常微分方程模型

的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
0
t
• 模型再建立：
p' (t ) a [(d 0 s0 ) ( d1 s1 ) p(t )] dt
t
, S (t ) s 0 s1 p(t ) , t p' (t ) a [D( ) S ( )] d , 0 . p(0) p
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s) 的图形，进行分析
0
D
s
1
模型4
相轨线 i (s) 及其分析
SIR模型
di i 1 si i di dt 1 s ds s 1 1 i( s) ( s0 i0 ) s ln s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
1 i (t )
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
微分方程建模
案例一、价格波动模型
• 建立在 市场经济 下 价格变动模型 • 具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低
的价格将会 自动趋于平衡 。
• “ 商品价格变化的两大特点 ” ： 平衡价格应是 商品供需平衡 的价位；
趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1Leabharlann Baidu
i

P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1

)
s0
s
小, s0 1
x 2
提高阈值1/σ降低被 传染人数比例 x
附:基于MATLAB的常微分方程（组）的数值求解 • 要求解微分方程（组）dy/dx=f(x,y)，可如下 调用： [X,Y]=ode45(f,[x0,xn],y0) • 函数在求解区间[x0,xn]内，自动设立采样点 向量X，并求出解函数y在采样点X处的样本 值Y。 • f是一个函数，要有两个参数，第一个参数是 自变量x，第二个参数是因变量y。 • y0=y(x0)给定方程的初值。
0
D(t ) d 0 d1 p(t )
p (t ) a(d1 s1 ) p(t ) a(d 0 s0 )
p(t ) c1 sin( a(d1 s1 ) t ) c2 cos( a(d1 s1 ) t ) p *
0
A sin( t ) p *
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/ σ ~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
t )] e

kt 2
p*
A sin( t ) e p * 商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡 现象 。
该结论达到建模目的！ 模型是合理的
案例二 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设 建模
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
S (t ) s0 s1 p(t )
(3)* 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 对时间 t 的 累积量有关 ( 即考虑过剩
需求的时间滞后效应 ) .
假定它们之间成 正比 :
p' (t ) a [D( ) S ( )]d
D(t ) d 0 d1 p(t ) S (t ) s s p(t ) 0 1 p' (t ) a [ D(t ) S (t )] p(0) p0
, , , .
p' (t ) a(d 0 s0 ) a(d1 s1 ) p(t ) , p(0) p0 .
t
lim p (t ) p *
d 0 s0 p0 时 , 当 p* d1 s1

d 0 s0 d 0 s0 a ( d1 s1 ) t p (t ) ( p0 ) e p* d1 s1 d1 s1
t
说明商品价格是 单调 结论未能达到建模目的！ 地趋向平衡价格.
t x ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
SI 模型
~日
接触率
建模
N [i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t
• 建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。
• 建模假设： (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 :
D(t ) d 0 d1 p(t )
(2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 .
0
D(t ) d 0 d1 p(t )
p(t ) kp(t ) a(d1 s1 ) p(t ) a(d 0 s0 )
p(t ) [c1 sin( 4a(d1 s1 ) k 2 2 t ) c2 cos(
kt 2
4a(d1 s1 ) k 2 2
模型3 di i (1 i ) i, / , di i[i (1 1 )] dt dt di/dt i
>1
i0
1-1/
>1
i
1
i0 0 i0
0
di/dt < 0
1-1/
1 i
1 , 1 1 i ( ) 0, 1
lim p (t ) p *
• 建模假设的 修改 ： (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 .
假定它们之间的关系近似为 线性关系 : D(t ) d 0 d1 p(t ) (2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 .
假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ;
d 0 s0 d 0 s0 a ( d1 s1 ) t p(t ) ( p0 ) e d1 s1 d1 s1
• 模型分析：

当
d 0 s0 p* p0 d1 s1
时,
d 0 s0 d 0 s0 a ( d s ) t p (t ) ( p0 ) e 1 1 p * d1 s1 d1 s1
商品价格随时间演变而处在 等幅震荡 之中。 结论还未能达到建模目的！
• 建模假设的 再次修改 ：
D(t ) d 0 d1 p(t ) 假设 (1) 、(2) 不变 ； S (t ) s0 s1 p(t ) (3)** 商品价格的变化速度 p’( t ) 不仅与市场过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 对时间 t 的累积量有关 , 仍假定它们之间 成 正比 ; 还与当时的价格与平衡价格 p* 的 偏差程度 有关 ( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) , 假定它们之间也成 正比 ， 且比例系数 k 2 a(d1 s1 ) ( 强调政府宏观调控只是微调 ) 。 t
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/σ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ σ i(t)单调降至0
p (t ) a [ D(t ) S (t )]dt k ( p(t ) p*)
0
• 模型又一 次建立：
, S (t ) s 0 s1 p(t ) , t p' (t ) a [D( ) S ( )] d k ( p(t ) p*), 0 . p(0) p
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) x(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
x(t t ) x(t ) x(t )t
dx x dt x (0) x0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
x(t ) x0et
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
Logistic 模型
1 1 t 1 1 e i 0
假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ;
S (t ) s0 s1 p(t )
(3) 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 有关. 假定它们之间成 正比 : p' (t ) a [ D(t ) S (t )]
• 模型建立：
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。