加权Bergman空间上Toeplitz算子的乘积的有限和问题

q ∈ = M1 {2(n +1− δ ) − δ : 0 ≤ n ≤ −2δ −1, n ∈ N0} .
∞
选取 f ( z ) = ∑ an zn ，使得 f 的幂级数展开式中前 2δ 项为 0，则
n=0
Tϕ2 ,Tϕ2 − Tϕ2 ,Tϕ2
=
∞
∑ 16
n= −2δ
an
2
(α
+
1)
Γ(n (n +
Γ
(
n−δ
Γ (1
+2 +α
+
)
α
)
ϕˆα
,0
(2n −δ
+ 2) zn−δ ,
0,
n−δ ≥ 0 n−δ < 0
其中
( ) ( ) ∫ = ϕˆα,0 ( z ) ( ) 01ϕ0 r r z−1 1− r2 α dr 为 ϕ0 (r ) 1− r2 α
的 Mellin 变换。
( ) 定理 2.1 = ϕ reiθ eiδθϕ0 (r ) ∈ L∞ ( D) ， δ ∈ Ζ 且 δ < 0 ， ϕα (r ) ∈ ℜa 。若 Tϕ2 为亚正规算子，则
Received: Apr. 18th, 2020; accepted: May 8th, 2020; published: May 15th, 2020
Abstract
Function space operator theory has always been one of the important branches in functional analysis research. This paper studies Toeplitz operator in weighted Bergman space Tϕ2 , in which
+ δ
δ +2
)!Γ (1
+ +
α α
) )
2
Γ(n (n +
+ 2δ + 2 + α
2δ )!Γ (1+ α
) )
ϕˆα ,0
(2n
+
δ
+
2)ϕˆα ,0
(2n
+
3δ
+
2)2
−
Γ(n−δ + 2+α
(
n
−
δ
)!Γ
(1 +
α
) 2
)
Γ (n − 2δ + 2 + α (n − 2δ )!Γ (1+ α
ϕˆα,0 (2n − δ + 2)ϕˆα,0 (2n − 3δ
(n − 2δ ) + 2 zn−2δ
+ 1)!
Γ (1+ α )
0
n − δ ≥ 0且n − 2δ ≥ 0 n − 2δ < 0
DOI: 10.12677/pm.2020.105059
490
理论数学
关印 等
若δ
=0，
Tϕ2 zn
2
=
数序列
{nk
}∞ k =0
使得
∑ ϕˆ
(
nk
)
=
0
且
∞ k =0
1 nk
=
∞,
DOI: 10.12677/pm.2020.105059
489
理论数学
关印 等
则ϕ ≡ 0。 重要的是，一个函数是由 Mellin 变换的零点决定的。
引理 1.2 [4] 设ϕ ∈ L1 ([0,1], rdr ) 。如果存在 N0 ， p ∈ N 使得
( ) ϕ reiθ = eiδθϕ0 (r ) , and δ ∈ Ζ , δ < 0 ; ϕα (r ) ∈ ℜa is a necessary condition for subnormal opera-
tor.
Keywords
Weighted Bergman Space, Toeplitz Operator, Subnormal, Mellin Transform
1) −δ ≤ n < −2δ 时， ϕˆα，0 (2n − δ + 2)ϕˆα，0 (2n − 3δ + 2) =0 。
ϕˆα，0 (2n + 2δ + 2)ϕˆα，0 (2n − 3δ + 2)
2)
n
≥
−2δ
时，
≥
Γ(n −δ Γ(n +δ
+ +
2+α 2+α
) )
(n +δ (n −δ
)! )!
a
(
r
)
2
r
1− r2
a
dr < ∞
,
那么有对于非负整数 n，有
1)
Tϕ
=
(2n + 2δ + 2)
(n + δ +1)!
Γ
(
n+δ
Γ (1
+2 +α
+
)
α
)
ϕˆα
,0
(
2n
+
δ
+ 2) zn+δ ,
0,
n+δ ≥ 0 n+δ < 0
2)
Tϕ zα
=
(2n − 2δ + 2)
(n − δ +1)!
若δ < 0，
Tϕ2 f ,Tϕ2 − Tϕ2 f ,Tϕ2
=
2δ −1
∑ 16
n=0
an
2
(α
+ 1)
Γ(n+δ + 2+α
(
n
+
δ
)!Γ
(1 +
α
) 2
)
Γ(n (n +
+ 2δ + 2 + α
2δ )!Γ (1+ α
) )
ϕˆα ,0
(2n
+δ
+
2)ϕˆα ,0
(2n
+
3δ
+
2)
2
+
+∞
∑
文章引用: 关印, 崔姝宁, 王焕然. 加权 Bergman 空间上 Toeplitz 算子的乘积的有限和问题[J]. 理论数学, 2020, 10(5): 488-492. DOI: 10.12677/pm.2020.105059
关印 等
( ) Toeplitz算子 Tϕ2 ，其中 ϕ reiθ = eiδθϕ0 (r ) ，且 δ ∈ Ζ ， δ < 0 ， ϕα (r ) ∈ ℜa 为亚正规算子的一个必要条
− 2δ + 2) − δ +1)!
Γ(n−δ + 2+α Γ (1+ α )
)
ϕˆα ,0
(2n
−δ
+
2)
z n −δ
(2n − 2δ + 2) Γ (n − δ + 2 + α ) (2n + 4δ + 2) Γ (n − 2δ + 2 + α )
Tϕ zn
=
(n − δ +1)!
Γ (1+ α )
⋅
Γ (n − 2δ + α + 2) (n + 2δ )! 。 Γ (n + 2δ + α + 2) (n − 2δ )!
× ϕˆα，0 (2n − δ + 2)ϕˆα，0 (2n − 3δ + 2)
证明：由引理 2.1，当 n + δ ≥ 0 时， n ∈ N0 。
(2n + 2δ + 2) Γ (n + δ + 2 + α ) (2n + 4δ + 2) Γ (n + 2δ + 2 + α )
Open Access
1. 引言
关于函数空间上以有界调和函数为符号的 Toeplitz 算子拟正规性的研究，主要集中在 Hardy 空间和 Bergman 空间上。文献[1]中给出了 Hardy 空间上以三角多项式为符号的 Toeplitz 算子的亚正规性的结果， 在 2013 年，Phukon 和 Hazarika [2]刻画了 Bergman 空间上 Toeplitz 算子 Tϕ 是亚正规的必要条件。本文思 考将某符号的 Toeplitz 算子亚正规性问题推广到加权 Bergman 空间上进行研究。
n = 2δ
16
an
2
(α
+ 1)
Γ(n (n +
+ δ
δ +2+
)!Γ (1+
α α
) 2
)
Γ(n (n +
+ 2δ + 2 + α
2δ )!Γ (1+ α
) )
ϕˆα ,0
(2n
+δ
+
2)ϕˆα ,0
(2n
+
3δ
+
2)
2
−
Γ(n−δ + 2+α
(n
−
δ
)!Γ
(1
+
α
) 2
)
Γ(n (n −
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(5), 488-492 Published Online May 2020 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2020.105059