函数对称性与周期性关系

函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

得证。

若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(cb a + 对称 （3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。

4、 周期性：（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT Tx 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ）。

如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T 为周期的周期性函数。

如果偶函数满足（），则函数是以2T 为周期的周期性函数。

二、 两个函数的图象对称性1、与关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、与关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

3、与关于直线对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。

)(x f y =)()(x T f x T f -=+0≠T )(x f y =)(x f y =)()(x T f x T f -=+0≠T )(x f y =)(x f y =)(x f y -=)(x f y =)(x f y -=)(x f y =)2(x a f y -=a x =【典型例题】1. 定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。

反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。

证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。

推论，由显然[例1] 已知，满足且，当时，比较与的大小。

解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。

当时，∴即当时，∴，即[例2] 函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为。

解：依条件，设，则，故[例3] 若的图象关于直线对称，则。

A. B. C. D.解：由得即∴[例4] 设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为。

A. 18B. 12C. 9D. 0解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。

[例5] 设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.解：由条件知图象关于直线成轴对称，又及时递增∴，故选C2. 对称性与周期性的关系（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。

（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。

证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证（2）由图象关于对称，有①又由图象关于点对称，有，∴，，即以代有②由①和②③以代有又由③式得证特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数满足（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。

（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。

证：（1）（2）[例1] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。

解：由（1）（2）知，对任则，，[例2] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。

解：设当时，，则当时，，则又为偶函数，知从而另法：当时，，当时，，[例3] 函数定义在R上，且对一切满足，，设，问方程在区间中至少有几个实根。

解：依条件为函数的周期，，均为的根，因此在区间上至少有二个根∵由周期性可知也为的根所以方程在区间中至少有[例4] 若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。

证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且令，则（1）若，则与在上是减函数矛盾（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。

[例5] 已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。

分析：条件（2）即，即关于点对称又由是偶函数，故是以为周期的周期函数解：由条件（2）知，令，则，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以。