数值计算B答案

山 西 师 范 大 学 2012——2013 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 试 题 （卷）
密 封 线 密 封 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 密 封 线
121()(2)1()k k
k k k k k k k
a
f x x x x x x ax f x x +-=-=-=-'- (4分)
(2). 取函数2
1()0f x a x =
-=
，故*
x =是()0f x =的根， 又32
()f x x
'=-
，从而迭代格式为 （6） 2
13333
21()2()11()(3)0.5(3)
22
k k
k k k k k
k k k k k k k a f x x
x x x f x x x x a x ax x ax x +-=-=-'-=+-=-=- （10）
2. (8分) 求一个次数3≤的多项式3()P x ，使它满足插值条件
3333(1)2,(2)4,(3)12,(2)3P P P P '====.
解： 先构造满足333(1)2,(2)4,(3)12P P P ===的插值多项式2()P x ，有牛顿插值法得
22()376P x x x =-+ （3分）
设32()()(1)(2)(3)P x P x a x x x =+--- （4分） 在利用导数条件得
32(2)(2)(21)(23)53P P a a ''=+--=-=得 2a = （6分）
故 32
3()29156P x x x x =-+- . （8分）
3．(8分) 用追赶法解方程组123421001112202201
10022
201
2x x x x ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
.
解： 求系数 123127
,,,2726βββ=
== （4分） 追的过程：12341111
,,,4145290y y y y =-==-= （6分）
赶的过程 432111713
,,,90459045
x x x x ==-==- （8分）
4、（8分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公
式所具有的代数精度。

)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h
h
++-≈--⎰
.
解：分别取2
,,1)(x x x f =代入得到：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧==+⋅+-==+⋅+-==++⎰⎰⎰------3
2212021101101320)(0
0)(21h dx x h A A h A xdx h A A h A h dx A A A h h h h h h ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==++---h A A A A h
A A A 3121111101，（2分） 解得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧===-h A h A h A 613261101（4分）
又因为当3
)(x x f =时，⎰--==+-
=+⋅+-h h dx x h h h A A h A 33
43
1303106
1610)(；（6分）
当4)(x x f =时，⎰--=≠=+=+⋅+-h h dx x h h h h h A A h A 4
5555414041523161610)(；
从而此求积公式最高具有3次代数精度。

（8分） 5. (8分) 设m n
P R
⨯∈，且(),rank P n =又设
x 为m R 上一向量范数，若定义
Px x
p
=。

试验证p x 是n R 上的一个向量范数。

解：n x R ∀∈,故m Px R ∈ (1)0P
x
Px =≥，由x 为m R 上一向量范数，知0Px =当且仅当0Px =，又
(),rank P n =故当且仅当0x = （3分）
（2）c R ∀∈，P
P cx Pcx cPx c Px c x ====
（5分） （3）()P
P P x y
P x y Px Py Px Py x y +=+=+≤+=+， （7分）
从而p x 是n R 上一个向量范数。

（8分）
6. (8分) 已知微分方程初值问题0
(,),[,]
()y f x y x a b y a y '=∈⎧⎨
=⎩
（1）给出求解该微分方程初值问题的梯形公式.
（2）由梯形公式求梯形方法的绝对稳定域，并指出在复平面上绝对稳定域的图形. 解：(1)111[(,)(,)]2
i i i i i i h
y y f x y f x y +++=++,0,1,...1i n =- （2分） (2)
对试验方程y y λ'=，由梯形公式知：
111[(,)(,)]2i i i i i i h
y y f x y f x y +++=++
1[]2
i i i h
y y y λλ+=++
1[]2
i i i h
y y y +=++% （4分）
故：
1(1)
2(1)
2
i i h y y
h
++=-%% 所以梯形方法的绝对稳定域为
12112
h h +
≤-%%，即 22h h +≤-%% （6分） 复平面上图形为： 复平面的左半平面. (8分) 四. (10分)程序题：阅读下述matlab 程序，回答问题.
（1） G-S 迭代（高斯-赛德尔迭代） （ 2分） （2） (D-L)\b; （4分） （3） x0=y; （6分） (4) A=[10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10];
b=[9; 7;6]; (8分) diedaifa(A,b,[0; 0; 0]) （10分）
答案仅供参考 其他方法酌情给分。