17．已知数列{a n}的各项均为整数，a8=−2,a13=4，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则a15=__________．。
2022高考数学小题狂刷11 导数的应用 (原卷)
专题三 导数及其应用狂刷11 导数的应用1．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-2．函数21()2ln 2f x x x x =--的单调增区间是 A ．(1,)-+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞-3．当01x <<时，ln ()xf x x=，则下列大小关系正确的是 A ．22()()()f x f x f x << B ．22()()()f x f x f x << C ．22()()()f x f x f x <<D ．22()()()f x f x f x <<4．已知函数2e ()2xf x x x x=+-，1[,2]2x ∈，则A ．()f x 的极小值为e 1-，极大值为3e 4B ．()f x 的极小值为e 1-，极大值为2e2C ．()f x 的极小值为e 1-，无极大值D ．()f x 的极大值为2e2，无极小值5．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若(1)()0x f x '-<，则下列式子正确的是 A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +<C ．(0)(2)2(1)f f f +=D ．(0)(2)f f +与2(1)f 大小关系不能确定6．若函数32()236f x x mx x =-+在区间[1,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围为 A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞7．若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ[,]63上单调递增，则实数a 的取值范围为A ．(,2)-∞B ．(1,2]-C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞8．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()(1)()0f x x f x '+->，则 A ．(1)0f = B ．()0f x < C ．()0f x >D ．1()0()x f x -<9．已知某正三棱柱的外接球的表面积为16π，则该正三棱柱的体积的最大值为 A ．4 B ．6C ．8D 10．已知函数1()e 2exx f x x =--，若2(3)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为 A ．3[1,]2- B ．3(,1][,)2-∞-+∞C ．3[,1]2-D ． 3(,][1,)2-∞-+∞ 11．已知函数12)(23++-=nx mx x x f ，)(x f '是函数()f x 的导数，且函数()f x '的图象关于直线23x =对称，若在[1,]π上1)(≥x f 恒成立，则实数n 的取值范围为 A ．1(,]2-∞ B ．1(,]2-∞- C ．1[,)2+∞D ．[,)π+∞12．若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式|ln |2x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,2]-∞B ．(,1ln 2]-∞+C ．[1ln 2,)++∞D ．[1ln 2,2]+13．已知a 为函数f (x )=x 3–12x 的极小值点，则实数a =______________．14．已知函数3()27f x x x =-在[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围为______________． 15．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为27π且用料最省，则水桶底面圆的半径为______________．16．已知函数12)(23++-=nx mx x x f ，)(x f '是函数()f x 的导数，且2(2)()3f x f x ''+=--，若在[1,]π上1)(≥x f 恒成立，则实数n 的取值范围为______________．17．已知函数()f x 的导函数的图象如下图所示，①函数()f x 在(0,1)上单调递增； ②函数()f x 在(1,)+∞上单调递增； ③当1x =时，函数()f x 取得极小值； ④当1x =时，函数()f x 取得极大值． 则上述结论中，正确结论的序号为 A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③18．已知函数1()f x x ax=+在(,1]-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．[1,)+∞B ．(,0)(0,1]-∞C ．(,0)[1,)-∞+∞D ．(0,1]19．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且3()()0f x xf x '+>恒成立，其中()f x '是()f x 的导函数，若3(2020)(2020)(1)m f m f -->，则实数m 的取值范围是A ．(2019,2020)B ．(2019,2021)C ．(2019,)+∞D ．(2021,)+∞20．若函数32()(6)7f x x mx m x =+++-在[0,3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为A ．(,6][3,)-∞--+∞B ．(,3][1,)-∞--+∞C ．[6,3]--D ．[3,1]--21．已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()xf x '-2()0f x >，若函数()f x 是偶函数，2(e)e f a =，(2)4f b =，(3)9f c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c <<D ．c a b <<22．在正四棱锥S ABCD -中，已知SA =A ．12 B．C ．6D．23．已知2()121xf x =-+，当0x >时，不等式2()(2e )0x f ax f +-≤恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．2e (,]2-∞B ．2e [,)2+∞C ．2e (0,]2D ．2e [0,]224．若存在正实数,,x y z，使得y z =2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是A ．1[1ln2,]2-B ．[1ln2,e 1ln2]---C ．[ln2,e 1ln2]---D ．1[,1]225．已知函数1ln ,1()11,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且12())2(f x f x +=，则12x x +的最小值为 A ．2B ．e 1-C ．32ln2-D ．32ln3-26．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0y x y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e]B ．1(1,e 1)e ++ C ．1(,1e]e+D ．1(1,e]e+27．已知函数()f x 的定义域为R ，()f 'x 是函数()f x 的导函数，若()2()0x 'f x f ->，且1()e 2f =，其中e 为自然对数的底数，则不等式1(ln )2f x x <的解集为 A ．(0,e) B ．(e,)+∞ C ．(1,e)D ．(0,1)28．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f 'x 是函数()f x 的导函数，若()(1)()0xf 'x f x x -+>，且(1)e f =，其中e 为自然对数的底数，则不等式(ln )ln f x x x <的解集为A ．(0,e)B ．(e,)+∞C ．(1,e)D ．(0,1)29．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，32()3f x x x =-．若函数()()g x f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围为______________．30．已知函数e ()2x ax f x x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()0()f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为______________．31．已知点M 在圆22:430C x y y +-+=上，点N 在曲线1ln y x =+上，则线段MN 的长度的最小值为______________．32．已知函数()e (1)x f x x =-，()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是______________． 33．已知函数()|ln |f x x =，20,01()|4|2,1x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩，若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围为______________．34．【2017年高考浙江卷】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是35．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．136．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为37．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数2e e ()x xf x x--=的图像大致为38．【2019年高考天津卷理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,e]D ．[1,e]39．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．140．【2019年高考浙江卷】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x =ax b --恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >041．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 42．【2018年高考江苏卷】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为______________．43．【2017年高考江苏卷】已知函数31()2e e xxf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是______________．44．【2019年高考北京卷理数】设函数e (e )x xx f a -=+（a 为常数）．若()f x 为奇函数，则a =______________；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是______________．。
狂刷10 导数的概念与运算 (解析版)
专题三 导数及其应用狂刷10 导数的概念与运算1．设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '【答案】A 【解析】00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A ．2．函数()()cos =sin +1f x x x 的导数是 A ．cos2+sin x x B ．cos2sin x x - C ．cos2cos x x + D ．cos2cos x x -【答案】B【解析】由()()cos =sin +1f x x x 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin f x x x x x x x '=-++⋅=--sin cos2sin x x x =-.故选B.3．某物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，则该物体在3秒末的瞬时速度为 A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒【答案】C【解析】t s 21+-='，物体在秒末的瞬时速度是(米/秒)，故选C ． 4．设函数()()sin cos ,f x x x f x =-的导函数记为()f x '，若()()002f x f x ='，则0tan x = A ．−1 B ．13C ．1D ．3【答案】D【解析】根据题意，得()cos sin f x x x '=+，由()()002f x f x ='，得0000cos sin 2sin 2cos x x x x +=-， 化简可得00sin 3cos x x =，即0tan 3x =，故选D.35321|3=⨯+-='=t s【名师点睛】该题涉及的知识点有正、余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果.首先根据题中所给的函数解析式，借助于求导公式，求得()cos sin f x x x '=+，结合题中的条件()()002f x f x ='，得到00sin 3cos x x =，利用同角三角函数关系式中的商关系，求得0tan 3x =，即得结果. 5．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设()()2121f f a -=-，则下列不等式正确的是A ．()()12f f a ''<<B ．()()12f a f ''<<C ．()()21f f a ''<<D ．()()12a f f ''<<【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大， ∵()()2121f f -=-a ，∴()()12f a f ''<<， 故选B ．6．曲线2()e (1)x f x x x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是 A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D【解析】∵()2()e 2x f x x x '=+- ，∴f ′（0）＝﹣2，又f （0）＝﹣1，∴曲线2()e (1)x f x x x =--在点（0，f （0））处的切线方程是y +1＝﹣2（x ﹣0），即210x y ++=. 故选D.【名师点睛】本题考查了求导的基本运算，导数的意义及切线方程的求法，属于基础题.根据曲线上点的导数值为在该点处切线方程的斜率，再由点坐标即可得到切线方程. 7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2xf ′(2)+x 3，则f ′(2)等于 A ．−8 B ．−12 C ．8D ．12【答案】B 【解析】3()2(2)f x xf x '=+，2()2(2)3f x f x ''=+∴．令2=x ，则(2)2(2)12f f ''=+，得(2)12f '=-．故选B ．8．已知曲线ln y x =-的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为 A ．e B ．e - C ．1e D ．1e-【答案】D【解析】设切点为()00,x y ，则由1y x'=-得01k x =-，又切线过原点，∴000ln 1x x x -=-，解得0e x =，∴1ek =-．故选D ． 【名师点睛】本题考查导数的几何意义，曲线()y f x =在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别：曲线()y f x =在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 处的切线，则可设切点为()()11,x f x ，由切点得切线方程，再由切线过点()00,x y ，代入求得1x ，从而得切线方程．9．已知曲线y =x 2上一点P 处的切线与直线2x −y +1=0平行，则点P 的坐标为 A ．(−1,1) B ．(1,1) C ．(2,4)D ．(3,9)【答案】B【解析】设切点P 的坐标为(x,y)，由题意得y′=2x ，∵切线与直线2x −y +1=0平行，∴切线的斜率k =2=2x ，解得x =1， 把x =1代入y =x 2，得y =1，故P(1,1). 故选B ． 10．曲线12ex y =在点()24,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．2eB ．24eC ．22eD ．29e 2【答案】A【解析】因为12e x y =，所以114222,111e e e 222x y k ⨯=∴=='，则切线方程为221e e (4),2y x -=-即221e e 02x y --=， 因此与坐标轴的交点为2(0,e ),(2,0)-，围成的三角形的面积为221e 2e .2⨯⨯= 选A ．11．若曲线e x y =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =A ．1-B ．1C ．2D ．e【答案】C【解析】函数e xy =的导数为e xy '=，则曲线e xy =在x ＝0处的切线斜率为0e 1k ==， 则曲线e x y =在x ＝0处的切线方程为1y x -=， 函数ln y x b =+的导数为1y x'=， 设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选C ．12．设函数()f x 可导，若0(1)(1)lim13x f x f x∆→+∆-=∆，则(1)f '=__________．【答案】3【解析】因为0(1)(1)lim13x f x f x∆→+∆-=∆，所以0(1)(1)l 13im1x f x f x ∆→+∆-=∆，即1(1)13f '=， 故(1)3f '=.13．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_____________．【答案】3【解析】因为23ln 4x y x =-，所以32x y x '=-，由题意知，3122x x -=，解得3x =（负值舍去），所以切点的横坐标为3． 14．已知函数()0()(2018ln ),2019f x x x f x '=+=，则0x =______________.【答案】1 【解析】()(2018ln ),f x x x =+()2018ln 12019ln f x x x '∴=++=+，又()02019f x '=， ∴02019ln 2019x +=， 解得01x =．15．若曲线2ln y ax x =-在(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =_______________．【答案】12【解析】由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax −1x及导数的几何意义得y ′|x =1＝2a −1＝0，解得a ＝12．故填12． 16．设函数()2e 1xf x ax=+，其中0a >.若对于任意(),0x f x '∈≥R ，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】(]01，【解析】由题可知，()()()222e 21=1x ax ax f x ax -+'+，令()2=21g x ax ax -+，则()g x 与()f x '符号相同，对于任意(),0x f x '∈≥R ，∴对于任意x ∈R ，()0g x ≥恒成立，又0a >，根据二次函数的图象与性质，得2=(2)40a a ∆--≤，解得01a <≤,∴实数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为(]0,1.【名师点睛】本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题.由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论： （1）不等式20ax bx c ≥＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≥⎩或0a >⎧⎨∆≤⎩；（2）不等式20ax bx c ≤＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≤⎩或0a <⎧⎨∆≤⎩. 17．已知函数2()e ,()cos πx f x a x g x x bx =+=+，直线l 与曲线()y f x =切于点(0,)(0)f ，且与曲线()y g x =切于点(1,)(1)g ，则a b +=_______________．【答案】2-【解析】()e 2xf x a x '=+，()πsin πg x x b '=-+，(0)f a =，(1)cos π1g b b =+=-，(0)f a '=，(1)g b '=，由题意可得(0)(1)f g ''=，即a =b ， 又1(0)10b af a --'==-，所以a =b =-1，所以2a b +=-．18．下列函数求导运算正确的个数为①(e e )=e e x x x x--'++；②21(log )ln 2x x '=； ③(e )e x x'=；④1()ln x x'=； ⑤(e )e 1xxx '⋅=+． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由求导公式及求导法则可知：①应为：(e e )=e e xxxx--'+-，④应为：21(ln )()ln x x x-'=-，⑤应为：()e e e x x x x x '⋅=+⋅，正确的为②③，故选B ．19．已知函数()e xf x x a =+，则“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题得切线的斜率为2，所以1()1e 2,e 1,0e xxxf x a a a '=+=∴=∴=>，因为{a |a >−1}{}|0a a ⊃>,所以“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的必要不充分条件.故答案为B.【名师点睛】本题主要考查充要条件的判断和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”求a 的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.20．设函数()()323sin f x x a x x ax =+++．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A ．y x =-B ．2y x =-C ．4y x =-D ．3y x =-【答案】D【解析】∵函数()()323sin f x x a x x ax =+++为奇函数，∴()()f x f x -=-，即()()()()()()3323sin 23sin x a x x a x x a x x ax ⋅-++⋅-⋅-+⋅-=--+-.∴30a +=，即3a =-.∴()323f x x x =-，则()263f x x ='-.∴曲线()y f x =在点()0,0处的切线的斜率为()03f '=-. ∵()00f =，∴曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为3y x =-. 故选D.【名师点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，先利用函数的奇偶性求出a ，再求出函数的导数，进而求出切线的斜率，然后即可求解切线方程，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ，即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点，设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x ='-=-求解.21．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为ππ42，⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P横坐标的取值范围为A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[]10-， C ．[]01，D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】设点P 的横坐标为0x ，223y x x =++，2+2y x '∴=，则002+2x x y x =='，利用导数的几何意义得02+2tan x α=（α为点P 处切线的倾斜角），又ππ42，α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴02+21x ≥，解得：012x ≥-， 则点P 横坐标的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选D.22．其导函数记为()f x '，则(2018)(2018)(2018)(2018)f f f f ''+-+--的值为 A ．2 B ．1 C ．0 D ．−2【答案】A()()f x f x +-=所以(2018)(2018)(2018)(2018)2f f f f ''+-+--=．故选A ．23．设点P 是曲线()2ln f x x x =-上的任意一点，则P 到直线20x y ++=的距离的最小值为AB ．2C．D．2【答案】C【解析】点P 是曲线()2ln f x x x =-上的任意一点，则当点P 是曲线的切线中与直线20x y ++=平行的直线上的切点时，距离最小， 由20x y ++=得斜率是-1，则1121y x=-'=-，解得：x =1， 所以可得P 点坐标为（1，1），则点P 到直线20x y ++==.故选C ．24．已知1a ≥，曲线31()f x ax ax=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为k ，则实数k 的最小值为 AB．C ．2 D ．4【答案】D【解析】221()3f x ax ax +'=，则曲线31()f x ax ax=-在点(1,)(1)f 处的切线的斜率(1)k f ='=13a a +，又1a ≥，所以13314k a a=+≥+=，故实数k 的最小值为4.故选D ．25．各项均为正数的等比数列{}n a 满足2664a a =,3432a a =,若函数()231012310f x a x a x a x a x =++++的导函数为()f x ',则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭A ．10B ．()201213- C ．9122-D ．55【答案】D【解析】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ＞0，∵a 2a 6=64，a 3a 4=32，∴2634a a a a =q =2， ∴a 2a 6=261a q =21a ×26=64，a 1＞0，解得a 1=1．∴a n =2n −1． ∵函数()231012310f x a x a x a x a x =++++，∴导函数为f ′（x ）=a 1+2a 2x +3a 3x 2+···+10a 10x 9，∵11()2n n a -=1，∴f ′（12）=1+2+ (10)()101102⨯+=55． 故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的求和公式、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．若函数y =f(x)的图象上存在不同两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相平行，则称y =f(x)具有“同质点”.关于函数：①y =sinx ；②y =e x ；③y =lnx ；④y =x 3.以上四个函数中具有“同质点”的函数是 A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④【答案】A【解析】设函数y =f(x)的图象上存在不同两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由题意y =f(x)具有“同质点”，则f ′(x 1)=f ′(x 2)(x 1≠x 2)，∵y =sinx,y ′=cosx ，cos0=cosπ，∴具有“同质点”， ∵y =e x ,y ′=e x ，不存在e x 1=e x 2，∴不具有“同质点”， ∵y =lnx,y ′=1x ，不存在1x 1=1x 2，∴不具有“同质点”，∵y =x 3,y ′=3x 2, 3×(−1)2=3×(1)2，∴具有“同质点”. 故选A ．27．已知F(x)在R 上可导，且F(x)=f(x 3−1)+f(1−x 3)，则F ′(1)=__________．【答案】0【解析】由题知F′(x)=3x 2f′(x 3−1)−3x 2f′(1−x 3)，则F′(1)=3f′(0)−3f′(0)=0． 故填0．28．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +=__________．【答案】2-【解析】1()f x a x=-'，(1)1f a '=-， 即函数()ln f x x ax =-在点(1,)P b 处的切线的斜率是1a -，因为直线320x y +-=的斜率是13-， 所以1(1)13a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2a =-.由点(1,)P b 在函数()ln 2f x x x =+的图象上，得(1)2f b ==， 则22(2)22a b +=⨯-+=-.29．若曲线()24ln f x x x =-在点()1,1-处的切线与曲线23y x x m =-+相切，则m 的值是_________.【答案】134【解析】因为()24ln f x x x =-，所以()42f x x x='-，所以()12f '=， 所以曲线()f x 在点()1,1-处的切线方程为()121y x +=-，即23y x =-，联立2233y x y x x m=-⎧⎨=-+⎩，得2530x x m -++=，因为直线与曲线相切，所以()25430m ∆=-+=，解得134m =. 故答案为134. 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为：()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．30．已知a,b 为正实数，直线y =x −a 与曲线y =ln (x +b )相切，则2a +3b的最小值为__________.【答案】5+2√6【解析】y =ln (x +b )的导数为y′=1x+b ，由切线的方程y =x −a 可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1−b ，切点为(1−b,0)， 代入y =x −a ，得a +b =1，∵a 、b 为正实数，∴2a +3b =(a +b )(2a +3b)=2+3+2b a+3a b≥5+2√2b a ⋅3a b=5+2√6，当且仅当a =√63b ，即a =√6−2,b =3−√6时，取得最小值5+2√6.故答案为5+2√6.31．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.32．（2019年高考全国Ⅱ卷）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π， 即2210x y +-π+=． 故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．33．（2018新课标I 理）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =. 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.34．（2016山东理）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e x D ．y =x 3【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,xy x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意， 故选A ．35．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 36．（2019年高考天津）曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-=【解析】∵1sin 2y x '=--， ∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．（2）如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．37．（2018年高考天津）已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得f ′(x)=e x ×lnx +e x ×1x =e x (lnx +1x )，则f ′(1)=e 1×(ln1+11)=e . 即f′(1)的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.38．（2018新课标Ⅲ理）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-【解析】令()()1e xf x ax =+，则()e e (1)xxa ax f x +'=+，因为()012f a =+=-'，所以3a =-. 故答案为3-.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.先求导，再利用导数的几何意义计算即可.39．（2018新课标Ⅲ理）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x 【解析】∵y ′=2x+1，∴在点(0,0)处切线的斜率为k =20+1=2， 则所求的切线方程为y =2x .【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 40．（2017新课标全国I ）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-， 所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-， 即1y x =+．【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．41．（2017年高考天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________． 【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-， 切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =， 故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．42．（2019年高考江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.。
狂刷10 导数的概念与运算 (解析版)
专题三 导数及其应用狂刷10 导数的概念与运算1．设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '【答案】A 【解析】00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A ．2．函数()()cos =sin +1f x x x 的导数是 A ．cos2+sin x x B ．cos2sin x x - C ．cos2cos x x + D ．cos2cos x x -【答案】B【解析】由()()cos =sin +1f x x x 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin f x x x x x x x '=-++⋅=--sin cos2sin x x x =-.故选B.3．某物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，则该物体在3秒末的瞬时速度为 A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒【答案】C【解析】t s 21+-='，物体在秒末的瞬时速度是(米/秒)，故选C ． 4．设函数()()sin cos ,f x x x f x =-的导函数记为()f x '，若()()002f x f x ='，则0tan x = A ．−1B ．1335321|3=⨯+-='=t sC ．1D ．3【答案】D【解析】根据题意，得()cos sin f x x x '=+，由()()002f x f x ='，得0000cos sin 2sin 2cos x x x x +=-， 化简可得00sin 3cos x x =，即0tan 3x =，故选D.【名师点睛】该题涉及的知识点有正、余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果.首先根据题中所给的函数解析式，借助于求导公式，求得()cos sin f x x x '=+，结合题中的条件()()002f x f x ='，得到00sin 3cos x x =，利用同角三角函数关系式中的商关系，求得0tan 3x =，即得结果. 5．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设()()2121f f a -=-，则下列不等式正确的是A ．()()12f f a ''<<B ．()()12f a f ''<<C ．()()21f f a ''<<D ．()()12a f f ''<<【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大， ∵()()2121f f -=-a ，∴()()12f a f ''<<， 故选B ．6．曲线2()e (1)x f x x x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是 A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D【解析】∵()2()e2xf x xx '=+- ，∴f ′（0）＝﹣2，又f （0）＝﹣1，∴曲线2()e (1)xf x x x =--在点（0，f （0））处的切线方程是y +1＝﹣2（x ﹣0）， 即210x y ++=. 故选D.【名师点睛】本题考查了求导的基本运算，导数的意义及切线方程的求法，属于基础题.根据曲线上点的导数值为在该点处切线方程的斜率，再由点坐标即可得到切线方程. 7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2xf ′(2)+x 3，则f ′(2)等于 A ．−8 B ．−12 C ．8 D ．12【答案】B【解析】3()2(2)f x xf x '=+Q ，2()2(2)3f x f x ''=+∴．令2=x ，则(2)2(2)12f f ''=+，得(2)12f '=-．故选B ．8．已知曲线ln y x =-的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为 A ．e B ．e - C ．1e D ．1e-【答案】D【解析】设切点为()00,x y ，则由1y x'=-得01k x =-，又切线过原点，∴000ln 1x x x -=-，解得0e x =，∴1ek =-．故选D ． 【名师点睛】本题考查导数的几何意义，曲线()y f x =在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别：曲线()y f x =在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 处的切线，则可设切点为()()11,x f x ，由切点得切线方程，再由切线过点()00,x y ，代入求得1x ，从而得切线方程．9．已知曲线y =x 2上一点P 处的切线与直线2x −y +1=0平行，则点P 的坐标为 A ．(−1,1) B ．(1,1) C ．(2,4)D ．(3,9)【答案】B【解析】设切点P 的坐标为(x,y)，由题意得y′=2x ，∵切线与直线2x −y +1=0平行，∴切线的斜率k =2=2x ，解得x =1， 把x =1代入y =x 2，得y =1，故P(1,1). 故选B ． 10．曲线12ex y =在点()24,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．2eB ．24eC ．22eD ．29e 2【答案】A【解析】因为12e x y =，所以114222,111e e e 222x y k ⨯=∴=='，则切线方程为221e e (4),2y x -=-即221e e 02x y --=， 因此与坐标轴的交点为2(0,e ),(2,0)-，围成的三角形的面积为221e 2e .2⨯⨯= 选A ．11．若曲线e x y =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =A ．1-B ．1C ．2D ．e【答案】C【解析】函数e xy =的导数为e xy '=，则曲线e xy =在x ＝0处的切线斜率为0e 1k ==， 则曲线e x y =在x ＝0处的切线方程为1y x -=， 函数ln y x b =+的导数为1y x'=， 设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选C ．12．设函数()f x 可导，若0(1)(1)lim13x f x f x∆→+∆-=∆，则(1)f '=__________．【答案】3【解析】因为0(1)(1)lim 13x f x f x∆→+∆-=∆，所以0(1)(1)l 13im1x f x f x ∆→+∆-=∆，即1(1)13f '=， 故(1)3f '=.13．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_____________．【答案】3【解析】因为23ln 4x y x =-，所以32x y x '=-，由题意知，3122x x -=，解得3x =（负值舍去），所以切点的横坐标为3． 14．已知函数()0()(2018ln ),2019f x x x f x '=+=，则0x =______________.【答案】1【解析】()(2018ln ),f x x x =+Q()2018ln 12019ln f x x x '∴=++=+，又()02019f x '=， ∴02019ln 2019x +=， 解得01x =．15．若曲线2ln y ax x =-在(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =_______________．【答案】12【解析】由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax −1x及导数的几何意义得y ′|x =1＝2a −1＝0，解得a ＝12．故填12． 16．设函数()2e 1xf x ax=+，其中0a >.若对于任意(),0x f x '∈≥R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(]01，【解析】由题可知，()()()222e 21=1x ax ax f x ax -+'+，令()2=21g x ax ax -+，则()g x 与()f x '符号相同，Q 对于任意(),0x f x '∈≥R ，∴对于任意x ∈R ，()0g x ≥恒成立，又Q 0a >，根据二次函数的图象与性质，得2=(2)40a a ∆--≤，解得01a <≤,∴实数a 的取值范围是(]0,1.故答案为(]0,1.【名师点睛】本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题.由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论： （1）不等式20ax bx c ≥＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≥⎩或00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）不等式20ax bx c ≤＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≤⎩或00a <⎧⎨∆≤⎩. 17．已知函数2()e ,()cos πx f x a x g x x bx =+=+，直线l 与曲线()y f x =切于点(0,)(0)f ，且与曲线()y g x =切于点(1,)(1)g ，则a b +=_______________．【答案】2-【解析】()e 2xf x a x '=+，()πsin πg x x b '=-+，(0)f a =，(1)cos π1g b b =+=-，(0)f a '=，(1)g b '=，由题意可得(0)(1)f g ''=，即a =b ， 又1(0)10b af a --'==-，所以a =b =-1，所以2a b +=-．18．下列函数求导运算正确的个数为①(e e )=e e x x x x--'++；②21(log )ln 2x x '=； ③(e )e x x'=；④1()ln x x'=； ⑤(e )e 1xxx '⋅=+． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由求导公式及求导法则可知：①应为：(e e )=e e xxxx--'+-，④应为：21(ln )()ln x x x-'=-，⑤应为：()e e e x x x x x '⋅=+⋅，正确的为②③，故选B ．19．已知函数()e xf x x a =+，则“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题得切线的斜率为2，所以1()1e 2,e 1,0e x xxf x a a a '=+=∴=∴=>，因为{a |a >−1}{}|0a a ⊃>,所以“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的必要不充分条件.故答案为B.【名师点睛】本题主要考查充要条件的判断和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”求a 的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.20．设函数()()323sin f x x a x x ax =+++．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A ．y x =-B ．2y x =-C ．4y x =-D ．3y x =-【答案】D【解析】∵函数()()323sin f x x a x x ax =+++为奇函数，∴()()f x f x -=-，即()()()()()()3323sin 23sin x a x x a x x a x x ax ⋅-++⋅-⋅-+⋅-=--+-.∴30a +=，即3a =-.∴()323f x x x =-，则()263f x x ='-.∴曲线()y f x =在点()0,0处的切线的斜率为()03f '=-. ∵()00f =，∴曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为3y x =-. 故选D.【名师点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，先利用函数的奇偶性求出a ，再求出函数的导数，进而求出切线的斜率，然后即可求解切线方程，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ，即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点，设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x ='-=-求解.21．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为ππ42，⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P横坐标的取值范围为 A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[]10-， C ．[]01，D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】设点P 的横坐标为0x ，Q 223y x x =++，2+2y x '∴=，则002+2x x y x =='，利用导数的几何意义得02+2tan x α=（α为点P 处切线的倾斜角），又Q ππ42，α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴02+21x ≥，解得：012x ≥-， 则点P 横坐标的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选D. 22．已知函数2()sin e 1xf x x =++，其导函数记为()f x '，则(2018)(2018)(2018)(2018)f f f f ''+-+--的值为 A ．2 B ．1 C ．0 D ．−2【答案】A【解析】因为2()sin e 1x f x x =++，所以22e ()cos (e 1)x x f x x '=-++()()f x f x +-= 22sin sin()2e 1e 1xx x x -+++-=++，222e 2e ()()cos cos()0(e 1)(e 1)x x xx f x f x x x --''--=-++--=++所以(2018)(2018)(2018)(2018)2f f f f ''+-+--=． 故选A ．23．设点P 是曲线()2ln f x x x =-上的任意一点，则P 到直线20x y ++=的距离的最小值为A 2B ．2C ．2D ．3222【答案】C【解析】点P 是曲线()2ln f x x x =-上的任意一点，则当点P 是曲线的切线中与直线20x y ++=平行的直线上的切点时，距离最小， 由20x y ++=得斜率是-1，则1121y x=-'=-，解得：x =1， 所以可得P 点坐标为（1，1），则点P 到直线20x y ++=221122211++=+.故选C ．24．已知1a ≥，曲线31()f x ax ax=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为k ，则实数k 的最小值为 A 3 B ．3C ．2 D ．4【答案】D【解析】221()3f x ax ax +'=，则曲线31()f x ax ax=-在点(1,)(1)f 处的切线的斜率(1)k f ='=13a a +，又1a ≥，所以13314k a a=+≥+=，故实数k 的最小值为4.故选D ．25．各项均为正数的等比数列{}n a 满足2664a a =,3432a a =,若函数()231012310f x a x a x a x a x=++++L 的导函数为()f x ',则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭A ．10B ．()201213- C ．9122-D ．55【答案】D【解析】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ＞0，∵a 2a 6=64，a 3a 4=32，∴2634a a a a =q =2， ∴a 2a 6=261a q =21a ×26=64，a 1＞0，解得a 1=1．∴a n =2n −1．∵函数()231012310f x a x a x a x a x =++++L ，∴导函数为f ′（x ）=a 1+2a 2x +3a 3x 2+···+10a 10x 9，∵11()2n n a -=1，∴f ′（12）=1+2+ (10)()101102⨯+=55． 故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的求和公式、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．若函数y =f(x)的图象上存在不同两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相平行，则称y =f(x)具有“同质点”.关于函数：①y =sinx ；②y =e x ；③y =lnx ；④y =x 3.以上四个函数中具有“同质点”的函数是 A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④【答案】A【解析】设函数y =f(x)的图象上存在不同两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由题意y =f(x)具有“同质点”，则f ′(x 1)=f ′(x 2)(x 1≠x 2)，∵y =sinx,y ′=cosx ，cos0=cosπ，∴具有“同质点”， ∵y =e x ,y ′=e x ，不存在e x 1=e x 2，∴不具有“同质点”， ∵y =lnx,y ′=1x ，不存在1x 1=1x 2，∴不具有“同质点”，∵y =x 3,y ′=3x 2, 3×(−1)2=3×(1)2，∴具有“同质点”. 故选A ．27．已知F(x)在R 上可导，且F(x)=f(x 3−1)+f(1−x 3)，则F ′(1)=__________．【答案】0【解析】由题知F′(x)=3x 2f′(x 3−1)−3x 2f′(1−x 3)，则F′(1)=3f′(0)−3f′(0)=0． 故填0．28．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +=__________．【答案】2- 【解析】1()f x a x=-'，(1)1f a '=-， 即函数()ln f x x ax =-在点(1,)P b 处的切线的斜率是1a -， 因为直线320x y +-=的斜率是13-， 所以1(1)13a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2a =-.由点(1,)P b 在函数()ln 2f x x x =+的图象上，得(1)2f b ==， 则22(2)22a b +=⨯-+=-.29．若曲线()24ln f x x x =-在点()1,1-处的切线与曲线23y x x m =-+相切，则m 的值是_________.【答案】134【解析】因为()24ln f x x x =-，所以()42f x x x='-，所以()12f '=， 所以曲线()f x 在点()1,1-处的切线方程为()121y x +=-，即23y x =-，联立2233y x y x x m=-⎧⎨=-+⎩，得2530x x m -++=， 因为直线与曲线相切，所以()25430m ∆=-+=，解得134m =. 故答案为134. 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为：()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．30．已知a,b 为正实数，直线y =x −a 与曲线y =ln (x +b )相切，则2a +3b的最小值为__________.【答案】5+2√6【解析】y =ln (x +b )的导数为y′=1x+b ，由切线的方程y =x −a 可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1−b ，切点为(1−b,0)， 代入y =x −a ，得a +b =1，∵a 、b 为正实数，∴2a +3b =(a +b )(2a +3b)=2+3+2b a+3a b≥5+2√2b a⋅3a b=5+2√6，当且仅当a =√63b ，即a =√6−2,b =3−√6时，取得最小值5+2√6. 故答案为5+2√6.31．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.32．（2019年高考全国Ⅱ卷）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【解析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π， 即2210x y +-π+=． 故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．33．（2018新课标I 理）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =. 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.34．（2016山东理）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e x D ．y =x 3【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,xy x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意， 故选A ．35．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 36．（2019年高考天津）曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-=【解析】∵1sin 2y x '=--， ∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．（2）如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．37．（2018年高考天津）已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得f ′(x)=e x ×lnx +e x ×1x =e x (lnx +1x )， 则f ′(1)=e 1×(ln1+11)=e . 即f′(1)的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.38．（2018新课标Ⅲ理）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-【解析】令()()1e xf x ax =+，则()e e (1)x xa ax f x +'=+，因为()012f a =+=-'，所以3a =-. 故答案为3-.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.先求导，再利用导数的几何意义计算即可.39．（2018新课标Ⅲ理）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x 【解析】∵y ′=2x+1， ∴在点(0,0)处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.40．（2017新课标全国I ）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-， 所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-， 即1y x =+．【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．41．（2017年高考天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________． 【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ， 因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-， 切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--， 令0x =可得1y =， 故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．42．（2019年高考江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于004(,)x x x +， 由20411x -=-得02x =02x =-， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点2,32)P 到直线0x y +=22232411+=+.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.。
狂刷11 导数的应用-小题狂刷高考数学(文)人教版(原卷版)
专题三 导数及其应用狂刷11 导数的应用1．函数()212ln 2f x x x x =--的单调增区间是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()2,+∞ C ．(),2-∞D ．(),1-∞-2．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是（ ） A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-3．若函数32()6f x x ax x =--+在()01，上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<4．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f xf x <<D ．()()()22f xf x f x <<5．函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如下图，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则当0x <时（ ） A ．()0f x '>，()0g x '> B ．()0f x '>，()0g x '< C ．()0f x '<，()0g x '>D ．()0f x '<，()0g x '<7．已知函数32()3()f ax x x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(3,)-+∞B ．(3,0)(0,)-+∞C ．(,0)(0,3)-∞D ．[3,)-+∞8．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()311-，B ．()311，C ．[]311，D ．[]27，9．已知函数()f x 的定义域为,(1)2f -=R ，若对任意,()2x f x '∈>R ，则()24x f x >+的解集为 A ．(1,1)-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(,)-∞+∞10．设函数()()ex f x F x =是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则 A ．f (2)>e 2f (0)，f (2018)>e 2018f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2018)>e 2018f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2018)<e 2018f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2018)<e 2018f (0)11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C．e ,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．e,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦12．若函数()3f x x ax=-在2x=处取得极小值，则实数a=_________．13．已知函数()326(0)f x ax ax b a=-+>，使()f x在[]1,2-上取得最大值3，最小值−29，则b的值为_______．14．从长为16cm、宽为10cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_______3cm.15．抛物线22y x=-与x轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为_______．16．若ln()xf xx=，0ea b<<<，则有（）A．()()f a f b>B．()()f a f b=C．()()f a f b<D．()()1f a f b>17．直线ay=分别与曲线2,ln2-=-=xyxxy交于点QP,，则||PQ的最小值为（）A．2 B．2C．1 D．618．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x之间的关系为()3400,039090090090,390xx xR xx⎧-+≤≤⎪=⎨⎪>⎩,则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（）A．150 B．200C．250 D．30019．已知实数0a >x 的方程()1f x a =-有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）ABCD 20．若函数()2e xf x x a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24,e+∞（） B ．240e（，） C ．204e （，）D ．0+∞（，）21．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且2x ≠时，()2x -()()20f x xf x '⎡⎤+<⎣⎦，若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率为4-，则()2f 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1022．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则（ ） A ．1122a -<< B ．1122a -≤≤C ．12a <-或12a >D ．12a ≤-或12a ≥23．已知函数l (n )f x x x x =+，当1x >时，不等式()()1()k x f x k -<∈Z 恒成立，则k 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．524．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若()20f =，则不等式()0xf x >的解集为_________.25．若关于x 的方程x 3−3x ＋m =0在[0，2]上有实根，则实数m 的取值范围是___________．26．若对任意的3[,]44x ππ∈，sin cos 10x x ax --+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____________．27．（2018新课标Ⅲ文）函数422y x x =-++的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．28．（2014新课标全国Ⅱ文）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞29．（2016四川文）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．4D ．230．（2017浙江）函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是31．（2014新课标全国Ⅰ文）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-32．（2015新课标全国Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞33．（2016新课标全国Ⅰ文）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是A ．[1,1]-B ．1[1,]3- C ．11[,]33-D ．1[1,]3--34．（2015年高考全国Ⅰ）设函数()f x =e (21)xx ax a --+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x <0，则a 的取值范围是（ ）A ．[−32e ，1) B ．[−32e ，34) C ．[32e ，34)D ．[32e，1)35．（2018江苏）若函数()()3221f x x ax a =-+∈R 在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．。
狂刷10 导数的概念与运算-小题狂刷高考数学(文)人教版(原卷版)
专题三 导数及其应用狂刷10 导数的概念与运算1．设函数()()sin cos ,f x x x f x =-的导函数记为()f x '，若()()002f x f x ='，则0tan x = A ．−1 B ．13C ．1D ．32．某物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，则该物体在3秒末的瞬时速度为 A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒D ．8米/秒3．曲线()2e xf x x =-在点()()0,0f 处的切线方程是 A ．210x y --= B ．10x y -+= C ．0x y -=D ．10x y --=4．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足3()2'(2)f x xf x =+，则'(2)f 等于 A ．−8 B ．−12 C ．8D ．125．已知曲线ln y x =-的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（ ） A ．e B ．e - C ．1eD ．1e-6．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(−2，−8)B ．(−1，−1)C ．(−2，− 8)或(2，8)D ．(−1，−1)或(1，1)7．函数e x y =的图象在1x =-处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．12e B ．1e C ．2eD ．4e8．已知函数2()sin e 1xf x x =++，其导函数记为()f x '，则(2018)(2018)(2018)(2018)f f f f ''+-+--的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．−29．已知()e xf x =（e 为自然对数的底数），()ln 2g x x =+，直线l 是()()f x g x 与的公切线，则直线l 的方程为（ ） A ．11ey x y x ==-或 B ．e 1y x y x =-=--或 C ．e 1y x y x ==+或D ．11ey x y x ==-+或 10．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为________．11．若函数()()2e 1xf x x f x '=⋅+⋅，则()1f '=_______．12．若曲线2ln y ax x =-在(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =_________．13．设函数()2e 1xf x ax=+，其中0a >.若对于任意(),0x f x '∈≥R ，则实数a 的取值范围是_______.14．下列函数求导运算正确的个数为①(e e )=e e x x x x--'++；②21(log )ln 2x x '=； ③(e )e x x'=；④1()ln x x'=； ⑤(e )e 1xxx '⋅=+． A ．1B ．2C ．3D ．415．已知函数()e xf x x a =+，则“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．设函数()()323sin f x x a x x ax =+++．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =- C ．4y x =-D ．3y x =-17．已知1a ≥，曲线31()f x ax ax=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为k ，则实数k 的最小值为 （ ）A B ．C ．2D ．418．各项均为正数的等比数列{}n a 满足2664a a =,3432a a =,若函数()231012310f x a x a x a x a x =++++的导函数为()f x ',则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．10B ．()201213- C ．9122-D ．5519．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()(())f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在π(0,)2上不是．．凸函数的是（ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()e x f x x -=- C ．3()21f x x x =-+-D ．()ln 2f x x x =-20．已知函数()()0af x x b x =++≠在点()()1,1f 处的切线方程为25y x =+，则a b -=______.21的值为 ．学科-网22．若曲线()24ln f x x x =-在点()1,1-处的切线与曲线23y x x m =-+相切，则m 的值是_________.23．设函数()()()()f x x a x b x c =---，其中a 、b 、c 是两两不等的常数，则()()()a b cf a f b f c ++=''' ．24．（2018新课标I 文）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =25．（2016山东文）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．y =sin xB ．y =ln xC ．y =e xD ．y =x 326．（2016四川文）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是（ ） A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，+∞)D ．(1，+∞)27．（2016天津文）已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为________．28．（2015陕西文）函数e x y x =在其极值点处的切线方程为_______．29．（2015新课标全国Ⅰ文）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则a =_________．30．（2016新课标全国Ⅲ文）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是________．31．（2017新课标全国I 文）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为________． 32．（2016新课标全国Ⅱ文）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =____．33．（2018天津文科）已知函数()ln xf x e x =，'()f x 为()f x 的导函数，则'(1)f 的值为__________． 34．（2018新课标全国Ⅱ文科）曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．。
高中数学人教版选修1-1(文科) 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题,3.1.2导数的概念
高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.1.1 变化率问题,3.1.2导数的概念（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设函数，则（）A . 为的极大值点B . 为的极小值点C . 为的极大值点D . 为的极小值点2. （2分） (2019高二下·厦门期末) 一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x﹣10234f（x）12020当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .6. （2分），其中（）A . 恒取正值或恒取负值B . 有时可以取0C . 恒取正值D . 可以取正值和负值，但不能取07. （2分）设函数f（x）在x=x0处可导，则（）A . 与x0 ， h都有关B . 仅与x0有关而与h无关C . 仅与h有关而与x0无关D . 与x0、h均无关8. （2分）下面说法正确的是（）A . 若不存在，则曲线在点处没有切线B . 若曲线在点处有切线，则必存在C . 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D . 若曲线在点处没有切线，则有可能存在二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）(2018·凯里模拟) 设函数的图象与轴相交于点，则在点处的切线方程为________．10. （1分）过点的函数图象的切线斜率为________.11. （1分） y= 的导数为________．三、解答题 (共3题；共20分)12. （10分）在曲线上取一点及附近一点，求：（1）；（2）．13. （5分）某质点A从时刻t=0开始沿某方向运动的位移为：S（t）=（1）比较质点A在时刻t=3与t=5的瞬时速度大小；（2）若另一个质点B也从时刻t=0开始沿与A相同的方向从同一个地点匀速运动，运动速度为，质点B 何时领先于质点A最远？并且求此最远距离．14. （5分）(2018高二上·定远期中) 已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行．（Ⅰ）求的值及函数的解析式；（Ⅱ）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共20分)12-1、12-2、13-1、14-1、。
数学选修11导数测试题含答案(K12教育文档)
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数学选修1-1导数测试题【选择题】1．已知定义在R上的函数f(x），其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A．f（b）>f(c）〉f（d) B．f（b)〉f（a)>f(e)C．f(c）〉f(b)〉f(a) D．f(c）〉f（e)>f（d）2．函数f（x)的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f ′x〉2,则f（x）〉2x＋4的解集为( ）A．（－1，1）B．（－1，＋∞） C．(－∞，－1) D．（－∞，＋∞）3．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则（)A．x＝错误!为f(x）的极大值点 B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点4．函数f（x）＝错误!＋x2－3x－4在［0，2]上的最小值是（）A．－错误! B．－错误! C．－4 D．－错误!5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（)A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或16．设函数f(x）＝ax2＋bx＋c（a，b,c∈R)．若x＝－1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（)7．已知f(x）＝x3－ax在［1，＋∞）上是单调增函数,则a的最大值是( ）A．0 B．1 C．2 D．38．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN｜的最小值为( ）A。