【数学】2016-2017年山东省聊城市冠县武训高中高一(上)数学期中试卷带答案

2016-2017学年山东省聊城市冠县武训高中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5分）已知集合A到集合B的映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），在映射f 下对应集合B中元素（3，1）的A中元素为（）A．（1，3） B．（1，1） C．（3，1） D．（5，5）3．（5分）已知f（x﹣1）=x2+1，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=（x+1）2+1 C．f（x）=（x﹣1）2+1 D．f（x）=x2 4．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.45．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）=（）A．2 B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）A．x3+2x2B．x3﹣2x2C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x27．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x3 B．C．y=2|x|D．y=﹣x2+18．（5分）函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣6，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为正B．等于零C．恒为负D．不小于零10．（5分）若（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C． D．12．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＞2016，f（x）在区间[﹣2016，2016]的最大值，最小值分别为M、N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．14．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是年（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）15．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的实数x的取值范围是．16．（5分）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（14分）化简求值：（1）；（2）．18．（14分）已知函数f（x）的定义域为（0，4），函数g（x）=f（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|a＜x＜2a﹣1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论．20．（14分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“等域区间”．（1）求证：函数不存在“等域区间”；（2）已知函数（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数a的取值范围．2016-2017学年山东省聊城市冠县武训高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5分）已知集合A到集合B的映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），在映射f 下对应集合B中元素（3，1）的A中元素为（）A．（1，3） B．（1，1） C．（3，1） D．（5，5）【解答】解：由题意，得，解得x=1，y=1，则B中的元素（3，1）的A中元素（1，1）．故选：B．3．（5分）已知f（x﹣1）=x2+1，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=（x+1）2+1 C．f（x）=（x﹣1）2+1 D．f（x）=x2【解答】解：设x﹣1=t，则x=1+t，则函数f（x﹣1）=x2+1等价为f（t）=（t+1）2+1，即f（x）=（x+1）2+1，故选：B．4．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B 正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选：C．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）=（）A．2 B．C．D．【解答】解：因为幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），所以幂函数的解析式为：f（x）=，则f（4）==2．故选：A．6．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）A．x3+2x2B．x3﹣2x2C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选：A．7．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x3 B．C．y=2|x|D．y=﹣x2+1【解答】解：A．y=x3是R上的奇函数，不符合条件；B．y=|log2x|的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不符合条件；C．y=2|x|是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不符合条件；D．y=﹣x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，正确．故选：D．8．（5分）函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据y=﹣log a x的定义域为（0，+∞）可排除选项B，选项C，根据y=a x的图象可知0＜a＜1，y=﹣log a x的图象应该为单调增函数，故不正确选项D，根据y=a x的图象可知a＞1，y=﹣log a x的图象应该为单调减函数，故不正确故选：A．9．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣6，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为正B．等于零C．恒为负D．不小于零【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣6，函数的定义域x＞0；f′（x）=+2＞0，函数f（x）是增函数，实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）＜0．故选：C．10．（5分）若（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【解答】解：=log a a．当0＜a＜1时，得0＜a＜，∴0＜a＜；当a＞1时，得a＞，∴a＞1．综上，a的取值范围是．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C． D．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴f（x）的最小值为f（1）=﹣1，无最大值，可得f（x1）值域为[﹣1，+∞），又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣2，+∞），∴g（x）=ax+2（a＞0）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣2），+∞），即g（x2）∈[2﹣2a，+∞），∵对任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），∴只需f（x）值域是g（x）值域的子集即可，∴2﹣2a＜﹣1，解得：a＞，故选：A．12．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＞2016，f（x）在区间[﹣2016，2016]的最大值，最小值分别为M、N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈R，x1＜x2，x2﹣x1＞0，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，∴f（x2﹣x1）＞2016，f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）﹣2016=f（x2﹣x1）﹣2016＞0，即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R上单调递增，∴M=f（2016），N=f（﹣2016），∵对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，∴f（0）=2f（0）﹣2016，即f（0）=2016，∴f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣20126即f（x）+f（﹣x）﹣2016=f（0），f（x）+f（﹣x）=4032∴M+N的值为4032，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（1，3）．【解答】解：根据指数函数过（0，1）点，∴函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3∴函数的图象过（1，3）故答案为：（1，3）．14．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2016＞200，化为：（n﹣2016）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，∴n﹣2016＞3.8．取n=2020．因此开始超过200万元的年份是2020年．故答案为：2020．15．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的实数x的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（3）得，f（|2x﹣1|）＜f（3）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜3；解得﹣1＜x＜2；∴x的取值范围是：（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．16．（5分）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是[﹣，﹣）．【解答】解：根据函数解析式，分类讨论如下：①当x≤2时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，+∞），即x≤2时，函数值的取值范围为：[﹣1，+∞）；②当x＞2时，f（x）=log a x﹣，要使f（x）的值域为R，则log a x﹣的取值至少要包含（﹣∞，﹣1），因此，a∈（0，1），且log a2﹣≥﹣1，即log a2≥﹣，解得，a∈（0，]，所以，实数a的取值范围为：（0，]，而f（2）=log a（2）﹣=﹣=﹣，再结合对数函数图象可知，f（2）的取值范围为：[﹣，﹣），故答案为：[﹣，﹣）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（14分）化简求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式=×××（π﹣3）=××（π﹣3）=6（π﹣3）．（2）原式==2+lg2•（lg5+lg2）+lg5=3．18．（14分）已知函数f（x）的定义域为（0，4），函数g（x）=f（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|a＜x＜2a﹣1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：要使g（x）有意义，则：0＜x+1＜4，∴﹣1＜x＜3，∴A={x|﹣1＜x＜3}；∵A∩B=B，∴B⊆A；①若B=∅，满足B⊆A，则a≥2a﹣1，解得a≤1；②若B≠∅，则，解得1＜a≤2；综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．19．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论．【解答】解：（1）因为定义域为R且是奇函数，故f（﹣x）=f（x）对于任意x∈R恒成立，即有=对于任意x∈R恒成立，于是有解得a=b=1或a=b=﹣1，又f（x）的定义域为R，所以a≥0，故所求实数a，b的值分别为a=1，b=1．（2）由（1）可得函数f（x）的解析式为，f（x）在定义域R上为单调减函数．用函数的单调性定义证明如下：在定义域R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2，则，∵x1＜x2，∴，又，，故有f（x1）﹣f（x2）＞0，即有f（x1）＞f（x2），因此，根据函数单调性的定义可知，函数f（x）在定义域R上为减函数．20．（14分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），∵0=300k+b，即b=﹣300k，∴n=k（x﹣300）（3分）y=（x﹣100）k（x﹣300）=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）（6分）∵k＜0，∴x=200时，y max=﹣10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（8分）（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k•75%x2﹣400x+37500=0解得x=250或x=150所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元（16分）21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“等域区间”．（1）求证：函数不存在“等域区间”；（2）已知函数（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“等域区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，故只需△=（﹣（2a+2））2﹣4a2=8a+4＞0，解得，∴实数a的取值范围为．。