上海市向明中学2019年高三下学期数学高考三模试卷word版

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2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)Word版含答案

仅有四个不同的点 C ，使得 △ ABC 的面积为 5，则实数 a 的取值范围是 ____ ．
三、解答题：本大题共
6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（ 12 分） [2019 ·江南十校 ] 已知数列 an 与 bn 满足： a1 a2 a3
an 2bn n N * ，且 an
3 ，则 cos2
（
）
2
3
1 A．
2
1 B．
3
1 C．
3
6． [2019 ·临川一中 ]函数 f x
1 2x 1 2x
sin x 的图象大致为（
1 D．
2 ）
A．
B．
C．
D．
7． [2019 ·南昌一模 ]如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（
）
A．3
B． 4
C．5
D． 6
8．[2019 ·宜宾二诊 ] 已知 △ ABC 中， A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且 b 3 ， c 3 3 ， B 30 ，
D． 16 8 2 4 5
10． [2019 ·汕尾质检 ] 已知 A ， B ， C ， D 是球 O 的球面上四个不同的点，若
AB AC DB DC BC 2 ，且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（
）
A ． 20π 3
B． 15π 2
C． 6π
x2 y2 11． [2019 ·临川一中 ]如图所示， A1 ， A2 是椭圆 C :
2
4
15．[2019 ·赣州期末 ]若曲线 y x ln x 在 x 1 处的切线 l 与直线 l : ax y 1 0 垂直，则切线 l 、直线 l 与 y 轴围成的三角形的面积为 _______． 16． [2019 南·通期末 ] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 0, a ， B 3, a 4 ，若圆 x 2 y2 9 上有且

2019届高三数学第三次联考三模试题文扫描版

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.解析：（1）由 ,得 ,由正弦定理，得 ,由余弦定理，得 ,整理得 ,因为 ,所以，所以a=3.。。。。。。。（6分）
(另解：由代入条件变形即可。）
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
16. ，解析：求导得，所以在点处的切线方程为 .令x=0得，令y=0得，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积（舍去负值），所以.
设：至少有一名女生参加座谈为事件A,则。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
19.解析：（1）面面，，则面，
面，∴ ，，，
∴ ，，∴ ，
∴ ，，∴ 面 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
（2），即，
解，即点到面距离为 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
6.C,解析：由程序框图知：算法的功能是求数列的前n项中的最小项，所以输出的M是数列的最小项，则满足，故选C。
7.B解析：如图正的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，以为半径，在内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P在这三个扇形外，因此所求概率为，故选B．
8.A解析：由题意，该四面体的直观图如下: ,是直角三角形， ,是等边三角形,
9.D解析：由于f(-x)=-f(x)故函数为奇函数，排除A选项.令，，排除B选项.由于分母不为零，分子为增函数且为奇函数，有且仅有1个零点（x=0），排除C选项.故选D.

上海向明中学高三三模(2019.05)

向明中学高三三模数学试卷2019.05一. 填空题 1. 323110a a b b --⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2. 已知复数z 满足(3i)10z +=（i 为虚数单位），则z 的模为3.已知函数()f x =1(0)f -=4. 设集合{|04}A x x =<<，B =Z ，则集合A B 有个子集5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）6. 已知椭圆222116x y b +=焦点在x 轴上，若椭圆上一点P 到左焦点的距离1||3PF =，则2||PF =7. 不等式sin tan x x ≥的解集为8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+= 9. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为10. 若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为 12. 给定曲线族22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是二. 选择题13. 设a 、b ∈R ，则“2a >且2b >”是“4a b +>”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要14.过点(1)P -的直线l 与221x y +=有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是（） A. (0,]6π B. (0,]3π C. [0,]6π D. [0,]3π15. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A. 0d >B. 0d <C. 10a d >D. 10a d <16. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中一门的成绩高于乙，则称“甲同学比乙同学成绩好”，如果一组同学中，没有哪位学生比另一个学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么满足条件的学生最多有（）A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点.（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角；（2）求三棱锥1M C CN -的体积.18. 如图，修建一横断面为等腰梯形的水渠，为了使渠道的渗水量最小，应使梯形的两腰及下底边长之和最小，若水渠横断面面积设计为定值363，渠深65米. （1）写出水渠横断面边界长l 与水渠壁倾斜角α的函数关系式（l AB BC CD =++）；（2）水渠壁倾斜角α为多少时，渠道的渗水量最小.19. 如图，平面直角坐标系中，射线x y =（0≥x ）和x y 2=（0≥x ）上分别依次有点1A 、2A 、…、n A 、…和点1B 、2B 、…、n B 、…，其中)1,1(1A 、)2,1(1B 、)4,2(2B .且1||||2n n OA OA -=+，111||||2n n n n B B B B +-=4,3,2(=n …）. （1）用n 表示||n OA 、||n OB 及点n A 、n B 的坐标；（2）写出四边形11n n n n A A B B ++的面积关于n 的表达式()S n ，并求()S n 的最大值.20. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM =.21. 已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T . 若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 2011⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 3. 2- 4. 8 5. 1arccos 36. 57. (,]2k k πππ-，k ∈Z 8. 509. 2 10. 2 11. 81112.二. 选择题13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 解：（1）过A 作AQ ∥C 1N 交A 1C 1于Q ，连结Q B 1，∴AQ A 1∠为异面直线1AB 与N C 1所成的角（或其补角）． ……2分根据四边形C C AA 11，N 是中点，为矩形，可证Q 为中点计算17,22,511===AQ Q B AB ……3分11B C ∥BC ，11B C =BC ，BC ∥AD ，BC AD =，∴四边形11ADC B 为矩形，且1AB ∥1C D ，由已知条件和余弦定理可得517cos 1=∠Q CC ……5分 ∴异面直线1AB 与1BC 所成的角为517arccos……6分（2）取BC 的中点P ，连结MP 、NP ，则MP ∥1BB ，∴MP ⊥ 平面ABC ， ……8分又NP ABC ⊂平面，∴MP NP ⊥．122PN AB ==,3MP =， ……10分 CM C N NCC M V V 11--= ……12分NP C C MC ⨯⨯⨯=11213122322131=⨯⨯⨯⨯= ……14分18. 解：（1）作，为垂足。

2019年高三数学三模试卷及答案

2019年高三第三次模拟测试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ，又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ，在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ，连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =，所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可．作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（），所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-，即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°．所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。

上海市2019届高三高考数学系列模拟卷(3)及答案解析

上海市2019届高考数学模拟试卷3考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）集合{}2M x x =<，{}lg (1)N x y x ==-，则M N = 1.若知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n 为2.已3.若对于任意实数x ，不等式a x x >--+|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是4.在ABC ∆中，若120=∠A ，5=AB ，7=BC ，则三角形ABC 的面积=S5.若直线),(042R n m ny mx ∈=-+始终平分圆042422=---+y x y x 的周长，则mn 的取值范围是_________________6.设f n k ()=（其中n N ∈*），k 是2的小数点后第n 位数字，…74142135623.12=，则{}f f f f …个[()]88的值等于____________7.已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位向量，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()sin αβ-的值 8.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________9.在矩形ABCD 中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为10.设函数f x ()是定义在R 上的奇函数，若f x ()的最小正周期为3，且f ()11>，f m m ()2231=-+，则m 的取值范围是_________________11.若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是 12.已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．当7n =时，满足条件的集合A 的个数为______13.对任意的120x x <<，若函数()f x a x =的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 条件是14.已知数列{}n a 满足11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数，设222n n n b a a +=-，则数列{}n b 的通项公式为________________二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分）15.“21a >” 是“方程2221x y a+=表示椭圆”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16.设3144322314)1()1(+++=++++x b x a x a x a x a x 22)1(++x b 413)1(b x b +++定义),,,(),,,(43214321b b b b a a a a f =，则),1,2,3,4(f 等于A ．)4,3,2,1(B ．)0,4,3,0(C ．)2,2,0,1(--D ．)1,4,3,0(--17.互不相等的三个正数321,,x x x 成等比数列，且P 1(1log a x ,1log b y )，P 2(2log a x ，2log b y )，)log ,(log 333y x P b a 三点共线(其中0a >，1a ≠，0b >，1b ≠)，则1y ，2y ，3yA. 等差数列，但不等比数列；B. 等比数列而非等差数列C. 等比数列，也可能成等差数列D. 既不是等比数列，又不是等差数列 18.设函数)sin()sin()sin()(2211n n x a x a x a x f ααα+⋅+++⋅++⋅= ，其中)2,,,,2,1(*≥∈=n N n n i i α为已知实常数，R x ∈，则下列A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则)(221Z k k x x ∈=-π．74分，共5小题）19.(本题满分12分）第（1）小题6分，第（2）小题6分.在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1.（1）求a 的值；（2）设D 是11C B 上的任意一点，求D 到平面BC A 1的距离.20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.已知函数.3cos 33cos 3sin )(2xx x x f +=（1）将)(x f 写成)sin(φω+x A +B 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数)(x f 的值域。

2019届上海市崇明中学高三下学期三模数学试题(解析版)

2019年上海市崇明中学高三下学期三模数学试题一、单选题1．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出220a b +=，不满足充分性；当220a b +=，则0a b ==，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题． 2．将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（） A ．5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据三角函数的左右平移和伸缩变换原则变化函数解析式即可得到结果. 【详解】向右平移4π个单位长度得：5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭横坐标扩大到原来的2倍得：5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭本题正确选项：A 【点睛】本题考查三角函数图象变换中的左右平移变换和伸缩变换，关键是明确两种变换均是针对于x 的变化. 3．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解 D ．可能有无数个解【答案】B【解析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 20x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩ 可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.4．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，则当动点M 运动到点N 时，11126232=++=+<+===N A B C l NA NC ND l l l ，同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，计算得11126232=++=+<+===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征. 故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.二、填空题5．设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{2,3}【解析】根据交集的定义直接得到结果. 【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 6．若2log 1042x -=-，则x =______【答案】4【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==. 7．已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______ 【答案】5【解析】根据复数模长运算性质可直接求得结果. 【详解】52z i=- ()22555221z i ∴===-+- 本题正确结果：5 【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.8．函数()3sin cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x 的范围即为所求区间. 【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解. 9．若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】【解析】设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.【考点】球的表面积与体积公式.10．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人【考点】分层抽样11．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）【答案】0.568【解析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()P A ，利用对立事件概率公式可求得结果. 【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568 【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.12．已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y-的最大值为______ 【答案】6【解析】由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - m a x 426z ∴=+= 本题正确结果：6 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.13．已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．【答案】8【解析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果. 【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min482a b ⎛⎫-∴+== ⎪⎝⎭本题正确结果；8 【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.14．若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭______ 【答案】2【解析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果. 【详解】()1nx +的展开式通项公式为：r r n C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2 【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.15．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m .联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-.∵2OA OB ⋅=∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F ∴121111119292()22322488ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥⨯=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键． 16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BC λ-≥恒成立，则c bb c+的取值范围是______ 【答案】2,5⎡⎤⎣⎦【解析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=，可知EA BC ≥恒成立，可知min EA 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤；结合余弦定理整理可得()sin 2cos 5sin c bA A A b cϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围. 【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=则BA BC BA BE EA λ-=-= E A B C ∴≥恒成立又minEA为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2s i n a b c A∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sin sin 2cos 5sin c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ= 5c b b c∴+≤，又2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）2,5c b b c⎡⎤∴+∈⎣⎦ 本题正确结果：2,5⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.【答案】(1) arctan 5. (2)255. 【解析】（1）1A CB ∠或其补角就是异直线11B C 与1A C 所成角，我们可证1A AB ∆为直角三角形且15A B =，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算11A B BC V -，再利用等积法求1B 到平面1A BC 的距离，它就是直线11B C 到平面1A BC 的距离. 【详解】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ?，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC 中，115tan 51A B ACB BC ∠===，所以1arctan 5ACB ∠=，所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为arctan 5.(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离，设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得255d =，直线11B C 与平面1A BC 的距离为255. 【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18．已知向量113,sin cos 222a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭和向量()()1,b f x =，且//a b .（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，7BC =，21sin 7B =，求AC 的长度.【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2.【解析】由//a b 整理可得：()sin 3cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得sin A ，利用正弦定理求得结果. 【详解】由//a b 得：()113sin cos 222f x x x =+ 则：()sin 3cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x =（2）由33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：2sin 3A =，则3sin 2A =由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=，即217sin 72sin 32BC B AC A ⨯⋅===【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.19．某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =米，求t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t ≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-=-=，则()145,30C代入抛物线方程得：()23014550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =- 则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：t x a=，即tOD a = 5075tDF t a∴=-+≤，整理可得：()216252550ta t t t≥=+++ (]0,25t ∈ 625262550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥ 即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20．已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM =【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=；（3）详见解析. 【解析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯为定值23，故可得12·PP PP 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=. 【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为2(1,0)b +,20(1,)b y +因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=,22||MF b =,所以21||2MF b =，由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为1:20l x y -=；2:20l x y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设1l 的倾斜角为θ，则tan 2θ=，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，所以3cos 3θ=，故21cos 22cos13θθ=-=-，所以12,PP PP 的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q 到两条渐近线的距离分别为001|2|||3x y PP -=，002|2|||3x y PP +=.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以0012|2|3x y PP PP -⋅=00|2|3x y +⋅()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--.又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-，所以1212OA OB x x y y ⋅=+220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =. 【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b-=>> 交于,A B ，则22b AB a =（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21．如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,m (4)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n ()03n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由. 【答案】（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）02Ba n = 【解析】【详解】本试题主要考查了数列的运用。

2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)

2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形，可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =，所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=．故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1，等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值；（2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”；（2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”；（3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市2019届高三高考模拟卷(叁)数学试题

2x 2.若函数 f (x) =
1 ， x ∈ (0, +∞) ，则其反函数 f −1(x) = _________.
12
3.在
x
−
1 4x
6
的展开式中，
x2
的系数为_______.
4.过原点且与圆 x2 + y2 + 4x − 2 y = 0 相切的直线方程为_______.
5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为______石（精确到整数）.
10cm的正三角形.
（1）求异面直线PA与BC所成角的大小；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到 0.1cm3 ）
2
19.（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）首项为
1 2
的无穷等比数列
{an
}
所有项的和为1，
Sn
为
{an
}
的前n
项和，又 bn + 5 log2 (1− Sn ) = t ，常数 t ∈ N * ，数列{cn} 满足 c=n an ⋅ bn .
合S到集合T的“保序同构函数”.
（1）试写出集合 =A {x | 0 < x < 1} 到集合R的一个保序同构函数；
（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的保序同构函数；
（3）已知
f
(x)
=
x x2 +1
是集合[0, s] 到集合[0,t] 的保序同构函数，求s和t的最大值.
3
{ }uur

2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析)

2019届高三数学下学期三模考试试题（含解析）一. 填空题1.不等式的解为。

【答案】或【解析】【详解】由，可得即所以不等式的解为或2.已知直线垂直于平面直角坐标系中的轴，则的倾斜角为________【答案】0.【解析】【分析】根据直线垂直于轴，可得出直线的倾斜角.【详解】由于直线垂直于平面直角坐标系中的轴，所以，直线的倾斜角为，故答案为：.【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题.3.函数反函数是________【答案】.【解析】分析】由解出，可得出所求函数的反函数.【详解】由，得，则有，，因此，函数的反函数为，故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.若角的终边经过点，则的值为________【答案】.【解析】【分析】根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.【详解】由三角函数的定义可得，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.5.方程的解为 .【答案】2【解析】【分析】根据求行列式的方法化简得，这是一个关于的二次方程，将看成整体进行求解即可.【详解】方程，等价于，即，化为或（舍去），，故答案为2.【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.6.由参数方程为参数，所表示的曲线的右焦点坐标为________【答案】.【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.【详解】，由，得，所以，，即曲线的普通方程为，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，属于基础题.7.平面直角坐标系内有点，，，，将四边形绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________【答案】.【解析】【分析】利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，，将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为，高为，因此，该几何体的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________【答案】.【解析】【分析】先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”，由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为，由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.9.已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________【答案】.【解析】【分析】由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，由于函数的最大值为，则函数在上单调递减且，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________【答案】.【解析】【分析】利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围.【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题.11.等差数列中，，，（），则数列的公差为________【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，又，，则，，即数列的公差为，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.12.已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________【答案】20.【解析】【分析】将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，所以，，故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.二. 选择题13.已知非空集合满足，给出以下四个命题：①若任取,则是必然事件②若,则是不可能事件③若任取,则是随机事件④若,则是必然事件其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数【详解】非空集合、满足，可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，①若任取，则是必然事件，故①正确；②若，则是可能事件，故②不正确；③若任取，则是随机事件，故③正确；④若，则是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C.【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题.14.已知数列为等差数列，数列满足，，，.，则数列的公差 d为（）.A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】D【解析】【详解】注意到，则从而，d=4．选D.15.正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．【详解】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查．16.如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用变换的定义，推导出的向量坐标，求出、的表达式，然后进行验算即可.【详解】，经过一次变换后得到，点，，，A选项正确；由题意知所以，，，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大.三. 解答题17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆，OA与母线所成角为.（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用与母线所成的角为求出，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积；（2）由圆柱的体积求出与的值，再利用等体积法计算出点到平面的距离.【详解】（1）由于与圆柱的母线成的角，则，，所以，圆柱的表面积为；（2），，，设点到平面的距离为，由题意知，，，，，所以，，易得的面积为，由，，，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能力，属于中等题.18.若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和的值；（2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求．【详解】（1）由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以.(2) 是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以，在中,设外接圆半径为,由得所以的外接圆的面积【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．19.已知函数，其中，且，且（1）若，试判断的奇偶性；（2）若，，，证明的图像是轴对称图形，并求出对称轴.【答案】(1)见解析（2）函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．【解析】【分析】（1）由得出，于是得出，利用偶函数的定义得出，利用奇函数的定义得出，于是得出当时，函数为非奇非偶函数；（2）先得出，并设函数图象的对称轴为直线，利用定义，列等式求出的值，即可而出函数图象的对称轴方程.【详解】（1）由已知，，于是，则，若是偶函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．若是奇函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．综上，当时，是偶函数；当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数；（2），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，即对任意实数，恒成立，，化简得，因为上式对任意成立，所以，，．所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶性的定义以及对称性定义列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）设两动圆的公共点为，由椭圆定义得出曲线是椭圆，并得出、、的值，即可得出曲线的方程；（2）求出点，设点，，对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合条件并代入韦达定理求出的值，可得出直线所过点的坐标，在直线的斜率不存在时，可得出直线的方程为，结合这两种情况得出直线所过定点坐标；（3）利用韦达定理求出面积关于的表达式，换元，然后利用基本不等式求出的最大值.【详解】（1）设两动圆的公共点为，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，所以曲线的方程是：；（2）由题意可知：，设，，当的斜率存在时，设直线，联立方程组：，把②代入①有：，③，④，因为，所以有，，把③④代入整理：，（有公因式）继续化简得：，或（舍），当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点，综上，直线恒过定点；（3）面积，由第（2）小题的③④代入，整理得：，因在椭圆内部，所以，可设，，，（时取到最大值）．所以面积的最大值为．【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错.21.已知无穷数列的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .【解析】试题分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得，，，，．（Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．（Ⅲ）分当为奇数和当为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）解：，，，，．（Ⅱ）证明：（充分性）因为为奇数，为偶数，所以，对于任意，都为奇数．所以．所以数列是单调递增数列．（不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，均为奇数，所以，数列是单调递增数列．所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．所以当为奇数时，不能为偶数．（2）当为偶数时，如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．所以当为偶数时，不能为奇数．综上可得与同奇偶．所以为偶数．因为为偶数，所以为偶数．因为为偶数，且，所以．因为，且，所以．以此类推，可得．点睛：本题考查学生对新定义理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.2019届高三数学下学期三模考试试题（含解析）一. 填空题1.不等式的解为。

上海市向明中学2019年高三下学期数学高考三模试卷

向明中学高三三模数学试卷2019.05注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一. 填空题 1. 323110a a b b --⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2. 已知复数z 满足(3i)10z +=（i 为虚数单位），则z 的模为3.已知函数()f x =1(0)f -=4. 设集合{|04}A x x =<<，B =Z ，则集合A B 有个子集5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）6. 已知椭圆222116x y b +=焦点在x 轴上，若椭圆上一点P 到左焦点的距离1||3PF =，则2||PF =7. 不等式sin tan x x ≥的解集为8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=9. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为10. 若n a 是二项式(1)nx +展开式中2x 项的系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为 12. 给定曲线族22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是二. 选择题13. 设a 、b ∈R ，则“2a >且2b >”是“4a b +>”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要14. 过点(1)P -的直线l 与221x y +=有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是（） A. (0,]6π B. (0,]3π C. [0,]6π D. [0,]3π15. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A. 0d >B. 0d <C. 10a d >D. 10a d <16. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中一门的成绩高于乙，则称“甲同学比乙同学成绩好”，如果一组同学中，没有哪位学生比另一个学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么满足条件的学生最多有（）A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点.（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角；（2）求三棱锥1M C CN -的体积.18. 如图，修建一横断面为等腰梯形的水渠，为了使渠道的渗水量最小，应使梯形的两腰及，渠深65米. （1）写出水渠横断面边界长l 与水渠壁倾斜角α的函数关系式（l AB BC CD =++）；（2）水渠壁倾斜角α为多少时，渠道的渗水量最小.19. 如图，平面直角坐标系中，射线x y =（0≥x ）和x y 2=（0≥x ）上分别依次有点1A 、2A 、…、n A 、…和点1B 、2B 、…、n B 、…，其中)1,1(1A 、)2,1(1B 、)4,2(2B .且1||||n n OA OA -=111||||2n n n n B B B B +-=4,3,2(=n …）.（1）用n 表示||n OA 、||n OB 及点n A 、n B 的坐标；（2）写出四边形11n n n n A A B B ++的面积关于n 的表达式()S n ，并求()S n 的最大值.20. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM =.21. 已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T . 若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2xf x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 2011⎛⎫⎪⎝⎭2. 3. 2- 4. 8 5. 1arccos 36. 57. (,]2k k πππ-，k ∈Z 8. 509. 2 10. 2 11. 81112.二. 选择题13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 解：（1）过A 作AQ ∥C 1N 交A 1C 1于Q ，连结Q B 1，∴AQ A 1∠为异面直线1AB 与N C 1所成的角（或其补角）． ……2分根据四边形C C AA 11，N 是中点，为矩形，可证Q 为中点计算17,22,511===AQ Q B AB ……3分11B C ∥BC ，11B C =BC ，BC ∥AD ，BC AD =，∴四边形11ADC B 为矩形，且1AB ∥1C D ，由已知条件和余弦定理可得517cos 1=∠Q CC ……5分 ∴异面直线1AB 与1BC 所成的角为517arccos……6分（2）取BC 的中点P ，连结MP 、NP ，则MP ∥1BB ，∴MP ⊥ 平面ABC ， ……8分又NP ABC ⊂平面，∴MP NP ⊥．122PN AB ==,3MP =， ……10分 CM C N NCC M V V 11--= ……12分NP C C MC ⨯⨯⨯=11213122322131=⨯⨯⨯⨯= ……14分18. 解：（1）作，为垂足。

[精品]2019届高三数学下学期测试(三模)试题理(含解析)

2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,, 设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积.详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。

2019届上海市向明三模数学试题

2019届上海市向明中学三模数学试题一、单选题1．设a 、b R ∈，则“2a >且2b >”是“4a b +>”的（）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要【答案】A【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】因为2a >且2b >，由不等式的性质，可得4a b +>，故是充分条件，又当a ＝1，b ＝7时，满足a+b>4，但不满足2a >且2b >，故不是必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．2．过点(1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（） A.(0,]6π B.(0,]3πC.[0,]6πD.[0,]3π【答案】D【解析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果. 【详解】由题意得直线l 斜率存在，设为k ，则直线l ：1(10y k x kx y +=∴-+-=，由直线l 与圆221x y +=21200k k ≤∴-≤∴≤≤，从而倾斜角取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选D.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力. 3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d>【答案】C【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.4．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中一门的成绩高于乙，则称“甲同学比乙同学成绩好”，如果一组同学中，没有哪位学生比另一个学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么满足条件的学生最多有（） A.2人 B.3人C.4人D.5人【答案】B【解析】先阅读题意，再进行简单的合情推理可得解．【详解】由题意有：语文成绩为优秀的学生最多只有1人，语文成绩为合格的学生最多只有1人，语文成绩为不合格的学生最多也只有1人，因此这组学生最多有3人，语文、数学成绩分别为（优秀，不合格）（合格，合格）（不合格，优秀）满足题意，当这组学生有第4个人时，此人的语文、数学成绩的可能情况有9种：（优秀，不合格）（优秀，合格）（优秀，优秀）（合格，优秀）（合格，合格）（合格，不合格）（不合格，优秀）（不合格，合格）（不合格，不合格），此时这个人不管符合哪一种，都不满足题意，故这组学生最多有3人，故选：B ．【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．二、填空题 5．323110a a b b --⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭________ 【答案】2011⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】直接由矩阵的加法运算得解. 【详解】3232332011011011a a a a b b b b --+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2011⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了矩阵的加法的运算，是基础题．6．已知复数z 满足(3)10z i +=（i 为虚数单位），则z 的模为________【解析】先根据复数除法法则，求出复数z ，然后利用复数模的公式解之即可．【详解】 z ()()()103i 103010i 3i 3i 3i 3i 10--====-++-∴|z |==【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的模，同时考查运算求解的能力，属于基础题．7．已知函数()f x =1(0)f -=________【答案】2-【解析】利用原函数与反函数的关系可知，求1(0)f -即为求()0f x =的x 的值. 【详解】因为()f x =()0f x =，则2x =-，即1(0)2f -=-，故答案为2-. 【点睛】本题考查了原函数与反函数的定义，考查了反函数值的求解方法，属于基础题. 8．设集合{|04}A x x =<<，B Z =，则集合A B 有________个子集【答案】8【解析】由交集的定义求解A∩B ，再利用集合子集的个数（n 个元素的集合的子集为2n ），即可得到所求．【详解】由题意集合A∩B ＝{1，2，3}，可得集合A∩B 的子集个数为23＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查交集的概念，考查集合子集的个数问题，属于基础题．9．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos 3.【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.10．已知椭圆222116x y b+=焦点在x 轴上，若椭圆上一点P 到左焦点的距离1||3PF =，则2||PF =________ 【答案】5【解析】根据椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，求出结果即可．【详解】∵椭圆222116x y b+=，∴当椭圆上的点P 到它的左焦点距离是3时，点P 到它的右焦点的距离是2a ﹣3＝2×4﹣3＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程的应用问题，是基础题目． 11．不等式sin tan x x ≥的解集为________ 【答案】(,]2k k πππ-，k Z ∈【解析】作出y=sinx 与y=tanx 的图象，观察图象，找到满足题意的角的范围，即可得解．【详解】作出y=sinx 与y=tanx 的图象如图：，由sinx ≥tanx ，可得x ∈（ππ2，]∪（3π2π2，]．结合周期可得不等式sinx ≥tanx 的解集为(,]2k k πππ-，k Z ∈故答案为(,]2k k πππ-，k Z ∈【点睛】本题考查三角不等式的解法，三角函数的图象与性质的应用，考查计算能力．12．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．【答案】50【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50.13．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为 .【答案】.【解析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】∵BC ＝3BE ，DC ＝λDF ， ∴13BE BC =，1DF DC λ=， 1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+，11AF AD DF AD DC AD AB λλ=+=+=+，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，∴|AB |＝|AD |＝2，AB •AD =2×2×cos120°＝﹣2， ∵AE •AF =1，∴（13AB AD +）•（1AD AB λ+）22113AD AB λ=++（113λ+）AB •AD =1，即13⨯41λ+⨯4﹣2（113λ+）＝1，整理得10533λ=，解得λ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭______ 【答案】2【解析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果. 【详解】()1nx +的展开式通项公式为：r rn C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭本题正确结果：2 【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.15．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为________ 【答案】811【解析】正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对，根据古典概型概率公式求解即可．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与上平面A 1B 1C 1D 1中一条对角线A 1C 1成60°的直线有：A 1D ，B 1C ，A 1B ，D 1C ，BC 1，AD 1，C 1D ，B 1A 共八对直线，总共12条对角线； ∴共有12×8＝96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对．而正方体的面对角线共有12条，所以概率为：212488C 11= 故答案为811【点睛】本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键．16．给定曲线族22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是________ 【答案】5【解析】联立直线与曲线方程可求交点的横坐标x 1，x 2，要使曲线族在直线y ＝2x 上所截得的弦长的最大，则只要|x 2﹣x 1|最大即可，即t 最大即可，根据函数的性质即可求出．【详解】将y ＝2x 代入曲线方程得x 1＝0，28123sin cos x sin cos θθθθ++=-+．令218123sin cos t x x sin cos θθθθ++=-=-+，则3t ﹣1＝（8﹣2t ）sinθ+（t +1）cosθ， ∴()()2231821828t t t t t -≤-++⇒-≤≤⇒≤，∴弦长585l t =≤．故弦长的最大值是85，故答案为：85．【点睛】本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题三、解答题17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点.（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角；（2）求三棱锥1M C CN -的体积. 【答案】（1）17arccos5（2）2 【解析】（1）过A 作AQ ∥C 1N ，交A 1C 1于Q ，连接B 1Q ，可得∠B 1A Q （或其补角）是异面直线AB 1与C 1N 所成角．在△B 1A Q 中，分别求出AB 1、AQ 和B 1Q 的长，结合余弦定理算出cos ∠B 1AQ 的值，从而得到异面直线AB 1与C 1N 所成的角是17；（2）平面A 1B 1C 1中，过M 作MH ⊥A 1C 1于H ．根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理，得到MH ⊥平面AA 1C 1C ，MH 是三棱锥M ﹣C 1CN 的高．算出MH 的长和△C 1CN 的面积，结合三棱锥的体积公式，可得三棱锥M ﹣C 1CN 的体积．【详解】（1）平面AA 1C 1C 中，过A 作AQ ∥C 1N ，交A 1C 1于Q ，连接B 1Q ∴∠B 1A Q （或其补角）就是异面直线AB 1与C 1N 所成的角矩形AA 1C 1C 中，N 是AC 中点，可得Q 是A 1C 1中点 Rt △AA 1B 1中，AB 122111AA A B =+=5，同理可得AQ 17=∵等腰Rt △A 1B 1C 1中，B 1Q 是斜边的中线 ∴B 1Q 2=A 1B 1＝22， △B 1AQ 中，cos ∠B 1AQ 1752517==⨯⨯＞0∴∠B 1AQ ＝arccos175，即异面直线AB 1与C 1N 所成的角等于arccos 175；（2）平面A 1B 1C 1中，过M 作MH ⊥A 1C 1于H∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，CC 1⊆平面AA 1C 1C ∴平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，∵平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，MH ⊥A 1C 1， ∴MH ⊥平面AA 1C 1C ，MH 是三棱锥M ﹣C 1CN 的高线 ∵△B 1C 1Q 中，M 是B 1C 1中点，MH ∥B 1Q ∴MH 是△B 1C 1Q 的中位线，得MH 1122B Q ==∵△C 1CN 的面积S 12=CN ×C 1C 12=⨯23＝2 ∴三棱锥M ﹣C 1CN 的体积1113M NCC C CM V S MH -∆=⋅13=⨯22=2【点睛】本题给出特殊三棱柱，求异面直线所成角并求锥体的体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，异面直线所成角的求法和锥体体积公式等知识，属于基础题． 18．如图，修建一横断面为等腰梯形的水渠，为了使渠道的渗水量最小，应使梯形的两腰及下底边长之和最小，若水渠横断面面积设计为定值36325，渠深65米.（1）写出水渠横断面边界长l 与水渠壁倾斜角α的函数关系式（l AB BC CD =++）；（2）水渠壁倾斜角α为多少时，渠道的渗水量最小. 【答案】（1）662cos 355sin 62l αππαα-⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）当3πα=时，渠道的渗水量最小【解析】（1）利用三角函数表示出CD 、DE ，再由面积求得BC ，将边界长用α的三角函数表示出来即可．（2）由题意只需边界长最小即可，令2cos sin u αα-=，将其变形为()21sin 2u αβ++=，求解u 的最小值即可.【详解】（1）作CE AD ⊥，E 为垂足,则6cot 5DE α=，65sin CD α=，36316(22)25DE BC =+⋅,可得663cot 55BC α=，663cot 055α->，则cot 3α<，则6πα>∵2l BC CD =+，66121662cos 3cot 3555sin 55sin 62l αππαααα-⎛⎫⎛⎫=-+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）令2cos 0sin u αα-=>，则()22cos sin 1sin 2u u αααβ-=⇒++=，∴212u +≥，3u ≥即3u=时，l 取最小值，此时3πα=答：当3πα=时，渠道的渗水量最小。