2019学年河北省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
2022-2023学年河北省邢台市宁晋中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年河北省邢台市宁晋中学高一（上）期末数学试卷1. 已知sin37∘=35，则cos593∘=( ) A. 35B. −35C. 45D. −452. 定义在R 上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，则下列判断正确的是( ) A. f(32)<f(−12)<f(14) B. f(14)<f(−12)<f(32) C. f(32)<f(14)<f(−12) D. f(−12)<f(−32)<f(14) 3. 设集合A ={x|−3≤2x −1<3}，B ={x|x =2k +1,k ∈Z}，则A ∩B =( )A. {x|−1≤x <2}B. {x|−1<x ≤2}C. {−1,1}D. {−1,0,1}4. 若函数f(x)=3(2a−1)x+3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,12)B. (12,+∞) C. (12,1)∪(1,+∞) D. (12,1)5. 函数f(x)=√2−x x 0的定义域是( ) A. (−∞,2]B. (0,2)C. (−∞,0)∪(0,2)D. (−∞,0)∪(0,2]6. 函数y =log a (x −1)+4的图像恒过定点P ，点P 在幂函数y =f(x)的图像上，则f(4)=( )A. 16B. 8C. 4D. 27. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻的两个零点之间的距离是π6，且直线x =π18是f(x)图象的一条对称轴，则f(π12)=( )A. −√32 B. −12 C. 12 D. √32 8. 若a =log 32，5b =3，c =log 74，则a ，b ，c 的大小关系( ) A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. b <c <a9. 若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A. 若a >b ，c >d ，则a +c >b +d B. 若a <b ，则a 3<b 3C. 若a >b ，则ba <abD. 若a >b ，则a(c 2+1)>b(c 2+1)10. 已知函数f(x)=a x −(1a )x ，其中a >0且a ≠1，则下列结论正确的是( ) A. 函数f(x)是奇函数B. 函数f(x)=0在其定义域上有解C. 函数f(x)的图象过定点(0,1)D. 当a >1时，函数f(x)在其定义域上为单调递增函数11. 下列四个函数中，以π为周期，且在区间(π2,3π4)上单调递减的是( )A. y =|sinx|B. y =cos2xC. y =−tanxD. y =sin|2x|12. 已知函数f(x)=|log a (x +1)|(a >1)，下列说法正确的是( ) A. 函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B. 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减 C. 函数f(x)在区间[−12,1]上的最小值为0D. 若对任意x ∈[1,2]，f(x)>1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2)13. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=2x −x 2，则f(−1)=______. 14. 已知sinα−3cosα=0，则sin 2α+sin2α=______. 15. 已知cosθ=−45，θ∈(π2,π)，则cos(θ+π4)=______. 16. 设实数x 满足log x 4−log 2x =1，则x =______. 17. 已知函数f(x)=x 2+ax +3.(1)若f(x)有一个零点为x =3，求a ；(2)若当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．18. 化简求值：(1)2723+2⋅(e −1)0√5+2−1614； (2)lg√5+lg√20+lg14−lg25. 19. 已知f(θ)=cos(2π−θ)sin(−θ)tan(π+θ)cos(π−θ)sin(π2−θ)cos(π2+θ). (1)化简f(θ)；(2)若θ为第四象限角，且cosθ=√23，求f(θ)的值．20. 已知一次函数f(x)满足f(2)=3，f(x +1)−f(x)=2.(1)求f(x)的解析式；(2)若∀x ∈R ，m(x 2+1)+mf(x)<1，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求A ，ω和φ的值；(2)求函数y =f(x)在[1,2]上的单调递减区间；(3)若函数y =f(x)在区间[a,b]上恰有2022个零点，求b −a 的取值范围．22. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)−x 2与g(x)=log 4(a ⋅2x −43a).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若函数F(x)=f(x)−g(x)有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵sin37∘=35，∴cos593∘=cos(360∘+233∘) =cos233∘=cos(270∘−37∘)=−sin37∘=−35， 故选：B.利用诱导公式化简求值即可．本题考查诱导公式化简求值，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵f(x)为定义在R 上的偶函数，∴f(−12)=f(12)， ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数且14<12<32，∴f(14)>f(12)>f(32)， 即f(14)>f(−12)>f(32)， 故选：A.根据函数奇偶性和单调性的性质即可得到结论． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1≤x <2}，B ={x|x =2k +1,k ∈Z}，∴A ∩B ={−1,1}.故选：C.可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于容易题．4.【答案】A【解析】解：由于底数3∈(1,+∞)，所以函数f(x)=3(2a−1)x+3的单调性与y =(2a −1)x +3的单调性相同．因为函数f(x)=3(2a−1)x+3在R 上是减函数，所以y =(2a −1)x +3在R 上是减函数，所以2a −1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是(−∞,12)， 故选：A.结合复合函数的单调性原则及指数函数的单调性即可求解．本题主要考查了复合函数单调性的应用，解题的关键是清楚复合函数单调性原则．5.【答案】C【解析】解：要使函数f(x)=√2−x +x 0有意义，则有{2−x >0x ≠0，解得x <2且x ≠0，所以函数的定义域为(−∞,0)∪(0,2). 故选：C.根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解．本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由y =log a (x −1)+4，可知当x =2时，y =4恒成立，故P(2,4)， 设幂函数为f(x)=x n ，则4=2n ，解得n =2，故f(x)=x 2， 所以f(4)=42=16. 故选：A.先根据对数函数的性质求出P ，再用待定系数法求出幂函数的解析式，最后求出f(4)的值． 本题考查对数函数的性质和幂函数解析式的求法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻的两个零点之间的距离是12×2πω=π6，∴ω=6.∵直线x =π18是f(x)图象的一条对称轴，∴6×π18+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=π6，f(x)=sin(6x +π6)， 则f(π12)=sin 2π3=sin π3=√32， 故选：D.由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出ω和φ的值，可得函数的解析式，从而得f(π12)的值． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：0=log31<a=log32<log33=1，0=log71<c=log74<log77=1，a=log32=log94<log74=c，排除选项CD；∵5b=3，∴b=log53，则0=log51<b=log53<log55=1，∵2log23=log29>3，2log35=log325<3，∴log23>log35，∴a=log32<log53=b，排除选项B.故选：A.利用指数与对数的互化、对数函数的单调性，利用排除法能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查指数与对数的互化、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：A、若a>b，c>d，则a+c>b+d，正确；B、若a<b，则a3<b3，正确；C、当a=2，b=−1时，ba >ab，故错误；D、若a>b，c2+1>0，则a(c2+1)>b(c2+1)，正确．故选：ABD.由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：因为f(x)=a x−(1a)x=a x−a−x，定义域为R，f(−x)=a−x−a x=−f(x)，所以f(x)为奇函数，且f(0)=0，故选项A，B正确，选项C错误；a>1，0<1a <1，y=a x，y=−(1a)x在R上均为增函数，f(x)在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确．故选：ABD.对于A，先求出定义域后利用奇函数的定义判断，对于BC，由A可知f(x)为R上的奇函数，所以可得f(0)=0，从而可进行判断，对于D，由指数函数的单调性判断根据函数的定义域和单调性进行逐一判断即可，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：∵y=|sinx|的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2,3π4)上单调递减，故A满足条件．∵y=cos2x的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2,3π4)上单调递增，故B不满足条件．∵y =−tanx 的最小正周期为π，且在区间(π2,3π4)上单调递减，故C 满足条件． ∵y =sin|2x|没有周期性，故D 不满足条件． 故选：AC.由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论． 本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对A ：将(0,0)代入f(x)=|log a (x +1)|(a >1)，成立，故A 正确；对B ：当x ∈(0,+∞)时，x +1∈(1,+∞)，又a >1，所以f(x)=|log a (x +1)|=log a (x +1)， 由复合函数单调性可得，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=|log a (x +1)|单调递增，故B 错误； 对C ：当x ∈[−12,1]时，x +1∈[12,2]，则f(x)≥log a 1=0，故C 正确； 对D ：当x ∈[1,2]时，f(x)=|log a (x +1)|=log a (x +1)>1恒成立， 所以由函数为增函数可知log a 2>1即可，解得1<a <2，故D 正确； 故选：ACD.代入验证可判断A ，由复合函数的单调性可判断B ，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C ，由函数单调性建立不等式可求解判断D.本题考查对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：根据题意，当x >0时，f(x)=2x −x 2，则f(1)=2−1=1， 又由f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(−1)=−f(1)=−1， 故答案为：−1.根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，又由奇函数的性质可得f(−1)=−f(1)，即可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.【答案】32【解析】解：因为sinα−3cosα=0， 所以tanα=3， 则sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosαsin2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=32+2×332+1=32.故答案为：32.由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角的正弦公式及同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了二倍角的正弦公式及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】−7√210【解析】解：因为cosθ=−45，θ∈(π2,π)， 所以sinθ=√1−cos 2θ=35，所以cos(θ+π4)=cosθcos π4−sinθsin π4=−45×√22−35×√22=−7√210. 故答案为：−7√210.首先求出sinθ，再根据两角和的余弦公式计算可得．本题主要考查了两角和的余弦公式及同角基本关系的应用，属于基础题．16.【答案】2或14【解析】解：由已知可得x >0且x ≠1，设log 2x =t ，则方程log x 4−log 2x =1化简为：2t −t =1， 即t 2+t −2=0，解得t =1或−2，当t =1时，log 2x =1，则x =2，当t =−2时，log 2x =−2，则x =14， 所以实数x 的值为2或14， 故答案为：2或14.利用对数的性质求出x 的范围，然后化简已知方程，再利用对数的运算性质建立方程，进而可以求解．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．17.【答案】解：(1)因为f(x)有一零点x =3，所以32+3a +3=0， 所以a =−4；(2)因为当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，即x 2+ax +3−a ≥0恒成立， 则Δ=a 2−4(3−a)≤0，即a 2+4a −12≤0， 解得−6≤a ≤2， 所以a 的取值范围是[−6,2].【解析】(1)由零点的概念，可得f(3)=0，解方程可得所求值；(3)由题意可得x 2+ax +3−a ≥0恒成立，只需判别式不大于0，解不等式可得所求范围． 本题考查函数的零点和恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)2723+2⋅(e−1)0+√5+21614=32+2×1+√5−2−2=7+√5.(2)lg√5+lg√20+lg 14−lg25=lg√100+lg1 100=lg10−2=−1.【解析】(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)由三角函数诱导公式有：f(θ)=cosθ(−sinθ)tanθ(−cosθ)cosθ(−sinθ)=−tanθcosθ=−sinθ.(2)因为θ为第四象限角，且cosθ=√23，可得sinθ=−√1−29=−√73，可得f(θ)=√73.【解析】(1)由三角函数诱导公式即可化简得解．(2)由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20.【答案】解：(1)设f(x)=kx+b，则f(x+1)=k(x+1)+b，∵f(x+1)−f(x)=2，即k(x+1)+b−(kx+b)=2，解得k=2，∴f(x)=2x+b，又f(2)=2k+b=3，则b=−1，故f(x)的解析式为f(x)=2x−1；(2)由(1)得f(x)=2x−1，若∀x∈R，m(x2+1)+mf(x)<1，即m(x2+1)+mf(x)<1，则mx2+2mx−1<0，∴∀x∈R，mx2+2mx−1<0，①当m=0时，不等式mx2+2mx−1<0变为−1<0，满足条件；②当m ≠0时，则{m <0(2m)2+4m <0，解得−1<m <0，综上所述，实数m 的取值范围为(−1,0].【解析】(1)由题意可设f(x)=kx +b ，结合条件，即可得出答案；(2)由(1)得f(x)=2x −1，若∀x ∈R ，m(x 2+1)+mf(x)<1，即m(x 2+1)+mf(x)<1，则mx 2+2mx −1<0，分类讨论m =0，m ≠0，即可得出答案．本题考查函数解析式的求法，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)据图知A =1，T =2(43−13)=2，ω=2π2=π，故f(x)=sin(πx +φ)，则sin(13π+φ)=0，故13π+φ=2kπ，k ∈Z ，因为|φ|<π2，故φ=−π3， 故A =1，ω=π，φ=−π3，所以f(x)=sin(πx −π3)；(2)要求原函数的单调减区间，只需π2+2kπ≤πx −π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ， 即56+2k ≤x ≤116+2k ，k ∈Z ，结合x ∈[1,2]得1≤x ≤116， 故f(x)的单调递减区间为[1,116]；(3)因为f(x)的周期为2，若函数f(x)在[a,b]上恰有2022个零点， 则1010×2+1≤b −a <1011×2，解得b −a 的取值范围为[2021,2022). 【解析】(1)结合五点法作图的思路，求出A ，ω，φ的值； (2)结合正弦函数的单调性，确定出函数f(x)的单调减区间； (3)结合三角函数的周期性求解．本题考查三角函数的据图求式问题，以及三角函数的性质和应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=log 4(4x +1)−x2的定义域为R ，f(x)−f(−x)=log 4(4x +1)−log 4(4−x +1)−x =log 44x −x =0， ∴f(x)=f(−x)，∴f(x)为偶函数． (2)函数F(x)=f(x)−g(x)只有一个零点， 即log 4(2x +12x )=log 4(a ⋅2x −43a)，即方程2x +12x=a ⋅2x −43a >0有且只有一个实根．令t =2x >0，则方程(a −1)t 2−43at −1=0有且只有一个正根． ①当a =1时，t =−34，不合题意；②当a ≠1时，若方程有两相等正根，则Δ=(−4a)2−4×3(a −1)×(−3)=0，且4a2×3(a−1)>0，解得a =−3；满足题意t=2x>0，<0，即a>1时，满足题意t=2x>0.③若方程有一个正根和一个负根，则−1a−1∴实数a的取值范围为{a|a>1或a=−3}.【解析】(1)先判断f(x)的定义域，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；(2)利用换元法t=2x>0，然后把原方程转化为关于t的二次方程，结合二次方程实根分布可求．本题主要考查了函数的奇偶性，函数的零点，方程根的存在条件等知识的综合应用，属于中档题．第11页，共11页。
2022-2023学年河北省张家口市高一上学期期末考试数学试题(含解析)
绝密★启用前张家口市2022－2023学年度高一年级第一学期期末考试数学试卷班级____________ 姓名____________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{}x |x 2<4，B ＝{}－1，0，2，则A ∩B ＝A.{}－1，0B.{}－1C.{}0，2D.{}2 2．“πa >πb ”是“a >b ”的一个 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“∀x ∈()0，＋∞，3x 2＋3＝3x ”，则p 为A ．∃x ∈()0，＋∞，3x 2＋3≠3xB ．∃x ∉()0，＋∞，3x 2＋3＝3xC ．∀x ∉()0，＋∞，3x 2＋3≠3xD ．∃x ∈()0，＋∞，3x 2＋3＝3x4．函数f ()x ＝log 2()x －1－1x2的零点所在区间为A.()0，1B.()1，2C.()2，3D.()3，45．已知函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋3x ，－3≤x <1，x 2－3x ，1≤x ≤3，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫32＝ A ．－274 B ．－154 C ．－2716 D ．－15166．设a ＝0.30.3，b ＝0.40.3，c ＝0.30.4，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a7．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为A.19B.112C.116D.1208．已知方程x 2－2ax ＋6a ＋7＝0在[)2，＋∞上有实数解，则实数a 的取值范围为 A ．[)7，＋∞B ．(]－∞，－1∪[)7，＋∞C ．(]－∞，－7∪[)1，＋∞D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－112∪[)7，＋∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是A ．若a >b ，则1a <1bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，则a 3>b 3D ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 10．已知不等式3ax 2＋2ax ＋1>0，则下列说法正确的是A ．若a ＝－1，则不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，13B ．若不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2，43，则a ＝－18C ．若不等式的解集为()x 1，x 2，则121884x x⋅=D ．若不等式恒成立，则a ∈()0，311．若函数f ()x ＝lg ()x 2＋ax －a ，则下列说法正确的是 A ．若a ＝0，则f ()x 为偶函数 B ．若f ()x 的定义域为R ，则－4<a <0C ．若a ＝1，则f ()x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．若f ()x 在()－2，－1上单调递减，则a <1212．已知函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧||lg x ，0<x ≤10，10－x －1，－10≤x ≤0，则下列说法正确的是A ．函数f ()x 在[)0，10上有两个零点B ．方程f ()x ＝t 在[)0，10有两个不等实根，则t ∈(]0，1C ．方程f ()x ＝t 在(]0，10上的两个不等实根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1D ．方程f ()x ＝10－|x |＋1共有两个实根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．幂函数f ()x 的图象过点()4，2，则f ()2＝________． 14．函数y ＝log 2()2x ＋2的值域为________． 15．不等式5×2x －4x >4的解集为________．16．若∀x ∈⎣⎡⎦⎤34，43，不等式4x 2－()λ＋3x ＋1≥0恒成立，则实数λ的取值范围为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 计算下列各式的值：（1）202022()2021-+（2）5log 3615510log 5log 100(log 2log 3)5⨯⨯++18．（本小题满分12分）已知集合A ＝{}x |2x 2－3x ＋1≤0，集合B ＝{}x |ax 2－（4a ＋1）x ＋4>0. （1）当a ＝2时，求A ∪B ；（2）若a >14，且满足A ⊆B ，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）李华计划将10 000元存入银行，恰巧银行最新推出两种存款理财方案．方案一：年利率为单利（单利是指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方法），每年的存款利率为2.5%.方案二：年利率为复利（复利是指在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式，也即通常所说的“利生利”），每年的存款利率为2%.（1）如果李华想存款x （x ∈N ）年，其所获得的利息为y 元，分别写出两种方案中，y关于x 的函数关系式； （2）李华最后决定存款10年，如果你是银行工作人员，请帮他合理选择一种投资方案，并告知原由．（参考数据：（1＋2%）10≈1.218 99，（1＋2%）9≈1.195 09） 20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝log a （x －2）＋log a （x －4）（a >0且a ≠1）． （1）若a ＝2，且g （x ）＝f （x ）－3，求函数g （x ）的零点； （2）当x ∈（4，6]时，f （x ）有最小值－3，求a 的值． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝ln x ＋11－x.（1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明你的结论；（2）在f （x ）>0的条件下，求函数g （x ）＝x 2＋2x ＋3x ＋1的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝⎩⎨⎧2x，0≤x ≤2，||x －6，x >2.（1）①作出函数f （x ）在[]－10，10上的图象；②若方程f （x ）＝a 恰有6个不相等的实根，求实数a 的取值范围． （2）设g （x ）＝log 2（x 2＋1）－，若∀x 1∈R ，∃x 2∈[1，＋∞），使得f （x 1）＋3a ≥g （x 2）成立，求实数a 的最小值．张家口市2022－2023学年度高一年级第一学期期末考试数学参考答案1.A 解析：∵A ＝x －2<x <2，∴A ∩B ＝－1，0，故选A. [命题意图] 本题考查集合的运算，落实数学运算素养，属于基础题． 2．C 解析：∵πa >πb ⇔a >b ，∴“πa >πb ”是“a >b ”的一个充要条件，故选C. [命题意图] 本题考查充分、必要条件，落实数学抽象素养，属于基础题．3．A 解析：“∀x ∈()0，＋∞，3x 2＋3＝3x ”的否定为“∃x ∈()0，＋∞，3x 2＋3≠3x ”，故选A.[命题意图] 本题考查含有全称量词命题的否定，落实数学抽象素养，属于基础题．4．C 解析：不难发现f ()x 在()1，＋∞上单调递增，f ()2·f ()3＝⎝⎛⎭⎫－14×⎝⎛⎭⎫1－19<0，故选C.[命题意图] 本题考查函数零点存在定理，落实数学抽象素养，属于基础题．5．B 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫32＝94－92＝－94，∵－94∈[)－3，1，∴f ⎝⎛⎭⎫－94＝3＋⎝⎛⎭⎫－94×3＝－154，故选B.[命题意图] 本题考查分段函数求值，落实数学运算素养，属于基础题．6．A 解析：y ＝0.3x 在R 上单调递减，则a ＝0.30.3>0.30.4＝c ，y ＝x 0.3在[)0，＋∞上单调递增，则a ＝0.30.3<0.40.3＝b ，∴c <a <b ，故选A.[命题意图] 本题考查指数函数与幂函数单调性，落实数学抽象素养，属于基础题．7．C 解析：xy 3x ＋y ＝13y ＋1x ＝1⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ()x ＋3y ＝13x y ＋3y x ＋10≤123x y ·3yx＋10＝116，当且仅当x ＝y ＝14时，等式成立，故选C.[命题意图] 本题考查基本不等式求最值，落实数学逻辑推理素养，属于中档题． 8．D 解析：令f ()x ＝x 2－2ax ＋6a ＋7，当a <2时，f ()x 在[)2，＋∞上单调递增，令f（2）＝22－2×2a ＋6a ＋7≤0⇒a ≤－112；当a ≥2时，Δ＝4a 2－4×()6a ＋7≥0⇒a ≥7.综上所述，a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－112∪[)7，＋∞，故选D. [命题意图] 本题考查二次方程根的存在性问题，落实数学抽象素养，属于中档题．9．CD 解析：对于A ：当a ＝2，b ＝－1时，则1a >1b；对于B ：当a ＝－1，b ＝0时，a <b ；对于C ：a >b ⇒a 3>b 3；对于D ：若a <b <0时，在不等式两边同时乘以a ，则a 2>ab ，同时乘以b ，则ab >b 2，则a 2>ab >b 2，故选CD.[命题意图] 本题考查不等式的性质，落实数学运算素养，属于基础题．10．ABC 解析：对于A ：－3x 2－2x ＋1>0⇔3x 2＋2x －1<0⇒－1<x <13；对于B ：可知－2是方程3ax 2＋2ax ＋1＝0的一个实数根，代入得a ＝－18；对于C ，易知x 1＋x 2＝－23，所以8x 1·8x 2＝23x 1·23x 2＝23()x 1＋x 2＝2－2＝14；对于D ：当a ＝0时，1>0恒成立．当a ≠0时，a >0且Δ＝4a 2－12a <0⇒0<a <3，∴a ∈[)0，3，故选ABC.[命题意图] 本题考查含参不等式的综合应用，落实数学运算素养，属于中档题． 11．AB 解析：若a ＝0，则x ≠0，则f ()－x ＝lg []()－x 2＝lg ()x 2＝f ()x ，故A 正确；若f ()x 的定义域为R ，则Δ＝a 2＋4a <0，即－4<a <0，故B 正确；若a ＝1，x 2＋x －1>0，∴x <－1＋52或x >5－12，令g ()x ＝x 2＋x －1，可知g ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞上单调递增，且y ＝lg x 单调递增，∴f ()x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞，故C 错误；令h ()x ＝x 2＋ax －a ，若f ()x 在()－2，－1上单调递减，则h ()－1≥0且－a 2≥－1，∴a ≤12，故D 错误，故选AB.[命题意图] 本题考查复合函数的综合应用，落实数学抽象素养，属于中档题． 12．ACD 解析：函数f ()x ＝0⇒x ＝0或1，可知A 正确，B 错误；不妨设0<x 1<x 2，则||lg x 1＝||lg x 2，即－lg x 1＝lg x 2，lg x 1＋lg x 2＝0，∴x 1x 2＝1，故C 正确；令g ()x ＝⎝⎛⎭⎫110||x＋1，作图可知f ()x 与g ()x 共2个交点，即方程f ()x ＝10－||x ＋1共有两个实根，故选ACD.[命题意图] 本题考查分段函数的图象以及图象的变化，落实数学抽象素养，属于难题．13.2 解析：∵f ()x ＝x α，∴f ()4＝4α＝2，∴α＝12，∴f ()x ＝x ，∴f ()2＝ 2.[命题意图] 本题考查幂函数的解析式以及指数幂的运算，落实数学运算素养，属于基础题．14.()1，＋∞ 解析：t ＝2x ＋2>2，y ＝log 2t >log 22＝1，故y ∈()1，＋∞. [命题意图] 本题考查复合函数求值域问题，落实数学运算素养，属于基础题．15.()0，2 解析：式子整理变形可得()2x 2－5×2x ＋4<0⇒()2x －1()2x －4<0⇒1<2x <4⇒0<x <2，即x ∈()0，2.[命题意图] 本题考查复合函数不等式问题，落实数学抽象素养，属于中档题．16.⎝⎛⎦⎤－∞，43 解析：参变分离，式子整理变形可得4x 2＋1x≥λ＋3恒成立⇒⎝⎛⎭⎫4x ＋1x min ≥λ＋3，f ()x ＝4x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤34，43上单调递增，∴f ()x min ＝f ⎝⎛⎭⎫34＝3＋43≥3＋λ⇒λ≤43，故实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43. [命题意图] 本题考查二次不等式恒成立问题，落实数学抽象素养，属于中档题． 17．解：（1）202022()221 3.2021-+=+-=（5分） 5log 361551015lg6(2)log 5log 100(log 2log 3)5(2)3231lg6lg5g ⨯⨯++=⨯-⨯+=-+=（10分）[命题意图]本题考查幂运算及对数运算，是基础题． 18．解：（1）由题意知2x 2－3x ＋1≤0⇒12≤x ≤1，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，（2分）∵a ＝2，∴2x 2－9x ＋4>0⇒x <12或x >4，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >4，（4分）∴A ∪B ＝{}x |x ≤1或x >4.（6分）（2）不等式ax 2－（4a ＋1）x ＋4>0⇒（x －4）（ax －1）>0，∵a >14，∴1a <4，不等式可化为（x －4）⎝⎛⎭⎫x －1a >0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >4，（9分）又A ⊆B ，∴1a>1，∴a <1，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，1.（12分） [命题意图]本题考查一元二次不等式的解法与应用，也考查了集合之间包含关系问题，是综合性题目．19．解：（1）方案一中，一年的利息为10 000×2.5%＝250（元），∴y ＝250x ，x ∈N .（3分）方案二根据复利计算公式，y ＝10 000（1＋2%）x －10 000，x ∈N .（6分） （2）方案一中，10年的利息为250×10＝2 500（元），（9分）方案二中，10年的利息为10 000（1＋2%）10－10 000≈2 189.9（元）．（11分） 因为2 500>2 189.9，所以选择方案一．（12分）[命题意图]本题考查一次函数模型和指数型函数的应用，本题从数学素养上体现对学生数学建模、逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力．20．解：（1）要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －4>0⇒x >4，故函数f （x ）的定义域为()4，＋∞.（2分）则f （x ）－3＝0⇔log 2（x －2）（x －4）＝log 28， ∴（x －2）（x －4）＝8⇒x 2－6x ＝0，∴x ＝0或x ＝6.（5分） ∵x >4，∴函数g （x ）的零点为x ＝6.（6分）（2）当a >1时，x ∈（4，6]，f （x ）单调递增，无最小值，不合题意；（9分）当0<a <1时，x ∈（4，6]，f （x ）单调递减，有最小值f （6）＝log a 4＋log a 2＝log a 8＝－3，∴a ＝12.（12分）[命题意图]本题考查对数函数和单调性求最值，在解方程时要注意函数的定义域，求最值时讨论函数的单调性．本题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解、分类讨论的能力．21．解：（1）令x ＋11－x >0⇔x ＋1x －1<0，∴－1<x <1，∴f （x ）的定义域为（－1，1），定义域关于原点对称，（3分）又f （－x ）＝ln 1－x 1＋x ，f （x ）＝ln x ＋11－x ，且f （－x ）＋f （x ）＝ln 1－x 1＋x ＋ln x ＋11－x＝ln 1＝0，∴f （x ）为奇函数．（5分）（2）f （x ）>0⇔x ＋11－x >1⇔2xx －1<0，∴0<x <1，（7分）g （x ）＝x 2＋2x ＋3x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1≥2（x ＋1）·2x ＋1＝22，（10分）当且仅当x ＋1＝2，即x ＝2－1时，等号成立，（11分） ∴函数g （x ）的最小值为2 2.（12分）[命题意图]本题考查了函数奇偶性的判断、对数函数的性质、分式不等式的解法、基本不等式的应用，考查学生的运算能力和推理论证的能力．3分）②方程f （x ）＝a 恰有6个不相等的实根，等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有6个不同的交点，通过函数图象得，实数a 的取值范围为（1，4）．（6分）（2）不难发现g （x ）在[0，＋∞）上单调递增．（7分） 若∀x 1∈R ，∃x 2∈[1，＋∞），使得f （x 1）＋3a ≥g （x 2）成立， 等价于f （x 1）min ＋3a ≥g （x 2）min ，（8分）由（1）知f （x 1）min ＝0，又g （x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以g （x 2）min ＝g （1）＝12，（10分） ∴f （x 1）min ＋3a ≥g （x 2）min ⇒3a ≥12，∴a ≥16，故实数a 的最小值为16.（12分）[命题意图]本题考查重要函数、恒成立和存在性问题，本题从数学素养上体现对学生数学运算、逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解、推理论证能力．。
2019河北普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
河北省普通高中学业水平考试参考公式：柱体的体积公式：V=Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)锥体的体积公式：V=31Sh(其中S 为锥体的底面面积，h 为高) 台体的体积公式：V=)(31''S S S S ++h(其中S ′、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高)球的体积公式：V=π34R 3(其中R 为球的半径) 球的表面积公式：S=4πR 2(其中R 为球的半径)一、选择题 (本题共30道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合A=N ，B={x ||x |≤1}，则A ∩B=A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{x|-1≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤1} 2．tan120°=A ．33-B ．33C ．3-D ．3 3．等差数列{a n}的通项公式为a n =3n-1，则它的公差是A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量a =(1，-1)，b =(-1，2)，则|2a +b |=A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a>b ，则下列不等式成立的是A ． a 2>b 2B ．b a>1 C ．b a 2121< D ． lg(a-b)>0 6．在等差数列{a n }中，a 3=2，a 6+a 10=17，则a 13A ．31B ．64C ．15D ．30 7．对任意实数x ，不等式x 2-2x -a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ≥-1B ．a ≤-1C ．a <-1D ．a >-1 8．已知点A(2，-1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．2x 十y -3=0B ．2x -y -1=0C ．x -2y +1=0D ．x +2y -3=0 9．函数f (x )=2x +3x 的一个零点所在的区间是A ．(-2，-1)B ．(-1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)10．假设某车站每隔5分钟发一班车，若某乘客随机到达该车站，则其等车时间不超过3分钟的概率是A ．51 B ．52 C ． 53 D ．54 11．已知平面α⊥平面β，α∩B=l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A ．m ∥lB ．m ∥nC ．m ⊥nD ．n ⊥l12．若实数x ，y 满足 则z=x-3y 的最小值是 A ．34-B ．-10C ．-8D ．4 13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A ．21B ．33C ．36D ．45 14．若53cos -=α，παπ<<2，则sin α= A ．2512 B ．2512- C ． 2524 D ．2524-15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A ．23B ．3C ．0D ．21 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a tanC= c sinA ，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形17．函数f (x )=sin(ϕω+x )(ω>0，0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，8πB ．1，85πC ．2，4πD ．2，43π18．在直角三角形ABC 中，A=90°，AB=2，则AB ·BC = A ．-4 B ．4C ．-8D ．819．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2-a n ，则S 5=x+2≥0y ≥x x+2y-2y ≤0A ．31B ．63C ．1631 D ．3263 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=60°，a =1，b =3，则c ＝A ．1B ．2C ．2D ．3 21．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1，CA ⊥CB ，CC 1⊥底面ABC ，则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值是A ．33 B ．36 C ．22 D ．32 22．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率是A ．54B ．53C ．52D ．5123．已知函数y =f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+ax ，且f (1)=2，则a ＝A ．-1B ．1C ．-3D ．3 24．若直线x+y+1=0与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m=A ．1B ．17C ．9-22D ．9+22 25．已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．[1，+∞)B ．[2，+∞)C ．(－∞ ，1 ]D ．(－∞ ，2 ] 26．若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．627．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是A ．3：2B ．2：3C ．1：2D ．1：128．三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，已知G 为△ABC 的 重心，AB =a ，AC =b ，则BG =A ．32-a +31b B ．31-a －31bC ．32-a －31bD ．31-a +32b29．过坐标原点O 的直线l 与圆C ：4)32(22=+-y x 交于A ，B 两点，若OA OB 2=，则A ．63±B ．33± C ．±1 D ．3±30．若对函数y =f (x )图象上的任意一点A ，在其图象上均存在点B ，使得OA ⊥OB(O 为坐标原点)则称该函数为“好函数”，给出下列4个函数：①f(x)=x1; ②f (x )=x +1; ③f(x)=-x 2+2x +3; ④f (x )=2x 其中“好函数”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、解答題(本题共3道小题，31题6分，32题7分，33题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程)31．已知数列{a n }为等比数列，且a 1=1，8a 2-a 5=0(I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n +1}的前n 项和S n 。
河北省优质高中2024年高一下学期期末质量检测数学试卷(解析版)
2023-2024学年河北省优质高中高一下学期期末质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4UM = ，则（）A.1M ⊆B.4M⊆ C.5M∈ D.3M∉【答案】C 【解析】【分析】由补集运算得出集合M ，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M == ，所以{1,3,5}M =， 根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确． 故选：C ．2.已知0,R a b >∈，则“||||a b >”是“a b >”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】因为0a >，所以||a a =，所以||||||a b a b >⇔>，而||b b ≥， 当||||a b >，则a b >；当a b >时，若1,2a b ==−，则||||a b >不成立， 故“||||a b >”是“a b >”的充分而不必要条件． 故选：A ．3.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是9:5，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ） A.28 B.42C.56D.70【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样的要求计算即可．【详解】设被抽取参与调研的乙村村民有x 人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有9x 人，乙村为5x ，所以958x x −=，即2x =，所以参加调研的总人数9528x x += 故选：A ．4. 已知21,e e 是夹角为34π的单位向量，则1e 在2e 方向上的投影向量为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 1e【答案】B 【解析】【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．【详解】因为21221122222cos ,e e e e e e e e e e ⋅⋅=⋅=． 故选：B ．5. 下列结论正确的是（ ） A. 空间三点可以唯一确定一个平面B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行C. 若平面α⊥平面β，且l αβ= ，则平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 D 已知平面α和直线m ，则α内至少有一条直线与m 垂直 【答案】D 【解析】【分析】根据空间中的共面问题、空间中直线与平面的位置关系和空间中平面与平面的位置关系逐一判定即可．【详解】解：对于A ，要求三点不共线才可以唯一确定一个平面，故A 错误; 对于B ，显然对于两个相交平面，其中一个平面内有无数条直线与交线平行， 则由线面平行的判定定理易知该平面内有无数条直线与另一个平面平行， 但这两个平面不平行，故B 错误;对于C ，在平面α内取平行于交线的直线时，该直线不满足C 选项的说法，故C 错误;对于D ，已知平面α和直线m ，无论m 与α是何种位置关系，α内都有无数条直线与m 垂直，故D 正确． 故选：D.6. 已知π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444αβαβ−=+=−∈∈，则cos()αβ+=（ ）A 3365−B.3365C. 6365−D.6365【答案】A 【解析】【分析】先求出πsin 4α −和5πcos 4+ β的值，利用cos()cos()+=−++αβπαβ5ππcos 44=−+−− βα，即可求出cos()αβ+的值．【详解】π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444−=+=−∈∈αβαβππ5π5π3π0,24442∴−<−<<+<αβ， π45π5sin ,cos 45413 ∴−=−+=−αβ，5ππcos()cos(π)cos 44∴+=−++=−+−− αβαββα5ππ5ππcos cos sin sin 4444=−+−−+−βαβα531243313513565=−−×−−×−=−故选：A.7. 下列说法正确的是（ ）A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件 C. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D. 事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．.【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件， 举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误; 对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误; 对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确． 故选：D.8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120 角;当三角形有一内角大于或等于120 时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且22()6,sin sin 2B Ca b c b a B +−−==，若P 为ABC 的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 3− B. 2−C. 6−D. 32−【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理求出A ，结合题设易知点P 一定在ABC 的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出结果． 【详解】由sinsin 2B C b a B +=，及正弦定理得sin sin sin sin 2B CB A B +=，因为0πB <<，所以sin 0B >，消去sin B 得sinsin 2B CA +=． 因为0π,0π2+<<<<B C A ，故2B CA +=或π2BC A ++=， 而根据题意πA B C ++=，故π2B C A ++=不成立， 所以2B C A +=，又因为πA B C ++=，代入得3πA =，所以π3A =． 由三角形内角和性质可知，ABC 的三个内角均小于120 ， 结合题设易知点P 一定在ABC 的内部．由余弦定理可得22222()22(1cos )6a b c a b c bc bc A bc −−=−−+=−==，解得12π12π12π||||sin ||||sin ||||sin 232323△=⋅+⋅+⋅⋅ ABC S PA PB PB PC PA PC1sin 2bc A=， 所以||||||||||||6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，所以PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅2π2π2π||||cos ||||cos ||||cos 333=⋅+⋅+⋅ PA PB PB PC PA PC(2πcos 33PA PB PB PC PA PC =⋅+⋅+⋅=− ．故选：A .【点睛】思路点睛：解题的思路是由正弦定理求出A ，结合题设易知点P 一定在ABC 的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出答案．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若复数z 满足(2i)43i z +=−（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z 在复平面内对应的点位于第四象限B. 5z z ⋅=（z 是z 的共轭复数）C. 254i z =−D. 若12z =，则1z z −的最大值为2+ 【答案】ABD 【解析】【分析】先化简得出z ，再逐一判断选项即可． 【详解】43i (43i)(2i)510i12i 2i (2i)(2i)5z −−−−====−++−， 在复平面内所z 对应的点坐标为(1,2)−，在第四象限，故A 正确；(12i)(12i)145z z ⋅=−⋅+=+=，故B 正确；22(12i)144i 34i z =−=−−=−−，故C 错误；对于D ，12z =，则表示复数1z 的点P 的集合是以(0,0)为圆心，2为半径的圆， 而11(12i)z z z −=−−，即为点P 到点(1,2)M −之间的距离， 所以1z z −的最大值为22+=，故D 正确．故选：ABD .10. 如图，在ABC 中，,30,4AB AC C AB ⊥∠=°=，D 为线段AC 的中点，DM BC ⊥，F 为线段AB 的中点，E 为线段DM 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 若E 为线段DM 的中点，则1122EF DA MB =+B. 若E 为线段DM 的中点，则9||2EF =C. 16FM FD ⋅=D. EF AB ⋅取值范围为[2,8] 【答案】ACD 【解析】【分析】结合向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算等知识，逐一分析可得出结果． 【详解】对于A，由题易知：8,BC AD CD ===的所以3,CM DM ==则5,,30,,150BM BC CM DA MB ED AB =−=<>=°<°>= ．EF ED DA AF=++ ，且EF EM MB BF =++， 因为F 为线段AB 的中点，所以两式相加得1122EF DA MB =+，故A 正确． 对于B ，由题意可知DM BC ⊥，则CD CM CB CA =，解得：3CD CA CM CB ⋅==，所以5BM =，所以由A可知：||EF =B 错误； 对于C ，设G 为线段DM的中点，则12GMDM ==， 则()()()()FM FD FG GM FG GD FG GM FG GM ⋅=+⋅+=+⋅−222216FG GM =−=−= ，故C 正确; 对于D ，()EF AB ED DA AF AB ED AB DA AB AF AB ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅210||4cos150088||2ED AB AB ED ED =⋅++=⋅°++=−，又||ED ∈，所以[2,8]EF AB ⋅∈，故D 正确．【点睛】本题考查了向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．11. 六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体E ABCD F −−的棱长为a ，则下列说法中正确的是（ ）A. 此八面体的表面积为2B. 异面直线AE 与BF 所成的角为45C. 若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +D. 此八面体的外接球与内切球的体积之比为【答案】ACD 【解析】【分析】求解此八面体的表面积可判断A ；根据异面直线所成的角可判断B ；展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC 可判断C ；分别求得外接球与内切球体积判断D ． 【详解】对于A ，由正八面体，则EF 与AC 垂直相交，且长度相等，设交点为O ， 则O 即为正方形ABCD 的中心，由正八面体棱长为a a 的正三角形，则此八面体的表面积为2182a ××，故A 正确； 对于B ，由EF 与AC 垂直相交，且长度相等，则四边形AECF 为正方形，//AE FC ， 则直线AE 与BF 所成的角，即为BF 与CF 所成的角，正BCF △中60BFC ∠= ，故异面直线AE 与BF 所成的角为60 ，故B 错误；对于C ，展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC ，此时点P 为EB 中点时，AP CP +取得最小值为2，故C 正确；对于D ，由O，则O 为外接球球心，外接球半径为R =，则外接球体积为34π3 ×， 由题意可知O 到各面的距离相等，设为h ， 由E ABCD O ABE O BCE O CDE O ADE V V V V V −−−−−=+++，可得2211433a h ×=×，解得h =， 则O为内切球球心，内切球半径为r =，则内切球体积为34π3×，=，故D 正确；故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC 是解答C 选项的关键点．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−<则()()2e f f −=__________．【解析】【分析】利用分段函数0x <的解析式求出()2e 2f −=，所以()()()2e 2f f f −==【详解】因为函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−< ，则()22e ln e 2f −==，所以()()2e (2)f f f −==.13. 已知0,0a b >>，且9a b ab +=，则4a b +的最小值为__________． 【答案】49 【解析】【分析】由9a b ab +=可得191a b +=，即有1949(4)37b a a b a b a b++=++，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件.【详解】因为0,0a b >>且9a b ab +=，所以191a b+=，所以19494(4)136********b a a b a b a b a b+=++=+++≥+=+=，当且仅当49b aa b=即217,2a b ==时取等号，所以4a b +最小值为49. 故答案为：49．14. 我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是“函数()y f x a b =+−为奇函数”．易知21()21x x f x -=+为奇函数，则12()221x g x −=−+的图象的对称中心为__________；()2(2)2g xg x +−<的解集为__________．【答案】 ①. (1,1) ②. {01}xx <<∣ 【解析】【分析】由题意，可得()(1)1f x g x =+−为奇函数，进一步即可求出()g x 的图象的对称中心；()2(2)2g x g x +−<可化为()22(2)g x g x <−−即()2()g x g x <，从而求解可得．【详解】因为212()12121x x xf x −==−++为奇函数，而12()221x g x −=−+，即()(1)1f x g x =+−为奇函数，由题意知，()g x 的图象的对称中心是(1,1)； 所以2()(2)g x g x =+−，从而()2(2)2g x g x +−<可化为()22(2)g x g x <−−，即()2()g x g x <，由1221x y −=+为R 上单调递减函数，所以为R 上单调递增函数，所以2x x <，即01x <<． 故()2(2)2g xg x +−<的解集为{01}xx <<∣． 故答案为：①(1,1)；②{01}xx <<∣. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =−−． （1）求()f x 的最小正周期;（2）当π0,2x∈时，求()f x 的值域．【答案】（1）πT =（2）[ 【解析】【分析】（1）利用平方差公式、倍角公式的逆用、辅助角公式将()f x 化成单角单函数，再利用2πTω=得到()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x∈ 时，ππ5π2,444x +∈，利用余弦函数的图象，求得函数()f x 的值域．【小问1详解】()()422224cos sin 2sin s ()cos sin co sin 2sin cos cos f xx x x x x x x x x x −+−−=−=πcos 2sin 224x x x=−=+，所以2ππ2T ==． 【小问2详解】π0,2x∈ ，所以ππ5π2,444x +∈，所以πcos 24x +∈− ，所以()[f x ∈.所以函数()f x的值域为[．16.已知向量3(2,0),2ab = ．（1）若()()a b a b λ+⊥−，求实数λ的值;（2）若ka b + 与2a b −的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【答案】（1）76λ= （2）{35k k <−且2k ≠−} 【解析】【分析】（1）由已知()()0a b a b λ+⋅−=，代入坐标表示，可得所求；（2）由已知可得()(2)0ka b a b +⋅−< ，且ka b + 与2a b −不共线，代入坐标表示，可得所求．【小问1详解】因为()()a b a b λ+⊥−，所以()()0a b a b λ+⋅−= ．因为3(2,0),2ab =，所以73,2,22a b a b λλ +=−=−， 所以()()760a b a b λλ+⋅−=−= ，解得76λ=．【小问2详解】由已知可得()(2)0ka b a b +⋅−< ，且ka b + 与2a b −不共线，因为352,2,22ka b k a b +=+−=， 由()(2)0ka b a b +⋅−<，可得352022k+×+< ，解得35k <−． 若ka b + 与2a b −共线，则可得35222k+×=，解得2k =−，所以由ka b + 与2a b −不共线可得2k ≠−，所以k 的取值范围为35k k <−且}2k ≠−． 17. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =．（1）求图中a 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗?（3）河北文旅6知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1）0.01a =，79.5（2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】【分析】（1）利用频率和为1，即可求出a 值，再求平均值即可；（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，求估计40%分位数为540757>，即可判断；（3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【小问1详解】由题意知40.050.1a a ++=，解得0.01a =． 估计满意度得分的平均值为650.15750.35850.4950.179.5x=×+×+×+×=．的【小问2详解】超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，以为满意度在[60,70)的频率为0.150.4<，满意度在[60,80)的频率为0.50.4>， 可知40%分位数位于[70,80)． 则0.40.1554070100.50.157−+×=−，可以估计40%分位数为540757>，所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】把6月1日-6月15日的样本记为1240000,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ， 把6月16日-6月30日的样本记为1260000,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ， 则总样本平均数464680908610101010z x y =×+×=×+×=， 则总样本方差()()()(){}4000060000222222211114610000010i i x y i i s x z y z s x z s y z == =−+−=×+−++−∑∑ {}221475(8086)670(9086)9610=××+−+×+−= ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96．18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD ==，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体E BCD −是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由;（3）若二面角E BD C −−为π3，求点A 到平面EBD 的的距离 【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析 （3）1． 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可得； （2）证明BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体E BCD −的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（3）取DC 的中点F ，连接EF ，过F 作FG BD ⊥，连接EG ．然后通过线面垂直可得点A 到平面EBD 的距离=点C 到平面EBD 的距离=点F 到平面EBD 的距离的2倍，进而求出结果． 【小问1详解】如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点，所以PA OE ∥， 又PA ⊂平面,BDE OE ⊂平面BDE ， 所以//PA 平面BDE【小问2详解】因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD BC ⊥， 因为ABCD 为长方形， 所以BC CD ⊥， 因为PD CD D ∩=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC⊥平面PCD ，因为DE ⊂平面PCD ， 所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥， 因为PC BC C ∩=， 故可得,PC BC ⊂平面PBC ， 所以DE ⊥平面PBC ， 由BC⊥平面,PCD DE ⊥平面PBC ，可知四面体E BCD −的四个面都是直角三角形，即四面体E BCD −是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠； 【小问3详解】如图，取DC 的中点F ，连接EF ，过F 作FG BD ⊥，连接EG ． 因为,E F 分别是,PC DC 的中点，所以EF PD ， 所以EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EF BD ⊥，又因为,,,FG BD EF FG F EF FG ⊥=⊂ 平面EFG ， 所以BD ⊥平面EFG ，所以EGF ∠就是二面角E BD C −−的平面角，即π3EGF ∠=，所以tan EGF ∠1EF =，得FG =过F 作FH EG ⊥，因为BD ⊥平面,EFG FH ⊂平面EFG ，所以BD FH ⊥，又因,,BD EG G BD EG =⊂ 平面EBD ，所以FH ⊥平面EBD ， 在Rt EFG △中，1,EF FG==12FH =．因为,AC BD 互相平分，F 是DC 的中点，所以点A 到平面EBD 的距离=点C 到平面EBD 的距离=点F 到平面EBD 的距离的2倍1=， 即点A 到平面EBD 的距离为1．为19. 定义：双曲余弦函数e e cosh()2x x x −+=，双曲正弦函数e e sinh()2x xx −−=．（1）求函数cosh(2)sinh()yx x +的最小值;（2）若关于x 的不等式()()22222(1)ln cosh sinh x a xa x −>+ 的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围; （3）若3π,42πx∈，试比较cosh(sin )x 与sinh(cos )x 的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）78（2）3423a −<≤−或4332a ≤<（3）cosh(sin )sinh(cos )x x >，证明见解析 【解析】【分析】（1）利用新定义得出()()211cosh(2)sinh()e e e e 122x x x xy x x −−=+=−+−+，令e e x x t −=−，得出2211117122228y t t t =++=++ ，结合二次函数的性质，即可求出结果；（2）根据新定义，不等式化为222(1)x a x −>，根据题意，结合零点存在定理得出2(3)010,(2)0h a h −≤ −<−>，由此即可求出结果； （3）得出结论：π3π,,cosh(sin )sinh(cos )42x x x ∀∈> ，利用作差法，分π5π,44x ∈和5π3π,42x∈讨论，即可证出结果． 【小问1详解】依题意有()()222e e e e 11cosh(2)sinh()e e e e 12222x x x x x x x xy x x −−−−+−=+=+=−+−+，令e e x x t −=−，则2211117122228y t t t =++=++ ，因为函数e ,e x x y y −==−在R 上单调递增， 所以e e x x t −=−在R 上单调递增， 因为x ∈R ，所以R t ∈， 所以当12t =−，即e x =x =时， 函数cosh(2)sinh()yx x +有最小值78；【小问2详解】 因为()()22222222ln cosh sinh ln e a x a xa x a x +==， 所以原不等式可化为222(1)x a x −> 即()221210ax x −−+>，为满足题意，必有210a −<，即1a <−或1a >①， 令()22()121h x axx =−−+，由于2(0)10,(1)h h a =>=−，结合①可得(1)0 h <，所以()h x 的一个零点在区间()0,1上，另一个零点在区间[3,2)−−上，从而(3)0(2)0h h −≤ −> ，即()()22221(3)2(3)101(2)2(2)10a a −×−−×−+≤ −×−−×−+> ，② 由①②可得3423a −<≤−或4332a ≤<； 【小问3详解】π3π,,cosh(sin )sinh(cos )42x x x∀∈>，依题意，sin sin cos cos π3πe e e e ,,cosh(sin )sinh(cos )4222x x x x x x x −−+−∈−=− ()sin cos sin cos 1e e e e 2x x x x−−=−++，当π5π,44x∈时，[]ππ0,π,sin cos 044x x x x−∈−=−≥，即sin cos x x ≥，于是sin cos 0e e x x −≥， 而sin cos 0e e x x −−+>，因此cosh(sin )sinh(cos )0x x −>， 当5π3π,42x∈时，cos 0x ≤，则cos cos x x −≥， 所以cos cos e e x x −≥，即cos cos e e 0x x −−≥， 而sin sin 0e e x x −+>，因此cosh(sin )sinh(cos )0x x −>， 于是π3π,,cosh(sin )sinh(cos )042x x x∀∈−>， 所以cosh(sin )sinh(cos )x x >．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷(含答案)
2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=3−i，则z的虚部为( )A. −1B. 1C. −iD. 32.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为( )A. 7B. 10C. 15D. 203.已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为( )A. πB. 2πC. 5πD. (5+1)π4.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为( )A. 9，3B. 9，8C. 9，7D. 10，85.已知A，B是两个随机事件且概率均大于0，则下列说法正确的为( )A. 若A与B互斥，则A与B对立B. 若A与B相互独立，则A与B互斥C. 若A与B互斥，则A与B相互独立D. 若A与B相互独立，则A与B相互独立6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m⊥α，n//α，则m⊥nC. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥n，n⊥β，则m//β7.在正四面体ABCD中，E是棱BD的中点，则异面直线CE与AB所成角的余弦值为( )A. −56B. 56C. −36D. 368.已知锐角△ABC的面积为43，B=π3，则边AB的取值范围是( )A. (2,22)B. [22,4]C. (22,42)D. [22,42]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1−2i，则( )A. |z|=5B. z+z=2C. z⋅z=5D. 1z表示的点在第一象限10.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，AE=14AC，则( )A. DE =34DA +14DCB. DE =14DA +34DCC. BE =32BO +12BCD. BE =32BO−12BC 11.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，高为ℎ，BA =BC = 3，∠ABC =90∘，下列说法正确的是( )A. V C 1−A 1ABB 1=2V A 1−ABCB. 若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则ℎ=2 6− 3C. 若ℎ=3，则三棱锥A 1−ABC 外接球的体积为9π2D. 若ℎ=3，以A 为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为23π12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2021-2022学年河北省邢台市高一(上)期末数学试卷
2021－2022学年河北省邢台市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{0，1，2，3，5，6}，B ＝{0，2，4，6}，则A ∩B ＝( )A ．{2，6}B ．{0，1，2}C ．{0，2，6}D ．{0，2，3，6} 2．p ：－3π＜α＜3π，q ：0＜α＜3π，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数f (x )＝－log 5x －x ＋3的零点所在区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝x 2cos xB ．f (x )＝x ＋x 3C ．f (x )＝|x |sin xD ．f (x )＝x 2＋cos x 5．已知sin 2α2，则cos α＝( ) A ．－1625 B ．1625 C ．－2125 D ．21256．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为( )A ．36B ．42C ．49D ．567．已知a ＝12log 3，b ＝2sin23，c ＝2-0.1，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 8．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是( )(参考数据：取lg 2＝0.3，lg 3＝0.48)A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(多选)9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋5，则( )A ．f (0)＝0B ．函数g (x )＝xf (x )为奇函数C ．f (－1)＝－7D ．当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x －5(多选)10．已知不等式x 2＋16x ＋2＜0的解集为(tan α，tan β)，则( )A ．tan α＋tan β＝16B ．tan αtan β＝2C ．tan(α＋β)＝16D ．sin cos cos sin sin sin αβαβαβ+＝－8 (多选)11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋136π)＋cos(ωx －3π)＋1(0＜ω＜8)，且f (3π)＝2，则( ) A ．f (x )的值域为[－1，3] B ．f (x )的最小正周期可能为2π C ．f (x )的图象可能关于直线x ＝6π对称 D ．f (x )的图象可能关于点(－36π，1)对称 (多选)12．若函数f (x )＝22153,044153,044x x a a x a a x -⎧++<⎪⎪⎨⎪--->⎪⎩，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上单调递减，则a ≤－4C ．当a ≥－1时，若f (－2x )＞f (x ＋3)，则x ∈(－1，0)∪(0，＋∞)D ．若函数g (x )＝f (x )＋12有2个零点，则－3＜a ＜－2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f (x )＝|12m |x m 在(0，＋∞)上单调递减，则f (2)＝ ． 14．写出一个能说明“若函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)，则f (x )为奇函数”是假命题的函数：f (x )＝ ．15．函数f (x )＝21cos x ＋225sin x 的最小值为 ． 16．某挂钟秒针的端点A 到中心点O 的距离为20cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，A 与B 两点距离地面的高度差h (cm )与t (s )存在函数关系式，则解析式h (t )＝ ，其中t ∈[0，60]，一圈内A 与B 两点距离地面的高度差不低于30cm 的时长为 s ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)已知集合A＝{x|a＜x＜2a}，B＝{x|x2＋x－12≥0}．(1)当a＝2时，求A∪(∁R B)；(2)若A⊆∁R B，求a的取值范围．18．(12分)求值：(1)238－13827-⎫⎛⎪⎝⎭＋12×(0.25)0()23π-(2)(lg2)2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2•lg500－2lg2＋e ln2．19．(12分)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移524π个单位长度，向下平移1个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的单调区间．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋a ＋3)≥1．(1)若f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若f (x )≥1对x ∈[2，3]恒成立，求a 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝sin2x cos 2x －cos 22x 2cos(x ＋54π)＋12． (1)若x ∈(0，π)，求f (x 6的解集； (2)若α为锐角，且f (α)6tan2α值．22．(12分)已知二次函数f (x )＝mx 2＋bx －1(m ≠0)的图象关于直线x ＝－1对称，且关于x 的方程f (x )＋2＝0有两个相等的实数根．(1)求函数g (x )＝()2f x x +的值域； (2)若函数h (x )＝f (loga x )－log a x 4 (a ＞0且a ≠1)在[12，2]上有最小值－2，最大值7，求a 的值．2021－2022学年河北省邢台市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{0，1，2，3，5，6}，B ＝{0，2，4，6}，则A ∩B ＝( )A ．{2，6}B ．{0，1，2}C ．{0，2，6}D ．{0，2，3，6}解：集合A ＝{0，1，2，3，5，6}，B ＝{0，2，4，6}，则A ∩B ＝{0，2，6}．故选：C ．2．p ：－3π＜α＜3π，q ：0＜α＜3π，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由：－3π＜α＜3π，不能够推出0＜α＜3π，故p 是q 的不充分条件， 由：0＜α＜3π，能够推出－3π＜α＜3π，故p 是q 的必要条件， 综上，p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．3．函数f (x )＝－log 5x －x ＋3的零点所在区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)解：函数f (x )＝－log 5x －x ＋3是连续函数，f (3)＝－log 53－3＋3＝－log 53＜0，f (2)＝－log 52－2＋3＝1－log 52＞0，因为f (2)f (3)＜0，所以函数f (x )＝－log 5x －x ＋3的零点所在的区间是(2，3)．故选：B ．4．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝x 2cos xB ．f (x )＝x ＋x 3C ．f (x )＝|x |sin xD ．f (x )＝x 2＋cos x解：由f (x )的图象关于原点对称，可得f (x )为奇函数，而f (x )＝x 2cos x 为偶函数，f (x )＝x 2＋cos x 为偶函数，故排除选项A 、D ；由f (x )＝x ＋x 3满足f (－x )＝－x －x 3＝－f (x )，可得f (x )为奇函数，f (x )＝0时，x ＝0，即f (x )＝x ＋x 3的零点只有一个0，故排除选项B ，．故选：C ．5．已知sin 2α2，则cos α＝( ) A ．－1625 B ．1625 C ．－2125 D ．2125解：因为sin2α2， 所以cos α＝1－2sin 22α＝1－2×2)2＝2125． 故选：D ．6．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为( )A ．36B ．42C ．49D ．56解：因为扇形的周长为28，所以l ＋2R ＝28，其中l 为扇形的弧长，R 为扇形的半径，所以扇形的面积S ＝12lR ＝14l •2R ≤14·(122R +)2＝49，当且仅当l ＝2R ＝14时，等号成立， 所以扇形面积的最大值为49．故选：C ．7．已知a ＝12log 3，b ＝2sin23，c ＝2-0.1，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a解：a ＝12log 3＜12log 1＝0，b ＝2sin 23＞2 sin 6π＝1， 0＜c ＝2-0.1＜20＝1．∴a ＜c ＜b ．故选：A ．8．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是( )(参考数据：取lg 2＝0.3，lg 3＝0.48)A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n ，则15(1＋0.2)n －2020＞40，得(1.2)n －2020＞83， n －2020＞658log 3，得n ＞658log 3＋2020， 因为658log 3＋2020＝8lg36lg 5＋2020＝lg8lg3lg6lg5--＋2020＝()3lg2lg3lg2lg31lg2-+--＋2020＝2025.25，所以n ≥2026．故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(多选)9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋5，则( )A ．f (0)＝0B ．函数g (x )＝xf (x )为奇函数C ．f (－1)＝－7D ．当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x －5解：∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，故A 正确，f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1＋5)＝－7，故C 正确，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，则g (x )是偶函数，故B 错误，若x ＜0，则－x ＞0，则f (－x )＝x 2－x ＋5＝－f (x )，即f (x )＝－x 2＋x －5，故D 正确，故选：ACD ．(多选)10．已知不等式x 2＋16x ＋2＜0的解集为(tan α，tan β)，则( )A ．tan α＋tan β＝16B ．tan αtan β＝2C ．tan(α＋β)＝16D ．sin cos cos sin sin sin αβαβαβ+＝－8 解：不等式x 2＋16x ＋2＜0的解集为(tan α，tan β)，所以tan α＋tan β＝－16，tan α•tan β＝2，所以选项A 错误，选项B 正确；又tan(α＋β)＝tan tan tan tan αβαβ+＝1612--＝16，所以选项C 正确； 因为sin cos cos sin sin sin αβαβαβ+＝tan tan tan tan αβαβ+＝162-＝－8，所以选项D 正确． 故选：BCD ．(多选)11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋136π)＋cos(ωx －3π)＋1(0＜ω＜8)，且f (3π)＝2，则( ) A ．f (x )的值域为[－1，3] B ．f (x )的最小正周期可能为2π C ．f (x )的图象可能关于直线x ＝6π对称 D ．f (x )的图象可能关于点(－36π，1)对称 解：∵函数f (x )＝sin(ωx ＋136π)＋cos(ωx －3π)＋1＝sin(ωx ＋6π)＋cos(ωx －3π)＋1＝2sin(ωx ＋6π)＋1， ∵f (3π)＝2＝2sin(3πω＋6π)＋1， ∴sin(3πω＋6π)＝12． 由于0＜ω＜8，∴3πω＋6π＝56π，或3πω＋6π＝136π，∴ω＝2，或ω＝6， ∴f (x )＝2sin(2x ＋6π)＋1 或 f (x )＝2sin(6x ＋6π)＋1． 结合正弦函数的值域，可得f (x )的值域为[－1，3]，故A 正确； 由函数的解析式，可得它的周期为22π＝π，或26π＝3π，故B 错误； 当f (x )＝2sin(2x ＋6π)＋1时，对称轴为x ＝6π，故C 正确； 当 f (x )＝2sin(6x ＋6π)＋1时，图象关于(－36π，1)对称，故D 正确． 故选：ACD ．(多选)12．若函数f (x )＝22153,044153,044x x a a x a a x -⎧++<⎪⎪⎨⎪--->⎪⎩，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上单调递减，则a ≤－4C ．当a ≥－1时，若f (－2x )＞f (x ＋3)，则x ∈(－1，0)∪(0，＋∞)D ．若函数g (x )＝f (x )＋12有2个零点，则－3＜a ＜－2解：对于选项A ：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x ＞0时，则－x ＜0，∴f (－x )＝3x ＋14a 2＋54a ＝－(－3x －14a 2－54a )＝－f (x )， 当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝－3-x －14a 2－54a ＝－(3－x ＋14a 2＋54a )＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数，故选项A 正确，对于选项B ：要使f (x )在定义域上单调递减，则需满足1＋14a 2＋54a ≥－1－14a 2－54a解得a ≤－4或a ≥－1，故选项B 错误，对于选项C ：由B 可知，当a ≥－1时，函数f (x )在定义域上单调递减，若f (－2x )＞f (x ＋3)，则232030x x x x -<+⎧⎪-≠⎨⎪+≠⎩，解得－1＜x ＜0或x ＞0，即x ∈(－1，0)∪(0，＋∞)，故选项C 正确，对于选项D ：要使函数g (x )＝f (x )＋12有2个零点，则1＋14a 2＋54a ＜12， 解得－3＜a ＜－2，故选项D 正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f (x )＝|12m |x m 在(0，＋∞)上单调递减，则f (2)＝ 14． 解：∵幂函数f (x )＝|12m |x m 在(0，＋∞)上单调递减， ∴|12m |＝1，且m ＜0，求得m ＝－2，故f (x )＝x －2＝21x， 则f (2)＝14， 故答案为：14． 14．写出一个能说明“若函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)，则f (x )为奇函数”是假命题的函数：f (x )＝ cos 2πx (答案不唯一) ．解：若f (x )＝f (x ＋4)，则函数f (x )是周期为4的周期函数，函数f (x )＝cos 2πx 满足周期是4，但f (x )是偶函数，不是奇函数，满足条件， 故答案为：cos 2πx (答案不唯一)． 15．函数f (x )＝21cos x ＋225sin x 的最小值为 36 ． 解：f (x )＝21cos x＋225sin x ＝222sin cos cos x x x +＋()22225sin cos sin x x x +＝1＋22sin cos x x ＋2225cos sin x x ＋25 ≥26＋22222sin 25cos cos sin x x x x ⨯＝36，当且仅当22sin cos x x ＝2225cos sin x x，即tan 2x ＝5时取等号． 故答案为：36．16．某挂钟秒针的端点A 到中心点O 的距离为20cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，A 与B 两点距离地面的高度差h (cm )与t (s )存在函数关系式，则解析式h (t )＝ 20－20cos 30πt ，其中t ∈[0，60]，一圈内A 与B 两点距离地面的高度差不低于30cm 的时长为 20 s ．解：经过t 秒，秒针转过的圆心角的为－30πt ， 得h (t )＝20－20sin(2π－30πt )＝20－20cos(30πt )， 由20－20cos(30πt )≥30，得cos(30πt )≤－12， 又0≤t ≤60，故0≤30πt ≤2π， 得23π≤30πt ≤43π，解得：20≤t ≤40， 故一圈内A 与B 两点距离地面的高度差h 不低于30cm 的时长为20s ．故答案为：20－20cos(30πt )，20．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)已知集合A ＝{x |a ＜x ＜2a }，B ＝{x |x 2＋x －12≥0}． (1)当a ＝2时，求A ∪(∁R B )； (2)若A ⊆∁R B ，求a 的取值范围．解：(1)由题意得A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |x 2＋x －12≥0}＝{x |x ≤－4或x ≥3}， ∴∁R B ＝{x |－4＜x ＜3}， 故A ∪(∁R B )＝{x |－4＜x ＜4}， (2)当a ≤0时，A ＝∅，符合题意． 当a ＞0时，由2a ≤3，得0＜a ≤32．] 故a 的取值范围为(－∞，32]． 18．(12分)求值：(1) 238－13827-⎫⎛ ⎪⎝⎭＋12×(0.25)0(2)(lg 2)2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2•lg 500－2lg 2＋e ln 2． 解：(1)原式＝4－32＋12＋π－3＝π． (2)原式＝(lg 2)2＋(lg 5)2＋lg 5⋅lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 100)－2lg 2＋2＝(lg 2＋lg 5)2＋2＝3． 19．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示． (1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移524π个单位长度，向下平移1个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的单调区间．解：(1)由图可知A ＝2，b ＝1． 由2T ＝512π＋12π＝2π，得T ＝π，ω＝2Tπ＝2．因为f(512π)＝2sin(56π＋φ)＋1＝3，所以56π＋φ＝2π＋2kπ(k ∈Z )，， 即φ＝－3π＋2kπ(k ∈Z )， 又|φ|＜π，得φ＝－3π，故f (x )＝2sin(2x －3π)＋1(2)由题意得g (x )＝2sin(4x ＋2π)＝2cos4x ， 由2k π≤4x ≤π＋2k π(k ∈Z )，得2k π≤x ≤4π＋2k π(k ∈Z )，，故g (x )的单调递减区间为[2k π，4π＋2k π](k ∈Z )，由π＋2k π≤4x ≤2π＋2k π(k ∈Z )，得4π＋2k π≤x ≤2π＋2k π(k ∈Z )， 故g (x )的单调递增区间为[4π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋a ＋3)≥1． (1)若f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (x )≥1对x ∈[2，3]恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得x 2－ax ＋a ＋3＞0恒成立， 得Δ＝a 2－4(a ＋3)＜0，解得－2＜a ＜6，故a 的取值范围为(－2，6)．(2)由f (x )＝log 2(x 2－ax ＋a ＋3)≥1，得x 2－ax ＋a ＋1≥0，即x 2＋1≥a (x －1)，因为x ∈[2，3]，所以a ≤211x x +-·211x x +-＝()()1121x x x -++-＝x －1＋21x -＋2≥22＝2，当且仅当x －1＝21x-，即x 1时，等号成立．]故a ＋2，a 的取值范围为(－∞，2]． 21．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x cos 2x －cos 22x cos(x ＋54π)＋12．(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的解集； (2)若α为锐角，且f (α)tan2α值． 解：f (x )＝sin sin 2x cos 2x －cos 22x ＋cos(x ＋54π)＋12＝12sin x －12 (cos x＋1)＋(cosx ＋sin x )＋12＝sin x －cos x ．(1)f (x )＝sin x －cos x x －4π)x －4π)，∴sin(x －4π)，又∵x ∈(0，π)，∴解得x ∈[712π，1112π]，∴f (x)[712π，1112π]；(2)∵α为锐角，且f (α)sin α－cosα，两边平方得sin αcos α＝16，∴()()2222sin cos cos sin cos cos αααααα÷+÷＝16，即2tan tan 1αα+＝16，得tan 2α－6tan α＋1＝0，解得tan α＝3±∵sin α＞cos α，∴tan α＞1，又∵α为锐角，∴只取tan α＝3＋∴tan2α＝22tan 1tan αα-＝(()22313+-+．22．(12分)已知二次函数f (x )＝mx 2＋bx －1(m ≠0)的图象关于直线x ＝－1对称，且关于x 的方程f (x )＋2＝0有两个相等的实数根． (1)求函数g (x )＝()2f x x+的值域； (2)若函数h (x )＝f (log a x )－log a x 4 (a ＞0且a ≠1)在[12，2]上有最小值－2，最大值7，求a 的值． 解：(1)依题意得2bm＝－1，因为f (x )＋2＝mx 2＋bx ＋1＝0，所以Δ＝b 2－4m ＝0， 解得m ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x －1，g (x )＝()2f x x +＝x ＋1x＋2当x ＞0时，g (x )＝x ＋1x＋2≥2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．当x ＜0时，g (x )＝－(－x －1x)＋2≤2＝0，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立． 故g (x )的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2) h (x )＝f (log a x )＋2log a x －4log a x －1＝h (x )＝(log a x )2－2log a x －1， 令t ＝log a x ，则．①当0＜a ＜1时，t ∈[log a 2，－log a 2]， 因为y min ＝－2，所以log a 2＜1＜－log a 2，解得12＜a ＜1．因为log a 2＋(－log a 2)＝0，所以y max ＝(log a 2)2－2 log a 2－1，解得a 舍去)． ②当a ＞1时，t ∈[－log a 2，log a 2]，因为y min ＝－2，所以－log a 2＜1＜log a 2，解得1＜a ＜2．y max ＝(log a 2)2＋2 log a 2－1＝7，，解得a a (舍去)．综上，a 的值为a ．。
2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。
高中数学-高一上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析72
2018-2019学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，集合，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，集合，根据集合的交集的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，，，，根据样本的频数分布估计，大于或等于的数据约占A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到大于或等于的频数，除以总数即可.【详解】由题意知，大于或等于的数据共有：则约占：本题正确选项：【点睛】考查统计中频数与总数的关系，属于基础题.3.秦九韶算法是中国古代求多项式的值的优秀算法，若，当时，用秦九韶算法求A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】通过将多项式化成秦九韶算法的形式，代入可得.【详解】由题意得：则：本题正确选项：【点睛】本题考查秦九韶算法的基本形式，属于基础题.4.下列四组函数中，不表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相同函数对定义域和解析式的要求，依次判断各个选项.【详解】相同函数要求：函数定义域相同，解析式相同三个选项均满足要求，因此是同一函数选项：定义域为；定义域为，因此不是同一函数本题正确选项：【点睛】本题考查相同函数的概念，关键在于明确相同函数要求定义域和解析式相同，从而可以判断结果.5.执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的A. 28B. 10C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】的变化遵循以为公差递减的等差数列的变化规律，到时结束，得到，然后代入解析式，输出结果.【详解】时，每次赋值均为可看作是以为首项，为公差的等差数列当时输出，所以，即即：，本题正确选项：【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合对数真数大于零，求出定义域；再求出在定义域内的单调递减区间，得到最终结果.【详解】或在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查求解复合函数的单调区间，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，易错点在于忽略了函数自身的定义域要求.7.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个质地、大小、颜色无差别小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定所有可能的基本事件总数，再列出标号和为的所有基本事件，根据古典概型可求得概率. 【详解】有放回的摸出两个小球共有：种情况用表示两次取出的数字编号标号之和为有：，，，四种情况所以，概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的相关知识，对于基本事件个数较少的情况，往往采用列举法来求解，属于基础题.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化成对数的形式，然后根据真数相同，底数不同的对数的大小关系，得到结果.【详解】由题意得：又本题正确选项：【点睛】本题考查对数大小比较问题，关键在于将对数化为同底或者同真数的对数，然后利用对数函数图像来比较.10.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，A.错误，令定义域为，由：，所以是非奇非偶函数；B错误，令定义域为，由：即：，所以是偶函数；C.错误.令定义域为，由：，所以为非奇非偶函数；D.正确.令定义域为，由，即，所以为偶函数，正确.综上，答案为D.考点：1.函数的奇偶性；2.奇偶函数的定义域.11.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在上是减函数，根据不等式在上恒成立，可得：在上恒成立，可得的范围.【详解】为偶函数且在上是增函数在上是减函数对任意都有恒成立等价于当时，取得两个最值本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.12.设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值.【详解】由题意得：，①当时，则，此时，，，则②当时，，，，.③当时，则，此时，，，则综上所述：的值域为本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，解题关键在于能够明确新定义运算的本质，易错点在于忽略与的彼此取值影响，单纯的考虑与整体的值域，造成求解错误.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是_______________【答案】【解析】由题要使函数有意义须满足14.小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______豆子大小可忽略不计【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15.若函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】【分析】为定义域上的偶函数，所以利用特殊值求出的值.【详解】是定义在上的偶函数即解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值，对于定义域明确的函数，常常采用赋值法来进行求解，相较于定义法，计算量要更小.16.已知函数，若存在实数a，b，c，满足，其中，则abc的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据解析式，画出的图像，可知函数与每段的交点位置，由此可得，再求出的范围后，可确定整体的取值范围.【详解】由解析式可知图像如下图所示：由图像可知：又且时，可知即又本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像及方程根的问题，关键在于能够通过函数图像得到的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.18.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件所以点落在区域内的概率为（2），表示如图的正方形区域，易得面积为若方程有两个不同实数根，即，解得为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为则方程有两个不同实数根的概率【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．19.计算：；若a，b分别是方程的两个实根，求的值．【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出；（2）根据题意，是方程的两个实根，由韦达定理得，，利用对数换底公式及其运算性质即可得出．【详解】（1）原式（2）根据题意，是方程的两个实根由韦达定理得，原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位：岁．国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼阿富汗59 巴基斯坦巴林阿联酋马来西亚朝鲜东帝汶孟加拉国韩国柬埔寨塞浦路斯老挝卡塔尔沙特阿拉伯蒙古科威特哈萨克斯坦缅甸菲律宾印度尼西亚日本黎巴嫩土库曼斯坦65吉尔吉斯斯泰国尼泊尔68坦乌兹别克斯约旦土耳其坦越南75 伊拉克也门中国以色列文莱伊朗74 新加坡叙利亚印度根据这40个国家的样本数据，得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：，，，，，请根据上述所提供的数据，求出频率分布直方图中的a，b；请根据统计思想，利用中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数保留一位小数．【答案】（1），；（2）平均寿命71.8，中位数71.4.【解析】【分析】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中，国民平均寿命在的频数是，频率是，由此能求出，同理可求；（2）由频率分布直方图能估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数．【详解】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中国民平均寿命在的频数是，频率是国民平均寿命在的频数是，频率是，计算得，由频率分布直方图可知，各个小矩形的面积各个区间内的频率转换为分数分别是：，，，，，以上所有样本国家的国民平均寿命约为：前三组频率和为中位数为根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为岁，寿命的中位数约为岁【点睛】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份年 1 2 3 4 5维护费万元Ⅰ求y关于t的线性回归方程；Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．参考公式：，【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.【解析】【分析】（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．【详解】（Ⅰ），，，，，所以回归方程为（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元）若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元）所以甲更有道理【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．22.已知，．求在上的最小值；若关于x的方程有正实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）得到，令，问题转化为在有实根，求出的范围即可．【详解】（1）当时，在上单调递减故最小值当时，是关于的二次函数，对称轴为当时，，此时在上单调递减故最小值当时，对称轴当，即时，在单调递减，在单调递增故最小值当时，即时，在上单调递减故最小值综上所述：（2）由题意化简得令，则方程变形为，根据题意，原方程有正实数根即关于的一元二次方程有大于的实数根而方程在有实根令，在上的值域为故【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想．关键是通过换元的方式将问题转化为二次函数在区间内有实根的问题，可以用二次函数成像处理，也可以利用分离变量的方式得到结果.。
2019-2020学年人教A版河北省石家庄二中高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．B．[0，2] C．D．2．设a＝log30.6，b＝30.6，c＝0.63，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a3．函数f（x）＝lg（x2﹣1）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）4．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．19 B．3 C．﹣1 D．﹣175．设tan160°＝k，则sin160°＝（）A．B．C．D．6．已知，ln（1+cosα）＝s，，则ln sinα＝（）A．s﹣t B．s+t C．D．7．设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零常数，且满足，则f（2020）＝（）A．B．C．D．8．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝g（x）图象，则函数y＝g（x）（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称9．设函数f（x）＝，则满足f（x）﹣f（﹣x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣2x（x+2）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．（二）多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．已知定义在区间[﹣π，π]的函数f（x）＝cos x﹣x2，则下列条件中能使f（x1）＜f （x2）恒成立的有（）A．﹣π≤x1＜x2≤0 B．0≤x1＜x2≤πC．|x1|＞|x2| D．x12＜x2212．已知，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，则下列选项中与恒相等的有（）A．B．C．D．二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.13．若函数为奇函数，则实数a的值为；14．已知向量，夹角为30°，且，，则＝；15．若在区间[﹣a，a]上是增函数，则正实数a的最大值为；16．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，，，则的值为．三、解答题17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|2≤x≤4}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若集合C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，满足C∪A＝A，C∩B＝B，求实数a的取值范围．18．已知函数，x∈R．（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）求时，函数y＝f（x）的值域．19．已知向量，，．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且，求sinα．20．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的定义域；（2）若方程f（x）＝1+log a x有两个不等实根，求实数a的取值范围．21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度y1与时间t满足关系式：y1＝4﹣t（0≤t≤4），服用药物N后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度y2与时间t满足关系式：y2＝．现假定某患者餐后立刻服用药物N，且血液中微量元素总浓度y等于y1与y2的和．（1）求4小时内血液中微量元素总浓度y的最高值；（2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案．请你判断是否需要调整治疗方案．22．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．（1）求x＞0时，f（x）的解析式；（2）设x∈[1，2]时，函数g（x）＝2f（x）+m•2x﹣2m，是否存在实数m使得g（x）的最小值为5，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设集合，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．B．[0，2] C．D．【分析】根据交集的定义即可求出．解：集合＝[，+∞}，N＝{x|3x≥1}＝[0，+∞），则M∩N＝[，+∞），故选：D．2．设a＝log30.6，b＝30.6，c＝0.63，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：a＝log30.6＜0，b＝30.6＞1，c＝0.63∈（0，1），则a，b，c的大小关系是b＞c＞a．故选：C．3．函数f（x）＝lg（x2﹣1）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】由对数函数的真数大于0求出函数的定义域，在求出内层函数二次函数的减区间得答案．解：由x2﹣1＞0，得x＜﹣1或x＞1，∴函数f（x）＝lg（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），令t＝x2﹣1，该函数在（﹣∞，﹣1）上单调递减，而外层函数y＝lgt为定义域内的增函数，∴函数f（x）＝lg（x2﹣1）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．故选：A．4．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．19 B．3 C．﹣1 D．﹣17【分析】根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得3（m﹣1）＝6，解可得m的值，即可得答案．解：根据题意，向量，，若，则3（m﹣1）＝6，解可得：m＝3，故选：B．5．设tan160°＝k，则sin160°＝（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数基本关系式即可求解．解：设tan160°＝k＜0，sin160°＞0，可得cos2160°＝＝，可得sin160°＝＝||＝．故选：B．6．已知，ln（1+cosα）＝s，，则ln sinα＝（）A．s﹣t B．s+t C．D．【分析】推导出ln sinα＝ln sin2α＝ln（1﹣cos2α）＝ln[（1+cosα）（1﹣cos α）]，由此能求出结果．解：∵，ln（1+cosα）＝s，，∴ln sinα＝ln sin2α＝ln（1﹣cos2α）＝ln[（1+cosα）（1﹣cosα）]＝（s ﹣t）．故选：C．7．设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零常数，且满足，则f（2020）＝（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可．解：∵f（2019）＝﹣，∴f（2019）＝a sin（2019π+α）+b cos（2019π+β）＝a sin（π+α）+b cos（π+β）＝﹣a sinα﹣b cosβ＝﹣，即a sinα+b cosβ＝，则f（2020）＝a sin（2020π+α）+b cos（2020π+β）＝a sinα+b cosβ＝，故选：C．8．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝g（x）图象，则函数y＝g（x）（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x）的解析式，进而利用三角函数图象之间的关系进行判断即可．解：将函数y＝sin（x+）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）＝sin（2x+），对于A，由于g（﹣）＝sin（﹣+）＝sin（﹣）＝﹣1，即函数关于（﹣，0）不对称，故错误；对于B，由于g（﹣）＝sin（﹣﹣）＝sin（﹣）＝﹣1，即函数关于（﹣，0）不对称，故错误；对于C，由于g（）＝sin（2×+）＝sin（）＝1，即关于直线对称，故正确；对于D，由于g（）＝sin（2×+）＝sin＝≠1，即不关于直线x＝对称，故错误；故选：C．9．设函数f（x）＝，则满足f（x）﹣f（﹣x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，结合函数的解析式按x的范围分3种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，分3种情况讨论：①，当x＝0时，f（x）﹣f（﹣x）＞0即f（0）﹣f（0）＞0，不成立；②，当x＜0时，﹣x＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0即（x+1）＞4x，解可得：﹣＜x＜0，③，当x＞0时，﹣x＜0，f（x）﹣f（﹣x）＞0即4﹣x＞（﹣x+1），解可得：x＞，综合可得：x的取值范围为（﹣，0）∪（，+∞）；故选：D．10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣2x（x+2）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由f（x）＝2f（x+2），判断函数值的变化情况，作出函数f（x）的的图象，再确定m所在的区间，求出临界点即可求出结果．解：当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，所以f（x）max＝f（﹣1）＝2，由f（x﹣2）＝f（x），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，由f（x）＝2f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断变大，当x∈[0，2）时，f（x）max＝f（1）＝1，当x∈[2，4）时，f（x）max＝f（3）＝，设x∈[0，2），x﹣2∈[﹣2，0），f（x﹣2）＝﹣2x（x﹣2）＝2f（x），即f（x）＝﹣x（x﹣2），由﹣x（x﹣2）＝，解得x＝或x＝，根据题意，当m≥时，f（x）≤恒成立，故选：D．（二）多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．已知定义在区间[﹣π，π]的函数f（x）＝cos x﹣x2，则下列条件中能使f（x1）＜f （x2）恒成立的有（）A．﹣π≤x1＜x2≤0 B．0≤x1＜x2≤πC．|x1|＞|x2| D．x12＜x22【分析】由奇偶性的定义和基本函数的单调性，判断f（x）为偶函数，在[0，π]递减，即可得到所求结论．解：定义在区间[﹣π，π]的函数f（x）＝cos x﹣x2，可得f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣（﹣x）2＝cos x﹣x2＝f（x），即有f（x）为偶函数，当x∈[0，π]，y＝cos x递减，y＝﹣x2递减，则y＝f（x）为减函数，当x∈[﹣π，0]，y＝f（x）为增函数，可得﹣π≤x1＜x2≤0⇒f（x1）＜f（x2）；0≤x1＜x2≤π⇒f（x1）＞f（x2）；f（x1）＜f（x2）⇔|x2|＜|x1|≤π，故选：AC．12．已知，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，则下列选项中与恒相等的有（）A．B．C．D．【分析】结合两角差的正切公式及同角基本关系对所求式子进行化简，然后结合选项即可判断．解：由＝＝＝＝＝．由＝＝＝＝＝．故选：AD．二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.13．若函数为奇函数，则实数a的值为 1 ；【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣x）＝﹣f（x），进而即可得出，从而可得出a的值．解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即＝，∴a＝1．故答案为：1．14．已知向量，夹角为30°，且，，则＝；【分析】直接根据|﹣3|2再代入已知条件即可求解．解：因为向量，夹角为30°，且，则|﹣3|2＝﹣6•+9＝22﹣6×2×||cos30°+9||2＝13⇒||2﹣2||﹣＝0⇒||＝（负值舍）；故答案为：15．若在区间[﹣a，a]上是增函数，则正实数a的最大值为；【分析】求出函数f（x）的单调递增区间，再根据f（x）在区间[﹣，]上是单调增函数求得正实数a的最大值．解：中，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z；解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；令k＝0，得﹣≤x≤，所以f（x）在区间[﹣，]上是单调增函数；若f（x）在区间[﹣a，a]上是增函数，令﹣a＝﹣，得a＝，所以正实数a的最大值为．故答案为：．16．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，，，则的值为．【分析】建立坐标系，设出各点坐标，结合已知条件即可求出结论解：建立如图坐标系；设A（0，b），B（﹣a，0）C（a，0）D（x，0）∴a2+b2＝9；①＝（﹣a，﹣b），＝（x，﹣b），＝（a，﹣b）；∴•＝﹣ax+b2＝6 ②•＝ax+b2＝③；联立②③得b2＝；代入①得a2＝；∴＝b2﹣a2＝＝；故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|2≤x≤4}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若集合C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，满足C∪A＝A，C∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出A＝{x|﹣1≤x≤5}，∁U B＝{x|x＜2或x＞4}，由此能求出A∩（∁U B）．（2）由C∪A＝A得C⊆A，由C∩B＝B得B⊆C，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）由题A＝{x|﹣1≤x≤5}，∁U B＝{x|x＜2或x＞4}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1≤x＜2或4＜x≤5}．（2）由C∪A＝A得C⊆A，解得，由C∩B＝B得B⊆C，解得1≤a≤2．从而实数a的取值范围为．18．已知函数，x∈R．（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）求时，函数y＝f（x）的值域．【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；（2）结合正弦函数的最值性质可求、解：＝．（1）令，得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为．（2）得，所以﹣sin（2x+）≤1，则f（x）从而函数y＝f（x）的值域为．19．已知向量，，．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且，求sinα．【分析】（1）根据平面向量的减法法则，表示出﹣，进而表示出，代入已知的，两边平方后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cos（α﹣β）的方程，求出方程的解即可得到cos（α+β）的值；（2）根据小于0，得到β的范围，再由α的范围，求出α﹣β的范围，然后由（1）求出的cos（α﹣β）的值及sinβ的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值和cosβ的值，把所求式子中的α变为（α+β）﹣β，利用两角差的正弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出值．解：（1）∵，，∴．∵，∴，即，∴．（2）∵，∴，∵，∴．∵，∴，∴sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ＝20．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的定义域；（2）若方程f（x）＝1+log a x有两个不等实根，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据对数函数定义域列出＞0，解出即可；（2）方程等价于a＝，其中x∈（1，+∞），令g（x）＝，求出g（x）值域再结合a＞0即可解：（1）根据题意得＞0，解得x＜﹣1或x＞1，则函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）方程f（x）＝1+log a x即﹣log a x＝1，整理得＝1，所以a＝，其中x∈（1，+∞），令g（x）＝＝＝，x∈（1，+∞），则g（x）≤，当仅当（x﹣1）2＝2，即x＝+1时取等号，所以a≤＝3﹣2，又因为a＞0，所以a的取值范围是（0，3﹣2）21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度y1与时间t满足关系式：y1＝4﹣t（0≤t≤4），服用药物N后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度y2与时间t满足关系式：y2＝．现假定某患者餐后立刻服用药物N，且血液中微量元素总浓度y等于y1与y2的和．（1）求4小时内血液中微量元素总浓度y的最高值；（2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案．请你判断是否需要调整治疗方案．【分析】（1）由题意分类写出微量元素在血液内的总浓度y与时间t的关系，再由配方法及基本不等式求最值；（2）分类求解不等式可得t的范围，与2比较大小得结论．解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度y与时间t的关系为：当0≤t＜1时，，当时取最大值；当1≤t≤4时，，当时取得最大值．∵，故微元素总浓度最大值为；（2）当0≤t＜1时，，解得0≤t＜1；当1≤t≤4时，，解得1≤t≤2．可知注射药物N后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，则不需要调整治疗方案．22．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．（1）求x＞0时，f（x）的解析式；（2）设x∈[1，2]时，函数g（x）＝2f（x）+m•2x﹣2m，是否存在实数m使得g（x）的最小值为5，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）x＞0，则﹣x＜0，，再利用奇函数的性质，即f（x）＝﹣f（﹣x）可得解；（2）通过换元，问题转化为二次函数h（t）在[2，4]上的最小值为5，再通过分类讨论得出结论．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，由当x＜0时，可知，，又f（x）为R上的奇函数，于是，故当x＞0时，；（2）由（1）可知，当x∈[1，2]时，g（x）＝（2x）2+（m+1）2x﹣2m，令t＝2x∈[2，4]，h（t）＝t2+（m+1）t﹣2m，函数g（x）在[1，2]上的最小值为5，即为函数h（t）在[2，4]上的最小值，①当，即m＞﹣5时，函数h（t）在[2，4]上为增函数，于是h（t）min＝h（2）＝6≠5，此时不存在满足条件的实数m；②当，即﹣9≤m≤﹣5时，，解得m＝﹣3或m ＝﹣7，此时m＝﹣7满足题设条件；③当，即m＜﹣9时，函数h（t）在[2，4]上为减函数，于是h（t）min＝h（4）＝2m+20＝5，解得，此时不存在满足条件的实数m；综上，存在m＝﹣7使得函数g（x）的最小值为5．。
2021-2022学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－16＜0}，B ＝{－5，0，1}，则( ) A ．A ∩B ＝∅B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝{0，1}D ．A ⊆B2．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (3)＝( )A ．13B ．3C ．3D ．93．祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数y ＝241xx +的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．5．设a ＝log 30.4，b ＝log 23，则( )A ．ab ＞0且a ＋b ＞0B ．ab ＜0且a ＋b ＞0C ．ab ＞0且a ＋b ＜0D ．ab ＜0且a ＋b ＜06．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e 为自然对数的底数，k ，b 为常数)若该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )小时 A ．6B ．12C ．18D ．247．黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形ABC 中，BCAC＝512-，根据这些信息，可得sin54°＝( )ABCD8．已知函数f(x)＝11,02lg,0x xx x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩]，若存在不相等的实数a，b，c，d满足|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，则a＋b＋c＋d的取值范围为()A．(0，＋∞)B．(－2，8110]C．(－2，6110]D．(0，8110]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．(多选)9．下列结论中，正确的是()A．函数y＝2x－1是指数函数B．函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[1，＋∞)C．若a m＞a n(a＞0，a≠1)，则m＞nD．函数f(x)＝a x－2－3(a＞0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)(多选)10．若(12)a＞(12)b，则下列关系式中一定成立的是()AB．e a＜e b(e≈2.718)C．(sinθ＋cosθ)a＜(sinθ＋cosθ)b(θ是第一象限角)D．ln(a2＋1)＜ln(b2＋1)(多选)11．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是() A．－1＜a＜0B．1＜b＜2C．b＜c＜a D．a＋b＋c＝0(多选)12．已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对于任意的实数x恒成立，则称f(x)是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是()A．函数f(x)＝x是回旋函数B．函数f(x)＝a(其中a为常数，a≠0)为回旋函数的充要条件是λ＝－1C．若函数f(x)＝a x(0＜a＜1)为回旋函数，则λ＜0D．函数f(x)是λ＝2的回旋函数，则f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．21log332714cos823π⎫⎫⎛⎛+-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭＝．14．已知某扇形的半径为3，面积为32π，那么扇形的弧长为.15．已知sin(50°－α)＝13，且－270°＜α＜－90°，则sin(40°＋α)＝．16．设函数f(x)＝1xe＋ae x(e为自然对数的底数，a为常数)，若f(x)为偶函数，则实数a＝；若对∀x∈R，f(x)≥－1恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在非空集合①{x|a－1≤x≤a}，②{x|a≤x≤a＋2}，③{xx3}这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，已知集合A＝_____，B＝{x|x2－4x＋3≤0}使“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，若问题中a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．18．(12分)已知－2π＜x ＜2π，sin x ＋cos x ＝15． (1)求2sin cos sin 1tan x x xx⋅++的值；(2)求sin x －cos x 的值．19．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax －b ． (1)若b ＝3a 2，求不等式f (x )≤0的解集．(2)若a ＞0，b ＞0，且f (b )＝b 2＋b ＋a ＋1，求a ＋b 的最小值．20．(12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x2x(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)将函数f (x )的图像向左平移6π单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的g (x )图像，求y ＝g (x )在(12π-，8π)上的值域．21．(12分)已知函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且f (12)＝25．](1)求函数的解析式；(2)判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性，并用定义证明； (3)解关于t 的不等式：f (t ＋12)＋f (t －12)＜0．22．(12分)某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度C ，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度C 是时间t (单位：小时)的一个连续不间断的函数其函数表达式为C (t )＝()281000{cos 2}1000,8162,081624t t m t t π⎧-⎡⎤+-≤≤⎪⎢⎥⎨⎣⎦⎪<<<≤⎩或，其中时间t 是午夜零点后的小时数，m 为常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间t ；(3)若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰．2021-2022学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－16＜0}，B ＝{－5，0，1}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝{0，1}D ．A ⊆B解：A ＝{x |x 2－16＜0}＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{－5，0，1}，则A ∩B ＝{0，1}， 故选：C ．2．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (3)＝( )A ．13B ．3C ．3D ．9解：设幂函数y ＝f (x )＝x α， 其图象经过点(2，2)， ∴2α＝2， 解得α＝12， ∴f (x )＝12x ＝x ， ∴f (3)＝3． 故选：B ．3．祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：已知A ，B 为两个等高的几何体，由祖原理知q ⇒p ，而p 不能推出q ，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则p 是q 的必要不充分条件． 故选：C ． 4．函数y ＝241xx +的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．解：函数y ＝241x x +的定义域为实数集R ，关于原点对称，函数y ＝f (x )＝241x x +，则f (－x )＝－241xx +＝－f (x )，则函数y ＝f (x )为奇函数，故排除C ，D ，当x ＞0时，y ＝f (x )＞0，故排除B ， 故选：A ．5．设a ＝log 30.4，b ＝log 23，则( ) A ．ab ＞0且a ＋b ＞0 B ．ab ＜0且a ＋b ＞0C ．ab ＞0且a ＋b ＜0D ．ab ＜0且a ＋b ＜0解：∵13＜0.4＜1；∴－1＜log 30.4＜0； 又log 23＞1； 即－1＜a ＜0，b ＞1； ∴ab ＜0，a ＋b ＞0． 故选：B ．6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e 为自然对数的底数，k ，b 为常数)若该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )小时 A ．6B ．12C ．18D ．24解：∵某食品保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以2238424b k b e e+⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得e 22k ＝116，即有e 11k ＝14，e b ＝384，则当x ＝33时，y ＝(e 11k )3•384＝6， 故选：A ．7．黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形ABC 中，BCAC＝512-，根据这些信息，可得sin54°＝( )A 251-B 51+ C 54+ D 53+ 解：根据题意：∠A ＝36°， 则∠ABC ＝∠ACB ＝72°，则cos ∠ABC ＝12BCAC 51-，∴cos7251-，cos144°＝2cos 272°－151+，∴cos144°＝cos(90°＋54°)＝－sin54°＝－514+，所以sin54°＝514+．故选：B．8．已知函数f(x)＝11,02lg,0x xx x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩]，若存在不相等的实数a，b，c，d满足|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，则a＋b＋c＋d的取值范围为()A．(0，＋∞)B．(－2，8110]C．(－2，6110]D．(0，8110]解：由题设，将问题转化为y＝m与|f(x)|的图象有四个交点，| f(x)|＝11,221,202lg,01lg,1x xxxx xx x⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(－∞，－2]上递减且值域为[0，＋∞)；在(－2，0]上递增且值域为(0，1]；在(0，1]上递减且值域为[0，＋∞)，在(1，＋∞)上递增且值域为(0，＋∞)；|f(x)|的图象如下：所以0＜m≤1时，y＝m与|f(x)|的图象有四个交点，不妨假设a＜b＜c＜d，由图及函数性质知：－4≤a＜－2＜b≤0＜110≤c＜1＜d≤10，易知：a＋b＝－4，c＋d∈(2，10110]，所以a＋b＋c＋d∈(－2，6110]．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．(多选)9．下列结论中，正确的是()A．函数y＝2x－1是指数函数B．函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[1，＋∞)C．若a m＞a n(a＞0，a≠1)，则m＞nD．函数f(x)＝a x－2－3(a＞0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)解：对于A，根据指数函数的定义是y＝a x，(其中a＞1且a≠1)，x是自变量，判断函数y＝2x－1不是指数函数，选项A错误；对于B ，函数y ＝ax 2＋1，当a ＞1时，该函数的图象是抛物线，且开口向上，所以y ＝ax 2＋1的值域是[1，＋∞)，选项B 正确；对于C ，0＜a ＜1时，指数函数y ＝a x 单调递减，由a m ＞a n 得m ＜n ，所以选项C 错误；对于D ，函数f (x )＝a x －2－3中，令x －2＝0，x ＝2，y ＝f (2)＝1－3＝－2，f (x )的图象必过定点(2，－2)，选项D 正确． 故选：BD ． (多选)10．若(12)a ＞(12)b ，则下列关系式中一定成立的是( )A B ．e a ＜e b (e ≈2.718)C ．(sin θ＋cos θ)a ＜(sin θ＋cos θ)b (θ是第一象限角)D ．ln (a 2＋1)＜ln (b 2＋1) 解：由(12)a ＞(12)b ，可得a ＜b ，对于选项A ：因为函数f (x )R ，故选项A 错误， 对于选项B ：因为函数g (x )＝e x 在R 上单调递增，所以e a ＜e b ，故选项B 正确，对于选项C ：sin θ＋cos θθ＋4π)，因为θsin(θ＋4π)]，又a ＜b ，所以(sin θ＋cos θ)a ＜(sin θ＋cos θ)b ，故选项C 正确，对于选项D ：因为a 2与b 2的大小关系不确定，所以ln (a 2＋1)与ln (b 2＋1)的大小关系不确定，故选项D 错误， 故选：BC ．(多选)11．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点分别为a ，b ，c ，以下说法正确的是( ) A ．－1＜a ＜0B ．1＜b ＜2C ．b ＜c ＜aD ．a ＋b ＋c ＝0解：∵函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点分别为a ，b ，c ， ∴2a ＋a ＝0，log 2b ＋b ＝0，c 3＋c ＝0， ∴－a ＝2a ，－b ＝log 2b ，－c ＝c 3，∴a 、b 、c 分别为直线y ＝－x 和曲线y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 3的交点的横坐标， ∴－1＜a ＜0，0＜b ＜1，c ＝0，即选项A 正确，B 错误； ∴b ＞c ＞a ，即选项C 错误；∵y ＝2x ，y ＝log 2x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称， ∴a 与b 互为相反数，即a ＋b ＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0，即选项D 正确．故选：AD．(多选)12．已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对于任意的实数x恒成立，则称f(x)是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是()A．函数f(x)＝x是回旋函数B．函数f(x)＝a(其中a为常数，a≠0)为回旋函数的充要条件是λ＝－1C．若函数f(x)＝a x(0＜a＜1)为回旋函数，则λ＜0D．函数f(x)是λ＝2的回旋函数，则f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点解：f(x)＝x是定义在R上的连续函数，且f(x＋λ)＋λf(x)＝x＋λ＋λx＝(1＋λ)x＋λ，不存在λ(λ∈R)，使得f(x ＋λ)＋λf(x)＝0，故A错误；函数f(x)＝a(其中a为常数，a≠0)是定义在R上的连续函数，且f(x＋λ)＋λf(x)＝a＋λa＝(1＋λ)a，当λ＝－1时，f(x＋λ)＋λf(x)＝0对于任意的实数x恒成立，若f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数x恒成立，则(1＋λ)a ＝0，解得：λ＝－1，故函数f(x)＝a(其中a为常数，a≠0)为回旋函数的充要条件是λ＝－1，B正确；f(x)＝a x(0＜a＜1)在R上为连续函数，且f(x＋λ)＋λf(x)＝a x＋λ＋λa x＝a x(aλ＋λ)，要想函数f(x)＝a x(0＜a＜1)为回旋函数，则aλ＋λ＝0有解，则λ＝－aλ＜0，C正确；由题意得：f(x＋2)＋2f(x)＝0，令x＝0得：f(2)＋2f(0)＝0，所以f(2)与f(0)异号，即f(2)•f(0)＜0，由零点存在性定理得：f(x)在(0，2)上至少存在一个零点，同理可得：f(x)在区间(2，4)，(4，6)，(6，8)，…，(2018，2020)上均至少有一个零点，所以f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点，D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．21log332714cos823π⎫⎫⎛⎛+-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭＝73．解：21log332714cos 823π⎫⎫⎛⎛+-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭＝32＋13＋12＝73．故答案为：73．14．已知某扇形的半径为3，面积为32π，那么扇形的弧长为 π 解：设扇形的弧长为l ，则S ＝12×3×l ＝32π， 得l ＝π， 故答案为：π15．已知sin(50°－α)＝13，且－270°＜α＜－90°，则sin(40°＋α)＝ － ．解：∵－270°＜α＜－90°，50°－α∈(140°，320°)∵sin(50°－α)＝13＞0，∴50°－α∈(140°，180°)则sin(40°＋α)＝cos(50°－α)，． 16．设函数f (x )＝1x e＋ae x(e 为自然对数的底数，a 为常数)，若f (x )为偶函数，则实数a ＝ 1 ；若对∀x ∈R ，f (x )≥－1恒成立，则实数a 的取值范围是 [0，＋∞) ． 解：∵函数数f (x )＝1x e ＋ae x 为偶函数， ∴f (－x )＝e x ＋x a e ＝1x e＋ae x ＝f (x )，解得：a ＝1． 对∀x ∈R ，f (x )≥1恒成立，即1x e＋ae x ≥－1恒成立， 分离参数a 得：a ≥－e -2x －e -x 恒成立，又－e -2x －e -x ＜0， ∴a ≥0．故答案为：1；[0，＋∞)．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在非空集合①{x |a －1≤x ≤a }，②{x |a ≤x ≤a ＋2}，③{x x 3}这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，已知集合A ＝_____，B ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}使“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，若问题中a 存在，求a 的值；若a 不存在，请说明理由． 解：由题意知A 不为空集，B ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}， 若选条件①，A ＝{x |a －1≤x ≤a }， ∵“x ∈A “是“x ∈B ”的充分不必要条件， ∴A 是B 的真子集，则113a a -≥⎧⎨≤⎩，解得2≤a ≤3，∴实数a 的取值范围是[2，3]． 若选条件②，A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}， ∵“x ∈A “是“x ∈B “的充分不必要条件， ∴A 是B 的真子集，则123a a ≥⎧⎨+≤⎩，此时，A ＝B ，∴不存在a ，使得“x ∈A ”是“x ∈B “的充分不必要条件，若选③，A ＝{x x 3}， ∵“x ∈A “是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A 是B 的真子集，则133≥≤，解得10a a ≥⎧⎨≤⎩，此时无解，不存在a ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件． 18．(12分)已知－2π＜x ＜2π，sin x ＋cos x ＝15． (1)求2sin cos sin 1tan x x xx ⋅++的值；(2)求sin x －cos x 的值．解：(1)∵sin x ＋cos x ＝15．∴1＋2sin x cos x ＝125，即sin x cos x ＝－1225， ∴2sin cos sin 1tan x x x x ⋅++＝()sin cos cos sin cos sin x x x x x x ⋅++＝sin x cos x ＝－1225；(2)由(1)知sin x cos x ＝－1225＜0，又－2π＜x ＜2π， ∴cos x ＞0，sin x ＜0，∴sin x －cos x 725． 19．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax －b ． (1)若b ＝3a 2，求不等式f (x )≤0的解集．(2)若a ＞0，b ＞0，且f (b )＝b 2＋b ＋a ＋1，求a ＋b 的最小值． 解：(1)∵b ＝3a 2，∴f (x )＝x 2＋2ax －3a 2．由f (x )≤0，得x 2＋2ax －3a 2≤0，即(x ＋3a )(x －a )≤0 当a ＝0时，不等式f (x )≤0的解集为{x |x ＝0} 当a ＞0时，不等式f (x )≤0的解集为{x |－3a ≤x ≤a } 当a ＜0时，不等式f (x )≤0的解集为{x |a ≤x ≤－3a } (2)∵f (b )＝b 2＋b ＋a ＋1，又f (b )＝b 2＋2ab －b∴b 2＋b ＋a ＋1＝b 2＋2ab －b 即2ab －a －2b －1＝0 ∴(a －1)(b －12)＝1 ∵a ＞0，b ＞0∴a ＞1，b ＞12∴b －12＝11a -，a ＋b ＝a －1＋11a -＋32≥2＋32＝72 当且仅当a ＝2，b ＝32时取等号∴a ＋b 的最小值为7220．(12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x 2x (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数f (x )的图像向左平移6π单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的g (x )图像，求y ＝g (x )在(12π-，8π)上的值域． 解：(1) f (x )＝2sin x cos x2xsin2xx ＝2sin(2x ＋3π) ∴函数f (x )的最小正周期为π；令2k π＋2π≤2x ＋3π≤2k π＋32π，k ∈Z ,，解得k π＋12π≤x ≤k π＋712π，∴函数f (x )的单调减区间为[k π＋12π，k π＋712π]，k ∈Z ； (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋3π)，将函数f (x )的图像向左平移6π单位长度，可得y ＝2sin[2(x ＋6π)＋3π]的图像，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得函数g (x )＝2sin(4x ＋23π)，∵x ∈(12π-，8π)∴4x ＋23π∈ (3π，76π)，∴2sin(4x ＋23π)∈(12-,2]， 从而y ＝g (x )在(12π-，8π)上的值域为(－1，2]． 21．(12分)已知函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且f (12)＝25．] (1)求函数的解析式；(2)判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t 的不等式：f (t ＋12)＋f (t －12)＜0． 解：(1)由奇函数的性质可知，f (0)＝0， ∴b ＝0，f (x )＝21ax b x ++， ∵f (12)＝25＝12114a + ∴a ＝1，f (x )＝21x x +； (2)函数f (x )在(－1，1)上是增函数．证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝1211x x +－2221x x +＝()()22112221221211x x x x x x x x +--++＝()()()()12122212111x x x x x x --++＜0， 所以f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(－1，1)上是增函数；(3)由f (t ＋12)＜－f (t －12)→f (t ＋12)＜－f (12－t )， ∴112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-<+<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩→031221322t t t ⎧⎪<⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩→－12＜t ＜0．故不等式的解集为(－12，0)． 22．(12分)某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度C ，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度C 是时间t (单位：小时)的一个连续不间断的函数其函数表达式为C (t )＝()281000{cos 2}1000,8162,081624t t m t t π⎧-⎡⎤+-≤≤⎪⎢⎥⎨⎣⎦⎪<<<≤⎩或，其中时间t 是午夜零点后的小时数，m 为常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间t ；(3)若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰．解：(1)因为它是一个连续不间断的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1000×(1＋2)2－1000＝8000＝m ，即m ＝8000；(2)当cos(()82t π-)＝－1时，C 达到最小值. ()82t π-＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10，14，所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0；(3)8≤t ≤16时，令()281000{cos 2}10002t π-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＜1250，所以[cos(()82t π-)＋2]2＜2.25， 即cos ()82t π-＜－12，即cos 2t π＜－12，解得2k π＋23π≤2t π≤2k π＋43π，4k ＋43≤t ≤4k ＋83，k ∈Z 因为8≤t ≤16，令k ＝2得283≤t ≤323，令k ＝3得所403≤t ≤443以， 所以，在9：20至10：40，13：20至14：40内，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰．。
2022-2023学年河北省石家庄一中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省石家庄一中高一（下）期末数学试卷一、单选题。
1．已知复数z 满足z ＝（1﹣i ）（a +i ），若复数z 的模为√2，则实数a ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．02．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98，则这组数据的40%分位数为（ ） A ．90B ．91C ．90.5D ．923．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与DC 1所成角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°4．在钝角△ABC 中，已知AB =√3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是（ ） A ．√32B ．√34C ．32D ．345．已知在边长为6的等边三角形ABC 中，BD →=12DC →，则AD →⋅AC →=（ ）A ．24B ．6C ．18D ．﹣246．从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”（ ） A ．是对立事件 B ．不是互斥事件C ．是互斥但不对立事件D ．都是不可能事件7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（ ）A ．asin53°2sin47°B ．2sin47°asin53°C ．atan26.5°tan73.5°tan47°D ．asin26.5°sin73.5°sin47°二、多选题。
2022-2023学年河北省唐山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝1﹣i ，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a →=(1，m)，b →=(2，4)，若a →∥b →，则m 为（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．23．某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，E 为棱AC 的中点，则异面直线A 1E 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．√510B ．−√510C ．√55D ．−√555．为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．若圆锥的底面半径为√3，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ） A ．2B ．√3C ．2πD ．2√3π7．从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（ ） A ．“至少有1名女生”与“都是女生”B ．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C ．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D ．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A =π3，a ＝2．若（sin A ﹣sin B ）（a sin A +b sin B ）﹣（a ﹣b ）sin 2C ＝0，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√3或2√33C ．2√33D ．1或2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x ，方差为s 2，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x′，方差为s ′2，则下列判断正确的是（ ） A ．x =x′B ．x ＜x′C ．s 2＝s ′2D ．s 2＞s ′210．在△ABC 中，下列结论正确的是（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B B ．若sin A ＞sin B ，则A ＞B C ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BD ．若C 为钝角，则sin A ＜cos B11．若z 1，z 2是关于x 的方程x 2﹣2x +2＝0的两个虚根，则（ ） A ．z 1=z 2 B ．z 12+z 22＞0 C ．(z 1+z 2)2＞0D ．z 12⋅z 22＞012．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，延长边CD 至点E ，使得DE ＝CD ．动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP →=λAB →+μAE →，则（ ）A ．满足λ+μ＝1的点P 有且只有一个B ．满足λ+μ＝2的点P 有两个C ．λ+μ存在最小值D ．λ+μ不存在最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若复数z 1＝﹣2+i ，z 2＝1﹣3i ，则|z 1﹣z 2|＝ ．14．甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为 ．15．若△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4S ＝tan A （b 2+c 2﹣5），则a ＝ ． 16．在正六棱台ABCDEF ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，AB ＝4，A ′B ′＝3，A ′A =√2，设侧棱延长线交于点P ，几何体P ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′的外接球半径为R 1，正六棱台ABCDEF ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′的外接球半径为R 2，则此正六棱台的体积为 ，R 1R 2= ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知平面向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=1，|b →|=2． （1）求|2a →−b →|；（2）若a →+b →与2a →−kb →垂直，求k 的值．18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度．其计算公式是：BMI =体重(单位：kg)身高2(单位：m 2)，成年人的BMI 数值标准是：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖．某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32]，得到相应的频率分布直方图． （1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）； （2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c cos C +a cos B +b cos A ＝0． （1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，AB 边上的中线CD ＝1，求△ABC 的周长．20．（12分）如图，在四棱锥B ﹣ACED 中，AD ∥CE ，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，CE ＝1，△ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值．21．（12分）某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？22．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝2AD＝2√2，M是CD的中点，BD与AM交于O点，将△ADM沿AM向上折起，得到图2的四棱锥D'﹣ABCM．（1）证明：BC⊥平面D′OB；（2）若D'B＝1，求二面角D'﹣MC﹣B的正切值．2022-2023学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝1﹣i ，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：复数z ＝1﹣i ，则z （1，﹣1）对应的点位于第四象限． 故选：D ．2．已知a →=(1，m)，b →=(2，4)，若a →∥b →，则m 为（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．2解：因为a →=(1，m)，b →=(2，4)，a →∥b →，所以1×4﹣2m ＝0，得m ＝2． 故选：D ．3．某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15解：根据题意，从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂， 其可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个， 其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有（1，4），（2，3）共2个， 则所求概率为P =26=13． 故选：B ．4．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，E 为棱AC 的中点，则异面直线A 1E 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．√510B ．−√510C ．√55D ．−√55解：记AB 的中点为F ，连接EF ，A 1F ，如图，因为E 为棱AC 的中点，F 为AB 的中点，所以EF ∥BC ， 所以∠A 1EF 为异面直线A 1E 与BC 的所成角（或补角）， 因为在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2， 所以A 1E =√A 1A 2+AE 2=√5，A 1F =√5，EF =12BC ＝1，所以在△A 1EF 中，cos ∠A 1EF =A 1E 2+EF 2−A 1F 22A 1E⋅EF =5+1−52×√5×1=√510， 所以异面直线A 1E 与BC 所成角的余弦值为√510． 故选：A ．5．为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（ ） A ．62B ．63C ．64D ．65 解：因为10×40%＝4为整数，所以第40百分位数是63+652=64．故选：C ．6．若圆锥的底面半径为√3，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ） A ．2B ．√3C ．2πD ．2√3π解：依题意，设圆锥的母线长为l ，∵圆锥的底面半径为√3，高为1，∴l =√3+1=2，设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则cosθ=22+22−(2√3)22×2×2=−12， ∵0＜θ＜π，∴θ=2π3， 则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为α，α∈(0，2π3]，故截面的面积为S =12×2×2×sinα≤2，当且仅当α=π2时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故选：A ．7．从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（ ） A ．“至少有1名女生”与“都是女生”B ．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C ．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D ．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”解：“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A 错； “至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B 错； “至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D 错； “恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C 正确． 故选：C ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A =π3，a ＝2．若（sin A ﹣sin B ）（a sin A +b sin B ）﹣（a ﹣b ）sin 2C ＝0，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√3或2√33C ．2√33D ．1或2解：因为（sin A ﹣sin B ）（a sin A +b sin B ）﹣（a ﹣b ）sin 2C ＝0， 所以利用正弦定理得（a ﹣b ）（a 2+b 2）﹣（a ﹣b ）c 2＝0， 得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2， 若a ＝b ，因为A =π3，a ＝2， 所以b ＝c ＝2， 可得S △ABC =12bcsin π3=12×2×2×√32=√3， 若a 2+b 2＝c 2，则三角形ABC 为直角三角形，C =π2， 因为A =π3，a ＝2， 所以B =π6，b =2√33，可得S △ABC =12ab =12×2×2√33=2√33．综上所述：△ABC 的面积√3或2√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x，方差为s2，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x′，方差为s′2，则下列判断正确的是（）A．x=x′B．x＜x′C．s2＝s′2D．s2＞s′2解：对于AB，x=16×(3+5+6+9+9+10)=7，所以x=x′，A正确，B错误；对于CD，s2=16×[(3−7)2+(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(9−7)2+(10−7)2]=193，s′2=17×[(3−7)2+(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(7−7)2]=387，所以s2＞s′2，C错误，D正确．故选：AD．10．在△ABC中，下列结论正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin B B．若sin A＞sin B，则A＞BC．若A＞B，则sin2A＞sin2B D．若C为钝角，则sin A＜cos B 解：对于A，由大角对大边知，若A＞B，则a＞b，所以由正弦定理得sin A＞sin B，故A正确；对于B，若sin A＞sin B，则由正弦定理得a＞b，所以由大边对大角A＞B，故B正确；对于C，取A＝120°，B＝30°，则sin2A＝sin240°＜0，sin2B＝sin60°＞0，所以sin2A＞sin2B不成立，故C错误；对于D，若C为钝角，则A+B＜π2，0＜A＜π2，0＜B＜π2，所以0＜A＜π2−B＜π2，因为y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以sinA＜sin(π2−B)=cosB，故D正确．故选：ABD．11．若z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个虚根，则（）A．z1=z2B．z12+z22＞0C．(z1+z2)2＞0D．z12⋅z22＞0解：因为x2﹣2x+2＝0，所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4，根据求根公式可得x=2±√−42=1±i，又z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个虚根，不妨令z1＝1+i，z2＝1﹣i．对于A，z1=z2，A正确；对于B ，z 12+z 22=(1+i)2+(1−i)2=2i −2i =0，B 错误；对于C ，(z 1+z 2)2=22=4＞0，C 正确；对于D ，z 12⋅z 22=(1+i)2⋅(1−i)2=2i ⋅(−2i)=4＞0，D 正确．故选：ACD ．12．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，延长边CD 至点E ，使得DE ＝CD ．动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP →=λAB →+μAE →，则（ ）A ．满足λ+μ＝1的点P 有且只有一个B ．满足λ+μ＝2的点P 有两个C ．λ+μ存在最小值D ．λ+μ不存在最大值解：建立直角坐标系，如右图所示：设菱形ABCD 的边长为2，则A （0，0），B （2，0），C （3，√3），D （1，√3），E （﹣1，√3）， 设P （x ，y ），则由AP →=λAB →+μAE →可得：（x ，y ）＝λ（2，0）+μ（﹣1，√3）， 即{x =2λ−μy =√3μ，整理得：λ+μ=x+√3y 2， 当P 在AB 上时，有{0≤x ≤2y =0，故λ+μ∈[0，1]，当P 在BC 上时，有{2≤x ≤30≤y ≤√3，故λ+μ∈[1，3]，当P 在CD 上时，有{1≤x ≤3y =√3，故λ+μ∈[2，3]，当P 在AD 上时，有{0≤x ≤10≤y ≤√3，故λ+μ∈[0，2]，由此可知：当λ+μ＝1时，点P可位于B点或AD中点处，故A错误；当λ+μ＝2时，点P可位于BC中点或点D处，故B正确；综上可知0≤λ+μ≤3，故λ+μ有最小值0，最大值3，故C正确，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z1＝﹣2+i，z2＝1﹣3i，则|z1﹣z2|＝5．解：∵z1＝﹣2+i，z2＝1﹣3i，∴|z1−z2|=|(−2+i)−(1−3i)|=|−3+4i|=√9+16=5．故答案为：5．14．甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为0.8．解：因为两人考试相互独立，所以两人都未通过的概率为（1﹣0.6）×（1﹣0.5）＝0.2，故两人至少有一人通过的概率为1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．15．若△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4S＝tan A（b2+c2﹣5），则a＝√5．解：因为4S＝tan A（b2+c2﹣5），所以4×12bcsinA=sinAcosA(b2+c2−5)，因为0＜A＜π，且A≠π2，所以sin A＞0，则2bc=1cosA(b2+c2−5)，即2bc cos A＝b2+c2﹣5，所以2bc×b2+c2−a22bc=b2+c2−5，则b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣5，即a2＝5，所以a=√5（负值舍去）．故答案为：√5．16．在正六棱台ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′中，AB＝4，A′B′＝3，A′A=√2，设侧棱延长线交于点P，几何体P﹣A′B′C′D′E′F′的外接球半径为R1，正六棱台ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′的外接球半径为R2，则此正六棱台的体积为37√32，R1R2=35．解：依题意，正六棱台ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′中，AB＝4，A′B′＝3，A′A=√2则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为S1=6×√34×32=27√32，其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为S1=6×√34×42=24√3，其高为ℎ=√(√2)2−(4−3)2=1，所以该正六棱台的体积为V =13×(27√32+√27√32×24√3+24√3)×1=37√32． 设上底面中心为O 1，下底面中心为O ′，连接O 1O ′，A 1O 1，AO ′，则O 1O ′垂直于上下底面，如图，连接O 1A 1，O ′A ，则O 1A 1＝3，O ′A ＝4，由题意可得O 1O ′＝h ＝1，作A 1G ⊥AO ′垂足为G ，则A 1G ＝1，AG ＝1，连接A 1D ，O ′D ，则A 1D =√1+(8−1)2=5√2，故A 1A 2+A 1D 2−AD 2=2+50−64＜0，则∠AA 1D 为钝角，又由于正六棱台外接球球心位于平面AA 1D 上，故设正六棱台外接球球心为O ，则O 在O 1O ′的延长线上，因为外接球半径为R 2，故R 22=O′A 2+O′O 2，R 22=A 1O 12+OO 12，即R 22=16+O′O 2，R 22=9+(O′O +1)2，解得O ′O =3，R 22=25，则R 2＝5，连接PO 1，如图，易得P ，O 1，O ′三点共线，且A 1O 1∥AO ′，所以PO 1PO′=A 1O 1AO′=34，则PO 1＝3O 1O ′＝3， 易知A 1O 1＝B 1O 1＝C 1O 1＝D 1O 1＝E 1O 1＝F 1O 1＝3，所以O 1是几何体P ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′的外接球的球心，则R 1＝3，所以R 1R 2=35． 故答案为：37√32；35． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知平面向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=1，|b →|=2．（1）求|2a →−b →|；（2）若a →+b →与2a →−kb →垂直，求k 的值．解：（1）|2a →−b →|=√(2a →−b →)2=√4|a →|2+|b →|2−4a →⋅b →=√4|a →|2+|b →|2−4|a →|⋅|b →|⋅cos60° =√4+4−4×1×2×12=2． （2）因为a →+b →与2a →−kb →垂直，所以(a →+b →)⋅(2a →−kb →)=0，所以2|a →|2−k|b →|2+(2−k)a →⋅b →=0，所以2−4k +(2−k)×1×2×12=0，解得k =45． 18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度．其计算公式是：BMI =体重(单位：kg)身高2(单位：m 2)，成年人的BMI 数值标准是：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖．某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32]，得到相应的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；（2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数．解：（1）因为4（0.01+0.04+0.09+a +0.03）＝1，解得a ＝0.08，易知面积最大的矩形条所在区间为[20，24），所以该公司员工BMI 的样本数据的众数为22，因为区间[12，20）内的频率为4（0.01+0.04）＝0.2＜0.5，区间[12，24）内的频率为4（0.01+0.04+0.09）＝0.56＞0.5，所以该公司员工BMI 的样本数据的中位数在区间[20，24）内，不妨设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，此时0.2+（x ﹣20）×0.09＝0.5，解得x ≈23.3，则该公司员工BMI 的样本数据的中位数约为23.3；（2）因为成年人的BMI 数值18.5≤BMI ＜24为正常，所以该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04×（20﹣18.5）+0.09×（24﹣20）＝0.42，若该公司共有1200名员工，则该公司员工BMI 数值正常的人数为1200×0.42＝504．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c cos C +a cos B +b cos A ＝0．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，AB 边上的中线CD ＝1，求△ABC 的周长．解：（1）由正弦定理得：2sin C cos C +sin A cos B +sin B cos A ＝0，即2sin C cos C +sin （A +B ）＝0，即2sin C cos C +sin C ＝0．因为sin C ≠0，所以cosC =−12．因为 0＜C ＜π，所以C =2π3；（2）已知c ＝3，CD ＝1，在△ABC 中，由余弦定理得：9＝a 2+b 2+ab ①，由CD 为△ABC 的中线，得2CD →=CB →+CA →，两边平方得4＝a 2+b 2﹣ab ②，联立①②得ab =52，a 2+b 2=132，所以△ABC 的周长为a +b +c =√a 2+b 2+2ab +3=√462+3．20．（12分）如图，在四棱锥B ﹣ACED 中，AD ∥CE ，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，CE ＝1，△ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值．解：（1）证明：取AB 中点M ，连接FM ，CM ，∵F 为棱BD 的中点，∴MF ∥AD ，MF =12AD ，又∵AD ∥CE ，CE =12AD ，∴MF ∥CE 且MF ＝CE ，∴四边形MCEF 是平行四边形，∴EF ∥CM ，又∵CM ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；（2）取BC 中点N ，连接AN ，EN ，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AN ⊥BC ，且AN =√3，∵AD ⊥平面ABC ，AD ∥CE ，∴CE ⊥平面ABC ，又∵AN ⊂平面ABC ，∴CE ⊥AN ，又∵AN ⊥BC ，且CE ∩BC ＝C ，∴AN ⊥平面BCE ，∴∠AEN 即为AE 与平面BCE 所成的角，在Rt △EAC 中，AC ＝2，CE ＝1，∴AE =√5，在Rt △AEN 中，则sin ∠AEN =AN AE =√35=√155， 所以AE 与平面BCE 所成角的正弦值为√155．21．（12分）某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．（1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？解：（1）对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，设乙能答对的4个问题的编号为a，b，c，d，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用（x1，x2）表示选题结果，其中x1，x2为所选题目的编号，样本空间为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）}，共10个样本点，设“乙在第一轮得20分”事件为E，则E＝{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6个样本点，则乙在第一轮得20分的概率为P=610=0.6；（2）甲晋级复赛分两种情况：①甲第一轮得（20分）且第二轮至少得（20分）的概率为：0.62×（1﹣0.42）＝0.3024，②甲第一轮得0分且第二轮得4（0分）的概率为：（1﹣0.62）×0.62＝0.2304，所以甲晋级的概率P1＝0.3024+0.2304＝0.5328，乙晋级复赛分两种情况：①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：0.6×（1﹣0.62）＝0.384，②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：（1﹣0.6）×0.42＝0.064，所以乙晋级复赛的概率为P2＝0.384+0.064＝0.448，因为P1＞P2，所以甲更容易晋级复赛．22．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝2AD＝2√2，M是CD的中点，BD与AM交于O点，将△ADM沿AM向上折起，得到图2的四棱锥D'﹣ABCM．（1）证明：BC⊥平面D′OB；（2）若D'B＝1，求二面角D'﹣MC﹣B的正切值．解：（1）证明：在图1中连接BM，如图，由已知得AB∥CD，CD＝2AB，M是CD的中点，∴AB∥CM，AB＝CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴BC∥AM，同理，四边形ABMD是平行四边形，又AB＝AD，且AD⊥AB，∴四边形ABMD是正方形，∴AM⊥BD，∴在题干图2中，AM⊥OD′，AM⊥OB，∵OD′∩OB＝O，∴AM⊥平面D′OB，又BC∥AM，∴BC⊥平面D′OB．（2）∵在正方形ABMD中，AB=√2，∴D′O＝OB＝1，∵D′B＝1，∴△D′OB是等边三角形，在题干图2中，过D′作D′H⊥OB于点H，则H为OB中点，过H作HQ⊥mC交CM延长线于点Q，连接D′Q，如图，∵BC⊥平面D′OB，D′H⊂平面D′OB，∴BC⊥D′H，∵D′H⊥OB，BC∩OB＝B，∴D′H⊥平面ABCM，又MC⊂平面ABCM，∴D′H⊥MC，∵HQ⊥MC，D′H∩HO＝H，∴MC⊥平面D′HQ，∴MC⊥D′Q，∴∠D′QH为二面角D′﹣MC﹣B的平面角，在等边△D′OB中，D′B＝1，则D′H=√32，∵点H为OB的中点，HQ⊥MC，由题意得HQ∥BM，∵BM＝AD=√2，∴HQ=34BM=3√24，在Rt △D ′HQ 中，tan ∠D ′QH =D′H HQ =√32432=√63， 二面角D ′﹣MC ﹣B 的正切值为√63．。
河北省张家口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
河北省张家口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知一个总体中有N 个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体，则( )A.10B.20C.40D.不确定2．已知复数（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是( )C.3．一组数据28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位数为( )A.17B.20C.39D.414．如图，在中，D 是线段BC 上的一点，且满足：，则( )5．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，若有两解，则b 的取值范围为( )A.B.C.D.6．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为( )N =32i2i z -=+7i5ABC △3BD DC =AD =34AB AC + 14AB AC +23AB AC +13AB AC + ABC △sin 3B c ==ABC △)⎤⎦)+∞[)3,+∞OABC O A B C ''''2O A ''=1O C B C ''''==OABCA.7．随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）( )A.43.6万人B.44.5万人C.45万人D.49.1万人8．如图，某电子元件由A ，B ，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )C.10．已知函数，则下列说法正确的是( )A.B.图象的对称中心为，21z 22222121222z z z z z ++-=+()π2tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(f x ()f x ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈ZC.的单调递增区间为，D.为了得到的图象，可将标变为原来的2倍11．如图，已知正方体的棱长为4，M 是的中点，N 是的中点，则( )A.若P 是侧面内一动点，则满足平面的点P 的轨迹长为B.平面内不存在点H ，使得平面C.三棱锥的体积为16D.若Q是上一点，则的最小值为三、填空题12．已知，若________.13．在正四棱锥中，，与平面四棱锥外接球的体积为________.14．在中，，D 是上一点，是的平分线，且，的面积为________.四、解答题15．已知向量，，且.（1）求x 的值及，的夹角；（2）若，求k 的值.()f x πππ5π,212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z()2tan g x x =(f x 1111ABCD A B C D -AD 1CC 11CC D D //MP 11A C B 11AA B B MH ⊥11A C B 11M A C B -1C B 1A Q NQ +()0,πa ∈πcos 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=P ABCD -4AB =PB P ABCD -ABC △90BAC ∠=︒BC AD BAC ∠23BD CD =AD =ABC ()2,0a =(b x = ()2a a b ⊥- a b()()//4a kb ka b ++16．已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人参加安全知识竞赛.（1）求这3个班分别抽取的人数；（2）已知从1班抽取的人中有2名女生，若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长，求至少有1名女生作为组长的概率；（3）知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？17．如图，在矩形中，，，E 是的中点，将沿折起使点A 到点P 的位置，F 是的中点.（1）证明：平面；（2）若，证明：平面平面；（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.18．请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_________.（1）求角A 的大小；（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围.19．如图是函数图象的一部分.ABCD 2AB =4AD =AD ABE △BE PC //DF PBE CE PB ⊥PBE ⊥BCDE P BC E --()cos ,2m C b =()cos n A = //m n222sin sin sin sin B C A B C +-=ABC △ABC △2a =ABC △()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）记方程上的根从小到大依次为，若，试求n 与m 的值.()f x ()f x ()f x =π17π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()*123,,,,n x x x x n ∈N 123n m x x x x ++=++参考答案1．答案：C.故选：C 2．答案：C 解析：，所以z 的虚部是故选：C.3．答案：D解析：j 将数据从小到大排列为12，17，23，28，34，39，43，50，又.故选：D 4．答案：B解析：在中，，则，所以.故选：B.5．答案：A解析：三角形中，，如图，当有两解时，，=40N =()()()()32i 2i 32i 47i 47i 2i 2i 2i 555z ----====-++-875%⨯=41=ABC △3BD DC =14BD BC =1131()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ sin B =3=ABC △sin c B b c <<即.故选：A.6．答案：A解析：根据题意，直观图直角梯形中，，，则直观图的面积故原图的面积故选：A.7．答案：A解析：由频率分布直方图得：，解得，.故选：A.8．答案：C解析：设上半部分正常工作为事件M ，下半部分正常工作为事件N ，该电子元件能正常工作为事件A ，则所以故选：C 9．答案：ABD解析：A 选项，设，故，，故B 选项，设，，3b <<3b <<O A B C ''''2O A ''=1O C B C ''''==(12)12S +⨯'==S '==()0.010.0240.036101m +++⨯=0.03m =450.35543.6⨯+⨯=()111154P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3115P M P M =-=-=()11111543P N ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()191130N P N =-=-=()()()21111530P A P M P N =-=-⨯=1z a b =+i a b =-()()1122i i z z a b a a b b ⋅=+⋅+-=22a b +11z z ⋅1i z a b =+2i z x y =+故，，C 选项，设，，C 错误；D 选项，设，，则，，，，，，D 正确.故选：ABD 10．答案：AC解析：对于A ：因为，所以的最小正周期，故A 正确；对于B ：令，解得，所以图象的对称中心为，故B 错误；对于C ：令，所以函数的单调递增区间为，故C 正确，对于D ：将，()()()212i i i i i i a b x y ay bx ay b z z ax by ax x by +++⋅==+-+++=12z z ⋅===12z z ⋅=1i z a b =+2212i a ab z b =+-22a b +1i z a b =+2i z x y =+()12i i i z z a b x y a x b y +=+++=+++()12i i i z z a b x y a x b y -=+--=-+-()()2222222222a x b y a ax z b y y x b ++=++++++=+()()22212222222a x b y a ax z b y y z x b --=-++--+=+22222222122222222a ax x z z z b by y a ax x b by y =++++++-++--+++22222222a x b y =+++()()22222222222122222222a b x y a b y z z x =++=+++++()π2tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π2T =ππ2()32k x k -=∈Z ππ()64k x k =+∈Z ()f x ππ,0()64k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z πππ2π23k x k -<-<∈Z ππ122k x <<∈Z ()f x πππ5π,()212212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z (f x πππ2tan 22tan 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将横坐标变为原来的2倍得到，故D 错误.故选：AC.11．答案：ACD解析：对于A ：如图分别取，的中点E ，F ，连接、、、、，则，又，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，又P 是侧面内一动点，且满足平面，所以P 在线段对于B ：连接，则H 为的中点，又M 为的中点，，因为，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，，平面，所以平面，平面，平面内存在点H ，使得平面，故B 错误；π2tan 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1D D DC ME MF EF AC 1D C //MF AC 11//AC A C 11//MF A C 11A C ⊂11A C B MF ⊄11A C B //MF 11A C B //EF 11A C B MF EF F = ,MF EF ⊂MEF //MEF 11A C B 11CC D D //MP 11A C B EF =11A AB B H = 1AB AD 1//MH DB ∴1111A C B D ⊥1DD ⊥1111A B C D 11A C ⊂1111A B C D 1DD ⊥11A C 1111DD B D D = 111,DD B D ⊂11DD B B 11A C ⊥11DD B B 1DB ⊂11DD B B 111A C DB ⊥11DB BA ⊥1111A C BA A = 111,A C BA ⊂11A C B 1DB ⊥11A C B MH ∴⊥11A C B ∴11AA B B MH ⊥11A C B对于C ：结合B 可知又为边长为三棱锥，故C正确；对于D：将与展开在同一个平面内，如图，连接交于点Q ，则，当且仅当，Q ，N 三点共线时，等号成立，又，，又根据余弦定理可得的最小值为故选：ACD.112MH DB ===11A C B △∴11M A C B -1162⨯=11A C B △1CC B △1A N 1BC 11A Q NQ A N +≥1A 11AC =12N =116045A C N ∠=︒+︒()11cos cos 6045cos 60cos 45sin 60sin 45AC N ∠=︒+︒=︒︒-︒︒12==∴1A N ===1A Q NQ ∴+解析：因为，所以，又，则，所以所以13．答案：解析：在正四棱锥中，，设，连接，则平面，所以为与平面所成角，设四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在上，连接，依题意因为与平面则，设四棱锥外接球的半径为R ，则，解得，所以四棱锥外接球的体积.故答案为：.()0,πa ∈ππ5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π3cos 045α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭πππ,442α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 4α⎛⎫+== ⎪⎝⎭ππππππcos cos cos cos sin sin444444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455==36πP ABCD -4AB =1AC BD O = 1PO 1PO ⊥ABCD 1PBO ∠PB ABCD P ABCD -1PO BO 112BO BD ===PB 11BO PBO PB ∠==1PB ==14===P ABCD -(()2224R R =+-3R =P ABCD -334π4π336π33V R ==⨯=36π14．答案：3解析：过D 分别作，于F ，E ，设A 到的距离为h ，因为是的平分线，所以，易知①，②，又，由①，又，，，解得，即，所以，得到的面积为，故答案为：3.15．答案：（1）（2）解析：（1）因为，，所以，DF AB ⊥DE AC ⊥BC ADBAC ∠DE DF =ABDF BD h ⋅=⋅AC DE DC h ⋅=⋅23BD CD =BD DC =90BAC =︒AD =3332()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+2925AC + c 222294949252525254b c b b =+=+⨯24b =2b =332c b ==ABC △1123322S bc ==⨯⨯=x =12k =±()2,0a =(b x = ()((22,0222,a b x x -=-=--又，则，所以，解得，则，，故，所以（2）因为，，所以，，又，所以，解得经检验，16．答案：（1）1班应抽取6人，2班应抽取8人，3班应抽取10人；（3）乙的成绩更稳定解析：（1）根据题意，某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，故共有人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，人；（2）根据题意，由（1）的结论，1班应抽取6人，其中有2名女生，设2名女生为A 、B ，4名男生为a 、b 、c 、d ，从中选出2名同学作为组长，有、、、、、、、、、、、、、、，共15种取法，至少有1名女生作为组长的有、、、、、、、、共9种()2a a b ⊥- ()20a a b ⋅-=()(22200x -+⨯-=1x =()2,0a = (b = 210a b ⋅=⨯+=22cos ,22a b a b a b ⋅===⨯[,0,πb ∈ ,b = ()2,0a =(b = ()()()2,02a kb k k +=+=+()((48,08ka b k k +=+=+()()//4a kb ka b ++ ()()2810k k +⨯+=k =±k ==364860144++=24=24=2410=AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd取法，故至少有1名女生作为组长的概率（3）甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，，其方差；乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，，其方差由于17．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；解析：（1）取的中点G ，连接，，又F 是的中点，且，又且，且，四边形为平行四边形，915P ==1(6971727375)725=++++=()()()()()222222116972717272727372757245s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦1(7071717375)725=++++=()()()()()22222221707271727172737275725s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦4>PB GF GE PC //GF BC ∴12GF BC =//ED BC 12ED BC =//GF ED ∴GF ED =∴GFDE，又平面，平面，平面；（2）矩形中，，，E 是的中点，即，，，，又，且，平面，平面，又平面，平面平面；（3）由（2）可知平面平面，在平面内过P 作于点H ，由平面平面，平面，所以平面，又为等腰直角三角形，H 为的中点，再过H 作于点I ，连接，则根据三垂线定理可得即为二面角的平面角，取中点J ，连接，则四边形为正方形，易知I 为的中点，则，又又平面，平面，所以，//DF EG ∴DF ⊄PBE EG ⊂PBE //DF ∴PBE ABCD 2AB =4AD =AD 2AE DE ==∴BE CE ===4=222BE CE BC ∴+=CE BE ∴⊥CE PB ⊥BE PE E = ,BE PE ⊂PBE CE ∴⊥PBE CE ⊂BCDE ∴PBE ⊥BCDE PBE ⊥BCDE PBE PH BE ⊥PBE BCDE BE =PH ⊂PBE PH ⊥BCDE PBE △∴BE HI BC ⊥PI PIH ∠P BC E --BC EJ ABJE BJ 112HI EJ ==12PH BE ==PH ⊥BCDE HI ⊂BCDE PH HI ⊥PI ∴===cos HI PIH PI ∴∠===故二面角（2）解析：（1）若选①向量，，且，，，，，，因为，所以，所以，所以若选②，由正弦定理可得，由余弦定理，所以（2）由（1）得，所以，，所以的面积P BC E --(2()cos ,2m C b = ()cos n A = //m n()cos 2cos C b A =()cos 2sin cos A C B C A =-cos cos 2sin cos A C C A B A +=()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =()0,πB ∈sin 0B >cos A =()0,πA ∈A =222sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a +-=222cos 2b c A bc a +===-()0,πA ∈A =A ==224π1sin sin sin 62c a C A =====4sin b B =4sin c C =ABC △111sin 4sin 4sin 222ABC S bc A B C ==⨯⨯⨯△π4sin sin 4sin sin 6B C B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ππ14sin sin cos cos sin 4sin cos 662B B B B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭)22sin cos sin 21cos 2B B B B B =+=+-由为锐角三角形，而，所以，则所以面积的取值范围是.19．答案：（1）；（2）单调递增区间为，，单调递减区间为，；（3）解析：（1）由图可得函数的最小正周期为，则，所以，又函数过点，所以，，，解得，，因为所以.（2）令，，1π2sin 222sin 223B B B ⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC △5π6B C +=π025π06B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩B <<π23B <-<πsin 213B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π2sin 223B ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭ABC △(2+()π43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π5πππ,224224k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z πππ7π,224224k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z m =6=A =()f x ππ4624T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭0>2π2π4π2Tω===())f x x ϕ=+π24⎛ ⎝ππn 624f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2π2k ϕ+=+k ∈Z π2π3k ϕ=+k ∈Z 0ϕ<<=()π43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π42π232k x k -≤+≤+k ∈Z 5ππ242k x ≤≤+∈Z令.因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，.（3）方程，即因为，所以，设，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有6个解，即，又的对称轴为，，不妨设6个解从小到大依次为，，，，，，则，关于，关于，关于所以，，，即，，，解得.所以所以.ππ2π42π23k x k +≤+≤∈Z ππ242k x ≤≤+∈Z ()f x π5πππ,224224k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z πππ7π,224224k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()f x =π3434x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πsin 43x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π17π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]π40,6π3x +∈4x θ=[]0,6π∈sin θ=sin y θ=sin θ=[]0,6π6n =sin y x =ππ2x k =+k ∈Z 1θ2θ3θ4θ5θ6θ1θ2θθ=34θθ=56θθ=123πθθ+=347πθθ+=5611πθθ+=12ππ443π33x x +++=34ππ447π33x x +++=56ππ4411π33x x +++=12x x +=34x +=5631π12x +=123456m x x x x x x =+++++=m =6=。
2021-2022学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷
2021－2022学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |2＜x ≤4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝( ) A ．[3，4] B ．(3，4)C ．[3，4)D ．(3，4]2．sin94π＝＝( )A ．12B C D ． 3．若指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(1，2 )4．若用二分法逐次计算函数f (x )＝lnx ＋x 在区间[0.5，1]内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：x 0.5 1 0.75 0.625 0.5625 f (x )－0.19310.4620.155－0.013则方程lnx ＋x ＝0的一个近似根(精度为0.1)为( ) A ．0.56B ．0.57C ．0.65D ．0.85．关于x 的一元二次不等式2x 2－kx ＋38＞0对于一切实数x 都成立，则实数k 满足( )A ．{k |kB ．{k |kC ．{k |kD ．{k |k 6．“log 5(x ＋3)≤1”是“－3≤x ≤2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3．) A ．5B ．6C ．7D ．88．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －2π)＝f (x ＋2π)，且当x ∈[0，π]时，f (x )＝sin x ，则( ) A ．f (cos120°)＞f (sin(－20°))＞f (sin190°) B ．f (cos120°)＞f (sin190°)＞f (sin(－20°)) C ．f (sin190°)＞f (cos120°)＞f (sin(－20°))D ．f (sin190°)＞f (sin(－20°))＞f (cos120°)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. (多选)9．下列函数中为偶函数的是( ) A ．f (x )＝21x B ．f (x )＝x 4C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x(多选)10．已知a ＞b ＞0，且a ＋2b ＝ab ，则2a ＋b 的取值可以是( ) A ．8B ．9C ．11D ．12(多选)11．已知函数f (x )＝2sin(2x －6π)＋1，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的最小正周期是π B ．f (x )的图象关于点(－56π，0)对称 C ．f (x )在[－π，－2π]上单调递增 D ．f (x ＋12π)是奇函数(多选)12．若m ＞0，n ＞12，且m •2m ＝2n (log 2n ＋1)＝5，则( )A ．m ＋log 2m ＜3B ．log 2n ＋2＞52nC ．m ＝log 2n －1D ．mn ＝52三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知α∈[－3π，3π]，且cos(α－3π)＝12，写出一个满足条件的α的值： ．14．已知函数f (x )＝223,0log ,0x x x x x ⎧-+≤⎨>⎩，则f (f (12))＝ ．15．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．16．若∀x ∈R ，∃a ∈[5，8]，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5，则m 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)求下列各式的值： (1)lg14－lg25；18．(12分)已知()cos cos 23sin cos πααπαα⎫⎛--+ ⎪⎝⎭-＝3． (1)求tan(2π＋α)的值； (2)求sin αcos α的值．19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)用定义证明f (x )在(1，＋∞)上单调递增； (3)求f (x )在[－2，－1]上的值域．20．(12分)已知函数f (x )＝2in(2x ＋3π)＋m ，x ∈R ，且f (x )在[－4π，6π]上的最小值为0． (1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合．21．(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分．加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用．某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x 千件，需另投入的成本为C (x )(万元)．当年产量低于60千件时，C (x )＝12x 2＋10x ；当年产量不低于60千件时，C (x )＝80x ＋450045x -－2700．每千件产品的售价为60万元，且生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？22．(12分)已知函数f (x )＝3131x x a ⋅+-．(1)当a ＝1时，解方程lgf (2x )－lgf (x )＝1－lg 16；(2)当x ∈(0，1]时，|f (2x )－f (x )|≥1恒成立，求a 的取值范围．2021－2022学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝()A．[3，4] B．(3，4) C．[3，4) D．(3，4]解：因为集合A＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝[3，4]．故选：A．2．sin 94π＝＝()A．12B C D．解：sin 94π＝sin(2π＋4π)＝sin4π．故选：B．3．若指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(1，2 )解：∵指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，∴0＜a－1＜1⇒1＜a＜2．故选D4．若用二分法逐次计算函数f(x)＝lnx＋x在区间[0.5，1]内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：x0.5 1 0.75 0.625 0.5625f(x) －0.193 1 0.462 0.155 －0.013则方程lnx＋x＝0的一个近似根(精度为0.1)为()A．0.56 B．0.57 C．0.65 D．0.8解：由于f(0.625)＞0，f(0.5625)＜0，且0.625－0.5625＜0.1，则方程lnx＋x＝0的一个近似根为0.57．故选：B．5．关于x的一元二次不等式2x2－kx＋38＞0对于一切实数x都成立，则实数k满足()A．{k|k B．{k|k C．{k|k D．{k|k解：因为一元二次不等式2x 2-kx ＋2x 2-kx ＋38＞0＞0对于一切实数x 都成立，所以Δ＝(－k )2－4×2×38＜0，k所以实数k 的取值范围是{k |k． 故选：C ．6．“log 5(x ＋3)≤1”是“－3≤x ≤2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解：∵log 5(x ＋3)≤1，∴3035x x +>⎧⎨+≤⎩，解得：－3＜x ≤2，故“log 5(x ＋3)≤1”是“－3≤x ≤2”的充分不必要条件， 故选：A ．7．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3．) A ．5B ．6C ．7D ．8解：经过n 次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%， 由题意可得，(1－50%)n ＜4%，即n ＞1212log 25＝2log 25＝2lg5lg2＝()21lg2lg2-≈4.7，故至少需要5次提炼． 故选：A ．8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －2π)＝f (x ＋2π)，且当x ∈[0，π]时，f (x )＝sin x ，则( ) A ．f (cos120°)＞f (sin(－20°))＞f (sin190°) B ．f (cos120°)＞f (sin190°)＞f (sin(－20°)) C ．f (sin190°)＞f (cos120°)＞f (sin(－20°))D ．f (sin190°)＞f (sin(－20°))＞f (cos120°) 解：∵f (x －2π)＝f (x ＋2π)， ∴f (x )的周期为π．∵当x ∈[0，π]时，f (x )＝sin x ， ∴f (x )在[2π，π]上单调递减，在[－2π，π]上单调递减． ∵－1＜sin210°＜sin200°＜sin190°＜0， ∴－1＜cos120°＜sin(－20°)＜sin190°＜0． 故f (cos120°)＞f (sin(－20°))＞f (sin190°)． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. (多选)9．下列函数中为偶函数的是( ) A ．f (x )＝21x B ．f (x )＝x 4C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x解：f (x )＝21x的定义域为{x |x ≠0}，满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，故A 正确； f (x )＝x 4的定义域为R ，满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，故B 正确； f (x )＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，满足f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故C 不正确； f (x )＝cos x 的定义域为R ，满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，故D 正确． 故选：ABD ．(多选)10．已知a ＞b ＞0，且a ＋2b ＝ab ，则2a ＋b 的取值可以是( ) A ．8B ．9C ．11D ．12解：∵a ＞b ＞0，且a ＋2b ＝ab ，∴2a ＋1b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )(2a ＋1b )＝2b a ＋2ab＋5＞＋5＝9， ∴2a ＋b ＞9， 故选：CD ．(多选)11．已知函数f (x )＝2sin(2x －6π)＋1，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的最小正周期是π B ．f (x )的图象关于点(－56π，0)对称 C ．f (x )在[－π，－2π]上单调递增 D ．f (x ＋12π)是奇函数解：由正弦函数的周期公式可得，T ＝22π＝π，A 正确；令2x －6π＝k π得x ＝2k π＋12π，k ∈Z ，令2k π＋12π＝－56π可得此时k ＝－116∉Z ，B 错误；令－2π＋2k π≤2x －6π≤2π＋2k π，k ∈Z ， 解得，－6π＋k π≤x ≤3π＋k π当k ＝－1时，可得函数的一个单调递增区间为[－76π，－23π]，C 显然错误； 因为f (x ＋12π)＝2sin2x ＋1显然不是奇函数，D 错误． 故选：BCD ． (多选)12．若m ＞0，n ＞12，且m •2m ＝2n (log 2n ＋1)＝5，则( ) A ．m ＋log 2m ＜3 B ．log 2n ＋2＞52nC ．m ＝log 2n －1D ．mn ＝52解：A ：∵m •2m ＝5，∴2m ＝5m，∴m ＝log 25－log 2m ，∴m ＋log 2m ＝log 25＜3，∴A 正确， B ：∵2n (log 2n ＋1)＝5，∴log 2n ＋1＝52n ，∴log 2n ＋2＞52n，∴B 正确， C ：log 2n ＋1＝52n⇔log 2(log 2n ＋1)＝log 25－log 2(2n )⇔log 2(log 2n ＋1)＋(log 2n ＋1)＝log 25， 设f (x )＝x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (m )＝f (log 2n ＋1)＝)＝log 25，∴m ＝log 2n ＋1，∴C 错误，D ：将m ＝log 2n ＋1代入m ＋log 2m ＝log 25，得log 2n ＋1＋log 2m ＝log 25，∴log 2n ＋log 2m ＝log 252，∴mn ＝52，∴D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知α∈[－3π，3π]，且cos(α－3π)＝12，写出一个满足条件的α的值： 0(答案不唯一) ．解：因为cos(－3π)＝cos 3π＝12，所以α的值可以为0， 故答案案为：0．14．已知函数f (x )＝223,0log ,0x x x x x ⎧-+≤⎨>⎩，则f (f (12))＝ 5 ．解：根据题意，函数f (x )＝223,0log ,0x x x x x ⎧-+≤⎨>⎩，则f (12)＝log 212＝－1，则f (f (12))＝f (－1)＝1＋1＋3＝5；故答案为：5．15．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 12 人．解：某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人． 该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组， 则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有： 31＋26－45＝12． 故答案为：12．16．若∀x ∈R ，∃a ∈[5，8]，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5，则m 的取值范围为 (－∞，72] ． 解：根据题意，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5即x 2＋(a －2)x ＋12a 2－am ＋5≥0， 若∀x ∈R ，∃a ∈[5，8]，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5，即x 2＋(a －2)x ＋12a 2－am ＋5≥0， 则∃a ∈[5，8]，有Δ＝(a －2)2－4(12a 2－am ＋5)≤0成立， 变形可得∃a ∈[5，8]，m ≤4a ＋4a＋1成立， 设f (a )＝4a ＋4a ＋1，在[5，8]上为增函数，则f (a )≤f (8)＝2＋12＋1＝72， 必有m ≤72，即m 的取值范围为(－∞，72]； 故答案为：(－∞，72]． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)求下列各式的值： (1)lg14－lg25；解：(1)原式＝lg(14÷25)＝lg 1100＝lg 10-2＝－2． (2)原式＝()11132263233232⎫⎛⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝111112365622223333-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝11111113323623-++++⨯＝2×9＝18．18．(12分)已知()cos cos 23sin cos πααπαα⎫⎛--+ ⎪⎝⎭-＝3． (1)求tan(2π＋α)的值； (2)求sin αcos α的值． 解：(1)由原式得sin cos 3sin cos αααα+-＝3，所以tan 13tan 1αα+-＝3，解得tanα＝12， 故tan(2π＋α)＝tanα＝12． (2) sin αcos α＝22sin cos sin cos αααα+＝2tan tan 1αα+＝25．19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)用定义证明f (x )在(1，＋∞)上单调递增； (3)求f (x )在[－2，－1]上的值域． (1)解：函数f (x )是奇函数，理由如下： 函数f (x )＝x ＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称， 且f (－x )＝－x －1x ＝－(x ＋1x)＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数；(2)证明：任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋11x )－(x 2＋21x )＝(x 1－x 2)＋(11x －21x )＝(x 1－x 2)(1－121x x )， 因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，且1－121x x ＞0， 所以f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增； (3)解：因为函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，－1)上也单调递增， 当x ∈[－2，－1]时，f (x )min ＝f (－2)＝－2＋12-＝－52，f (x )max ＝f (－1)＝－1＋11-＝－2，所以f (x )在[－2，－1]上的值域是[－52，－2]． 20．(12分)已知函数f (x )＝2in(2x ＋3π)＋m ，x ∈R ，且f (x )在[－4π，6π]上的最小值为0．(1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合． 解：(1)f (x )的最小正周期为π．令－2π＋2k π≤2x ＋3π≤2π＋2k π，k ∈Z ，解得－512π＋k π≤x ≤12π＋k π，k ∈Z所以f (x )的单调递增区间为[－512π＋k π，12π＋k π](k ∈Z )；(2)当x ∈[－4π，6π]时，2x ＋3π∈[－6π，23π]．f (x )min ＝2×(－12)＋m ＝0，解得m ＝1． 所以f (x )＝2in(2x ＋3π)＋1． 当2x ＋3π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝12π＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，且最大值为3．故f (x )的最大值为3，取得最大值时x 的取值集合为{x |x ＝12π＋k π，k ∈Z }． 21．(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分．加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用．某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x 千件，需另投入的成本为C (x )(万元)．当年产量低于60千件时，C (x )＝12x 2＋10x ；当年产量不低于60千件时，C (x )＝80x ＋450045x -－2700．每千件产品的售价为60万元，且生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x ＜60时，L ＝60x －12x 2－10x －300＝－12x 2＋50x －300， 当x ≥60时，L ＝60x －(80x ＋450045x -－2700) －300＝－20x －450045x -＋2400， 故L ＝2150300,06024500202400,6045x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎪--+≥⎪-⎩．(2)当0＜x ＜60时，L ＝－12x 2＋50x －300＝－12(x －50)2＋950， 当x ＝50时，L 取得最大值，且最大值为950， 当x ≥60时，L ＝－20x －450045x -＋2400＝－20(x －45＋22545x -＋45)＋2400 ≤－＋45)＋2400＝900，当且仅当x －45＝22545x -，即x ＝60时，等号成立， 因为950＞900， 所以当该企业年产量为50千件时，所获得的利润最大，最大利润是950万元．22．(12分)已知函数f (x )＝3131x x a ⋅+-． (1)当a ＝1时，解方程lgf (2x )－lgf (x )＝1－lg 16；(2)当x ∈(0，1]时，|f (2x )－f (x )|≥1恒成立，求a 的取值范围．(1)解：当a ＝1时，f (x )＝3131x x a ⋅+-＝3131x x +-，f (2x )＝223131x x +-＝()()223131x x +-．原方程等价于lg ()()2f x f x ＝lg 1016且f (2x )＞0，f (x )＞0， 即()()2f x f x ＝58，()()223131x x +-＞0，3131xx +-＞0，所以()()2231313131x x x x +-+-＝58，且3x ＞1． 令3x ＝t ，则原方程化为()2211t t ++＝58， 整理得3t 2－10t ＋3＝0，解得t ＝3或t ＝13，即3x ＝3或3x ＝13(舍去)， 所以x ＝1．故原方程的解为x ＝1．(2)解：因为|f (2x )－f (x )|≥1，所以|()()223131x x a ⋅+-－3131x x a ⋅+-|≥1，即|()23331x x x a -⋅--|≥1． 令3x ＝t ，因为x ∈(0，1]，所以t ∈(1，3]，t 2－1＞0．则 |()211a t t +⋅-|≥1 恒成立，即|a ＋1|≥|21t t-| 在(1，3]上恒成立， 令函数g(t )＝t －1t ，因为函数y ＝t 与y ＝1t在(1，3]上单调递增， 所以g (t )在(1，3]上单调递增．因为g(3)＝83，g(1)＝0， 所以g(t )∈(0，83]，则21t t -≤83，所以|a ＋1|≥83， 解得a ≤－113或a ≥53．11 3]∪[53，＋∞)．故a的取值范围是(－∞，－。
2022-2023学年河北省保定三中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年河北省保定三中高一（上）期末数学试卷1. 已知集合M={x|x2−2x−3<0}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=( )A. {0,1,2}B. {−1,0,1,2}C. {−1,0,2,3}D. {0,1,2,3}2. 设命题p：∀x∈(0,1)，√x>x3，则¬p为( )A. ∀x∈(0,1)，√x<x3B. ∃x∈(0,1)，√x<x3C. ∀x∈(0,1)，√x≤x3D. ∃x∈(0,1)，√x≤x33. 函数f(x)=lgx+√4−x2的定义域为( )A. (0,4)B. (1,2)C. (0,2]D. (1,2]4. “x>0”是“e x−1>1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设a=log54，则b=log1513，c=0.5−0.2，则a，b，c的大小关系是( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b6. 已知sin(α−π)+cos(π−α)sin(−α)+cos(2π−α)=3，则tanα等于( )A. −2B. 2C. −3D. 37. 已知函数y=log a(2x−1)+3(a>0且a≠1)的图像过定点P，且角α的终边过点P，则sin(2α+3π)=( )A. 817B. −817C. 35D. −358. 函数f(x)=lnx−1x的零点所在的区间是( )A. (e−1,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (e,3)9. 函数y=axx2+1(a>0)的图象大致为( )A. B.C. D.10. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)x 4的取值范围是( )A. [−4,−2)B. [−4,−2]C. (−4,−2)D. (−4,−2]11. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) A. y =xB. y =|x|+1C. y =x 23D. y =−1x12. 给出下列函数：①y =cos2x ； ②y =cosx ； ③y =cos(2x +π6)； ④y =tan(2x −π4). 其中最小正周期为π的有( )A. ①B. ②C. ③D. ④13.函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )A. 该函数的解析式为y =2sin(23x +π3) B. 该函数图象的对称中心为(kπ−π3,0)，k ∈Z C. 该函数的单调递增区间是(3kπ−5π4,3kπ+π4)，k ∈ZD. 把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象14. 已知函数f(x)={log 12(1−x)+1,x ≤0√x,x >0，则下列结论中正确的是( )A. (−∞,0]是函数f(x)的一个单调减区间B. f(x)>1的解集为(1,+∞)C. 若f(x)=12，则x =14，或x =1−√2 D. 方程f(x)+x =0必有两个实数根15. 若sin(π6−x)=−13，则cos(π3+x)=______. 16. 已知tanα=−12，则sin2α−cos 2α1+cos2α=______.17. 设2x =3y =72，则3x +2y =______.18. 已知f(x)=log a (x 2−ax +3)(a >0且a ≠1)，对任意x 1,x 2∈(−∞,a2]且x 1≠x 2，不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，则a 的取值范围是______.19. 计算(1)已知sinα=√55，α∈(0,π2)，tanβ=13.求tanα和tan(α+2β)的值；(2)3log 34−2723−lg0.01+lne 3.20. 已知函数f(x)=log a (x +2)−log a (2−x)(a >0且a ≠1).(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)若一元二次不等式x 2−ax +c ≤0的解集为[0,12]，求不等式f(x)>c 的解集．21. 已知函数f(x)=(2√3cosωx +sinωx)sinωx −sin 2(π2+ωx)(ω>0)，且函数y =f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (Ⅰ)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间； (Ⅰ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域．22. 为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C(万元)与隔热层厚度x(厘米)满足关系式：C(x)=k3x+8(0≤x ≤10)，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元．设f(x)为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和． (1)求C(x)和f(x)的表达式；(2)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f(x)最小，并求出最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：M ={x|x 2−2x −3<0}={x|−1<x <3}，N ={−1,0,1,2,3}， 则M ∩N ={0,1,2}. 故选：A.先求出集合M ，再结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x ∈(0,1)，√x ≤x 3， 故选：D.根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】C【解析】解：由已知可得{x >04−x 2≥0，解得0<x ≤2，故函数的定义域为(0,2], 故选：C.由已知可得{x >04−x 2≥0，然后解不等式即可求解．本题考查了函数的定义域的求解问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由于e x−1>e 0，整理得x >1，当“x >0”时，“x >1”不一定成立，当“x >1”时，“x >0”一定成立， 故“x >0”是“e x−1>1”的必要不充分条件； 故选：B.直接利用不等式的解法和充分条件与必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵b=log1513=log53，a=log54<log55=1，∴b<a<1，∵c=0.5−0.2>0.50=1，∴b<a<c，故选：B.利用对数函数的单调性得到b<a<1，再利用指数函数的单调性得到c>1，可得到答案．本题考查了指数函数，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为sin(α−π)+cos(π−α)sin(−α)+cos(2π−α)=3，所以−sinα−cosα−sinα+cosα=−tanα−1−tanα+1=3，解答tanα=2.故选：B.利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为当x=1时，y=log a1+3=3，所以y=log a(2x−1)+3过定点P(1,3)，由三角函数的定义可得r=√12+32=√10，sinα=yr =√10，cosα=xr=√10，所以sin(2α+3π)=−sin2α=−2sinαcosα=−35.故选：D.根据对数型函数过定点求得P，利用三角函数的定义求出sinα，cosα，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：f(e−1)=−1−e<0；f(1)=−1<0；f(2)=ln2−12>ln√e−12=0f(e)=1−1e>0；f(3)=ln3−13>0，∴f(1)f(2)<0.故选：B.利用零点存在性定理即可判断．本题主要考查了求函数零点所在区间，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：f(−x)=−ax x 2+1=−f(x)，∴y =f(x)为奇函数，其图象关于原点对称， 令axx 2+1=0，解得x =0，函数只有一个零点， 只有选项A 符合， 故选：A.根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象如下，∵方程f(x)=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4， ∴x 1，x 2关于x =−1对称，即x 1+x 2=−2，当|log 2x|=1得x =2或12，则1<x 4≤2，故−4≤(x 1+x 2)x 4<−2， 故选：A.由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象，从而可得x 1+x 2=−2，1<x 4≤2，从而得到结果．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A ，y =x 为奇函数，不满足题意；对于B ，y =|x|+1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足题意； 对于C ，y =x 23为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足题意；对于D ，y =−1x 为奇函数，不满足题意． 故选：BC.运用常见函数的奇偶性和单调性，可得结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的单调性和奇偶性，考查推理能力，属于基础题．12.【答案】AC【解析】解：对于①，y =cos|2x|=cos2x ，最小正周期为T =2π2=π，∴①正确； 对于②，y =cosx ，最小正周期为2π，∴②错误；对于③，y =cos(2x +π6)，最小正周期为T =2π2=π，∴③正确； 对于④，y =tan(2x −π4)，最小正周期为T =π2，∴④错误； 故选：AC.根据三角函数的性质求解即可本题考查三角函数的性质，三角函数周期的结论，属基础题．13.【答案】ACD【解析】解：由题图可知A =2，2πω=4(π−π4)=3π， 所以ω=23，则y =2sin(23x +φ)，又23×π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ， 所以φ=π3+2kπ，k ∈Z ， 又0<φ<π， 所以φ=π3，所以y =2sin(23x +π3)，故A 正确，令23x +π3=kπ，k ∈Z ，得x =−π2+32kπ，k ∈Z ，故B 错误， 令−π2+2kπ≤23x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得−5π4+3kπ≤x ≤π4+3kπ，k ∈Z ，故C 正确，把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象y =2sin(23x +π3)，故D 正确． 故选：ACD.由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，考查的关键能力是运算求解，考查的学科素养是理性思维，属于中档题．14.【答案】BC【解析】解：当x ≤0时，f(x)=log 13(1−x)+1，因为y =log 13t +1与t =1−x(x ≤0)都是单调递减函数，所以f(x)=log 13(1−x)+1在(−∞,0]上单调递增，故选项A 错误；当x ≤0时，因为1−x ≥1，则log 13(1−x)≤0，所以f(x)=log 13(1−x)+1≤1，则f(x)>1不成立，当x >0时，f(x)>1，即√x >1，解得x >1， 综上可得，f(x)>1的解集为(1,+∞)，故选项B 正确；当x ≤0时，f(x)=12，即log 13(1−x)+1=12，解得x =1−√2，当x >0时，f(x)=12，即√x =12，解得x =14，故选项C 正确；方程f(x)+x =0的根的个数是函数y =f(x)与y =−x 的交点的个数，如图所示，函数y =f(x)与y =−x 只有一个交点，故方程f(x)+x =0只有一个实数根，故选项D 错误．故选：BC.根据复合函数的单调性即可判断选项A ，对分段函数进行分类讨论，列出不等式求解即可判断选项B ，利用分段函数的解析式分类讨论求解方程可判断选项C ，利用函数y =f(x)与y =−x 的交点的个数即可判断选项D.本题考查了分段函数的综合应用，涉及了分段函数单调性的求解，对数不等式的求解，方程根的个数的判断．对于分段函数问题，一般运用分类讨论或者数形结合的方法进行研究．15.【答案】−13【解析】解：∵π6−x +π3+x =π2， ∴π3+x =π2−(π6−x)， 则cos(π3+x)=cos[π2−(π6−x)]=sin(π6−x)=−13， 故答案为：−13.根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．是基础题．16.【答案】−1【解析】解：因为sin2α−cos 2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2α2cos2α=tanα−12，又因为tanα=−12，所以tanα−12=−12−12=−1，故答案为：−1.利用正余弦的倍角公式化简即可求解．本题考查了正余弦的倍角公式的应用以及正余弦切的同角关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．17.【答案】1【解析】解：∵2x=3y=72，则x=log272，y=log372，∴3 x +2y=3log272+2log372=3log722+2log723=log72(23×32)=log7272=1，故答案为：1.由2x=3y=72，可得x=log272，y=log372，再由对数运算法则求解即可求出结果．本题考查对数运算法则，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．18.【答案】(1,2√3)【解析】解：因为对任意x1,x2∈(−∞,a2]且x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立，所以f(x)在(−∞,a2]上单调递减，因为y=x2−ax+3在(−∞,a2]上单调递减，由复合函数的单调性知a>1，又由对数函数的定义域知，当x∈(−∞,a2]时，x2−ax+3>0恒成立，可得(a2)2−a×a2+3>0，解得−2√3<a<2√3，综上可得；1<a<2√3，所以实数a的取值范围为(1,2√3).故答案为：(1,2√3).根据题意得到f(x)在(−∞,a2]上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，得到a>1，再结合对数函数的定义域和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为sinα=√55，α∈(0,π2)， 所以cosα=√1−sin 2α=2√55，tanα=sinαcosα=12，又tanβ=13，所以tan2β=2tanβ1−tan 2β=34，tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=12+341−12×34=2；(2)原式=4−(33)23−lg10−2+3=4−9+2+3=0.【解析】(1)利用同角三角函数关系和正切的两角和公式求解即可； (2)利用对数和指数的运算求解即可．本题考查三角函数的求值问题，三角函数同角关系的应用，对数的基本运算，属中档题．20.【答案】解：(1)要使f(x)有意义，必须2+x >0且2−x >0，解得−2<x <2，所以f(x)的定义域为(−2,2)，f(x)是奇函数． 证明如下：f(x)的定义域为(−2,2)，关于原点对称，f(−x)=log a (−x +2)−log a (2+x)=−[log a (x +2)−log a (2−x)]=−f(x)， 所以f(x)为奇函数；(2)由不等式x 2−ax +c ≤0的解集为[0,12]， 所以{0×12=c,0+12=a,得a =12，c =0， 所以f(x)=log 12(x +2)−log 12(2−x)>0，得log 12(x +2)>log 12(2−x)，因为y =log 12x 为减函数，所以{x +2>0,2−x >0,x +2<2−x,解得−2<x <0，所以解集为{x|−2<x <0}.【解析】(1)由对数的真数大于0，可得f(x)的定义域，再由函数的奇偶性的定义，可得结论； (2)由二次不等式与二次方程的关系，解方程可得c ，再由对数不等式的解法，可得所求解集． 本题考查函数的奇偶性的判断和对数不等式的解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2√3cosωxsinωx +sin 2ωx −cos 2ωx=√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6).由函数f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，知14⋅2π2ω=π4，第11页，共11页即ω=1，所以f(x)=2sin(2x −π6).令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，解得：kπ−π6≤x ≤kπ+π3，所以函数f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z.(Ⅰ)因为0≤x ≤π2，所以−π6≤2x −π6≤5π6 所以−12≤sin(2x −π6)≤1，所以−1≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为[−1,2].【解析】(Ⅰ)由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求ω的值和函数f(x)的单调递增区间．(Ⅰ)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)在区间[0,π2]上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为C(x)=k 3x+8(0≤x ≤10)，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以k =40，故C(x)=403x+8， 因为f(x)为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，所以f(x)=6x +8003x+8(0≤x ≤10).(2)f(x)=6x +8003x+8=2(3x +8)+8003x+8−16≥2√1600−16=64， 当且仅当2(3x +8)=8003x+8，即x =4时，等号成立，即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元．【解析】(1)由已知C(x)=k 3x+8(0≤x ≤10)，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C(0)=5，由此可求k ，进而得到C(x).由已知建造费用为6x ，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，可得f(x)的表达式．(2)由(1)中所求的f(x)的表达式，利用基本不等式求出总费用f(x)的最小值．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．。
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2019学年河北省高一上学期期末数学试卷【含答案及
解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知全集，，，则
（）
A ． ______________
B ．______________
C ．
______________ D ．
2. 定义在R的奇函数，当时，，则等于
（）
A ．
B ．___________________________________
C ．
D ．
3. 已知向量，则（）
A ．______________
B ．____________________
C ．
______________________________ D ．
4. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的
取值范围是（）
A ． ________
B ．_________________
C ．
______________ D ．
5. 下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）
A ．_________
B ．
C ．___________________
D ．
6. 函数零点所在的区间是（）
A ．_________________________________
B ．
_________________________________ C ．___________________________________ D ．
7. 若都是锐角，且，，则（）
A ．_______________________
B ．______________
C ．
或 ________ D ．或
8. 将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则的值为（）
A ．___________________________________
B ．
___________________________________ C ．
___________________________________ D ．
9. 函数的单调递减区间是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 已知，若，则（）
A ． 2____________________
B ． 3________________________
C ． 4____________________
D ． 5
11. 已知函数一个周期的图象如图所示，
则的值为（）
A ．______________
B ．______________
C ．______________
D ．
12. 已知函数若函数的零点个数为（）
A ． 3___________________________________
B ． 4
C ． 5___________________________________
D ． 6
二、填空题
13. 已知三个数，则的大小关系为
______________ ．
14. 化简的值为 ___________ ．
15. 若，是方程的两个根，则
______________ ．
16. 在菱形中，对角线，为的中点，则
_______ ．
三、解答题
17. 已知三点的坐标分别是，，，其中
．
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值．
18. ，记
．且的最小正周期为．
（1）求的最大值及取得最大值时的集合；
（2）求在区间上的取值范围．
19. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40
分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如
图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段，其中，根据专家
研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
（ 1 ）试求的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
20. 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意
都有，且．
（ 1 ）求；
（2）求证：是周期函数．
21. 已知函数．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若对于，恒有成立，求的取值范围．
22. 函数．
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若恒成立，求的取值范围．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】。