2005四川省初中数学联赛初赛试题(初二组)

合集下载

2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案

2005年全国初中数学联赛初赛试卷一、选择题（每小题7分，共42分）1．若a ，b 为实数，则下列命题中正确的是（）A ．a > b ⇒ a 2>b 2B ． a ≠b ⇒ a 2≠b 2C ．∣a ∣> b ⇒a 2>b 2D ． a > ∣b ∣⇒ a 2>b 22．已知 a+ b+ c= 3， 2223,a b c ++= 则200520052005ab c ++的值是（） A ．0 B ．3 C ．20052 D ．200532∙3．有一种足球是由若干个黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形（如图）．如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）A ．16块B ．18 块C ．20块D ．22块4．在Rt ΔABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是（）A ．4B ．-1C ． 4或 -1D ．-4 或 15．在直角指标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y= x- 3与y = kx + k 的交点为整数时，k 的值可以取（）A ． 2个B ．4个C ． 6个D ．8个6．如图，直线x = 1 是二次函数 2y ax bx c =++的图象的对称轴，则有（）A ．a+b+c >0B ．b >a+cC ．c >2bD ．abc <0二、填空题（每小题7分，共28分）1．已知x 为非零实数，且1212x x a -+=，则 21x x+= ． 2．已知a 为实数，且使关于x 的二次方程220x a x a ++=有实根，该方程的根x 所能取到的最大值是．3．P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，APC ∠的平分线交AC 于Q ，则PQC ∠= ．对于一个自然数n ，如果能找到自然数a 和b ，使n = a +b + ab ，则称n 为一个“好”数，例如 3= 1+1+1⨯1，则3是一个“好”数，在 1~~20 这20个自然数中，“好”数有个．三、（本题20分）设A 、B 是抛物线2242y x x =+-上的点，原点位于线段AB 的中点处，试求A ，B 两点的坐标．四、（本题25分）如图，AB 是⊙O 的直径，AB= d ，过A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC = AB ．连结OC 交⊙O 于D ， BD 的延长线交AC 于E ，求AE 的长．五、（本题25分）设,,x a b c y a c b z b c a =+-=+-=+-，其中a ，b ，c 是待定的质数，如果2x y =，2=，试求积abc 的所有可能的值．2005年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案及详解1、D2、B 3 、 C 4、A 5、C 6、C思路：1、2、()()()222111a b c -+-+-=()222230a b c a b c ++-+++=∴ a= b= c =1 于是2005200520053a b c ++=∴ 选B3、设白皮有x 块，因为正六边形白皮中有3边是正五边形黑皮的边，所以，31215x =⨯ ，x =20 选C4、设方程的根为12,x x ，依题意()222121212252x x x x x x =+=+-=()()22181m m ---即 2340m m --=解得 m=4或- 1但12,x x > 0 ，2m - 1> 0 所以 m>0 故m= 4 选A5、由题意可知，x – 3=k （x +1），所以K=34111x x x -=-++ 但k 为整数，于是x+1=±1，±2，±4，k 可取6个值，选C6、当x=1时，y =a+b+c<0 ；当x =-1时，y =a-b+c>0排除A 、B 。

八年级数学竞赛试题及参考答案

八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小值是（）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为．以下三、四、五题要求写出解题过程．三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数．四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。

四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案

2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________．三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子．五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。

2011-2013年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题及答案

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（）。

（A ）2倍（B ）4倍（C ） 6倍（D ） 8倍答：选B 。

2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。

在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。

则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bnam ++ 答：选D 。

3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（）．（A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。

4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。

若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。

因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。

由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。

5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（）。

（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设x S ADO =∆。

由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。

2018年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷

2018年四川初中数学联赛（初二组）初赛试卷（3月23日下午2：30─4：30或3月24日上午9：00─11：00）一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1．若a，b为实数，满足1111a ba b+-=-+，则（1+a+b）（1-a-b）的值是（）．（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22．函数y=2x与函数y=18x的图象相交于A、B两点（其中A在第一象限），过A作AC•垂直于x轴，垂足为C，则△ABC的面积等于（）．（A）6 （B）9 （C）12 （D）183．在等腰Rt△ABC中，CA=CB=3，E是BC上一点，满足BE=2，P是斜边AB上的一动点，•则PC+PE长度之和的最小值是（）．（A（B（C）（D4．令a=0.123456789101112…998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2007位数字是（）（A）0 （B）4 （C）5 （D）65．设n为某一正整数，代入代数式n5-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）（A）7770 （B）7775 （C）7776 （D）77796．在凸四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=120°，AB=3，AD=（）（A（B）3 （C）（D）二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1．设p是正奇数，则p2除以8的余数等于_________．2．设a，b是整数，当时，代数式x2+ax+b的值为0，则a+b的值为________．3．在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M•作ME•⊥CB于E，则线段DE的最小值为________．4．已知等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有_______个．三、（本大题满分20分）1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A），B（-1，C（c，2-c）．求a-b+c的值．四、（本大题满分25分）已知x，y，z都为非负实数，满足x+y-z=1，x+2y+3z=4，记w=3x+2y+z．求w的最大值与最小值．五、（本大题满分25分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，满足EF=BE+DF ，AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ．（1）求证：∠EAF=45°；（2）求证：M N 2=BM 2+DN 2．N M F E D C B A。

2005年全国初中数学联赛试卷(初赛)

2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30一、选择题:（每小题7分，共计42分）1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）（A）a＞b⇒a2＞b2; (B)a≠b⇒a2≠b2; (C)|a|＞b⇒a2＞b2; (D)a＞|b|⇒a2＞b22、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）（A）0 (B) 3 (C) 22005(D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22方程x2－(2m－4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（）（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个6、如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0二、填空题:（每小题7分，共计28分）1、已知：x为非零实数，且1122x x-+= a,则2x1x+=_____________。

2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。

2005年全国初中数学联赛初赛试卷(附答案)

2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：301、若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是（）（A ）a ＞b ⇒a 2＞b 2 (B)a ≠b ⇒a 2≠b 2 (C)|a|＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞|b|⇒a2＞b 22、已知：a+b+c=3,a 2+b 2+c 2=3,则a 2005+b 2005+c 2005的值是（）（A ） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 224、在Rt △ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC 、AC 之长是一元二次方程x 2－(2m －1)x+4(m －1)=0的两根，则m 的值是（）（A ）4 （B ）－1 （C ）4或－1 （D ）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x －3与y=kx+k 的交点为整数时，k 的值可以取（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的对称轴，则有（）（A ）a+b+c=0 （B ）b ＞a+c （C ）c ＞2b （D ）abc ＜0 二、填空题（每小题7分，共计28分）1、已知：x 为非零实数，且1122x x -+ = a , 则 2x 1x+=_____________。

2、已知a 为实数，且使关于x 的二次方程x 2+a 2x+a = 0有实根，则该方程的根x 所能取到的最大值是_______________________.3、p 是⊙o 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙o 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于Q ，则则∠PQC = _________.4、对于一个自然数n ，如果能找到自然数a 和b ，使n=a+b+ab ,则称n 为一个“好数”，例如： 3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。

2005四川省初中数学联赛决赛试题(初二组)

2005四川省初中数学联赛决赛试题（初二组）（考试时间150分钟满分140分）班级姓名一、选择题（每小题7分，共42分）1．已知一次函数b ax y +=的图象过（0，1）点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a 的值为（）（A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）不确定 2．如图，等边三角形ABC 内有一点P ，过点P 向三边作垂线，垂足分别为Q 、R 、S ，且PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积等于（）（A ）3190 （B ）3192 （C ）3194 （D ）3196 3．多项式b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除，则ba等于（）（A ）－2 （B ）21-（C ）21 （D ）24．有1000个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间数都等于它前后两个数的和，如果这1000个数的前面两个数都是1，那么这1000个数的和等于（）（A ）1000 （B ）1 （C ）－1 （D ）05．a 、b 是实数，如果已知032424=--a a ，且0324=-+b b ，那么4444a b a +的值是（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）96．三边长是三个连续正整数，且周长不超过60的锐角三角形共有（）（A ）15个（B ）16个（C ）18个（D ）20个二、填空题（每小题7分，共28分）1．计算=+++++1)12()12)(12)(12(3242 ．2．设直线1)1(=++y k kx （k 为正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为k S （k =1,2,3…R SQP B A2005），那么，=++++2005321S S S S ．3．如图，△FBE 、△FDC 、△FCB 的面积分别是5、8、10，那么四边形AEFD 的面积S ＝．（3题图）（4题图）4．如图，分别以△ABC 的边AC 和BC 为一边，向三角形外作正方形ACDE 和CBFG ，点P 是EF 中点，PH ⊥AB ，垂足是H ，如果AB ＝310，那么PH ＝．三、（满分20分）已知不等于零的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111．求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数． F S8105E D C BAP HGFEDCBA四、（满分25分）在一环形道路上顺时针排列有1A ，2A ，3A ，4A 四所学校，它们分别有彩电15台、8台、5台、12台．为使各所学校的彩电数目相同，允许这几所学校相互调配，但只能向相邻的学校调出彩电（或调入彩电）．问怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？试求出所有可能使调出总台数最少的方案，并求出调出的彩电总台数．五、（满分25分）有一矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝ka．现将纸片折叠，使顶点A和顶点C重合，如果15a，试求k的值．折叠后纸片不重合部分的面积为2。

全国初级中学数学联赛(初二组)初赛试卷

2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2013年3月8日下午4：00—6：00）班级：: 姓名：成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、()︒---+1|3|4π地值是（）A 、4B 、5C 、8D 、92、若()()222-+=+-bx x a x x ，则=+b a （） A 、1-B 、0 C 、1 D 、23、如图，已知在ABC ∆中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，且AB OM //，AC ON //，若6=CB ，则OMN ∆地周长是（）A 、3B 、6C 、9D 、12 4、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++≥+23131221x x x x 地解是（） A 、16≤-x B 、16 x - C 、16 x ≤-D 、16≤≤-x5、非负整数x ，y 满足1622=-y x ，则y 地全部可取值之和是（） A 、9B 、5C 、4D 、36、如图，已知正方形ABCD 地边长为4，M 点为CD 边上地中点，若M 点是A 点关于线段EF 地对称点，则EDAE等于（）A 、35B 、53 C 、2 D 、21二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知0|3|22=++-+-y x x ，则_________22=+y x .MNO ACBFE M GDA CB2、已知31=+xx ，则_____________132=++x x x.3、设⎩⎨⎧=++=++36542332z y x z y x ，则___________23=+-z y x .4、如图，在ABC ∆中，BC AC =，且︒=∠90ACB ，点D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交BD 地延长线于点E ，且BD AE 21=，则_________=∠ABD . 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中12-=a .四、(本大题满分25分)如图，已知直角梯形OABC地A点在x轴上，C点在y轴上，6PQ//=OBOA，AB=OC，10=交AC于D点，且︒ODQ，求D点地坐标.∠90=五、（本大题满分25分）如图，已知四边形ABCD 中，DC AB =，E 、F 分别为AD 与BC 地中点，连结EF 与BA 地延长线相交于N ，与CD 地延长线相交于M .求证：CMF BNF ∠=∠FN EMACBD2013年全国初中数学联赛（初二组）初赛试卷及其解析（考试时间：2013年3月8日下午4:00—6:00）103(1)π---地值是（）A 、4B 、5C 、8D 、9解析：此题利用算术平方根、绝对值、非零数地零次幂地意义，即可解答.答案为A 2、若2(2)()2x x a x bx -+=+-，则a b +=（） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2解析：利用多项式相等，原等式化为22(2)22x a x a x bx +--=+-，∴22a -=-，2a b -= 求得1,1a b ==-，故0a b +=，答案为B3、如图已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且O M ∥AB ，ON ∥AC ，若CB=6，则△OMN 地周长是（）A 、3 B 、6 C 、9 D 、12解析：利用角平分线性质、平行线性质，可证得BM=OM,CN=ON ，由图易得△OMN 地周长就等于BC 地长，故答案为B.4、不等式组11212332x x x x ⎧+≥+⎪⎨⎪<+⎩地解是（） A 、61x -<≤ B 、61x -<<C 、61x -≤<D 、61x -≤≤ 解析：解不等式组地问题，答案为C5、非负整数,x y 满足2216x y -=，则y 地全部可取值之和是（） A 、9 B 、5 C 、4 D 、3解析：由2216x y -=，,x y 为非负整数，可知()()16x y x y +-=，且x y >，而16可分解为整数相乘地有1×16、2×8、4×4，于是便有1684124x y x y x y x y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩或或，可求得符合条件地只有543,0x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，答案为D6、如图，已知正方形ABCD 地边长为4，M 点为CD 边上地中点，若M 点是A 点关于线段EF 地对称点，则AEED =( )A 、53 B 、35 C 、2 D 、12解析：连结EM ，可知由题EF 垂直平分AM ，所以AE=EM ，AE+ED=4，所以EM=4-ED ，，易知DM=2，在R t △EDM 中，由勾股定理有222ED DM EM +=,所以2222(4)ED ED +=-，解之，32ED =，故AE=52，∴552332AE ED ==，答案为A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 130y +=，则22x y +=解析：由根式有意义，可得2x =，再由非负数和为0可求3y =-，∴22x y +=1323=，则231x x x ++=解析：由已知可知0x ≠3=两边平方，可得17x x +=，∴211113173103x x x x x===+++++ 3、设23234536x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则32x y z -+=解析：将2323(1)4536(2)x y z x y z ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩中（1）×2—（2），就得32x y z -+=104、如图，在△ABC 中，AC=BC ，且∠ACB=90°，点D 是AC 上一点，AE ⊥BD,交BD 地延长线于点E,且12AE BD =，则∠ABD=解析：延长AE 、BC 交于点F,∵∠ACB=∠AEB=90°,∠ADE=∠BDC ， ∴∠FAC=∠DBC ，在△AFC和△BDC 中，F A CD B C C B 90A C B CD F C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△AF C ≌△BDC ，∴ BD=AF ，又∵12AE BD =∴12AE AF = ∴ E 是AF 地中点， ∵AE ⊥BD∴ BE 是AF 地垂直平分线， ∴ BE 平分∠ABC ，即∠ABD=1ABC 2∠ ∵ AC=BC ，且∠ACB=90°∴∠ABC=45° ∴∠ABD=1ABC 2∠=22.5° 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中1a =. 解：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++ 22222212()(2)(2)442(2)442(2)41(2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+=-⨯++---++=⨯+--+=⨯+-=+当1a =原式1== 四、（本大题满分25分）如图，已知直角梯形OABC 地A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=OB=10，P Q ∥AB 交AC 于D 点，且∠ODQ=90°，求D 点地坐标.解：连结OB ，延长OD 交AB 于点E∵A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=10 ∴ C （0,6） A （10，0）设AC 直线地解析式为16y kx =+ ∴1060k +=35k =-1365y x =-+ ∵ OB=10 B C ∥OA 令(,6)B b (0)b > 由两点距离公式，10= ∴8b =∴(8,6)B∵ P Q ∥AB,∠ODQ=90°∴OE AB ⊥又 ∵ OA=OB ∴ E 是AB 地中点，由中点坐标公式得 (9,3)E 设OE 直线地解析式为2y mx = 故93m =13m =213y x =由图可知，点D 为函数1y 、2y 地交点，D 地坐标是方程组36513y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩地解，解之457157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D 点坐标为4515(,)77五、（本大题满分25分）如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，E 、F 分别为AD 与BC 地中点，连接EF 与BA 地延长线相交于N ，与CD 地延长线相交于M ，求证：∠BNF=∠CMF此题解答方法较多，就初二而言，提供以下几种解答方案.方法（一）如五题图（1）连结AC ，取AC 地中点G ，再连结GE ，GF ，由中位线定理， ∴ G E ∥CD ，且12GE CD =， G F ∥AB ，且12GF AB =∴∠BNF=∠MFG ，∠FEG=∠CMF又∵ AB=CD ∴ GE=GF ∴∠MFG=∠FEG ∴∠BNF=∠CMF方法（二）如五题图（2）作D G ∥AB,且DG=AB ，连结BG 、CG ，取CG 地中点H ，再连结DH 、FH 由D G ∥AB,且DG=AB∴ ABGD 为平行四边形,令NF 与DG 交于点K 可得∠BNF=∠MKD∵ F 、H 分别为BC 、CG 地中点∴ F H ∥BG ，且12FH BG =∵ A D ∥BG,且BG=AD,12ED AD =∴ E D ∥FH,且ED=FH ∴ EFHD 是平行四边形∴∠CMF=∠CDH ∠MKD=∠KDH 再DG =AB =CD,H 是GC 地中点∴∠KDH=∠CDH∴∠CMF=∠MKD∵∠BNF=∠MKD∴∠CMF=∠BNF方法（三）如五题图（3）连结CE并延长CE至G，使CE=GE,再连结GB，GA显然可证△CD E≌GAE,故有CD=GA，∠CDE=∠GAE∴G A∥DC∵AB=CD∴GA=AB∴∠ABG=∠AGB∵CE=GE，BF=CF∴E F∥BG, 又G A∥DC∴∠AGB=∠CMF (如果两个角地两条边分别平行，那么这两个角相等或互补)∠ABG=∠BNF∴∠BNF=∠CMF方法（四）如五题图（4）连结DF并延长DF 至G，使GF=DF，连结AG、BG∵F是BC地中点∴BGCD是平行四边形即有B G∥CD，BG=CD又E是AD地中点，GF=DF∴A G∥EF∴∠BNF=∠BAG∵A G∥EF，B G∥CD∴∠CMF=∠BGA (如果两个角地两条边分别平行，那么这两个角相等或互补)再∵AB=CD=BG∴∠BAG= ∠BGA∴∠BNF=∠CMF方法（五）如五题图(5)作E G∥AB，且EG=AB，EH∥DC，且EH=DC，连结BG，CH，GH 则四边形ABGE和EHCD都是平行四边形∴∠GEF=∠BNF ∠HEF=∠CMFBG=AE,CH=DE BG∥AE CH∥DE又∵AE=DE∴B G∥CH，BG=CHBHCG是平行四边形，即BC、GH互相平分又∵F是BC地中点G五题图（4）五题图（5）∴F 是GH 地中点 ∵ EG=AB=DC=EH ∴∠GEF=∠HEF然而∠GEF=∠BNF ∠HEF=∠CMF ∴∠BNF=∠CMF方法(六) 如五题图(6)连结AC 、BD ，分别取AC 、BD 地中点H 、G ，再连结EG ，EH ，FG ，FH ，由三角形中位线定理易证12EG AB ∥， 12F H A B ∥12EH CD ∥， 12G F C D ∥ ∴EG FH ∥GF EH ∥EGFH 是平行四边形∵ AB=CD ∴ EG=EH∴ 平行四边形EGFH 是菱形 ∴∠GEF=∠HEF又 ∵EG ∥AB EH ∥CD∴∠GEF=∠BNF ∠HEF=∠CMF ∴∠BNF=∠CMF方法（七）如五题图（7）分别过点D ，C 作DG ∥AB 交EF 于点G ，CK ∥AB 交EF 延长线和K 因此有∠BNF=∠NGD ，∵ E 是AD 地中点，DG ∥AB ，所以易证△AEN ≌△DEG ∴ AN=DG ，同理可证： BN=CK 由 DG ∥AB CK ∥AB ∴DG ∥CKMD DG MC CK=即 MD AN MC BN = 也就是有MC BNMD AN = ∴MD CD BA AN MD AN++=∴CD BAMD AN = 又 ∵AB=CD AN=DG∴ MD=DG ∴∠DMG=∠NGD∴∠BNF=∠DMG 即∠BNF=∠CMF 方法（八）如五题图（8）分别过点A 、B 作 A G ∥EF ，BK ∥EF,交CM 地延长线于点G 、K ∴A G ∥EF ∥BK∴∠BNF=∠KBA ∠CMF=∠K ∵ E 、F 、为AD 、BC 地中点 ∴ M 为GD 、CK 地中点∴MG=MD MC=MK∴MC-MD=MK-MG∴即DC=KG∵又AB=CD A G∥BK∴四边形ABKG为等腰梯形∴∠KBA=∠K∴∠BNF=∠CMF本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.kavU4。

四川省八年级数学联赛初赛试题

一．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠，所以B A D A AD ''==，故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数．解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。

2005年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

2005年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A、78.5B、97.5C、90D、102－，b，3、设r≥4，a＝11，则下列各式一定成立的是＿＿。

cA、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A、B、C D5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|A、p>qB、p＝qC、p<qD、p、q大小关系不能确定6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005x+x+x+x+x的未位数字是＿＿。

－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则2222212345A、1B、3C、5D、7二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2、，则x＝＿＿＿。

3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)1、a 、b 、c 为实数，ac ＜0，证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有大于34而小于1的根。

2、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，交CA 的延长线于P ，过E 作BC 的垂线，交CD 于G ，交BA 的延长线于Q ，证明：BC 、DE 、FG 、PQ 四条直线相交于一点。

2005年四川省中考试数学试卷

2005年四川省中考试数学试卷A 卷（共100分）第I 卷（选择题共60分）一. 选择题（每小题4分，共60分） 1.21-的倒数是（）A. –2B.21- C.21 D. 22. 下列计算中，正确的是（）A. a a a -=-323B. 222)(b a ab -=-C. 132--=⋅a a aD. 23)2(2a a a -=-÷- 3. 把多项式22b a bc ac -+-分解因式的结果是（） A. ))((c b a b a ++- B. ))((c b a b a -+- C. ))((c b a b a --+ D. ))((c b a b a +-+ 4. 下列说法中，正确的是（）A. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等B. 两锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D. 面积相等的两个三角形全等 5. 在ABC ∆中，已知∠C=90°，BC=4，32sin=A ，那么AC 边的长是（） A. 6B.52 C.53 D.26. 函数1--=x x y中的自变量x 的取值范围是（）A. 0≥xB. 10≠<x x 且C. x<0D. 10≠≥x x 且 7. 下列说法中，错误的是（）A. 菱形的四条边都相等B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形C. 四个角都相等的四边形是矩形D. 等腰梯形的对角线相等8. 已知关于x 的方程0)12(22=+--k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是（）A. –2B. –1C. 0D. 19. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，BC=6cm ，且4:1:=∆∆ABC ADE S S ，那么DE 的长为（）A. cm 62B. 4cmC. 3cmD.cm2210. 图中图像反映的过程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家。

2005年全国初中数学竞赛四川赛区初赛

b
图5
2
又 c> b- a= b+
6. C.
2
> 2 b ,故选 (C) .
- b = 2 a - 4 a - 2.
解得 a = 1 , b = 4 或 a = - 1 , b = - 4.
y= x- 3,
k +3 4 由解得 x = = - 1+ . 1- k 1- k y = kx + k ,
3
2 . 2
已知 a 为实数 ,当 a ≠ 0 时 ,关于 a 的一元二次 Δ = 1 - 4 x3 ≥ 方程 a2 x + a + x2 = 0 有实根 . 于是 , 0. © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
4 x - 2 上的点 , 原点位于线段 AB 的中点处 .
试求 A 、 B 两点的坐标 . ( 25 分 ) 如图四、 3 , AB 是 ⊙O 的直径 , AB = d , 过点 A 作 ⊙O 的切线并在其上取一点 C ,使 AC = AB , 联结 OC 交 ⊙O 于点 D , BD 的延长线交 AC 于 E . 求 A E 的长 .
2 2 2
则有序数对 ( m , n ) ( m 、 n 均为正整数 ) 在该 ). 数列中的位置是 (
(A) 第 2 m + n - 1 位 (B) 第 2 m + n - 2 位 ( C) 第 (D) 第 ( m + n - 1) ( m + n) + m位 2 ( m + n - 2) ( m + n - 1) + m位 2

2021年四川省初中数学联赛初赛初二

x 1 - a 1 + b24 中等数学2007 年四川省初中数学联赛初赛(初二)一、选择题(每小题7 分,共42 分)1.若a 、b 为实数,满足1 + a=1 - b,则于.2.设a 、b 是整数,当x = 3 - 1 时,代数式x2 + ax + b 的值为0. 则 a + b 的值为(1 + a + b) (1 - a - b) 的值是( ) .(A) - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.函数y = 2 x 与y = 18的图像相交于A 、B 两点(其中, A 在第一象限) ,过A 作AC 垂直于x 轴, 垂足为C. 则△ABC 的面积等于( ) .(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 183.在等腰Rt △ABC 中, CA = CB = 3 , E 是BC 上一点,满足 B E = 2 , P 是斜边AB 上的一个动点. 则PC + PE 长度之和的最小值是( ) .(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 134. 令 a = 01123456789101112 998999 , 其中的数字是由依次写下正整数1 至999 得到的. 则小数点右边第2 007 位数字是( ).(A) 0 (B) 4 (C) 5 (D) 65.设n 为某一正整数,代入代数式n5 - n 计算其值时,四个学生算出了下列四个结果, 其中仅有一个是正确的. 则这个正确的结果是( ) .(A) 7 770 (B) 7 775 (C) 7 776 (D) 7 7796.在凸四边形ABCD 中, ∠B = ∠D = 90°, ∠C = 120°, AB = 3 , BC = 3 . 则AD = ( ) .(A) 3 (B) 3 (C) 2 3 (D) 3 3二、填空题(每小题7 分, 共28 分)1. 设p 是正奇数. 则p2 除以8 的余数等3.在Rt △ABC 中, CB = 3 , CA = 4 , M 为斜边AB 上一动点,过M 作MD ⊥AC 于点D , 过M 作M E ⊥CB 于点E. 则线段DE 的最小值为.4.已知等腰△ABC 的三边长 a 、b 、c 均为整数,且满足 a + bc + b + ca = 24. 则这样的三角形共有个.三、(20 分) 已知一次函数y =ax + b 的图像经过点 A ( 3 , 3 + 2 ), B ( - 1 , 3 ) ,C ( c ,2 - c) . 求 a - b + c 的值.四、(25 分) 已知x 、y 、z 都为非负实数, 满足x + y - z = 1 , x + 2 y + 3 z = 4 ,记w = 3 x + 2 y + z . 求w 的最大值与最小值.五、( 25 分) 如图1 ,在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边BC 、CD 上的点, 满足EF = B E +DF , A E 、A F 分别与对角线BD 交于点M 、N . 求证: 图1(1) ∠E A F= 45°;(2) MN2 = BM2 + DN2 .参考答案一、1. C.由题设条件知 1 + a + b + ab = 1 - a - b + ab.所以, a + b = 0.于是, (1 + a + b) (1 - a - b) = 1..有最小值 24 45 5 52007 年第 12 期 252. D.联立方程组y = 2 x , y =18. x形 ,则 DE = CM . 显然 ,当CM ⊥AB 时 , CM 最短. 此, CM = 12 .5解得 A (3 ,6) , B ( - 3 , - 6) , 故 C (3 ,0) .4. 3.所以 , S 3. D.△ABC =12×6 ×[ 3 - ( - 3) ] = 18. 因为 a + bc + b + ca图 4= ( a + b ) ( c + 1) = 24 = 12 ×2 = 8 ×3 = 6 ×4 , 且△ABC 为等腰三角形 ,所以 ,底边的长只能是 c .如图 2 , 过点 E 作关于AB 的对称点 E 1 , 联结 CE 1 、 PE 1 . 则PC + PE于是 ,满足条件的三角形有 3 个:c = 1 , a = b = 6 ; c = 2 , a = b = 4 ; c = 3 , a = b = 3.三、由3 + 2 = 3 a + b ,]a = 3 - 1 , = PC + PE 1 ≥CE 13 = - a + bb = 2 3 - 1.= 4. C.= 13.图 2于是 ,2 - c = ac + b = ( 3 - 1) c + (2 3 - 1) . 解得 c = 3 - 2.故 a - b + c = - 2. 1～9 共 9 个数字 ;10～99 共 2 ×90 = 180 个数字; 100～999 共 3 ×900 = 2 700个数字.四、联立x + y = 1 + z ,解得x + 2 y = 4 - 3 z .x = 5 z - 2 ,y = 3 - 4z . 由于 2 007 - 9 - 180 = 1 818 ,而1 818= 606 ,即第x = 5 z - 2 ≥0 , 2 33 2 007 位数字为第 606 个三位数 705 的第 3 个数字 5.由] y = 3 - 4 z ≥05 ≤z ≤4 . 5. A.因为 I = n 5 - n = ( n - 1) n ( n + 1) ( n 2 + 1) , 显然 , I 是 2 的倍数 ,排除选项(B ) 、(D ) . 当 n = 5 k ,5 k + 1 ,5 k - 1 时 , I 是 5 的倍数;当 n = 5 k - 2 ,5 k + 2 时 , n 2 + 1 是 5 的倍数. 从而 , I 是 5 的倍数. 因此 ,无论 n为任何正整数 , I 都是 5 的倍数 ,排除选项(C ) .6. B.如图 3 ,延长 BC 、AD 交于点E . 因为 ∠BCD = 120°,所以 ,∠ECD = 60°] ∠E = 30° ] EA = 2AB = 6 则 w = 3 x + 2 y + z = 3(5z - 2) + 2(3 - 4z ) + z = 8z . 故当 z = 2 时 ,w 16 ,此时 , x = 0 , y = 7 . 当 z =3 时 , w 有最大值 6 ,此时 , x = 7, y = 0. 五、(1) 如图 5 ,延长 CD 至点 E 1 ,使得 B E = DE 1 . 则△AB E ≌△ADE 1 ] ∠BA E = ∠DA E 1 ] A E = A E 1] ∠E A E 1 = 90°.在 △AEF 和△AE 1 F 中 ,] B E == 3 3.图 3图 5EF = B E + DF = E 1 D + DF = E 1 F .BC = 3 ] CE = 2 3 ]ED = 3 CE = 3.2故 AD = 3. 则 △A EF ≌△A E 1 F] ∠EA F = ∠E 1 A F = 1∠E A E 1 = 45°.二、1. 1.因为 p 是正奇数 ,设 p = 2 k - 1 ( k ∈N + ) ,所以 ,p 2= (2 k - 1) 2= 4 k 2- 4 k + 1 = 4 ( k - 1) k + 1.因( k - 1) k 为偶数 ,所以 , p 2 除以 8 余 1.2. 0.(2) 在 A E 1 上取一点 M 1 ,使得 AM = AM 1 ,联结 M 1 D 、M 1 N . 则△ABM ≌△ADM 1 , △ANM ≌△ANM 1 ] ∠ABM = ∠ADM 1 , BM = DM 1 , MN = M 1 N ] ∠NDM 1 = 90°] M 1 N 2 = M 1 D 2 + ND 2 3. 12 . 5如图 4 ,联结 CM . 由条件知四边形 CDME 为矩] MN 2 = BM 2 + DN 2 .(许清华提供)BC 2 + E 1 B 2 62 - 32时又。