定积分的简单应用

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定积分的简单应用__平面图形的面积

的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
S
1
(
0
x - x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
9 2
学习小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
课外练习
作业:课本 P67 A 组 T2
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx

定积分的几个简单应用

定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ．例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→．解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==．上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ．三、用定积分证明不等式定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(．证明作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ，显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(．定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。

1.7定积分的简单应用(3课时)

W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A

例谈定积分的应用

例谈定积分的应用
定积分是利用积分技术来搭建企业系统的一种服务方式，通过定积分，企业可以解决营销，客户追踪，价格管理，订单跟踪等问题，让企业
既有资源利用效率，又能惠及消费者。

一、定积分的应用
1、促销活动：利用定积分可以创建各种丰富多彩的促销活动，满减、
团购、买赠、金币锁定等，激励消费者购买和积累积分。

2、客户管理：定积分能够建立细致复杂的客户档案，包括客户经理内容，购买次数，消费金额，积分余额等，更好地进行客户管理。

3、价格管理：通过定积分，可以根据不同客户的特征，设置特定的价格，比如会员价，大客户价等，更好地提高定价精确度和竞争力。

4、订单追踪：定积分的订单追踪系统可以记录客户的订单信息，有利
于企业更好地追溯客户信息以及及时为客户提供优质服务。

二、定积分的优势
1、可靠性：定积分系统可以提供可靠性能，降低前端和后端系统出现
的异常和故障，防止客户和企业受到损害。

2、安全性：定积分的安全性也得到有效保障，内部数据交换完全采用
加密技术，保证信息不受外部干涉。

3、兼容性：定积分具有可行性和兼容性，它可以按照各种不同环境定
制与企业系统相协调的服务，能够提供企业最适合的解决方案。

4、易用性：定积分使用界面简洁明了，业务流程简单可靠，容易上手，操作简单易懂，为客户提供更贴心的服务。

三、总结
定积分的引入为企业的经营活动带来了更多的便利，有效提高了企业
的经营效率，也让消费者能够从消费上受到更多的好处。

由此可见，
定积分不仅是企业的一种低成本的服务方式，也是一个更加有效的、
更加充分的消费积分服务体系，为企业和消费者都更好地搭建企业系统。

定积分求平面图形面积在实际生活中的应用

定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。

其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。

1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。

比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。

此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。

同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。

定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。

2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。

水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。

这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。

此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。

3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。

比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。

通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。

总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。

它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用

极限
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积分求解平面图形的面积，如求解由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求解变力做功、液体静压力等问题中涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领域的应用，如求解由需求曲线和价格曲线围成的面积所表示的消费者剩余或生产者剩余等。

1.7定积分的简单应用

∫
b
a
f (x)dx = S1 − S2 + S3
S1 S2
S3
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 1.求由一条曲线y=f(x)和直线及x轴所围成平面图形的面积S 轴所围成平面图形的面积S
y
y = f (x)
π
x
∫
2
−
π
2
f ( x)dx = A2 − A1 = 0
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
2
练习. 求抛物线y=x 直线x=2 y=0所围成的 x=2，练习. 求抛物线y=x -1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。图形的面积。
1=0得到抛物线与得到抛物线与x 解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴如图：的交点坐标是( 1,0)，(1,0).所求面积的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：
∫
1
2
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) 作出示意图;(弄清相对位置关系 (2)求交点坐标;(确定积分的上限下限) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) 求交点坐标;(确定积分的上限, (3)确定积分变量及被积函数; (3)确定积分变量及被积函数; 确定积分变量及被积函数 (4)列式求解. (4)列式求解. 列式求解
1.7定积分的简单应用定积分的简单应用
一、复习
平面图形的面积: 1.平面图形的面积:

定积分概念在工程中的应用教学设计

定积分概念在工程中的应用教学设计全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：定积分是微积分中的重要概念，它在工程领域中有着广泛的应用。

工程师常常利用定积分解决各种实际问题，例如计算物体的质心、求解曲线下的面积、计算流体力学中的压力、能量等。

本文将探讨定积分在工程中的应用，并设计一份关于定积分概念在工程中的教学内容。

一、定积分在工程中的应用：1. 计算物体的质心：在工程设计中，常常需要确定一个物体的质心位置。

利用定积分可以计算出物体的质心坐标，从而帮助工程师设计出更加平衡和稳定的结构。

2. 计算曲线下的面积：在工程中，有时需要计算曲线所围成的区域的面积，例如计算河流的净流量、计算土地的面积等。

定积分可以帮助工程师准确计算出这些面积。

3. 流体力学中的应用：在流体力学中，常常需要计算流体的压力、流速等参数。

定积分可以帮助工程师解决各种与流体有关的问题，例如计算管道中的流速、计算水压等。

4. 能量计算：在工程设计中，常常需要计算各种能量参数，例如机械能、热能等。

定积分可以帮助工程师计算出系统的总能量，从而更好地设计出节能的结构。

基于上述应用，可以设计一份关于定积分概念在工程中的教学内容。

以下是一份教学设计：1. 教学目标：学生能够理解定积分的概念，并能够应用定积分解决工程中的实际问题。

2. 教学内容：（1）定积分的定义和性质；（2）定积分在工程中的应用实例；（3）定积分在工程问题中的解决方法；（4）定积分的数值计算方法。

（1）介绍定积分的概念和性质，引导学生理解定积分的意义；（2）通过实际案例，展示定积分在工程中的应用，帮助学生理解定积分的实际意义；（3）讲解定积分的计算方法，例如积分的分解、定积分的数值计算方法等；（4）设计一些练习题，让学生通过计算来熟悉定积分的应用；（5）引导学生思考，如何将定积分应用到实际工程中的问题中。

通过课堂讨论、实验设计、小组合作等形式，评价学生对定积分概念的掌握程度，以及能否独立应用定积分解决工程中的实际问题。

试论定积分在物理及其他领域的应用

试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。

在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。

在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。

在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。

它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。

通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。

在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。

在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。

在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。

在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。

在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。

定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。

它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。

通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。

1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。

在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。

在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。

在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。

定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。

2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。

定积分的应用(10

定积分的应用(10定积分是微积分中的一个重要概念。

它表示在一定区间内，函数曲线与 x 轴之间的面积，也可以理解为变化率的累加。

定积分的应用非常广泛，下文将介绍其中的十个应用。

一、求物体在一定时间内的位移我们知道，物体在做匀加速运动时，其位移可以用位移公式S=vt+1/2at² 来计算。

如果物体的运动速度是变化的，我们可以将其速度函数 v(t) 求出，然后将其积分得到位移函数 S(t)，再在一定时间段内求出 S(t) 的定积分即可得到物体在该时间段内的位移。

二、计算概率密度函数下的概率概率密度函数也是一个函数，其定义为：在一个无限小区间内，事件发生的概率与该区间长度的比值。

在一定范围内，概率密度函数曲线下的面积等于该范围内事件发生的概率。

因此，我们可以通过计算概率密度函数的定积分来获得某个事件发生的概率。

三、计算质心位置质心是物体的一个重要物理概念，其位置定义为将物体划分成若干小的无限小质量体积元，在这些质量体积元上求平均位置所得的点。

计算出物体每个质量体积元的质心位置，然后按质量将它们加权平均，就可以得到整个物体的质心位置。

计算质心位置的过程实质上就是对质量体积元的轴心距进行加权平均，这就是定积分的应用。

四、计算曲线长度我们可以用定积分来计算一个曲线的长度。

将曲线划分成许多小段，每个小段都近似为一条直线段，利用勾股定理计算它们的长度之和，然后取极限即可得到曲线的长度。

五、计算旋转体积旋转体积的计算方法就是将一个平面图形绕某个轴线旋转所形成的体积。

可以用定积分来计算旋转体积，其基本思想就是把旋转体积看作是由许多小的圆柱体构成的，计算出每个小圆柱的体积之和即可得到整个旋转体积。

六、计算弧度在物理学和天文学中，我们往往需要计算弧度。

弧度是一个角度的度量方式，它表示弧长与半径之比。

对于一个圆，一周的弧长就是圆的周长，因此圆的一周弧度为2π 弧度。

如果我们知道了一个圆弧所对应的角度度数，就可以通过简单的定积分计算出它的弧度。

定积分在几何,物理学中的简单应用

定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。

它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。

首先，定积分在几何学中的简单应用。

比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。

它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。

它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。

其次，定积分也可以用在物理学中。

比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。

它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。

最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。

比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。

还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。

以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。

定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。

只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。

- 1 -。

高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。

定积分的概念定积分应用

THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力和位移的乘积来计算。然而，当作用力是变力时，不能简单地用力和位移的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定积分的概念。通过将变力函数在位移区间上进行积分，可以得到变力做功的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积，即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的面积，即总生产者剩余。

用定积分定义求定积分

用定积分定义求定积分定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。

本文将通过用定积分定义来解释定积分的概念和应用。

定积分是微积分中的一个概念，它可以被看作是无穷小量的累加。

在数学中，定积分可以通过求和的方式来计算。

具体而言，定积分可以被定义为一个函数在一个区间上的无穷小划分之和的极限。

这个极限就是定积分的值。

为了更好地理解定积分的概念，让我们来考虑一个简单的例子。

假设我们有一个函数f(x)，它在区间[a, b]上连续。

我们想要计算f(x)在该区间上的定积分。

首先，我们将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

然后，我们在每个小区间上选择一个点xi，并计算出f(xi)乘以Δx的值。

最后，将所有这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。

然而，这个近似值并不是准确的定积分值，因为我们仅仅考虑了有限个小区间。

为了得到准确的定积分值，我们需要让这个小区间的数量趋近于无穷大。

这就是求极限的过程，也是定积分的定义。

用定积分定义求定积分的过程可以用以下公式表示：∫(a→b) f(x)dx = lim(n→∞) Σ[f(xi)Δx]其中，∫表示定积分的符号，a和b表示积分的上下限，f(x)表示被积函数，dx表示自变量的微小变化量，lim表示极限运算，Σ表示求和符号，xi表示每个小区间的中点，Δx表示小区间的宽度，n表示小区间的数量。

通过用定积分定义来求解定积分，我们可以计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。

定积分在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、速度、加速度以及动能等。

在经济学中，我们可以使用定积分来计算市场的总需求、总供给以及总收益等。

在工程学中，我们可以使用定积分来计算电路的电流、功率以及能量等。

定积分是微积分中的重要概念，它可以通过用定积分定义来计算。

定积分可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。

定积分的简单应用09447

定积分在物理上的应用！
1：已知速度的变化规律，如何求任意时间段内的位移？
匀速直线运动： S vt
匀加速直线运动： vv0at
任意直线运动： v ( t )
Sv0t1 2at2
b
S a v(t)dt
例1：一辆汽车的速度在一段时间内如图所示，求汽车在这1min行驶的路程。
v/m/s 30
v/m/s
力对它所作的功。
计算 y 2 x x 2 与 y 2 x 2 4 x 所围图形的面积 .
（ 2） yex,ye,x0 （ 3 ） y x 2 2 ,y 3 x ,x 0 ,x 2
谢谢！
图1
图2
图3
想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
利用定积分求图形面积步骤
①画出大致图形； ②求出交点坐标； ③写出面积所对应的积分； ④计算出最终结果。
思考：如图直线 ykx 分抛物线 yx x2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求 k 的值。
y 3 x2 10
30
10
40
60
t/s
10
40
60
t/s
2：作功问题恒力作功：W=FS
变力作功： F ( x )
b
W a F(x)dx
一物体在变力F(x)的作用下做直线运动，从x=a，移动到x=b，问如何求弹性范围内，将一弹簧从平衡位置拉
到距离平衡位置 l m处，求克服弹力所作的功。
抽象概括：
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，x=b所围成的平
面图形（如图1）的面积S，则
b
b

定积分的简单应用李用

b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)

定积分的概念及简单应用

x 2 , x [0,1], e (2)设 f(x)= 1 (其中 e 为自然对数的底数),则 f(x)dx 等于( 0 , x 1,e x 4 5 6 7 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 6
解析:(1)
2
2
(2+sin x)dx=(-cos x+2x)
(3) (A)
π 2 π 6
cos2
x dx 等于( 2
)
3 π 3 2
3π - 3 4
3 π 6 8
2x x
(B)
π 1 + 6 4
(C)
(D) .
(4)f(x)=
(t-1)dt,则 f′(x)等于
π 2 π 6
π 2 π 6
2
解析:(3)
1 = sin x 2
π π π x 1 cos x 1 1 cos dx= π2 dx= π2 cos xdx+ π2 dx 2 2 2 6 6 6 2
1
1
1 x dx+
2
2
1
(x2-1)dx,令 y= 1 x 2 ,
得 x2+y2=1(y≥0),知:曲线 y= 1 x 2 是以坐标原点为圆心,1 为半径的圆在 x 轴上方部分的半圆,由定积分的几何意义知
1 1 π×12= π, 2 2
2 1

1
1
1 x2 dx=
2
又
1
1 (x2-1)dx=( x3-x) 3
.
解析:画出草图如图所示.根据对称性,只计算出 y 轴右侧的阴影部分的面积,
x2 y x , y , 再乘以 2 即可.解方程组和 4 y 1 y 1

定积分应用求侧面积公式

定积分应用求侧面积公式定积分这玩意儿，在数学里可有着不小的作用，尤其是在求侧面积的时候，那公式简直就是神奇的魔法棒。

咱先来说说啥是定积分。

简单来讲，定积分就是把一个区间上的函数值累加起来。

可别小看这累加，它能解决好多复杂的问题呢！比如说，咱们要求一个旋转体的侧面积。

假设咱有一个曲线，像一条调皮的小蛇，绕着某个轴转了起来，形成了一个立体的形状。

这时候，咱们就可以用定积分来求出它的侧面积。

就拿一个常见的例子来说吧，有一个函数 y = f(x)，它在区间 [a, b] 上连续，而且绕着 x 轴旋转一周。

那这时候，它的侧面积 S 就可以用定积分来表示：S = 2π∫[a, b] f(x) √(1 + [f'(x)]²) dx 。

这个公式看起来有点复杂，是不？别担心，咱们一点点来拆解。

先说这个2π ，它就好像是一个魔法系数，让整个计算有了一个合适的比例。

然后 f(x) 呢，就是原来的那个函数，代表着曲线到 x 轴的距离。

而√(1 + [f'(x)]²) 这部分，就像是一个修正因子，考虑了曲线的弯曲程度。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？感觉像从天上掉下来的一样。

”我笑着告诉他：“这可不是天上掉下来的，是数学家们经过深思熟虑推导出来的。

”为了让他们更好地理解，我拿出了一个纸筒，就像那种卫生纸用完剩下的纸筒。

我问他们：“这纸筒的侧面，如果把它展开，像什么呀？”学生们七嘴八舌地说像个长方形。

我接着说：“对呀，那这个长方形的长是多少呢？”经过一番引导，他们发现这个长其实就是曲线绕轴旋转一周形成的周长，也就是2πf(x) 。

而宽呢，就是曲线的一小段弧长，通过微元法，我们可以近似地认为这一小段弧长就是√(1 + [f'(x)]²) dx 。

把长乘宽，再积分，就得到了整个侧面积。

经过这么一解释，学生们恍然大悟，那表情别提多有成就感了。

知识讲解_定积分的简单应用(基础)

cS = 1 f (x) dx +'a4.如图，由曲线定积分的简单应用【学习目标】1. 会用定积分求平面图形的面积。

2. 会用定积分求变速直线运动的路程3. 会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1.如图，由三条直线x=a，x=b(a：：：b)，x轴(即直线y=g(x)=O )及一条曲线y = f(x)( f(x) _0)围成的曲边梯形的面积:4■0 2 *b bS 二a f (x)dx 二a[f (x) -g(x)]dx2.如图，由三条直线x = a，x = b (a ：：： b)，x轴(即直线y = g(x) = 0 )及一条曲线y = f(x)(f (x)乞0)围成的曲边梯形的面积:P1a b ,0Xb b bS= J a f(x)dx = —J a f(x)dx= f a［g(x)-f (x)］dx3 .由三条直线x二a, x = b(a ：：： c ：：： b), x轴及一条曲线y=f(x)(不妨设在区间［a,c］上f(x)乞0，在区间［c,b］上f (x) _0)围成的图形的面积：b c bf (x)dx = - f (x) dx + f (x)dx.c a ' cy i = f i(x)目2 二f2(x) f i (x) - f2(x)及直线x =a , x =b (a ：： b)围成图形的面积:b b bs 二a[f i（x）- f2（x）]dx 二a f i（x）dx_ a f2（x）dx要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：①当平面图形的曲边在x轴上方时，容易转化为定积分求其面积；②当平面图形的一部分在x轴下方时，其在x轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

35定积分及其简单应用(理)

§3.5 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。

2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3. 定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[a,b]等分成n 个小区间。

在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的定积分。

记作: ⎰ba dx )x (f 。

即⎰ba dx )x (f =)(f n ab lim i n1i n ξ-∑=∞→.其中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式，b,a 分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。

4.定积分的几何意义: ⎰badx )x (f 表示介于x 轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图像连续不断的函数,并且F ˊ(x)=f(x),那么⎰ba dx )x (f =F(x)|b a=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。

6.定积分的性质:①⎰⎰=babadx )x (f k dx )x (kf ,(其中k 为常数);②⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [;③⎰⎰⎰+=bcc ab adx )x (f dx )x (f dx )x (f (其中a<b<c)。