我的好题

我的好题集

南雄中学 李平安

1、求证：*

222111711(1,)35(21)62(21)

n n N n n +

++⋅⋅⋅+>->∈-+。 2、求证：()222*1241335(21)(21)2

n n n

n N n n <

++⋅⋅⋅+<∈⨯⨯-+。 3、求证:(

)*

111111111,)3521n n N n ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫+++

⋅⋅⋅+>>∈ ⎪⎪ ⎪-⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

4、求证：(

)*

11111111)4732n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++

+⋅⋅⋅+>∈ ⎪⎪ ⎪-⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

5、已知函数()x

f x e x =-（其中e 为自然对数的底）。 （1） 求函数()f x 的最小值；

（2） 若*n N ∈，证明：1211n n n n

n n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 6、数列{}n a 满足1111

,22n n

a a a +=

=

-。（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明2ln 2n n S n +⎛⎫

<-

⎪⎝⎭

。

7、数列{}n a 中，已知21122

2

1,(3),n n n a a a a n a --+===

≥求数列{}n a 的通项公式n a 。 解：若数列{}n a 不存在零项，且212

n n n ua v a a +++=，则21

n n n ua a a +++是常数。

因为从212

n n n

ua v a a +++=得到22

21312n n n n n n a a ua a a ua v +++++-=-=，

即

231

12

n n n n n n ua a ua a a a +++++++=

。 8、正项数列{}n a 中，2*1()n

n n a a a n N +<-∈。求证：1

,2,3,4,2

n a n n ≤

=⋅⋅⋅+。

9、在数列n a 中，已知111,n n a a a +=>，且()2

2

11112n n n n n n a a a a a a +++++=++，求n a 。

10、已知2112,2,n n a

a a a +=+=>求n a 。

11、已知12a =点()1,n n a a +在函数()2

2f x x x =+的图像上，其中1,2,3,n =⋅⋅⋅。 （1）证明：数列(){lg 1}n a +是等比数列；

（2）设()()()12111n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求n T 及数列{}n a 的通项； （3）记112

n n n b a a =

+

+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并证明1

131n n S T +=-。 12、在数列n a 中，1*

112,(2)2()n n n n a a a n N λλλ++==++-∈，其中0λ>。

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）证明存在*k N ∈，使得

11

n k n k

a a a a ++≤

对任意*n N ∈均成立。 13、已知等差数列{}n a 的各项是大于0的自然数，且最大项为26，各项之和为70， （1）求n ；(2)求数列{}n a 。

解：70257=⨯⨯，最大的项是26，项数70

326

=

≥，57n =或，讨论当57n =或时是否满足各项是自然数的条件7n =时不满足，所以5n =

（2）2，8，14，20，26

关键是如何分析条件，将条件中的关键字找出，并了解出题人的意图。 14、已知11112221n n n a ++=

---，数列{}n a 的前n 项和为n

S ，求证1

3

n S <。 15、已知1n d n =+，当*

,3n N n ∈≥且时，

求证：1210121341

n n n n n n n

n n C C C C C d d d d n --+++⋅⋅⋅++>-+。 证明：11

11k k

n n C C k n -+=+

16、已知函数3

()(1).1

x f x x x +=

≠-+设数列{n a }满足111,()n n a a f a +==，数列{}n b

满足*12|().n n n n b a S b b b n N ==+++∈

（Ⅰ）用数学归纳法证明1

1)2

n

n n b -≤；

（Ⅱ）证明3

n S <

证明：当2

0,()1 1.1

x f x x ≥=+

≥+时 因为a 1=1， 所以1(*).n a n N ≥∈

下面用数学归纳法证明不等式1

1).2n

n n b -≤

（1）当n=1时，b 1

1，不等式成立，

（2）假设当n=k

时，不等式成立，即1

1).2

k

k k b -≤ 那么

111)||1k k k k

a b a a ++==+

1

11).22k k k

b +≤≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

n b ≤

所以

121)n n S b b b =+++≤+++

11)n

-=

1)2

<=

故对任意,n n N S *

∈<

17、对于任意*n N ∈数列{}n a 的前n 项和()12

n n n a a S +=成立，求证数列{}n a 是等差数

列。

18、设数列{}n a 满足：2

11n n n a a na +=-+，1,2,3,n =

（I ）当12a =时，求234,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当13a ≥时，证明对所的1n ≥，有