微积分8-3

y 2xy ∂ z 2arctan − 2 = ____________ 2 则 ∂x x x +y
2 2
解：由题意
∂2z y = (2x arctan )′ x 2 x ∂x y y = 2arctan + 2x(arctan )′ x x x y 2xy = 2arctan − 2 x x + y2
△x△y=o(ρ) (ρ→0)
二元函数在 点(x,y)处的 处的 全微分
△S= y△x+ x△y+△x△y= y△x+ x△y
+o(ρ)
记为： 无关) 记为：A△x+ B△y (A、B与△x、 △y无关 、 与 、 无关
2.3、全微分的定义 、 设函数z=f(x,y)在点 在点(x,y)的某邻域内有定义 如 的某邻域内有定义,如 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义 函数z=f(x,y) 在点 在点(x,y)的全改变量可以表示为 果函数 的全改变量可以表示为 ∆z=A∆x+B∆y+o(ρ) 其中A,B仅与点 仅与点(x,y)有关 而与∆x、∆y无关 有关,而与 、 无关 无关, 其中 仅与点 有关 ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 则称函数 则称函数z=f(x,y)在点 y)处 在点(x, 处 在点 可微,并称 并称A 在点(x, 处的 处的全 可微 并称 ∆x+B∆y为函数 为函数z=f(x,y)在点 y)处的全 在点 微分,记为 记为dz.即 微分 记为 即dz= A∆x+B∆y. 函数若在某区域D内每一点都可微 内每一点都可微, 注: 函数若在某区域 内每一点都可微, 则称此函数 内是可微的 在D内是可微的. 内是可微的. 问题: 函数满足什么条件才一定可微? 可微时A 问题: 函数满足什么条件才一定可微 可微时 、B 的具体形式是什么?下面定理给出明确答复. 的具体形式是什么 下面定理给出明确答复. 下面定理给出明确答复
主要部分△x、 、 △y的线性函数 的线性函数
第二部分
x
△
x
的高阶无穷小量. 第二部分是 ρ = (∆x) 2 + (∆y ) 2 的高阶无穷小量. 即 lim ∆x→0
∆y →0
∆x∆y =0 (∆x) 2 + (∆y ) 2
也即 ∴
lim ρ
→0
∆x∆y ( ∆x) 2 + ( ∆y ) 2
=0
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )
= f x ( x + θ 1 ∆x , y + ∆ y )∆x
的函数, 其中ε 1 为 ∆x , ∆y 的函数
(0 < θ 1 < 1)
= f x ( x , y )∆x + ε 1∆x （依偏导数的连续性） 依偏导数的连续性）
f ( x , y + ∆ y ) − f ( x , y ) ≈ f y′ ( x , y )∆y
2.2、全增量的概念 、 如果函数z=f(x,y)在点 在点(x,y)的某邻域内有定义， 的某邻域内有定义， 如果函数 在点 的某邻域内有定义 自变量x 在点(x 自变量 、y 在点 0 , y0)处同时取得改变量∆x、∆y, 处同时取得改变量 、 则函数相应的改变量 ∆z= f(x0+∆x, y0+∆y)- f(x0, y0) 称为z=f(x,y)在点 0 , y0)处的全改变量 或全增量 在点(x 处的全改变量 称为 在点 处的全改变量(或全增量). 边长为x、 的薄金属片 加热后,面积改变多少? 的薄金属片, 例:边长为 、y的薄金属片,加热后,面积改变多少 原金属片的面积为: 解： 原金属片的面积为: S=xy 若边长分别改变△x、 x △y △x△y △y,则面积的全改变量为: 则面积的全改变量为: 则面积的全改变量为 △y △S= (x +△x)(y+△y)-xy y = y△x+ x△y+△x△y y△ x
∆x→0 ∆y→0
lim f ( x + ∆x, y + ∆y) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ] = f ( x, y)
ρ →0
ρ →0
处连续. 故函数z = f ( x , y )在点( x , y )处连续 多元函数可微、偏导数存在与连续的关系. ⑶多元函数可微、偏导数存在与连续的关系. 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 连续
key :D
第三节
全微分及其应用
一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用
在一元函数里, 有微分公式: 在一元函数里, 有微分公式:设y=f(x),则dy= f'(x)dx 则 = 对多元函数z=f (x,y).如何去求微分 ？是否也有类 对多元函数 如何去求微分dz？ 如何去求微分 ∂z ∂z 似的公式？ 似的公式？ dz = dx + dy . ∂x ∂y 二元函数对x和对 和对y的偏增量 ⑴二元函数对 和对 的偏增量
所求全微分
dz = e2dx + 2e2dy.
y yz 的全微分. 例 2 求函数 u = x + sin + e 的全微分 2 ∂u y ∂u 1 ∂u yz 解 = 1, = cos + ze , = ye yz , ∂x 2 ∂y 2 ∂z
所求全微分
x z = ln ( 1 + ) 例3 设 则dz y
ε 1 ∆x + ε 2 ∆y → Q ≤ ε 1 + ε 2 ρ → 0, 0 ρ
处可微. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微
可导与可微的关系 一元函数里, 函数可导与可微是等价关系. 等价关系 一元函数里, 函数可导与可微是等价关系. 但在二元 函数里, 可导与可微的区别很大,主要表现在以下: 函数里, 可导与可微的区别很大,主要表现在以下: 可微一定偏导数存在, 但偏导数存在却未必可微. ⑴可微一定偏导数存在, 但偏导数存在却未必可微. 由定理知, 可微一定偏导数存在. 由定理知, 可微一定偏导数存在. 对偏导数存在却未 必可微,可由下面例子说明. 必可微,可由下面例子说明. xy x2 + y2 ≠ 0 例如， 例如， f ( x , y ) = x 2 + y 2 . 0 x2 + y2 = 0
叠加原理 ∂z ∂z 习惯上， 习惯上，记全微分为 dz = dx + dy . ∂x ∂y 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理． 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
在点( 0,0) 处有
f x ' (0,0) = f y ' (0,0) = 0
∆x ⋅ ∆ y , ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ]= 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y )
如果考虑点 P ′( ∆ x , ∆ y ) 沿着直线 y = x 趋近于( 0 ,0 ) ，
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2 1 1
( 1 ,1 )
dx − dy = ________ . 2 2
1 (1,1) = − 2
解
z = ln(x + y) − ln y,
1 = (1,1) x+ y 1 ∂z = (1,1) 2 ∂y 1 1 dz (1,1) = dx − dy 2 2
且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 .
同理
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
当 ∆y → 0 时，ε 2 → 0 ,
= f y ( x , y ) ∆y + ε 2 ∆ y ,
∆z = f x ( x , y )∆ x + ε 1 ∆x + f y ( x , y ) ∆y + ε 2 ∆y
一、全微分（perfect differential)
∆Z x = f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∆Z y = f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
和对y的偏微分 ⑵二元函数对x和对 的偏微分 二元函数对 和对
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x′ ( x , y )∆x
1 1 − (1,1)= x+ y y
∂z ∂x
故
x z 例4 设函数 f ( x, y, z ) = ) （ y
求该函数在点(1,1,1)处全微分的值 处全微分的值df(x,y,z)|(1,1,1) 求该函数在点 处全微分的值 解： df = ∂f dx + ∂f dy + ∂f dz
∂x
∂y
∂z
z x z −1 x z x z x z −1 （ = （ ) dx − （ ) dy + ) ln( )dz 2 y y y y y y
∴df(x,y,z)|(1,1,1) = dx- dy
y x dz = (2x arctan )dx + ( x − 2y arctan )dy 例5 若 x y
可微的充分条件 如果函数z=f(x,y)在点 在点(x,y)的某邻域内有连续 定理 如果函数 在点 的某邻域内有连续 的偏导数f' 则函数f(x,y)在点 在点(x,y)处可 的偏导数 x(x,y)、 f'y(x,y),则函数 则函数 在点 处可 微,且dz= f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy. 且
处不可微. 函数在点( 0,0) 处不可微
⑵偏导数存在函数不一定连续, 但可微函数必连续. 偏导数存在函数不一定连续, 但可微函数必连续. 函数的偏导数虽然存在, 但是函数并不连续. 函数的偏导数虽然存在, 但是函数并不连续. 下面 证明可微函数必连续. 证明可微函数必连续. 事实上,函数 函数z=f(x,y)在点 在点(x,y)处可微 则有 处可微, 事实上 函数 在点 处可微 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ), lim ∆z = 0,
可微的必要条件 如果函数z=f(x,y)在点 在点(x,y)处可微 则 处可微,则 定理 如果函数 在点 处可微 在点(x,y)处连续； 处连续； （1）f(x,y)在点 ） 在点 处连续 在点(x,y)处可偏导，并有偏导数 x(x,y)、 处可偏导， （2） f(x,y)在点 ） 在点 处可偏导 并有偏导数f' f'y(x,y),则函数且 则函数且dz= f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy. 则函数且 证明参加书本
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
全微分的求法
例1 计 函 z = exy 在 (2,1) 处 全 分 算 数 点 的 微 .
解
∂z xy = ye , ∂x
∂z 2 =e , ∂x (2,1)
∂z xy = xe , ∂y
∂z 2 = 2e , ∂y (Biblioteka Baidu,1)
则
∆x ⋅ ∆y 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y ) =
ρ
1 ∆x ⋅ ∆x = , 2 2 ( ∆x ) + ( ∆x ) 2
当 ρ → 0时，
说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 0,
∆z − [ f x ' (0,0) ⋅ ∆x + f y ' (0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o( ρ ),
y ∂z = 2x arctan , x ∂x
二、全微分在近似计算中的应用 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )可微 ⇔ ∆z = A⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + o(ρ )
证 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
= [ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )]
+ [ f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )],
在第一个方括号内， 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
课前练习
1.( 研) 设 ( x, y) = x + y ， 在 点 ( f 则 原 处
2 4
A.fx′( 0,0) 与 y′ ( 0,0) 都 在 f 存 ；
)
B.fx′( 0,0) 与 y′ ( 0,0) 都 存 ； f 不 在 C.fx′( 0,0) 存 ， y′ ( 0,0) 不 在 在 f 存 ； A.fx′( 0,0) 不 在 f y′ ( 0,0) 存 ； 存 ， 在