高二数学含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定 课件
而命题p∧q为假，p∨q为真，则p，q中一个为真， 一个为假．
(1)若p真，q假，则a≥4； (2)若p假，q真，则0＜a≤1. 所以a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)． [巧妙解答] 由①得：p：a＞1，q：0＜a＜4， 所以p∧q：1＜a＜4，p∨q：a＞0. 因为p∧q为假，所以a≤1或a≥4.
[类题尝试] 已知a＞0，设p：函数y＝ax在R上单调 递增；q：不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R恒成立．若 p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
[常规解答] 若p为真命题，则y＝ax在R上单调递 增，所以a＞1；
若q为真命题，则不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R 恒成立，
所以Δ＜0，即a2－4a＜0，所以0＜a＜4.①
归纳升华 1．特称命题的否定：分两步． (1)改变量词：把“存在量词”换为恰当的“全称量词”； (2)否定性质：把原命题中的“有”“存在”等更改为“没 有”“不存在”等． 2．常用存在量词的否定形式．
词语
存在一个
有的
词语的否定 每一个
所有的
词语
至少有n个 至多有一个
词语的否定 至多有n－1个 至少有两个
类型2 特称命题的否定 [典例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)至少有一个实数x0，使得x20＋2x0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°. 解：(1)命题的否定是：对任意x∈R，都有x2＋2x＋ 5≠0，是真命题． (2)命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对 角线都不互相垂直，是假命题． (3)命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和 小于或等于180°，是真命题．
(3)¬s：∃x0∈R，2x0＋4<0.真命题． (4)¬t：存在实数m0，使得方程x2＋2x－m0＝0没有实 数根．真命题．
1.4.2 含有一个量词的命题的否定
1.4.2含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能.思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能.知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数.解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二 依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1.(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.解 由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题， 则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 所以m ≥－ 2即可.由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题， 即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 依题意，得－2≤m <2.所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.因为“∃x0∈R，sin x0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x0∉A,2x0∈BD.¬p：∃x0∈A,2x0∉B答案D解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A.∃x0∈R，x20＋1＞0B.∃x0∈R，x20＋1≤0C.∃x0∈R，x20＋1＜0D.∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B.∀x∈R，lg x＜1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以∀x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题.4.“∃x0∈M，p(x0)”的否定为________________.答案∀x∈M，¬p(x)5.“至多有两个人”的否定为________________.答案至少有三个人解析“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有两个人”的否定为“至少有三个人”.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定.2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B.∃x0∈R，|x0|>0C.∀x∈R，|x|≤0D.∃x0∈R，|x0|≤0解析由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0答案D解析特称命题的否定是全称命题.4.已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A.∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案B解析条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5.下列命题错误的是()A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C.命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D.“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案B解析由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确.6.已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A.∀n∈N,2n≤1 000B.∀n∈N,2n>1 000C.∃n∈N,2n≤1 000D.∃n∈N,2n>1 000答案A解析特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”.7.下列命题中是假命题的是()A.∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C.∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD.∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真； ∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞， ∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题. 二、填空题8.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______________. 答案 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”. 9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________________________________________________________________________. 答案 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 解析 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词.10.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________________. 答案 m ≤－2或－1<m <2 解析 p ：m ≤－1，q ：－2<m <2， ∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2， 当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.11.若“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 a >2或a <－2解析 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2. 三、解答题12.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除.解 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因此¬p 是真命题. (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题. (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题. (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题. 13.若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围. 解 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数， 在⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，由于f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题， 所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。
含有一个量词的命题的否定 课件
(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有 全称量词的命题,再写出命题的否定命题. 2.对特称命题的否定以及特点的理解 (1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与¬p互为否定,所 以特称命题的否定就是全称命题. (2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命 题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言 进行描述,这样才能准确判断命题的真假.
提示:(1)正确.命题p与¬p互为否定. (2)正确.特称命题p与其否定¬p一真一假. (3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题,只是对“p(x)”进 行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解 为“同时否定”. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
【知识点拨】 1.对全称命题的否定以及特点的理解 (1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所 有”,所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题,将全称量 词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要, 不能认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即 肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.
类型 一 全称命题的否定与真假判断
【典型例题】
1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是
,这
是
命题(填真、假).
2.写出下列全称命题p的否定,并判断p的否定的真假:
(1)p:∀x>0,x+ 1≥2. x
(2)p:所有矩形的对角线相等.
(3)p:不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根.
【解题探究】1.全称命题的否定是什么命题? 2.全称命题的否定中,如何调整量词与p(x)? 探究提示: 1.全称命题的否定是特称命题. 2.全称量词调整为存在量词,并对p(x)进行否定.
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5.命题“有的实数没有立方根”的否定
为:_真____命题.（填“真”、“假”）
6、写出下列命题的否定：
（1）x R,3x x; ；x∈R，3x＝x
（2） x∈R，sinx＝1；x R, sin x 1;
（3） x∈{-2,-1,0,1,2}，︱x-2︱<2
x {2,1,0,1,2}, x 2 2;
补充：有逻辑联结词的复合命题的否定：
1. p q 的否定：p q 2. p q 的否定：p q
3. p 的否定： p
练习：写出由p、q构成的命题 p或或q 、 p且且 q 形式的命题，并写出命题的否定：
（（3）2）这原个命命题题的的否否定定是是：：不存在有理数 x，使x有2-2的=0人;也不就喝是水：. 对所有有理数x， x2-2≠0.（即： x∈Q， x2-2≠0.） (4)原个命题的否定是： a∈Q，|a|<0.
归纳：通过对上述命题的否定，你发现什 么规律？
二、知新
一般地，我们有： “x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M,p(x)” “x∈M,p(x)”的否定是“x∈M,p(x)”
解：（3）原命题的否定是： “存在平行四边形，它的对边不相等” （4）原命题的否定是：
“ x R, x2 x 1 0 ”
三、巩固应用： 1.命题“所有人都遵纪守法”的否定为（C ）
A.所有人都不遵纪守法；B.有的人遵纪守法；
C.有的人不遵纪守法； D.很多人不遵纪守法。 2.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为
（1） 4 3 (2) p：等腰三角形的两个底角相等， q: 等腰三角形底边上的高和底 边上的中线重合
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所在微信群的群主在群里发起了一个小募捐，他计划为贫困地区儿童捐赠图书，刚好物色到一家不错的书店，有一批书可以很优惠的价格购进。“全凭自愿，每人限捐十元，限定一百人。”他这么 说。大家当然都踊跃捐助，十块钱嘛，不算什么。但就有人提出了异议，认为此举不妥，有“道德绑架”的“逼捐”嫌疑。虽然我也捐了，但我也认为此举不妥，当然，我倒不是认为“逼捐”，那意味 有一丝，但不大。怎么说呢，就事论事来说，这是善举和好事，但评价一个事情，除了就事论事，还有泛化考量的角度。比如说，群主可以为穷孩子读书募捐，那群里的人是否可以为穷人看不起病募捐？ 如果行，那群里将来这种东西可能很多；可如果不行，是否就承认了群主特权，又或者承认了穷孩子读书的权利比穷人的命更重要？当然，我没去纠缠这个，大致点了一下后，就笑着说了：“现在想干 点事挺难的。”确实难，因为评价角度太多了。有些事儿，各自角度不同，结论能差很多，只能说，尽量体谅别人的善意，毕竟，善意这东西，不该被苛责。hg重来。在不同的人心中，会留下一些不同的碎片记忆，然后随着时间的推移，渐行渐少。直到某一天，拥有这些记忆的人，全部离去，那时的人如果再想知道2019年发生了 什么，就只能通过有限的文字和影像。好在，虽然有限，但大致也够用，那总归是几十年后的事儿了，那时的人对几十年前的某一年的那些细节，又能有多大兴趣？人们还是会选择活在当下的，而不是 史书和故纸堆里。活在当下，有时候很难，总有太多对过去的纠结和对未来的的焦虑；有时候却又很容易，只要压力足够大，你根本就没有分神的余地。今天早上去医院开药，因为出差，连续三个星期 错过了那个专家的门诊，这次总算赶上了。“你的脉象有点弱啊。”他跟我说。“年底了，压力大，最近家里的事儿也不太顺。”我笑着回他。“我在上次的方子里换了两味药，你吃吃看。”这位同龄 副主任医师说：“还是代煎？明天有空来取？”我回道：“代煎吧，我家里人可以来取。”
高二数学含有一个量词的命题的否定
含一个量词的命题的否定
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
2021/10/10
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从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题p: xM,p(x)
它的否定 p : x0∈M, ﹁p(x0)
全称命题的否定是特称命题.
2021/10/10
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例1 写出下列全称命题的否定： (1) p: 所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p: 每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.
2021/10/10
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例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2） 若m≥0,则 x2+x－m=0有实数根； （3） 可以被5整除的整数，末位是0； （4） 被8整除的数能被4整除； （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
解：(1)原命题完整表述：对任意的实数x,若x2>4,则x>2.
解：(1) ¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2) ¬p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(3) ¬p:
x0
Z,
x
2 0
的个位数字等于3.
【说明】否定时,不能只是简单的否定结论， 全称命题的否定变成特称命题.
2021/10/10
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探究
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数； x0∈M, p(x0)
2)某 些 平 行 四 边 形 是 菱 形 ； x0∈M, p(x0)
3) x0∈R, x02+1＜0
否定:
x0∈M, p(x0)
1)所有实数的绝对值都不是正数; xM,p(x)
1.4.3含有一个量词的命题的否定
(3)命题的否定：“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”． ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题．
小结 特称命题的否定是全称命题， 写命题的否定时要分别 改变其中的量词和判断词．
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理论迁移
例 3 (1)已知命题 p：“对∀x∈R，∃m∈R，使 4x＋2xm＋ 1＝0”．若命题 p 是假命题，则实数 m 的取值范围是 ______________． (2)已知命题 p：关于 x 的方程 x2＋2x＋5＝k 有解， p 是真 命题，则实数 k 的取值范围是____________．
特称命题的否定
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得 2x＋y＝3.
解
(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正
数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2| ＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)， 若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴实数m的取值范围是(4，＋∞).
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导学案 20 页 练一练
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归纳延伸
1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 2．写含一个量词的命题的否定时，要改变量词和判断词， 并结合命题的实际意义进行表述． 3．根据命题 p 与命题 p 的真假性相反，和方程、不等式结 合，可以解决一些参数范围问题.
(2)命题 p 为假，∴方程 x2＋2x＋5＝k 无解， 又 x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，
高二数学含有一个量词的命题的否定
复习回顾
全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” 符号简记为： x∈M,p(x) 读作：对任意x属于M，有p(x)成立
含有全称量词的命题，叫做全称命题
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为：x∈R ,p(x)
集 合
读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”
共 2）p:每一个四边形的四个顶点公圆； 2 3）p:对任意x Z，x 的个位数字不等于3。
情景二
对于下列命题：
想一想？
存在有理数，使 x 2 0； 有些实数的绝对值是正数。
2
•尝试对上述命题进行否定，你 发现有什么规律？
命题（1）的否定为“并非存在有理数x, 使x 2 2 0” , 即“对所有的有理数x, x 2 2 0” .命题否定后，存在 量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”。
例2写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的；
2）p:x R,x +2x+2=0；
2
巩固训练
小结
含有一个量词的命题的否定
一般地，我们有： “x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)” , “x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)”。
只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可， 如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则 特称命题是假命题
情景一
命题的否定的真假与原来的命题 相反 . 而否命题的真假与原命题 无关 . 设p:“平行四边形是矩形”
(1)命题p是真命题还是假命题 (2)请写出命题p的否定形式 (3)判断¬p的真假
含有一个量词的命题的否定
1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.梳理写全称命题的否定的方法：①更换量词，将全称量词换为存在量词；②将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.梳理写特称命题的否定的方法：①将存在量词改写为全称量词，②将结论否定．(1)特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)对含有一个量词的命题进行否定，先对量词进行否定，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，然后再否定结论即可.类型一全称命题与特称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在x∈N，x2－2x＋1≤0.解(1)非p：存在一个实数m，使得方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故非p为假命题．(2)非p：对任意x∈N，x2－2x＋1>0，显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故非p是假命题．反思与感悟(1)全称命题的否定将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，特称命题的否定是全称命题．(3)对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词．②要注意命题的否定形式不唯一．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1) ¬p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2) ¬q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3) ¬r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4) ¬t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．类型二利用全称命题与特称命题求参数取值范围例2已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x 2<9－m 2在实数集上有解，故9－m 2>0，所以－3<m <3.因为命题“非p ”与“q ”均为真命题，所以m 的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．反思与感悟 利用全称命题、特称命题求参数的范围或求值是一类综合性较强、有一定难度的问题，主要考查这两种命题及其否定的定义．全称命题为真，意味着对限定的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”． 跟踪训练2 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案 －4<m <－2 解析 由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数， (1)若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 必须抛物线开口向下，即m <0. f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3， 则x 1－x 2＝3m ＋3.①当x 1>x 2，即m >－1时，大根x 1＝2m <1，即m <12.②当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4.③当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m <0.(2)若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则满足f (x )＝0的小根小于是－4.①当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解． ②当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2. ③当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立， ∴不满足②.∴满足①②的m 的取值范围是－4<m <－2.1．已知a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是( ) A ．∃x ≤1，log a x >0 B ．∃x >1，log a x ≤0 C ．∀x ≤1，log a x >0 D ．∀x >1，log a x ≤0答案 D解析 a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是“∀x >1，log a x ≤0”．2．已知命题p ：∀x >0，x ＋1x ≥2，则¬ p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x <2B ．∀x ≤0，x ＋1x <2C ．∃x ≤0，x ＋1x <2D ．∃x >0，x ＋1x<2答案 D解析 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得． 3．下列说法不正确的是( )A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减 答案 C解析 A ：若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题，正确；B ：命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”，正确；C ：“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ：α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，正确．故选C.4．命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定是( ) A ．∀x ∈R,3x ≤0 B ．∃x 0∈R,030≥xC ．∃x 0∈R,030xD ．∀x ∈R,3x >0答案 D解析 命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定使“∀x ∈R,3x >0.”5．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如本例，将“≥”否定为“<”． 2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有(n －1)个 小于 不小于 至多有n 个至少有(n ＋1)个任意的 某个 能 不能 所有的某些等于不等于一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则¬ p 是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ≥1 B ．∃x ∈R ，sin x >1 C ．∀x ∈R ，sin x ≥1 D ．∀x ∈R ，sin x >1答案 B解析 所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x ∈R ，sin x >1，故选B. 2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，0122＝，x 则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(¬ q )是真命题D ．(¬ p )∧q 是真命题答案 C解析 由基本不等式知命题p 正确；由0122＝x知，x 0＝－1，故命题q 不正确；利用复合命题的判断方法可知应选C.4．已知命题p ：存在a ∈R ，使函数y ＝x 2＋ax 的定义域为实数集R ，命题q ：不等式x －1x －2≤0的解集为{x |1<x <2}，则下列结论正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真命题 B ．命题“p 且(¬ q )”为真命题 C ．命题“(¬ p )且q ”为真命题 D ．命题“(¬ p )且(¬ q )”为真命题 答案 B解析 根据命题p 得x 2＋ax ≥0，因为Δ＝a 2≥0，故∀a ∈R ，都成立，故命题p 为真命题；由命题q 得{ (x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得1≤x <2，故命题q 为假命题，结合复合命题的真假判断，得到只有B 符合题意，故选B.5．命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C解析 特称命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是：把量词“存在”改为“对任意的”并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选C.6．有命题m ：“∀x 0∈(0，13)，01031()log 2x x <”，命题n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，010031()log 2＝x x x >”． 则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(¬ m )∨n 和p 4：m ∧(¬ n )中，真命题是( ) A ．p 1，p 2，p 3 B ．p 2，p 3，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 2，p 4答案 A解析 当x ∈(0，13)时，13log 1x >，(12)x <1，∴此时131log ()2x x >恒成立，即命题m 为真命题，作出函数13log ＝，y x y ＝(12)x ，y ＝x 的图象如图，则由图象可知∃x 0∈(0，＋∞)，满足010031log ()2＝，x x x 故命题n 为真命题，则m ∨n ，m ∧n ，(¬ m )∨n 为真命题，m ∧(¬ n )为假命题，故p 1，p 2，p 3为真命题，故选A. 7．下列命题正确的是( )(1)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＝1，则¬ p 是：∃x ∈R,2x ≠1；(2)设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；(3)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为23；(4)“a >0，b >0”是“a b ＋ba ≥2”的充分不必要条件．A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)答案 D解析 ¬ p 为∀x ∈R,2x ≠1，故(1)错误；若m ∥l ，且m ∥α，则l 可能在α内或l ∥α，故(2)错误；由3a －1>0得，a >13，即事件“3a －1>0”发生的概率为23，故(3)正确；a b ＋ba ≥2⇔ab >0，故(4)正确．所以选D. 二、填空题8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“¬ p ”是________． 答案3∈(∁U A )∩(∁U B )解析 p ：3∈A 或3∈B ，所以¬ p ：3∉A 且3∉B, 即¬ p ：3∈(∁U A )∩(∁U B )．10．对∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (10，＋∞)解析 已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈[12，4]，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于∀t ∈[12，4]，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈[12，4]时，y max ＝10，所以只需a >10即可，即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)． 三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，∴非p 是假命题．(2)非q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0， ∴非r 是真命题．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并求出m 的取值范围； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4. (2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)， 若存在实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4， ∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，{ f (－1)≤0，f (1)≤0，即{ 4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32.。
含有一个量词的命题的否定 课件
知识点1 全称命题的否定 全称命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：__∃_x_0_∈__M__，__綈__p_(x_0_)___.
【预习评价】 已知命题p：∀x＞2，(x＋2)(x－1)＞0，则綈p是_____________. 答案 ∃x0＞2，(x＋2)(x－1)≤0.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式 m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞). 规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后 推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x， a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立， 只需a>f(x)min.
题型一 全称命题的否定 【例1】 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的 对边不都平行. (2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项 不是偶数. (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯 一或不存在. (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
【训练】 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； (2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范 围. (1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，且－9＜0， ∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
高中数学《含有一个量词的命题的否定》课件
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(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题 解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为 真命题解决．
3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书 写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.
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1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是( ) A．∀x∈R,3x≤0 B．∃x0∈R, 3x0≥0 C．∃x0∈R,3x0>0 D．∀x∈R,3x>0 答案 D
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答案
探究 2 特称命题的否定 例 2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p：有一个奇数不能被 3 整除； (2)p：有些三角形的三个内角都是 60°； (3)p：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ； (4)p：∃x0∈R，x20＋4x0＋6≤0.
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[解] (1)p 是假命题，由 x∈0，π2得 sinx∈(0,1)， sinx＋si1nx≥2 sinx·si1nx＝2，当且仅当 sinx＝1 时等号成立，故等号不 成立． 綈 p：∃x0∈0，2π，sinx0＋sin1x0<2.
高二数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定
1.4.3含有一个量词的命题的否定【自主学习】含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p ：x M ∀∈，p (x )，它的否定非p ： ，全称命题的否定是 命题．(2)特称命题p ：0x M ∃∈，p (x 0)，它的否定非p ：，特称命题的否定是 命题．【自主检测】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并对其否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x R ∀∈, x 2－2x ＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃ x ∈R, x 2＋1＜0. 【典型例题】例1写出下列全称命题的否定1．p ：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x ∈Z, x 2的个位数不是奇数.例2写出下列特称命题的否定（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++≤；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个因数.例3写出下列命题的否定，并判断它们的真假（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++=；（2）p ：任意两个等边三角形都是相似的.【课堂检测】1.写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解．(4)某些平行四边形是菱形；(5)∃x 0∈R ，x 20＋1<0；※2.函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 上恒成立时，求a 的取值范围．。
含有一个量词的命题的否定
1．4.3含有一个量词的命题的否定1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．2．能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．含有一个量词的命题的否定p 命题p 结论全称命题∀x∈M，p(x)∃x0∈M，命题p(x0)全称命题的否定是特称命题特称命题∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，命题p(x)特称命题的否定是全称命题1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题命题p的否定是p.()(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，命题p(x)的真假性相反．()(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()答案：(1)√(2)√(3)×2．(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则命题p 为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案：C3．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是()A．命题p：∃x0∈R，sin x0≥1B．命题p：∀x∈R，sin x≥1C．命题p：∃x0∈R，sin x0＞1D．命题p：∀x∈R，sin x＞1答案：C4．命题p：“∃x0∈R，x20＋1＜2x0”的否定命题p：________；命题p为________命题(填“真”“假”)．答案：∀x∈R，x2＋1≥2x真探究点一全称命题的否定写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：一切分数都是有理数；(2)p：任何一个平行四边形的对边都平行．[解](1)命题p：存在一个分数不是有理数，假命题．(2)命题p：存在一个平行四边形的对边不都平行，假命题．(1)对全称命题否定的两个步骤①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．②否定性质：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．(2)全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可.1.写出下列全称命题的否定．(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解：(1)命题p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)命题p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)命题p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.探究点二特称命题的否定写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1＜0；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.[解](1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于四条边相等的平行四边形是菱形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x20＋1＜0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．本例(2)改为“某些菱形是平行四边形”，写出该命题的否定并判断其否定的真假．解：命题的否定是“没有一个菱形是平行四边形”，即“每一个菱形都不是平行四边形”，由于菱形是平行四边形，所以该命题的否定为假命题．(1)对特称命题否定的两个步骤①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．②否定性质：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．(2)特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可.2.写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．(1)存在x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0；(2)若a n ＝－2n ＋1，则存在n 0∈N *，使Sn 0<0；(3)有些平行四边形不是矩形．解：(1)任意x >1，x 2－2x －3≠0，假命题．(2)若a n ＝－2n ＋1，则任意n ∈N *，S n ≥0，假命题．(3)所有的平行四边形都是矩形，假命题．探究点三 特称命题、全称命题的综合应用已知命题p ：“至少存在一个实数x ∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．[解] 由已知得命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立． 所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， 因为命题p 为假，所以a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.3.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.若存在一个实数x0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围．解：不等式m －f (x 0)＞0可化为m ＞f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m ＞f (x 0)成立，只需m ＞f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m＞4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．对含有一个量词的命题的否定要注意的问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是() A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选 B.量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.2．(2015·高考浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0解析：选 D.写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．3．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，命题p：___________________________________________________________ _____________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p是假命题，命题p是真命题．答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0真4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定．(1)p：对任意的x∈R，cos x≤1都成立；(2)q：∃x0∈R，x0＋1>3x0；(3)s：有些三角形是锐角三角形．解：(1)由于命题中含全称量词“任意”，所以是全称命题，因此其否定为特称命题，所以命题p：∃x0∈R，使cos x0>1成立．(2)由于“∃x0∈R”表示至少存在实数中的一个x0，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，为特称命题，因此其否定为：命题q：对任意一个x，都有x2＋1≤3x，即∀x∈R，x2＋1≤3x.(3)为特称命题，把存在量词改为全称量词，并把结论否定，故命题s：所有的三角形都不是锐角三角形．[A基础达标]1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：选C.∀x∈R，|x|＋x2≥0的否定是∃x0∈R，|x0|＋x20<0.故选C.2．命题“存在x0∈R，使得e x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R，使得e x0>0B．对任意x∈R，e x>0C．对任意x∈R，e x≤0D．存在x0∈R，使得e x0>0解析：选 B.命题“存在x0∈R，使得e x0≤0”的否定是对任意x∈R，e x>0.3．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：所有质数都是奇数；命题p：存在一个质数不是奇数B．p：有些矩形是正方形；命题p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；命题p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋x0＋2≤0；命题p：∀x∈R，x2＋x＋2＞0 解析：选 C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．4．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()A．a＜1 B．a≤1C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1解析：选A.当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.5．已知函数f(x)＝|2－1|，若命题“∃x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，使得f(x1)＞f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是() A．a≥0 B．a＜0C．b≤0 D．b＞1解析：选B.函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．由图可知f(x)在(－∞，0]上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，所以要满足∃x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，使得f(x1)＞f(x2)为真命题，则必有a＜0，故选B.6．命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是________．解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”．答案：有些长方体不是四棱柱7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．若∃x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，则a的取值范围为________．解析：∃x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x2－ax ＋1>0为真命题．需Δ＝(－a)2－4<0，即a2－4<0，解得－2<a<2，故a的取值范围为(－2，2)．答案：(－2，2)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x0，y0∈Z，3x0－4y0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为∀x，y∈Z，3x－4y≠20.(3)真命题．命题的否定为在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为有的正数的绝对值不是它本身．10．命题p 是“对某些实数x ，有x －a ＞0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：(1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b ＞0的解集不为空集，通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b ＜a .[B 能力提升]1．已知命题p ：∀b ∈[0，＋∞)，f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为增函数，命题q ：∃x 0∈Z ，使log 2x 0>0，则下列命题为真命题的是( )A ．(命题p )∨(命题q )B ．(命题p )∧(命题q )C ．p ∧(命题q )D ．p ∨(命题q )解析：选D.f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋c －b 24， 对称轴为x ＝－b 2≤0，所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，命题p 为真命题． 令x 0＝4∈Z ，则log 2 x 0＝2>0，所以命题q 是真命题，命题q 为假命题，p ∨(命题q )为真命题．2．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0.则下列结论中正确的是________．①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(命题q )”是真命题；③命题“(命题p )∧q ”是真命题；④命题“(命题p )∨(命题q )”是假命题．解析：a ＝1⇒x ＋a x ＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，显然a ＝2时也能推出“∀x >0，x ＋a x ≥2”成立，所以“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充分不必要条件，故p 是假命题，而q 是真命题，故③正确．答案：③3．已知命题p：∀x∈R，4－2＋＋m＝0.若命题p是假命题，求实数m的取值范围．解：因为命题p是假命题，所以p是真命题．也就是说∀x∈R，有m＝－(4x－2x＋1)，即m＝－(4x－2x＋1)(x∈R)．令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1，所以对任意x∈R，f(x)≤1.所以m的取值范围是m≤1.4．(选做题)已知命题p：∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，命题q是真命题，求a的取值范围．解：根据p或q是真命题，命题q是真命题，得p是真命题，q 是假命题．因为m∈[－1，1]，所以m2＋8∈[22，3]．因为∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8，所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0，所以Δ＝a2－8>0，所以a>22或a<－22，从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－22≤a≤－1.。
含有一个量词的命题的否定
A．不存在x0∈R，x －x ＋1≤0B．存在x0∈R，x －x ＋1≥0
C．存在x0∈R，x －x ＋1>0D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0
4．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“ p”形式的命题是()
A．∃m0∈R，使得方程x2＋m0x＋1＝0无实根
(1)全称命题的否定是；(2)特称命题的否定是.
二．课中研学：
例1：判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形．
(2)不论m取何实数，方程 ＋2 － ＝0都有实数根．
(3)∀a，b∈R，方程 ＝ 都有惟一解．
(4)每个三角形至少有两个锐角．
例2：写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
[提醒]无量词的全称命题要先补回量词再否定
三．达标训练：
1.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数；(2)任何一个平行四边形的对边都平行；
(3)∀x∈R，都有|x|＝x；(4)每个二次函数的图象都开口向下．
2. 写出下列命题的否定：
(1)矩形的四个角都是直角；(2)所有的方程都有实数解；
课题
1.4.3含有一个量词的命题的否定
课型
专题课
学习目标
知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
学习重点
对含有一个量词的命题进行否定．
学习难点
对量词的否定词的理解．
学习方法和手段
小黑板
1．含有一个量词的
全称命题的否定¬p
特称命题p
特称命题的否定¬p
2.重要结论
(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；
含有一个量词的命题的否定
3.全称量词命题和存在量词命题
全称量词命题：
（1）基本形式： x M , p( x)
（2）意义：对任意x属于M，有p(x)成立 （3）真假性的判断：
存在量词命题：
（1）基本形式： x0 M , p( x0 )
（2）意义：存在x0属于M，使p(x0 )成立 （3）真假性的判断：
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
跟踪训练 4
关于 x 的不等式 x2 ax 2 0 至少有一解在区间1,2 内，则
常数 a 的取值范围是
．
解：原命题的否定： x 1, 2,使g(x)= x2 ax 2 0 恒成立
g(1) 0
g
(2)
0
3 6
a0 2a 0
a
（3）∀x∈R，x2＋1≥0.
研探习究二2 如存何在写量出词存命在题量的词否命定题的否定
思考2 存在量词命题的否定有什么特点？
存在量词命题p :
的否定p :
x0 M , p(x0 ) x M ,p( x)
存在量词命题的否定是全称量词命题．
研探习究二2 如存何在写量出词存命在题量的词否命定题的否定
∴p≥32或 p≤－3.
故 p 的取值范围是－3<p<32.
研探习究三3 全全称称量量词词命命题题、、存特在称量量词词命命题题的的综综合合应应用用
反思 对于存在量词命题，若正面情况较繁，可考虑 正难则反,求其否定，再求集合的补集即可．
研探习究三3 全全称称量量词词命命题题、、存特在称量量词词命命题题的的综综合合应应用用
取值范围是 (a,) ，则 a
．
解： x R, x2 2x m 0 为真 V=4 4m 0 m 1a 1
高二数学含有一个量词的命题的否定
新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞
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1 写出下列全称命题的否定：
(1) n Z，n Q；
n Z，n Q；
(2)任意素数都是奇数； 存在一个素数，它不是奇数．
(3)每个指数函数都是单调函数．
存在一个指数函数，它不是单调函数．
探究2：写出下列命题的否定：
(1)有些实数的绝对值是正数；
比较
否定：不存在绝对值是正数的实数，
也就是说， 所有实数的绝对值都不是正数．
(3)p： x R，x2 2x 2 0．
p： x R，x2 2x 2 0．
2 写出下列特称命题的否定：
(1)有些三角形是直角三角形； 所有三角形都不是直角三角形．
(2)有些梯形是等腰梯形； 所有梯形都不是等腰梯形．
(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数．
所有实数的绝对值都是正数．
全称命题的否定是特称命题；特称 命题的否定是全称命题．
全称命题的否定是特称命题
1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被３整除的整数都是奇数； p：存在一个能被３整除的整数不是奇数． (2)p：每一个四边形的四个顶点共圆 ； p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)p：x Z，x2 的个位数字不等于３．
p： x Z，x2 的个位数字等于３．
任意一个平行四边形都不是菱形．
(3)x Ｒ，x2 1 0．
x R，x2 1 0． 特称命题p: x M , p(x) 它的否定p: x M ,p(x)
特称命题的否定是全称命题
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听父亲说，兰草喜阴畏阳，常常生长在通风背阳的幽谷山岩中，现在野生的不多了。而这里居然生长着，真是“养在深闺人不知”呢。发现它，是我的幸运；看见它，是我的幸福；感受它，是我的 欣慰。
这时，飘来了缕缕幽香，淡淡的，是一种纯自然的味道，没有掺杂任何俗尘，如游丝在空中浮动，像魔杖一样一下子驱赶走我的疲倦和劳累。六福彩票网址
顺着幽香飘来的方向寻找，沿着如鱼背一样的山脊向山谷缓缓走去。一路芳草鲜美，百卉铺陈，琳琅满目，令人陶醉。桃花红，梨花白，莺儿啼，燕儿舞，蝶儿忙，蜻蜓飞，知了鸣。杨树挺拔，枝 叶纷披，柳树婆娑，枝条婀娜。
我来到湛蓝色的水潭边，只见溪流形成小瀑布，从高处飞溅而下，细玉碎珠，訇然泻落在潭里。阳光映照在水花上，呈现出一道彩虹，鲜艳夺目，缤纷耀眼。这时阵阵幽香更加扑面而来，似乎就来 自附近。
我聚精会神苦苦地寻找着、探索着、盼望着。蓦然，奇迹发生了。当目光扫视停留在瀑布后面、水帘内侧的崖石上，看见苔藓中有八九棵兰草。原来这荡我心魂的芬芳，这引我来到山谷探寻的ห้องสมุดไป่ตู้香， 就来自它们！我怦然心动，欣喜若狂，心潮澎湃，为之倾倒。