第6讲：正弦与余弦(1)
第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
正弦和余弦
正弦和余弦导读：本文正弦和余弦，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
教学建议1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.2．重点、难点分析（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.应当注意：单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.4．我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应正确地写出如下的三角函数关系式：很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.根据定义，有另一方面，可以想像，当时，边与AC重合（即），所以当时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有把以上结果可以集中列出下面的表：116．教法建议：（1）联系实际，提出问题通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律：，再进一步对含的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，应当即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.(3)加强数形结合思想的教学“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．第一课时一、教学目标1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
第4章第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理基础知识整合1．正弦定理a sin A ＝01b sin B ＝02csin C ＝2R ， 其中2R 为△ABC 外接圆的直径．变式：a ＝032R sin A ，b ＝042R sin B ，c ＝052R sin C . a ∶b ∶c ＝06sin A ∶07sin B ∶08sin C . 2．余弦定理a 2＝09b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝10a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝11a 2＋b 2－2ab cos C .变式：cos A ＝12b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝13a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝14a 2＋b 2－c 22ab . sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式 解的个数 A 为锐角a <b sin A15无解a ＝b sin A16一解b sin A <a <b 17两解a ≥b18一解 A 为钝角a >b19一解或直角a ≤b 20无解4．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝2112ac sin B ＝2212ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析 由正弦定理，得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°.故选D.2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝2，A＝60°，则c＝()A.12B．1C. 3 D．2答案 B解析∵a＝3，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得3＝4＋c2－2×2×c×12，整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.故选B.3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为3 2，则BC的长为()A.32B． 3C．2 3 D．2 答案 B解析因为S＝12AB·AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos60°＝3.所以BC＝ 3.4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－1 4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.6．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 答案 2解析 因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.核心考向突破考向一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30 C.29 D ．2 5答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.选A.(2)(2019·沧州七校联考)已知在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A ．2 5B ． 5C ．25或 5D ．均不正确 答案 C解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．[即时训练] 1.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理，得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.答案1225 7210解析 如图， 易知sin ∠C ＝45， cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC， ∴BD ＝BC ·sin ∠C sin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a 2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，∴C＝π3，又由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则该三角形的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴(a2＋b2)(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin A cos B＋cos A sin B)，∴a2cos A sin B＝b2sin A cos B，∴sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝π2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．[即时训练] 3.(2019·陕西安康模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC 为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案 A解析根据正弦定理得cb ＝sin Csin B<cos A，即sin C<sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin B cos A，整理得sin A cos B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴π2<B<π.∴△ABC为钝角三角形．精准设计考向，多角度探究突破考向三正、余弦定理的综合应用角度1三角形面积问题例3(1)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝223，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为()A．6 B．4C．2 D．2或3答案 D解析因为S△ABC＝22＝12bc sin A，sin A＝223，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以bc＝6，cos A＝13，又因为a＝3，由余弦定理，得9＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－4，所以b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.(2)(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a ＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．答案6 3解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.又b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，∴a＝43，∴S△ABC＝12ac sin B＝12×43×23×32＝6 3.(3)(2020·合肥八中模拟)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a，b ，c ，则其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________.答案 35解析 已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ， 所以a ＝6，c ＝2b ，所以p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2， △ABC 的面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2－2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9b 24－9⎝ ⎛⎭⎪⎫9－b 24 ＝3－116(b 2－20)2＋16.故当b 2＝20时，S 有最大值， 所以b ＝25，c ＝45， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45， 所以sin A ＝35.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时训练] 5.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案233解析根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，所以sin A＝12，结合余弦定理可得2bc cos A＝8，所以A为锐角，所以cos A＝32，所以bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc sin A＝12×833×12＝233.6．(2020·福建三明质量检查)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3(a cos B＋b cos A)，b＋c＝8.(1)求b，c；(2)若BC边上的中线AD＝72，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得sin B＝3(sin A cos B＋sin B cos A)，所以sin B＝3sin(A＋B)，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin B＝3sin C，所以b＝3c，又b＋c＝8，所以b＝6，c＝2.(2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，又因为b＝6，c＝2，BD＝DC＝a2，AD＝72，所以a2＝31，所以cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝38，又因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝558. 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝3554. 角度2 三角形中的范围问题例4 (1)(2019·江西赣州模拟)在锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba 的取值范围是( )A ．(2，6)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，6)答案 C解析 ∵B ＝2A ，∴b a ＝sin Bsin A ＝2cos A . 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝3A >π2，B ＝2A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32，∴2<ba < 3.故选C.(2)(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca 的取值范围是________．答案 π3 (2，＋∞)解析 依题意有12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，则tan B ＝3， ∵0<∠B <π，∴∠B ＝π3.c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝12＋3cos A 2sin A ＝12＋32·1tan A ， ∵∠C 为钝角，∴2π3－∠A >π2，又∠A >0，∴0<∠A <π6，则0<tan A <33， ∴1tan A >3，故c a >12＋32×3＝2. ∴ca 的取值范围为(2，＋∞)．解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[即时训练] 7.(2019·山东实验中学等四校联考)如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，将△AMN 沿线段MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为________．答案 23－3解析 设AM ＝x ，∠AMN ＝α，则BM ＝1－x ， ∠AMB ＝180°－2α，∴∠BAM ＝2α－60°， 在△ABM 中，由正弦定理可得AM sin ∠ABM ＝BM sin ∠BAM ，即x32＝1－x sin (2α－60°)，∴x ＝3232＋sin (2α－60°)，∴当2α－60°＝90°，即α＝75°时，x 取得最小值为3232＋1＝23－3，即线段AM 的最小值为23－3.8．(2019·陕西第三次教学质量检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab .(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 的取值范围． 解 (1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可知， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由正弦定理可知， a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ， ∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B ) ＝433⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2π3－A <π2，即π6<A <π2，则π3<A ＋π6<2π3，∴23<4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4，综上a ＋b 的取值范围为(23，4]． 角度3 正、余弦定理解决平面几何问题例5 (2019·南宁模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)由cos ∠ADC ＝17知sin ∠ADC ＝437， 于是sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC ·cos π3－cos ∠ADC ·sin π3 ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BAD sin (π－∠ADC )＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．[即时训练]9.(2020·河北唐山期末)如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.(1)若∠AMB＝60°，求BC的长；(2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.解(1)由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°.在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4；在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2.在△MBC中，由余弦定理，得BC2＝MB2＋MC2－2MB·MC·cos∠BMC＝12，所以BC＝2 3.(2)因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°<θ<60°.在Rt△MCD中，MC＝1，sinθ，在Rt△MAB中，MB＝2sin(60°－θ)由MB ＝4MC ，得2sin(60°－θ)＝sin θ， 所以3cos θ－sin θ＝sin θ，即2sin θ＝3cos θ， 整理可得tan θ＝32.学科素养培优（八） 利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析 依题意画出图形，如图所示． 易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴c ＋a ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练(2019·山东烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解 (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理，得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥34－14＝12，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.课时作业1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B,3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C.2．(2019·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．7C ．2 2D ．2 3答案 D解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34答案 B解析 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B.4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12 B ．32C ．1D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＜0，故C 是钝角．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．3π4答案 C解析 因为c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝ac ＋b ，即(c －b )(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.7．(2019·大连双基测试)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A.33 B ．±63 C ．－63 D ．63 答案 D解析 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D.8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B ．π3 C.π4 D ．π6 答案 C解析 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C .由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴sin C ＝cos C .∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.故选C.9．(2019·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222，若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.32 B ．3 C.12 D ．1答案 A解析 因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2， 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2， 从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，故选A. 10．(2019·南阳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝( )A.π3 B ．3π4 C.5π6 D ．2π3答案 D解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得：3a ＝5b ，所以a ＝5b3. 又b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －b ＝7b3， 不妨取b ＝3，则a ＝5，c ＝7，所以cos C＝a 2＋b2－c22ab＝52＋32－722×5×3＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C ＋c cos A，b＝2，则△ABC的面积的最大值是()A．1 B． 3C．2 D．4答案 B解析∵2b cos B＝a cos C＋c cos A，∴2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin(A＋C)＝sin B.∵0<B<π，∴cos B＝12，∴B＝π3.∵cos B＝a 2＋c2－b22ac＝12，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC ＝12ac sin B≤12×4×32＝3，故△ABC的面积的最大值为 3.12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(b cos A＋a cos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝()A. 5 B．3C.10 D．4答案 B解析由正弦定理可得2(sin B cos A＋sin A cos B)＝c sin C，∵2(sin B cos A＋sin A cos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，∴2sin C＝c sin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a＝3.故选B.13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案 1解析由题意知sin2π3＝3sin C，∴sin C＝12，又0<C<π3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3.解法二：∵在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，∴条件等式变为2b cos B＝b，∴cos B＝12.又0<B<π，∴B＝π3.15．(2019·杭州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC的面积的最大值为________．答案 3解析因为a＝2，(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，所以根据正弦定理，得(a ＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝12，因为A∈(0，π)，故A＝π3.因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC ＝12bc sin A＝34bc≤34×4＝3，所以△ABC的面积的最大值为 3.16．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.17．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24.18．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ， 得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ，所以b ＝43a . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝23a .由余弦定理可得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.19．(2019·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，3BC ＝3BD cos α＋CD sin β.(1)求角β的大小；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围． 解 (1)∵3BC ＝3BD cos α＋CD sin β， ∴3sin ∠BDC ＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3sin(α＋β)＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3(sin αcos β＋sin βcos α) ＝3sin βcos α＋sin αsin β，∴3sin αcos β＝sin αsin β，∴tan β＝3， 又β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)根据题意，得∠BAD ＝2π3，由余弦定理，得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝4＋1－2×2×1×cos 2π3＝7， 又BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos β ＝(CB ＋CD )2－3CB ·CD≥(CB ＋CD )2－3(CB ＋CD )24＝(CB ＋CD )24，∴CB ＋CD ≤27，又CB ＋CD >7，∴四边形ABCD 的周长AB ＋BC ＋CD ＋DA 的取值范围为(3＋7，3＋27]． 20．(2019·河南联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．解(1)因为c＝4，b＝2,2c cos C＝b，所以cos C＝b2c＝14.由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝ 6.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2，又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝2，所以EC＝13BC＝43，DE＝2－43＝23.又cos C＝14，所以sin C＝1－cos2C＝154.所以S△ADE＝12DE·AC·sin C＝156.。
第6讲正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容常见变形(1)(2)(3)cos A＝cos B＝cos C＝解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于()．A.π3 B.π4 C.π6 D.π12(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B ＝45°，则sin C＝______.【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°考点二判断三角形的形状【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b －c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．【训练2】(1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC的形状是 ()．A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形考点三与三角形面积有关的问题【例3】(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【训练3】(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值．答题模板6——解三角形问题【典例】(12分)(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝7 9.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．【自主体验】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3a sin C－c cos A.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.参考答案考点一【例1】解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0.∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5. 所以sin C ＝c ·sin B b ＝42×225＝45.【训练1】解析 (1)由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C ， 解得：sin C ＝22，又c ＜a ，所以C ＜60°，所以C ＝45°. (2)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.考点二【例2】解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．【训练2】解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形． (2)由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos A sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角，故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案(1)A(2)D 考点三【例3】解(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B．①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.【训练3】解(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理，得sin B sin C＝ba sin A·ca sin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.【典例】[规范解答](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3， (6分) (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，(7分)由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.(9分)因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13. (10分)因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. (12分) 【自主体验】解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·绍兴模拟)在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°解析 由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案 A2．(2014·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )．A.32 B.3 C ．2 3 D ．2解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 解析 由正弦定理b sinB ＝csin C 及已知条件得c ＝22， 又sin A ＝sin(B ＋C )＝12×22＋32×22＝2＋64. 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×2＋64＝3＋1. 答案 B4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )． A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1解析 由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝b sin 2A ，所以1sin A ＝32sin A cos A ，故cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，c ＝a 2＋b 2＝12＋(3)2＝2. 答案 B5．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解析 由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 A 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 π67．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π38．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)． 答案154三、解答题9．(2014·宜山质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值． 解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ， 又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ， 即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.10．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin 2A ， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A ＝5.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )． A.13 B.45 C ．1 D ．3解析 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1.答案 C2．(2013·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能解析 由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即c 3＜ca 2＋cb 2，所以c 2＜a 2＋b 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形．答案 A二、填空题3．(2013·浙江卷)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC＝________.解析 如图，令∠BAM ＝β，∠BAC ＝α，故|CM |＝|AM |sin(α－β)，∵M 为BC 的中点，∴|BM |＝|AM |sin(α－β)．在△AMB 中，由正弦定理知，|AM |sin B ＝|BM |sin β，即|AM |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝|AM |·sin (α－β)sin β， ∵sin β＝13，∴cos β＝223，∴13＝cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫223sin α－13cos α ＝223sin αcos α－13cos 2α，整理得1＝22sin αcos α－cos 2α，所以22tan α－1tan 2 α＋1＝1， 解得tan α＝2，故sin α＝63.答案 63三、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B .(1)求cos B ； (2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， 故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13.(2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|·cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.① 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎨⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎨⎧ a ＝6，c ＝2. 学生用书第65页。
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
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考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
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考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
2020高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理课件
( C)
A．π3
B．23π
C．π3或23π
D．π6
(3)(2018·河南南阳期中)在△ABC 中，a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解
的情况是
( B)
A．一解
B．两解
C．一解或两解
D．无解
[解析] (1)△ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4，所以 A＝π6，B＝π6，C＝23π，a∶
b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝12∶12∶ 23＝1∶1∶ 3.
△ABC为
(A)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
[解析] 依题意得sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋
cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，
△ABC是钝角三角形．
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数) 的关系转化为边的关系．
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”． (4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理．
考点2 利用正、余弦定理判定三角形的形状——师生共研
例 3 (1)(2018·北京东城期中)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为
边；
角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和 (2)已知两边一角，求
其他两角
第三边和其他两个角
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a<bsinA 无解
第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B ＝csin C ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝b ＋c sin B ＋sin C ＝sin sin c aC A++＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：⑴．a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ； ⑵．a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；⑶．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ＝abc 4R ＝12r (a ＋b ＋c )(R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r ．221(||||)()2OAB S OA OB OA OB ∆=⋅−⋅一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ．判断一解、两解的依据为“大边对大角”．两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：⑴．已知两角及任一边，求其它边或角；⑵．已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况⑵中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：⑴．已知两边及夹角求第三边和其他两角；⑵．已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：⑴．化边为角；⑵．化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC 中，A ＝π3，B ＝5π12，a ＝10，则c ＝__________．【解】由A ＋B ＋C ＝π知，C ＝π4，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得，c ＝1036．2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B ＝__________．【解】由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B sin B B ，故sin B ＝cos B ，即tan B ＝1，又0＜B ＜π，则B ＝π4．3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝__________．【解】由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，故A ＝π3．4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为__________．【解】因cos C ＝13，又0＜C ＜π，故sin C ＝223，故S △ABC ＝12ab sin C ＝43．5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．【解】因a 2＋b 2＝c 2－3ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝5π6为三角形的最大内角．知识及思想方法小结1．正弦定理和余弦定理的应用条件？如：⑴．[11北京理]在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______；a ＝_____．【解】因△ABC 中，tan A ＝2，故A 是锐角，故sin A cos A ＝2，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立得，sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B，代入得，a ＝210．⑵．在ABC ∆中，已知a ＝2，cos B ＝817，tan C ＝2，求b ，c ，A ．⑶．在ABC ∆中，已知a ＝10，b ＝17，sin C ＝817，求B ，c ，A ．2．与其它知识的结合点⑴．边：代数公式；如：[12北京理]在△ABC 中，已知a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，求b ．⑵．角：如同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角的三角函数；如：[13福建理]①．如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD ＝___________．【解】因sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，故由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝18＋9－2×2×32×223＝3，故BD ＝3． ②．如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，D 在边AC 上，已知BC ＝2，CD ＝1，∠ABD ＝π4，则AD ＝ ．【解】易知，cos ∠CBD ＝255，sin ∠CBD ＝55，则cos ∠ABC ＝cos(π4＋∠CBD )＝ cos π4cos ∠CBD －sin π4sin ∠CBD ＝1010＝2/AB ，故AB ＝210，故AC ＝6，故AD ＝5．③．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积．【解】由cos B 2＝255得，cos B ＝35，sin B ＝45，则sin A ＝sin(B ＋C )＝7210，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得，c ＝107，故S △ABC ＝12ac sin B ＝87． ⑶．边与角：向量．如：若|AB →|2＋AB →·BC →＝0，则△ABC 是___________．【解一】[角化边]由已知得，c ＝a cos B ，由余弦定理得，c ＝a •a 2＋c 2－b 22ac，化简得，a 2＝b 2＋c 2，即A 为直角，故△ABC 是直角三角形．【解二】[边化角]由已知得，c ＝a cos B ，由正弦定理得，sin C ＝sin A cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，sin C ＝＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A cos B ，化简得，cos A sin B ＝0，因0＜B ＜π，则sin B ＞0，故cos A ＝0，则A ＝π2，故△ABC 是直角三角形．【解三】由已知可知，c ＝a cos B ，又由射影定理得，c ＝a cos B ＋b cos A ，故b cos A ＝0，即cos A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π2，故△ABC 是直角三角形．【解四】由|AB →|2＋AB →·BC →＝0得，AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，即AB ⊥AC ，故△ABC 是直角三角形．考点一 利用正余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4．求角A ，C 和边c ．[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．【解】由正弦定理a sin A ＝b sin B ，即3/sin A ＝2/sin π4，故sin A ＝32．因a ＞b ，故A ＝π3或A ＝2π3．当A ＝π3时，C ＝5π12，c ＝b sin C sinB ＝12(6＋2)；当A ＝2π3时，C ＝π12，c ＝b sin Csin B ＝6－22．一．正弦定理的应用条件：⑴．已知两角和任意一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． ⑵．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．二．情况⑴只有一解，而情况⑵是有可能出现两解的情况，判断一解、两解的依据为“大边对大角”．D CBA【练习1】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c．⑴．求角B 的大小；⑵．若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点]由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．【解一】⑴．由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac ．故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12．因B 为三角形的内角，故B ＝2π3． 【解二】由cos B cos C ＝－b 2a ＋c及正弦定理知，cos Bcos C ＝－sin B /(2sin A ＋sin C )，2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－sin B cos C ，故2sin A cos B ＝－sin B cos C －cos B sin C ，即2sin A cos B ＝－sin(B ＋C )，即2sin A cos B ＝－sin A ，由0＜A ＜π知，0＜sin A ＜1，故cos B ＝－12，由0＜B ＜π，故B ＝2π3．⑵．将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，故13＝16－2ac ×12，故ac ＝3．故S △ABC ＝12ac sin B ＝334．⑴．根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． ⑵．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【例2】在△ABC 中，a ＝4，b ＋c ＝5，tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，求sin A ．【解】由tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )知，tan C ＝3，又0＜C ＜π，故C ＝π3，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝16＋b 2－4b ，又由b ＋c ＝5得，c ＝5－b ，代入上式得，b ＝32，故c ＝72，由a sin A ＝csin C 得，sin A＝437． 【练习2】[11南通四星八校联考10．11]如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝π2，BD 交AC 于E ，AB ＝2．⑴．求cos ∠CBE 的值；⑵．求AE ．【解】⑴．因∠BCD ＝π2＋π3＝5π6，CB ＝AC ＝CD ，故∠CBE ＝π12．故cos ∠CBE ＝cos(π4－π6)＝6＋24． BACDE⑵．在ΔABE 中，AB ＝2，由正弦定理AE /sin π6＝2/sin 7π12．故AE ＝6－2．考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．【解】由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C 得，b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos A sin B ，即sin2B ＝sin2A ，由于A ，B 是三角形的内角．故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π．故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【练习3】在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，则△ABC 的形状为 ．【解一】由数量积的定义可知，BC →•CA →＝CA →•AB →，即ab cos(π－C )＝bc cos(π－A )，即a cos C ＝c cos A ，过点B 作BE ⊥AC 与点E ，则AE ＝EC ，故BC ＝AB ，同理，BC ＝AC ，AB ＝AC ，故△ABC 为正三角形．【解二】由数量积的定义可知，BC →•CA →＝CA →•AB →，即ab cos(π－C )＝bc cos(π－A )，即a cos C ＝c cos A ，由余弦定理得，a a 2＋b 2－c 22ab ＝c b 2＋c 2－a 22bc ，化简得，a 2－c 2＝0，故a ＝c ，同理，a ＝b ，c ＝b ，故△ABC为正三角形．【解三】由数量积的定义可知，BC →•CA →＝CA →•AB →，即ab cos(π－C )＝bc cos(π－A )，即a cos C ＝c cos A ，由正弦定理得，sin A cos C ＝sin C cos A ，化简得，sin(A －C )＝0，又－π＜A －C ＜π，故A －C ＝0，即A ＝C ，同理，A ＝B ，B ＝C ，故△ABC 为正三角形．【解四】由a •b ＝b •c 知，(a －c )•b ＝0，延长AB 至点D ，使得BD ＝AB ，连接DC ，则DC →＝a －c ，故DC ⊥AC ，即ΔACD 为直角三角形，BC 为直角ΔACD 斜边上的中线，故BC ＝AB ，即a ＝c ，同理，a ＝b ，b ＝c ，故△ABC 为正三角形．考点三 三角形中的恒等变换【例4】在△ABC 中，若tan A ＝2tan B ，a 2－b 2＝c ，则c ＝ ． 【解】由tan A ＝2tan B 知，sin A cos A ＝2sin Bcos B，即sin A cos B ＝2cos A sin B ，由正弦定理及余弦定理得，a a 2＋c 2－b 22ac ＝2b a 2＋b 2－c 22ab ，化简得，a 2－b 2＝13c 2，又a 2－b 2＝c ，故13c 2＝c ，因c 为△ABC 的边长，故c ＞0，故c ＝3．【练习4】[海安13-14上学期高三期中]12．在△ABC 中，若tan A ＝2tan B ＝3tan C ，则cos A ＝ ．【解】tan A ＋tan B ＋tan C ＝116tan A ＝tan A tan B tan C ＝16tan 3A ，故tan A ＝11，故cos A ＝36． 【例5】在ΔABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为_________．【解】由cos A ＝13cos B cos C 得，tan B tan C ＝14，又tan A ＝tan B tan C ＝14，故tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196．【练习5】[天一、海门、盐城中学11届调研11．02]在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan Ctan B＝1，则(a 2＋b 2)/c 2＝ ．【解】由tan C tan A ＋tan Ctan B ＝1知，c 2＝ab cos C ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2c 2得，a 2＋b 2＝3c 2，(a 2＋b 2)/c 2＝3．【例6】[盐城中学10高三第三次模拟10．06]16．在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cos B ＝34．⑴．若BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值；⑵．求1tan A ＋1tan C的值．【解】⑴．由BA →·BC →＝32得，ac cos B ＝32．因cos B ＝34，故b 2＝ac ＝2．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B得，a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，则(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝9，故a ＋c ＝3．⑵．由cos B ＝34得，sin B ＝74．由b 2＝ac 及正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos Asin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477． 【练习6】[常州教育学会学业水平监测11．1]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2C ＝1－8b 2a2．⑴．求1tan A ＋1tan C的值；⑵．若tan B ＝815，求tan A 及tan C 的值．【解】⑴．因cos2C ＝1－8b 2a 2，故sin 2C ＝4b 2a 2．因C 为三角形内角，故sin C ＞0，故sin C ＝2b a ．因a sin A ＝b sin B ，故sin B sin A ＝ba．故2sin B ＝sin A sin C ，因A ＋B ＋C ＝π，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ．故2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C ．因sin A sin C ≠0，故1tan A ＋1tan C ＝12；⑵．因1tan A ＋1tan C ＝12，故tan A ＝2tan C /(tan C －2)．因A ＋B ＋C ＝π，故tan B ＝－tan(A ＋C )＝－(tan A＋tan C )/(1－tan A tan C )＝tan 2C /(2tan 2C －tan C ＋2)．故815＝tan 2C /(2tan 2C －tan C ＋2)，整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0，解得，tan C ＝4，tan A ＝4．练习1．[11江苏高考预测⑴]已知a ，b ，c 为ΔABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则B ＝ ．【解】由m ⊥n 得，3cos A －sin A ＝0，故A ＝π3，由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得，sin A cos B ＋sin B cos A＝sin C •sin C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ，故C ＝π2，故B ＝π6．另：a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，即c ＝c sin C ，即sin C ＝1，下略．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos 32A ，sin 32A )，n ＝(cos 12A ，sin 12A )，且满足|m ＋n |＝3． ⑴．求角A 的大小；⑵．若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．【解】⑴．由|m ＋n |＝3得，2＋2(cos 32A cos 12A ＋sin 32A sin 12A )＝3，故cos A ＝12，又0＜A ＜π，故A＝π3； ⑵．因b ＋c ＝3a ，故sin B ＋sin C ＝3sin A ，即sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即sin(B ＋π6)＝32，又0＜B ＜2π3，故B ＋π6＝π3或2π3，则B ＝π6或π2，当B ＝π6时，C ＝π2；B ＝π2时，C ＝π6，故△ABC 为直角三角形．3．[10－11上学期南通六所省重点高中联考11．1]已知向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角．⑴．求角C 的大小；⑵．若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求AB 的长．【解】⑴．m ·n ＝sin(A ＋B ) ，又在△ABC 中， A ＋B ＝π－C ，0＜C ＜π，故sin(A ＋B )＝sin C ，故m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ，故sin2C ＝sin C ，故cos C ＝12，故C ＝π3；⑵．由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b ，由CA →·(AB →－AC →)＝18得，CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，即ab ＝36，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，故c 2＝4c 2－3×36，即c 2＝36，故c ＝6．4．设O 是△ABC 的外心，已知△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积依次成等差数列，试判断tan A tan C 是否为定值？说明理由．【解】由△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积依次成等差数列知，2sin2B ＝sin2A ＋sin2C ，故cos(A －C )＝2cos B ，即cos(A －C )＝－2cos(A ＋C )，故sin A sin C ＝3cos A cos C ，故tan A tan C ＝3，故tan A tan C为定值．5．已知钝角△ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是_______．π－26．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cos B ＝35．⑴．求cos A cos C 的值； ⑵．求tan A ＋tan C 值．【解】⑴．因a ，b ，c 成等差数列，故b 2＝ac ，故由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ，因cos B ＝35，故sin B ＝45，故sin A sin C ＝1625，又cos(A ＋C )＝－cos B ，故cos(A ＋C )＝－35，cos A cos C －sin A sin C ＝－35，故cos A cos C ＝125； ⑵．tan A ＋tan C ＝sin B /(cos A cos C )＝20．7．[苏大16考前指导卷⑵]12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2C ，c ＝2，a 2＝4b －4，则a ＝ ．【解一】在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝4b －4＝b 2＋4－4b cos2C ，即b 2－4b (1＋cos2C )＋8＝0，故b 2－8b cos 2C ＋8＝0，由正弦定理得，2(b －1)12(1sin C )＝2(1sin C )，即cos C ＝12(b －1)12，故b 2－12b (b－1)＋8＝0，解得，b ＝4，故a 2＝4b －4，故a ＝23．【解二】由A ＝2C 得，sin A ＝sin2C ，由正弦定理得，a ＝2ca cos C ＝4cos C ＝4a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－c 2＝12a 2b ，即12a 2b ＝12(4b －4)b ＝4b －4＋b 2－4，即b 2－6b ＋8＝0，故b ＝2或b ＝4，若b ＝2，则a 2＝4b －4＝4，故a ＝2与A ＝2C 矛盾，故b ＝4，则a 2＝4b －4＝12，故a ＝23．8．[11苏锡常镇高三调研⑵]15．在△ABC 中，AC ＝5，AD 为∠BAC 的平分线，点D 在BC 上，且DC ＝42，cos ∠DAC ＝35．⑴．求AD 的长； ⑵．求cos B 的值．【解】⑴．设AD ＝x ，则32＝x 2＋25－10x ·35，解得x ＝7或x ＝－1，则AD ＝7；⑵．在ΔADC 中，由cos ∠DAC ＝35得，sin ∠DAC ＝sin ∠DAB ＝45，故5/sin ∠ADC ＝42/45，则sin∠ADC ＝ 2 2，因AD ＞AC ，故∠ADC 为锐角，故∠ADC ＝π4，∠ADB ＝3π4，故cos B ＝cos(π4－∠BAD )＝7210． 9．[南京淮安13高三二模]在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C cos B ＝2a －cb．⑴．求B ；⑵．若tan(A ＋π4)＝7，求cos C 的值．【解】⑴．因cos C cos B ＝2a －c b ，由正弦定理得，cos C cos B ＝1sin B (2sin A －sin C )，故sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ．即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，因B ＋C ＝π－A ，故sin A ＝2sin A cos B ，因A ∈(0，π)，故sin A ≠0，故cos B ＝12，又B ∈(0，π)，故B ＝π3；⑵．因tan(A ＋π4)＝7，故(tan A ＋1)/(1－tan A )＝7，解得，tan A ＝34，因A ∈(0，π)，故A 为锐角，故cos A ＝45，sin A ＝35，故cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos(A ＋π3)＝－cos A cos π3＋sin A sin π3＝110(－4＋33)．10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1c ＋a ＝3a ＋b ＋c．⑴．求角A 的大小；⑵．若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值．【解】⑴．由题意，(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c ＋a )＝3，即c a ＋b ＋bc ＋a ＝1，整理得：b 2＋c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ＝π3；⑵．由正弦定理得：c b ＝sin C sin B ＝1sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )，故sin A •1tan B ＋cos A ＝32•1tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，则cos 2B ＝45，又B ∈(0，π)，故sin B ＝55，又a ＝15，sin A ＝32，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝2． 11．[江苏13高三高考压轴]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，b ＝4，cos(A －B )＝3132．⑴．求sin B 的值； ⑵．求cos C 的值．【解】⑴．在△ABC 中，因a ＞b ，故A ＞B ，又cos(A －B )＝3132＞0，故A －B 为锐角，且sin(A －B )＝3327，由正弦定理得，sin A sin B ＝a b ＝54，于是54sin B ＝sin A ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ，故tan B ＝73，故sin B ＝74； ⑵．由B ＜A 及sin B ＝74知，cos B ＝34，故cos A ＝cos[(A －B )＋B ]＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝916，故sin A ＝5716，故cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－18，故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝18．12．[盐城11-12高三摸底]如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝10/8，cos ∠ADC ＝－14．⑴．求sin ∠BAD 的值； ⑵．求AC 边的长．【解】⑴．因cos B ＝10/8，故sin B ＝386，又cos ∠ADC ＝－14，故sin∠ADC ＝154，故sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝64； ⑵．在ΔABD 中，由正弦定理得，AD /sin B ＝BD /sin ∠BAD ，即3/386＝BD /64，解得BD ＝2，故CD ＝2，从而在ΔACD 中，由余弦定理得，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD •CD cos ∠ADC ＝9＋4－2•2•3(－14)＝16，故AC ＝4． 13．[南京14高三综合题]三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin B ＝3cos B ． ⑴．若cos A ＝13，求sin C 的值；⑵．若b ＝7，sin A ＝3sin C ，求三角形ABC 的面积．【解】⑴．由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋226．⑵．[解一]因sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．[解二]由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知b sin B ＝csin C ，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．14．[南师13高三综合题]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．⑴．设向量x ＝(sin B ，sin C )，y ＝(cos B ，cos C )，z ＝(cos B ，－cos C )，若z //(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；⑵．已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，求b ．【解】⑴．由z //(x ＋y )得，(cos B sin C ＋cos B cos C )－(－cos C sin B －cos B cos C )＝cos B sin C ＋cos C sin B ＋2cos B cos C ＝0，两边同除以cos B cos C 得，tan B ＋tan C ＋2＝0，故tan B ＋tan C ＝－2； ⑵．由sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0得，a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ，故2b 2＝8b ，故b ＝4． 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 为锐角三角形，且b 2－a 2＝ac ，则1tan AA D BC第16题第11页 共11页 －1tan B的取值范围为 ． 【解一】1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝1sin A (b 2＋c 2－a 22bc )－1sin B (a 2＋c 2－b 22ac)＝(b 2＋c 2－a 2)/(2bc sin A )－(c 2＋a 2－b 2)/(2ca sin B )＝2(b 2－a 2)/(2ca sin B )＝ac /(ca sin B )＝1sin B，由b 2－a 2＝ac 知，b 2＝a 2＋ac ，又由余弦定理知，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ＝a 2＋ac ，故c －2a cos B ＝a ，由正弦定理得，sin C －2sin A cos B ＝sin A ，即sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin A ，即sin(B －A )＝sin A ，由已知得，0＜B －A ，A ＜π，故B －A ＝A ，即B ＝2A ，由三角形为锐角三角形得，π3＜B ＜π2，故1sin B ∈(1，233)，即1tan A －1tan B的取值范围为(1，233)． 【解二】自点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝x ，则BD ＝y ，由b 2－a 2＝ac 得，x 2－y 2＝ac ，又x ＋y ＝c ，故x －y ＝a ，在AD 上取点E ，使得DE ＝y ，则AE ＝a ，已知CE ＝a ，故∠AEC ＝B ＝2A ，则1tan A －1tan B ＝x /h －y /h ＝(x －y )/h ＝1sin B ，由三角形为锐角三角形得，π3＜B ＜π2，故1sin B ∈(1，233)，即1tan A －1tan B 的取值范围为(1，233)． 阅卷报告6——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件，【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．【示例】[11安徽]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝ 3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录：由1＋2cos(B ＋C )＝0知，cos A ＝12，故A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a＝22，故B ＝π4或B ＝3π4．以下解答过程略． 正解：由1＋2cos(B ＋C )＝0知，cos A ＝12，故A ＝π3．在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B ，故sin B ＝b sin A a＝22．因a ＞b ，故B ＝π4，则C ＝π－(A ＋B )＝5π12．故sin C ＝sin(A ＋B )＝6＋24．故BC 边上的高为b sin C ＝3＋12．。
高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形
第6讲 第1课时 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理一、知识梳理1．正弦定理和余弦定理(1)S △ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).3．三角形解的判断[注意] 上表中A 为锐角时，a <b sin A ，无解． A 为钝角或直角时，a ＝b ，a <b 均无解． 常用结论1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C . (2)cos(A ＋B )＝－cos C . (3)sinA ＋B 2＝cosC 2. (4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B . 二、教材衍化1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案：A2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D ．5π6解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 ． 解析：设△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，由题意及余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋16－122×4×c＝12，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝2 3.答案：2 3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根； (2)不会灵活运用正弦、余弦定理．1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝ ．解析：由题意：b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝ ．解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：4利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A .①求角B 的大小；②若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解】 (1)选 A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理， 得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.②由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos ∠ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos ∠BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2020·江西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( )A.823B.1433C.73D ．733解析：选D.因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°， 即C ＝75°.判断三角形的形状(典例迁移)(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为 ．【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰或直角三角形．【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2020·陕西西安模拟)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.在△ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以△ABC 的形状是等边三角形，故选C.核心素养系列11 数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2019·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B ＋C )的值．【解】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 解得c ＝5.所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A .所以sin(B ＋C )＝sin A ＝3314.本题第(1)问利用余弦定理得到关于b ，c 的一个方程，结合b －c ＝2可求出b ，c 的值；第(2)问利用正弦定理求出sin A 的值，由同角三角函数关系求出sin(B ＋C )的值体现核心素养中的数学运算．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b，求cos B 的值． 解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0， 从而cos B ＝255.[基础题组练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．一个B ．两个C ．0个D ．无法确定解析：选B.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，因为b >a ，所以B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sin B ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24B.24C.528 D ．34解析：选C.由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为△ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，以下四个结论中，正确的是( ) A ．若a ＞b ＞c ，则sin A ＞sin B ＞sin C B ．若A ＞B ＞C ，则sin A <sin B <sin C C ．a cos B ＋b cos A ＝c sin CD ．若a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 是锐角三角形 解析：选A.对于A ，由于a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故A 正确；对于B ，A ＞B ＞C ，由大边对大角定理可知，则a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故B 错误；对于C ，根据正弦定理可得a cos B ＋b cos A ＝2R (sin A ·cos B ＋sin B cos A )＝2R sin(B ＋A )＝2R sin (π－C )＝2R sin C ＝c ，故C 错误；对于D ，a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，由C ∈(0，π)，可得C 是钝角，故D 错误．5．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°解析：选A.法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sinC ＝12sin C ，又在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 解析：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B .答案：直角三角形或等腰三角形7．(2019·高考天津卷改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．解析：在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14.答案：－148．(2020·河南期末改编)在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sinB sinC ，则C ＝ ，BC ＝ ．解析：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BCsin A，解得BC ＝ 2.答案：5π1229．(2020·江西赣州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长． 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0， 由于B 为三角形的内角， 所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角， 所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎝⎛⎭⎫－22，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2.10．在△ABC 中，A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cosB .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16cos 2B ＝4＋16－16cos 2B ， 所以cos 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π， 所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.[综合题组练]1．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：选C.如图，过点A 作AD ⊥BC .设BC ＝a ，则BC 边上的高AD ＝13a .又因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，AB ＝23a ，DC ＝a －BD ＝23a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝53a .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝29a 2＋59a 2－a 22×23a ×53a＝－1010.2．(2020·郑州市调研测试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C c ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]解析：选 B.根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin B sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.3．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且∠ADB ＝2∠ACD ，a ＝3，求b 的值． 解：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ， 所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ， 由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c . 故△ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1， 因为∠ADB ＝2∠ACD ＝∠ACD ＋∠DAC ， 所以∠ACD ＝∠DAC ，所以AD ＝CD ＝1. 又因为cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9， 由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3. 法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，又因为∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝2∠C －∠C ＝∠C ＝∠B ， 所以△CAB ∽△CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1， 所以b ＝ 3.4．(综合型)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，⎝⎛⎭⎫53c －a cos B ＝b cos A . (1)求cos B 的值；(2)若a ＝2，cos C ＝－1717，求△ABC 外接圆的半径R . 解：(1)因为⎝⎛⎭⎫53c －a cos B ＝b cos A ， 所以结合正弦定理，得⎝⎛⎭⎫53sin C －sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以53sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ．又因为sin C ≠0，所以cos B ＝35. (2)由(1)知，sin B ＝1－cos 2B ＝45. 因为cos C ＝－1717， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝41717， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝45×⎝⎛⎭⎫－1717＋35×41717＝81785， 所以R ＝12·a sin A ＝12×281785＝5178.。
高一数学讲义 第六章 三角函数
高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理理解析版
第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。
第6讲 正弦定理和余弦定理-简单难度-讲义
正弦定理和余弦定理引入思考1：如图固定ABC 的边CB 及B ∠，使边AC 绕着顶点C 转动，C ∠的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的关系？能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？边AB 的长度随着其对角C ∠的大小的增大而增大。
sin sin AB ACC B=思考2：在Rt △ABC 中(若C=90︒)有： 222c a b =+那么在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩解读1、直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ． （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2．(勾股定理)AB C（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sinA ＝cosB ＝a c，cosA ＝sinB ＝b c，tanA ＝a b．2、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边． （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π．（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．2sin sin sin a b cR A B C===．(R 为外接圆半径) （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3、三角形的面积公式：（1）S△＝12aha ＝12bhb ＝12chc(ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高)； （2） S△＝12absinC ＝12bcsinA ＝12acsinB ；（3） S△＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；（4）S△＝2R2sinAsinBsinC ．(R 为外接圆半径) （5）S△＝4abcR； （6） S△；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)4、正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-⑥设,,a b c 是ABC ∆的角A 、B 、C 的对边（假设C 为ABC ∆最大的角） 若222a b c +=，则90C =，ABC ∆为直角三角形． 若222a b c +>，则90C <，ABC ∆为锐角三角形． 若222a b c +<，则90C >，ABC ∆为钝角三角形． ⑦若sin2sin2A B =，则A B =或2A B π+=．⑧sin sin 22a bA B R R>⇔>a b A B ⇔>⇔> 5、三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-，探究已知在ΔABC 中,A=450，a=2,求C ； 请同学们思考两个问题： 角C 有几个解？ 答：两个．当a=1时C 有几个解；当a=时C 有几个解；当a=3时C 有几个解答：当a=1时无解；当时有一个解；当a=3时有一个典例精讲一．选择题（共14小题）1．（2018•北京模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果a=10，A=45°，B=30°，那么b 等于（ ）A ．5√22B ．5√2C ．10√2D ．20√2【分析】根据正弦定理直接代入求值即可． 【解答】解：由正弦定理asinA =bsinB =csinC， 得10sin45°=b sin30°，解得：b=5√2， 故选：B ．2．（2018春•山西期末）已知△ABC 中，AB=2，AC=4，∠A=30°，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵AB=2，AC=4，∠A=30°，∴S △ABC =12AB•AC•sinA=12×2×4×12=2．故选：B ．3．（2018春•萍乡期末）在△ABC 中，已知AC=2，BC=3，cosC =34．则AB=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．√22【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵AC=2，BC=3，cosC =34．∴由余弦定理可得：AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC•BC•cosC=4+9﹣2×2×3×34=4，解得：AB=2． 故选：B ．4．（2018春•海淀区期中）在△ABC 中，已知a=3，b=4，sinB =23，则sinA=（ ）A ．34B ．16C ．12D ．1【分析】利用正弦定理，即可求得sinA 的值．【解答】解：△ABC 中，a=3，b=4，sinB =23，由正弦定理得，a sinA =bsinB ，则sinA=3×234=12．故选：C ．5．（2018•石景山区一模）在△ABC 中，A=60°，AC=4，BC =2√3，则△ABC 的面积为（ ） A ．4√3B ．4C ．2√3D ．√3【分析】根据余弦定理求解AB ，那么△ABC 的面积S=12|AB |•|AC |•sinA 可得答案．【解答】解：∵A=60°，b=AC=4，a=BC =2√3， 由余弦定理：cosA=b 2+c 2−a 22bc，即12=16+c 2−128c， 解得：c=2．那么△ABC 的面积S=12|AB |•|AC |•sinA=12×2×4×√32=2√3．故选：C ．6．（2018•惠州模拟）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺．A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【分析】由题意可得AC +AB=10（尺），BC=3（尺），运用勾股定理和解方程可得AB ，AC ，即可得到所求值．【解答】解：如图，已知AC +AB=10（尺），BC=3（尺），AB 2﹣AC 2=BC 2=9， 所以（AB +AC ）（AB ﹣AC ）=9，解得AB ﹣AC=0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：B ．7．（2018•新乡二模）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知absinC=20sinB ，a 2+c 2=41，且8cosB=1，则b=（ ）A．6B．4√2C．3√5D．7【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知absinC=20sinB，利用正弦定理：则：abc=20b，整理得：ac=20．a2+c2=41，且8cosB=1，则：cosB=18．所以：b2=a2+c2﹣2accosB，解得：b=6，故选：A．8．（2017秋•天心区校级期末）若一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为（）A．7.2cm2B．6cm2C．12cm2D．24cm2【分析】运用勾股定理求得直角边在斜边上的射影，再由射影定理可得斜边长，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：长为3cm的直角边在斜边上的射影为√32−2．42=1.8（cm），由射影定理知斜边长为321.8=5（cm），所以三角形面积为12×5×2.4=6（cm2）．故选：B．9．（2018•顺德区一模）△ABC中，tanA=√3，AC=2√3，BC=4，则AB=（）A．2√3﹣√7B．√7﹣√3C．√7+√3D．2√3+√7【分析】首先利用tanA=√3，解得A的值，进一步利用余弦定理求出结果．【解答】解：已知tanA=√3，由于：0＜A＜π，解得：A=π3，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=√3±√7（负值舍去）．故选：C．10．（2018春•西城区校级期中）△ABC中，给出以下条件，有唯一解的是（）A．a=4，b=5，A=30°B．a=5，b=4，A=60°C．a=√3，b=√2，B=120°D．a=√3，b=√6，A=60°【分析】根据题意，利用正弦定理与三角形内角和定理，对选项中的命题分析、判断即可．【解答】解：对于A，a=4，b=5，A=30°，利用正弦定理求得sinB=bsinAa =5 8，且b＞a，∴B在（0，π）有两个值，不合题意；对于B，a=5，b=4，A=60°，利用正弦定理求得sinB=bsinAa =2√35，且b＜a，∴B在（0，π）有唯一值，满足题意；对于C，a=√3，b=√2，a＞b，∴A＞B，又B=120°，∴A＞120°，这不可能，此时无解；对于D，a=√3，b=√6，A=60°，利用正弦定理求得sinB=bsinAa =√62＞1，此时B无解，不满足题意．故选：B ．11．（2018春•沙坪坝区校级期中）甲船在B 岛的正南方向A 处，AB=10千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60°的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（ ） A ．2小时B ．157小时C ．514小时 D ．57小时【分析】设经过x 小时距离最近，分别表示出甲乙距离B 岛的距离， 由余弦定理表示出两船的距离，根据二次函数求最值的方法得到答案． 【解答】解：假设经过x 小时两船相距最近，甲乙分别行至C ，D 如图示； 可知BC=10﹣4x ，BD=6X ，∠CBD=120° CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC ×BD ×cosCBD=（10﹣4x ）2+36x 2+2×（10﹣4x ）×6x ×12=28x 2﹣20x +100；当x=202×28=514小时两船距离最近．故选：C ．12．（2018秋•武平县校级月考）在△ABC 中，A=60°，c=4，2√3＜a ＜4，则这样的三角形的解有（ ）A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解【分析】求出三角形AC 边上的高BD ，观察a 与BD 的关系得出结论． 【解答】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD=csinA=4×√32=2√3． ∵2√3＜a ＜4， ∴三角形有两解． 故选：A ．13．（2018秋•醴陵市期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A ．a=8，b=16，A=30°，有两解B ．b=18，c=20，B=60°，有一解C ．a=5，c=2，A=90°，无解D ．a=30，b=25，A=150°，有一解【分析】利用正弦定理分别对A ，B ，C ，D 选项进行验证． 【解答】解：A 项中sinB=ba•sinA=1，∴B=π2，故三角形一个解，A 项说法错误．B 项中sinC=c b sinB=5√39，∵0＜C ＜π，故C 有锐角和钝角两种解． C 项中b=√25−4=√21，故有解．D 项中sinB=b a •sinA=512，∵A=150°，∴B 一定为锐角，有一个解． 故选：D ．14．（2018•青岛二模）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．50√2m B．50√3m C．25√2m D．25√2 2m【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得ABsin∠ACB =ACsin∠B，∴AB=AC⋅sin∠ACBsin∠B=50×√2212=50√2，故A，B两点的距离为50√2m，故选：A．二．填空题（共5小题）15．（2018秋•会宁县校级月考）在△ABC中，化简bcosC+ccosB=a．【分析】由余弦定理化简已知即可得解．【解答】解：由余弦定理可得：bcosC+ccosB=b•a 2+b2−c22ab+c•a2+c2−b22ac=2a22a=a．故答案为：a．16．（2018春•启东市校级期中）在△ABC中，若b2﹣√3bc=a2﹣c2，则A=π6．【分析】利用余弦定理求得cosA的值，再根据特殊角的三角函数值求出A．【解答】解：△ABC中，b2﹣√3bc=a2﹣c2，∴b 2+c 2﹣a 2=√3bc ，∴cosA=b 2+c 2−a 22bc =√3bc 2bc =√32，又A ∈（0，π），∴A=π6．故答案为：π6．17．（2017春•启东市校级期中）在△ABC 中，BC=1，B=2π3，△ABC 面积S=√3，则边AC 长为 √21 ．【分析】利用三角形面积公式，可得c ，由余弦定理可得AC ．【解答】解：由三角形面积公式，可得S=12×1×c ×√32=√3，∴c=4，由余弦定理可得AC=√1+16−2×1×4×(−12)=√21，故答案为√21．18．（2018春•昆山市期中）一个三角形的两个内角分别是30°和60°，若30°角所对的边长为2，则60°角所对的边长为 2√3【分析】利用正弦定理列方程求得60°角所对的边长是多少． 【解答】解：设60°角所对的边长为x ，由正弦定理得， x sin60°=2sin30°， x=2×√3212=2√3，即60°角所对的边长为2√3． 故答案为：2√3．19．（2016春•启东市校级月考）若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC=BC ，则点A 在点B 的 北偏西15° ． 【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【解答】解：如图，∵AC=BC，由图可知，∠CAB=∠CBA=45°，利用内错角相等可知，A位于B北偏西15°．故答案为：北偏西15°．三．解答题（共4小题）20．（2018•正定县校级模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（√3sinB﹣cosC）=（b+c）cosA（△）求角A；（△）若c=2b，a=√15，设a，b，c三条边上的高分别为h a，h b，h c，求h a，h b，h c．【分析】（△）利用正弦定理结合和与差的公式即可求解求角A；（△）由c=2b，a=√15，和A的值，余弦定理求解c，b，利用三角形面积关系即可求解h a，h b，h c．【解答】解：∵a（√3sinB﹣cosC）=（b+c）cosA由正弦定理，可得：sinA（√3sinB﹣cosC）=（sinB+sinC）cosA即√3sinAsinB=sinBcosA+sin（A+C）∴√3sinAsinB=sinBcosA +sinB ， ∵0＜B ＜π，sinB ≠0∴√3sinA=cosA +1，sin 2A +cos 2A=1解得：cosA=12，sinA=√32．∵0＜A ＜π， ∴A=π3．（△）由c=2b ，a=√15，A=π3．余弦定理：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 解得：b=√5，c=2√5．那么三角形面积S=12bcsinA=5√32，即12h a ×a=12h b ×b=12h c ×c=5√32． ∴h a =√5 h b =√15h c =√15221．（2017春•西城区校级期末）设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cosB=45，b=2．（△）当a=53时，求角A 的度数；（△）求△ABC 面积的最大值． 【分析】（I ）根据正弦定理计算A ；（II ）利用余弦定理得出ac 的最大值从而得出面积的最大值．【解答】解：（I ）sinB=√1−cos 2B =35，由正弦定理得a sinA =b sinB ，即53sinA=235，解得sinA=12，∵a ＜b ， ∴A 为锐角， ∴A=π6．（II ）由余弦定理可得cosB=a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−42ac =45，∴a 2+c 2=85ac +4≥2ac ，解得ac ≤10，∴S △ABC =12acsinB=310ac ≤3．∴△ABC 面积的最大值是3．22．（1951•全国）当太阳的仰角是60°时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？【分析】把旗杆的影子和旗杆为两直角边建立数学模型，通过解三角形求解． 【解答】解：旗杆长为：1×tan60°=√3丈． 故旗杆长为√3丈23．（2018秋•上杭县校级月考）在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为√3a2的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【分析】在△BCD 中使用正弦定理求出BC ，在△ABC 中使用余弦定理求出AB ． 【解答】解：∵∠BCD=∠DCA ﹣∠ACB=60°﹣45°=15°，∴∠DBC=180°﹣∠BDC ﹣∠BCD=135°，在△BCD 中，由正弦定理得：CD sin∠DBC=BC sin∠BDC，√3a2√22=BC12，解得BC=√6a4． ∵∠ADC=∠ADB +∠BDC=60°，∠DCA=60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC=CD=√3a2． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2﹣2AB•AC•cos ∠ACB=3a 28，∴AB=√6a 4．∴蓝方这两支精锐部队的距离为√6a4．归纳总结1、三角形中的边角关系:（1）边的关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 2）在直角三角形中：a 2+b 2=c 2 （2）角的关系： 1）A+B+C=18002）sin()sin A B C += cos()cos A B C +=- sin cos 22A B C+= （3）边角关系：1）大边对大角，大角对大边，等边对等角2）在直角三角形ABC 中,C=900,则sin ,cos a b A A c c== 3）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R 注意：定理适合任意三角形。
三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理讲义理-高考数学一轮复习资料
第6讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 因为a ＝4，b ＝5，c ＝6，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac ＝2×4×346＝1.题型 一 利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.答案 (1)1 (2)75°解析 (1)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. (2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析 因为a ＝62b ，A ＝2B ，所以由正弦定理可得62b sin2B ＝b sin B ，所以622sin B cos B ＝1sin B ，所以cos B ＝64. 2.(2018·和平区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________．答案π6解析 由sin C ＝23·sin B 得c ＝23b . ∴a 2－b 2＝3bc ＝3·23b 2，即a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32. 又A ∈(0，π)．∴A ＝π6.3．如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.答案562解析 在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B， 则AB ＝AC sin Csin B ＝7×531422＝562.题型 二 利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝t2＋t 2－t22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 D ．(1,2] 答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12. 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且(a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1.所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2.所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案 π3 解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 方法指导 1.两种主要方法全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则若出现边的一次式一般采用正弦定理；若出现边的二次式一般采用余弦定理.。
正弦定理和余弦定理讲解
一.进修目的1.控制正弦定理.余弦定理和三角形的面积公式,并能应用这些公式解斜三角形.2.能精确懂得现实问题中仰角.俯角.视角.方位角及坡度.经纬度等有关名词和术语的确实寄义.3.能闇练应用正.余弦定理及相干公式解决诸如测量.帆海.天体活动.物理.几多么方面的问题.4.在解决现实问题时,能精确懂得题意,分清已知和未知,并能把这些现实问题转化为数学问题,造就剖析解决现实问题的才能. 二.重点.难点重点：正.余弦定理及其证实;用正弦定理.余弦定懂得三角形. 难点：定理的推导;从现实问题中抽掏出数学模子. 三.考点剖析本章是在进修了三角函数.平面向量等常识的基本上,进一步进修若何解三角形的.正.余弦定理是我们进修三角形相干常识的延续和成长,这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系,在临盆.生涯中有着普遍的应用,是我们求角三解形的重要对象,本章内容经常会与三角部分联合起来分解考核,难度中等,各类题型均有可能消失.（1）正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在ABC ∆中R CcB b A a 2sin sin sin ===（个中R 为ABC ∆外接圆半径）,上式对随意率性三角形均成立.（2）应用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：①已知三角形的两角和任一边,求三角形的其他边与角; ②已知三角形的双方和个中一边的对角,求三角形的其他边和角.ABC ∆中,余弦定理还有另一种情势：若令︒=90C ,则222b a c +=,这就是勾股定理.（2）应用余弦定理,可以解决以下两类三角形的相干问题：①已知三边,求三个角;②已知双方和它们的夹角,求第三边和其他两个角.3.在解三角形问题时,须控制的三角关系式在ABC ∆中,以下的三角关系式,在解答有关的三角形问题时经经常应用到,同窗们要记准.记熟,并能灵巧地加以应用.（1）π=++C B A ;（2）C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+; （3）2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （4）C ab S sin 21=∆,A bc S sin 21=∆,B ac S sin 21=∆. 4.现实应用问题中的有关名词.术语（1）仰角和俯角：与目的视线在同一铅垂平面内的程度视线和目的视线的夹角,目的视线在程度视线上方时叫仰角,目的视线在程度视线下方时叫俯角.（2）偏向角：从指定偏向线到目的偏向线的程度角.（3）方位角：从指定偏向线顺时针到目的偏向线的程度角. （4）坡度：坡面与程度面所成的二面角的度数.解斜三角形时重要应用正弦定理和余弦定理,有时也会用到周长公式和面积公式,比方：c b a P ++=（P 为三角形的周长）a ah S 21=（a h 暗示a 边上的高）RabcS 4=（可用正弦定理推得） )(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径） 此处还须熟习两角和差的正弦.余弦.正切及二倍角的正弦.余弦.正切公式.6.关于已知双方和个中一边的对角,解三角形的评论辩论 已知双方和个中一边的对角,不克不及独一肯定三角形的外形,解这类三角形问题的进程中将消失无解.一解和两解的情形,应分情形予以评论辩论,图1与图2即暗示了在ABC ∆中,已知a .b 和A ∠时解三角形的各类情形当A ∠为锐角时, 当A ∠为直角或钝角时 常识点一：正弦定理与余弦定理例1：已知∆ABC 中,∠A ︒=60,a =求sin sin sin a b cA B C++++思绪剖析：可经由过程设一参数k(k>0)使sin sin abAB=sin ck C==,证实出sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++即可.解题进程：设sin sin abAB=()0sin >==k k Cc则有sin a k A =,sin b k B =,sin c k C = 从而sin sin sin a b cA B C++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C++++=k又sin aA=k ==︒=260sin 3,所以sin sin sin a b cA B C ++++=2解题后反思：∆ABC 中,等式sin sin abAB=sin cC ==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++恒成立.（1）定理的暗示情势：sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++;或sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用规模：①已知三角形的两角和任一边,求其他双方及一角;②已知三角形的双方和个中一边的对角,求另一边及角.例2：在∆ABC 中,已知=a c ︒=45B ,求b 及A 的值.思绪剖析：本题的已知前提显然相符余弦定理求解的前提.解题进程：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos45°=2121)+-= 8 ∴=b求A 可以应用余弦定理,也可以应用正弦定理：解法一：∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴︒=60A . 解法二：∵︒⋅==45sin 2232sin sin B baA ,又∵＞2.4+1.4=3.8,21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ,即︒0＜A ＜︒90∴︒=60A解题后反思：应用解法二时应留意肯定A 的取值规模.例3：在△ABC 中,已知a=3,b=2,B=45°,求A.C 及c.思绪剖析：这是一道已知双方及一边的对角解三角形的问题,可用正弦定理求解,但先要剖断△ABC 是否有解,有几个解,亦可用余弦定理求解.解题进程：∵B=45°<90°,且b<a,∴△ABC 有两解：由正弦定理得：sinA=23245sin 3sin =︒=bBa ,∴A=60°或120°.①当A=60°时,C=75°⇒c=22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B Cb . ②当A=120°时,C=15°⇒c=22645sin 15sin 2sin sin -=︒︒=BC b .故A=60°,C=75°,c=226+或A=120°,C=15°,c=226-.解题后反思：因sinA=sin(π－A),故在解三角形中要斟酌多种情形,灵巧应用正.余弦定理,症结是将“前提”与情形对应. 常识点二：三角形中的几何盘算例4：已知△ABC 中,22（sin2A －sin2C ）=（a －b ）sinB,△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C;（2）求△ABC 面积的最大值.思绪剖析：应用正.余弦定理可以进行边角互化,解题时要留意有意识地进行边角关系的同一. 解题进程：（1）由22（sin2A －sin2C ）=（a －b ）sinB得22（224R a －224Rc ）=（a －b ）Rb2. 又∵R=2,∴a2－c2=ab －b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=abc b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.（2）ABC S ∆=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA－cos120°si nA ）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°,即A=60°时,Smax=233.解题后反思：求最值往往是先树立函数关系式,然后借助函数的办法去求解.例5：在△ABC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求角A 的度数;（2）若a=3,b+c=3,求b 和c 的值.思绪剖析：在三角形的求解中,会经经常应用到π=++C B A ,显然把B C +转化成A π-可是解题进程更为轻便.解题进程：（1）由272cos 2sin 42=-+A C B 及︒=++180C B A ,得： ()[]271cos 2cos 122=+-+-A C B , 即01cos 4cos 42=+-A A ,21cos =∴A ,︒<<︒1800A ,︒=∴60A （2）由余弦定理得：bc a c b A 2cos 222-+=21cos =A ,212222=-+∴bc a c b ,()bc a c b 322=-+∴. 3=a ,3=+c b 代入上式得：2=bc由⎩⎨⎧==+23bc c b 得：⎩⎨⎧==2c a b 或⎩⎨⎧==12c b .解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用得比较普遍,应闇练控制这些定理.此外,还须熟习两角和差的正弦.余弦.正切及二倍角的正弦.余弦.正切公式. 常识点三：应用性问题︒75,︒30,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为︒60,AC=.试探讨图中B,D 间距离与别的哪两点间距离相等,然后求B,D 的距离（盘算成果精确到≈≈2.449）思绪剖析：解斜三角形的问题时,平日要依据题意,从现实问题中抽象出一个或几个三角形,然后经由过程解这些三角形,得出所请求的量,从而得到现实问题的解.解题进程：在△ADC 中,∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=︒30,所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°, 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线,所以BD=BA, 在△ABC 中,,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB即AB=2062315sin 60sin +=︒︒AC ,是以,BD=。
第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝－12，∴C ＝120°. 答案 C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )． A. 2 B. 3 C.32 D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32.答案 C4．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析 直接根据正弦定理可得asin A ＝bsin B ，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案 A6．已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )． A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A. 答案 A二、填空题7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2.答案 2 8．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a＝－24. 答案 －249．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]． 答案 (1，2]10．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________．解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. (2)由sin C sin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝ 1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C .所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.13． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sinB ＝c sinC 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.14． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝ 2cos π8sin π8＝12.。
正弦和余弦
正弦和余弦教学建议1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.2．重点、难点分析（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：∽∽∽……所以，因为相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.理应注意：单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能准确地使用它们.4．我们理应学会理解任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.我们不但理应熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能准确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应准确地写出如下的三角函数关系式：很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，理应熟悉掌握它们.利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.根据定义，有另一方面，能够想像，当时，边与AC重合（即），所以当时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有把以上结果能够集中列出下面的表：6．教法建议：（1）联系实际，提出问题通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板实行度量，并引导学生得出规律：，再进一步对含的三角板实行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，理应即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.(3)增强数形结合思想的教学“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这仅仅从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，所以教学中要充分利用这部分教材，协助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提升在几何问题中注意使用代数知识的水平．第一课时一、教学目标1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这个事实。
九年级下人教新课标28.1正弦和余弦1教学资料
正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数． 3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca，∠A 的余弦cos ＝c b ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．AB BC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABACA =∠斜边的邻边． 实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角； (2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0． 在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47， cosB ＝cos ∠ACD ＝43． 例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝ABBCAB CD =． 正解：sin ＝BCBDAB BC AC CD ==． 说明：错解之一是所答线段比ABCD，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了． 例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21×6＝3． 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BD AB ＝4． ∵S △ABC ＝21BC ·AD ＝21AC ·BE ， ∴BC ·AD ＝AC ·BE ，即6×4＝5×BE ． ∴BE ＝524． 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BE AB ． ∴cos ＝257=AB AE ． 说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21． 说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键．例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75° B ．90° C ．105° D ．120° 剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0， ∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA sin cos cos •的值是( )A ．ca B ．acC ．baD ．ab 剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝c b ，sinB ＝c b ，cosB ＝c a ，化简得ca，所以选A ． 剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即B sin B cos A cos ⋅＝cosB ＝ca．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值． 解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1． ∴cos α＝31=AB AC ． 说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列各式中，正确的是( )A ．sin60°＝21B ．cos （90°－30°）＝sin60°C ．cos60°＝21 D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°·cos60°等于( )A ． 22B ．23C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( )A ．54B ．53C ．43D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213 C ．131D ．135 (5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21B ．1C ．215D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大两倍 B ．缩小到一半 C ．没有变化 D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( ) A ．21B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30° B ．30°＜α＜45° C ．45°＜α＜60° D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32C ．23D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( )A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦 (12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41 (13)下列等式中正确的是( )A ．sin20°＋sin40°＝sin60°B ．cos20°＋cos40°＝cos60°C ．sin （90°－40°）＝cos40°D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( )A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( )A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosAC ．sin （A ＋B ）＝cosD ．sinA ＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( ) A ．259B ．54C ．53D ．2516 (21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒•︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′；(6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°·cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)：(1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29；（2）b ＝9，c ＝85；（3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ·sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15° 23（10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23 (2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292; (2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859;(3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。
第6讲 正弦定理和余弦定理-拔高难度-讲义
正弦定理和余弦定理引入思考1：如图固定ABC 的边CB 及B ∠，使边AC 绕着顶点C 转动，C ∠的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的关系？能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？思考2：在Rt △ABC 中(若C=90︒)有： 222c a b =+那么在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？解读1、直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ． （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2．(勾股定理) （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sinA ＝cosB ＝a c，cosA ＝sinB ＝b c，tanA ＝a b．AB C2、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边． （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π．（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．2sin sin sin a b cR A B C===．(R 为外接圆半径) （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3、三角形的面积公式：（1）S△＝12aha ＝12bhb ＝12chc(ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高)； （2） S△＝12absinC ＝12bcsinA ＝12acsinB ；（3） S△＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；（4）S△＝2R2sinAsinBsinC ．(R 为外接圆半径) （5）S△＝4abcR； （6） S△；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)4、正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-⑥设,,a b c 是ABC ∆的角A 、B 、C 的对边（假设C 为ABC ∆最大的角） 若222a b c +=，则90C =，ABC ∆为直角三角形． 若222a b c +>，则90C <，ABC ∆为锐角三角形． 若222a b c +<，则90C >，ABC ∆为钝角三角形． ⑦若sin2sin2A B =，则A B =或2A B π+=．⑧sin sin 22a bA B R R>⇔>a b A B ⇔>⇔> 5、三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-，探究已知在ΔABC 中,A=450，a=2,求C ； 请同学们思考两个问题： 角C 有几个解？ 答：两个．当a=1时C 有几个解；当a=C 有几个解；当a=3时C 有几个解答： 当a=1时无解；当a=3时有一个典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2018春•齐齐哈尔期末）在△ABC中，若sinA＞sinB，则A与B的关系为（）A．A＜B B．A＞B C．A+B＞π2D．A+B＜π22．（2018春•萍乡期末）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=4，a•cosC+3c•cosA=0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．√3C．2D．43．（2018春•诸暨市期末）在△ABC中，AB=AC=8，D在线段AC上，AD=6，若△ABC的外心O在线段BD上，则cosA=（）A．14B．15C．16D．174．（2018•漳州模拟）在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4√3，则△ADC面积的最大值为（）A．6√2B．6√3C．4√2D．4√3 5．（2018•香坊区校级模拟）在△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=43CM，若tan∠BAM=18，则sin∠MAC=（）A．√55或3√1313B．14C．13D．√246．（2018春•红塔区校级期中）△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，且tanC=2√2，则ba=（）A．109B．149C．53D．327．（2017秋•洛阳期末）在△ABC中，tanA=12，cosB=3√1010，若△ABC的最长边长为1，则其最短边长为（）A．4√55B．3√55C．2√55D．√558．（2018春•龙泉驿区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√39．（2018春•钦州期末）（示高学生做）△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，若a=1，2b﹣c=2cosC，则△ABC周长的取值范围是（）A．[1，3]B．（2，3]C．（2，5]D．[3，4）10．（2017秋•泉州期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且满足bcosC+ccosB=2acosA，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形11．（2017秋•衡阳县期末）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若2sinC=sinA+sinB，cosC=35且S=4，则c=（）A．4√63B．4C．2√63D．512．（2018春•广东期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=12，csinA=513a，C＜π2，△ABC的面积为30，则该三角形的周长为（）A．12B．18C．30D．3213．（2017秋•来宾期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b−√2a)2+(B−π3)2=0，则cosA=（）A．±√32B．±√104C．√32D．√10414．（2018秋•龙岩期中）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB=1（km），CD=3（km），在水平面上E处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为60°，∠AEC=150°，则两山顶A ，C 之间的距离为（ ）A ．2√7(km)B ．3√3(km)C ．4√2(km)D ．3√5(km)15．（2018秋•思明区校级月考）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．a=8，b=16，A=30° B ．a =√6，b =√3，B=60° C ．b=12，c=15，C=120° D ．a=14，b=16，A=45°二．填空题（共5小题）16．（2018春•高安市校级期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若2sinA 、sinC 、2sinB 成等比数列且角C 为锐角，则a+b c的取值范围为 ．17．（2014秋•易县期末）在△ABC 中，a=√3，∠A=π6，b=3，则c= ．18．（2018春•昆山市期中）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，D为BC 中点，cos∠BAD=19．（2017•河西区模拟）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，√3≈1.73．20．（2011•台湾模拟）四边形ABCD中，AB=1，BC=5，CD=5，DA=7，且∠DAB=∠BCD=90°，则对角线AC长为．三．解答题（共3小题）21．（2018春•西城区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC=23π，BC=2√7，AC=2，AD⊥AC．（△）求AB；（△）求AD．22．（2018春•昆山市期中）如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB=1，BC=√2，AC=CD，AC⊥CD，记∠ABC=θ．（1）若θ=45°，求对角线BD的长度（2）当θ变化时，求对角线BD长度的最大值．23．（2018春•安徽期末）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中∠B=π2，AB=a，BC=√3a．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若θ=π3，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN ，A'N 的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度．归纳总结1、三角形中的边角关系:（1）边的关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 2）在直角三角形中：a 2+b 2=c 2 （2）角的关系： 1）A+B+C=18002）sin()sin A B C += cos()cos A B C +=- sin cos 22A B C+= （3）边角关系：1）大边对大角，大角对大边，等边对等角2）在直角三角形ABC 中,C=900,则sin ,cos a b A A c c== 3）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R 注意：定理适合任意三角形。
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第六讲 正弦与余弦（1）
【基础知识精讲】
一、 正弦与余弦：
1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记
作A sin ，
锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .
斜边
的邻边
斜边的对边A A A A ∠=⋅∠=
cos sin .
若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，
则c a A =sin ，c
b
A =cos 。
2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A （A ∠为锐角）。
二、 特殊角的正弦值与余弦值：
2130sin =
， 2245sin =
， 2
360sin = ． 2330cos = ， 2
245cos = ， 2160cos =
．
三、 增减性：当0
0900<<α时，
sin α随角度α的增大而增大；cos α随角度α的增大而减小。
【例题巧解点拨】
例1：在图1中求出ABC Rt ∆中的A sin 、B cos 的值，在图2中求出ABC Rt ∆中的
A cos 、
B cos 的值
例2：求下列各式的值：
（1）
30cos 30sin +； （2）
60cos 2
1
45sin 2-
．
（3）
30
cos 30sin ． (4) ︒⋅︒+︒⋅︒45sin 30cos 45cos 30sin
例3：（1）若21
sin =
A ，则锐角_____=∠A ； （2）若22
cos =A ，则锐角_____=∠A .
（3）若23
sin =A ，则锐角____=∠A ．
（4）若2
3
cos =B ，则锐角_____=∠A
（5）已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AB 3=，B cos =__________
【同步达纲练习】
A 组
一、填空题：
1. =︒+︒30sin 30cos ___________，
2.
sin 2
1
= cos = 。
3、若2
1
sin =θ，且︒<<︒900θ，则θ=_______，
已知2
3
sin =α，则锐角α=__________。
4．在_________cos ,,60,90,==∠=∠B A C ABC Rt 则中
∆
5．在ABC ∆，_________cos ,5,3,90====∠B AB AC C 则
6．_________sin ,5,3,90,====∠A AB BC C ABC Rt 则中
∆
7．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，b a 33=，则A ∠=_________，A sin =_________ 8．如图，已知在_________,5
3
sin ,5,90,====∠BC A AB C ABC Rt 则中
∆ 二、选择题：
9．
30sin 2的值是（ ）
A ．21
B ．1
C ．23
D ．3 10．
30cos 的值是（ ）
A ．23
B ．2
2
C ．21
D ．3
11．在ABC ∆，︒=∠90C ，AC =6，BC =8，则=A sin （ ）
（A ）54 （B ）53 （C ）43 （D ）3
4
12．在ABC ∆中，︒=∠90C ，5=AC ，13=AB ，则B cos 等于（ ）
A ．1312
B ．135
C ．125
D ．13
10
13．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，1=AC ，2=AB ，则B ∠为（ ） A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒90
14．在PMN Rt ∆中，∠=∠Rt P ，则) (sin =M
A ．
PM PN B ．PN PM C ．MN PN D ．MN
PM
15．在ABC ∆Rt 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ）
A 都没有变化
B 都扩大2倍
C 都缩小2倍
D 不能确定
16．在ABC ∆中，若0cos 2322sin 2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-B A ，A ∠，B ∠都是锐角，则C ∠的度
数是（ ）
A ︒75
B ︒90
C ︒105
D ︒120
三、求下列各式的值：
17．
︒︒-30cos 30sin 21 18．︒⋅︒+︒+︒30cos 30sin 45sin 2
2
60sin 21。
19．)45cos 60)(sin 45sin 30)(cos 45sin 230sin 2(︒-︒︒+︒︒+︒
四、解答题：
20．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，且,25,24==c a b=7。
求sin A ,cos A ,sin B ,cos B .
B 组
1．如图，在AB CD Rt ACB ABC Rt ⊥∠=∠,,中∆于点D ，AD ＝4，,5
4sin =
∠ACD CD 求、BC 的值。
2.比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。
3、如图，在R t △ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，∠C=90°。
sinA=__________；cosB=___________；则sinA________ cosB
cosA=_________；sinB=____________；则cosA________ sinB
思考：sin(90°-α)=____________；cos(90°-α)=_______________。
4、若30°<α<β<90°，化简αβαβcos 12
3
cos )cos (cos 2
-+---。
家庭作业
校区：姓名：_________
科目：数学第 6 次课作业等级：______ 第一部分：
1.（2010年湖南郴州市）1sin45°的结果等于( )
1
2
2．（2010年怀化市）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
5
4
，则cosB的值等于（）
A．
5
3
B.
5
4
C.
4
3
D.
5
5
第二部分：
3.（2012红河自治州）13. 计算：12+2sin60°=
4.（201104cos30°； 6.（2010郴州）
1
1
12sin60cos60
2
-
骣÷
ç+--鞍
÷
ç÷
ç桫
第三部分：
5.（2012年兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP
是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3
≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)
第7题图。