基本初等函数主题单元教学实施计划

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《基本初等函数》主题单元设计

4.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式。 5.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。 6.了解幂函数的概念。过程与方法： 1．体验整数指数幂到分数指数幂的变化过程。 2．体会由特殊到一般的归纳思想。 3．经历从直观到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 4.在利用信息技术与合作学习的过程中，体验信息技术的强大作用，并提高合作交流能力、数据处理能力、数学思维能力，培养发现问题、提出问题、解决问题的意识。情感态度与价值观： 1.通过对指数函数、对数函数及其图像性质的探究过程，培养求真务实的科学态度和严谨论证与归纳概括的良好思维品质。 2.通过学习三类基本初等函数，初步体会形和数、特殊与一般、感性与理性的辩证统一关系及和谐之美，并通过函数基本的运用和研究性学习初步体会数学应用价值，进一步激发学习数学的兴趣。 3.通过共同探究函数的基本知识，培养参与合作意识及锲而不舍的钻研精神。对应课标 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3.理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点。 4.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式。 5.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。 6.了解幂函数的概念。主题单元问题设计 1.总结指数、对数、幂函数的概念与性质是什么样的? 2. 能形成怎样的基本问题又如何解决？ 3.从数与形辩证地分析一下三类函数的性质与内涵？专题一：指数函数与性质专题划分专题二：对数函数与性质专题三：幂函数专题一所需课时指数函数与性质约 2 课时
专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果) 本专题的主要内容是指数函数与性质。本节的重点是指数函数的概念与图像。在将指数幂运算性质的适用范围从整数集推广到实数集的过程中，可能会遇到的困难是对非整数

《函数的概念与性质》主题单元教学实施方案

互动达标
体悟所学
运用三方面有层次的问题对所学知识、方法进行全面体会和理解（三方面问题分别是：函数的奇偶性的判定；函数的奇偶性在画函数图像方面的应用；函数的奇偶性与分段函数的解析式或函数的单调性相结合的综合问题）
1.学生分组自主学习与合作探究
2.教师巡视各组学习与探究情况，并根据小组情况给予适当指导
3.各组同学通过交流，总结出相应的成果，并进行展示、论述，同时，通过展示与互动交流进行初步的反思和总结
利用三个方面的评价量规进行互相融合的科学评价——
1.合作学习量规
2.学习过程量规
3.学习成果量规
方式为：自评、互评、教师评。
进一步反思
各小组及各学生根据所学情况，从知识、思想方法及各类问题方面排查或反思自己存在的疑惑，做好统计，或小组进一步探索交流或请教老师
实施后
提出下一步的初步要求和准备工作
1.告知下一步的学习要求和内容——
2.能用《合作探究、分层推进》分层合作式学习法进行自主学习、合作探究、互动交流，并能熟练使用评价量规进行自评与互评
3.能够熟练使用相关的软件制作学习成果课件，并运用恰当的方式或多媒体设备进行展示、交流
实施中
双基回眸
科学导入
温故而知新：在复习初中函数的基础上，引导学生通过用初中函数概念难以解释的两个函数问题，说明进一步学习函数的必要性。
1.学生分组进行思悟小结
2.教师巡视各组反思与小结情况，并根据小组情况给予适当指导
3.各组同学通过反思小结的交流，进一步体悟所学所思的实际情况，从整体上进一步把握所学知识和思想方法
4.教师点评与总结，引领学生互相取长补短，不断完善自我。
5.根据学生情况，适当进行课堂巩固训练，进一步反思对所学知识和思想方法的认知情况。

基本初等函数教案

基本初等函数教案章节一：函数概念与基本性质1. 教学目标（1）理解函数的定义及表示方法。

（2）掌握函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

（3）学会运用函数的基本性质解决实际问题。

2. 教学内容（1）函数的定义及表示方法。

（2）函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

（3）函数性质在实际问题中的应用。

3. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法相结合，引导学生主动探究、积极思考。

4. 教学步骤（1）引入函数概念，讲解函数的定义及表示方法。

（2）通过例题，引导学生掌握函数的基本性质。

（3）分析实际问题，展示函数性质在解决问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习本节课的内容，整理笔记。

（2）完成课后练习题，巩固所学知识。

章节二：幂函数与指数函数1. 教学目标（1）了解幂函数、指数函数的定义及性质。

（2）掌握幂函数、指数函数在实际问题中的应用。

2. 教学内容（1）幂函数的定义及性质。

（2）指数函数的定义及性质。

（3）幂函数、指数函数在实际问题中的应用。

3. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法相结合，引导学生主动探究、积极思考。

4. 教学步骤（1）讲解幂函数的定义及性质，举例说明幂函数在实际问题中的应用。

（2）介绍指数函数的定义及性质，分析指数函数在实际问题中的应用。

（3）通过练习题，巩固幂函数、指数函数的知识。

5. 课后作业（1）复习本节课的内容，整理笔记。

（2）完成课后练习题，巩固所学知识。

章节三：对数函数1. 教学目标（1）了解对数函数的定义及性质。

（2）掌握对数函数在实际问题中的应用。

2. 教学内容（1）对数函数的定义及性质。

（2）对数函数在实际问题中的应用。

3. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法相结合，引导学生主动探究、积极思考。

4. 教学步骤（1）讲解对数函数的定义及性质，举例说明对数函数在实际问题中的应用。

（2）通过练习题，巩固对数函数的知识。

5. 课后作业（1）复习本节课的内容，整理笔记。

高中数学_第三章基本初等函数(Ⅰ)教学设计学情分析教材分析课后反思

基本初等函数（Ⅰ）教学设计一、课堂导入基本初等函数（Ⅰ）单元测试的学生掌握情况进行说明，成绩总体理想，对优秀生表示祝贺，对得分的分数段进行说明，把握自己的位置。

板书：基本初等函数（Ⅰ）二、课堂活动1、展示优秀生的试卷，让学生直观感受差距，激发学生的内在动力。

（优秀生试卷：该生掌握内容扎实，扣掉了一分，对于实际应用问题结果的取舍要做好把握，不是仅仅四舍五入即可。

）2、活动一：函数定义域定义域优先，总结常见函数的定义域求法，学生自主内化知识。

学生完成跟踪测试1，进一步提升理性的认知过程。

展台展示学生的求解，强调必须写成集合和区间的形式，突破易错点。

讲解学生试题出错的题目，提升学生的认知水平，引导学生进一步辨析把握定义域的求法。

3、活动二：二次函数和指对函数的简单复合类型的值域。

通过展示学生求解出现的问题，主动分析需要注意的问题，依托基本初等函数模型换元，同时注意要紧跟元的范围，这是易漏点。

然后教师规范展示二次函数和指对函数的简单复合类型的求解过程。

引导学生一块分析探究方法，首先注意从形式上统一，把握相关性，建立沟通联系，建立知识生成点。

通过跟踪测试2实现学生理性认知的升华，展台展示学生的做题成果。

4、活动三：奇偶性，单调性的综合问题定义域值域之外，还要掌握函数的性质，讲解试题出现的题目，试题出现偶函数的题目，相应的跟踪测试奇函数的类似题目，跟踪测试3学生完成后自主讲解，学会分析问题。

5、合作探究：图像变换函数性质离不开图像，掌握基本的函数图像，还要掌握图像变换，学会如何从图像当中筛选信息。

首先是平移变换，原则是左加右减，讲解典型题目。

对称变换，第9题错的比较多，看一下常见对称变换。

小组讨论：同学们小组讨论一下对称变换的原则，在交流中掌握知识，激发学习的内在动力。

讨论后，教师引导学生主动发言。

教师：哪一个小组愿意分享一下。

升华总结后，让学生完成跟踪检测。

6、活动五：分段函数分段函数也是常考问题。

试卷出现两个典型题目，教师诱导发问都是知道谁求谁，学生认识到都是知自变量求函数值，教师提出还要学会知道自变量求函数值，学生完成跟踪测试5。

基本初等函数教案

基本初等函数教案一、回顾函数的一般性质定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性1、2、指数函数与对数函数问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件. 问题2：在同一直角坐标系中画出函数log x x a y a =与的图象，并说明两者之间的关系.问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质3、指数与对数指数式与对数式的互化例：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值。

对数运算：1211log 231log ()log log log log log log log 1log log log log log log log log 1log log ...log log (0,0,0,1,0,1,0,1,a n a a a aa a n a a a a Nb a b a bc a a a n a nM N M NM M N NM n M M na N NN a b c a a a a a M N a a b b c c a -⋅=+=-=⋅==⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=>>>≠>≠>≠①②③④⑤⑥换底公式：⑦推论：以上2,, (01)n a a >≠且例．比较下列各题中值的大小：（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2）1.08.0-，2.08.0-；（3）0.3 1.21.5,0.8例.解不等式x x 283)31(2-->.例、比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log ,7log 76；（2）8.0log ,log 23π；（3）7log ,7log 32；（4）8.0log ,8.0log 3.02.0例：若7log 7log b a <)1,0,(≠>b a b a 且，试讨论a 与b 的大小关系。

高中数学第2章基本初等函数(1)(1.1 指数与指数幂的运算第1课时)示范教案新人教A版必修

某某省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章基本初等函数〔1〕-1.示X 教案〔1.1 指数与指数幂的运算第1课时〕本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质〔单调性、值域、特别点〕,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质〔单调性、值域、特殊点〕;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数〔a ＞0,a≠1〕,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考〞的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,表达数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化〞的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算. 推进新课提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果：(1)假设x2=a,那么x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,假设x3=a,那么x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,那么这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,那么这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,那么这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,那么这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,假设x n=a,那么x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出以下数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题〔2〕中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题〔2〕中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：〔1〕因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.〔2〕方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.〔3〕一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.〔4〕任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n 次方根的性质:①当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,n n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数 a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n 零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题. 解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式. 根式的概念: 式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数.思考n n a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理. 〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a.通过探究得到：n 为奇数,n na =a.n 为偶数,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a因此我们得到n 次方根的运算性质： ①(n a )n=a.先开方,再乘方〔同次〕,结果为被开方数. ②n 为奇数,n n a =a.先奇次乘方,再开方〔同次〕,结果为被开方数.n 为偶数,n n a =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方〔同次〕,结果为被开方数的绝对值.应用示例思路1例1求以下各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求以下各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数. 解：(1)33)8(-=-8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π-3; (4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子n n a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出以下各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a≤1); (3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=-2, (2)33)33(-a (a≤1)=3a -3,(3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a点评：此题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1以下各式中正确的选项是( ) (1)44a =a; (2)62)2(-=32-;(3)a 0=1; (4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,此题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n n a =|a|,故此题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故此题错.(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故此题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故此题正确.所以答案选(4).点评：此题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心. 例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,此题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1. 223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1. 所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练假设12a -a 2+=a-1，求a 的取值X 围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1,即a-1≥0,所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的选项是( )n a 表示(以上n ＞1且n∈N *).答案：C2.化简以下各式: (1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.407407-++=__________. 解：407407-++ =2222)2(252)5()2(252)5(+•-++•+ =22)25()25(-++=5+2+5-2- =25.答案：25拓展提升问题：n n a =a 与(n a )n =a 〔n ＞1,n∈N 〕哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.解答：①〔n a 〕n =a 〔n ＞1,n∈N 〕.如果x n =a 〔n ＞1,且n∈N 〕有意义,那么无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以〔n a 〕n =a 恒成立.例如：〔43〕4=3,33)5(-=－5. ②n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时,a∈R ,n n a =a 恒成立. 例如：552=2,55)2(-=－2. 当n 为偶数时,a∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a 443=3,40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3. 即〔n a na 〕n =a 〔n ＞1,n∈N 〕是恒等式,n n a =a 〔n ＞1,n∈N〕是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(n a )n =a,n 为偶数时,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 作业课本P 59习题2.1A 组 1.补充作业:1.化简以下各式： (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .解：(1)681=643=323=39; (2)1532-=1552-=32-; (3)48x =442)(x =x 2; (4)642b a =622)|(|b a •=32||b a •.2.假设5<a<8,那么式子22)8()5(---a a 的值为__________.分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13. 3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式, 不难看出625+=22)(3+=3+2. 同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23. 答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.。

教案(基本初等函数及函数的应用)

基本初等函数及函数的应用一．教学目标： 1. 知识与技能：熟悉三种基本初等函数的概念、性质与图形；掌握函数与方程的联系；能利用函数模型知识解决一些实际问题。

2. 过程与方法：通过对各个概念的精准定义及其函数性质的详细讲解，让学生熟悉三种基本初等函数的概念和性质；在讲解的过程中添加必要的典型例题加深学生对函数及其性质的认知；通过函数模型的构建，特别是运用数形结合的方法，再结合练习，让学生对函数及其运用的理解能力和动手解决问题能力得到实质上的提高。

3. 情感与价值：通过学习与训练，让学生了解三种基本初等函数的必要性和重要性及其应用的趣味性，激发学习的积极性。

二．教学重点与难点：教学重点：熟悉和掌握函数的概念及其性质；能运用函数的特性解决问题教学难点：构建函数模型，数形结合解决问题三．学法与教学用具：1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具：教辅书，纸，笔四．教学过程：1.指数函数定义：一般地，函数xy a （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R图像特征与函数性质：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或（2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；例2：求下列函数的定义域和值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =2.对数函数一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．log =y x a1 log =y x a2 log =y x a3 log =y x a4例：1. 已知函数(2)x y f =的定义域为[-1，1]，求函数2(log )y f x =的定义域2. 已知0＜a ＜1, b ＞1, ab ＞1. 比较1log ,log ,log a a b b b 1的大小b3. 幂函数定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1.证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证明：略2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小（1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+解：略4. 方程的根与函数的零点函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．例：求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数解：略5.函数模型的应用例1：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？[略解：]设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ，由x ＞0，且300－10x ＞0得：0＜x ＜30设客房租金总上收入y 元，则有： y =（20+2x ）(300－10x )=－20(x －10)2 ＋ 8000（0＜x ＜30）由二次函数性质可知当x =10时，max y =8000.所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.例2：某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.09 1.5386=，461.09 1.4116,1.09 1.6771==分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．【解】本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是 100(110%5)150⨯+⨯=万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元，因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄例3：我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a 元；（2）若每户每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过5元．（Ⅰ）求每户月水费y （元）与月用水量x （立方米）的函数关系；（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求,,m n a 的值．解：（Ⅰ）由题意，每月用水量为x （立方米），支付费用y （元），则()9,0059,a x m y a x m n a x m +<≤⎧⎪=<≤⎨+-+>⎪⎩其中（Ⅱ）∵05a <≤，∴9914a <+≤，由表知，一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米，将4x =和5x =分别代入y 的解析式，得189(4)269(5)m n am n a=+-+⎧⎨=+-+⎩ ，由②-①得8n =，从而823a m =- ③，又∵三月份用水量为2.5立方米，若2.5m >，将 2.5x =代入()9y x m n a =+-+ 得()10982.5m a =+-+，即819,a m =-这与③矛盾，∴2.5m ≤，即三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．此时有109a =+， ∴1a =，代入③得3m =，综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且3,8,1m n a ===．点评：本例中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想五．练习：见教辅书六．总结归纳注重数形结合解决函数问题。

高中数学_基本初等函数教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：基本初等函数（Ι）章末复习一、教学目标：1．知识与技能：（1）掌握实数指数幂和对数的运算；（2）理解幂函数、指数函数、对数函数的概念；（3）掌握幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会幂函数、指数函数、对数函数是一类重要的函数模型。

2．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数、对数函数、幂函数的性质及题型.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：掌握幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质。

2．教学难点：幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质的应用。

三．教学方法：垦利一中学本课堂四、教学过程：（一）今日赠言：首先，请同学们全体起立，看着屏幕展示的内容“人生只有一次，为了获得一个沉实无悔的人生之秋，请让我们在年轻的时候，选择耕耘、选择劳作，纵然没有收获，但我们曾经在年轻的时候在生命的田园里挥洒过汗水，将不再遗憾。

”，共同宣读我们24班的誓言，然后，大家请坐。

接下来，我们一块来看一下在大家上交的导学案中存在的问题，请看屏幕：（二）导学案中存在的问题及优秀小组、个人：优秀小组：一组、二组、三组、四组优秀个人：刘红杰、宋佳伟、张茜、冯潇、李翰、陈祥虎、李晓东、王茂泉、巴世伟、张喻铭、隋聪聪、张浩坤、王宇、耿尧、魏志成、李晴、李静、楚紫荆、窦志帅、王思齐、张一韩、苟宏玲、张康庆、刘梦萱接下来，我们有请数学课代表徐鹏同学和我们一块对本章的内容做一下知识梳理，我们以热烈的掌声欢迎徐鹏同学闪亮登场。

（三）知识梳理：徐鹏同学在小黑板上给同学们讲述本章内容。

下面，我们进行下一个环节：小组讨论，合作探究。

请大家全体起立，分小组按屏幕要求展开讨论：（四）小组讨论，合作探究：内容：1.各小组经过讨论完成学案三个专题的题目。

高中数学单元教学设计的优化研究——以《基本初等函数》为例

数理化解题研究2021年第15期总第508期高中数学单元教学设计的优化研究——以《基本初等函数》为例邵曦(江苏省宜兴市丁蜀高级中学214221)摘要：《基本初等函数》是人教版高中数学必修一第二章的教学主题，这一章节内容在整个数学阶段占据着重要的地位，是高中生学习函数知识的基础与主线.在《基本初等函数》的单元教学设计中，需要教师立足于核心素养的教育目标，考虑到数学教学内容、课程标准、学情、教材以及教学方式等因素，优化单元教学设计的方法，以此助力核心素养在数学单元教学中的落实.关键词：高中数学；单元教学；设计中图分类号：G632 文献标识码:A文章编号：1008 -0333(2021) 15 -0046 -02《基本初等函数》是函数的具体模型,通过这一章节内容的学习，可以带领高中生掌握描述客观世界变化规律的数学模式，并利用函数的数学模式解决实际问题.高中数学新课标中明确提出了单元教学设计的重要性，并主张单元教学设计的要求与内容要做到全面、细致,能够让学生通过这一单元章节内容的学习，感受到其中包含的数学思想与方法，体会到数学学习的意义.因此，在《基本初等函数》的单元设计中教师应尽可能地让学生参与其中,在体验与感悟中构建函数基本模型,从中发现数学思想，发现数学本质，总结与运用数学方法，以此提升高中生的数学学习能力、思维品质以及实践能力，促进高中生数学核心素养的生成.一、单元教学设计要素与一般流程在单元教学设计中，教师应从整体的角度对单元教学的六要素进行分析，那么单元教学的六要素是指哪些内容呢？实际上单元教学的要素主要是教学内容、课程标准、学生情况、教材编排、重点难点以及教学方法.《基本初等函数》这一单元的教学内容主要是数学的本质、文化、思想及其所占据的地位与应发挥的作用;课程标准为指数函数、对数函数与幂函数的内容要求分析;学习情况是指高中一年级学生的数学基础、学习能力、学习习惯、学习态度以及情感变化等因素;教材编排是指教师要明确《基本初等函数》在必修一乃至整个高中数学教材中的地位;重点难点具有针对性,每一单元的教学重难点各有不同,教师应立足于《基本初等函数》这一单元教学的重点与难点设计教学方案;教学方法则是指为了完成单元教学目标教师所采取的教学手段.在确定单元设计要素之后,需要教师编排单元教学目标,最后设计单元教学的流程,可以将单元教学目标归纳为三个环节:编制单元教学目标-设计教学流程-评价、反思与修改，其中编制单元教学目标、设计教学流程为单元教学设计的开发环节,评价、反思与修改是单元教学设计的修改与完善环节.二、高中数学《基本初等函数》的单元教学设计优化方法1.分析单元教学目标《基本初等函数》这一单元的教学目标分为四点：其一,通过对指数幂的学习,认识指数幂的含义与不同类型；理解对数的概念及其对应思想,分清指数与对数的差异与关系；熟悉指数幂与对数的运算性质,掌握运算规律，能够运用换底公式将一般对数转化为常用对数；其二,通过对具体案例的分析,理解三种基本函数的概念及其相互之间的关系;其三,能够借助工具画出三种基本函数的图像,掌握基本初等函数图像的画法，培养学生对函数的学习兴趣, 引领学生总结出三种基本函数的性质，并从中体会到数形结合思想;其四,经历问题解决的过程,掌握三种基本函数在问题解决中的作用,建立函数模型,达到学以致用的效果.从单元教学目标的制定中可以看出,教师应在《基本初等函数》的这一单元教学中让学生体会到数学知识结构的逻辑性、严谨性与相关性,体现出了以生为本的思想，可以使学生在问题探索中感受到数学,并在实践运用收稿日期：2021 -02 -25作者简介:邵曦(1992. 5 -)，江苏省宜兴人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.—46—2021年第15期总第508期数理化解题研究中真正体验到数学的价值.2.科学安排单元教学内容与课时表1单元教学内容与课时的安排教学内容教学安排课时安排指数函数指数与指数幕的运算根式1分数指数幕及运算1无理式指数幕及运算1指数函数及其性质指数函数及其图像的认识1指数函数的图象与性质1底数Q对指数函数图像的影响1对数函数对数与对数运算对数及运算性质1换底公式1对数函数及其性质对数函数及其图像的认识1对数图像与性质1底数Q对对数函数图像的影响1幕函数幕函数幕函数的定义及其性质1小结小结指数函数、对数函数、幕函数1基本初等函数的应用1从教学内容与课时安排中可以看出，“指数与指数幂的运算”分成了3个课时，这样设计的目的在于让学生掌握指数概念与运算规律，为学生在这一单元的学习打好基础.在“小结”的课时安排上将其分成了2个课时，其中1个课时是对本单元所学知识的梳理，另1个课时是从整体应用的角度出发，培养学生的应用意识,总计基本初等函数的应用方法.3.单元教学设计方法以《基本初等函数》中的指数函数第2课时教学内容为例,注重培养学生对指数函数图像与性质的了解程度，并对对数函数与幂函数的学习做好铺垫.具体的设计流程为：巩固旧知：(1)复习回顾.联系“指数与指数幂运算”中学习的内容，说出指数函数的定义及其图像的画法.(2)解决问题.教师给学生布置一个问题,如判断下列哪个属于指数函数：①y=2*3%②y=3%+1③y=3%通过对已学知识的回忆，巩固所学，并为本节课的主题引入做好了铺垫,有助于学生利用已经积累的知识与经验探索新知.借助问答的形式考验学生的知识掌握情况,增加学生对指数函数定义的理解.操作实践：(1)绘制图像.组织每一个学生都参与到指数函数图像的绘制中,并能够利用描点法绘制出指定的图像,如指1%数函数y=3%和y=(3)的图象.(2)探究性质.教师用计算机软件绘制出y=3%和y1%=(3)的图象，要求学生以小组的形式观察图像，并找出其定义域、值域、单调性与特殊点.(3)熟能生巧.依照上述中举出的例子，你能找出指数函数y=5%和y=(5)%的定义域、值域、单调性与特殊点吗？(4)规律总结.组织交流，分析上述中的两组指数函数的性质，思考它们之间的性质是否存在共同点？学生动手画图像，可以更好地感受指数函数,在小组合作学习中，发挥了集体的智慧,让学生可以在互动交流中发现函数性质的共同点,为后续的教学做好铺垫.类比推广：同学们已经对上述中的两组指数函数性质与共同点进行了分析,那么是不是所有指数函数都具备上述中我们发现的共同点呢？请同学们推理并验证.通过类比推理的方式，让学生掌握数学方法从特殊到一般的发现过程,提高学生的数学推理能力.解决问题：1.请同学们比较下列数的大小•(1)3°8,30-7(2)0.75一0.1,0.75012.求使不等式4%>32成立的%的集合.通过当堂训练，加深学生对此内容的理解程度,并锻炼学生的问题分析与解决能力,提高学生的知识运用能力.总之,基于单元背景下的高中数学教学设计,可以构建以主题为引领的数学课堂，加强各个数学课时、数学知识点之间的联系,在很大程度上提高了数学教学内容的结构化，弥补了传统数学教学中的知识碎片化问题,有助于避免高中生数学知识的断裂与遗忘,引领学生构建完整的知识体系,具有重要的教学意义与价值.对此,高中数学教师应根据单元教学的特点与目标,不断地探寻单元教学设计的有效方法,以此促进高中数学教学质量的提升.参考文献：[1]潘丙理.高中数学单元教学设计---从收敛走向发散[J].课程教育研究,2020(02)：101-102.[2]戴大成.基于单元教学设计的课时教学研究——以“任意角的三角函数”为例[J].华夏教师,2019(25)：65 -66.[3]李梅,张博.高中数学单元教学设计对提高学生核心素养的研究[J].学周刊,2019(23)：70-71.[4]刘权华.高中数学单元教学设计存在的问题及对策[J].教学与管理,2019(04)：48-49.[5]任念兵.高中数学中观教学设计:现状、问题与对策[J].教育研究与评论(中学教育教学),2018(09)：23-24.[责任编辑：李璟]—47—。

教案模板范文初等函数

一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握初等函数的概念，理解函数的定义域、值域、对应法则；（2）学会函数图像的绘制，并能根据函数表达式判断其性质；（3）了解初等函数的应用，如求函数的最值、解方程等。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）通过小组合作探究，让学生掌握函数图像的绘制方法，提高学生的动手能力；（3）通过实际问题解决，培养学生的应用意识和解决问题的能力。

3. 情感与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养数学思维；（2）让学生认识到数学在生活中的广泛应用，树立数学为生活服务的观念；（3）培养学生的合作精神，提高团队协作能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）初等函数的概念及性质；（2）函数图像的绘制方法；（3）函数的实际应用。

2. 教学难点：（1）函数定义域、值域的确定；（2）函数图像的绘制；（3）函数的实际应用问题。

三、教学过程1. 创设情境，导入新课（1）教师通过生活中的实例引入函数的概念，如温度与时间的关系、身高与年龄的关系等；（2）引导学生思考函数的定义域、值域、对应法则等概念。

2. 合作探究，学习函数性质（1）学生分组，根据函数表达式，绘制函数图像；（2）小组讨论，总结函数图像的绘制方法，并判断函数的性质；（3）教师巡视指导，解答学生疑问。

3. 实际应用，巩固知识（1）教师给出实际问题，如求函数的最值、解方程等，让学生独立完成；（2）学生展示解题过程，教师点评并总结；（3）针对学生易错点进行讲解，加深学生对知识的理解。

4. 总结反思，拓展延伸（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结初等函数的概念、性质及应用；（2）布置课后作业，巩固所学知识；（3）拓展延伸：引导学生思考函数在实际生活中的应用，如经济、物理等领域。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作精神等；2. 作业完成情况：检查学生对本节课所学知识的掌握程度；3. 实际应用能力：通过实际问题解决，评估学生的应用能力。

高中数学第一章基本初等函数(II)示范教案新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教案

第一章基本初等函数（II）示范教案整体设计本章网络结构1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得到了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．复习不是知识的罗列，方法的重复，而是知识的整合，能力的再提升、智慧火花的再闪现．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《基本初等函数Ⅱ》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，要求学生切实掌握三角函数的基本性质；掌握判定三角函数奇偶性；确定单调区间及求周期的方法；熟练掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图；掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明；会由已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的三角函数值求角．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数的基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想、类比思想等数学思想方法激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新、大胆猜想以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.让学生先来回顾全章单元目录，熟悉一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用．并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.你现在已经会求任意角的三角函数值，并会由三角函数值求角，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．那么，你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固提出问题1我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？2本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？3本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？4你是如何得到正弦线、余弦线和正切曲线的？5你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：教师引导学生认真回顾本章的学习过程．问题(1)，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题(2)，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 问题(3)，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高，让学生明晰它们之间的逻辑关系．幻灯片如下：公式一公式二 sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Zsin(－α)＝－sinα， cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tan α 公式三公式四 cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cosαsin[α＋(2k ＋1)π]＝－sinαtan[α＋(2k ＋1)π]＝tanα cos(α＋π2)＝－sinα， sin(α＋π2)＝cos α 问题(4)，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯片(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题(5)，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，应牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：(1)～(5)略．应用示例思路1例1已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：(1)若角α终边过点P(4,3)，则2sinα＋cosα＝2·35＋45＝2； (2)若角α终边过点P(－4,3)，则2sinα＋cosα＝2·35＋－45＝25； (3)若角α终边过点P(－4，－3)，则2sinα＋cosα＝2·－35＋－45＝－2； (4)若角α终边过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα＝2·－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关．变式训练1．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(x 2＋3π2)(x∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案：C2．函数y ＝cosx(x∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )A ．－sinxB ．sinxC ．－cosxD ．cosx答案：A例2已知sinα＋3cosα＝0，求：(1)3cosα－sinα3cosα＋sinα；(2)2sin 2α－3sinαcosα＋2的值．解：(1)由已知，得tanα＝－3，所以，3cosα－sinα3cosα＋sinα＝3－tanα3＋tanα＝3＋33－3＝－2－ 3. (2)2sin 2α－3sinαcosα＋2＝4sin 2α－3sinαcosα＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tanα＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tanα＋2)＝11＋－32(4×9＋3×3＋2)＝4710.点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，例3已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用，及训练学生分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T.但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8. 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)，得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解为φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2ω＋φ＝1，sin 6ω＋φ＝0.所以，在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π.从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 点评：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能止一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的．思路2例题已知函数f(x)＝12log (sinx －cosx)．(1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5 正、余弦曲线解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4单位圆中的三角函数线或图5中的正、余弦曲线，知2kπ＋π4＜x ＜2kπ＋5π4(k∈Z )，∴函数定义域为(2kπ＋π4，2kπ＋5π4)(k∈Z )．∵sinx－cosx ＝2sin(x －π4)， ∴当x∈(2kπ＋π4，2kπ＋5π4)时，0＜sin(x －π4)≤1. ∴0＜sinx －cosx≤2.∴y≥12log 2＝－12.∴函数值域为[－12，＋∞)． (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知，以第Ⅰ、Ⅱ象限的角平分线为标准，可确定sinx －cosx 的符号．以第Ⅱ、Ⅲ象限的角平分线为标准，可确定sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函变式训练如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用角α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tanα的值．解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cosα，sinα)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角．由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sinα＝45，且α为锐角．故sinα＝35，tanα＝43.课堂小结你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sinπx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12)B ．y ＝f(2x －1)C ．y ＝f(12x －1)D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本教案设计只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处．在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳整合的结果直接告诉学生．2．本教案设计注重了学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．本教案设计注重了思维层次的提高，复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A 、B 、C 之间的关系是( ) A ．B A C B ．A B CC ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4π D．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( ) A ．y ＝3sin(2x ＋7π12) B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx＋π12) D ．y ＝32sin(2πx－π12) 7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则f(x)的图象( ) A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于直线x ＝512π对称 C ．关于点(512π，0)对称 D ．关于直线x ＝π12对称 8．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.9．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cosαsinβ)x ＋(cosβsinα)x <2. 参考答案：1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.09．证明：由α＋β>π2，知α>π2－β，又由α，β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sinα>sin(π2－β)＝cosβ，cosα<cos(π2－β)＝sinβ.∴0<cosβsinα<1,0<cosαsinβ<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cosβsinα)x ＜1，(cosαsinβ)x ＜1.∴f(x)＝(cosαsinβ)x ＋(cosβsinα)x <2.。

高中数学人教新课标必修一B版教案基本初等函数(I)单元教学设计

人教B版，必修1，基本初等函数（Ⅰ）单元教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数与对数函数分3小节（3.2.1-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.第三大节3.3幂函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.第四大节3.4 函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP 的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C 的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神．本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用． 3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题．一知识目标1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y=log a x (a >0，且a ≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．通过特殊的幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1x 了解幂函数9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．(二)能力目标1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．(三)价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比（2）变化之处1．加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．(2)加强了信息技术整合的要求．明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解． 2．削弱的内容(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数xlog y a =（1a ,0a ≠>且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．（1）增加了幂函数(y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1-x )的内容；（2）换底公式又恢复为教学内容. 6.教学建议1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值．2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。

数学单元实施方案

数学单元实施方案为了更好地实施数学单元教学，我们需要制定一个详细的实施方案，以确保教学质量和学生学习效果。

本文将从教学目标、教学内容、教学方法和评价方式等方面进行详细阐述。

首先，我们需要确定数学单元的教学目标。

教学目标应该明确具体，能够指导学生学习，同时与学校的教育目标相一致。

在确定教学目标时，我们需要考虑学生的年龄、认知水平和学习需求，确保目标的可行性和适应性。

此外，教学目标还应该包括知识、能力和情感态度等多个方面，以全面促进学生的发展。

其次，我们需要明确数学单元的教学内容。

教学内容应该与教学目标相一致，具有系统性和完整性。

在确定教学内容时，我们需要遵循课程标准和教材要求，同时结合学生的实际情况，合理安排教学内容的深度和广度，确保内容的科学性和实用性。

在教学方法方面，我们需要根据教学内容和学生的特点，选择合适的教学方法。

例如，可以采用讲授法、示范法、讨论法、实验法等多种教学方法相结合的方式，以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。

同时，我们也应该注重培养学生的问题解决能力和创新思维，引导他们积极参与课堂活动，提高他们的学习效果。

最后，我们需要确定数学单元的评价方式。

评价方式应该与教学目标相一致，能够全面客观地评价学生的学习情况。

在确定评价方式时，我们需要考虑学生的认知水平和学习需求，选择合适的评价工具和方法，确保评价的科学性和公正性。

同时，我们也应该注重对学生学习过程的评价，及时发现问题，及时调整教学策略，提高教学效果。

总之，数学单元的实施方案对于教学质量和学生学习效果具有重要意义。

只有制定了科学合理的实施方案，我们才能更好地指导学生学习，提高他们的学习兴趣和学习效果。

希望本文所述的内容能够对数学单元的实施提供一定的参考和帮助。

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