2017年安徽省数学试题卷(定心)

2017年安徽省数学试题卷（定心）注意事项：1. 你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3. 请务必在“答题卷．．．”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.－2的相反数是A. －2B. 2C. 12 D. －122.计算12－ 3 的结果是A. 3B. 2C. 3D. 63.下列运算正确的是A. a5－a3＝a2B. a6÷a2＝a3C. (－2a)3＝－8a3D. 2a－2＝1 2a24.如图是由五个相同的小正方块搭成的几何体，其左视图是第4题图5.如图，已知a∥b, ∠1＝120°，∠2＝90°，则∠3的度数是A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°第5题图6. 安徽省把扶贫开发工作纳入“四个全面”战略布局并着力持续推进．据统计，2014年的全省贫困人口约484万，截止2016年底，全省贫困人口约210万，设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，则下列方程正确的是A. 484(1－2x )＝210B. 484x 2＝210C. 484(1－x )2＝210D. 484(1－x )＋484(1－x )2＝2107. 甲同学非常爱读书，他制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是A. 12B. 13C. 14D. 168. 如图，在平面直角坐标系中，点P 是反比例函数y ＝2x (x >0)图象上一点，过点P作垂线，与x 轴交于点Q ，直线PQ 交反比例函数y ＝k x (k ≠0)于点M ，若PQ ＝4M Q ，则k 的值为第8题图A. ±2B. 12C. －12D. ±129. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边上的任意一点(不与点B 、C 重合)，连接AE ，∠BAE 的平分线交BC 于点P ，过P 作PF ⊥AE 于点F ，∠FPE 的平分线交DC 于点Q ，设PF ＝x ，CQ ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是第9题图10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，D 点是△ABC 所在平面上的一个动点，且∠BDC ＝60°，则△DBC 面积的最大值是第10题图 A. 3 3 B. 3 C. 3 D. 2 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11. 据安徽省统计局调查结果显示，2016年安徽省全年共生产智能手机约6480000台．其中6480000用科学记数法表示为________．12. 若a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，且a －b ＋4＝c －2b ，则c 的值是________．13. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上的点，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点B 的对应点F 正好落在边CD 上，已知AB ＝5，BC ＝4，则线段BE 的长为________．第13题图14. 将1，－12，13，－14，15，－16，…，按一定规律排列如下：第1行 1第2行 －12 13第3行 －14 15 －16第4行 17 －18 19 －110第5行 111 －112 113 －114 115…那么第20行中自左向右排列最后一个数是________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15. 先化简，再求值：(a ＋1－2a a )÷1－a 2a ，其中a ＝－3.16. 解不等式组⎩⎨⎧3x －1<2（x ＋1）x 2＋1≥x，并将解集在数轴上表示出来.第16题图四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了格点△ABC (顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到的△A 1B 1C 1；(2)若平移后的△ABC 与△A ′B ′C ′成轴对称，请画出一种平移后的图形△A 2B 2C 2，并写出平移方法．第17题图18.巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学欲测量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地点A、B、C，并测得B、C两地直线距离为40 k m，∠A＝45°，∠B＝30°，求巢湖东西向长度AB.(结果精确到0.1 k m，参考数据：3≈1.73)第18题图五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)已知AC＝210，EB＝4CE，求⊙O的直径．第19题图20.“共享单车·绿色出行”，现如今骑共享单车出行不但成为一种时尚，也成为共享经济的一种新形态．某校九(1)班同学在街头随机调查了一些骑共享单车出行的市民，并将他们对各种品牌单车的选择情况绘制成如下两个不完整的统计图(A：摩拜单车；B：ofo单车；C：HelloBike；D：酷骑；E：骑呗)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：第20题图1第20题图2(1)求出本次参与调查的市民人数；(2)将上面的条形图补充完整；(3)若某区有10000名市民骑共享单车出行，根据调查数据估计该区有多少名市民选择骑摩拜单车出行？六、(本题满分12分)21.甲、乙相约去离家2000 m的公园晨练，甲先出发一直匀速前行，乙后出发．如图是甲和乙所走的路程s(m)与时间t(min)的函数图象．(1)求乙所走路程s与时间t的函数关系式；(2)在速度不变的情况下，乙希望和甲同时到达公园，则乙在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？第21题图七、(本题满分12分)22. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象经过点A (－2，0)与点B (4，0)，直线l 为二次函数图象的对称轴．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P 为对称轴上一动点，求△P AC 周长的最小值；(3)若点M 为x 轴正半轴上一动点，在二次函数图象上是否存在一点N ，使以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第22题图八、(本题满分14分)23. 如图1，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°.点D 是AC 的中点，连接BD ，过点C 作CE 平分∠ACB ，交BD 于点E ，点F 在AB 上且∠ACF ＝∠CBD .(1)求证：CF ＝BE ；(2)如图2，过点A 作AG ⊥AB 交BD 的延长线于点G .①若DG ＝2，求CF 的长；②设CF 交BD 于点H ，求HE AG 的值．第23题图1第23题图22017年安徽省数学试题卷（定心）参考答案1. B【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，－2的相反数为2.2. C【解析】12－3＝23－3＝3.3. C【解析】×××4. A【解析】左视图是从左向右看得到的图形，该几何体的左视图为.5.D【解析】如答图1，∵a∥b，∴∠4＝180°－∠1＝180°－120°＝60°，∴∠3＝∠4＋90°＝60°＋90°＝150°.第5题答图1【一题多解】①如答图2，∠4＝180°－∠1＝180°－120°＝60°，∠5＝90°－∠4＝90°－60°＝30°.∵a∥b，∴∠3＝180°－∠5＝180°－30°＝150°.第5题答图2②如答图3，作直线c∥a∥b，且过∠2顶点，∵a∥c，∴∠4＝180°－∠1＝180°－120°＝60°，∴∠5＝90°－∠4＝90°－60°＝30°，又∵b∥c，∴∠3＝180°－∠5＝180°－30°＝150°.第5题答图3③如答图4，作直线c⊥a，c⊥b，且过∠2顶点，∵a⊥c，∴∠4＝∠1－90°＝120°－90°＝30°，∴∠5＝90°－∠4＝90°－30°＝60°，∴∠3＝90°＋∠5＝90°＋60°＝150°.第5题答图46. C【解析】设这两年全省贫困人口年平均下降率为x，则2015年的全省贫困人口约484(1－x)万，2016年的全省贫困人口约484(1－x)2万，可列方程484(1－x)2＝210 .7. B【解析】书的名称分别记为A、B，对应的作者姓名记为a、b，所有可能的结果列表如下：共有12种等可能结果，其中书的名称和作者姓名相对应的有4种，∴书的名称和作者姓名相对应的概率P ＝412＝13.8. D 【解析】如答图，当点M 在第一象限时，由反比例函数k 的几何意义得PQ ·OQ＝2，QM ·OQ ＝k ，∴PQ·OQ QM·OQ ＝4MQ MQ ＝4＝2k ，解得k ＝12；当点M 在第四象限时，有PQ·OQ QM·OQ＝4MQ MQ ＝4＝2－k，解得k ＝－12.第8题答图9. 【破题关键点】解决本题的关键在于根据角平分线的性质得到PB ＝PF 及∠APQ ＝90°.C 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，PF ⊥AE ，∴∠B ＝∠AFP ＝90°，∵AP 平分∠BAE ，∴∠BAP ＝∠F AP ，又∵AP ＝AP ，∴△ABP ≌△AFP ，∴∠APB ＝∠APF ，PB ＝PF ，又∵PQ 平分∠FPE ，∴∠EPQ ＝∠FPQ ，∴∠APQ ＝12×180°＝90°，∠APB＋∠QPC ＝90°，又∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠QPC ＝∠BAP ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△ABP ∽△PCQ ，∴AB PC ＝BP CQ ，BP ＝PF ＝x ，PC ＝2－x ，AB ＝2，CQ ＝y ，∴22－x＝x y ，∴y ＝12x (2－x )＝－12(x －1)2＋12(0＜x ＜2)．【题以类解】对于分析动点问题判断函数图象的题目，一般有两种类型：(1)观察型(函数的图象有明显的增减性差异)：根据题目描述，只需确定函数值在每段函数图象上随着自变量的增减情况或变化的快慢即可求解．①当函数值随着自变量增大而增大时，函数图象呈上升趋势，反之则下降；②当自变量增大，函数值不变时，则此部分的图象与x轴平行；③当自变量不变而函数值变化时，对应图象用垂线段表示；(2)计算型：先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再求出每段函数的解析式，最后由每段函数的解析式确定每段函数图象的形状．10.【破题关键点】解决本题的关键在于根据圆周角定理得到点D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上．A【解析】如答图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB ＝AC＝2，BC＝23，∴AE＝1，∠BAC＝120°，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，∴2∠BDC＝∠BAC，∴点D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，BC一定，要使△DBC的面积取最大值，即DF过圆心A，此时DF＝2＋1＝3.∴S最大△DBC＝12·BC·DF＝12×23×3＝3 3.第10题答图11. 6.48×106【解析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为原数的整数位数减1，6480000有7位，故n＝7－1＝6，6480000＝6.48×106.12.14【解析】∵a∶b∶c＝2∶3∶7，设a＝2k，b＝3k，c＝7k，∵a－b＋4＝c －2b，∴2k－3k＋4＝7k－2×3k，解得k＝2，∴c＝7k＝7×2＝14.13.52【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝5，∵△AEF是由△AEB折叠而得，∴△AEF≌△AEB，∴BE＝EF，AF＝AB＝5，∴DF ＝AF 2－AD 2＝52－42＝3 ，∴CF ＝5－3＝2，∵EF ＝BE ＝4－EC ，在Rt △ECF中，EC 2＋CF 2＝EF 2，即EC 2＋4＝(4－EC )2，解得EC ＝32，∴BE ＝BC －EC ＝4－32＝52. 14. －1210 【解析】观察数列，按顺序依次是1，－12，13，－14，15，－16，…，分母分别为1，2，3，4，5，6，…，并且当分母为奇数时为正数，分母为偶数时为负数，排列时每一行均比上一行多出一个数字，即第n 行共有n 个数，第20行最后一个数的分母为1＋2＋…＋20＝210，210是偶数，所以取负数，应为－1210.【题以类解】解决此类问题，要注意以下几点：(1)按规律排列这些数，寻找不变的量和变化的量，并研究变化的量如何变化；(2)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(3)用题中所给数据验证规律的正确性；(4)将所求的数代入规律计算结果．15. 【思维教练】先计算括号里面的，对加法进行通分，再将除法变乘法，约分，化成最简形式后将所给数值代入计算．解：原式＝a 2－2a ＋1a÷1－a 2a ＝（a －1）2a ·a（1－a ）（1＋a ）＝1－a 1＋a， 当a ＝－3时，原式＝1－a 1＋a ＝1－（－3）1＋（－3）＝－42＝－2. 【题以类解】对于此类问题，有括号要先计算括号里面的，没有括号时先计算乘除，后计算加减，能化简或约分的要进行化简或约分，化成最简形式后再代入所给数值计算．16. 【思维教练】分别解每一个不等式，确定出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来．解：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<2（x ＋1） ①x 2＋1≥x ②， 由①得：x <3，由②得：x ≤2,故不等式组的解集为x ≤2.在数轴上表示为：第16题答图【题以类解】解决此类问题时要先分别解每一个不等式，然后根据同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小取不了确定出不等式组的解集．在数轴上表示时，“≤”、“≥”用实心圆点表示，“<”、“>”用空心圆圈表示．17. (1)【思维教练】根据旋转不改变图形的形状和大小，可知B 1C 1＝BC ，再根据∠CBC 1＝90°即可确定点C 1的位置；同理可确定点A 1的位置，点B 1和点B 在同一位置，顺次连接A 1、B 1、C 1即为△A 1B 1C 1.解：旋转后的图形△A 1B 1C 1如答图所示；(2)【思维教练】在网格中，要作△A ′B ′C ′的轴对称图形，首先要确定对称轴，由于平移距离没有确定，故可以任选一条竖直的直线作为对称轴，再平移△ABC 使之与△A ′B ′C ′的对称图形完全重合即可．解：△A 2B 2C 2如答图所示(答案不唯一)．平移方法：将△ABC 先向下平移6个单位，再向右平移3个单位．第17题答图18. 【思维教练】要求AB 的长，由已知∠B ＝30°和BC ＝40，考虑构造直角三角形解决问题，作CD ⊥AB ，利用30°角的三角函数值可求出CD 和BD 的值，又由∠A ＝45°得AD ＝DC ，再根据AB ＝AD ＋DB 求解即可．第18题答图解：如答图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠BDC ＝90°，∵在Rt △BDC 中，∠B ＝30°，BC ＝40，∴CD ＝BC ·sin B ＝40×12＝20，BD ＝BC ·cos B ＝40×32＝203，∵在Rt △ADC 中，∠A ＝45°，CD ＝20，∴AD ＝CD ＝20，∴AB ＝AD ＋BD ＝20＋203≈54.6 ，答：巢湖东西向长度AB 大约是54.6 km.19. (1)【思维教练】观察图形，要找∠ABC 和∠CAF 的关系，需要通过第三个角，由AF 是切线得∠DAB ＋∠CAF ＝90°，又由于∠DAB 和∠ABC 都在圆内，考虑连接BD 构造圆周角，在△ADB 中，∠DAB ＋∠ABD ＝90°，又由BA ＝BC 得出BD 是∠ABC 的角平分线，∠ABC ＝2∠ABD .即只需证明∠ABD ＝∠CAF 即可，由于这两个角都与∠DAB 之和为90°，可证得两角相等．证明：如答图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，第19题答图∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠ABD＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠ABD，∵BA＝BC, BD⊥AC，∴∠ABC＝2∠ABD，∴∠ABC＝2∠CAF；(2)【思维教练】由于BA＝BC, 求⊙O的直径AB也就是求BC的值，由EB＝4CE 得CE＋EB＝5CE＝BC，所以要考虑通过CE或EB与已知线段AC得到等量关系，由已知圆与BC的交点是点E，所以考虑通过连接AE构造两个直角三角形利用勾股定理求出CE或EB，但在Rt△AEC中，只有未知线段CE和一条已知线段AC，无法直接用CE表示AE，而在Rt△ABE中，AB＝BC＝5CE，EB＝4CE，可以求出AE＝3CE，再代入Rt△ACE中，利用勾股定理求出CE的值，从而求出BC，就是圆的直径．解：如答图，连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵EB＝4CE，∴在Rt△ABE中，EB＝4CE，AB＝BC＝5CE，AE＝（5CE）2－（4CE）2＝3CE，∵AC＝210，∴在Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2，即(210)2＝(3CE)2＋CE2，解得CE＝2，∴⊙O的直径AB＝5CE＝5×2＝10.20. (1)【思维教练】要求调查的总人数，根据调查的总人数＝该组人数该组所占百分比可求得，由统计图可知，B组的人数与所占百分比，即可求得总人数．解：由题图可知，总人数＝80÷40%＝200；(2)【思维教练】由未知组频数＝样本容量×该组所占百分比，可得D组人数，再由总人数－其他各组人数可求得A组人数．解：补全条形统计图如答图；第20题答图【解法提示】D组人数＝200×15%＝30，A组人数＝200－30－80－20－10＝60.(3)【思维教练】由样本估计总体的方法：总体中某组的频数＝总体数量×样本中该组所占百分比．解：10000×30%＝3000(名)．答：根据调查数据估计该区约有3000名市民选择骑摩拜单车出行．21. (1)【思维教练】观察图象，乙所走的路程分为OA、AB、BC三段，由OA段过点O(0，0)、A(10，800)，AB段平行于x轴，BC段过点B(13，800)、C(28，2000)，利用待定系数法即可求出乙所走路程s与时间t的函数关系式．解：设乙在OA段对应的函数关系式为s1＝k1t，则800＝10k1，k1＝80，即s1＝80t；由图象可知乙在AB段对应的函数关系式为s＝800；设乙在BC 段对应的函数关系式为s 2＝k 2t ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧13k 2＋b ＝80028k 2＋b ＝2000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝80b ＝－240， 即s 2＝80t －240；综上可知，乙所走路程s 与时间t 的函数关系式为s 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧80t （0≤t≤10）800（10<t≤13）80t －240（13<t≤28）； (2)【思维教练】若甲和乙同时到达公园，则先求出甲所走路程s 与时间t 的函数关系式，再结合(1)中求出的乙所走路程s 与时间t 的函数关系式，根据s ＝2000时，t 相等即可求解．解：设甲所走路程s 与时间t 的函数关系式是s 甲＝k 3t ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝20010k 3＋c ＝800，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝60c ＝200， 即s 甲＝60t ＋200，当s 甲＝2000时，t ＝30，若甲和乙同时到达公园，则乙在中途需要停留5分钟．22. (1)【思维教练】由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2可知，要求二次函数的解析式，需知二次函数图象上的两个点，由图象经过点A (－2，0)与点B (4，0)，可用待定系数法求得；或由点A 、B 是二次函数图象与x 轴的交点，可考虑设交点式来求解．解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象经过点A (－2，0)与B (4，0)，∴将A (－2，0)与B (4，0)代入函数解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋20＝16a ＋4b ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14b ＝12， ∴二次函数的解析式为y ＝－14x 2＋12x ＋2；【一题多解】设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)＝ax 2－2ax －8a ，由二次函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋2可知，－8a ＝2，解得a ＝－14，b ＝－2a ＝－2×(－14)＝12，∴二次函数的解析式为y ＝－14x 2＋12x ＋2；(2)【思维教练】要求△P AC 周长的最小值，△P AC 周长＝AC ＋P A ＋PC ，已知点A 、C 的坐标，故需求P A ＋PC 的最小值，由两点之间线段最短可知，只要找A 点关于对称轴的对称点B 与点C 相连，交对称轴于点P ，即此时△P AC 的周长最小为AC ＋BC ，根据点A 、B 、C 的坐标即可求解．解：由二次函数的解析式y ＝－14x 2＋12x ＋2得点C 的坐标为(0，2)，∴△P AC 周长＝AC ＋P A ＋PC ，AC ＝OA 2＋OC 2＝22＋22＝22，要求△P AC 周长的最小值，可连接A 点关于对称轴的对称点B 与点C 交对称轴于点P ，即△P AC 周长＝AC ＋BC ，BC ＝OB 2＋OC 2＝22＋42＝25，即△P AC 周长的最小值＝22＋25；(3)【思维教练】要使以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则可根据点M 的位置进行分类讨论，①当点M 在OB 之间时，由对称性可知点N 为点C 关于对称轴的对称点，根据抛物线的对称性及点C 的坐标可求得；②当点M 在点B 右侧时，由点M 在x 轴上设出点M 的坐标，根据平行四边形的性质，用点M 的坐标表示出点N 的坐标，再根据平行四边形对边相等，得到点N 坐标．解：由点M 在x 轴正半轴上可分两种情况进行讨论：如答图，①当点M 在OB 之间时，由y ＝－14x 2＋12x ＋2得，抛物线的对称轴为x ＝1，由二次函数图象的对称性可知点N (2，2)为点C 关于对称轴的对称点，∵四边形ACNM 为平行四边形，∴AM ＝CN ＝2，∵点A 的坐标是(－2，0)，∴M 点的坐标是(0，0)，此时，M 不在x 轴正半轴上，故不合题意，舍去；第22题答图②当点M 在点B 右侧时，设点M 的坐标为(a ，0)，根据平行四边形的性质可知，点N 的坐标为(a －2，－2)， ∵点N 为二次函数图象上的点，∴－2＝－14(a －2)2＋12(a －2)＋2，解得：a 1＝3＋17，a 2＝3－17(舍)，故点N 的坐标为(1＋17，－2)，综上，二次函数图象上存在一点N ，使以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，此时点N 坐标为(1＋17，－2)．【难点突破】本题的难点在于第(3)问根据点M 在x 正半轴上，分点M 在OB 之间，点M 在点B 右侧两种情况进行讨论，进而根据平行四边形的性质及二次函数图象的对称性可得到点N 的坐标．【易错警示】在第(3)问讨论M 在OB 之间时，求得点N 的坐标，此时容易忽略M 在x 轴正半轴而出错．23. (1)【思维教练】要证明两线段相等，可证明两线段所在的两个三角形全等，由题干可知AC ＝BC ，∠ACF ＝∠CBD ，故可再找夹角的另一边对应相等或另一对角对应相等即可．结合题干条件CE 平分∠ACB 可得∠CAF ＝∠BCE ，利用ASA 证明两三角形全等，即可得证．证明：∵在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ECB ＝12∠ACB ＝45°＝∠A ，在△ACF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACF ＝∠CBE AC ＝BC ∠A ＝∠ECB， ∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；(4分)(2)①【思维教练】由(1)可知要求CF 的长，即求BE 的长．延长CE 交AB 于点P ，易得CP ∥AG ，EP 是△ABG 的中位线，即BE ＝GE .再由D 为AC 中点和CE 平分∠ACB 易证△ADG ≌△CDE ，DG ＝DE ，等量代换即可求解．解：如答图1，延长CE 交AB 于点P ，∵AC ＝BC ，CP 平分∠ACB ，∴AP ＝BP ，CP ⊥AB ，∴CP ∥AG ，∴EP 是△ABG 的中位线，∴EB ＝EG ，∵GA ⊥AB ，∠CAB ＝45°，∴∠GAC ＝45°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝12∠ACB ＝45°＝∠GAC ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝DC .在△ADG 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAD ＝∠ECD AD ＝DC ∠ADG ＝∠CDE，第23题答图1∴△ADG ≌△CDE (ASA)，∴DG ＝DE .∴EB ＝EG ＝2DG ＝4，由(1)知△ACF ≌△CBE ，∴CF ＝BE ＝4；②【思维教练】由(1)、(2)的结论可得AF ＝CE ＝AG ，进而得出EP ＝FP ＝12AG .要求HE AG ，即求HE 2PF ，由已知∠ACF ＝∠CBD 可得出∠CHE ＝90°，再由一对公共角相等即可得出△HCE ∽△PCF ，HE PF ＝CE CF .设出PF 的长，表示出CE 、BP 的长，再用勾股定理在△BEP 中表示出BE 的长，CF ＝BE ，代入比例式求解即可．解：由(1)知△ACF ≌△CBE ，∴AF ＝CE ，由(2)①知△ADG ≌△CDE ，∴AG ＝CE ，∴AG ＝CE ＝AF ，∵EP 是△ABG 的中位线，∴EP ＝12AG ＝12AF .∵CP ＝AP ，CE ＝AF ，∴EP ＝PF ＝13AP ，第23题答图2如答图2，设EP ＝PF ＝x ，则AP ＝BP ＝3x ，AF ＝CE ＝AG ＝2x ，在Rt △BEP 中，BP ＝3x ，EP ＝x ，∴BE ＝（3x ）2＋x 2＝10x .∴CF ＝BE ＝10x ，∵∠DCH ＝∠CBD ，∴∠DCH ＋∠CDH ＝∠CBD ＋∠CDB ＝90°，∴∠CHD ＝CHE ＝90°，∴∠CHE ＝∠CPF ＝90°，又∵∠ECH ＝∠FCP ，∴△HCE ∽△PCF ，∴HEPF＝CECF＝2x10x＝105，∴HE＝105PF＝105x，∴HEAG＝105x2x＝105×2＝1010.【难点突破】本题的难点在于第(2)②问，首先要根据(1)和(2)①的结论得出PF＝1 2AG，其次要联想到通过证明△HCE∽△PCF，得出HEPF＝CECF，设出PF的长，表示出CE、BP的长，从而得解．。