函数对称性与周期性关系

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函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、周期性：对于函数

)(x f y =，如果存在一个不为零的常数

T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有

)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：

我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式

)()(x f x f =-

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

0)()(=-+x f x f

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+

)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-

简证：设点),(11y x 在

)(x f y =上，

通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-

也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称（2）函数

)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++

函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系

1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。

证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+

令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————①

)2()(b x f x f +-=—————————————②

将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+

∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。

2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。

证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f

令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————②

将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+

∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。

3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。

函数周期性与对称性

一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期例如：求11()

()(),(),()()1()

f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=

+的周期二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=

函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或者 (2)()f x a f x +=-

函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b

1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值

是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （）

2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2

)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （）

A ．0

B ．1

C ．

5 D ．5

3．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则

f(2011)=( )

A 、2005

B 、2

C 、1

D 、0

4．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）

(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<

函数的周期性与对称性

函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。在

函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。本文将从理论和

实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。

一、周期性

函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有

f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。

周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦

函数就是典型的周期性函数。以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周

期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。这种周期性的

特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。

在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等

领域。例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子

元件的交流电路，优化信号处理等。

二、对称性

函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。常见的对称

性有奇偶对称性和轴对称性。

1. 奇偶对称性

函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -

f(x)。奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。

以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。当

x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取

负值。

函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。

函数的双对称性与周期性的关系

双对称性是数学中一种有趣的概念，通常用来描述图形，其中一半的形状和另一半是完全一样的。函数也存在双对称性，在数学中，函数被定义为一个输入和输出之间的映射关系。双对称性意味着函数经过某些对称变换，比如反射，旋转等，仍保持原有的关系。

而周期性是指函数上的一种变化规律，这种变化规律通常可以表示为一条折线，表示函数随时间改变的规律。从函数的定义出发，很容易发现双对称性和周期性之间存在一种关系。

双对称性是指函数是否具有某种称之为双对称的特性，即该函数可以从一个点以给定的角度和长度进行旋转，而结果依然如初，即函数不被改变。例如正弦函数，它具有180°的双对称性，就是说把正弦函数以180°旋转，所得的结果和原来的结果完全一致。

同样，如果函数具有双对称性，那么函数上的变化规律就具有周期性。例如正弦函数，它具有180°的双对称性，这也意味着函数的变化规律具有周期性，即每次变动范围在180°以内，就会出现重复的结果。用另外一种表达方式来说，就是说，每次函数变化360°，函数就会重复一次。

由此可见，双对称性和周期性之间存在着密切的联系，他们之间是密不可分的。函数周期性的变化取决于函数的双对称性，函数双对称性的变化也会影响函数的周期性。而双对称性和周期性在数学与物理学中也都有着十分重要的作用，因此，深入研究双对称性与周期性之间的关系非常有必要。

首先，双对称性和周期性之间的关系可以用一个简单的例子来说明。可以以函数y=sin x为例，x为变量、y为因变量，此函数具有180°双对称性，也就是说，将正弦函数以180°旋转，函数结果依

(完整版)常见函数对称性和周期性

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称

2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称

4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

函数的周期性与对称性总结

一:有关周期性的讨论

在已知条件()()f a x f b x +=-或

()()f x a f x b +=-中,

1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如()()a x b x a b ++-=+,说明f x ()的图像具有对称性,其对称轴为2

b a x +=; 2等式两端的两自变量部分相减得常数,如()()x a x b a b +--=+,说明 fx 的图像具有周期性,其周期T=a +b ;

设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立

周期性规律对称性规律

1)()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ 1)()(x a f x a f -=+ a x =⇒

2)()(a x f x f += a T =⇒ 2)()(x b f x a f -=+ 2

b a x +=

⇒ 3)()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 3 )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ 4)(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ 4 )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2

(b a +⇒ 5)(1)(x f a x f -

=+ a T 2=⇒ 5 )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ 61

)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ 7 1()()1()

f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ 8 1()()1()f x f x a f x -+=-

+ a T 4=⇒ 9 )

函数对称性与周期性的关系

首先，我们先来明确对称性的概念。在数学中，对称性是指在其中一

种变换下保持不变的性质。常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等

不同的类型。对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对

称的性质。具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。这表明函数在点a处的函数

值关于a对称。对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的

函数值相等的性质。

接下来，我们来看周期性的概念。周期性是指函数在一定范围内的数

学性质重复出现的性质。通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任

意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。具有周期性的函数在

周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空

间位置上的行为。

对称性和周期性在一定程度上是有关联的。事实上，一个函数的周期

性往往与函数的对称性密切相关。具体而言，如果一个函数具有对称性，

那么它可能是周期性的。例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数

cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x

+ 2π) = cos(x)。同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即

sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。这些对称性的存在使得正弦函

数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。

另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。一个函数f(x)被

函数的周期性与对称性

函数是数学中的重要概念，它描述了因变量与自变量之间的关系。

而函数的周期性与对称性是函数特性中的两个重要方面。本文将通过

介绍周期性和对称性的概念、性质和应用，探讨函数在周期性和对称

性方面的重要性。

一、周期性

在数学中，周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律。一个函

数被称为周期函数，当且仅当对于某个正数T（常称为周期），对于

所有的x，有f(x+T)=f(x)成立。周期函数的图像在周期T内会重复出现。

周期性的性质有以下几点：

1. 周期函数的图像在一个周期内具有相同的形状，只是位置不同。

例如，正弦函数sin(x)是一个周期函数，其周期为2π，在每个周期内，函数的图像呈现出相同的波形。

2. 周期函数的周期可以是任意正数T，且T可以大于函数定义域的

长度。例如，正弦函数的定义域为实数集R，但其周期为2π。这意味

着正弦函数在每个2π的间隔内都重复。

3. 余弦函数cos(x)也是一个周期函数，其周期也为2π。不同的是，

余弦函数与正弦函数的图像关于y轴对称。

周期函数的应用十分广泛，例如在物理学、工程学和信号处理等领

域中都有重要的应用。周期函数可以用来描述周期振动、交流电信号

的变化以及周期性运动等现象。

二、对称性

对称性是指函数在某种变换下具有不变性。主要有以下几种对称性：

1. 奇函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=-f(x)成立，则称该函数为奇函数。奇函数的图像关于原点对称。例如，正

弦函数sin(x)是一个奇函数。

2. 偶函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=f(x)

函数的对称性、周期性以及之间的关系

对称性、奇偶性、周期性、单调性

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．

在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称

一、函数的对称性

关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n

命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)

即f (x) = f (2m－x)

二、函数的奇偶性与对称性的联系

命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0

命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)

三、函数的周期性与对称性的联系

包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性

命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称

（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．

函数周期性、对称性与奇偶性的关系

2、定义在上的函数 ,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数 ,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在上的函数 ,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数 ,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在上的函数 ,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数 ,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
三、对称性与周期性的关系
定理1：若定义在上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
推论1：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
定理2：若定义在上的函数的图象关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
定理3：若定义在上的函数的图象关于点和对称，是周期函数，且是它的一个周期.

(完整版)函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性

吴江市盛泽中学数学组徐建东

对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，

∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，

∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-

∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

函数周期性与对称性

A.
5 4
,
B.
1,
5 4
C.
7 4
,
D.
1,
7 4
考点探究
例 3:已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ,且 f (x) 在区间(2, ) 上单调
递增.如果 x1 2 x2 ,且 x1 x2 4 ,则 f x1 f x2 的值( ) .
a( ).
A. 1 B. 1
C. 2
D. 4
考点探究
函数对称性和周期性
1. 两线对称型:函数 f (x) 关于直线 x a, x b 对称,则 f (x) 的周期为| 2b 2a | .
【证明】
2. 一线一点对称型:函数 f (x) 关于直线 x a 及点(b, 0) 对称,则 f (x) 的周期为 | 4b 4a | .
A. 关于直线 y 0 对称 C. 关于直线 y a 对称
B. 关于直线 x 0 对称 D. 关于直线 x a 对称
例 2:若 a 0 且a 1 ,那么函数 y ax 与 y loga x 的图像关于( ) .
A. 原点对称 C. x 轴对称
B. 直线 y x 对称 D. y 轴对称
B. 804
C. 806
D. 402
考点探究
例 7:已知函数 f (x) 满足 f (1) 1 , 4 f (x) f ( y) f (x y) f (x y)(x, y R) ,则 4

函数对称性与周期性关系

【知识梳理】

一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有

)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：

我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的

探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+

)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-

简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即

点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=-++=

对称

（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++

对称性和周期性之间存在这种关系，你清楚吗？

接着上节课最后说到的函数对称性问题，我们继续研究一下函数的基本性质。

高中数学里关心的主要是单调性、奇偶性、对称性和周期性。其实奇偶性也可以看成是对称性的特例：偶函数是关于y轴对称，奇函数是关于原点对称。关于单调性我们结合导数部分再专题研究，今天先来看看周期性。

周期性里有这样一类常考问题：已知一个区间上的解析式，求该周期函数在另一个区间上的解析式。

我们先看第（2）问，用的方法其实还是上节课所说的“乾坤大挪移”——转移代入法。把自变量从区间[2, 4]转移到[0, 2]上，从而通过代入[0, 2]上的已知解析式求出[2, 4]上的解析式。

我们接下来关注这道题的第（1）问。题目里条件说明函数有一个对称中心是原点(0, 0)，且有一个对称轴是x = 1。最后我们可以看到f(x)是一个周期为4的函数。

这样的结论可以推广来看：

1. 函数具有一个在x轴上的对称中心，一个对称轴

若y = f(x)的图像具有对称中心（a, 0），则有

f(x) = - f(2a - x)；

若y = f(x)的图像还具有对称轴x = b，则有

f(x) = f(2b - x);

上面二式联立，立即得到- f(2a - x) = f(2b - x)，可写为f(x) = - f(x + 2a - 2b)

进而可得f(x) = f(x + 4a - 4b)，

即f(x) 具有周期4|a - b|.

2. 函数具有两个纵坐标一致的对称中心

若y=f(x)的图像具有对称中心（a, c），则有

f(x) = 2c - f(2a - x)；

函数的对称性与周期性

m
交点为 (x1, y1 ) , (x2 , y2 ) ，（ xm , ym ），则 (xi yi ) i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
结论 2.若 y f (x)关于点（h, k)对称，则x x / 2h, y y / 2k ,
即 f (x) f (x/ ) f (x) f (2h x) 2k .
函数的对称性与周期性
一．函数的对称性：函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所
具有的性质.
1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于 x 轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点（x1, f (x1)), (x2 , f (x2 )) 到直线 x a 的距离相等且函数值 f (x1) f (x2 ) 时. 我们就称函数 y f (x) 关于 x a 对称. 代数表示: (1). f (a x) f (a x)
(2). f (x) f (2a x) 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线 x a 对称.
一般地，若函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ，则函数 y f (x) 的图象关于直线 x a b 对称.
2 特别地，偶函数(关于 y 轴对称)， f (x) f (x) ，即当横坐标到原点的距离相等(横