第5章现代控制技术

计算机控制技术Computer Controlled System 中南大学信息科学与工程学院

袁艳

2006年2月24日

第五章　现代控制技术　5.1 采用状态空间的输出反馈设计法　5.2 采用状态空间的极点配置设计法　5.3 采用状态空间的最优化设计法（自学）

在连续控制系统中，状态空间分析法是分析、设计系统的有力工具，它解决了频率特性法解决不了的问题，如多变量问题、时变问题等。计算机的广泛普及和应用为状态空间分析法提供了有力的手段。对于离散系统同样可以用离散状态空间分析法来研究和分析。

　1、离散状态空间分析法较之Z变换法至少有以下的优点

　(1) 离散状态空间表达式适宜于计算机求解和分析；

　(2) 离散状态空间分析法不仅适用于SISO系统，也适用于MIMO系统，在各种情况下系统模型有统一的形式；

　(3) 离散状态空间分析法能够应用于非线性系统和时变系统的分析与设计；

　(4) 有利于采用现代分析的方法，如优化方法实现控制系统的设计。

　2、基于状态空间模型设计控制系统的方法

　主要有两类：

(1) 按极点配置的设计方法，包括按极点

配置设计控制规律和观测器两方面。

(2) 最优设计方法，包括最优控制和最优

估计两个方面，即通常所称LQG（Linear Quadratic Gaussian）设计问题。

　本章主要学习第一种方法。

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5.1　采用状态空间的输出反馈设计法5.1.1 连续状态方程的离散化

5.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件

5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤

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5.1.1　连续状态方程的离散化

　1、连续控制对象的模型（线性定常系统）

x 为n 状态向量；u 为r 维控制向量；y 为m 维输

出向量。

A 为n °n 维状态矩阵；

B 为n °r 维控制矩阵；

C 为m °n 维输出矩阵；

D 是m °r 维矩阵，称为直

传矩阵或传输矩阵。

⎩⎨⎧+=+=Du

Cx y Bu Ax x &

即为线性连续模型的等效离散状态空间表达式。

)

()()()()()()

()()1()

()()1(0)1()(k Du k Cx k y k

t t Du t Cx t y dtB e G e F k Gu k Fx k x T kT t k u Bd e k x e k x T At

AT T

k kT T kT A AT +=→⇒+===+=+−+=+=+∫∫+−+，式中：，则

令τττ

　式(1)称为状态方程，式(2)称为输出方程。

　F 是n °n 维矩阵，称为状态矩阵或系统矩阵。

　G 是n °r 维矩阵，称为控制矩阵或驱动矩阵。

　C 是m °n 维矩阵，称为输出矩阵。

　D 是m °r 维矩阵，称为直传矩阵或传输矩阵。

　线性离散系统的状态变量图如图5.1所示。⎩⎨⎧+=+=+）（）（2)

()()(1)()()1(k Du k Cx k y k Gu k Fx k x

图5.1 线性离散系统的状态变量图

　2、线性离散系统离散状态方程的求解

线性离散系统离散状态方程是由高阶差分方

程化为一阶差分方程得到的，所以求解差分方程

的方法可以适用于求解离散状态方程。通常离散

状态方程的求解方法有迭代法和z 变换法。

　(1)迭代法

设线性离散系统的离散状态空间表达式为

初始值x (0)、u (0)。

⎩⎨⎧+=+=+）（）（2)

()()(1)()()1(k Du k Cx k y k Gu k Fx k x

用迭代法求解离散状态方程只能得到有限

项时间序列，得不到状态变量和输出变量的数

学解析式。

)

()0()()

2()1()0()0()3()

1()0()0()1()1()2()

0()0()1(101232j Gu F x F k x Gu FGu Gu F x F x Gu FGu x F Gu Fx x Gu Fx x k j j k k

∑−=−−+=+++=++=+=+=M

　例1 用迭代法求解线性离散系统的状态方程

　解：令k =0,1,2,…及初始条件代入离散状态空

间表达式，可以得到

[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧<≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=+0001)(,11)0()0()0()(10)()(10)(3.04.010)1(21k k k u x x x k x k y k u k x k x

[][][][][][]M

327.1327.169.010)3(327.169.011069.03.03.04.010)3(69.069.03.010)2(69.03.01103.013.04.010)2(3.03.0110)1(3.01110113.04.010)1(=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=y x y x y x

　(2)Z 变换法

设线性离散系统的状态空间表达式为

对式(1)作z 变换，可得

⎩

⎨⎧+=+=+）（）（2)()()(1)()()1(k Du k Cx k y k Gu k Fx k x )]()0([)()()

()()0()(1z GU zx F zI z X z GU z FX zx z zX +−=+=−−