课堂设计高中数学 2.3.2 空间向量基本定理课后作业北师大版选修21

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课堂设计高中数学 2.3.2 空间向量基本定理课后作业北师大版选修21

3.2 空间向量基本定理1.下列命题是真命题的有( )①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:根据基底的含义可知②③是真命题.答案:C2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.答案:B3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是( )A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:设a+2b=λ(2a)+μ(a-b),得λ=,μ=-2,所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.答案:C4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.-a+b+c解析:)=c+(-)=c-a+(-c)+b=-a+b+c.答案:D5.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,=c.若D是四边形OABC的中心,则( )A.=-a+b+cB.=-b+a+cC.a-b-cD.a+c-b解析:=-b+)=-b+a+c.答案:B6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,且f=-a+b+c,k=a+b+c,h=a-b+c,那么在f,k,h中与相等的向量是.解析:求与相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示.)=-=-a+b+c=f.答案:f7.如图,已知空间四边形OABC,M是OA的中点,G是△ABC的重心,用基底表示向量的表达式为.解析:)==-.答案:-8.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的点,且分的比是3∶1,设=α+β+γ,则α,β,γ的值分别为、、.解析:∵=)+)=(-)+)=,∴α=,β=,γ=.答案:9.已知a,b,c是空间的一个基底.求证:向量a+b,b+c,c+a可以构成空间的一个基底.证明:假设a+b,b+c,c+a不能构成空间的一个基底,则它们共面,故存在实数x,y,使a+b=x(b+c)+y(c+a),即(y-1)a+(x-1)b+(x+y)c=0.∵a,b,c不共面,∴y-1,x-1,x+y同时为0,即x=1,y=1,x+y=0,这是不可能的.∴a+b,b+c,c+a可以构成空间的一个基底.10.如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,=i,=j,=k,试用基底i,j,k表示向量.解:=)==i+j-k.====-i+j+k.备选习题1.下列说法中正确的是( )A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且只有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中的向量与基底e,f,g中的向量对应相等答案:C2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是四边形A'B'C'D'的中心,a=,b=,c==x a+y b+z c,则( )A.x=2,y=1,z=B.x=2,y=,z=C.x=,y=,z=1D.x=,y=,z=解析:∵)=2a+b+c,∴x=2,y=1,z=.答案:A3.已知,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点.化简下列各表达式:(1);(2));(3).解:(1)因为G是△BCD的重心,所以||=|.所以.又因为,所以由向量加法的三角形法则,可知,从而.(2))=(2)==.(3)=)=[()+()]=)4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足.(1)判断三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解:(1)由已知,得=3,∴=()+().∴=-.∴向量共面.(2)由(1)知向量共面,三个向量又有公共点M,∴四点M,A,B,C共面.∴点M在平面ABC内.5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3).解:(1)=a+c+b.(2)=-=-a+b+c.(3)=AB=a+b+c,c+a=a+c.则a+b+c+a+c=a+b+c.。

2.3.2《空间向量基本定理》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1

2
2
= 1 AD + AC AB 2
（2）MN = 1 CD = 1 AD AC
2
2
EF MN = 1 AD + AC AB 1 AD AC
2
2
= 1
2
2
AD AC
=0
4
江西省新余市第一中学
刘斌
03 问题探究
如果向量e1 ,e2 ,e3是空间三个不共面的向量, a 是空间任一向量,
05 典例讲评
练习2 .如图，已知三棱锥O - ABC ,M 为 AB 中点, N为OM中点，OA OB OC 1 , 且OA,OB,OC 两两垂直，
(1)试用AO, AB, AC 表示CN ;
解: (1)
因为 CN = AN AC
= 1 AO AM AC 2
=
1 2
AO
1 2
AB
面的向量作为基底表 2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本
示其它向量，并解决定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.
一些简单问题
07 课后作业
1. O, A,B,C 为空间中的四点，且向量 OA,OB,OC 不能构成空间中的一个基底，则（） A. OA,OB,OC 共线 B. OA,OB 共线 C.OB,OC 共线 D.O, A,B,C四点共面
c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
则 a,b,c 构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①为真命题,构成基底的向量
必须不共面; ②为真命题;
③为假命题,a,b不共线,
当 c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,

空间向量的分解与坐标表示教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册

第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。

高中北师大版数学选修2-1学案：空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理含答案

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理知识点一空间向量的标准正交分解与坐标表示[填一填](1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为x轴，y轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k.我们把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，→的坐标也是(x，y，z)．z)，向量OP[答一答]空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，有且只有一条，设垂足为N，而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的．即在空间直角坐标系O-xyz→＝x i＋中，对空间任一点M，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OMy j＋z k，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．如图．知识点二向量a在向量b上的投影[填一填]一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．[答一答]求证：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．提示：设a＝x i＋y j＋z k，∴a·i＝x i·i＋y j·i＋z k·i，由于i⊥j，k⊥i，∴i·j＝0，k·i＝0，又|i|2＝i·i＝1，∴a·i＝x，同理a·j＝y，a·k＝z.知识点三空间向量基本定理[填一填](1)如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3表示向量a 关于基底e 1，e 2，e 3的分解．(2)特别地，当向量e 1，e 2，e 3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解．当e 1＝i ，e 2＝j ，e 3＝k 时，就是标准正交分解．[答一答]求证：满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3中的λ1，λ2，λ3是唯一的．提示：设a ＝λ1′e 1＋λ2′e 2＋λ3′e 3，又∵a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，∴λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3＝λ1′e 1＋λ2′e 2＋λ3′e 3， ∴(λ1－λ1′)e 1＋(λ2－λ2′)e 2＋(λ3－λ3′)e 3＝0，又∵e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量， ∴λ1′＝λ1，λ2′＝λ2，λ3′＝λ3，即λ1，λ2，λ3是唯一的．1．关于空间向量的标准正交分解与坐标表示的几个注意点： (1)投影a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉是一个实数． ①若〈a ，b 〉∈[0，π2)，则a ·b 0>0； ②若〈a ，b 〉＝π2，则a ·b 0＝0； ③若〈a ，b 〉∈(π2，π]，则a ·b 0<0.(2)建立坐标系时，应注意点O 的任意性，原点O 的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能地使各点的坐标为正．2．空间向量基本定理说明：(1)用空间三个不共面的已知向量组{e 1，e 2，e 3}可以线性表示出空间任意一向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (3)由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．3．特殊向量的坐标表示：若向量a 平行x 轴，则a ＝(x,0,0)．若向量a 平行y 轴，则a ＝(0，y,0)．若向量a 平行z 轴，则a ＝(0,0，z )．若向量a 平行xOy 平面，则a ＝(x ，y,0)．若向量a 平行yOz 平面，则a ＝(0，y ，z )．若向量a 平行zOx 平面，则a ＝(x,0，z )．题型一空间向量的坐标表示【例1】如图所示，已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.求AN→，AM →的坐标．【解】由题意可知P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面AC ，AD ⊥AB ，不妨以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中AD→＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .AM →＝12AB →＝12j ，AN →＝AP →＋PN →＝AP →＋12PC →＝AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝12AP →＋12AD →＋12AB →＝12i ＋12j ＋12k .故AM →＝(0，12，0)，AN →＝(12，12，12)．规律方法用坐标表示空间向量的一般步骤：(1)找垂线：仔细观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线．若无，则需构造两两垂直的三条直线；(2)取基底：取(1)中找出的三条直线的单位方向向量为基底； (3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (4)进行计算：综合利用向量的加减及数乘运算； (5)确定结果：确定目标向量的坐标．如图，在空间直角坐标系中有长方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，并给出OB′→关于i ，j ，k 的标准正交分解式；(2)写出OC′→的坐标．解：(1)因为OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5，所以点B ′的坐标为(6,8,5)，从而OB′→＝(6,8,5)＝6i ＋8j ＋5k . (2)因为点C ′的坐标是(0,8,5)，所以OC ′→＝(0,8,5)．题型二空间向量基本定理【例2】如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG→，BG →.【思路探究】利用三角形法则，平行四边形法则将向量PG →，BG →用AB →，AD →，AP →来表示．由于点G 为△PDC 的重心，所以有PG ＝23PN .【解】 PG →＝23PN →＝23[12(PC →＋PD →)] ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP → ＝13i ＋23j －23k . BG→＝BC →＋CN →＋NG → ＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－(16AB →＋13AD →－13AP →) ＝23AD →－23AB →＋13AP →＝－23i ＋23j ＋13k .规律方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ QA ′＝41，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP→；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解：连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋A D →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′→ ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .题型三空间向量基本定理的简单应用【例3】如图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z . 【思路探究】第(1)问要证明四点共面只需证明AC 1→，可用AE →，AF →表示即可；第(2)问中求x ＋y ＋z 只需先把EF →用AB →，AD →，AA 1→表示出来，求出x 、y 、z ，再求x ＋y ＋z .【解】 (1)证明：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ ＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB→＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， ∴A 、E 、C 1、F 四点共面． (2)∵EF→＝AF →－AE → ＝AD→＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－A B →＋AD →＋13AA 1→， ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13. ∴x ＋y ＋z ＝13.规律方法证明三个向量共面，直线与平面平行或直线在平面内，四点共面，都要利用共面向量定理，即对于向量p 来说是否存在x ，y ，使p ＝x a ＋y b 成立．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解：(1)∵OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. ∴向量MA→，MB →，MC →共面． (2)由(1)知，向量MA→，MB →，MC →共面，三个向量的基线又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．题型四向量的投影【例4】如图，已知单位正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′.(1)求向量CA′→在CD →上的投影； (2)DC →是单位向量，且垂直于平面ADD ′A ′，求向量CA ′→在DC →上的投影．【思路探究】 a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，只要求出|a |及〈a ，b 〉即可．【解】 (1)法1：向量CA ′→在CD →上的投影为|CA ′→|cos 〈CA ′→，CD →〉，又正方体棱长为1，∴|CA ′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA′→|＝3， ∠DCA ′即为CA′→与CD →的夹角，在Rt △A ′CD 中，cos ∠A ′CD ＝13＝33， ∴CA′→在CD →上的投影为 |CA ′→|cos 〈CA ′→，CD →〉＝3·33＝1.法2：在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，DC ⊥AD ，〈CA ′→，CD →〉＝∠DCA ′. ∵CA′→在CD →上的投影为 |CA′→|cos 〈CA ′→，CD →〉＝|CA ′→|cos ∠DCA ′＝|CD →|＝1. (2)CA ′→与DC →的夹角为180°－∠A ′CD ， ∴CA′→在DC →上的投影为 |CA ′→|cos(180°－∠A ′CD )＝－|CA ′→|·cos ∠A ′CD ＝－1.规律方法 (1)求向量a 在向量b 上的投影，可先求出|a |，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a |cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．(2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA ′→，CD →〉与〈CA′→，DC →〉是不同的，其和为π.已知正四面体P -ABC 的所有棱长均为1，D 是AC 的中点，如图所示，求：(1)向量PB→在PC →上的投影； (2)向量PB→在AP →上的投影； (3)向量BP→在BD →上的投影．解：(1)向量PB →在PC →上的投影为|PB →|cos ∠BPC ＝1×cos π3＝12.(2)向量PB →在AP →上的投影为|PB →|·cos(π－∠APB )＝1×cos 2π3＝－12. (3)如题图所示，由正四面体的几何性质知，点P 在底面ABC 上的射影O 是底面△ABC 的中心，且在BD 上，在Rt △POB 中，OB ＝23×32＝33，∴向量BP→在BD →上的投影为 |BP →|cos ∠PBO ＝|BO →|＝33.——多维探究—— 利用向量基本定理证明线线垂直【例5】如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .求证：CA 1⊥B 1D 1.【思路分析】本题主要考查了空间向量的基本定理．解决这类问题首先应该找到作为基底的向量，再把相关向量表示为基底的线性形式，证明它们的数量积为零即可．【证明】因为CA 1→＝CD →＋CB →＋CC 1→，B 1D 1→＝BD →＝CD →－CB →，所以CA 1→·B 1D 1→＝(CD →＋CB →＋CC 1→)·(CD →－CB →) ＝CD →2－CB →2＋CC 1→·(CD →－CB →) ＝|CD →|2－|CB →|2＋CC 1→·CD →－CC 1→·CB →＝|CD →|2－|CB →|2＋|CC 1→||CD →|·cos ∠C 1CD －|CC 1→||CB →|·cos ∠C 1CB ，又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，底面ABCD 为菱形，所以|CD →|2－|CB →|2＋|CC 1→||CD →|·cos ∠C 1CD －|CC 1→||CB →|·cos ∠C 1CB ＝0，即CA 1→·B 1D 1→＝0. 所以CA 1→⊥B 1D 1→，故CA 1⊥B 1D 1.规律方法用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．如图，在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．求证：OG ⊥BC .证明：如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12[12OA →＋12(O B →＋OC →)] ＝14(a ＋b ＋c )，BC→＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG→⊥BC →，即OG ⊥BC .1．已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OO ′→＝b ，OC →＝c .D 是四边形OABC 的中心，则( B )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b ＋12a ＋12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a ＋12c －12b解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－b ＋12(OA →＋OC →)＝－b ＋12a ＋12c . 2．点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的投影的坐标分别是( A )A ．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)B ．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)C ．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)D ．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)解析：点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的投影就是过M 点分别向平面xOy ，xOz ，yOz 作垂线的垂足，其坐标是三个垂足的坐标．3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→＝3i ＋2j ＋5k . 解析：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k . 4．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，从以下各向量a ，b ，c ，a ＋b ，a －b ，a ＋c ，a －c ，b ＋c ，b －c 中选出三个向量，构成空间向量的基底，请你写出三个基底．解：只要用不共面的三个向量均可构成基底．如a ，a ＋b ，a ＋c ；a ＋b ，b ＋c ，a ＋c ；a －c ，b －c ，a －b .。

2.3.1,2向量的坐标表示和空间向量基本定理课件(北师大版选修2-1)

→ → ∵ CA1 ＝a＋b＋c， C1D ＝b－c，∴(a＋b＋c)· (b－c)＝0⇒a·b ＋|b|2＋c· b－a· c－b· c－|c|2＝0. 1 2 1 1 1 2 ∴2m ＋m ＋2m－2m－2m－1＝0⇒3m2－m－2＝0， 2 解得：m＝1或m＝－ (舍去)． 3 → → 当m＝1时，由 CA1 · BD ＝(a＋b＋c)· (b－a)⇒a·b＋|b|2＋c· b－ |a|2－a· b－a· c＝0，∴CA1⊥BD. CD 综上，当CC ＝1时，A1C⊥平面C1BD. 1
1 1 1 1＋1－＋－1＝ . 2 2 2
→ → 1 EF·AC 2 2 → → 则有：cos〈EF，AC〉＝＝＝2， → → 2 |EF||AC| 2 π → → → → ∵〈EF，AC〉∈[0，π ]，∴〈EF，AC〉＝ 4 .(12分) → → → 【题后反思】用已知模和夹角的基底 OA 、 OB 、 OC 表示目标向量是解决本题的关键．
→ → → [规范解答] 设 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， π 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝ 3 ， 1 ∴a·b＝a· c＝b· c＝2.(3分) 1→ → → → 1 → → (1)EF＝OF－OE＝ (OB＋OC)－ OA 2 2 1 1 1 1 ＝－ a＋ b＋ c＝－ (a－b－c)， 2 2 2 2
解
→ → → → 2 → 1→ 2 → → OG＝OM＋MG＝OM＋ MN＝ OA＋ (ON－OM) 3 2 3
1 → 2 1→ → → 1 ＝2OA＋3 （OB＋OC）－ OA 2 2 1→ 1 → → 1→ 1→ 1→ 1→ ＝2OA＋3(OB＋OC)－3OA＝6OA＋3OB＋3OC， → 1→ 1→ 1→ ∴OG＝ OA＋ OB＋ OC. 6 3 3 规律方法利用向量加减法，把目标向量用已知的基底表示，

高中数学第二章空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算教案北师大版选修2-1-北师大版高二

空间向量及其运算【教学目标】1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积【知识梳理】复习：平面向量有加减以及数乘向量运算1. 空间向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.空间向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝.(2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ；当λ＝0时，λa ＝.(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ， b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .3. 空间向量加法和数乘向量，以下运算律仍然成立：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 数乘交换律: λa=a λ加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘结合律：a a )()(λμμλ=数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb a a a μλμλ+=+)(小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例3三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.追踪训练1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 5．3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝04.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.。

北师大版选修2《空间向量基本定理》评课稿

北师大版选修2《空间向量基本定理》评课稿一、课程简介《空间向量基本定理》是北师大版选修2课程中的一门重要课程，主要介绍了空间向量的概念和基本性质，以及空间向量的运算规则和应用。

本课程通过理论讲解和实例分析，帮助学生深入理解空间向量的基本概念和定理，并培养学生运用空间向量解决实际问题的能力。

二、教学目标本课程的教学目标主要包括以下几个方面： 1. 理解空间向量的概念和基本性质，能够正确运用向量的各种定义和性质；2. 掌握空间向量的运算规则，能够进行向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算； 3. 熟练掌握空间向量的坐标表示方法，能够在不同坐标系下进行向量的运算； 4. 理解并掌握空间向量的线性相关和线性无关的概念和判定方法； 5. 掌握空间向量与线性方程组的关系，能够通过向量的方法求解线性方程组；6. 能够运用空间向量解决实际生活中的问题，如几何问题、物理问题等。

三、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质在本节课中，首先介绍了向量的概念和表示方法，引入了空间向量的概念，并介绍了向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算的规则。

此外，还介绍了向量的模、方向和坐标表示方法，以及向量共线和共面的判定方法。

2. 空间向量的运算规则本节课主要介绍了向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算的规则，并通过实例演示了向量的运算过程和计算方法。

同时，还讲解了向量的线性组合和零向量的性质。

3. 空间向量的坐标表示在这一节中，首先介绍了向量坐标表示的概念和方法，并讲解了向量在不同坐标系下的表示方法。

通过练习题的讲解，帮助学生掌握向量在不同坐标系下的转换规则。

4. 空间向量的线性相关和线性无关性质本节课主要介绍了向量的线性相关和线性无关的概念和判定方法。

通过具体的实例分析，帮助学生理解并掌握相关概念和方法，并通过练习题的讲解提高学生的解题能力。

5. 空间向量与线性方程组的关系在这一节中，首先介绍了线性方程组的概念和性质，然后引入了向量的方法求解线性方程组的思想和步骤。

高中数学北师大版选修2-1课时作业2.3.2 空间向量基本定理 Word版含解析

第二章§课时作业一、选择题．下列说法中正确的是( )．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底．空间的基底有且仅有一个．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底．基底{，，}中基向量与基底{，，}中基向量对应相等解析：项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；项，空间基底有无数个；项中因为基底不唯一，所以错．故选.答案：．设命题：，，是三个非零向量；命题：{，，}为空间的一个基底，则命题是命题的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件解析：若，，为非零向量，则{，，}不一定为基底，但若{，，}为基底，则，，肯定为非零向量，所以为的必要不充分条件．答案：．[·黑龙江省哈尔滨九中模考]已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝＋＋，则＋＋的值为( )．．－．．－解析：本题主要考查空间向量基本定理及其应用．由题意知，，，共面的充要条件是：对空间任意一点，存在实数，，，使得＝＋＋且＋＋＝，因此，＋＋＝－，故选.答案：．如右图所示，在空间四边形中，点为中点，为中点，在上，且＝，若＝，＝，＝，则＝( )．－＋＋．＋－．－－＋．－＋解析：＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋×(＋)＝－＋＋(－＋－)＝－＋＋(＋－)＝－＋＋.答案：二、填空题．已知点在平面内，并且对空间任一点，＝＋＋，则＝.解析：∵、、、四点共面，∴＋＋＝，得＝.答案：．设{，，}是空间向量的单位正交基底，＝＋－，＝－＋＋，则向量，的关系是．解析：∵·＝－＋－＝－＋－＝，∴⊥.答案：⊥．如图，在正方体－中，用，，作为基向量，则＝.解析：＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，∴＝(＋＋)．答案：(＋＋)三、解答题．已知空间四边形，点，，分别是，，的中点，且＝，＝，＝，试用，，表示，.解：如图所示，连接.＝＋＝－＋(＋)＝(－＋＋)，＝－＝(－)．．如右图所示，在平行六面体－中，、分别在和上，且＝，＝.()证明：、、、四点共面；()若＝＋＋，求＋＋.解：()证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋，所以、、、四点共面．()因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋.。

高中数学选修2-1 北师大版空间向量基本定理作业(含答案)

3.2 空间向量基本定理练习1.已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是( )．A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c2．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：a ，b ，c 为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．点P (x ，y ，z )关于坐标平面xOz 对称的点的坐标是( )．A ．(－x ，y ，z )B ．(x ，－y ，z )C ．(x ，y ，－z )D ．(－x ，y ，－z )4. 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则在上的投影为( )．A ．2-B ．2C ．D 5. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，则1A D ＝( )．A ．111222++a b c B ．111222-+a b c C ．111222+-a b c D ．111222-++a b c 6．设i ，j ，k 为空间直角坐标系O -xyz 的坐标向量，并且AB ＝－i ＋j ＋k ，则B 点坐标为( )．A ．(－1,1,1)B ．(－i ，j ，k )C ．(1，－1，－1)D ．不确定 7. 如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=1，CC 1=1，则1AC 在BA 上的投影是__________.8．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB ＝i ，AD ＝j ，AP ＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG .9.已知ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，DA ，DB ，DC ，1DC ，1DD ，1DA ，1DB 的坐标表示．参考答案1. 答案：C 解析：设a ＋2b ＝λ(2a )＋μ(a －b )，得λ＝32，μ＝－2，∴2a ，a －b ，a ＋2b 共面．同理可得B ，D 选项中的三个向量分别共面，均不能构成一个基底．2. 答案：B3. 答案：B 解析：P (x ，y ，z )关于坐标平面xOz 对称的点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数．4. 答案：B 解析：∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.∴1AB = AC = 1B C =∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB cos 60°＝2. 5. 答案：D 解析：1111A D AC C D =+ ＝1111()2AC C C C B ++ ＝c ＋11()2AA CA AB -++ ＝111()222-+-+c a c b ＝111222-++a b c . 6. 答案：D 解析：由题意知AB ＝(－1,1,1)，但A 点坐标未知，故B 点坐标不确定．7. 答案：－28. 答案：解：∵G 是△PDC 的重心， ∴21()33PG PN PD PC ==+ ＝1()3PA AD PA AB BC ++++ ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝122333+-i j k . 9. 解：∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1， ∴A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)． ∴DA ＝(1,0,0)，DB ＝(1,1,0)，DC ＝(0,1,0)，1DC ＝(0,1,1)，1DD ＝(0,0,1)，1DA ＝(1,0,1)，1DB ＝(1,1,1)．。

高中数学(北师大版选修2-1)配套课时作业第二章空间向量与立体几何 1 Word版含答案

第二章空间向量与立体几何
§从平面向量到空间向量
课时目标.了解空间向量的概念.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念．
．空间向量
()在空间中，既有又有的量，叫作空间向量．
()向量用小写字母表示，如：，或，.
也可用大写字母表示，如：，其中叫做向量的起点，叫做向量的终点．
()数学中所讨论的向量与向量的无关，称之为自由向量．
()与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用或表示．
()向量夹角的定义：如图所示，两非零向量，，在空间中任取点，作＝，＝，则叫作向量，的夹角，记作．
()向量夹角的范围：
规定．
()特殊角：当〈，〉＝时，向量与，记作；
当〈，〉＝或π时，向量与，记作．
．向量、直线、平面
()所谓直线的方向向量是指和这条直线或的非零向量，一条直线的方向向量有个．
()
如果直线垂直于平面α，那么把直线的，叫作平面α的法向量．
平面α有个法向量，平面α的所有法向量都．
()空间中，若一个向量所在直线一个平面，则称这个向量平行该平面．把的一组向量称为共面向量．
一、选择题
．下列命题中，假命题是()
．向量与的长度相等
．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
．只有零向量的模等于
．共线的单位向量都相等
．给出下列命题
①空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角；
②相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行；
③空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹角．
其中正确命题的个数是()
．．．．。

高中数学_3.1.2 空间向量的基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思

3.1.2 空间向量的基本定理教学设计教学设计思路本节课主要类比平面向量的定理，和学生一起探讨得到空间向量的三个定理，并会在立体几何中进行简单应用。

教学目标（1）知识和技能目标：了解共面向量的概念，向量与平面平行的意义；理解共线、共面和空间向量的分解定理，并能利用它们解决简单问题；理解空间向量的基底、基向量的概念。

（2）过程和方法目标：经历概念的形成过程、解题思维过程，体验数形结合思想的指导作用；渗透数形结合和类比、转化化归的数学思想方法；通过问题驱动，让学生在质疑、交流、讨论中形成良好的数学思维品质。

（3）情感、态度、价值观目标：本节的学习较多的运用了几何直观、类比、特殊到一般等思维方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广过程，并注意维数增加带来的影响，并逐步认识向量的应用价值，提高兴趣，树立信心。

教学重点和难点本节的重点是空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理，难点是对这些定理条件的理解与运用，空间向量分解定理的空间作图。

教学方法启发式提问探究教学手段投影仪、多媒体教学过程b y c【问题2】在问题1的前提下，如果c与a、b共面，那么c与a、b之间有何数量关系？（先复习平面向量基本定理）类比归纳切实理解共面向量定理，培养学生思考问题能力环节三：问题引导实战演练例1已知斜三棱柱ABC-111CBA,设AB a=，b=AC，1AA c=，如图，在面对角线1AC，棱BC上分别取点M、N，使1ACkAM=，BCBN k=（10≤≤k），求证：向量MN与向量a，c共面．思考1：如何证明三个向量共面呢？思考2：MN能直接用a和c表示吗？思考3：可以将MN进行分解，教师引导思路，学生回答过程，逐步完成例题层层递进，有利于培养学生的解题习惯往→a，→c转化。

环节五：题后反思1、如何证明向量MN与向量a，c共面？2、你是如何将向量MN分解的？3、共面向量定理有何作用？规律总结：教师引导和学生一起总结总结规律，动手应用。

【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：第2章空间向量基本定理 Word版含答案[ 高考]

珍贵文档空间向量基本定理同步练习【选择题】1.下列命题正确的是 ( )A 、如果向量→-a ，→-b 与任何向量不能构成空间的基底，那么→-a ，→-b 不共线B 、如果→-a ，→-b ，→-c 是三个基向量，那么→-a +→-b ，→-b +→-c ，→-c +→-a ，不能构成空间的一个基底C 、若→--OA ，→--OB ，→--OC 不构成空间的一个基底，那么O ，A ，B ，C 四点共面D 、空间中的基底只有有限个2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则（）A ．-+B ．+-C ．++-D ．-+- 3.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅ 则△BCD 是（）A. 钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．++=B ．--=2C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++ 5．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ（）A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能【填空题】6．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,=++为 .7.若{,,a b c }构成空间的一个基底，实数x,y,z 满足0x a y b z c ++=，则x= ,y= ,z= .8.已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB yAC zAS ++，则x ＋y ＋z ＝．珍贵文档【解答题】9.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，=→--AB →-a ，=→--AD →-b ，=→--1AA →-c ，P ，M ，N 分别是CA 1，CD 1，C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，CQ∶QA 1=4∶1，试用基底{→-a ，→-b ，→-c }表示以下向量：→--AP ，→--AM ，→--AN ，→--AQ 。

高中数学北师大版选修2-1练习课件2.3.2 空间向量基本定理ppt版本

A．16O→A＋13O→B＋13O→C B．14(O→A＋O→B＋O→C) C．13(O→A＋O→B＋O→C) D．16O→B＋13O→A＋13O→C
解析：如右图，O→G＝12(O→M＋O→N) ＝12O→M＋12×12(O→B＋O→C) ＝14O→A＋14O→B＋14O→C ＝14(O→A＋O→B＋O→C)．
答案：3
5．如图所示，空间四边形 OABC 中，M，N 分别是△ ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，OB＝b，O→C＝c，试用 a， b，c 表示向量M→N.
解：如图，取 BC 的中点 P，则 A、M、P，O、N、P 分别共线，连接 AP，OP，OM.
O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P ＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋13(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c. O→N＝23O→P＝23×12(O→B＋O→C)＝13b＋13c. M→N＝O→N－O→M＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.
课后提升训练
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§空3间向向量量与的立坐体标几表何示和空间向量基本定理
课时作业15 空间向量基本定理
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
[目标导航] 掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题．
课堂对点训练
知识点一
基底的概念
1.下列命题中真命题的个数是( ) ①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示 ②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
答案：B
4．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋ 2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋ β＋γ＝__________.

高中数学 2.2 空间向量的运算课时作业北师大版选修2-1

高二数学 §2 空间向量的运算课时目标 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直．1．空间向量的加法设a 和b 是空间两个向量，如图，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，则平行四边形的对角线OC 对应的__________就是a 与b 的和，记作________． 2．空间向量的减法a 与b 的差定义为__________，记作__________，其中－b 是b 的相反向量． 3．空间向量加减法的运算律(1)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________. (2)交换律：a ＋b ＝__________. 4．数乘的定义空间向量a 与实数λ的乘积是一个______________，记作________． (1)|λa |＝________.(2)当________时，λa 与a 方向相同；当________时，λa 与a 方向相反；当________时，λa ＝0.(3)交换律：λa ＝________(λ∈R )． (4)分配律：λ(a ＋b )＝__________.(λ＋μ)a ＝__________(λ∈R ，μ∈R )．(5)结合律：(λμ)a ＝__________(λ∈R ，μ∈R )． 5．空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得____________． 6．空间向量的数量积：空间两个向量a 和b 的数量积是________，等于______________，记作__________．7．空间向量的数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝__________；(2)分配律：a ·(b ＋c )＝__________； (3)λ(a·b )＝____________ (λ∈R )． 8．利用空间向量的数量积得到的结论 (1)|a |＝____________； (2)a⊥b ____________；(3)cos 〈a ，b 〉＝____________ (a ≠0，b ≠0)．一、选择题1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→ 2．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是( )A.AM →B.BM →C.CM →D.DM →3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →等于( ) A.OB → B.OC → C.OD → D ．2OD → 4．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－126.如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6C ．题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．在正四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝__________________(用a ，b ，c 表示)．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10.如图，已知在空间四边形OABC 中，|OB →|＝|OC →|，|AB →|＝|AC →|.求证：OA →⊥BC →. 11.如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .求证：C 1C →⊥BD →.能力提升12．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－a ·b 2B.|a |2|b |2＋a ·b 2C.12|a |2|b |2－a ·b 2D.12|a |2|b |2＋a ·b 213.已知在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°. (1)求AC ′的长(如图所示)； (2)求AC ′→与AC →的夹角的余弦值．1．空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的．2．空间两个向量a ，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b ＝|a||b |·cos〈a ，b 〉，这里〈a ，b 〉表示空间两向量所组成的角(0≤〈a ，b 〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b|a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题．§2 空间向量的运算知识梳理 1．向量OC →a ＋b2．a ＋(－b ) a －b3．(1)a ＋(b ＋c ) (2)b ＋a4．向量 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 λ＝0 (3)a λ (4)λa ＋λb λa ＋μa (5)λ(μa )5．a ＝λb6．一个数 |a||b |cos 〈a ，b 〉 a·b 7．(1)b·a (2)a·b ＋a·c (3)(λa )·b8．(1)a·a (2)a·b ＝0 (3)a·b|a||b |作业设计 1．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.] 2．A[如图所示，因12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]5．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AC →＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 6．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.] 7.12a ＋14b ＋14c 解析如图，OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14b ＋14c . 8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7.9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵|OB →|＝|OC →|，|AB →|＝|AC →|， |OA →|＝|OA →|，∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB . ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos∠AOB ＝0， ∴OA →⊥BC →.11．证明设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，依题意，|a |＝|b |，又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ，于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0，所以C 1C →⊥BD →. 12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－cos 〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－a ·b 2.]13．解 (1)∵AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→， ∴|AC ′→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC ′→|＝85.(2)设AC ′→与AC →的夹角为θ， ∵ABCD 是矩形， ∴|AC →|＝32＋42＝5. ∴由余弦定理可得cos θ＝|AC ′→|2＋|AC →|2－|CC ′→|22|AC ′→|·|AC →|＝85＋25－252·85·5＝8510.。

高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 Word版含答案

3．3空间向量运算的坐标表示知识点一向量的加减法和数乘的坐标表示[填一填](1)空间两个向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的和(差)．(2)实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(3)空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差．[答一答]1．推一推：两向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的和(差)．提示：设a＝(x 1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，即a＝x1i＋y1j＋z1k，b ＝x2i＋y2j＋z2k，∴a＋b＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)．同理：a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j＋(z1－z2)k，即a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．2．议一议：试推导两向量平行的坐标关系式．提示：若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．知识点二数量积的坐标表示[填一填]空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．[答一答]试一试：试推导数量积的坐标表达式．提示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，即a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋y2j＋z2k，所以a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1x2)i·i＋(x1y2)i·j＋(x1z2)i·k＋(y1x2)j·i＋(y1y2)j·j＋(y1z2)j·k＋(z1x2)k·i＋(z1y2)k·j＋(z1z2)k·k.因为i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝i·k＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.知识点三空间向量长度与夹角的坐标表示[填一填]设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，我们得到以下结论：(1)|a|＝a·aa≠0，b≠0)．(2)cos〈a，b[答一答]想一想：两向量垂直的坐标之间的关系是怎样的？提示：a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．空间向量的坐标运算的加法、减法、数乘同平面向量类似，具有类似的运算性质，学习时可类比推广．2．关于空间向量的坐标表示的几个注意点：(1)要掌握类比的学习新知识的方法；(2)空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达的形式不同而已；(3)向量的运算转化为数的运算，形化为数．3．在向量平行的判定中应该注意的问题：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，这一形式不能随便写成a1b1＝a2b2＝a3b3.只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写．4．关于空间向量长度与夹角的坐标表示的几个注意点：(1)两个空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式．(2)夹角公式可根据数量积的定义，结合空间向量的数量积，空间向量长度的坐标表示推出．(3)向量长度公式表示向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，学习时可采用类比方法．题型一空间向量的坐标运算【例1】已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，|a|＋|b|，a·b.【思路探究】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．再由|a |2＝a ·a 即可解决．【解】 2a ＋3b ＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a －2b ＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，|a |＋|b |＝32＋52＋(－4)2＋22＋22＋82＝50＋72＝52＋62＝11 2.a ·b ＝3×2＋5×2－4×8＝－16.规律方法空间向量的加、减、数乘、数量积运算是利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2，2,3)，求点P 的坐标使得AP →＝12(AB →－AC →)．解：设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)，AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)，∵AP →＝12(AB →－AC →)．∴(x －2，y ＋1，z －2)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)．∴⎩⎨⎧x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，解得⎩⎨⎧x＝5，y＝12，z＝0.∴P点坐标为(5，12，0)．题型二利用向量解决平行、垂直问题【例2】如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．【思路探究】写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．【解】解法1：设M(x，y，z)，由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1→＝(－a，a，a)，AM→＝(x－a，y，z)，BM→＝(x－a，y－a，z)．∵BM→⊥AC1→，∴BM→·AC1→＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①又∵AC1→∥AM→，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②得x＝2a3，y＝a3，z＝a3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a3，a 3，a 3. 解法2：由解法1得AC 1→＝(－a ，a ，a )，DA →＝(a,0,0)．设AM →＝λAC 1→＝(－aλ，aλ，aλ)，∴BM →＝BA →＋AM →＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a ，aλ)．∵BM ⊥AC 1，∴BM →·AC 1→＝0.即a 2λ＋a 2λ－a 2＋a 2λ＝0，解得λ＝13，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 3，a 3， DM →＝DA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. 规律方法用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：(1)若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)(b 为非零向量)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2(λ∈R )．若b ＝0时，必有a ∥b ，必要时应对b 是否为0进行讨论．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值；(2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．解：∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．(1)∵(λa ＋b )∥(a －3b )，∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.(2)∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.题型三利用向量解决夹角和长度问题【例3】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【思路探究】 CA ，CB ，CC 1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．【解】以C 为原点，以CA →，CB →，CC 1→为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，BN →＝(1，－1,1)，∴|BN →|＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5.∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.规律方法在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．已知空间三点，A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，求AB →与CA →的夹角的余弦值．解：AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，|AB →|＝4＋1＋9＝14，|CA →|＝1＋9＋4＝14，AB →·CA →＝2－3－6＝－7，∴cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝－714×14＝－12.已知三点P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和P3(1,0,1)，O为坐标原点，求|OP1→＋OP2→＋OP3→|及P1P2→与P1P3→夹角的余弦值．解：OP1→＋OP2→＋OP3→＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)，∴|OP1→＋OP2→＋OP3→|＝22＋22＋22＝2 3.P1P2→＝(－1,0,1)，P1P3→＝(0，－1,1)，令P1P2→与P1P3→的夹角为θ，则cosθ＝P1P2→·P1P3→|P1P2→|·|P1P3→|＝12·2＝12.已知a＝(3,0,1)，b＝(k,2，－1)，且〈a，b〉＝3π4，求实数k的值．解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝32＋02＋12·k2＋22＋(－1)2·cos3π4＝－102k2＋5.则3k－1＝－102k2＋5，解得k＝3－1054或k＝3＋1054(舍)，故k的值为3－1054.——易错警示——对向量共线理解的错误【例4】已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，求x ，y 的值．【误解】由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② ①代入②得x 2＋x －2＝0，即(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.【正解】由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② ①代入②得x 2＋x －2＝0，即(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，确实同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 规律方法两向量平行或两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．误解就忽视了这一点．1．已知a＝(1,0,1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么|a|＋b·c 等于(A)A.2－10 B．10－ 2C．－8 D．8解析：由题知|a|＝2，b·c＝－2－6－2＝－10，∴|a|＋b·c＝2－10.2．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(C)A．a＝3，b＝－3B．a＝6，b＝－1C．a＝3，b＝2D．a＝－2，b＝1解析：∵AB→＝(1，－1,3)，BC→＝(a－2，－1，b＋1)，又A、B、C 共线，∴a－21＝－1－1＝b＋13.∴a＝3，b＝2.3．已知向量AB→＝(2，－1,3)，点A(－1,0,4)，则B点坐标为(C) A．(－3,1,1) B．(3，－1，－1)C．(1，－1,7) D．(－1,1，－7)解析：设B(x，y，z)，则AB→＝(x＋1，y，z－4)＝(2，－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＋1＝2，y＝－1，z－4＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－1，z＝7.4．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝710.解析：∵a ∥b ，∴a ＝t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋1＝6t ，0＝(2μ－1)t ，2λ＝2t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t ＝15，μ＝12.∴λ＋μ＝15＋12＝710.5．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，求k 的值．解：k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，∵k a ＋b 与2a －b 互相垂直，∴3(k －1)＋2k －4＝0.∴k ＝75.。

2021学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课时作业北师大版选修2_1

2.2 空间向量的运算[根底达标]1.如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．假设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，那么以下向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 解析：选A.∵A 1M →＝12(a ＋b )，∴BM →＝BA →＋AA 1→＋A 1M →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .2.空间向量a ，b ，c 两两夹角为60°，其模都为1，那么|a －b ＋2c |＝( ) A. 5 B ．5 C ．6D ． 6解析：选A.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴|a －b ＋2c |2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b －4b ·c ＋4a ·c ＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5. 3.设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，那么( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定一样解析：选A.∵n ＝1－m ，∴OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝mOA →＋OB →－mOB →，即OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，∴BP →＝mBA →，选A.4.四边形ABCD 满足：AB →·BC →＞0，BC →·CD →＞0，CD →·DA →＞0，DA →·AB →＞0，那么该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形解析：选D.∵AB →·BC →＞0，∴〈AB →，BC →〉为锐角，∴∠B 为钝角，同理可得∠C ，∠D ，∠A 均为钝角，那么有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＞360°. ∴该四边形为空间四边形．5.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，那么直线EF 和BC 1所成的角是()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.令BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，那么|a |＝|b |＝|c |＝m (m ＞0)，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，EF →＝12(c－a )，BC 1→＝b ＋c ，又|EF →|＝22m ，|BC 1→|＝2m ，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝12m 222m ·2m ＝12，∴直线EF 和BC 1所成的角为60°. 6.化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法那么求解)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：07.设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，假设AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，那么实数k ＝________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝6(e 1＋e 2)，∵A 、B 、D 三点共线，可令AB →＝λBD →，即e 1＋k e 2＝6λ(e 1＋e 2)，又e 1，e 2不共线，故有⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝16λ＝k ，∴k ＝1.答案：1 8.如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，那么AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：149.A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在以下条件下，判断点P 是否与A ，B ，C 三点共面．(1)OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →；(2)OP →＝2OA →－2OB →－OC →.解：(1)OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →＝25OA →＋15(OA →＋AB →)＋25(OA →＋AC →)＝OA →＋15AB →＋25AC →，即OP →＝OA →＋15AB →＋25AC →，AP →＝15AB →＋25AC →，所以点P 与A ，B ，C 三点共面．(2)OP →＝2OA →－2OB →－OC →＝2OA →－2(OA →＋AB →)－(OA →＋AC →)＝－2AB →－OA →－AC →，即OP →＝－OA →－2AB →－AC →，而AP →不能由AB →和AC →表示，所以不能把OP 化为OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →的形式，所以点P 不与A ，B ，C 三点共面． 10.如下图，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解：∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，且四边形ABCD 、ABEF 都是平行边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →. ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →.∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．[能力提升]1.在空间四边形OABC 中(如下图)，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，那么OC 和AB 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．90°解析：选D.由得 OA →⊥BC →，OB →⊥AC →，∴OA →·BC →＝0，OB →·AC →＝0，∴OA →·(OC →－OB →)＝0，OB →·(OC →－OA →)＝0， ∴OA →·OC →＝OA →·OB →，OB →·OC →＝OB →·OA →，∴OA →·OC →－OB →·OC →＝0，(OA →－OB →)·OC →＝0，BA →·OC →＝0， ∴OC →⊥AB →，即OC 和AB 成90°角．2.向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，那么向量a ，b 的夹角为________．解析：∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴1＝|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴a ，b 的夹角为120°.答案：120°3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →，BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos 〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4，〈BA →，CD →〉＝60°，2，〈BA →，CD →〉＝120°，∴|BD →|＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2.4.如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，(1)求证：MN ⊥CD ；(2)假设∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c ，那么MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →－12PC → ＝12AB →＋AD →－12(PA →＋AD →＋DC →)＝12AB →＋AD →＋12AP →－12AD →－12AB →＝12(AD →＋AP →)＝12(b ＋c )， ∴MN →·CD →＝12(b ＋c )·(－a )＝－12(a ·b ＋a ·c )，∵四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， ∴a ⊥b ，a ⊥c ，∴a ·b ＝a ·c ＝0， ∴MN →·CD →＝0， ∴MN →⊥CD →，故MN ⊥CD .(2)由(1)知，MN ⊥CD ，MN →＝12(b ＋c )，∵PD →＝AD →－AP →＝b －c ， ∴MN →·PD →＝12(b ＋c )·(b －c )＝12(|b |2－|c |2)， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又∠PDA ＝45°， ∴PA ＝AD ，∴|b |＝|c |， ∴MN →·PD →＝0，∴MN →⊥PD →， ∴MN ⊥PD ， ∵CD ，PD平面PCD ，且CD ∩PD ＝D ，∴MN⊥平面PCD.。

【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：2.3.2 空间向量基本定理 Word版含解析

第二章 §3 课时作业15一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{a ，b ，c }中基向量与基底{e ，f ，g }中基向量对应相等解析：A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B 项，空间基底有无数个；D 项中因为基底不唯一，所以D 错．故选C.答案：C2．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ，b ，c 为非零向量，则{a ，b ，c }不一定为基底，但若{a ，b ，c }为基底，则a ，b ，c 肯定为非零向量，所以p 为q 的必要不充分条件．答案：B3．[2014·黑龙江省哈尔滨九中模考]已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：本题主要考查空间向量基本定理及其应用．由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1，故选B.答案：B4．如右图所示，在空间四边形OABC 中，点M 为OA 中点，N 为AB 中点，P 在CN 上，且CP ＝12PN ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MP →＝( )A ．－13a ＋16b ＋23cB ．13a ＋16b －23cC ．－13a －16b ＋23cD ．13a －16b ＋23c解析：MP →＝MO →＋OC →＋CP →＝－12OA →＋OC →＋13CN →＝－12a ＋c ＋13×12(CA →＋CB →)＝－12a ＋c ＋16(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝－12a ＋c ＋16(a ＋b －2c )＝－13a ＋16b ＋23c .答案：A 二、填空题5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x ＝________.解析：∵M 、A 、B 、C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，得x ＝13.答案：136．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a ，b 的关系是__________．解析：∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0， ∴a ⊥b . 答案：a ⊥b7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝________.解析：2AC 1→＝2AA 1→＋2AD →＋2AB → ＝(AA 1→＋AD →)＋(AA 1→＋AB →)＋(AD →＋AB →)＝AD 1→＋AB 1→＋AC →， ∴AC 1→＝12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)．答案：12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)三、解答题8．已知空间四边形OABC ，点M ，N ，P 分别是OA ，BC ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →，MP →.解：如图所示，连接ON . MN →＝MO →＋ON → ＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝12(－a ＋b ＋c )， MP →＝OP →－OM →＝12(c －a )．9．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .解：(1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→)＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→.所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13.所以x ＋y ＋z ＝13.。

课堂设计高中数学 2.3.2 空间向量基本定理课后作业 北师大版选修21