《高等数学(二)》期终考试试卷及参考答案
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
高等数学期中卷二(含答案)
x→2+ x2 − 3x + 2
x→2− x2 − 3x + 2
y=
x − 2 ⋅ln | x | 的第一类间断点（跳跃间断点）；
x2 − 3x + 2
而 lim x→1
x − 2 ⋅ ln | x | x2 − 3x + 2 =
lim (2 − x) ⋅ ln(1+ x −1) = x→1 (x − 2)(x −1)
F= (0) f (0) ≥ 0 ， F (1=) f (1) −1 ≤ 0 . 若 F (0) = 0 ，则取 c = 0 ；若 F (1) = 0 ，则取 c = 1； 若 F(0) > 0 且 F(1) < 0 ，利用零点定理，知在 (0,1) 内至少存在一点 c ， 使得 F (c) = 0 . 综上，在[0,1]上至少存在一点 c ，使得 F (c) = 0 ，即 f (c) = c . （2）设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) = 0 ，证明至少 存在一点ξ ∈ (0,1) ，使得 4 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 . 证明：做辅助函数 F (x) = x4 f (x) ，由已知条件知 F(x) 在[0,1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 F (0) = 0 ， F= (1) f= (1) 0 ，即 F (1) = F (0) . 由罗尔定理，存在 ξ ∈ (0,1) ，使得 F′(ξ ) = 0 ，即 4ξ 3 f (ξ ) + ξ 4 f ′(ξ ) = 0 ，也 即 4 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 .
−1，故 x = 2 为函数 y =
x − 2 ⋅ ln | x | x2 − 3x + 2
2011级高数II期中考试试卷及答案
B．
∫ dy ∫
1
2
4
y
y2
f ( x, y )dx
C．∫1 dy ∫y f ( x, y)dx
y2
D． ∫1
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
y
y
2 2 5．设L为 x=y2从y = -1到y = 1的一段弧，则 ∫L y dx − x dy =
(
A
)
2 − A． 5
1 B．− 5
1 C． 5
∫∫ xydσ = ∫ dy∫ 2 xydx
D −1 y
2
y+ 2
x2 = ∫ y dy −1 2 y2
2
Y+2
y=x-2
=
∫ [y( y + 2)
2 −1
2
− y 5 dy
]
=
45 8
2 2 4. 计算三重积分 ∫∫∫zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x + y 与平面
∂u y = ∂y ( x + y) 2
∂ 2 u a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） ( = ∂x∂y ( x + y) 4
∂ 2 u − 2 y( x + y) = ∂y∂x ( x + y) 4
∂2u ∂2u = ∂x∂y ∂y∂x
a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） −2 y( x + y) ( =
4．若L是椭圆
x = a cos θ ，取逆时针方向，则 y = b sin θ
∫
L
y d x − x d y = − 2πab
中国政法大学-高数二某年期中试题及参考答案
高等数学二期中试题22(,)(,)y f x y x y f x y x+=-1、设，求。
2、考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质： ①00(,)(,)f x y x y 在点处连续②00(,)(,)f x y x y 在点处的两个偏导数连续③00(,)(,)f x y x y 在点处可微④00(,)(,)f x y x y 在点处的两个偏导数存在若用P Q ⇒“”表示可由性质P 推出性质Q ，则有( ) (A ) ②⇒③⇒①(B ) ③⇒②⇒① (C ) ③⇒④⇒①(D ) ③⇒①⇒④3、(1)设2y z x =，求22()z z x x y ∂∂∂∂∂∂及。
(2) 设ln()z y xy =， 求3222()z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂及。
4、设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中f 有二阶导数，g 有二阶连续 偏导数，求2z x y∂∂∂。
25 (,,),(,)0(0,1,1)x x f x y z e yz z z x y x y z xyz f ==+++=-、设其中是由确定的隐函数，求。
6、求函数2M xy yz =+在约束条件22210xy z ++=下的最大值和最小值。
7、化二重积分(,)D f x y d σ⎰⎰为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的(两个二次积分)，其中积分区域D 是由抛物线2y x =与直线23x y +=所围成的闭区域。
8、选用适当的坐标计算下列二重积分：(1)22()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是直线,,,3(0)y x y x a y a y a a ==+==> 所围成的闭区域； (2) 22D xy d x y σ+⎰⎰，其中D 是直线22,12y x x y ≥≤+≤所围成的闭区域；附加题9、计算二重积分3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D是由曲线x =0x +=及0x -=围成。
10、设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若 常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是对应齐次方程的解，则 (A)11,22λμ==(B)11,22λμ=-=-(C)21,33λμ==(D)22,33λμ==参考答案：1.y y x +-1)1(2 2. A3. 22)12(2--y x y y )1ln 2(212+-x y x y21x - 0 4. "12'2"12"2xyg g xg f +++- 5. )122(xyyz z yz e x ++- 6. 最大值55 最小值 55-7. ⎰⎰--13232),(x x dy y x f dx f 或 ⎰⎰⎰⎰---+239110),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy8.（1）214a（2）02sin 41sin cos 45445421==⎰⎰⎰∆∆∆∆θθθθθd dr r d（本答案来源于老师，系本人编写至word 中，编写中要是出现错误请大家见谅！）王心全 2010-5-26。
2019学年度xxx大学第二学期《高等数学》期中考试试题参考答案
第二学期《高等数学》期中考试试题参考答案⑴求满足条件du =(,).u x y解:(,)(,)P x y Q x y ==而22322()P xy Q y x y x∂-∂==∂+∂,故(,)(0,1)10(,)x y yx y u x y dy y ==+⎰⎰⎰0xy =+=⑼ 求曲线积分22()(4),4L x y dx x y dy x y-+++⎰其中曲线L 方程为22(1)4,x y +-=逆时针方向. 解: 222222222448,,.44(4)x y x y P x y xy QP Q x y x y y x y x -+∂-+-∂====++∂+∂但在坐标原点,此条件不成立.记222:4l x y r +=,顺时针方向,则在()L l ++所围区域内,格林公式成立,即22()()(4)0,4L l x y dx x y dy x y ++-++=+⎰故2222()(4)()(4),44L lx y dx x y dyx y dx x y dyx yx y-++-++=++⎰⎰ 2cos sin 22(2cos sin )2(sin )(2cos 4sin )cos 4x r y r r r r r r r d r θθπθθθθθθθ==--++=⎰201.2d πθπ==⎰四. (10分)求解初值问题:2331,1(0),(0) 3.3y y y x y y '''--=+⎧⎪⎨'==⎪⎩解 齐次方程对应的特征方程为2230.λλ--=特征根为121, 3.λλ=-=因此齐次方程的通解为312.x x y C e C e -=+由于0不是特征方程的根,故设非齐次方程的特解为,y ax b =+代入原方程,比较系数,得11,.3a b =-=即原方程的通解为3121.3x xy C e C e x -=+-+由定解条件,得12120,313,C C C C +=⎧⎨-+-=⎩ 121,1.C C =-⎧⇒⎨=⎩初值问题的解为 31.3xxy e e x -=-+-+6. 2001(),()()().2aaa xf x f x dxf y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰已知函数连续求证;2000()()()()()()().ax aaxaaaf x dx f y dy f x dx f y dyf x dx f y dy f x dx +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明;显然()()()()()()aa a y a xxf x dx f y dy f y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰⎰⎰而变换积分次序后再换积分变量字母,有于是201()()().2aaaxf x dx f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰证毕.证法2: 0()(),xF x f y dy =⎰记则0()().af x dx F a =⎰于是()()()[()()]aa a xf x dx f y dy f x F a F x dx =-⎰⎰⎰0()()()()a aF a f x dx F x f x dx =-⎰⎰2222200111()()()()()()().222aa a F a F x dF x F a F x F a f x dx ⎡⎤=-=-==⎢⎥⎣⎦⎰⎰2222(1)(1)9.,1,.(1)2L xdy y dx y I L x x y ++---=+=+-⎰求曲线积分其中方程为逆时针方向 解: 2222(1)(,),(,),(1)(1)y x P x y Q x y x y x y --==+-+-22222(1),[(1)]P y x Qy x y x∂--∂==∂+-∂ 由于点(0,1)位于L +所围区域(记为D )内,作圆周C +: x 2+y 2=r 2,则由格林公式,22()(1)0,(1)L C xdy y dxI x y ++--==+-⎰22222222220(1)(1)cos sin 2.(1)(1)L C xdy y dx xdy y dxr r I d x y x y r πθθθπ++----+====+-+-⎰⎰⎰。
西南交大高等数学第学期期中考试试卷高等数学II解答
0
0
0
0
y 1 x
由
x y
r r
cos sin
知
y
1
x
的极坐标方程为 r
1 cos sin
故
D
:
0
0
r
2
cos
1 sin
，从而
1
f (x, y)d 2 d cossin f (r cos, r sin )rdr
0
0
D
二、填空题（每小题 4 分，共计 24 分）
y
1、设 z (xy) x ，则 dz
过切点的法向量为：
n
(4x0, 6 y0, 2z0 ) //(2, 3, 2)
4x0 2
6 y0 3
2z0 2
t
，
得
x0
1 t, 2
y0
1 t, 2
z0
t
，代入
2 x0 2
3y02
z02
9 ，得 t
2 ，
切点为 (1, 1, 2) 或 (1,1, 2) ， n (2, 3, 2) ，
故切平面方程为：
高等数学（下）期中考试试题
教学班号
学号
姓名
成绩：
一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分）
xy
1、函数
f
x,
y
x2
y2
0
x2 y2 0 在 0,0 点 B
x2 y2 0
( A )．连续，偏导数都存在；
( B )．不连续，偏导数都存在；
( C )．不连续，偏导数都不存在；
( D )．连续，偏导数都不存在。
最小值。
在区域上无不可导点，有驻点
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
高等数学II 期中试卷
高等数学II 期中试卷一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 。
(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。
2、二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 。
(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．41。
3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z a 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。
4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则⎰⎰Dd xy σ= 。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A)．12 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )．cos sin 2 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C)．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设xy xy z )(=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度=P z g r a d 。
2、设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则=')1,(x f x 。
3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则()Dx y dxdy +=⎰⎰ 。
山东省高二下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（ ） ()ln 1y x x =-()2,0A ． B ． 24y x =-24y x =+C ． D ．2y x =+2y x =-【答案】A【分析】求函数在点 处的导数值，根据点斜式求切线方程.. ()ln 1y x x =-()2,0【详解】因为， ()ln 1y x x =-所以， ()ln 11xy x x '=-+-所以， ()22ln 21221x y ==-+=-'所以曲线在点处的切线斜率为，()ln 1y x x =-()2,02所以曲线在点处的切线方程为， ()ln 1y x x =-()2,0()22y x =-即， 24y x =-故选：A. 2．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）322(nx x +A ．60 B ．80 C ．100 D ．120【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. n 【详解】当时，，解得，1x =3243n =5n =则的展开式第项， 322()n x x +1r +351532155152552C ()(C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===令，解得，所以，1550r -=3r =335C 210880=⨯=故选：B3．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1101531025【答案】D【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；35A 54360=⨯⨯=要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=所以该三位数能被3整除的概率为. 242605=故选：D4．已知随机变量 分别满足，，且期望，又,X Y (8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =，则（ ） 1(3)2P Y ≥=p =A ．B ．C ．D ．18143858【答案】C【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，μ可求得答案.【详解】由题意知，，，(8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =故， 8p μ=由，知，故， 1(3)2P Y ≥=3μ=383,8p p =∴=故选：C5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A ：“区域1和区域3颜色不同”，事件B ：“所有区域颜色均不相同”，则（ ）()P B A =A ．B ．C ．D ．27122334【答案】B【分析】根据条件概率的公式，分别计算出事件A 和事件B 的基本事件即可. 【详解】A 事件有 个基本事件， 21115322A C C C :::B 事件有 个基本事件，55A；()5521115322A 1|A C C C 2p B A ∴==:::故选：B. 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或， 2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C 7．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） 21()cos 4f x x x =+()f x '()f x ()f x 'A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】求出导函数，根据奇偶性可得BD 不正确；根据可得C 不正确；()f x 'ππ()1024f '=-<【详解】因为，所以，21()cos 4f x x x =+1()sin 2f x x x '=-因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故11()sin()sin ()22f x x x x x f x ''-=---=-+=-()f x '因为，故C 不正确；ππ(1024f '=-<故选：A8．已知，则（ ）66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 3a =A ．15 B ．20 C ．60 D ．160【答案】D【分析】由已知得，再根据二项式展开式的通项()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 公式求得的系数可得选项.()31x -【详解】因为，66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 所以，()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 所以展开式中含的项为，所以. ()31x -()()33336116012C x x ⨯⨯-=-3160a =故选：D.【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （1C rn rr r n T ab -+=）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展0,1,2,,r n =⋅⋅⋅1r +r rn C 开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意1r +1r +.0,1,2,,r n =⋅⋅⋅二、多选题9．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X ，则（ ） A ．X 服从二项分布 B ． 9(1)64P X ==C ． D ． 3()4E X =3()16D X =【答案】AC【分析】根据已知，即可判断A 项正确；求出每次取球后得1分的概率，可得，进而根13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭据二项分布求解，判断B 、C 、D.【详解】对于A 项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，所以X 服从二项分布，对于B 项，每次取球后得1分的概率，则.14p =13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以，，故B 项错误； 12131127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C 项，因为，所以，故C 项正确；13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭13()344E X =⨯=对于D 项，因为，所以，故D 项错误.13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭119()314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：AC.10．已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则（ ） nA ．B ．二项式系数最大的项为中间项 9n =C ．系数最大的项为中间项D ．含的项是第6项3x 【答案】BC【分析】根据倒数第三项的系数求出，可知A 不正确；根据二项式系数的性质以及展开式的通项n 公式对另外三个选项进行分析可得答案.【详解】展开式的通项为，n 1C n kkk k n T -+=⋅11312=C k n knx-所以倒数第三项的系数为，故，即，所以， 2C n n -2C 45n n-=2C 45n =(1)452n n -=所以，得或（舍）.故A 不正确；(10)(9)0n n -+=10n =9n =-因为，所以展开式共有项，所以二项式系数最大的项为中间项，故B 正确； 10n =11因为展开式中各项的系数与该项的二项式相等，所以系数最大的项为中间项，故C 正确；因为，所以展开式的通项为，10n =10110C kkk k T -+=⋅113012=C k knx-令，得，所以含的项是第项，故D 不正确. 1130312k -=6k =3x 1617k +=+=故选：BC11．下列选项正确的是（ ）A ．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种B ．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C ．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D ．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.【详解】对于A:,故A 正确；57A 2520=对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，即或所以有种，故B 正确；722111,=++++731111,=++++22375722C C C 140A +=对于C:应用隔板法，C 选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C 错误；27C 21=对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数， 存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式； 存放2个盒子，有3种；71+6=2+5=3+4=存放3个盒子，有4种； 71+1+5=1+2+4=1+3+3=3+2+2=共有8种，故D 正确. 故选：ABD.12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数m ()f x m ≥x D ∈()f x D m 的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，()f x M ()f x M ≤x D ∈()f x D 其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说M ()f x 法正确的是（ ）A ．1是函数的一个下界()1(0)f x x x x =+>B ．函数有下界，无上界()ln f x x x =C ．函数有上界，无下界()2e xf x x =D ．函数有界()2sin 1xf x x =+【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A ；利用导数可确定，即可判断B ；由恒成()1e f x ≥-()2e 0xf x x=>立即可判断C ；利用放缩法即可判断D.【详解】对于A ，当时，（当且仅当时取等号）， 0x >12x x+≥1x =恒成立，是的一个下界，故A 正确；()1f x ∴>1∴()f x 对于B ，∵，()ln 1(0)'=+>f x x x 当时，；当，， ∴10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>在上单调递减，在上单调递增，∴()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴有下界，()11e e f x f ⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭()f x 又当越来越大时，趋向于，∴无上界， x ()f x +∞()f x 综上所述，有下界，无上界，故B 正确；()ln f x x x =对于C ，，，，有下界，故C 错误；20x > e 0x>2e 0xx ∴>∴()f x 对于D ，，， sin [1,1]x Q Î-2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++又，， 2111x -≥-+2111x ≤+，既有上界又有下界，故D 正确． 2111sin xx ∴-<<+()f x \故选：ABD ．【点睛】关键点睛：函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题．三、填空题13．的展开式中，项的系数为___________. ()62123x x ++3x 【答案】340【分析】由于，根据二项式定理，可得其展开式的通项为()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦，其中，由此可知，再结合的范围，即可求出6C C 23r k r k k r kr x -+06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈3r k +=,k r 结果.【详解】由于，()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦所以其展开式的通项为，其中()22666C 23C C 23C C 23rrr k r k k r k k r k r k k r k r r x x x x x ---++==，06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈为得到展开式中的系数，则，()62123x x ++3x 3r k +=当时，的系数为；2,1r k ==3x 2121162C C 23=180-当时，的系数为；3,0r k ==3x 303063C C 23=160所以展开式中的系数为. ()62123x x ++3x 180160340+=故答案为：.34014．某社区有2个核酸检测点，现有6名志愿者将被派往这2个检测点协助核酸检测工作，每个志愿者只去1个检测点，每个检测点至少需要2名志愿者，则不同的安排方法种数为___________.（请用数字作答） 【答案】50【分析】由题可知，存在两种分组情况，分类讨论，先分组，后排列，利用排列组合求每种分组情况的数值，最后求和即可. 【详解】根据题意分两种情况：第一种情况：将6人分为人数为2和4的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安246415C C =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =15230⨯=第二种情况：将6人分为人数为3和3的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安33632210C C A =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =10220⨯=故不同的安排方法总共有种. 302050+=故答案为：50.15．已知函数在上的最大值为2，则______． ()ln f x x x k =-+[]1,e ()f k =【答案】ln3【分析】直接对函数求导，利用函数在区间上单调性和条件，求出值，从而求出结果. []1,e k 【详解】因为，所以， ()ln f x x x k =-+()111x f x x x-'=-=又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减， []1,e x ∈()0f x '≤[]1,e x ∈()f x []1,e 所以，得到，故， ()1ln112f k =-+=3k =()ln 3f x x x =-+所以.()(3)ln3f k f ==故答案为：.ln316．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中1A 2A 3A 取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤．1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤. ()3P A 【详解】依题意，，和是两两互斥事件， 1A 2A 3A ，， ()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，， ()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误； 5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答） (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序? (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?(3)如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序? 【答案】(1) 576(2) 1440(3) 3720【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场4444A A 576⋅=顺序.（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，4345A A 1440⋅=（种）不同的出场顺序.（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场77A 时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且66A 66A 舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有44A 44A 种情况，所以有（种）不同的出场顺序.4444A A 576⋅=（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情44A 35A 况，所以有（种）不同的出场顺序.4345A A 1440⋅=（3）方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙77A 66A 在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的66A 情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场66A 时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的515A 个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的15A 55A 61156555A A A A 3720+=出场顺序.18．函数在和单调递增，在单调递减.32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x（2）求在上的最大值和最小值.()f x []1,2-【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为16和. 32()43185f x x x x =--+614-【分析】（1）．根据函数在和，单调递2()122f x x ax b '=++32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+增，在单调递减．可得，是的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出； 3(1,)2-1-32()0f x '=（2）由已知可知函数在，单调递减，函数在，上单调递增．进而得出最值． ()f x [1-3)2()f x 3(22]【详解】（1）．2()122f x x ax b '=++函数在和，单调递增，在单调递减． 32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+3(1,)2-，是的两个实数根． 1∴-322()1220f x x ax b '=++=，． 3126a ∴-+=-31212b -⨯=解得，．3a =-18b =-，满足条件． 23()1261812(1)(2f x x x x x ∴'=--=+-．32()43185f x x x x ∴=--+（2）因为函数在和单调递增，在单调递减.所以函32()43185f x x x x =--+(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭数在，单调递减，函数在，上单调递增． ()f x [1-3)2()f x 3(22]当时，函数取得极小值即最小值，． ∴32x =()f x 361()24f =-又，（2）．(1)16f -=f 11=-时，函数取得最大值为16．1x ∴=-()f x 所以函数在上的最大值和最小值分别为16和. ()f x []1,2-614-【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. 34（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和Y Y 方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，. ()15E Y =75()4D Y =【分析】（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可； （2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得X 5Y X =解.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率 ∴314626144881114C C C P C C =+=参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试. 在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为， 34乙通过自主招生初试的概率 ∴43324313189(444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，甲通过自主招生初试的可能性更大. 1118914256> ∴（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4. X ~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭且()4431()0,1,2,3,444k k kP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5Y X =的概率分布列为：∴Y Y 0 510 15 20 P 1256364 27128 2764 81256 3()554154E Y np ∴==⨯⨯=. 3175()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用表示X 样本中次品的件数.(1)求的分布列（用式子表示）和均值；X(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过的概率.0.1参考数据：设，则(),0,1,2,,20k P X k p k === ，56780.06530,0.12422,0.17972,0.20078p p p p ====.91011120.17483,0.11924,0.06376,0.02667p p p p ====【答案】(1)的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X ()8E X =(2)0.79879【分析】（1）由题意随机变量服从超几何分布，从而即可求解；X （2）样本中次品率是一个随机变量，由题意，，根据参2020X f =()200.40.1(610)P f P X -≤=≤≤考数据即可求解.【详解】（1）解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立， 所以由题意随机变量服从超几何分布，X 所以的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X 40()208100E X np ==⨯=（2）解：样本中次品率是一个随机变量， 2020X f =所以()200.40.1(610)(6)(7)(8)(9)(10)P f P X P X P X P X P X P X -≤=≤≤==+=+=+=+=.0.124220.179720.200780.174830.119240.79879=++++=所以误差不超过的概率为.0.10.7987922．已知函数.()2e e 7x f x ax =-+-(1)当时，求曲线在处的切线方程；7a =-()y f x =1x =(2)若，，求a 的取值范围. [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥【答案】(1)2(e 7)e 7y x =++-(2)2(,e 7]-∞-【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解. 224e 74e 284x x a x-+-≤224e 74e 28()x x g x x -+-=【详解】（1）当时，，则， 7a =-2()e 7e 7x f x x =++-()e 7x f x '=+则(1)e 7f '=+又，所以所求切线方程为， 2(1)e e f =+2(e e)(e 7)(1)y x -+=+-即.2(e 7)e 7y x =++-（2），等价于, [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥2270,)7[,e e 4x x ax x ∈+∞-+-≥①当时，显然成立;0x =2e 60-≥②当时，不等式 0x >227e e 74x ax x -+-≥等价于, 224e 74e 284x x a x-+-≤设，则. 224e 74e 28()x x g x x -+-=2224(1)e 74e 28()x x x g x x ---+'=设，22()4(1)e 74e 28x h x x x =---+则,()4e 142(2e 7)x x h x x x x '=-=-）时，，当）时，, 7(0,ln 2x ∈()0h x '<7(ln ,)2x ∈+∞()0h x '>则在上单调递减，上单调递增. ()h x 7(0,ln )27(ln ,)2+∞因为，所以，且, 2(0)4(6e )0h =-<7(ln 02h <()20h =则当时，，当）时，. ()0,2x ∈()0g x '<(2,x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x (0,2)(2,)+∞则,2min ()(2)4e 28g x g ==-则，故a 的取值范围为. 244e 28a ≤-2(,e 7]-∞-。
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。
高等数学试卷2及答案
１高等数学（A2）试卷（二）答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. B,2. D,3. B,4. C,5. D,6. B,7. D,8. B.二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分）1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得03332='--'x x z xy yz z z (1分)解得 xyz yzz x -='2(3分) 方程两边对x 求导,得 xyz xzz y -='2(5分) 所以, )(2xdy ydx xyz zdz +-= (7分) 2． 求⎰⎰-=Ddxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成.解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ⎰⎰-=1022x dy y x dx I (2分)令t x y cos =, 则有⎰⎰=102022sin πtdt dx x I (6分)12π=(7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间.解: xx x f --=11ln )(5 (2分)由∑∞=-≤<--=+11)11()1()1ln(i nn t nt t , 可得 (4分) ∑∞=<≤--=-155)11()1ln(i nx n x x (5分) ∑∞=<≤--=-1)11()1ln(i nx nx x (6分) 所以, ∑∑∞=∞=<≤--=151)11()(i ni n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1cos 1222-=-+'x xy x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=⎰=--x e x dxx xμ得 (2分)x y x dxdcos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1sin 2-+=x cx y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为11sin 2--=x x y (7分) 三、计算题(本题8分)用高斯公式计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧.解: 由高斯公式可得２⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++=++=zdxdydzydxdydz xdxdydz dxdydzz y x I 222)222( (2分)又因,⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==bcabc a xdx dz dy xdxdydz 0222 (4分) 同理有, ⎰⎰⎰Ω=c ab ydxdydz 22,⎰⎰⎰Ω=22abc ydxdydz (6分) 所以, )(c b a abc I ++= (7分)四、计算题(本题8分)确定b 并求出曲线32121,,:t z t y t x =-==Γ的切线, 使之与平面4:=++∏z by x 垂直.解: 设Γ上点)121,,(302000t t t M -处的切线与平面∏垂直 Γ在0M 处的切向量为, )41,2,1(200t t -=τ (2分)与平面∏的法向量, )1,,1(b n =平行, 即14121120tb t =-=, 解之得 (4分) )1,4,1(),32,4,2(,4,200=±-±=±=τM b t (6分)得切线方程, )4(1324412-=-=-+=-b z y x)4(1324412=+=+=+b z y x (8分)五、证明题(本题8分)证明曲线积分⎰+-=Cdy x dx x xy I 22cos )sin 2(在xoy 面上与路径无关,并计算积分值, 其中C 为椭圆12222=+by a x 的右半平面)0(≥x 部分, 从),0(b A -到),0(b B .证明: 因为22sin 2)sin 2(x x x xy yy P -=-∂∂=∂∂22sin 2)(cos x x x xx Q -=∂∂=∂∂ 所以曲线积分I 在xoy 面上与路径无关 (4分)又因)cos (cos sin 2222x y d dy x dx x xy =+- (6分)所以b x y x y d I b b C2|cos )cos (),0(),0(22===-⎰(8分)六、计算题(本题8分)若)(22y x f z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yzx z , 求z , 其中)(r f 有连续的二阶导数.解: 记22y x r +=, 则有3222222)()(,)(r x r r f r x r f x z r x r f x z -'+''=∂∂'=∂∂ 3222222)()(,)(ry r r f r y r f x z r y r f y z -'+''=∂∂'=∂∂ 代入方程得 0)(1)(='+''r f rr f (4分) 解之得 rcr f =')( (6分) 0ln )(c r c r f z +== (8分)３七、应用题(本题8分)要建造一个上部为半球型下部为圆柱型的不锈钢储水罐, 要求容积为A , 问球体和圆柱半径r 与圆柱高h 为何时, 可以使用料最省?解: 当所求储水罐的表面积最小时, 可以使用料最省, 用),(h r S 表示储水罐的表面积, 则有)0,0(23),(2>>+=h r rh r h r S ππ (2分) 由要求容积为A , 得h r ,的约束关系A h r r =+2332ππ, 解之得)32(132r A r h ππ-=(4分)代入),(h r S 得 rAr r h r S r 238))(,()(2+==πϕ令 02316)(2=-='r A r r πϕ, 解得驻点310)83(πAr = (6分) 又因0)(0>''r ϕ, 故)(r ϕ在0r 处取得极小值. 由于只有唯一极小值点,所以即为所求最小值点, 此时有002r h = (8分) 故r ,h 分别取00,h r 时, 可以使用料最省.。
《高等数学II》期中考试试卷
2017-2018第二学期《高等数学II 》期中考试试卷一、 填空题1、 二元函数f (x,y )=√4x−y 2ln(1−x 2−y 2)的定义域是__________________2、 设f (x,y )=ln(x −√x 2−y 2),(x >0,y >0),则f (x +y,x −y )=__________________________ 3、 limx→0y→01−cos√x 2+y 2(x 2+y 2)e x 2+2y 2=___________________________ 4、 设z =y x,则∂2z∂xðy=___________________________________5、 设ln√x 2+y 2=arctan y x,则dy dx=__________________6、 设z =f(x +y +z,xyz),其中函数f(u,v)有一阶连续偏导数，则∂z ∂x=_____________________7、 曲线{z =√x 2+y 2x 2+y 2+z 2=4在xoy 面的投影方程为_______________ 8、 已知球面经过(0,−3,1)且与xoy 面交成圆周{x 2+y 2=16z =0,则此球面方程为________________________9、 已知空间曲线的方程为{z =√1−x 2−y 2(x −12)2+y 2=14,则其在xoy 面的投影曲线方程为_____________________________10、 曲面z =4−12(x 2+y 2)与平面z =2所围成立体的体积为_______________________ 11、极坐标下的二次积分∫dθ∫f (rcosθ,rsinθ)rdr 1π20转化为直角坐标系下的二次积分是___________________________12、 求积分∫dx ∫e −y2dy 2x20=________________________13、 计算二重积分∬(2−√x 2+y 2)dσD,其中D:x 2+y 2≤4.则其值等于_________________________14、 设闭区域D:x 2+y 2≤y,x ≥0.f(x,y)为D 上的连续函数，且f (x,y )=√1−x 2−y 2−8π∬f(u,v)dudv D ,则f (x,y )等于_________________________15、 设 z =f (2x −y,ysinx ),其中f(u,v)有二阶连续偏导数，则ð2z ðxðy=___________________________16、 设区域D 由y =x 2,y 2=x 所围成，将二重积分∬f (x,y )dσD化为累次积分_________17、 设z =f (x,y )连续且满足limx→0y→1√x 2+(y−1)2=0,则dz|(0,1)=____________________18、 设z =z(x,y)由方程(z +y)x =xy 确定，则dz |(1,2)=_________ 19、 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设∫f (x )dx =A 1,则∫dx ∫f (x )f (y )dy =1x10____________________20、 当x >0,y >0,z >0时，求函数u =lnx +2lny +3lnz 在球面x 2+y 2+z 2=6r 2上的最大值为________________________ 二、 计算题1、 求表面积为2a 2而体积最大的立方体的体积。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
《高等数学(二)》题库及答案
《高等数学(二)》题库及答案一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin ,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3的定义域为 。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
高等数学a2期中测试题及答案
高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。
答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。
解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。
检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。
11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
2010-2011高数二期中考试答案(卓越班)
2010-2011高数二期中考试答案(卓越班)D二、单项选择题（每小题4分，共5×4 = 20分）6．设向量b 与{}1,1,2-=a共线，且满足63Pr -=b j a ，则=b （ A ）.A. {}3,3,6--；B. {}6,2,4-；C. {}6,2,4--；D. {}3,3,6-. 7．设有直线182511:1+=--=-z y x l 及直线⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x l ，则1l 与2l 的夹角为（ C ）.A.π/6； B. π/4； C. π/3； D. π/2.8. xOy 平面上的曲线3222=-y x 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为 （ B ）.A ．322222=+-z y x ；B ．32222=+-z y x ；C ．32222=-z y ；D ．3222=-z x ．9．函数22z xy u -=在点)1 ,1 ,2(-处方向导数的的最大值为（ A ）A.62；B. 4； C. )2 ,4 ,2(---； D. 6.10．设有空间区域0,:22221≥≤++Ωz R z y x 及空间区域,:22222R z y x ≤++Ω 0,0,0≥≥≥z y x ，则（ C ）.A ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xdv xdv ； B ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214ydv ydv ；C ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214zdv zdv ； D ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xyzdvxyzdv三、计算题（每小题6分，共6×5=30分）11.汽车、轨道学生做：求过点)1,1,1(0P 且与直线⎩⎨⎧=--=--052034z y x z x 平行的直线方程．航空学生做：求过点)1,1,1(0P 且与直线131422-=-=-z y x 平行的直线方程．解 汽车、轨道学生做：直线⎩⎨⎧=--=--052034z y x z x 的方向向量为)1,3,4(512401---=---=i =)1 ,3 ,4(-（3分）从而所求直线为113141-=-=-z y x（3分）航空学生做：直线的方向向量为 )1 ,1 ,2(= （3分）从而所求直线为111121-=-=-z y x（3分）12. 汽车、轨道学生做：求曲面22221z y x +=上平行于01422=+-+z y x 的切平面方程.航空学生做：求曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2t z =在点⎪⎭⎫⎝⎛-2 ,1 ,12π处的切线和法平面.解 汽车、轨道学生做： 设),,(000z y x 是曲面22221),,(z y x z y x F --=上平行于01422=+-+z y x 的切平面的切点，则切平面的法向量为)4,2,2//()4,,1(00---=z y ， （3分） 得 2/1 ,100=-=z y ，从而10=x ，切点)2/1 ,1,1(-， （1分）从而所求切平面为0)2/1(4)1(2)1(2=--++-z y x ，即 012=+-+z y x （2分）航空学生做：所求切线的切向量为)22,1 ,1()2cos ,sin ,cos 1(2=-==πt t t t （2分）所求切线为2/221112/1-=-=-+z y x π （2分） 所求法平面为0)2(2212/1=-+-+-+z y x π，即 02/122=--++πz y x （2分） 13.设)ln(xy x z =，求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂ 解)ln(1)ln(xy xyy x xy x z +=⋅+=∂∂， （2分） yx xy x x y z =⋅=∂∂， （2分）y y z x y x z 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ （2分）14．求二重积分dxdy xy I D⎰⎰=的值，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域 解 解方程组⎩⎨⎧-==22x y xy得抛物线x y =2与直线2-=x y 的交点 )1,1(-，)2 ,4(， （2分） 故所求积分区域D 为2 ;212+≤≤≤≤-y x y y ， 从而⎰⎰⎰⎰+-==2212 y yDxydx dy dxdy xy I（2分）8456234421])2([212162342152=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-+=--⎰y y y y dx y y y（2分）15. 汽车、轨道学生做：在椭圆4422=+y x 上求一点,是其到直线0632=-+y x 的距离最短.航空学生做：求二元函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值. 解 汽车、轨道学生做：设),(y x P 是椭圆4422=+y x 上任一点，则点),(y x P 到直线0632=-+y x 的距离 13632),(-+=y x y x d （2分）作拉格朗日函数)44()632(),,(222-++-+=y x y x y x L λλ （1分）令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+-+='=+-+=' 04408)632(602)632(422y x L y y x L x y x L y x λλλ，解得 唯一驻点⎪⎭⎫⎝⎛=53 ,58),(00y x ， （2分）由题意最小距离存在，而632-+y x 与2)632(-+y x 同时取得极值，因此13153,58),(min =⎪⎭⎫⎝⎛=d y x d 。
高等数学c2期中试题及答案
高等数学c2期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 2答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解？A. \( y = A\sin(x) + B\cos(x) \)B. \( y = Ax^2 + Bx \)C. \( y = Ae^x + Be^{-x} \)D. \( y = A\log(x) + Bx \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的极值点个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是？A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A6. 积分 \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) 的结果是？A. \( \arctan(x) + C \)B. \( \ln(1+x^2) + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin(x) + C \)答案：A7. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( \ln(e^x) + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \ln(x^2) \)答案：A9. 以下哪个选项是函数 \( y = x^2 \) 的二阶导数？A. \( 2x \)B. \( 2 \)C. \( 4x \)D. \( 4 \)答案：B10. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分值是？A. \( 2 \)B. \( 0 \)C. \( \frac{2}{\pi} \)D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。