2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题 Word版

兰州一中2017--2018--2学期三月份月考试卷理科数学说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =( ) A .e B .e1C .1D .以上都不对2．设曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A .0 B .1C .2D .33．若ln 33a =，ln 55b =，ln 66c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<4．设函数f （x ）=2x+ln x ， 则（ ）A ．x =12为f (x )的极大值点B ．x =12为f (x )的极小值点C ．x =2为 f (x )的极大值点D ．x =2为 f (x )的极小值点 5．若()1128ln 31ax dx a x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭⎰，则a 的值是( )A .2B .3C .4D .66．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A .(－1，2)B .(－∞，－3)∪(6，＋∞)C .(－3，6)D .(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A B C Dab ab aoxoxyb aoxyo xyb y8．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(1，2]B.(4，＋∞]C.[－∞，2)D.(0，3]9．由曲线y x =，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 ( )A.103B ．4C.163D ．610．若函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]5,7B ．[)5,7C ．()5,7D ．(]5,7 11．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )12．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．过曲线2y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 .14．设函数()33,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f (x )的最大值为________.15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .16．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'fx ，满足()()'f x f x >，且()01f =，则不等式()1x f x e<的解集为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知函数()ln af x x x=+. 求f (x )的单调区间和极值. 18．（本小题满分12分）一点在直线上从时刻t =0s 开始以速度()()243/v t t t m s =-+运动，求：⑴该点在t =4s 的位置；⑵该点在t =4s 运动的路程.19．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝e x －x 2＋2ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求实数a 的最小值.22．（本小题满分12分）已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R(1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围.兰州一中2017--2018--2学期三月份月考试卷理科数学说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题1．若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =( ) A .e B .e1 C .1 D .以上都不对解析：f ′(x )=［ln (lnx )］′=x ln 1·(lnx )′=x x ln 1，f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1. 2．设曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A .0B .1C .2D .3解析：()ln 1axy e x =-+，'11axy ae x =-+， 当x ＝0时，y ′＝a －1.故曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0， 从而a －1＝2，即a ＝3.故选D. 3．若ln 33a =，ln 55b =，ln 66c =，则 A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<答案：B4．设函数f （x ）=2x+ln x ， 则（ ） A ．x =12为f (x )的极大值点 B ．x =12为f (x )的极小值点 C ．x =2为 f (x )的极大值点 D ．x =2为 f (x )的极小值点 解析：xx x f x x x f 12)(',ln 2)(2+-=∴+=，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ，当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D .5．若()1128ln 31ax dx a x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭⎰，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.6解析：()221112ln |ln 1aa x dx x x a a x ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭⎰，由2ln 18ln3a a +-=+得a ＝3.答案：B6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析:∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，∴a >6或a <－3.答案:B7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A B C D解析：因为函数()y f x =的导函数．．．()'y fx =在区间[],a b 上是增函数，即在区间[],a b 上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A . 8．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2)D.(0，3]解析：()()'90fx x x x =->，当90x x-≤x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上函数()f x 是减函数，从而[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，即a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 故选A. 9．由曲线y x =，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 ( )A.103B ．4C.163D ．6解析：作出曲线y x =，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4，2)． 因此y x =与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为ab ab aoxoxyb aoxyo xyb y⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 答案：C 10．若函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]5,7B ．[)5,7C ．()5,7D ．(]5,7解析：()()12-+-=a ax x x f ，令()0='x f 得1=x 或1-=a x ，结合图像知614≤-≤a ，故[]7,5∈a ．点评：本题也可转化为()()4,10∈≤'x x f ，恒成立且()()+∞∈≥',60x x f ，恒成立来解． 11．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合. 答案：D12．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B 二、填空题13．过曲线2y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 . 解析：()()2222244ABx x x y k x x x x∆+-∆+∆∆====∆+∆∆∆，所以当0.1x ∆=时，AB 的斜率为4.1.14．设函数()33,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f (x )的最大值为________.解析：当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数. ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案：215．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴227l R =， 要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小.由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R. ∴S ′＝2πR －54πR 2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小. 答案：316．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'fx ，满足()()'f x f x >，且()01f =，则不等式()1xf x e<的解集为 . 答案：}{0x x >解析：令()()x f x g x e =，()()()()()()'''20x x x x f x e f x e f x f x g x e e --==<，可得函数()()xf xg x e=在R上为减函数，又()()()00011x xf fg e e==⇒<，即()()}{100g x g x x x <⇒>>. 三、解答题17．已知函数()ln af x x x=+. 求f (x )的单调区间和极值. 解析：()'221a x a f x x x x-=-=，x ∈(0，＋∞). ①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)为增函数，无极值. ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )为减函数； x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)为增函数，f (x )在(0，＋∞)有极小值，无极大值，f (x )的极小值f (a )＝ln a ＋1.18．一点在直线上从时刻t =0s 开始以速度()()243/v t t t m s =-+运动，求：⑴该点在t =4s 的位置；⑵该点在t =4s 运动的路程. 解析：⑴()()423240014432333S tt dt t t t m ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰＝.⑵()()()()22432113v t t t t t t =-+=--=--，在区间[][]0,1,3,4上的()0v t ≥；在区间[]0,3上的()0v t ≤()()()()1342220134343434S t t dt t t dt t t dt m -+--++-+=⎰⎰⎰＝.19．已知函数f (x )＝e x －x 2＋2ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析：(1)∵f ′(x )＝e x －2x ＋2，∴f ′(1)＝e ，又f (1)＝e ＋1， ∴所求切线方程为y －(e ＋1)＝e(x －1)，即e x －y ＋1＝0.(2)f ′(x )＝e x －2x ＋2a ，∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴a ≥x －e x 2在R 上恒成立，令g (x )＝x －e x2，则g ′(x )＝1－e x2，令g ′(x )＝0，则x ＝ln 2，在(－∞，ln 2)上，g ′(x )>0；在(ln 2，＋∞)上，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (ln 2)＝ln 2－1，∴a ≥ln 2－1，∴实数a 的取值范围为[ln 2－1，＋∞). 20．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图 中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解析：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.21．已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求实数a 的最小值.解析：f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，令g (x )＝(2－a )(x －1)，x ＞0；h (x )＝2ln x ，x ＞0，则f (x )＝g (x )－h (x )， ①当a ＜2时，g (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，h (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，若f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则1122g h ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()11212ln 22a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 即a ≥2－4ln 2，从而2－4ln 2≤a ＜2，②当a ≥2时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上g (x )≥0，h (x )＜0，∴f (x )＞0，故f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点． 综合①②可得得a ≥2－4ln 2，即a min ＝2－4ln 2. 22．已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R (1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围； 解析：(1)当1a =时，()ln(1)f x x x =+-，()xx x x f+-=-+=1111'，所以()y f x =在()0,1-为增函数，在()+∞,0为减函数，故当0=x 时，()x f 取最大值0.(2)等价()x x a 1ln +>恒成立，设()()()()2'1ln 11ln xx x xx g x x x g +-+=⇒+=， 设()()()()()()10111111ln 122'≥<+-=+-+=⇒+-+=x x x x x x h x x x x h ， 所以()x h 是减函数，所以()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⇒><-=≤212402ln 211e e h x h ，所以()x g 是减函数，()()1max g x g =，所以2ln >a。